УМФ. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Уравнения в частных производных
Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики , УМФ ) - дифференциальное уравнение , содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные .
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
✪ Дифференциальные уравнения в частных производных. Привидение к каноническому виду.
✪ Уравнения математической физики. Шаньков В.В. Весенний семестр. Лекция №1
✪ Методы математической физики. Тихонов Николай Андреевич (Лекция 10)
✪ 8 Дифференциальные уравнения в частных производных Mathcad
✪ Дифференциальные уравнения 1. Вязкое торможение
Субтитры
Введение
Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:
∂ ∂ y u (x , y) = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)=0\,.}Задачи доказательств существования и нахождения решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных решаются с использованием теории гладких многообразий , дифференциальной геометрии , коммутативной и гомологической алгебры . Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения .
Классификация
Размерность
Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).
Линейность
Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными , либо известными функциями.
Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).
Однородность
Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.
Порядок
Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.
Классификация линейных уравнений второго порядка
Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические , эллиптические и гиперболические .
Две независимые переменные
Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:
A ∂ 2 u ∂ x 2 + 2 B ∂ 2 u ∂ x ∂ y + C ∂ 2 u ∂ y 2 + . . . = 0 , {\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,}где A , B , C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y , а многоточие означает члены, зависящие от x , y , u и частных производных первого порядка: ∂ u / ∂ x {\displaystyle {\partial u}/{\partial x}} и ∂ u / ∂ y {\displaystyle {\partial u}/{\partial y}} . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения :
A x 2 + 2 B x y + C y 2 + ⋯ = 0. {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта D = B 2 − A C {\displaystyle D=B^{2}-AC} , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:
В случае, когда все коэффициенты A , B , C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y . В случае, если коэффициенты A , B , C непрерывно зависят от x и y , множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа ), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения .
Более двух независимых переменных
В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j (x 1 , ⋯ , x n) ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + F (x 1 , ⋯ , x n , u , ∂ u ∂ x 1 , ⋯ , ∂ u ∂ x n) = 0 , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\cdots ,x_{n}){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+F\left(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)=0,}оно может быть классифицировано в заданной точке M 0 (x 1 0 , ⋯ , x n 0) {\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})} по аналогии с соответствующей квадратичной формой:
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j (x 1 0 , ⋯ , x n 0) t i t j . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.}Невырожденным линейным преобразованием
s i = ∑ j = 1 n A i j t j , i = 1 , 2 ⋯ n , det ‖ A i j ‖ ≠ 0 {\displaystyle s_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{ij}\right\|\neq 0}квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:
∑ i = 1 n λ i s i 2 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{i}^{2}.}При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов λ i {\displaystyle \lambda _{i}} в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке M 0 {\displaystyle M_{0}} ) рассматриваемого уравнения:
В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):
- Гиперболический тип
- Нормальный гиперболический тип , если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
- Ультрагиперболический тип , если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
- Параболический тип
может быть дополнительно классифицирован на:
- Эллиптически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
- Гиперболически-параболический тип
, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
- Нормальный гиперболически-параболический тип
- Ультрагиперболически-параболический тип
- Ультрапараболический тип , если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.
Существование и единственность решения
Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара - Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши - Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение . Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви , ). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.
Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n ) для уравнения Лапласа :
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,} u (x , 0) = 0 , {\displaystyle u(x,0)=0,} ∂ u ∂ y (x , 0) = sin n x n , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},}где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является
u (x , y) = (s h n y) (sin n x) n 2 . {\displaystyle u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.}Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно π {\displaystyle \pi } для любого ненулевого значения y . Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной , так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.
Для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных доказательства существования решений и поиск многообразий всех решений проводятся с использованием теории гладких многообразий , дифференциальной геометрии , коммутативной и гомологической алгебры . Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения .
Примеры
Одномерное уравнение теплопроводности
Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне относится к параболическому типу и имеет вид
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}где u (t ,x ) - температура, и α - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:
U (0 , x) = f (x) {\displaystyle u(0,x)\,=f(x)} ,
где f (x ) - произвольная функция.
Уравнение колебания струны
Уравнение относится к гиперболическому типу. Здесь u (t ,x ) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:
u (0 , x) = f (x) , {\displaystyle u(0,x)=f(x),} ∂ u ∂ t (0 , x) = g (x) , {\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=g(x),}Двумерное уравнение Лапласа
Связь с аналитическими функциями
Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции f {\displaystyle f} комплексной переменной z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f =u +iv , то условия Коши-Римана утверждают следующее:
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ v ∂ x = − ∂ u ∂ y , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}},}Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.}Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.
Граничные задачи
Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S , а на границе области ∂ S {\displaystyle \partial S} - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие краевые задачи:
Решение уравнений математической физики
Существует два вида методов решения данного типа уравнений:
- аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
- численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).
Аналитическое решение
Аналитические решения уравнений математической физики можно получить различными способами. Например:
- Используя функцию Грина ;
- Используя метод разделения переменных Фурье;
- С помощью теории потенциала ;
- Используя формулу Кирхгофа .
Эти методы разработаны для различных типов уравнений и в некоторых простых случаях позволяют получить решение в виде некоторой формулы или сходящегося ряда, например для
Рассмотрим функцию нескольких независимых переменных .
Частные производные 1-го порядка данной функции по переменной вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования, при этом все переменные, кроме , рассматриваются как постоянные.
Обозначение: .
Частными производными 2-го порядка функции называются частные производные от ее частных производных 1-го порядка.
Обозначение: 
.
Пример.
Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции 
.
Решение.Считая y постоянной переменной, получим:
Считая x постоянной, получим: .
Соответственно: , , .
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным . Если независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных .
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения . Например:
1. 
– обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка;
2. – обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;
3. – обыкновенное дифференциальное уравнение 3-го порядка;
4. 
– общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка;
5. 
– уравнение в частных производных 1-го порядка;
6. 
– уравнение в частных производных 2-го порядка.
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
1.1.1. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка
Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка.
Например:
1) при изучении различных видов волн − упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению:
− уравнение распространения волн в стержне;
− уравнение распространения волн в плоской пластине;
− уравнение распространения волн в пространстве,
где а − скорость распространения волн в данной среде;
2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:
− уравнение распространения тепла в стержне;
− уравнение распространения тепла в плоской пластине;
− уравнение распространения тепла в пространстве,
3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона
.
При отсутствии источников тепла внутри тела данное уравнение переходит в уравнение Лапласа
.
Приведенные уравнения называют основными уравнениями математической физики . Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.
Функция , удовлетворяющая какому-либо из приведенных уравнений, называется его решением.
1.1.2. Понятие об общем решении уравнения в частных производных
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n
-го порядка: 
. Его общий интеграл представляет собой некоторое семейство функций, зависящее от n
произвольных постоянных . Любое частное решение получается из него, если параметрам придать определенные значения.
Рассмотрим решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.
Пример 1. Пусть дано уравнение , где .
Решение. Найдем его общий интеграл, т.е. функцию ,удовлетворяющую данному уравнению. Сначала запишем это уравнение в виде: .Поскольку производная по переменной х от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя является некоторой произвольной функцией от у : . Поэтому
Интегрируя произвольную функцию ,получили функцию плюс произвольная функция . Таким образом, общий интеграл уравнения 2-го порядка содержит две произвольные функции.
Пример 2. Решить уравнение , где .
х :
,
где – произвольная функция.
Пример 3. Решить уравнение , где .
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения по у :
,
где – произвольная функция.
Интегрируем повторно по у полученное равенство:
где – произвольные функции.
Пример 4. Решить уравнение , где .
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения сначала по х , а затем по у :
,
где – произвольные функции.
Замечание. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от произвольных постоянных, общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций, количество которых равно порядку уравнения.
Пусть X 1 , X 2 , ..., X n - заданные функции переменных x 1 , x 2 , ..., x n .
Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:
необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ 1 (x 1
, x 2
, ..., x n )
= C 1
,
φ 2 (x 1
, x 2
, ..., x n )
= C 2
,
..................
φ n-1
(x 1
, x 2
, ..., x n )
= C n-1
,
где C k
- постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F
- произвольная функция от n - 1
аргументов.
Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .
Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка
Пусть X 1 , X 2 , ..., X n+1 - заданные функции от переменных x 1 , x 2 , ..., x n и z .
Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в следующем виде:
φ 1 (x 1
, x 2
, ..., x n , z )
= C 1
,
φ 2 (x 1
, x 2
, ..., x n , z )
= C 2
,
..................
φ n (x 1
, x 2
, ..., x n , z )
= C n
.
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:
где F
- произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ 1
= F(φ 2
, φ 3
, ..., φ n )
,
φ 2
= F(φ 1
, φ 3
, ..., φ n )
,
и т. д.
Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка
Однородное уравнение
Условие задачи
Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .
Решение
Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:
Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.
Выбираем и решаем первое уравнение:
Здесь переменные уже разделены, интегрируем:
Интегралы табличные,
Потенцируем:
Отсюда
Или:
интегрирующего множителя . Умножим на x -1
и преобразуем:
Интегрируем:
Подставим полученное ранее выражение C 1 = x y 2
:
Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:
где F
- произвольная функция от двух аргументов F(φ 1 , φ 2)
.
Найдем ее вид из граничного условия
при .
Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = -1
:
Отсюда
На границе
.
F(φ 1
, φ 2
)
= φ 1
φ 2
.
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:
Ответ
Общее решение:
где F
- произвольная функция от двух аргументов F(φ 1
, φ 2
)
.
Частное решение:
Неоднородное уравнение
Условие задачи
Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0
,
x 2
+ y 2
+ z 2
= a 2
.
Решение
Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:
Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.
Решаем уравнение:
Умножаем на 2 z
и интегрируем:
Интегралы табличные,
Потенцируем:
Отсюда
x = C 1
y
Подставим во второе уравнение:
Или:
Замечаем, что ,
тогда
Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя . Разделим на y 2
и преобразуем:
Интегрируем:
Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:
Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:
Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:
Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F(φ 1
, φ 2) = 0
Но, поскольку F
- произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ 1
= F(φ 2)
,
где F
- произвольная функция от одного аргумента.
Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2
,
.
Из уравнения x + y + z = 0
,
z = -(x + y)
.
Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2
и преобразуем:
x 2 + y 2 + (x + y)
2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2
xy + y 2 = a 2
2
x 2 + 2
xy + 2
y 2 = a 2
Разделив на y 2
,
имеем
Итак, мы нашли, что на границе:
.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ 1
= F(φ 2)
.
Сделаем подстановку
:
.
Итак, мы нашли, что на границе функция F
имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ 1
и φ 2
:
.
Умножим на a 2 y 2
.
Уравнения в частных производных второго порядка Лекция №3-4
Тема : Уравнения в частных производных второго порядка.
Вопросы:
1. Общий вид уравнения второго порядка. Линейные уравнения второго порядка в частных производных. Линейные однородные и линейные неоднородные уравнения.
2. Свойства решений линейного однородного и линейного неоднородного уравнений.
3. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.
4. Приведение линейного уравнения к каноническому виду: гиперболический тип, параболический тип и эллиптический тип.
5. Постановка основных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Уравнение вида
есть дифференциальное уравнение второго порядка с искомой функцией z от двух переменных х и у .
Уравнения математической физики в отличие от уравнений с частными производными второго порядка общего вида (3.1) являются линейными , т.е. линейно зависят от искомой функции и ее частных производных. Например, в случае двух независимых переменных они имеют вид
Уравнение (3.2)
называется однородным, если
.
Если
,
то уравнение (3.2) называется неоднородным.
Обозначим левую
часть уравнения (3.2) через
,
тогда (3.2) можно записать в виде:
. (3.3)
Соответствующее однородное уравнение примет вид
. (3.4)
- линейный
дифференциальный оператор. Самостоятельно
проверить свойства линейности оператора
.
Из свойств линейности
оператора
непосредственно вытекают следующие
утверждения:
Теорема 3.1.
Если
- решение линейного однородного уравнения
(3.4), то функция
также является решением уравнения
(3.4), гдеС
– произвольная постоянная.
Теорема 3.2.
Если
и
- решения линейного однородного уравнения
(3.4), то сумма
+
Следствие.
Линейная комбинация с произвольными
постоянными коэффициентами k
решений уравнения (3.4)
также является решением этого уравнения.
В отличие от обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений, имеющих конечное число линейно независимых частных решений, линейная комбинация которых дает общее решение этого уравнения, уравнения в частных производных могут иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений.
Например. Уравнение
имеет общее решение
,
поэтому его решениями будут, например,
функции
.
Для линейного неоднородного
. (3.5)
уравнения справедливы следующие утверждения:
Теорема 3.3.
Если
- решение линейного неоднородного
уравнения (3.5), а
- решение соответствующего однородного
уравнения (3.4), сумма
также является решением неоднородного
уравнения (3.5).
Теорема 3.4.
Если
- решение уравнения
,
а
- решения уравнения
,
то сумма
+
является решением уравнения
.
Рассмотрим классификацию дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
Определение.
Линейное дифференциальное уравнение
второго порядка (3.2) в некоторой области
на плоскостихОу
называется
Простейшим из уравнений гиперболического типа является волновое уравнение
.
Оно встречается в задачах, связанных с колебательными процессами.
Простейшим из уравнений эллиптического типа является уравнение Лапласа
.
К интегрированию этого уравнения приходят при изучении стационарных процессов.
Простейшим уравнением параболического типа является уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)
.
Оно часто встречается при изучении процессов теплопроводности и диффузии.
Позже мы с вами рассмотрим эти уравнения подробнее.
В курсе математической физики также изучаются волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение Фурье более общего вида:
,
,
,
,
.
Приведем уравнение
(3.2) к каноническому виду в достаточно
малой окрестности любой точки, в которой
задано это уравнение. Предположим, что
коэффициенты А
,
В
и С
в уравнении (3.2) принадлежат классу
в некоторой окрестности и нигде в ней
не обращаются в нуль одновременно. Для
определенности можно считать, что
в этой окрестности. Действительно, в
противном случае может оказаться, что
,
но тогда меняя местамих
и у
,
получим уравнение у которого
.
Если жеА
и С
обращаются одновременно в нуль в
какой-нибудь точке, то
в окрестности этой точки. В таком случае
после деления на 2В
уравнение (3.2) уже будет иметь канонический
вид:
Перейдем теперь к новым переменным
,
,
, (3.6)
,
,
,
,
.
Поэтому уравнение (3.2) примет вид
Потребуем, чтобы
функции
и
обращали в нуль коэффициенты
и
,
т.е. удовлетворяли уравнениям:
Так как
,
то эти уравнения эквивалентны линейным
уравнениям
,
, (3.7)
где
,
,
.
Как мы с вами
заметили, в зависимости от
возможны три типа уравнений. Рассмотрим
отдельно эти три случая.
В этом случае уравнение (3.2) приводится к каноническому виду:
. (3.8)
Замена переменных
,
приводит уравнение (3.2) к другому,
эквивалентному, каноническому виду:
. (3.9)
Для доказательства
представления (3.8) покажем, что существует,
по крайней мере, одна пара решений
и
уравнений (3.7), удовлетворяющих условиям
(3.6). Установим сначала связь этих решений
с характеристиками уравнения (3.2).
Предположим, что
существуют решения уравнений (3.7), такие
что
,
в рассматриваемой окрестности, тогда
кривые
,
определяют два семейства характеристик уравнения (3.2). Докажем теперь следующее вспомогательное утверждение.
Лемма.
Пусть функция
такая, что
.
Для того, чтобы семейство кривых
определяло характеристики уравнения
(3.2), необходимо и достаточно, чтобы
выражение
было общим интегралом одного из
обыкновенных дифференциальных уравнений
,
. (3.10)
Уравнения (3.10) называются дифференциальными уравнениями характеристик уравнения (3.2).
Доказательство.
1. Докажем необходимость. Пусть
- семейство характеристик уравнения
(3.2). Из условия
следует, что данное семейство заполняет
некоторую окрестностьD
,
через каждую точку которой проходит
одна и только одна характеристика. Пусть
.
Тогда, если в преобразовании (3.6) взять,
например,
,
то в этой окрестности функция
будет удовлетворять уравнению
.
Так как на каждой характеристике справедливо соотношение
,
,
,
то поскольку
,
получаем
,
или
,
т.е.
есть общий интеграл первого из уравнений
(3.10). Необходимость доказана.
2. Докажем
достаточность. Пусть
есть общий интеграл одного из уравнений
(3.10), например, первого из них. По
определению это значит, что если функция
является решением этого уравнения, то
,
поэтому, продифференцировав последнее тождество по х , будем иметь
,
и, следовательно,
на каждой линии
выполняется соотношение
. (3.11)
Но по теореме
существования и единственности решения
для обыкновенных дифференциальных
уравнений через каждую точку из
рассматриваемой окрестности проходит
одна интегральная кривая
этого уравнения. Поэтому уравнение
(3.11) выполняется во всех точках
рассматриваемой окрестности. А так как
по условию
,
,
то кривые
являются характеристиками уравнения
(3.2). Лемма доказана.
На основании доказанной леммы общие интегралы уравнений (3.10):
,
и
такие, что
,
,
,
определяют два семейства характеристик
уравнения (3.2). Причем, так как
,
то и
,
а так же
Т
аким
образом, семейства характеристик
,
образуют семейства координатных линий
и функции
и
можно принять за новые переменные. При
этом в уравнении (*) коэффициенты
и
будут равны нулю и
Поэтому, разделив
уравнение (*) на 2
,
получим уравнение в канонической форме
(3.8).
Уравнение (3.2) приводится к каноническому виду
.
Так как в некоторой
окрестности
,
то
,
поэтому дифференциальные уравнения
(3.7) совпадают и равны
.
Следовательно, мы
получили одно семейство характеристик
уравнения (3.2), определяемое в силу леммы,
общим интегралом уравнения
,
таким что
и
.
В качестве второго семейства координатных
линий выберем прямые
.
В результате замена переменных
,
,
,
,
.
Разделив уравнение
(*) на коэффициент
,
получим уравнение в канонической форме.
Если коэффициенты А , В и С в уравнении (3.2) – аналитические функции в окрестности некоторой точки. Тогда это уравнение приводится к каноническому виду
.
В этом случае,
коэффициенты
и
уравнений (3.7) – аналитические функции,
причем при действительных
:
.
Из теоремы Ковалевской следует, что в
достаточно малой окрестности существует
аналитическое решение
уравнения
,
удовлетворяющее
условию
.
Положим теперь
,
, (3.12)
где
- функция, комплексно сопряженная с
.
Функция
удовлетворяет второму уравнению из
(3.7):
,
поскольку функция
удовлетворяет первому уравнения из
(3.7), т.е.
Так как функции
и
аналитические, то
и их якобиан
Поэтому функции
и
можно взять за новые переменные. По
построению функция
удовлетворяет уравнению
Выделим действительную и мнимую части и переходя к новым переменным пользуясь формулами (3.12), получим
,
Учитывая формулы
для коэффициентов
получаем, что
и
в переменных
и
.
Далее, поскольку
и
,
то
.
Разделив уравнение (*) на
,
приведем его к каноническому виду
.
Постановка основных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Чтобы полностью
описать тот или иной физический процесс,
необходимо кроме самого уравнения,
описывающего этот процесс, задать
начальное состояние этого процесса
(начальные условия) и режим на границе
той области
,
в которой происходит этот процесс
(граничные условия). Это связано с
неединственностью решения дифференциальных
уравнений. Так, например, для уравнений
в частных производных решение зависит
от произвольных функций. Поэтому, чтобы
выделить решение, описывающее реальный
физический процесс, необходимо задать
дополнительные условия. Такими
дополнительными условиями и являются
краевые условия (начальные и граничные).
Соответствующая задача называется
краевой задачей
.
Выделяют три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:
