Невозможный мир в реальном мире. Невозможные фигуры - геометрия и искусство. Использование феномена восприятия

Введение……………………………………………………………………………..2

Основная часть. Невозможные фигуры……………….…………………………4

2.1. Немного истории………………………………………………………….4

2.2. Виды невозможных фигур……………………………………………….6

2.3. Оскар Рутерсвард – отец невозможной фигуры………………………..11

2.4. Невозможные фигуры – возможны!……………………………………..13

2.5. Применение невозможных фигур………………………………………14

Заключение………………………………………………………………………..15

Список литературы ………………………………………………………………16

Введение

С некоторых пор меня заинтересовали такие фигуры, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись можно увидеть, что что-то в них не так. Основной интерес для меня представляли так называемые невозможные фигуры, посмотрев на которые создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Я захотела узнать о них больше.

«Мир невозможных фигур» одна из интереснейших тем, которая получила свое бурное развитее всего лишь в начале ХХ века. Однако, гораздо раньше, многие ученые и философы занимались этим вопросом. Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещающих в целостную картину.

«Невозможная фигура – это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение». Это один из видов оптических иллюзий , фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Передо мной встал вопрос: «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»

Цели проекта:

1.Выяснить, к ак созд аются нереальные фигуры.

2. Найти области применения невозможных фигур.

Задачи проекта:

1.Изучить литературы по теме «Невозможные фигуры».

2 .Составить классификацию невозможных фигур.

3.Р ассмотреть способы построения невозможных фигур.

4.Создать невозмож ную фигуру.

Тема моей работы актуальна ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

Невозмож ные фигуры

Немного истории

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах – в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других – с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой “приходится” додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями. Вот перед нами школа. Наше внимание привлекает архитектурное сооружение на заднем плане, геометрическая противоречивость которого очевидна. Его можно интерпретировать и как внутреннюю стену комнаты, и как наружную стену здания, но обе эти интерпретации неправильны, поскольку мы имеем дело с плоскостью, одновременно являющуюся и внешней, и наружной стенкой, то есть на картине изображен типичный невозможный объект.

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.

Виды невозможных фигур.

“Невозможные фигуры” делятся на 4 группы. Итак, первая:

Удивительный треугольник – трибар.

Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как “трехмерную прямоугольную структуру”. Она также получила название “трибар”. С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара.

Тройной деформированный трибар

Треугольник из 12 кубов

Крылатый трибар

Тройное домино

Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют “Бесконечной лестницей”, “Вечной лестницей” или “Лестницей Пенроуза” – по имени ее создателя. Ее также называют “непрерывно восходящей и нисходящей тропой”.

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

“Бесконечной лестницей” с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии “Восхождение и нисхождение”, созданной в 1960 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии.

Космическая вилка.

Следующая группа фигур под общим названием “Космическая вилка”. С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее “Скобой, состоящей из трех элементов”.

С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто “досадной ошибкой”. Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

Невозможные ящики

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с “Сумасшедшим ящиком”. Первоначально автор назвал ее “Свободным ящиком” и заявил, что она была “сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве”.

“Сумасшедший ящик” – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником “Сумасшедшего ящика” была “Невозможная коробка” (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера.

Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.

Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Оскар Руте рсвард – отец невозможной фигуры .

«Отцом» невозможных фигур считается шведский художник Оскар Рутерсвард. Шведский художник Оскар Рутерсвард, специалист по созданию изображений невозможных фигур утверждал, что плохо разбирается в математике, но, тем не менее, возвел свое искусство в ранг науки, создав целую теорию создания невозможных фигур по определенному ряду шаблонов.

Он разделил фигуры на две основные группы . Один из них он назвал «истинные невозможные фигуры». Это двухмерные изображения трёхмерных тел, которые на бумаге можно раскрасить и нанести на них тени, но у них нет монолитной и стабильной глубины.

Другой вид – сомнительные невозможные фигуры. Эти фигуры не представляют собой единых цельных тел. Они являются соединением двух или большего числа фигур. Их нельзя ни раскрасить, ни нанести на них свет и тени.

Истинная невозможная фигура состоит из фиксированного количества возможных элементов, а сомнительная «теряет» некоторое количество элементов, если за ними проследить глазами.

Один вариант этих невозможных фигур очень легко выполнить, и многие из тех, кто машинально чертит геометрические

фигуры, когда разговаривает по телефону, это уже не раз делали. Нужно провести пять, шесть или семь параллельных линий, закончить эти линии в разных концах по-разному – и невозможная фигура готова. Если, например, провести пять параллельных линий, то их можно закончить как две балки с одной стороны и три с другой.

На рисунке мы видим три варианта сомнительных невозможных фигур. Слева трех-семибалочник, построенный из семи линий, в котором три балки превращаются в семь. Фигура в середине, построенная из трех линий, в которой одна балка превращается в два круглых бруса. Фигура справа, построенная из четырех линий, в которой два круглых бруса превращаются в две балки

За свою жизнь Рутерсвард изобразил около 2500 фигур. Книги Рутерсварда опубликованы на многих языках, в том числе на русском.

