Нахождение угла между прямой и плоскостью. Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости

Статья начинается с определение угла между прямой и плоскостью. В данной статье будет показано нахождение угла между прямой и плоскостью методом координат. Подробно будут рассмотрены решение примеров и задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Предварительно необходимо повторить понятие о прямой линии в пространстве и понятие плоскости. Для определения угла между прямой и плоскостью необходимый несколько вспомогательных определений. Рассмотрим эти определения подробно.

Определение 1

Прямая и плоскость пересекаются в том случае, когда они имеют одну общую точку, то есть она является точкой пересечения прямой и плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, может являться перпендикулярной относительно плоскости.

Определение 2

Прямая является перпендикулярной к плоскости , когда она перпендикулярна любой прямой, находящейся в этой плоскости.

Определение 3

Проекция точки M на плоскость γ является сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо является точкой пересечения плоскости с прямой, перпендикулярной плоскости γ , проходящей через точку M , при условии, что она не принадлежит плоскости γ .

Определение 4

Проекция прямой а на плоскость γ - это множество проекций всех точек заданной прямой на плоскость.

Отсюда получаем, что перпендикулярная к плоскости γ проекция прямой имеет точку пересечения. Получаем, что проекция прямой a – это прямая, принадлежащая плоскости γ и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

На данный момент имеем все необходимые сведения и данные для формулировки определения угла между прямой и плоскостью

Определение 5

Углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, причем прямая не перпендикулярна к ней.

Определение угла, приведенное выше, помогает прийти к выводу о том, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми, то есть заданной прямой вместе с ее проекцией на плоскость. Значит, угол между ними всегда будет острым. Рассмотрим на картинке, приведенной ниже.

Угол, расположенный между прямой и плоскостью, считается прямым, то есть равным 90 градусов, а угол, расположенный между параллельными прямыми, не определяется. Бывают случаи, когда его значение берется равным нулю.

Задачи, где необходимо найти угол между прямой и плоскостью, имеет множество вариация решения. Ход самого решения зависит от имеющихся данных по условию. Частыми спутниками решения являются признаки подобия или равенства фигур, косинусы, синусы, тангенсы углов. Нахождение угла возможно при помощи метода координат. Рассмотрим его более детально.

Если в трехмерном пространстве вводится прямоугольная система координат О х у z , тогда в ней задается прямая a , пересекающая плоскость γ в точке M , причем она не перпендикулярна плоскости. Необходимо найти угол α , находящийся между заданной прямой и плоскостью.

Для начала необходимо применить определение угла между прямой и плоскостью методом координат. Тогда получим следующее.

В системе координат О х у z задается прямая a , которой соответствуют уравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямой пространства, для плоскости γ соответствует уравнение плоскости и нормальный вектор плоскости. Тогда a → = (a x , a y , a z) является направляющим вектором заданной прямой a , а n → (n x , n y , n z) - нормальным вектором для плоскости γ . Если представить, что у нас имеются координаты направляющего вектора прямой a и нормального вектора плоскости γ , тогда известны их уравнения, то есть заданы по условию, тогда есть возможность определения векторов a → и n → , исходя из уравнения.

Для вычисления угла необходимо преобразовать формулу, позволяющую получить значение этого угла при помощи имеющихся координат направляющего вектора прямой и нормального вектора.

Необходимо отложить векторы a → и n → , начиная от точки пересечения прямой a с плоскостью γ . Существуют 4 варианта расположения этих векторов относительно заданных прямых и плоскости. Рассмотри рисунок, приведенный ниже, на котором имеются все 4 вариации.

Отсюда получаем, что угол между векторами a → и n → имеет обозначение a → , n → ^ и является острым, тогда искомый угол α , располагающийся между прямой и плоскостью, дополняется, то есть получаем выражение вида a → , n → ^ = 90 ° - α . Когда по условию a → , n → ^ > 90 ° , тогда имеем a → , n → ^ = 90 ° + α .

