Come risolvere i problemi relativi alle percentuali. Esempi. Tutto sulle percentuali. Una teoria così comprensibile. Analisi dei compiti Aumenta, diminuisci il numero di una determinata percentuale
L'1% è un centesimo di numero.1% = 0,01.
Trovare le percentuali di un numero.
Per trovare la percentuale di un numero, puoi esprimere la percentuale come frazione decimale e moltiplicare il numero per la frazione decimale risultante.
Trovare un numero in base alla sua percentuale.
Per trovare un numero in base alla sua percentuale, puoi rappresentare la percentuale come frazione decimale e dividere questo numero per la frazione decimale risultante.
Per trovare la percentuale di differenza tra un numero e un altro, puoi dividere un numero per un altro e moltiplicare il prodotto risultante per 100.
Come risolvere i problemi relativi alle percentuali. Esempi.
Trovare una percentuale di un numero è correlato a trovare una frazione di un numero. L'interesse è un modo speciale di scrivere una frazione ordinaria, quindi dovresti iniziare a rivelare il significato del concetto di interesse comprendendo il concetto di frazione ordinaria.
Prendiamo ad esempio alcune frazioni comuni. Qual è il significato di ciascuna di queste voci?
Questi sono esempi di frazioni regolari. Il denominatore di ciascuno di essi mostra in quante parti uguali deve essere diviso un determinato oggetto reale o astratto, il numeratore mostra quante di queste parti devono essere prese. Prendiamo come esempio una frazione regolare. Per esempio. Il significato di questa espressione può essere rivelato come segue. Un oggetto reale è stato diviso in 3 parti uguali e da esse sono state prelevate 2 parti.
Come oggetto reale, puoi prendere, ad esempio, un rettangolo.
Questa espressione è il quoziente di a e b, dove b non è uguale a 0.
Questo è il rapporto tra i numeri a e b, dove b non è uguale a 0.
Questa è una frazione ordinaria. a è il numeratore, b è il denominatore (b non è uguale a 0).
Esempio 1 La capacità della botte era di 200 litri e le botti erano piene d'acqua. Qual è il senso di questa proposta?
- questa frazione significa che un determinato oggetto è stato diviso in 5 parti uguali e da esse sono state prelevate 2 parti. Oggetto di questo problema è il volume della botte pari a 200 litri, quindi,
200:5 = 40,
402 = 80.
In una botte furono versati 80 litri di acqua.
L'esempio sopra è un tipico esempio di come trovare una frazione di un numero.
Per trovare una frazione di un numero, devi moltiplicare il numero per quella frazione.
Ora possiamo passare alle percentuali.
Il concetto di percentuale è definito come segue: l'1% di un numero è un centesimo di numero, ovvero 1% \u003d 0,01.
Poi il significato della frase a% del numero b può essere spiegato in questo modo. Qualche oggetto (il cui valore è uguale a B unità) divise in 100 parti uguali e da esse prelevate UN parti.
Esempio 2 Masha aveva 400 rubli. Ha speso il 24% di questo importo. Qual è il significato di questo detto?
Poiché 24% \u003d 0,24 e 0,24 significa che un determinato oggetto è stato diviso in 100 parti uguali e da esse sono state prese 24 parti. In questo caso l'oggetto è la somma di denaro pari a 400 rubli, quindi
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha ha speso 96 rubli.
L'esempio sopra è un tipico esempio di ricerca delle percentuali di un numero.
Esempio 3 Bisogno di trovare R%
dal numero B
.
Sia x il numero che dobbiamo trovare.
P%
= 0,01P,
x = b
0,01P
Per trovare le percentuali di un numero, devi rappresentare il numero di percentuali come frazione decimale e moltiplicare il numero indicato per questa frazione decimale.
Un altro approccio a questo problema. Puoi usare il concetto e le proprietà della proporzione. Se ricordiamo che la proporzione è l'uguaglianza di due rapporti e il rapporto tra due numeri è una frazione ordinaria, allora questo metodo è anche associato al concetto di frazione ordinaria.
b-100%,
x-p%,
Abbiamo una proporzione:
b: 100 = x: p, (b sta a 100 come x sta a p) da cui,
Esempio 4 Lasciamo che ci siano i numeri UN E B , Inoltre, UN >B Poi il numero UN più numero B SU %.
Affrontiamo questo problema in modo leggermente diverso. Considereremo un semplice caso speciale, ad esempio questo: "Quanta percentuale è il numero 10 maggiore del numero 2?".
1. Sottrai il numero più piccolo dal numero più grande. 10 - 2 = 8. Allora 10 è maggiore di 2 per 8.
2. Trova il rapporto tra il numero trovato e un numero più piccolo. 8:2=4 è il rapporto tra due numeri!
3 Esprimiamo il rapporto in percentuale 4100 = 400%.
Il numero 10 è maggiore del numero 2 del 400%.
Se dividiamo 8 per 10, troveremo un rapporto che mostra quanto di 10 2 è inferiore a 10 (qui il confronto è con il numero 10.
Il numero 2 è inferiore al numero 10 dell'80%.
Esempio 5 Il conducente del trattore ha arato 6 ettari, ovvero l'intero campo. Qual è l'area dell'intero campo.
Questo è un tipico problema di trovare un numero tramite la sua frazione. Lascia che sia l'area dell'intero campo X,
allora abbiamo l'equazione x= 6. Da qui x = 6:; x = 26. La superficie del campo è di 26 ha.
Per trovare un numero dalla sua frazione, devi dividere il numero corrispondente alla frazione data per la frazione.
Esempio 6. Dato un numero B, che è P% dal numero UN. Trova un numero UN.
P%
= 0,01P
B
= 0,01papà
a = b: (0,01p)
Dato un numero B , che è P% dal numero UN .
Trova un numero UN .
un-100%
b-p%
a:100 = b:p
Formula dell'interesse composto.
Se il deposito ha un importo UN unità monetarie e le spese bancarie R%
all'anno, poi fino in fondo N
anni, l'importo sul deposito sarà in unità monetarie, o
a(1+0,01p)n
unità monetarie.
Esempio 7 La costruzione della casa è costata 9.800 rubli, di cui il 35% è stato pagato per i lavori e il resto è stato pagato per il materiale. Quanto sono costati i materiali?
Lavoro pagato:
0,359800 = 3430.
Pertanto, i materiali costano: 9800 - 3430 = 6370.
Risposta: 6370 rubli.
Esempio 8 Nel serbatoio sono state versate 37,4 tonnellate di benzina, dopodiché il 6,5% della capacità del serbatoio è rimasta vuota. Quanta benzina bisogna aggiungere al serbatoio per riempirlo?
Se la parte vuota del serbatoio è pari al 6,5% della capacità, la parte piena sarà: 100% - 6,5% = 93,5%. Quindi, se x è la massa di benzina che resta da aggiungere al serbatoio, allora abbiamo la proporzione
Dove 
.
Risposta: 2,6 tonnellate.
Esempio 9 Trova un numero sapendo che il 25% di esso è il 45% di 640.
Sia x il numero desiderato. Abbiamo
0,25x = 0,45640.
Risposta: 1152.
Esempio 10 Il numero a è il 92% del numero b. Se il numero b viene aumentato di 700, il nuovo numero sarà maggiore del 9% rispetto al numero a. Trova i numeri a e b.
Dalla condizione del problema abbiamo un sistema di equazioni:
Risolvendo il sistema risultante, troviamo a = 230000, b = 250000.
Risposta: 230000; 250000.
Esempio 11. Il primo numero è il 50% del secondo. Qual è la percentuale del primo e del secondo?
Indichiamo il secondo numero con x, quindi il primo numero è uguale a 0,5x. Per scoprire quale percentuale è il numero x del numero 0,5x; Facciamo una proporzione:
da cui troviamo
Risposta: 200%.
Esempio 12. Ci sono 260 studenti nel liceo, di cui il 10% boccia. Dopo l'espulsione di un certo numero di persone con scarso rendimento, la loro percentuale è scesa al 6,4%. Quanti studenti hanno abbandonato?
Prima dell'espulsione, il numero di studenti con risultati inferiori era solo
Lascia che x persone vengano espulse. Quindi, in totale, nel liceo sono rimasti 260 studenti, di cui 26 senza successo. Abbiamo una proporzione
260 - x - 100%,
(260 - x)0,064=(26 - x)100,
Risolvendo l'equazione risultante, troviamo x = 10.
Esempio 13 Di quale percentuale 250 è maggiore di 200?
Facciamo due cose.
1) Scopriamo quanta percentuale è il numero 250 tonnellate del numero 200:
2) Poiché il numero 200 in questo esempio è 100%, il numero 250 è maggiore del numero 200 del 125% -100% = 25%.
Risposta: 25%.
Esempio 14 Quale percentuale è 200 inferiore a 250?
1) Scopri quanta percentuale è il numero 200 del numero 250 (a differenza dell'esempio precedente, qui devi prendere il numero 250 come 100%!):
2) Il numero 200 è inferiore al numero 250 del 100% - 80% = 20%.
Risposta: 20%.
Esempio 15 La lunghezza del mattone è stata aumentata del 30%, la larghezza del 20% e l'altezza è stata ridotta del 40%. Il volume dei mattoni è aumentato o diminuito rispetto a questo valore e in quale percentuale?
Lascia che la lunghezza originale del mattone sia x, larghezza - y, altezza - z. Quindi il volume iniziale del mattone: V 1 = xyz. Nuove dimensioni dei mattoncini: 1,3x; 1,2 anni; 0.6z e nuovo volume: V 2 \u003d 1.3x1.2y0.6z \u003d 0.936xyz. Dal momento che V2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.
Risposta: diminuito del 6,4%.
Esempio 16 Il prezzo di una merce è sceso del 40%, poi di un altro 25%. Di quale percentuale il prezzo del prodotto è diminuito rispetto al prezzo originale?
Sia x il prezzo originale del prodotto. Dopo la prima diminuzione il prezzo sarà pari a
x - 0, 4x = 0,6x.
Il secondo calo del prezzo è pari al 25% del nuovo prezzo pari a 0,6x, quindi dopo il secondo calo avremo il prezzo
0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.
Dopo due diminuzioni, la variazione totale del prezzo è:
x-0,45x = 0,55x.
Poiché il valore è 0,55x; è il 55% di x, allora il prezzo del bene è diminuito del 55%.
Risposta: 55%.
Esempio 17. Il costo iniziale di un'unità di produzione era di 75 rubli. Durante il primo anno di produzione, è aumentato di un certo numero di punti percentuali, e durante il secondo anno è diminuito (in relazione all'aumento di valore) dello stesso numero di punti percentuali, per cui è diventato pari a 72 rubli. Determinare l'aumento e la diminuzione percentuale del costo di un'unità di produzione.
Sia x% l’aumento (e la diminuzione) percentuale del costo di un’unità di output. Per definizione, x% di 75 è 750,01x. Quindi dopo il primo aumento il prezzo sarà pari a 75+0,75x.
Durante il secondo anno, il prezzo diminuirà di
0,01x(75+0,75x) = 0,75x + 0,0075x2.
Ora possiamo scrivere l'equazione per il prezzo finale
(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;
x2 \u003d 400; quindi x 1 = - 20, x 2 = 20.
È adatta solo una radice di questa equazione: x 2 \u003d 20.
Risposta: 20%.
Esempio 18. Sul conto bancario sono stati depositati 10mila rubli. Dopo che il denaro è rimasto per un anno, sono stati prelevati 1mila rubli dal conto. Un anno dopo, il conto ammontava a 11mila rubli. Determinare quale percentuale annua addebita la banca.
Lascia che la banca addebiti il p% annuo.
1) L'importo di 10.000 rubli, depositato su un conto bancario al p% annuo, in un anno aumenterà del valore
10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 sfregamenti.
Quando verranno prelevati 1000 rubli dal conto, rimarranno lì 9000 + 100 rubli.
2) In un altro anno, quest'ultimo valore aumenterà a 9000 + 100r + 0,01p (9000 + 100r) = r 2 + 190r + 9000 rubli a causa della maturazione degli interessi.
Per condizione, questo valore è pari a 11.000 rubli, quindi abbiamo un'equazione quadratica.
p2 + 190r + 9000 = 11000;
r2 + 190r - 2000 = 0
, risolviamo questa equazione quadratica usando il teorema di Viette, p 1 \u003d 10, p 2 \u003d -200.
La radice negativa non è adatta.
Risposta: 10%.
Esempio 19. La città conta attualmente 48.400 abitanti. È noto che la popolazione di questa città aumenta ogni anno del 10%. Quanti abitanti c'erano nella città due anni fa?
Supponiamo che due anni fa il numero di abitanti della città fosse x persone, quindi il numero di abitanti attualmente è espresso tramite x utilizzando la formula dell'interesse composto:
x(1+0,1)2 = 1,21x.
Dalla dichiarazione del problema:
Risposta: 40.000 persone.
La percentuale è uno degli strumenti interessanti e frequentemente utilizzati nella pratica. L'interesse è parzialmente o completamente applicato in qualsiasi scienza, in qualsiasi lavoro e persino nella comunicazione quotidiana. Una persona che conosce bene le percentuali dà l'impressione di essere intelligente e istruita. In questa lezione impareremo cos'è la percentuale e quali azioni puoi eseguire con essa.
Contenuto della lezioneCos'è una percentuale?
Nella vita di tutti i giorni, le frazioni sono le più comuni. Hanno anche i loro nomi: rispettivamente metà, terzo e quarto.