Невозможные фигуры – возможны!

Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги – это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций. Существует множество способов их создания. Один из них – использование кривых линий в качестве сторон невозможного треугольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута – создан реальный “невозможный ” объект.

Русский художник Анатолий Коненко, наш современник, разделил невозможные фигуры на 2 класса: одни можно смоделировать в реальности, а другие – нельзя. Модели невозможных фигур называются моделями Амес.

Я изготовила модель Амес своего невозможного ящика. Я взяла сорок два кубика и склеила их, получился куб, в котором часть ребра отсутствует. Отмечу, что для создания полной иллюзии необходим правильный угол зрения и верное освещение.

Я изучила невозможные фигуры с применением теоремы Эйлера и пришла к следующему выводу: теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Я создаю свои невозможные фигуры, пользуясь советом О.Рутерсварда. Я начертила на бумаге семь параллельных отрезков. Соединила их снизу ломаной линией, а сверху придала им форму параллелепипедов. Посмотрите на нее сначала сверху потом снизу. Таких фигур можно придумать бесконечно много. См. приложение.

Применение невозможных фигур

Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутерсвард рассказывает в книге “Omojliga figurer” об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. Психолог Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.

В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.

Невозможные фигуры вдохновили художников на создание целого нового направления в живописи, названного импоссибилизмом. К импоссибилистам относят голландского художника Эшера. Его перу принадлежат известные литографии «Водопад», «Восхождение и нисхождение» и «Бельведер». Художник использовал эффект “бесконечной лестницы”, открытый Рутесвардом.

За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.

Наиболее известное использование невозможных фигур в массовой культуре - логотип автоконцерна «Рено »

Математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить. Вот так в наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров.

Заключение .

Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ – что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так – то просто – он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.

Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного – все эти требования современной жизни заставляют искать новые методы, которые способны изменить пространственное мышление, воображение.

Изучив литературу по теме, я смогла ответить на вопрос «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?» Я поняла, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Я создала модель Амес «Невозможного куба» и проверила на нем теорему Эйлера. Рассмотрев способы построения невозможных фигур, я смогла нарисовать свои невозможные фигуры. Мне удалось показать, что

Вывод1: Все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире.

Вывод2: Теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Вывод3: Найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.

Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение с точки зрения геометрии. Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного.

Список литературы

Левитин Карл Геометрическая рапсодия. – М.: Знание, 1984, -176 с.

Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26

Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.

Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.

Рисунок 1.

Это невозможный трибар. Данный рисунок не является иллюстрацией пространственного объекта, поскольку такой объект не может существовать. Наш ГЛАЗ принимает данный факт и сам объект без затруднений. Мы можем придумать ряд аргументов в защиту невозможности объектаю Например, грань C лежит в горизонтальной плоскости, в то время как грань A наклонена к нам, а грань B, наклонена от нас, и, если грани A и B расходятся друг от друга, они не могут встретиться в вершине фигуры, как это мы видим в данном случае. Мы можем отметить, что трибар образует замкнутый треугольник, все три балки перпендикулярны друг другу, и сумма его внутренних углов получается равной 270 градусам, что невозможно. Мы можем привлечь на помощь базовые принципы стереометрии, а именно то, что три непараллельные плоскости всегда встречаются в одной точке. Однако, на рисунке 1 мы видим следующее:

Темно-серая плоскость C встречается с плоскостью B; линия пересечения – l ;
Темно-серая плоскость C встречается со светло-серой плоскостью A; линия пересечения - m ;
Белая плоскость B встречается со светло-серой плоскость A; линия пересечения – n ;
Линии пересечения l , m , n пересекаются в трех разных точках.

Таким образом, рассматриваемая фигура не удовлетворяет одному из основных утверждений стереометрии, что три непараллельные плоскости (в данном случае A, B, C) должны встретиться в одной точке.

Резюмируем: какими бы ни были сложными или простымии ни были наши рассуждения, ГЛАЗ сигнализирует нам о противоречиях без каких-либо объяснений с его стороны.

Невозможный трибар парадоксален в нескольких отношениях. Глазу требуется доля секунды, чтобы передать сообщение: "Это замкнутый объект, состоящий из трех брусков". Мгновение спустя следует: "Этот объект не может существовать...". Третье сообщение может быть прочитано как: "... и, таким образом, первое впечатление было неверным". В теории такой объект должен распадаться на множество линий, не имеющих значимых отношений друг с другом и более не собирающихся в форму трибара. Однако этого не происходит, и ГЛАЗ сигнализирует снова: "Это объект, трибар". Короче говоря, заключение состоит в том, что это и объект и не объект, и в этом состоит первый парадокс. Обе интерпретации имеют одинаковую силу, как если бы ГЛАЗ оставил окончательный вердикт вышестоящей инстанции.

Вторая парадоксальная особенность невозможного трибара возникает из рассуждений о его конструкции. Если брусок A направлен к нам, а брусок B - от нас, и все же они стыкуются, то угол, который они формируют должен лежать в двух местах одновременно, один ближе к наблюдателю, а другой дальше. (То же самое применимо и к двух другим углам, так как объект остается идентичной формы при поворе другим углом вверх.)

Рисунок 2. Бруно Эрнст, фотография невозможного трибара, 1985
Рисунок 3. Gerard Traarbach, "Perfect timing", холст/масло, 100x140 см, 1985, напечатано наоборот
Рисунок 4. Дирк Хуизер, "Куб", irisated screenprint, 48x48 см, 1984

Реальность невозможных объектов

Один из самых трудных вопросов о невозможных фигурах касается их реальности: существуют ли они на самом деле или нет? Естественно, рисунок невозможного трибара существует, и это не подвергается сомнению. Однако, в то же время не вызывает сомнений, что представленная ГЛАЗом для нас трехмерная форма, как таковая, не существует в окружающем мире. По этой причине, мы решили говорить о невозможных объектах , а не о невозможных фигурах (хотя, под таким названием на английском языке они больше известны). Кажется, это удовлетворительное решение данной дилеммы. И все же, когда мы, например, исследуем внимательно невозможный трибар, его пространственная реальность продолжает смущать нас.

Столкнувшись с объектом в разобранном на отдельные части виде, практически невозможно поверить, что, просто соединяя друг другом бруски и кубики, можно получить желаемый невозможный трибар.

Рисунок 3 особенно привлекателен для специалистов по кристаллографии. Объект представляется медленно растущим кристаллом, кубы вставляются в имеющуюся кристаллическую решетку без нарушения общей структуры.

Фотография на рисунке 2 – реальна, хотя трибар, составленный из коробок для сигар и сфотографированный под определенным углом, – нереален. Это визуальная шутка, придуманная Роджером Пенроузом – соавтором первой статьи и невозможном трибаре.

Рисунок 5.

На рисунке 5 изображен трибар, составленный из пронумерованных блоков размером 1х1х1 дм. Простым подсчетом блоков мы можем выяснить что объем фигуры 12 дм 3 , и прощадь – 48 дм 2 .

Рисунок 6.
Рисунок 7.

Аналогичным способом мы можем подсчитать расстояние, которая пройдет божья коровка по трибару (рисунок 7). Центральная точка каждого бруска пронумерована, и направление движения отмечено стрелками. Таким образом, поверхность трибара представляется как длинная непрерывная дорога. Божья коровка должна совершить четыре полных круга, прежде чем вернется в исходную точку.

Рисунок 8.

Вы можете начать подозревать, что невозможный трибар имеет какие-то секреты на своей невидимой стороне. Но без труда можно нарисовать прозрачный невозможный трибар (рис. 8). В данном случае все четыре стороны видимы. Тем не менее, объект продолжает выглядеть вполне реальным.

Давайте зададим вопрос еще раз: что в действительности делает трибар фигурой, которая может интерпретироваться таким множеством способов. Надо помнить, что ГЛАЗ обрабатывает изображение невозможного объекта с сетчатки также, как и изображения обычных предметов - стула или дома. Результатом является "пространственное изображение". На этом этапе нет разницы между невозможным трибаром и обычным стулом. Таким образом, невозможный трибар существует в глубинах нашего мозга на том же самом уровне, что и всех остальные объекты, окружающие нас. Отказ глаза подтвердить трехмерную "жизнеспособность" трибара в реальности никоим образом не уменьшает факта присутствия невозможного трибара у нас в голове.

В главе 1 мы встретились с невозможным объектом, чье тело исчезало в никуда. В карандашном рисунке "Пассажирский поезд" (рис. 11) Fons de Vogelaere тонко воспользовался тем же принципом с усиленной колонной в левой части картины. Если мы проследим взглядом по колонне сверху вниз, или закроем нижнюю часть картины, то увидим колонну, которая поддерживается четырьмя опорами (из которых видны только две). Однако, если посмотреть снизу на ту же колонну, то увидим достаточно широкий проем, сквозь который может проехать поезд. Твердые каменные блоки в то же самое время оказываются... тоньше воздуха!

Данный объект достаточно прост для категоризации, но оказывается достаточно сложным, когда мы начинаем его анализировать. Исследователи, такие как Broydrick Thro, показали, что само описание данного явления приводит к противоречиям. Конфликт в одной из границ. ГЛАЗ сначала просчитывает контуры, а затем собирает из них фигуры. Путаница возникает, когда контуры имеют сразу два назначения в двух разных фигурах или частях фигуры, как на рисунке 11.

Рисунок 9.

Аналогичная ситуация возникает и на рисунке 9. В данной фигуре линия контура l проявляется и как граница формы A и как граница формы B. Однако, она не является границей обеих форм одновременно. Если ваши глаза посмотрят сначала на верхнюю часть рисунка, то, опускаясь взглядом вниз, линия l будет восприниматься, как граница формы A и будет оставаться такой до тех пор, пока не обнаружится, что A – открытая фигура. В этой точке ГЛАЗ предлагает вторую интерпретацию для линии l , а именно, что она является границей формы B. Если последуем взглядом обратно вверх по линии l , то мы снова вернемся к первой интерпретации.