Отсюда имеем, что косинусы равных углов являются равными, тогда последние равенства записываются в виде системы

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^ < 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ > 90 °

Необходимо использовать формулы приведения для упрощения выражений. Тогда получим равенства вида cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^ < 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ > 90 ° .

Проведя преобразования, система приобретает вид sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ < 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ < 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Отсюда получим, что синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором заданной плоскости.

Раздел нахождения угла, образованного двумя векторами, выявили, что этот угол принимает значение скалярного произведения векторов и произведения этих длин. Процесс вычисления синуса угла, полученного пересечением прямой и плоскости, выполняется по формуле

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → · n → = a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2

Значит, формулой для вычисления угла между прямой и плоскостью с координатами направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости после преобразования получается вида

α = a r c sin a → , n → ^ a → · n → = a r c sin a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2

Нахождение косинуса при известном синусе позволительно, применив основное тригонометрическое тождество. Пересечение прямой и плоскости образует острый угол. Это говорит о том, что его значение будет являться положительным числом, а его вычисление производится из формулы cos α = 1 - sin α .

Выполним решение нескольких подобных примеров для закрепления материала.

Пример 1

Найти угол, синус, косинус угла, образованного прямой x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 и плоскостью 2 x + z - 1 = 0 .

Решение

Для получения координат направляющего вектора необходимо рассмотреть канонические уравнения прямой в пространстве. Тогда получим, что a → = (3 , - 2 , 6) является направляющим вектором прямой x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 .

Для нахождения координат нормального вектора необходимо рассмотреть общее уравнение плоскости, так как их наличие определяется коэффициентами, имеющимися перед переменными уравнения. Тогда получим, что для плоскости 2 x + z - 1 = 0 нормальный вектор имеет вид n → = (2 , 0 , 1) .

Необходимо перейти к вычислению синуса угла между прямой и плоскостью. Для этого необходимо произвести подстановку координат векторов a → и b → в заданную формулу. Получаем выражение вида

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → · n → = a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 · 2 + (- 2) · 0 + 6 · 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 · 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Отсюда найдем значение косинуса и значение самого угла. Получим:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Ответ: sin α = 12 7 5 , cos α = 101 7 5 , α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5 .

Пример 2

Имеется пирамида, построенная при помощи значений векторов A B → = 1 , 0 , 2 , A C → = (- 1 , 3 , 0) , A D → = 4 , 1 , 1 . Найти угол между прямой A D и плоскостью А В С.

Решение

Для вычисления искомого угла, необходимо иметь значения координат направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. для прямой A D направляющий вектор имеет координаты A D → = 4 , 1 , 1 .

Нормальный вектор n → , принадлежащий плоскости А В С, является перпендикулярным вектору A B → и A C → . Это подразумевает то, что нормальным вектором плоскости А В С можно считать векторное произведение векторов A B → и A C → . Вычислим это по формуле и получим:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3)

Необходимо произвести подстановку координат векторов для вычисления искомого угла, образованного пересечением прямой и плоскости. получим выражение вида:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

Ответ: a r c sin 23 21 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Понятие угла между прямой и плоскостью можно ввести для любого взаимного расположения прямой и плоскости.

Если прямая l перпендикулярна плоскости, то угол между l и считается равным 90 .

Если прямая l параллельна плоскости или лежит в этой плоскости, то угол между l и считается равным нулю.

Если прямая l является наклонной к плоскости, то угол между l и это угол " между прямой l и её проекцией p на плоскость (рис. 39 ).

Рис. 39. Угол между прямой и плоскостью

Итак, запомним определение для этого нетривиального случая: если прямая является наклонной, то угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой

и её проекцией на данную плоскость.

7.1 Примеры решения задач

Разберём три задачи, расположенные по возрастанию сложности. Третья задача уровень C2 на ЕГЭ по математике.

Задача 1. В правильном тетраэдре найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Решение. Пусть ABCD правильный тетраэдр с реб-
ром a (рис. 40 ). Найдём угол между AD и плоскостью
Проведём высоту DH. Проекцией прямой AD на
плоскость ABC служит прямая AH. Поэтому искомый
угол " есть угол между прямыми AD и AH.
Отрезок AH есть радиус окружности, описанной
вокруг треугольника ABC:
		AH = p
Теперь из прямоугольного треугольника ADH:
										Рис. 40. К задаче 1
		cos " = AD =p
Ответ: arccos p

Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1 боковое ребро равно стороне основания. Найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABC1 .

Решение. Угол между прямой и плоскостью не изменится при параллельном сдвиге прямой. Поскольку CC1 параллельна AA1 , искомый угол " есть угол между прямой CC1 и плоскостью ABC1 (рис.41 ).

B 1"

Рис. 41. К задаче 2

Пусть M середина AB. Проведём высоту CH в треугольнике CC1 M. Покажем, что CH перпендикуляр к плоскости ABC1 . Для этого нужно предъявить две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные CH.

Первая прямая очевидна это C1 M. В самом деле, CH ? C1 M по построению.

Вторая прямая это AB. Действительно, проекцией наклонной CH на плоскость ABC служит прямая CM; при этом AB ? CM. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует тогда, что AB ? CH.

Итак, CH ? ABC1 . Стало быть, угол между CC1 и ABC1 есть " = \CC1 H. Величину CH найдём из соотношения

C1 M CH = CC1 CM

(обе части этого соотношения равны удвоенной площади треугольника CC1 M). Имеем:

CM = a 2 3 ;

Остаётся найти угол ":

Ответ: arcsin 3 7 .

C1 M =q CC1 2 + CM2 =r

a2 +4

CH = a

CH = ar

sin " = CH =3 : CC1 7

Задача 3. На ребре A1 B1 куба ABCDA1 B1 C1 D1 взята точка K так, что A1 K: KB1 = 3: 1. Найдите угол между прямой AK и плоскостью BC1 D1 .

Решение. Сделав чертёж (рис. 42 , слева), мы понимаем, что нужны дополнительные построения.

		K B 1
			Рис. 42. К задаче 3

Во-первых, заметим, что прямая AB лежит в плоскости BC1 D1 (поскольку AB k C1 D1 ). Во-вторых, проведём B1 M параллельно AK (рис.42 , справа). Проведём также B1 C, и пусть N есть точка пересечения B1 C и BC1 .

Покажем, что прямая B1 C перпендикулярна плоскости BC1 D1 . В самом деле:

1) B 1 C ? BC1 (как диагонали квадрата);

2) B 1 C ? AB по теореме о трёх перпендикулярах (ведь AB перпендикулярна прямой BC проекции наклонной B1 C на плоскость ABC).

Таким образом, B1 C перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BC1 D1 ; следовательно, B1 C ? BC1 D1 . Поэтому проекцией прямой MB

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

\(\blacktriangleright\) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (т.е. это угол \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\) ).

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\) ), нужно:

Шаг 1: из какой-то точки \(A\in a\) провести перпендикуляр \(AO\) на плоскость \(\phi\) (\(O\) – основание перпендикуляра);

Шаг 2: тогда \(BO\) – проекция наклонной \(AB\) на плоскость \(\phi\) ;

Шаг 3: тогда угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\phi\) равен \(\angle ABO\) .

Задание 1 #2850

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая \(l\) пересекает плоскость \(\alpha\) . На прямой \(l\) отмечен отрезок \(AB=25\) , причем известно, что проекция этого отрезка на плоскость \(\alpha\) равна \(24\) . Найдите синус угла между прямой \(l\) и плоскостью \(\alpha\)

Рассмотрим рисунок:

Пусть \(A_1B_1=24\) – проекция \(AB\) на плоскость \(\alpha\) , значит, \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Так как две прямые, перпендикулярные к плоскости, лежат в одной плоскости, то \(A_1ABB_1\) – прямоугольная трапеция. Проведем \(AH\perp BB_1\) . Тогда \(AH=A_1B_1=24\) . Следовательно, по теореме Пифагора \ Заметим также, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, искомый угол – угол между \(AB\) и \(A_1B_1\) . Так как \(AH\parallel A_1B_1\) , то угол между \(AB\) и \(A_1B_1\) равен углу между \(AB\) и \(AH\) .
Тогда \[\sin\angle BAH=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac7{25}=0,28.\]

Ответ: 0,28

Задание 2 #2851

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABC\) – правильный треугольник со стороной \(3\) , \(O\) – точка, лежащая вне плоскости треугольника, причем \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Найдите угол, который образуют прямые \(OA, OB, OC\) с плоскостью треугольника. Ответ дайте в градусах.

Проведем перпендикуляр \(OH\) на плоскость треугольника.

Рассмотрим \(\triangle OAH, \triangle OBH, \triangle OCH\) . Они являются прямоугольными и равны по катету и гипотенузе. Следовательно, \(AH=BH=CH\) . Значит, \(H\) – точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от вершин треугольника \(ABC\) . Следовательно, \(H\) – центр описанной около него окружности. Так как \(\triangle ABC\) – правильный, то \(H\) – точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы).
Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а \(AH\) – проекция \(AO\) на плоскость треугольника, то угол между \(AO\) и плоскостью треугольника равен \(\angle OAH\) .
Пусть \(AA_1\) – медиана в \(\triangle ABC\) , следовательно, \ Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины, то \ Тогда из прямоугольного \(\triangle OAH\) :\[\cos OAH=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

Заметим, что из равенства треугольников \(OAH, OBH, OCH\) следует, что \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\) .

Ответ: 60

Задание 3 #2852

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая \(l\) перпендикулярна плоскости \(\pi\) . Прямая \(p\) не лежит в плоскости \(\pi\) и не параллельна ей, также не параллельна прямой \(l\) . Найдите сумму углов между прямыми \(p\) и \(l\) и между прямой \(p\) и плоскостью \(\pi\) . Ответ дайте в градусах.

Из условия следует, что прямая \(p\) пересекает плоскостью \(\pi\) . Пусть \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .

Тогда \(\angle POL\) – угол между прямыми \(p\) и \(l\) .
Так как угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то \(\angle OPL\) – угол между \(p\) и \(\pi\) . Заметим, что \(\triangle OPL\) прямоугольный с \(\angle L=90^\circ\) . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\) , то \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\) .

Замечание.
Если прямая \(p\) не пересекает прямую \(l\) , то проведем прямую \(p"\parallel p\) , пересекающую \(l\) . Тогда угол между прямой \(p\) и \(l\) будет равен углу между \(p"\) и \(l\) . Аналогично угол между \(p\) и \(\pi\) будет равен углу между \(p"\) и \(\pi\) . А для прямой \(p"\) уже верно предыдущее решение.

Ответ: 90

Задание 4 #2905

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1\) , а точка \(M\) – середина отрезка \(BD\) . Найдите \(\mathrm{tg}^2\, \alpha\) , где \(\alpha\) – угол между прямой, содержащей \(MN\) , и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) . Ответ дайте в градусах.

\(NM\) – средняя линия в треугольнике \(DBB_1\) , тогда \(NM \parallel B_1D\) и \(\alpha\) равен углу между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) .

Так как \(DD_1\) – перпендикуляр к плоскости \(A_1B_1C_1D_1\) , то \(B_1D_1\) проекция \(B_1D\) на плоскость \((A_1B_1C_1D_1)\) и угол между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) есть угол между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) .

Пусть ребро куба \(x\) , тогда по теореме Пифагора \ В треугольнике \(B_1D_1D\) тангенс угла между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) равен \(\mathrm{tg}\,\angle DB_1D_1=\dfrac{DD_1}{B_1D_1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\mathrm{tg}\,\alpha\) , откуда \(\mathrm{tg}^2\, \alpha = \dfrac{1}{2}\) .

Ответ: 0,5

Задание 5 #2906

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1\) , а точка \(M\) делит отрезок \(BD\) в отношении \(1:2\) , считая от вершины \(B\) . Найдите \(9\mathrm{ctg}^2\, \alpha\) , где \(\alpha\) – угол между прямой, содержащей \(MN\) , и плоскостью \((ABC)\) . Ответ дайте в градусах.

Так как \(NB\) – часть \(BB_1\) , а \(BB_1\perp (ABC)\) , то и \(NB\perp (ABC)\) . Следовательно, \(BM\) – проекция \(NM\) на плоскость \((ABC)\) . Значит, угол \(\alpha\) равен \(\angle NMB\) .

Пусть ребро куба равно \(x\) . Тогда \(NB=0,5x\) . По теореме Пифагора \(BD=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2x\) . Так как по условию \(BM:MD=1:2\) , то \(BM=\frac13BD\) , следовательно, \(BM=\frac{\sqrt2}3x\) .

Тогда из прямоугольного \(\triangle NBM\) : \[\mathrm{ctg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\angle NMB=\dfrac{BM}{NB}=\dfrac{2\sqrt2}3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm{ctg}^2\,\alpha=8.\]

Ответ: 8

Задание 6 #2907

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Чему равен \(\mathrm{ctg^2}\,\alpha\) , если \(\alpha\) – угол наклона диагонали куба к одной из его граней?

Искомый угол будет совпадать с углом между диагональю куба и диагональю любой его грани, т.к. в данном случае диагональ куба будет являться наклонной, диагональ грани – проекцией этой наклонной на плоскость грани. Таким образом, искомый угол будет равен, например, углу \(C_1AC\) . Eсли обозначить ребро куба за \(x\) , то \(AC=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2 x\) , тогда квадрат котангенса искомого угла: \[\mathrm{ctg^2}\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

Ответ: 2

Задание 7 #2849

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
По теореме Пифагора \ Следовательно, \[\cos 30^\circ=\dfrac{AB}{AH}\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac{AB}{\cos 30^\circ}=2.\] Так как \(OH\perp (ABC)\) , то \(OH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(\triangle OAH\) – прямоугольный. Тогда \[\cos \angle OAH=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac25=0,4.\]

Ответ: 0,4

Учащимся старших классов на этапе подготовки к ЕГЭ по математике будет полезно научиться справляться с заданиями из раздела «Геометрия в пространстве», в которых требуется найти угол между прямой и плоскостью. Опыт прошлых лет показывает, что подобные задачи вызывают у выпускников определенные сложности. При этом знать базовую теорию и понимать, как найти угол между прямой и плоскостью, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение достойных баллов.

Основные нюансы

Как и другие стереометрические задачи ЕГЭ, задания, в которых требуется найти углы и расстояния между прямыми и плоскостями, могут быть решены двумя методами: геометрическим и алгебраическим. Учащиеся могут выбрать наиболее удобный для себя вариант. Согласно геометрическому методу, необходимо найти на прямой подходящую точку, опустить из нее перпендикуляр на плоскость и построить проекцию. После этого выпускнику останется применить базовые теоретические знания и решить планиметрическую задачу на вычисление угла. Алгебраический метод предполагает введение системы координат для нахождения искомой величины. Необходимо определить координаты двух точек на прямой, правильно составить уравнение плоскости и решить его.

Эффективная подготовка вместе со «Школково»

Чтобы занятия проходили легко и даже сложные задания не вызывали затруднений, выбирайте наш образовательный портал. Здесь представлен весь необходимый материал для успешной сдачи аттестационного испытания. Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». А для того чтобы попрактиковаться в выполнении заданий, достаточно перейти в «Каталог» на нашем математическом портале. В этом разделе собрана большая подборка упражнений разной степени сложности. В «Каталоге» регулярно появляются новые задания.

Выполнять задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью или на , российские школьники могут в режиме онлайн, находясь в Москве или другом городе. По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Это позволит при необходимости быстро его найти и обсудить ход его решения с преподавателем.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим