Нашето здраве 

Как да направите пропорция правилно. Как да изчислим пропорцията. Как да решим задача с помощта на пропорция

Просто казано, това са зеленчуци, приготвени във вода по специална рецепта. Ще разгледам два първоначални компонента (зеленчукова салата и вода) и крайния резултат - борш. Геометрично може да се разглежда като правоъгълник, като едната страна представлява маруля, а другата страна представлява вода. Сумата от тези две страни ще покаже борш. Диагоналът и площта на такъв правоъгълник „борш“ са чисто математически понятия и никога не се използват в рецепти за борш.


Как марулята и водата се превръщат в борш от математическа гледна точка? Как сумата от две отсечки може да стане тригонометрия? За да разберем това, имаме нужда от линейни ъглови функции.


В учебниците по математика няма да намерите нищо за линейни ъглови функции. Но без тях не може да има математика. Законите на математиката, както и законите на природата, работят независимо дали знаем за тяхното съществуване или не.

Линейните ъглови функции са закони на добавяне.Вижте как алгебрата се превръща в геометрия и как геометрията се превръща в тригонометрия.

Възможно ли е без линейни ъглови функции? Възможно е, защото математиците все още се справят без тях. Номерът на математиците е, че те винаги ни казват само за онези проблеми, които самите те знаят как да решат, и никога не ни казват за онези проблеми, които не могат да решат. Виж. Ако знаем резултата от събирането и един член, използваме изваждане, за да намерим другия член. Всичко. Ние не знаем други проблеми и не знаем как да ги решим. Какво трябва да направим, ако знаем само резултата от събирането и не знаем и двата члена? В този случай резултатът от събирането трябва да се разложи на два члена с помощта на линейни ъглови функции. След това ние сами избираме какъв може да бъде един член, а линейните ъглови функции показват какъв трябва да бъде вторият член, така че резултатът от добавянето да е точно това, от което се нуждаем. Може да има безкраен брой такива двойки термини. В ежедневието се справяме добре, без да разлагаме сумата; изваждането ни е достатъчно. Но в научните изследвания на законите на природата, разлагането на сума на нейните компоненти може да бъде много полезно.

Друг закон за добавяне, за който математиците не обичат да говорят (още един техен трик) изисква членовете да имат еднакви мерни единици. За салата, вода и борш това могат да бъдат единици за тегло, обем, стойност или мерна единица.

Фигурата показва две нива на разлика за математически. Първото ниво са разликите в полето на числата, които са посочени а, b, ° С. Това правят математиците. Второто ниво са разликите в областта на мерните единици, които са показани в квадратни скоби и обозначени с буквата U. Това правят физиците. Можем да разберем третото ниво - разликите в площта на описваните обекти. Различните обекти могат да имат еднакъв брой еднакви мерни единици. Колко важно е това, можем да видим в примера на тригонометрията на борша. Ако добавим индекси към едно и също обозначение на единица за различни обекти, можем да кажем точно коя математическа величина описва конкретен обект и как се променя с времето или поради нашите действия. Писмо УВодата ще обознача с буква СЩе обознача салатата с буква б- борш. Ето как ще изглеждат линейните ъглови функции за борш.

Ако вземем част от водата и част от салатата, заедно те ще се превърнат в една порция борш. Предлагам ви да си починете малко от борша и да си спомните далечното си детство. Помните ли как ни учеха да събираме зайчета и патета заедно? Трябваше да се намери колко животни ще има. Какво ни учеха да правим тогава? Учеха ни да отделяме мерните единици от числата и да събираме числа. Да, всеки един номер може да бъде добавен към всеки друг номер. Това е пряк път към аутизма на съвременната математика - ние го правим неразбираемо какво, неразбираемо защо и много слабо разбираме как това е свързано с реалността, тъй като от трите нива на разлика математиците оперират само с едно. Би било по-правилно да се научите как да преминавате от една мерна единица към друга.

Зайчетата, патетата и зверчетата могат да се броят на части. Една обща мерна единица за различни обекти ни позволява да ги събираме заедно. Това е детска версия на проблема. Нека да разгледаме подобен проблем за възрастни. Какво получавате, когато добавите зайчета и пари? Тук има две възможни решения.

Първи вариант. Определяме пазарната стойност на зайчетата и я добавяме към наличната сума пари. Получихме общата стойност на нашето богатство в парично изражение.

Втори вариант. Можете да добавите броя на зайчетата към броя на банкнотите, които имаме. Ще получим количеството движимо имущество на части.

Както можете да видите, един и същ закон за събиране ви позволява да получите различни резултати. Всичко зависи от това какво точно искаме да знаем.

Но да се върнем на нашия борш. Сега можем да видим какво ще се случи за различни ъглови стойности на линейни ъглови функции.

Ъгълът е нула. Имаме салата, но няма вода. Не можем да сготвим борш. Количеството борш също е нула. Това изобщо не означава, че нула борш е нула вода. Може да има нула борш с нула салата (прав ъгъл).


За мен лично това е основното математическо доказателство за факта, че . Нулата не променя числото при добавяне. Това се случва, защото самото събиране е невъзможно, ако има само един член и вторият член липсва. Можете да мислите за това както искате, но помнете - всички математически операции с нула са измислени от самите математици, така че изхвърлете логиката си и глупаво натъпчете определенията, измислени от математиците: „деление на нула е невъзможно“, „всяко число, умножено по нула е нула” , „отвъд точката на пробиване нула” и други глупости. Достатъчно е да си спомните веднъж, че нулата не е число и никога повече няма да имате въпроса дали нулата е естествено число или не, защото такъв въпрос губи всякакъв смисъл: как може нещо, което не е число, да се счита за число ? Все едно да питате към какъв цвят трябва да се класифицира един невидим цвят. Добавянето на нула към число е същото като рисуване с боя, която не е там. Размахахме суха четка и казахме на всички, че „рисувахме“. Но се отклоних малко.

Ъгълът е по-голям от нула, но по-малък от четиридесет и пет градуса. Имаме много маруля, но не достатъчно вода. В резултат на това ще получим гъст борш.

Ъгълът е четиридесет и пет градуса. Имаме равни количества вода и салата. Това е идеалният борш (простете ми, готвачи, това е просто математика).

Ъгълът е по-голям от четиридесет и пет градуса, но по-малък от деветдесет градуса. Имаме много вода и малко салата. Ще получите течен борш.

Прав ъгъл. Имаме вода. От салатата остават само спомени, тъй като продължаваме да измерваме ъгъла от линията, която някога е маркирала салатата. Не можем да сготвим борш. Количеството борш е нула. В този случай изчакайте и пийте вода, докато я имате)))

Тук. Нещо като това. Тук мога да разкажа и други истории, които биха били повече от подходящи тук.

Двама приятели имаха дялове в общ бизнес. След като убиха единия, всичко отиде при другия.

Появата на математиката на нашата планета.

Всички тези истории са разказани на езика на математиката с помощта на линейни ъглови функции. Някой друг път ще ви покажа истинското място на тези функции в структурата на математиката. Междувременно нека се върнем към тригонометрията на борша и да разгледаме проекциите.

Събота, 26 октомври 2019 г

сряда, 7 август 2019 г

Завършвайки разговора, трябва да разгледаме безкрайно множество. Работата е там, че понятието „безкрайност“ въздейства на математиците, както боа на заек. Трепетният ужас от безкрайността лишава математиците от здрав разум. Ето един пример:

Първоизточникът е локализиран. Алфа означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Ако вземем за пример безкрайния набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени в следната форма:

За да докажат ясно, че са прави, математиците измислиха много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на шамани, танцуващи с тамбури. По същество всички те се свеждат до факта, че или някои от стаите са празни и се настаняват нови гости, или част от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гости (много човешки). Представих моето виждане за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават разсъжденията ми? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гост, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на времето. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво игнориран, но това ще бъде в категорията „никой закон не е писан за глупаци“. Всичко зависи от това какво правим: приспособяваме реалността към математическите теории или обратното.

Какво е „безкраен хотел“? Безкраен хотел е хотел, който винаги има произволен брой празни легла, независимо колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор за "посетители" са заети, има още един безкраен коридор със стаи за "гости". Ще има безкрайно много такива коридори. Освен това „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците не могат да се дистанцират от баналните битови проблеми: винаги има само един Бог-Аллах-Буда, има само един хотел, има само един коридор. И така, математиците се опитват да жонглират с поредните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да „вкараме невъзможното“.

Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо трябва да отговорите на един много прост въпрос: колко набора от естествени числа има - един или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като сами сме измислили числата; числата не съществуват в природата. Да, природата е страхотна в броенето, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Друг път ще ви кажа какво мисли Природата. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа има. Нека разгледаме и двата варианта, както подобава на истинските учени.

Вариант едно. „Нека ни бъде даден“ един единствен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафта. Взимаме този комплект от рафта. Това е, други естествени числа не останаха на рафта и няма къде да ги вземете. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. Ами ако наистина искате? Няма проблем. Можем да вземем един от вече взетия комплект и да го върнем на рафта. След това можем да вземем един от рафта и да го добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново ще получим безкраен набор от естествени числа. Можете да запишете всички наши манипулации така:

Записах действията в алгебрична нотация и в нотация на теория на множествата, с подробен списък на елементите на множеството. Долният индекс показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако от него се извади едно и се добави същата единица.

Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на нашия рафт. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки факта, че практически не се различават. Нека вземем един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да съберем две групи естествени числа. Ето какво получаваме:

Долните индекси "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни множества. Да, ако добавите един към безкраен набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да бъде същият като оригиналния набор. Ако добавите друго безкрайно множество към едно безкрайно множество, резултатът е ново безкрайно множество, състоящо се от елементите на първите две множества.

Наборът от естествени числа се използва за броене по същия начин, както линийката се използва за измерване. Сега си представете, че сте добавили един сантиметър към линийката. Това ще бъде различна линия, неравна на оригиналната.

Можете да приемете или да не приемете разсъжденията ми - това е ваша работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не следвате пътя на фалшивите разсъждения, утъпкан от поколения математици. В края на краищата, изучаването на математика, на първо място, формира у нас стабилен стереотип на мислене и едва след това добавя към нашите умствени способности (или, обратно, ни лишава от свободомислие).

pozg.ru

Неделя, 4 август 2019 г

Завършвах послепис към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:

Четем: „... богатата теоретична основа на математиката на Вавилон нямаше холистичен характер и беше сведена до набор от различни техники, лишени от обща система и доказателствена база.“

Еха! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Трудно ли ни е да разглеждаме съвременната математика в същия контекст? Перифразирайки леко горния текст, аз лично получих следното:

Богатата теоретична база на съвременната математика не е холистична по природа и се свежда до набор от различни раздели, лишени от обща система и база от доказателства.

Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - има език и конвенции, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различно значение. Искам да посветя цяла поредица от публикации на най-очевидните грешки на съвременната математика. Ще се видим скоро.

Събота, 3 август 2019 г

Как да разделим набор на подмножества? За да направите това, трябва да въведете нова мерна единица, която присъства в някои от елементите на избрания набор. Нека разгледаме един пример.

Нека имаме много Асъстоящ се от четирима души. Това множество се формира на базата на „хора”. Нека обозначим елементите на това множество с буквата А, индексът с число ще показва поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "пол" и да я обозначим с буквата b. Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора Авъз основа на пола b. Забележете, че нашият набор от „хора“ сега се превърна в набор от „хора с полови характеристики“. След това можем да разделим половите белези на мъжки bmи дамски bwполови белези. Сега можем да приложим математически филтър: избираме един от тези сексуални белези, без значение кой - мъжки или женски. Ако човек го има, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава използваме обикновена училищна математика. Вижте какво стана.

След умножение, редукция и пренареждане получихме две подмножества: подмножеството на мъжете Bmи подгрупа от жени Bw. Математиците разсъждават приблизително по същия начин, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни казват подробностите, а ни дават крайния резултат - „много хора се състоят от подгрупа от мъже и подгрупа от жени“. Естествено, може да имате въпрос: колко правилно е приложена математиката в трансформациите, описани по-горе? Смея да ви уверя, че по същество трансформациите са извършени правилно, достатъчно е да познавате математическите основи на аритметиката, булевата алгебра и други клонове на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.

Що се отнася до суперсетите, можете да комбинирате два комплекта в един суперсет, като изберете мерната единица, присъстваща в елементите на тези два комплекта.

Както можете да видите, мерните единици и обикновената математика правят теорията на множествата реликва от миналото. Знак, че не всичко е наред с теорията на множествата е, че математиците са измислили свой собствен език и нотация за теорията на множествата. Математиците действаха като шаманите някога. Само шаманите знаят как да прилагат „правилно“ своите „знания“. Те ни учат на това „знание“.

В заключение искам да ви покажа как математиците манипулират.

Понеделник, 7 януари 2019 г

През пети век пр. н. е. древногръцкият философ Зенон от Елея формулира своите известни апории, най-известната от които е апорията „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат апориите на Зенон по един или друг начин. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... математическият анализ, теорията на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.

От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да надбяга костенурката.

Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки един момент една летяща стрела е в покой в ​​различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, на което искам да обърна специално внимание е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото дават различни възможности за изследване.
Ще ви покажа процеса с пример. Избираме „червеното твърдо вещество в пъпка“ - това е нашето „цяло“. В същото време виждаме, че тези неща са с лък, а има и без лък. След това избираме част от „цялото“ и оформяме комплект „с лък“. Ето как шаманите получават храната си, като обвързват теорията си с реалността.

Сега нека направим малък трик. Нека вземем „твърдо с пъпка с лък“ и комбинираме тези „цели“ според цвета, избирайки червените елементи. Имаме много "червени". Сега последният въпрос: получените комплекти „с лък“ и „червено“ един и същ комплект ли са или два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно те самите не знаят нищо, но както казват, така ще бъде.

Този прост пример показва, че теорията на множествата е напълно безполезна, когато става въпрос за реалността. каква е тайната Оформихме набор от "червено плътно с пъпка и лък." Оформянето се извършва в четири различни мерни единици: цвят (червено), здравина (твърдо), грапавост (пъпчиво), украса (с лък). Само набор от мерни единици ни позволява да опишем адекватно реални обекти на езика на математиката. Ето как изглежда.

Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. Мерните единици, чрез които се разграничава „цялото“ на предварителния етап, са отбелязани в скоби. Извън скоби е извадена мерната единица, с която се формира наборът. Последният ред показва крайния резултат - елемент от множеството. Както можете да видите, ако използваме мерни единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шамани с тамбури. Шаманите могат „интуитивно“ да стигнат до същия резултат, като твърдят, че той е „очевиден“, тъй като мерните единици не са част от техния „научен“ арсенал.

Използвайки мерни единици, е много лесно да разделите един комплект или да комбинирате няколко комплекта в един супермножество. Нека разгледаме по-подробно алгебрата на този процес.

Помня!

Дадени са три известни члена на пропорция, винаги можете да намерите неговия неизвестен (четвърти) член.

Решете пропорцията- означава намиране на всички негови членове. Нека решим пропорцията по-долу
(намерете „x“).

За да намерим „x“, използваме основното свойство на пропорцията (правилото „кръст“).

Сега сме готови да разберем как да решаваме задачи с пропорции.

Решаване на задачи с пропорции

Често проблеми с пропорциитеса тясно свързани с интереса. Можете да опресните знанията си за процентите в секцията „Интереси“.

Задача

От лъка са произведени 50 изстрела. 5 стрели пропуснаха целта. Определете процента на попадение.

По традиция наблягаме на важните и числови данни в задачата.

Обърнете внимание, че трябва да определим процента на уцелените стрели, а не процента на пропусналите стрели.

Затова първо ще преброим колко стрели са уцелили целта. Няма да е трудно да направите това.

  • 50 − 5 = 45 (стрели) - улучете целта.

След това, за да разрешим проблема, ще създадем таблица, в която ще въведем всички данни. Не забравяйте, че срещу 100% в таблицата обикновено се пише общото количество на нещо. Означаваме неизвестните проценти с x.


За да запишете правилно необходимите данни в таблица, запомнете просто правило.

Равенството на две съотношения се нарича пропорция.

a :b =c :d. Това е пропорция. Прочети: Атова се отнася за b, Как ° Сотнася се до д. Числа аИ дНаречен екстремниусловия на пропорция и числа bИ ° С – средно аритметичночленове на пропорцията.

Пример за пропорция: 1 2 : 3 = 16 : 4 . Това е равенството на две съотношения: 12:3= 4 и 16:4= 4 . Те гласят: дванадесет е към три, както шестнадесет е към четири. Тук 12 и 4 са крайните членове на пропорцията, а 3 и 16 са средните членове на пропорцията.

Основното свойство на пропорцията.

Произведението на най-крайните членове на пропорция е равно на произведението на нейните средни членове.

За пропорция a :b =c :dили a /b =c /dосновното свойство е написано така: a·d =b·c .

За нашата пропорция 12 : 3 = 16 : 4 основното свойство ще бъде записано по следния начин: 12 4 = 3·16 . Получава се правилното равенство: 48=48 .

За да намерите неизвестния екстремен член на пропорция, трябва да разделите произведението на средните членове на пропорцията на известния екстремен член.

Примери.

1) x: 20 = 2: 5. Ние имаме хИ 5 са екстремните членове на пропорцията и 20 И 2 - средно аритметично.

Решение.

x = (20 2):5— трябва да умножите средните условия ( 20 И 2 ) и разделете резултата на известния екстремен член (числото 5 );

х = 40:5- продукт на средни условия ( 40 ) разделете на известния екстремен член ( 5 );

х = 8.Получихме търсения екстремен член на пропорцията.

По-удобно е намирането на неизвестния член на пропорция да се запише с помощта на обикновена дроб. Ето как ще бъде написан примерът, който разгледахме:

Необходимият екстремен член на пропорцията ( х) ще бъде равно на произведението на средните условия ( 20 И 2 ), разделено на известния екстремен член ( 5 ).

Намаляваме дроба с 5 (разделете на 5 х.

Още примери за намиране на неизвестния екстремен член на пропорция.

За да намерите неизвестния среден член на пропорция, трябва да разделите произведението на най-крайните членове на пропорцията на известния среден член.

Примери.Намерете неизвестния среден член на пропорцията.

5) 9: x = 3: 14.Номер 3 - известният среден член на дадена пропорция, число 9 И 14 - екстремни условия на пропорция.

Решение.

x = (9 14):3 —умножете крайните членове на пропорцията и разделете резултата на известния среден член на пропорцията;

х= 136:3;

х=42.

Решението на този пример може да бъде написано по различен начин:

Желаният среден срок на пропорцията ( х) ще бъде равно на произведението на екстремните членове ( 9 И 14 ), разделено на известния среден член ( 3 ).

Намаляваме дроба с 3 (разделете на 3 както числителя, така и знаменателя на дробта). Намиране на стойността х.

Ако сте забравили как да намалите обикновените дроби, повторете темата: ""

Още примери за намиране на неизвестния среден член на пропорция.

Раздели: Математика

Тип урок: Урок за изучаване и първоначално консолидиране на нови знания.

Форма на урока: Урок-изследване.

Цели на урока:

  • да активизира познавателната дейност на учениците;
  • запознават учениците с понятията: пропорция, членове на пропорцията; правилни и неправилни пропорции;
  • запознават учениците с основното свойство на пропорцията и развиват умението за определяне на правилната пропорция.

Оборудване:

В маршрутните листове са посочени точките, които могат да се получат за решаване на задачи. При присъждане на точки ученикът взема предвид правилността на своето решение, бързината на решението (самопроверка и взаимна проверка с помощта на презентация). В реда „Допълнителни точки“ се присъждат точки за отговор на допълнителни въпроси, за подпомагане на учителя да организира тестове за други ученици и за „познаване“ на темата на урока.

Картите се нарязват и раздават в пликове на учениците (по един плик на бюро).

3. Карти за магнитната дъска (Фигура 1, Фигура 2, Фигура 3)

По време на урока тези карти се поставят на магнитна дъска.

4. Пъзели (Фигура 4, Фигура 5, Фигура 6, Фигура 7).

Ребуси, съставени от гимназисти (с изключение на ребуса „Пропорция“ - този ребус е взет от урок, представен във FPI от учител Татяна Ивановна Козак, средно училище № 20 в прогрес, Амурска област) са разположени на дъската и учениците са помолени да ги решат след урока.

Техническото оборудване на урока е компютър, проектор за демонстрация на презентация, екран. Компютърна презентация в Microsoft PowerPoint (Приложение 4).

I. Организация на началото на урока

Здравейте! Моля, проверете дали имате листове на бюрото си, дали имате червен и син молив и дали сте готови за урока.

II. Съобщаване на темата, целта и целите на урока.

Днес в клас продължаваме да изучаваме голяма част от курса по математика. Приключихме с изучаването на темата (какво? - "Поведение"). Сега започваме да изследваме нова тема в този раздел. Няколко примера ще ни помогнат да разберем темата на урока. На заглавната страница на вашия маршрутен лист трябва да попълните таблицата, като решите устно примерите и след това ще разберете темата на днешния урок. СЛАЙД 1

И така, темата на днешния урок Пропорция. СЛАЙД 2

След като разберете темата на урока, опитайте се да създадете план на урока. Какво трябва да научите в клас днес? Какво искаш да знаеш? Какво искаш да научиш в клас?

Ще съставим план, който ще допълваме с напредването на урока. (учениците назовават първите две и последните две точки от плана, останалите се попълват по време на урока, като се „откриват” нови знания; планът на урока се записва на дъската)

- повторение (въпроси за отношение)

Определение за пропорция

УСЛОВИЯ ЗА ПРОПОРЦИОННОСТ

ВЕРНИ и ГРЕШНИ ПРОПОРЦИИ

ОСНОВНИ СВОЙСТВА НА ПРОПОРЦИЯТА

Приложение в математиката

Приложение в живота

Ще можем да разгледаме последните две точки в следващите уроци, докато изучаваме темата.

III. Актуализиране на знанията на учениците. Подготовка за активна образователна и познавателна дейност в основния етап на урока.

Обсъдете въпроси, свързани с темата „Отношение“ с вашия спътник.

Кой е готов да задава въпроси, свързани с предишната тема? (блиц анкета) MP1

- Какво е отношение?

Как можете да напишете връзка?

На какви въпроси отговаря отношението?

Как можете да напишете отношението на две числа?

Какво може да замени знака за правене?

Защо мислите, че повторихме тези концепции?

Те ще ни помогнат при изучаването на нова тема.

Вземете пликовете и направете връзка АДа се bИ ° СДа се ддва начина. (Общо 4 отношения) РАБОТЕТЕ ПО ДВОЙКИ.

MP2 Имате няколко връзки пред вас. Намерете значението на тези изрази. СЛАЙД 3

4: 0,5=
=
5: 10 =
=
8: 1 =
2,5: 5 =

Групирайте връзките по определен критерий и съставете съответните равенства.

IV. Усвояване на нови знания.

4: 0,5 = 8: 1 = 5: 10 = 2,5: 5

На каква основа групирахте тези взаимоотношения?

- Техните стойности са равни.

Получените равенства се наричат ​​пропорции.

Помислете и определете пропорцията.

СЪВЕТ - пропорцията е... НА ЕКРАНА ( равенство)

Равенство...КАКВО ( отношения)

Колко връзки? ( две).

Ако сте уверени в мнението си, запишете определението в маршрутния лист. MP3

Кой е готов да отиде до дъската и да създаде дефиниция на пропорцията? (Приложение 3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на магнитна дъска): Пропорцията е равенство на две съотношения.

Нека да разгледаме тълкуването на думата пропорция в речника на руски език от S.I. Ozhegov. СЛАЙД 4: „Пропорцията е определено отношение между частите, пропорционалност. В математиката, равенството на две съотношения.

Вие сте формулирали определението за пропорция точно както в руския речник!

Помислете с какъв математически термин е съзвучна думата „пропорция“? ( интерес). Как се превежда терминът "процент"? ( от сто). Това означава, че „около“ се превежда като „от“. Каква част от думата остава? (“ порция"). Къде сте срещали тази дума? (в готвенето)Какво означава? ( размер)

Думата пропорция идва от латинската дума proportio - пропорционалност. (етимологичен речник). СЛАЙД 4

Използвайки дефиницията на пропорцията, напишете пропорциите, като използвате знака за деление и дробната лента. (РАБОТА ПО ДВОЙКИ, пликове).

На листовете с маршрути запишете пропорцията с букви a,b,c,d. MP4

А сега ще разберем как се наричат ​​числата, съставляващи пропорцията.

Числа a, b, c, dсе наричат ​​пропорционални условия

Какви са първият и последният член на пропорцията? ( a и c)

Как обикновено (в живота) наричат ​​първия и последния? (екстремни)

Значи членовете a и b се наричат...? (екстремни)

Къде са термините c и d? (по средата)

И как се казват термините c и d? ( средно аритметично)

Кои членове са маркирани в червено? ( Да серегионален)

цвят (ссредните)членове.

средни членове

Да се ​​върнем към плана на урока – има ли с какво да го допълня? (крайни и средни членове на пропорцията)

V. Първично затвърдяване на знанията

MP5 Попълнете таблицата:

Какъв извод може да се направи? Запишете заключението си в маршрутния лист. ( Пропорционално произведението на крайните членове е равно на произведението на средните членове)СЛАЙД 8

MP6 Пред вас са пет равенства. Всички пропорции ли са?

Подчертайте пропорциите.

= ; 7 + 11 = 36: 2; 72: 9 = 16: 2; = 20: 4; 5 40 = 100 2

СЛАЙД 7 Изправете се, който и да е завършил.

Всички сигурни ли са, че тук има три пропорции? Наистина, в последното равенство произведението на екстремните членове не е равно на произведението на средните членове. Да се ​​върнем към дефиницията на пропорцията ( Пропорция – равенство на две съотношения). Третото равенство е равенството на две отношения? (е).Това пропорция ли е по дефиниция? (да). Равно ли е произведението на крайните членове на произведението на средните? (Не). Значи това е пропорцията...? (грешно).Тази пропорция се нарича неправилна. И така, понякога пропорциите са неправилни и...? (верен).Формулирайте основното свойство на пропорцията, като използвате знанията, които сте придобили. (В правилната пропорция произведението на крайните членове е равно на произведението на средните членове).

VI. Затвърдяване на знанията.

Попълнете таблицата.

Правилна пропорция Неправилна пропорция

= = 20: 4

Как иначе можете да определите дали една пропорция е правилна или неправилна? (намерете значението на връзката)

В бъдеще ще говорим за правилните пропорции.

Да се ​​върнем към плана на урока. Какво мога да добавя? (пропорциите са правилни и неправилни)

MP7 С помощта на буквите B и H отбележете правилните и неправилните пропорции.

= 1: 0,5 = 4,8: 2,4
7,5: 5 = 2: 3 =
10: 3 = 3 : 1 5: x = 20: 4x

VII. Обобщение и систематизиране.

MP8Използвайки основното свойство на пропорцията, съставете правилната пропорция от следните числа: 4, 5, 12, 15. Колко правилни пропорции можете да съставите?

VIII. Контрол и самопроверка на знанията

MP9 Математически диктовки

  1. Запишете пропорцията: Числото 18 е към 4, както 27 е към 6.
  2. Запишете пропорцията: съотношението три към пет е равно на съотношението две към седем.
  3. Запишете средните членове на пропорцията: 1,5: 2 = 4,5: 6
  4. Запишете крайните членове на пропорцията: 2/1,9 = 3/2,8
  5. Правилна ли е пропорцията в параграф 3?
  6. Правилна ли е пропорцията в параграф 4?
  7. Вярно ли е твърдението: Коренът на уравнението е 20/5 = x/0,5 число 2
  8. Вярно ли е твърдението: От всеки четири естествени числа можете да съставите пропорция?

СЛАЙД 10. Партньорска проверка

IX. Обобщаване на урока.

Обърнете се към плана на урока.

Какво научихте в час днес? (какво е пропорцията, от какво се състои пропорцията, пропорциите са верни и неверни, основното свойство на пропорцията, ...)

Какво научихте в час днес? (за определяне на крайните и средните членове на пропорция, за да разберете дали пропорцията е правилна или неправилна, ...)

Какви други въпроси можете да зададете след урока?

-Колко правилни пропорции могат да бъдат направени от дадена правилна пропорция?

Как можете да определите дали една пропорция е правилна или неправилна?

Да си припомним последната задача от математическата диктовка.

Всеки четири естествени числа могат да се използват за образуване на пропорция. Верният отговор е ДА. Възможно е да се създаде пропорция, но не е задължително тя да е правилна.

От израза „ От всеки четири естествени числа можете да съставите пропорция.елиминирайте една дума, за да направите това твърдение неправилно. (естествен). Защо? (Числото 0 не може да бъде член на пропорция). От произволни четири числа можете да съставите пропорция

В тази фраза " От всеки четири естествени числа можете да съставите пропорция.вмъкнете една дума, за да направите твърдението неправилно (вярно). От всеки четири естествени числа можете да съставите правилната пропорция.

Изчислете броя точки, които сте спечелили в урока, и дайте оценка.

X. Информация за домашната работа и указания за попълването й

Математика – 6, Виленкин Н.Я. и др. 6-то издание

P.21, No. 760, 781, 782, 783 (a)

Съотношение на две числа

Определение 1

Съотношението на две числае тяхно лично.

Пример 1

    съотношението на $18$ към $3$ може да бъде записано като:

    $18\div 3=\frac(18)(3)=6$.

    съотношението от $5$ към $15$ може да бъде записано като:

    $5\div 15=\frac(5)(15)=\frac(1)(3)$.

Като се използва отношение на две числаможе да се покаже:

  • колко пъти едно число превишава друго;
  • каква част едно число представлява от друго.

При съставянето на отношението на две числа в знаменателя на дробта се записва числото, с което се прави сравнението.

Най-често такова число следва думите „в сравнение с...“ или предлога „към...“.

Нека си припомним основното свойство на дробта и да го приложим към отношение:

Бележка 1

Когато умножим или разделим двата члена на съотношението с едно и също число, различно от нула, получаваме съотношение, което е равно на първоначалното.

Нека да разгледаме пример, който илюстрира използването на концепцията за отношение на две числа.

Пример 2

Количеството на валежите през предходния месец е $195$ mm, а през настоящия - $780$ mm. Колко пъти се е увеличило количеството на валежите през текущия месец в сравнение с предходния?

Решение.

Нека сравним количеството на валежите през текущия месец с количеството на валежите през предходния месец:

$\frac(780)(195)=\frac(780\div 5)(195\div 5)=\frac(156\div 3)(39\div 3)=\frac(52)(13)=4 $.

Отговор: количеството на валежите през текущия месец е $4$ пъти по-голямо от предходния месец.

Пример 3

Намерете колко пъти числото $1 \frac(1)(2)$ се съдържа в числото $13 \frac(1)(2)$.

Решение.

$13 \frac(1)(2)\div 1 \frac(1)(2)=\frac(27)(2)\div \frac(3)(2)=\frac(27)(2) \cdot \frac(2)(3)=\frac(27)(3)=$9.

Отговор: $9$ пъти.

Понятие за пропорция

Определение 2

ПропорцияРавенството на две отношения се нарича:

$a\div b=c\div d$

$\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$.

Пример 4

$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,

$\frac(8)(2)=\frac(36)(9)$, $\frac(10)(40)=\frac(9)(36)$, $\frac(15)(75)= \frac(1)(5)$.

В пропорцията $\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$ (или $a:b = c\div d$) числата a и d се наричат крайни членовепропорции, а числата $b$ и $c$ са средни членовепропорции.

Правилната пропорция може да се преобразува, както следва:

Бележка 2

Произведението на крайните членове на правилната пропорция е равно на произведението на средните членове:

$a \cdot d=b \cdot c$.

Това твърдение е основното свойство на пропорцията.

Обратното също е вярно:

Бележка 3

Ако произведението на най-крайните членове на една пропорция е равно на произведението на нейните средни членове, тогава пропорцията е правилна.

Бележка 4

Ако средните или крайните членове са пренаредени в правилната пропорция, тогава получените пропорции също ще бъдат правилни.

Пример 5

$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,

$\frac(2)(8)=\frac(9)(36)$, $\frac(40)(10)=\frac(36)(9)$, $\frac(75)(15)= \frac(5)(1)$.

Използвайки това свойство, е лесно да се намери неизвестният член от пропорцията, ако другите три са известни:

$a=\frac(b \cdot c)(d)$; $b=\frac(a \cdot d)(c)$; $c=\frac(a \cdot d)(b)$; $d=\frac(b \cdot c)(a)$.

Пример 6

$\frac(6)(a)=\frac(16)(8)$;

$6 \cdot 8=16 \cdot a$;

$16 \cdot a=6 \cdot 8$;

$16 \cdot a=48$;

$a=\frac(48)(16)$;

Пример 7

$\frac(a)(21)=\frac(8)(24)$;

$a \cdot 24=21 \cdot 8$;

$a \cdot 24=168$;

$a=\frac(168)(24)$;

$3$ градинар – $108$ дървета;

$x$ градинари - $252$ дървета.

Да направим пропорция:

$\frac(3)(x)=\frac(108)(252)$.

Нека използваме правилото за намиране на неизвестния член на пропорцията:

$b=\frac(a \cdot d)(c)$;

$x=\frac(3 \cdot 252)(108)$;

$x=\frac(252)(36)$;

Отговор: Ще са необходими $7$ градинари, за да подрежат $252$ дървета.

Най-често свойствата на пропорцията се използват на практика в математически изчисления в случаите, когато е необходимо да се изчисли стойността на неизвестен член на пропорцията, ако са известни стойностите на останалите три члена.