Если бы это было единственной двусмысленностью, то мы могли бы говорить о пиктографической двойственной фигуре. Но заключение осложняется дополнительными факторами, такими как явление исчезновения фигуры на фоне заднего плана, и, в особенности, пространственным представлением фигуры ГЛАЗом. В связи с этим в можете уже по-другому взглянуть рисунки 7,8 и 9 из главы 1 . Хотя эти типы фигур проявляют себя как настоящие пространственные объекты, мы можем временно назвать их невозможными объектами и описать их (но не объяснить) в следующих общих понятиях: ГЛАЗ вычисляет на основе этих объектов две различные взаимоисключающие трехмерные формы, которые, тем не менее, существуют одновременно. Это можно видеть на рисунке 11 в том, что, как нам кажется, представляет собой монолитную колонну. Однако, при повторном осмотре, она представляется открытой, с просторным промежутком посередине, через который, как показано на рисунке, может проехать поезд.

Рисунок 10. Arthur Stibbe, "In front and behind", картон/акрил, 50x50 см, 1986
Рисунок 11. Fons de Vogelaere, "Пассажирский поезд", рисунок карандашом, 80x98 см, 1984

Невозможный объект как парадокс

Рисунок 12. Oscar Reutersvärd, "Perspective japonaise n° 274 dda", раскрашенный рисунок тушью, 74x54 см

В начале данной главы мы увидели невозможный объект, как трехмерный парадокс, то есть изображение, чьи стереографические элементы входят в противоречие друг с другом. Перед тем, как исследовать данный парадокс глубже, необходимо понять, существует ли такое явление как пикторафический парадокс. На самом деле он существует – подумайте о русалках, сфинксах и других сказочных существах, часто встречающихся в изобразительном искусстве Средних веков и раннего Возрождения. Но в данном случае не работа ГЛАЗа нарушается таким пиктографическим уравнением, как женщина+рыба=русалка, а наши знания (в частности, знания биологии), согласно которым такая комбинация недопустима. Только там, где пространственные данные на изображении с сетчатки взаимно противоречат друг другу, возникает сбой "автоматической" обработки данных ГЛАЗом. ГЛАЗ не готов обрабатывать настолько странный материал, и мы свидетельствуем новый для нас зрительный опыт.

Рисунок 13a. Harry Turner, рисунок из серии "Paradoxical patterns", смешанная техника, 1973-78
Рисунок 13b. Harry Turner, "Corner", смешанная техника, 1978

Мы можем разделить пространственную информацию, содержащуюся в изображении с сетчатки глаза (когда смотрим только одним глазом) на два класса – природный и культурный. Первый класс содержит информацию, на которую культурная среда человека не оказывает никакого влияния, и которая также обнаруживается на картинах. К такой истинной "неиспорченной природе" относится следующее:

Объекты одинакового размера выглядят тем меньше, чем дальше они находятся. Это основной принцип линейной перспективы, которая играет главную роль в изобразительном искусстве со времен Возрождения;
Объект, который частично загораживает другой объект, находится ближе к нам;
Объекты или части объекта, соединенные друг с другом, находятся на одинаковом расстоянии от нас;
Объекты, находящиеся сравнительно далеко от нас, будут менее различимы и будут скрыты голубой дымкой пространственной перспективы;
Та сторона объекта, на которую падает свет, ярче, чем противоположная сторона, и тени указывают в направлении противоположном источнику света.

Рисунок 14. Zenon Kulpa, "Невозможные фигуры", тушь/бумага, 30x21 см, 1980

В культурном окружении два следующих фактора играют важную роль в нашей оценке пространства. Люди создали свое жилое пространство таким, что в нем преобладают прямые углы. Наша архитектура, мебель и многие инструменты, по существу, составлены из прямоугольников. Можно сказать, что мы упаковали наш мир к прямоугольную систему координат, в мир прямых линий и углов.

Рисунок 15. Mitsumasa Anno, "Сечение куба"
Рисунок 16. Mitsumasa Anno, "Сложная деревянная головоломка"
Figure 17. Monika Buch, "Синий куб", акрил/дерево, 80x80 см, 1976

Таким образом, наш второй класс пространственной информации - культурный, ясен и понятен:

Поверхность – это плоскость, которая продолжается до тех пор, пока другие детали не сообщат нам, что она не закончилась;
Углы, в которых встречаются три плоскости, определяют три основных направления, в связи с чем, зигзагообразные линии могут указывать на расширение или сужение.

Рисунок 18. Tamas Farcas, "Кристалл", irisated print, 40x29 см, 1980
Рисунок 19. Frans Erens, акварель, 1985

В нашем контексте, различие между природным и культурным окружением очень полезно. Наше зрительное чувство развивалось в природном окружении, и также оно имеет поразительную способность точно и безошибочно обрабатывать пространственную информацию из культурной категории.

Невозможные объекты (по крайней мере, бóльшая их часть) существуют благодаря наличию взаимно противоречащих друг другу пространственных утверждений. Например, на картине Жоса де Мея "Double-guarded gateway to the wintery Arcadia" (рис. 20), плоская поверхность, образующая верхнюю часть стены распадается внизу на несколько плоскостей, находящихся на разном расстоянии от наблюдателя. Впечатление о разных расстояниях также формируется перекрывающимися частями фигуры на картине Arthur Stibbe "In front and behind" (рис. 10), которые противоречат правилу плоской поверхности. На акварельном рисунке Frans Erens (рис. 19), полка, изображенная в перспективе, уменьшающимся в размере концом сообщает нам, что она расположена горизонтально, уходя вдаль от нас, и она также прикреплена к опорам таким образом, чтобы находиться вертикально. На картине "The five bearers" Fons de Vogelaere (рис. 21) мы будем ошеломлены количеством стереографических парадоксов. Хотя в картине не содержится парадоксальных перекрытий объектов, в ней много парадоксальных соединений. Представляет интерес способ, которым центральная фигура соединена с потолком. Пять фигур, подпирающих потолок, соединяют парапет и потолок настолько большим количеством парадоксальных соединений, что ГЛАЗ отправляется в бесконечный поиск точки, с которой лучше рассматривать их.

Рисунок 20. Jos de Mey, "Double-guarded gateway to the wintery Arcadia", холст/акрил, 60x70 cm, 1983
Рисунок 21. Fons de Vogelaere, "The five bearers", рисунок карандашом, 80x98 см, 1985

Вы можете подумать, что при помощи каждого возможного типа стереографического элемента, который появляется на картине, относительно просто составить систематический обзор невозможных фигур:

Те, что содержат элементы перспективы, находящие во взаимном конфликте;
Те, в который элементы перспективы в конфликте с пространственной информацией, указанной перекрывающимися элементами;
и т.д.

Однако, мы вскоре обнаружим, что не сможем обнаружить существующие примеры для многих таких конфликтов, в то время как некоторые невозможные объекты будет трудно вписать в подобную систему. Тем не менее, такая классификация позволит нам обнаружить еще много до сих пор неизвестных типов невозможных объектов.

Рисунок 22. Shigeo Fukuda, "Images of illusion", screenprint, 102x73 см, 1984

Определения

В заключение данной главы давайте попытаемся дать определение невозможным объектам.

В моей первой публикации о картинах с невозможными объектами М.К. Эшера, которая появилась примерно в 1960 году, я пришел к следующей формулировке: возможный объект всегда может рассматриваться как проекция - представление трехмерного объекта. Однако, в случае невозможных объектов, не существует трехмерного объекта, чьим представлением является данная проекция, и в данном случае мы можем называть невозможный объект – иллюзорным представлением. Данное определение является не только неполным, но и неправильным (к этому мы еще вернемся в главе 7), так как оно относится только математической стороне невозможных объектов.

Рисунок 23. Oscar Reutersvärd, "Cubic organization of space", раскрашенный рисунок тушью, 29x20.6 cm.
В действительности данное пространство не является заполненным, так как кубы большего размера не связаны с кубами меньшего размера.

Зенон Кульпа предлагает следующее определение: изображение невозможного объекта – это двухмерная фигура, создающее впечатление существующего трехмерного объекта, причем эта фигура не может существовать так, как мы ее пространственно интерпретируем; таким образом, любая попытка создать его ведет к (пространственным) противоречиям, которые отчетливо видны зрителю.

Последнее замечание Кульпы предлагает один практический путь выяснения, является ли объект невозможным или нет: просто попробуйте создать его самостоятельно. Вы вскоре увидите, возможно даже до начала конструирования, что вы не сможете этого сделать.

Я предпочел бы определение, которое подчеркивает, что ГЛАЗ при анализе невозможного объекта приходит к двум противоречивым заключениям. Мне больше нравится именно такое определение, так как оно охватывает причину этих взаимно конфликтующих заключений, и, кроме этого, разъясняет тот факт, что невозможность – это не математическое свойство фигуры, а свойство интерпретации фигуры зрителем.

На основании этого я предлагаю следующее определение:

Невозможный объект обладает двухмерным представлением, которое ГЛАЗ интерпретирует как трехмерных объект, причем в то же время ГЛАЗ определяет, что данный объект не может быть трехмерным, так как пространственная информация, содержащаяся в фигуре, - противоречива.

Рисунок 24. Oscar Reutersväird, "Impossible four-bar with Crossbars"
Рисунок 25. Bruno Ernst, "Mixed illusions", фотография, 1985

Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах "Бельведер" (1958), "Восхождение и спуск" (1960) и "Водопад" (1961). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса.

Иштван Орос "Перекрестки" (1999). Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

Лента Мебиуса

Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах "Всадники" (1946), "Лента Мебиуса II (Красные мурвьи)" (1963) и "Узлы" (1965).

«Узлы» - Мауриц Корнелис Эшер 1965 год

Позднее, поверхности минимальной энергии стали вдохновением для многих математических художников. Брент Коллинз, использует ленты Мебиуса и поверхности минимальной энергии, а также другие виды абстракций в скульптуре.

Искаженные и необычные перспективы

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область - анаморфное искусство. Эшер использовал искаженную перспективу в нескольких своих работах "Наверху и внизу" (1947), "Дом лестниц" (1951) и "Картинная галерея" (1956). Дик Термес использует шеститочечную перспективу для рисования сцен на сферах и многогранниках, как показано на примере ниже.

Дик Термес "Клетка для человека" (1978). Это разукрашенная сфера, в процессе создания которой использовалась шеститочечная перспектива. На ней изображения геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.

Слово анаморфный (anamorthic) сформировано из двух греческих слов "ana" (снова) и morthe (форма). К анаморфным относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение "формируется снова" в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальном при обзоре под углом. Известный премер - картина Ханса Хольбейна (Hans Holbein) "Послы" ("The Ambassadors") (1533), в которой изображен вытянутый череп. Картина может быть наклонена в верхней части лестницы так, что люди, поднимающиеся по лестнице будут напуганы изображением черепа. Анаморфные картины, для просмотра которых необходимы цилиндрические зеркала, были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках. Часто такие изображения несли сообщения политического протеста или были эротического содержания. Эшер не использовал в своей работе классические анаморфные зеркала, однако, в некоторых своих картинах он использовал сферические зеркала. Самая известная его работа в этом стиле "Рука с отражающей сферой" (1935). Пример ниже показывает классическое анаморфное изображение работы Иштвана Ороса.

Иштван Орос "Колодец" (1998). Картина "Колодец" полученая печаться с гравюры по металлу. Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как о прогулся по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани (Atrani) на побережье Амалфи (Amalfi) в Италии. Эшер любил это место и прожил там некоторое время. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии "Метаморфозы". Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера.

Наши глаза познавать не умеют
природу предметов.
А потому не навязывай им
заблуждений рассудка.

Тит Лукреций Кар

Расхожее выражение «обман зрения» по сути своей неверно. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются только промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман зрения обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что бессознательно рассуждаем и невольно заблуждаемся: «посредством глаза, а не глазом смотреть на мир умеет разум».

Одним из наиболее эффектных направлений художественного течения оптического искусства (op-art) является имп-арт (imp-art, impossible art), основанный на изображении невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (любая плоскость двухмерна), изображающие трехмерные структуры, существование которых в реальном трехмерном мире невозможно. Классической и одной из самых простых фигур является невозможный треугольник.

В невозможном треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и к зрителю, и от него, поэтому отдельные его части не могут образовать реальный трехмерный объект.

Собственно говоря, наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трехмерную модель. Сознание задает «глубину», на которой находится каждая точка изображения. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с некоей непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения:

прямые двухмерные линии интерпретируются как прямые трехмерные линии;
двухмерные параллельные линии интерпретируются как трехмерные параллельные линии;
острые и тупые углы интерпретируются как прямые углы в перспективе;
внешние линии рассматриваются как граница формы. Эта внешняя граница чрезвычайно важна для построения полного изображения.

Человеческое сознание сначала создает общее изображение предмета, а затем рассматривает отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, воссоединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника, то невозможность пропадает.

История невозможных фигур

Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvard), нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.

Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников.

Невозможный куб

В 1961 г. голландец М. Эшер (Maurits C. Escher), вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию «Водопад». Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу.

С тех пор невозможный треугольник не раз использовался в работах других мастеров. Помимо уже упомянутых можно назвать бельгийца Жоса де Мея (Jos de Mey), швейцарца Сандро дель Пре (Sandro del Prete) и венгра Иштвана Ороса (Istvan Orosz).

Как из отдельных пикселов на экране формируются изображения, так и из основных геометрических фигур можно создавать объекты невозможной реальности. Например, рисунок «Москва», на котором изображена не совсем обычная схема московского метрополитена. Сначала мы воспринимаем изображение целиком, но прослеживая взглядом отдельные линии, убеждаемся в невозможности их существования.

На рисунке «Три улитки» маленький и большой кубы ориентированы не в нормальной изометрической проекции. Меньший по размерам куб сопрягается с большим по передним и задним сторонам, а значит, следуя трехмерной логике, он имеет такие же размеры некоторых сторон, что и большой. Сначала рисунок кажется реальным представлением твердого тела, но по мере анализа выявляются логические противоречия этого объекта.

Рисунок «Три улитки» продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры - невозможного куба (ящика).

Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке «IQ» (intelligence quotient - коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.

Дональд Е. Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры. С философской точки зрения они служат напоминанием о том, что любые явления (в системном анализе, науке, политике, экономике и т. д.) следует рассматривать во всех сложных и неочевидных взаимосвязях.

Разнообразные невозможные (и возможные) объекты представлены на картине «Невозможный алфавит».

Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Вверх и вниз» («Ascending and Descending»).

Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка».

При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта.

Ресурсы Интернета о невозможных объектах

Кандидат технических наук Д. РАКОВ (Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН).

Существует большой класс изображений, про которые можно сказать: "Что видим? Нечто странное" . Это и рисунки с искаженной перспективой, и невозможные в нашем трехмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. Появившись в начале XI века, такие "странные" рисунки и фотографии сегодня стали целым направлением искусства, именуемого имп-артом.