Ma c’è anche un’altra frazione che si verifica frequentemente. Questa è una frazione (un centesimo). Questa frazione si chiama per cento. Cosa significa centesimo? Questa frazione significa che qualcosa viene diviso in cento parti e da lì viene prelevata una parte. Quindi una percentuale è un centesimo di qualcosa.
Una percentuale è un centesimo di qualcosa
Ad esempio, da un metro è 1 cm, un metro è stato diviso in cento parti e una parte è stata presa (ricordate che 1 metro è 100 cm). E una parte di queste cento parti è 1 cm, quindi l'1% di un metro è 1 cm.
Da un metro sono già 2 centimetri. Questa volta un metro è stato diviso in cento parti e non in una, ma da lì sono state prese due parti. E due parti su cento sono due centimetri. Quindi il 2% di un metro è 2 centimetri.
Un altro esempio, da un rublo è un centesimo. Il rublo è stato diviso in cento parti e da lì è stata prelevata una parte. E una parte di queste cento parti è un centesimo. Quindi l'1% di un rublo è un centesimo.
Le percentuali erano così comuni che le persone sostituivano la frazione con un'icona speciale simile a questa:
Questa voce dice "uno per cento". Sostituisce la frazione. Sostituisce anche il decimale 0,01 perché se convertiamo la frazione comune in un decimale, otteniamo 0,01. Pertanto, tra queste tre espressioni, puoi inserire un segno di uguale:
1% = = 0,01
Il due per cento in forma frazionaria verrebbe scritto come , in forma decimale come 0,02 e con un segno speciale il due per cento verrebbe scritto come 2%.
2% = = 0,02
Come trovare la percentuale?
Il principio per trovare una percentuale è lo stesso del normale trovare una frazione di un numero. Per trovare la percentuale di qualcosa, devi dividerlo in 100 parti e moltiplicare il numero risultante per la percentuale desiderata.
Ad esempio, trova il 2% di 10 cm.
Cosa significa 2%? La voce 2% sostituisce la voce . Se traduciamo questo compito in un linguaggio più comprensibile, sarà simile a questo:
Trova da 10 cm
E sappiamo già come risolvere tali compiti. Questo è il solito risultato di una frazione di numero. Per trovare la frazione di un numero, devi dividere questo numero per il denominatore della frazione e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione.
Quindi dividiamo il numero 10 per il denominatore della frazione
Ho ottenuto 0,1. Ora moltiplichiamo 0,1 per il numeratore della frazione
0,1 x 2 = 0,2
Abbiamo ottenuto la risposta 0.2. Quindi il 2% di 10 cm è 0,2 cm e se otteniamo 2 millimetri:
0,2 cm = 2 mm
Quindi il 2% di 10 cm è 2 mm.
Esempio 2 Trova il 50% di 300 rubli.
Per trovare il 50% di 300 rubli, devi dividere questi 300 rubli per 100 e moltiplicare il risultato per 50.
Quindi dividiamo 300 rubli per 100
300: 100 = 3
Ora moltiplica il risultato per 50
3×50 = 150 rubli
Quindi il 50% di 300 rubli è 150 rubli.
Se all'inizio è difficile abituarsi alla notazione con il segno%, puoi sostituire questa notazione con una normale notazione frazionaria.
Ad esempio, lo stesso 50% può essere sostituito con la voce. Quindi il compito sarà simile a questo: trova da 300 rubli ed è ancora più facile per noi risolvere tali problemi
300: 100 = 3
3 x 50 = 150
In linea di principio, non c'è nulla di complicato qui. Se sorgono difficoltà, ti consigliamo di fermarti e riesaminare e.
Esempio 3 La fabbrica di abbigliamento ha prodotto 1200 abiti. Di questi, il 32% sono abiti di un nuovo stile. Quanti abiti del nuovo stile ha prodotto la fabbrica?
Qui devi trovare il 32% di 1200. Il numero trovato sarà la risposta al problema. Usiamo la regola della percentuale. Dividi 1200 per 100 e moltiplica il risultato per la percentuale desiderata, ad es. alle 32
1200: 100 = 12
12 x 32 = 384
Risposta: la fabbrica ha prodotto 384 abiti del nuovo stile.
Il secondo modo per trovare la percentuale
Il secondo modo per trovare la percentuale è molto più semplice e conveniente. Sta nel fatto che il numero da cui si cerca la percentuale verrà immediatamente moltiplicato per la percentuale desiderata, espressa come frazione decimale.
Ad esempio, risolviamo il problema precedente in questo modo. Trova il 50% di 300 rubli.
La voce 50% sostituisce la voce e se traduciamo queste in una frazione decimale otteniamo 0,5
Adesso, per trovare il 50% di 300, basterà moltiplicare il numero 300 per la frazione decimale 0,5
300 x 0,5 = 150
A proposito, il meccanismo per trovare la percentuale sui calcolatori funziona secondo lo stesso principio. Per trovare una percentuale utilizzando una calcolatrice, è necessario inserire nella calcolatrice il numero da cui si cerca la percentuale, quindi premere il tasto di moltiplicazione e inserire la percentuale che si sta cercando. Quindi premere il tasto percentuale
Trovare un numero in base alla sua percentuale
Conoscendo la percentuale di un numero, puoi scoprire il numero intero. Ad esempio, un'impresa ci ha pagato 60.000 rubli per il lavoro, ovvero il 2% del profitto totale ricevuto dall'impresa. Conoscendo la nostra quota e la sua percentuale, possiamo scoprire il profitto totale.
Per prima cosa devi scoprire quanti rubli è l'1%. Come farlo? Prova ad indovinare studiando attentamente la seguente figura:
Se il due per cento del profitto totale è di 60 mila rubli, è facile intuire che l'uno per cento è di 30 mila rubli. E per ottenere questi 30mila rubli, devi dividere 60mila per 2
60 000: 2 = 30 000
Abbiamo trovato l'1% del profitto totale, vale a dire . Se una parte è 30mila, per determinare cento parti è necessario moltiplicare 30mila per 100
30.000 × 100 = 3.000.000
Abbiamo trovato il profitto totale. Sono tre milioni.
Proviamo a formare una regola per trovare un numero in base alla sua percentuale.
Per trovare un numero in base alla sua percentuale, devi dividere il numero noto per la percentuale data e moltiplicare il risultato per 100.
Esempio 2 Il numero 35 è il 7% di un numero sconosciuto. Trova questo numero sconosciuto.
Leggi la prima parte della regola:
Per trovare un numero in base alla sua percentuale, devi dividere il numero conosciuto per la percentuale data.
Il nostro numero noto è 35 e la percentuale data è 7. Dividi 35 per 7
35: 7 = 5
Leggi la seconda parte della regola:
e moltiplicare il risultato per 100
Il nostro risultato è il numero 5. Moltiplica 5 per 100
5 x 100 = 500
500 è il numero sconosciuto che era necessario trovare. Puoi fare un controllo. Per fare questo, troviamo il 7% di 500. Se abbiamo fatto tutto bene, dovremmo ottenere 35
500: 100 = 5
5 x 7 = 35
Ne abbiamo ottenuti 35. Quindi il problema è stato risolto correttamente.
Il principio per trovare un numero tramite la sua percentuale è lo stesso che per trovare un numero intero tramite la sua frazione. Se all'inizio le percentuali creano confusione e confusione, la voce percentuale può essere sostituita con una voce frazionaria.
Ad esempio, il problema precedente può essere formulato come segue: il numero 35 proviene da un numero sconosciuto. Trova questo numero sconosciuto. Sappiamo già come risolvere questi problemi. Questo significa trovare un numero da una frazione. Per trovare un numero da una frazione, dividiamo questo numero per il numeratore della frazione e moltiplichiamo il risultato per il denominatore della frazione. Nel nostro esempio, il numero 35 deve essere diviso per 7 e il risultato moltiplicato per 100
35: 7 = 5
5 x 100 = 500
In futuro risolveremo problemi relativi alle percentuali, alcuni dei quali saranno difficili. Per non complicare inizialmente l'apprendimento, è sufficiente riuscire a trovare la percentuale del numero e il numero in percentuale.
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Anonimo Il numero A è inferiore del 56% rispetto al numero B, che è 2,2 volte inferiore rispetto al numero C. Qual è la percentuale del numero C rispetto al numero A? NMitra A = B - 0,56 ⋅ B = B ⋅ (1 - 0,56) = 0,44 ⋅ B B = A: 0,44 C = 2,2 ⋅ B = 2,2 ⋅ A: 0,44 = 5 ⋅ A C 5 volte in più A C 400% in più A Aiuto anonimo. Nel 2001 i ricavi sono aumentati del 2% rispetto al 2000, anche se si prevedeva di raddoppiarli. In quale percentuale il piano è inadeguato? NMitra A - 2000 B - 2001 B = A + 0,02A = A ⋅ (1 + 0,02) = 1,02 ⋅ A B = 2 ⋅ A (piano) 2 - 100% 1,02 - x% x = 1,02 ⋅ 100: 2 = 51% (obiettivo raggiunto) 100 - 51 = 49% (obiettivo non raggiunto) Anonimo Aiuta a rispondere alla domanda. L'anguria contiene il 99% di umidità, ma dopo l'essiccazione (messa al sole per alcuni giorni), il suo contenuto di umidità è del 98%. Di quale % cambierà il PESO dell'anguria dopo l'essiccazione? Se calcoli matematicamente, si scopre che la mia anguria si è completamente seccata. Ad esempio: con un peso di 20 kg, l'acqua rappresenta il 99% della massa, ovvero il peso a secco è 1% \u003d 0,2 kg. Qui l'anguria perde liquido, ed è già al 98%, quindi il peso secco è del 2%. Ma il peso a secco non può cambiare a causa della perdita d'acqua, quindi è ancora di 0,2 kg. 2%=0,2 => 100%=10 kg. Anonimo Dimmi, per favore, come calcolare la percentuale stessa nell'intervallo di 2 valori? Dimmi, qual è la percentuale del numero 37 nell'intervallo di valori 22-63? Ho bisogno di una formula per un'applicazione, risolvevo questi problemi in un paio di minuti, ma ora il mio cervello si è rimpicciolito). Dare una mano. NMitra A me sembra così: percentuale = (numero - z0) ⋅ 100: (z1-z0) z0 - valore iniziale dell'intervallo z1 - valore finale dell'intervallo Ad esempio, x = (37-22) ⋅ 100: (63-22) = 1500 : 41 = 37% Per l'esempio seguente converge
| 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 35 | 50% | 10 | 45 |
| 16 | 23% | 4,6 | 20,6 |
| 18 | 26% | 5,2 | 23,2 |
| 1 | 1% | 0,2 | 1,2 |
| 70 | 100% | 20 | 90 |
| 35 | 50% | 10 | 45 | 67,5 |
| 16 | 23% | 4,6 | 20,6 | 30,9 |
| 18 | 26% | 5,2 | 23,2 | 34,8 |
| 1 | 1% | 0,2 | 1,2 | 1,8 |
| 70 | 100% | 20 | 90 | 135 |
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Oggi, nel mondo moderno, è impossibile fare a meno dell'interesse. Anche a scuola, a partire dalla 5° elementare, i bambini imparano questo concetto e risolvono problemi con questo valore. L'interesse si trova in ogni area delle strutture moderne. Prendiamo, ad esempio, le banche: l'importo del pagamento in eccesso del prestito dipende dall'importo specificato nel contratto; anche la dimensione del profitto ne risente, quindi è fondamentale sapere cos'è una percentuale.
Il concetto di interesse
Secondo una leggenda, la percentuale è apparsa a causa di uno stupido errore di battitura. Il compositore avrebbe dovuto impostare il numero 100, ma lo ha confuso e lo ha messo così: 010. Ciò ha fatto sì che il primo zero aumentasse leggermente e il secondo diminuisse. L'unità è diventata una barra rovesciata. Tali manipolazioni hanno portato alla comparsa del segno percentuale. Naturalmente ci sono altre leggende sull'origine di questo valore.
Gli indù conoscevano le percentuali già nel V secolo. In Europa, con la quale il nostro concetto è strettamente interconnesso, è apparso dopo un millennio. Per la prima volta nel Vecchio Mondo, il giudizio su quale sia la percentuale è stato introdotto da uno scienziato belga, Simon Stevin. Nel 1584, una tabella delle grandezze fu pubblicata per la prima volta dallo stesso scienziato.
La parola "percentuale" ha origine dal latino come pro centum. Se traduci la frase, ottieni "da cento". Quindi per percentuale si intende un centesimo di valore, un numero. Questo valore è indicato dal segno%.
Grazie alle percentuali è diventato possibile confrontare parti di un tutto senza troppe difficoltà. La comparsa delle azioni ha notevolmente semplificato i calcoli, motivo per cui sono diventate così comuni.
Conversione delle frazioni in percentuali
Per convertire una frazione decimale in percentuale, potrebbe essere necessaria la cosiddetta formula percentuale: la frazione viene moltiplicata per 100,% viene aggiunto al risultato.
Se devi convertire una frazione ordinaria in percentuale, devi prima renderla un decimale, quindi utilizzare la formula sopra.
Conversione di percentuali in frazioni
Pertanto, la formula percentuale è piuttosto arbitraria. Ma devi sapere come convertire questo valore in un'espressione frazionaria. Per convertire le azioni (percentuali) in frazioni decimali, è necessario rimuovere il segno% e dividere l'indicatore per 100.
La formula per calcolare la percentuale di un numero
1) 40 x 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (studenti).
Risposta: il lavoro di controllo su "5" è stato scritto da 12 studenti.
Puoi utilizzare la tabella già pronta, che mostra alcune frazioni e percentuali che corrispondono ad esse.
Si scopre che la formula percentuale è simile alla seguente: C \u003d (A ∙ B) / 100, dove A è il numero originale (in un esempio specifico, pari a 40); B - il numero di percentuale (in questo problema, B = 30%); C è il risultato desiderato.
Formula per calcolare un numero da una percentuale
L'attività seguente dimostrerà cos'è una percentuale e come trovare un numero da una percentuale.
La fabbrica di abbigliamento ha prodotto 1.200 abiti, di cui il 32% sono abiti di nuovo stile. Quanti vestiti di nuovo stile ha realizzato la fabbrica di abbigliamento?
1. 1200: 100 = 12 (abiti) - 1% di tutti gli articoli prodotti.
2. 12 x 32 = 384 (abiti).
Risposta: La fabbrica ha prodotto 384 nuovi abiti in stile.
Se devi trovare un numero in base alla sua percentuale, puoi utilizzare la seguente formula: C \u003d (A ∙ 100) / B, dove A è il numero totale di elementi (in questo caso A \u003d 1200); B - il numero di percentuale (in un'attività specifica B = 32%); C è il valore desiderato.
Aumenta, diminuisce un numero di una determinata percentuale
Gli studenti devono imparare cosa sono le percentuali, come contarle e risolvere vari problemi. Per fare ciò, devi capire come il numero aumenta o diminuisce del N%.
Spesso vengono assegnati compiti e nella vita è necessario scoprire a quanto sarà uguale il numero aumentato di una determinata percentuale. Ad esempio, dato il numero X. Devi scoprire quale sarà il valore di X se viene aumentato, diciamo, del 40%. Per prima cosa devi convertire il 40% in un numero frazionario (40/100). Quindi, il risultato dell'aumento del numero X sarà: X + 40% ∙ X \u003d (1 + 40 / 100) ∙ X \u003d 1,4 ∙ X. Se sostituiamo qualsiasi numero invece di X, prendi, ad esempio, 100 , quindi l'intera espressione sarà uguale a: 1.4 ∙ X \u003d 1.4 ∙ 100 \u003d 140.
Approssimativamente lo stesso principio viene utilizzato quando si diminuisce un numero di una determinata percentuale. È necessario eseguire calcoli: X - X ∙ 40% \u003d X ∙ (1-40 / 100) \u003d 0,6 ∙ X. Se il valore è 100, quindi 0,6 ∙ X \u003d 0,6. 100 = 60.
Ci sono attività in cui devi scoprire in quale percentuale il numero è aumentato.
Ad esempio, dato il compito: L'autista percorreva un tratto della pista ad una velocità di 80 km/h. In un altro tratto la velocità del treno è aumentata fino a 100 km/h. Di quale percentuale è aumentata la velocità del treno?
Diciamo che 80 km/h sono al 100%. Quindi facciamo i calcoli: (100% ∙ 100 km / h) / 80 km / h = 1000: 8 = 125%. Risulta che 100 km / h sono il 125%. Per scoprire quanto è aumentata la velocità, è necessario calcolare: 125% - 100% = 25%.
Risposta: la velocità del treno nella seconda tratta è aumentata del 25%.
Proporzione
Ci sono spesso casi in cui è necessario risolvere problemi relativi alle percentuali utilizzando una proporzione. In effetti, questo metodo di ricerca del risultato facilita notevolmente il compito di studenti, insegnanti e non solo.
Allora, qual è la proporzione? Questo termine si riferisce all'uguaglianza di due relazioni, che può essere espressa come segue: A / B \u003d C / D.
Nei libri di testo di matematica esiste una regola del genere: il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto della media. Ciò è espresso dalla seguente formula: A x D = B x C.
Grazie a questa formulazione è possibile calcolare qualsiasi numero conoscendo gli altri tre termini della proporzione. Ad esempio, A è un numero sconosciuto. Per trovarlo, hai bisogno
Quando si risolvono i problemi con il metodo delle proporzioni, è necessario capire da quale numero prendere le percentuali. Ci sono momenti in cui le azioni devono essere prese da valori diversi. Confrontare:
1. Dopo la fine dei saldi nel negozio, il costo della maglietta è aumentato del 25% e ammontava a 200 rubli. Qual era il prezzo durante la vendita?
In questo caso il valore di 200 rubli corrisponde al 125% del prezzo originale (di vendita) della maglietta. Quindi, per scoprirne il valore durante la vendita, hai bisogno di (200 x 100): 125. Ottieni 160 rubli.
2. Ci sono 200.000 abitanti sul pianeta Vitsencia: persone e rappresentanti della razza umanoide Naavi. I Naavi costituiscono l'80% della popolazione totale di Vicencia. Delle persone, il 40% è impiegato nella manutenzione della miniera, il resto viene estratto per il tetanio. Quante persone estraggono il tetanio?
Prima di tutto bisogna trovare in forma numerica il numero di persone e il numero di Naavi. Quindi, l'80% di 200.000 sarà pari a 160.000, tanti rappresentanti della razza umanoide vivono a Vicencia. Il numero delle persone rispettivamente è di 40.000, di cui il 40%, cioè 16.000, servono la miniera. Quindi, 24.000 persone sono impegnate nell'estrazione del tetanio.
Modifica multipla di un numero di una certa percentuale
Quando è già chiaro cos'è una percentuale, è necessario studiare il concetto di cambiamento assoluto e relativo. Una trasformazione assoluta è intesa come un aumento di un numero di un numero specifico. Quindi X è aumentato di 100. Qualunque cosa si sostituisca a X, questo numero aumenterà comunque di 100: 15 + 100; 99,9+100; a + 100, ecc.
Una variazione relativa è intesa come un aumento di un valore di un certo numero di punti percentuali. Diciamo che X è aumentato del 20%. Ciò significa che X sarà uguale a: X + X ∙ 20%. Il cambiamento relativo è implicito ogni volta che parliamo di un aumento della metà o di un terzo, di un quarto di diminuzione, di un aumento del 15%, ecc.
C'è un altro punto importante: se il valore di X aumenta del 20%, e poi di un altro 20%, l'aumento totale sarà del 44%, ma non del 40%. Ciò può essere visto dai seguenti calcoli:
1. X + 20% ∙ X = 1,2 ∙ X
2. 1,2 ∙ X + 20% ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X
Ciò dimostra che X è aumentato del 44%.
Esempi di attività per percentuali
1. Quale percentuale del numero 36 è il numero 9?
Secondo la formula per trovare la percentuale di un numero, devi moltiplicare 9 per 100 e dividere per 36.
Risposta: Il numero 9 è il 25% di 36.
2. Calcola il numero C, che è il 10% di 40.
Secondo la formula per trovare un numero in base alla sua percentuale, devi moltiplicare 40 per 10 e dividere il risultato per 100.
Risposta: Il numero 4 è il 10% di 40.
3. Il primo partner ha investito nell'attività 4.500 rubli, il secondo - 3.500 rubli, il terzo - 2.000 rubli. Hanno realizzato un profitto di 2400 rubli. Hanno condiviso equamente i profitti. Quanto in rubli ha perso il primo partner rispetto a quanto avrebbe ricevuto se avesse diviso il reddito in base alla percentuale dei fondi investiti?
Quindi insieme hanno investito 10.000 rubli. Il reddito per ciascuno ammontava a una quota uguale di 800 rubli. Per scoprire quanto avrebbe dovuto ricevere il primo partner e quanto ha perso, rispettivamente, è necessario scoprire la percentuale dei fondi investiti. Quindi devi scoprire quanto profitto realizza questo contributo in rubli. E l'ultima cosa è sottrarre 800 rubli dal risultato.
Risposta: il primo partner ha perso 280 rubli condividendo i profitti.
Un po' di economia
Oggi, una domanda piuttosto popolare è l'emissione di un prestito per un certo periodo. Ma come scegliere un prestito redditizio per non pagare più del dovuto? Per prima cosa devi considerare il tasso di interesse. È auspicabile che questo indicatore sia il più basso possibile. Allora dovresti richiedere un prestito.
Di norma, l'entità del pagamento in eccesso dipende dall'importo del debito, dal tasso di interesse e dal metodo di rimborso. Esistono delle rendite e nel primo caso il prestito viene rimborsato in rate costanti ogni mese. Immediatamente l'importo che copre il prestito principale aumenta e il costo degli interessi diminuisce gradualmente. Nel secondo caso, il mutuatario paga importi costanti per ripagare il prestito, a cui vengono aggiunti gli interessi sul saldo del debito principale. Ogni mese l'importo totale dei pagamenti diminuirà.
Ora devi considerare entrambi i metodi, quindi con l'opzione rendita l'importo del pagamento in eccesso sarà maggiore e con l'opzione differenziale l'importo dei primi pagamenti. Naturalmente le condizioni del prestito sono le stesse per entrambi i casi.
Conclusione
Quindi, interesse. Come contarli? Abbastanza semplice. Tuttavia, a volte possono essere problematici. Questo argomento inizia a essere studiato a scuola, ma raggiunge tutti nel campo dei prestiti, dei depositi, delle tasse, ecc. Pertanto, è consigliabile approfondire l'essenza di questa questione. Se ancora non riesci a fare i calcoli, ci sono molti calcolatori online che ti aiuteranno a far fronte al compito.