Вильям Хогард. "Невозможная перспектива", где намеренно сделано по меньшей мере четырнадцать ошибок в перспективе.

Мадонна с младенцем. 1025 год.

Питер Брейгель. "Сорока на виселице". 1568 год.

Оскар Рутесвард. "Opus 1" (№293aa). 1934 год.

Оскар Рутесвард. "Opus 2В". 1940 год.

Мауриц Корнелиус Эшер. "Восхождение и спуск".

Роджер Пенроуз. "Невозможный треугольник". 1954 год.

Построение "невозможного треугольника".

Скульптура "Невозможный треугольник", вид с разных сторон. Она построена из криволинейных элементов и выглядит невозможной только из одной точки.

Илл. 1. Морфологическая таблица классификации невозможных объектов.

Человек начинает осмотр картины с нижнего левого угла (1), затем переводит взгляд сначала к середине (2), а потом в точку 3.

В зависимости от направления взгляда мы видим разные объекты.

Невозможный алфавит - комбинация из возможных и невозможных фигур, среди которых есть даже элемент рамки. Рисунок автора.

Наука и жизнь // Иллюстрации

"Москва" (схема линий метрополитена) и "Две линии судьбы". Рисунки автора; компьютерная обработка. 2003 год. Рисунки демонстрируют новые возможности для построения схем и графиков.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Куб в кубе ("Три улитки"). Повернутое изображение обладает большей степенью "невозможности", чем исходное.

"Чертова вилка". На основе этой фигуры создано множество невозможных изображений.

Что мы видим - пирамиду или проем?

Немного истории

Изображения невозможных фигур, не как сознательное направление в живописи, а как приемы, усиливающие эффект от восприятия изображения, встречаются у ряда живописцев Средних веков. На полотне Питера Брейгеля (Pieter Breughel) "Сорока на виселице", созданном в 1568 году, видна виселица невозможной конструкции, которая придает эффект всей картине в целом. На широко известной гравюре английского художника XVIII века Вильяма Хогарта (William Hogarth) "Фальшивая перспектива" показано, к какому абсурду может привести художника незнание законов перспективы.

В начале XX века художник Марсель Дюшамп (Marcel Duchamp) нарисовал рекламную картину "Apolinere enameled" (1916-1917), хранящуюся в Филадельфийском музее искусства. В конструкции кровати на полотне можно разглядеть невозможные трех- и четырехугольники.

Основателем направления невозможного искусства - имп-арта (imp-art, impossible art) по праву называют шведского художника Оскара Рутесварда (Oscar Reutersvard). Первая невозможная фигура "Opus 1" (N 293aa) нарисована мастером в 1934 году. Треугольник составлен из девяти кубиков. Опыты с необычными объектами художник продолжил и в 1940 году создал фигуру "Opus 2B", представляющую собой редуцированный невозможный треугольник, состоящий всего из трех кубиков. Все кубики реальны, но их расположение в трехмерном пространстве невозможно.

Этот же художник создал и прототип "невозможной лестницы" (1950). Самую известную классическую фигуру "Невозможный треугольник" английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) сотворил в 1954 году. Он использовал линейную перспективу, а не параллельную, как Рутесвард, что придало картине глубину и выразительность и, следовательно, большую степень невозможности.

Наиболее известным художником имп-арта стал М. К. Эшер (M. C. Escher). Среди наиболее известных его произведений - картины "Водопад" ("Waterfall") (1961) и "Восхождение и спуск" ("Ascending and Descending"). Художник использовал эффект "бесконечной лестницы", открытый Рутесвардом и в дальнейшем дополненный Пенроузом. На полотне изображены два ряда человечков: при движении по часовой стрелке человечки постоянно поднимаются, а при движении против часовой стрелки спускаются.

Немного геометрии

Существует множество способов создания оптических иллюзий (от латинского слова "iliusio" - ошибка, заблуждение - неадекватное восприятие предмета и его свойств). Одним из наиболее эффектных является направление имп-арта, основанное на изображениях невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (двухмерные изображения), исполненные так, что у зрителя создается впечатление о невозможности существования подобной структуры в нашем реальном трехмерном мире. Классическая, как уже говорилось, и одна из самых простых подобных фигур - невозможный треугольник. Каждая часть фигуры (углы треугольника) по отдельности существует в нашем мире, но их комбинация в трехмерном пространстве невозможна. Восприятие всей фигуры как композиции неправильных соединений между ее реальными частями ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. Взгляд скользит по граням невозможной фигуры и не способен воспринять ее как логическое целое. В действительности взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру (см. рисунок), но наталкивается на несоответствие.

С геометрической точки зрения невозможность треугольника состоит в том, что три балки, соединенные попарно одна с другой, но по трем разным осям декартовой системы координат, образуют замкнутую фигуру!

Процесс восприятия невозможных объектов делится на два этапа: опознание фигуры как трехмерного объекта и осознание "неправильности" объекта и невозможности его существования в трехмерном мире.

Существование невозможных фигур

Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги - это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций (трехмерных объектов). Существует множество способов их создания. Один из них - использование кривых линий в качестве сторон невозможного тре-угольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута - создан реальный "невозможный " объект.

О пользе имп-арта

Оскар Рутесвард рассказывает в книге "Omojliga figurer" (есть русский перевод) об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога. Вспоминая, сколько времени приходится ждать приема в различного рода российских бюрократических и иных заведениях, можно предположить, что невозможные картины на стенах приемных могут скрашивать время ожидания, успокаивая посетителей и тем самым снижая социальную агрессию. Другим вариантом была бы установка в приемных игровых автоматов или, к примеру, манекенов с соответствующими физиономиями в качестве мишеней для дартса, но, к сожалению, подобного рода новации в России никогда не поощрялись.

Использование феномена восприятия

Можно ли как-нибудь усилить эффект невозможности? "Невозможнее" ли одни объекты, чем другие? И тут на помощь приходят особенности человеческого восприятия. Психологами установлено, что глаз начинает осмотр объекта (картины) с левого нижнего угла, затем взгляд скользит направо к центру и опускается в правый нижний угол картины. Такая траектория, возможно, связана с тем, что наши предки при встрече с противником сначала смотрели на самую опасную правую руку, а затем взгляд перемещался влево, на лицо и фигуру. Таким образом, художественное восприятие будет существенно зависеть от того, как строится композиция картины. Эта особенность в Средние века ярко проявилась при изготовлении гобеленов: их рисунок был зеркальным отражением оригинала, и впечатление, которое производят гобелены и оригиналы, различается.

Данное свойство можно с успехом использовать при создании творений с невозможными объектами, увеличивая или уменьшая "степень невозможности". Открывается также перспектива получать интересные композиции с использованием компьютерных технологий либо из нескольких картин, повернутых (может быть, с использованием различного вида симметрий) одна относительно другой, создающих у зрителей различное впечатление от объекта и более глубокое понимание сущности замысла, либо из одной, поворачивающейся (постоянно или рывками) при помощи нехитрого механизма на некоторые углы.

Такое направление можно назвать полигональным (многоугольным). На иллюстрациях представлены изображения, повернутые одно относительно другого. Композиция создавалась следующим образом: рисунок на бумаге, выполненный тушью и карандашом, сканировался, переводился в цифровую форму и обрабатывался в графическом редакторе. Можно отметить закономерность - повернутая картинка обладает большей "степенью невозможности", чем исходная. Это легко объяснимо: художник в процессе работы подсознательно стремится создать "правильное" изображение.

Комбинации, комбинации

Существует группа невозможных объектов, скульптурная реализация которых невозможна. Самая, пожалуй, известная из них - "невозможный трезубец", или "чертова вилка" (Р3-1). Если внимательно присмотреться к объекту, можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на общем основании, приводя к конфликту восприятия. Мы сравниваем число зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта. На основе "вилки" создано великое множество невозможных объектов, в том числе таких, где цилиндрическая на одном конце деталь становится квадратной на другом.

Помимо этой иллюзии существует много других видов оптических обманов зрения (иллюзии размера, движения, цвета и т.д.). Иллюзия восприятия глубины - одна из самых давнишних и известных оптических иллюзий. К этой группе принадлежит куб Неккера (1832), а в 1895 году Арманд Тьерри (Armand Thiery) опубликовал статью об особом виде невозможных фигур. В этой статье впервые нарисован объект, впоследствии получивший имя Тьерри и бесчисленное множество раз использованный художниками оп-арта. Объект состоит из пяти одинаковых ромбов со сторонами 60 и 120 градусов. На рисунке можно увидеть два куба, соединенные по одной поверхности. Если вести взгляд снизу вверх, отчетливо виден нижний куб с двумя стенками вверху, а если вести взгляд сверху вниз - верхний куб со стенками внизу.

Самая простая фигура из Тьерри-подобных - это, по-видимому, иллюзия "пирамида-проем" , представляющая собой правильный ромб с линией посередине. Нельзя сказать точно, что мы видим - пирамиду, возвышающуюся над поверхностью, или проем (впадину) на ней. Этот эффект использован в графике "Лабиринт (План пирамиды)" 2003 года. Картина получила диплом на международной математической конференции и выставке в Будапеште в 2003 году "Ars(Dis)Symmetrica"03". В работе использованы сочетания иллюзии восприятия глубины и невозможных фигур.

В заключение можно сказать, что направление имп-арт как составная часть оптического искусства активно развивается, и в ближайшее время нас, несомненно, ожидают новые открытия в этой области.

ЛИТЕРАТУРА

Рутесвард О. Невозможные фигуры. - М.: Стройиздат, 1990.

Подписи к иллюстрациям

Илл. 1. Таблица, построенная автором статьи, не претендует на полноту и строгий порядок, но дает возможность оценить все многообразие невозможных фигур. В таблице более 300 тысяч комбинаций различных элементов. В качестве иллюстраций использована графика автора статьи и материалы сайта Влада Алексеева.