როგორ ამოიღოთ მოდული უთანასწორობაში. უტოლობა მოდულთან. ახალი ხედვა გამოსავალზე

დღეს, მეგობრებო, არ იქნება სნეული და სენტიმენტი. ამის ნაცვლად, მე გამოგიგზავნით ბრძოლაში მე-8-9 კლასის ალგებრის კურსის ერთ-ერთ ყველაზე საშინელ მოწინააღმდეგესთან დამატებითი კითხვების გარეშე.

დიახ, თქვენ სწორად გაიგეთ ყველაფერი: ჩვენ ვსაუბრობთ უტოლობებზე მოდულით. ჩვენ განვიხილავთ ოთხ ძირითად ტექნიკას, რომლითაც თქვენ ისწავლით ამ პრობლემების დაახლოებით 90%-ის გადაჭრას. რაც შეეხება დანარჩენ 10%-ს? კარგად, მათზე ვისაუბრებთ ცალკე გაკვეთილზე. :)

თუმცა, სანამ რაიმე ხრიკს გავაანალიზებ, მინდა გავიხსენო ორი ფაქტი, რომელიც უკვე უნდა იცოდე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ რისკავთ, რომ საერთოდ არ გაიგოთ დღევანდელი გაკვეთილის მასალა.

რაც უკვე უნდა იცოდეთ

კაპიტანი მტკიცებულება, როგორც ეს იყო, მიანიშნებს, რომ უტოლობების მოდულით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ორი რამ:

1. როგორ წყდება უთანასწორობა?
2. რა არის მოდული.

დავიწყოთ მეორე პუნქტით.

მოდულის განმარტება

აქ ყველაფერი მარტივია. არსებობს ორი განმარტება: ალგებრული და გრაფიკული. დავიწყოთ ალგებრით:

განმარტება. $x$ რიცხვის მოდული არის ან თავად რიცხვი, თუ ის არაუარყოფითია, ან მისი საპირისპირო რიცხვი, თუ ორიგინალი $x$ მაინც უარყოფითია.

ასე წერია:

\[\მარცხნივ| x \მარჯვნივ|=\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

მარტივი სიტყვებით, მოდული არის "რიცხვი მინუსის გარეშე". და ეს არის ამ ორმაგობაში (სადღაც თქვენ არ გჭირდებათ არაფრის გაკეთება ორიგინალური ნომრით, მაგრამ სადღაც თქვენ უნდა ამოიღოთ იქ რაღაც მინუსი) და დამწყები სტუდენტებისთვის მთელი სირთულე დევს.

ასევე არსებობს გეომეტრიული განმარტება. მისი ცოდნაც სასარგებლოა, მაგრამ მას მხოლოდ რთულ და ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევებში მივმართავთ, სადაც გეომეტრიული მიდგომა უფრო მოსახერხებელია ვიდრე ალგებრული (სპოილერი: დღეს არა).

განმარტება. დაე, წერტილი $a$ იყოს მონიშნული რეალურ ხაზზე. შემდეგ მოდული $\left| x-a \right|$ არის მანძილი $x$ წერტილიდან $a$ წერტილამდე ამ ხაზის.

თუ სურათს დახატავთ, მიიღებთ ასეთ რამეს:

გრაფიკული მოდულის განმარტება

ამა თუ იმ გზით, მისი ძირითადი თვისება დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს მოდულის განმარტებიდან: რიცხვის მოდული ყოველთვის არაუარყოფითი მნიშვნელობაა. ეს ფაქტი იქნება წითელი ძაფი, რომელიც გადის მთელ ჩვენს ისტორიას დღეს.

უტოლობების ამოხსნა. დაშორების მეთოდი

ახლა მოდით გავუმკლავდეთ უთანასწორობებს. ბევრი მათგანია, მაგრამ ახლა ჩვენი ამოცანაა შევძლოთ მათგან ყველაზე მარტივი მაინც ამოხსნათ. ისინი, რომლებიც დაყვანილია წრფივ უტოლობამდე, ასევე ინტერვალების მეთოდზე.

მე მაქვს ორი დიდი გაკვეთილი ამ თემაზე (სხვათა შორის, ძალიან, ძალიან სასარგებლო - გირჩევთ სწავლას):

1. უტოლობების ინტერვალის მეთოდი (განსაკუთრებით ნახეთ ვიდეო);
2. წილადი-რაციონალური უტოლობები ძალიან მოცულობითი გაკვეთილია, მაგრამ ამის შემდეგ საერთოდ არ გექნებათ შეკითხვები.

თუ ეს ყველაფერი იცით, თუ ფრაზა "მოდით გადავიდეთ უთანასწორობიდან განტოლებაზე" არ გაგიჩენთ კედელთან თავის მოკვლის გაურკვეველ სურვილს, მაშინ მზად ხართ: კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება ჯოჯოხეთში გაკვეთილის მთავარ თემაზე. :)

1. „ფუნქციაზე ნაკლები მოდული“ ფორმის უტოლობები.

ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად ნაცნობი ამოცანა მოდულებით. საჭიროა ფორმის უტოლობის ამოხსნა:

\[\მარცხნივ| f\right| \ltg\]

ნებისმიერს შეუძლია შეასრულოს $f$ და $g$ ფუნქციები, მაგრამ, როგორც წესი, ისინი პოლინომებია. ასეთი უტოლობების მაგალითები:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| 2x+3\მარჯვნივ| \ltx+7; \\ & \მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ|+3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \lt 0; \\ & \მარცხნივ| ((x)^(2))-2\მარცხნივ| x \მარჯვნივ|-3 \მარჯვნივ| \lt 2. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ყველა მათგანი წყდება სიტყვასიტყვით ერთ ხაზზე სქემის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \მარცხნივ(\Rightarrow \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\ბოლო(გასწორება) \მართალია მართალია)\]

ადვილი მისახვედრია, რომ ჩვენ ვიშორებთ მოდულს, მაგრამ სამაგიეროდ ვიღებთ ორმაგ უტოლობას (ან, რაც იგივეა, ორი უტოლობის სისტემას). მაგრამ ეს გადასვლა ითვალისწინებს აბსოლუტურად ყველა შესაძლო პრობლემას: თუ მოდულის ქვეშ რიცხვი დადებითია, მეთოდი მუშაობს; თუ უარყოფითია, ის მაინც მუშაობს; და თუნდაც ყველაზე არაადეკვატური ფუნქციით $f$ ან $g$-ის ნაცვლად, მეთოდი მაინც იმუშავებს.

ბუნებრივია, ჩნდება კითხვა: არ არის ადვილი? სამწუხაროდ, არ შეგიძლია. ეს არის მოდულის მთელი აზრი.

მაგრამ საკმარისია ფილოსოფოსობა. მოდით გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| 2x+3\მარჯვნივ| \ltx+7\]

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ფორმის კლასიკური უთანასწორობა "მოდული ნაკლებია" - გარდაქმნის არაფერია. ჩვენ ვმუშაობთ ალგორითმის მიხედვით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \მარცხნივ| 2x+3\მარჯვნივ| \lt x+7\მარჯვენა ისარი -\მარცხნივ(x+7 \მარჯვნივ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ნუ იჩქარებთ ფრჩხილების გახსნას, რომლებსაც წინ უძღვის „მინუსი“: სავსებით შესაძლებელია, რომ აჩქარების გამო დაუშვათ შეურაცხმყოფელი შეცდომა.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

პრობლემა დაყვანილია ორ ელემენტარულ უთანასწორობამდე. ჩვენ აღვნიშნავთ მათ გადაწყვეტილებებს პარალელურ რეალურ ხაზებზე:

მრავალის კვეთა

ამ კომპლექტების კვეთა იქნება პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \მარჯვნივ)$

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ|+3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \lt 0\]

გამოსავალი. ეს ამოცანა ცოტა უფრო რთულია. დასაწყისისთვის, ჩვენ გამოვყოფთ მოდულს მეორე ტერმინის მარჯვნივ გადაადგილებით:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \lt -3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)\]

ცხადია, ჩვენ კვლავ გვაქვს უთანასწორობა ფორმის „მოდული ნაკლებია“, ასე რომ, ჩვენ ვაშორებთ მოდულს უკვე ცნობილი ალგორითმის მიხედვით:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \მარჯვნივ)\]

ახლა ყურადღება: ვიღაც იტყვის, რომ მე ცოტა გარყვნილი ვარ ყველა ამ ფრჩხილით. მაგრამ კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ ჩვენი მთავარი მიზანია სწორად ამოხსენით უტოლობა და მიიღეთ პასუხი. მოგვიანებით, როდესაც სრულყოფილად აითვისებთ ყველაფერს, რაც ამ გაკვეთილზეა აღწერილი, შეგიძლიათ საკუთარი თავის გადახვევა ისე, როგორც გსურთ: გახსენით ფრჩხილები, დაამატეთ მინუსები და ა.შ.

და დამწყებთათვის, ჩვენ უბრალოდ მოვიშორებთ მარცხნივ ორმაგ მინუსს:

\[-\left(-3\left(x+1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(x+1 \მარჯვნივ) =3\მარცხნივ(x+1\მარჯვნივ)\]

ახლა გავხსნათ ყველა ფრჩხილები ორმაგ უტოლობაში:

გადავიდეთ ორმაგ უთანასწორობაზე. ამჯერად გამოთვლები უფრო სერიოზული იქნება:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( გასწორება)\მარჯვნივ.\]

ორივე უტოლობა კვადრატულია და წყდება ინტერვალის მეთოდით (ამიტომ ვამბობ: თუ არ იცით რა არის, ჯობია ჯერ არ აიღოთ მოდულები). გადავდივართ განტოლებაზე პირველ უტოლობაში:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ მარცხენა (x+5 \მარჯვნივ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, გამომავალი აღმოჩნდა არასრული კვადრატული განტოლება, რომელიც ამოხსნილია ელემენტარულად. ახლა მოდით გავუმკლავდეთ სისტემის მეორე უთანასწორობას. აქ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მიღებულ რიცხვებს აღვნიშნავთ ორ პარალელურ წრფეზე (ცალკე პირველი უტოლობა და ცალკე მეორე):

ისევ, ვინაიდან ჩვენ ვხსნით უტოლობათა სისტემას, გვაინტერესებს დაჩრდილული სიმრავლეთა კვეთა: $x\in \left(-5;-2 \right)$. ეს არის პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(-5;-2 \მარჯვნივ)$

ვფიქრობ, ამ მაგალითების შემდეგ გადაწყვეტის სქემა ძალიან ნათელია:

1. მოდულის იზოლირება ყველა სხვა ტერმინის გადატანით უტოლობის საპირისპირო მხარეს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ $\left| ფორმის უტოლობას f\right| \ltg$.
2. მოაგვარეთ ეს უთანასწორობა მოდულის მოშორებით, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი. რაღაც მომენტში საჭირო იქნება ორმაგი უთანასწორობიდან გადასვლა ორი დამოუკიდებელი გამონათქვამის სისტემაზე, რომელთაგან თითოეული უკვე შეიძლება ცალკე გადაიჭრას.
3. დაბოლოს, რჩება მხოლოდ ამ ორი დამოუკიდებელი გამოთქმის ამონახსნების გადაკვეთა - და ეს არის ის, ჩვენ მივიღებთ საბოლოო პასუხს.

მსგავსი ალგორითმი არსებობს შემდეგი ტიპის უტოლობებისთვის, როცა მოდული ფუნქციაზე მეტია. თუმცა არის რამდენიმე სერიოზული „მაგრამ“. ამ „მაგრამ“ ახლა ვისაუბრებთ.

2. „მოდული მეტია ფუნქციაზე“ ფორმის უტოლობები.

ისინი ასე გამოიყურებიან:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt g\]

წინას მსგავსი? Როგორც ჩანს. მიუხედავად ამისა, ასეთი ამოცანები წყდება სრულიად განსხვავებული გზით. ფორმალურად, სქემა შემდეგია:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt g\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ განვიხილავთ ორ შემთხვევას:

1. პირველ რიგში, ჩვენ უბრალოდ უგულებელყოფთ მოდულს - ვხსნით ჩვეულებრივ უტოლობას;
2. შემდეგ, ფაქტობრივად, ვხსნით მოდულს მინუს ნიშნით და შემდეგ უტოლობის ორივე ნაწილს ვამრავლებთ −1-ზე, ნიშნით.

ამ შემთხვევაში, ვარიანტები გაერთიანებულია კვადრატულ ფრჩხილთან, ე.ი. ჩვენ გვაქვს ორი მოთხოვნის კომბინაცია.

კიდევ ერთხელ მიაქციეთ ყურადღება: ჩვენს წინაშე არის არა სისტემა, არამედ აგრეგატი პასუხში კომპლექტები გაერთიანებულია და არა იკვეთება. ეს არის ფუნდამენტური განსხვავება წინა აბზაცისგან!

ზოგადად, ბევრ სტუდენტს აქვს ბევრი გაუგებრობა გაერთიანებებთან და კვეთებთან დაკავშირებით, ასე რომ, მოდით, ერთხელ და სამუდამოდ მივხედოთ ამ საკითხს:

• "∪" არის შეერთების ნიშანი. სინამდვილეში, ეს არის სტილიზებული ასო "U", რომელიც ჩვენამდე მოვიდა ინგლისური ენიდან და არის "Union"-ის აბრევიატურა, ე.ი. "ასოციაციები".
• "∩" არის გადაკვეთის ნიშანი. ეს სისულელე არსაიდან მოსულა, მაგრამ უბრალოდ „∪“-ს ოპოზიციად გამოჩნდა.

დასამახსოვრებლად კიდევ უფრო გასაადვილებლად, უბრალოდ დაამატეთ ფეხები ამ ნიშნებს სათვალეების გასაკეთებლად (უბრალოდ ახლა ნუ დამაბრალებთ ნარკომანიის და ალკოჰოლიზმის ხელშეწყობას: თუ სერიოზულად სწავლობთ ამ გაკვეთილს, მაშინ უკვე ნარკომანი ხართ):

განსხვავება სიმრავლეთა კვეთასა და გაერთიანებას შორის

რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს შემდეგს: გაერთიანება (კრებული) მოიცავს ელემენტებს ორივე კომპლექტიდან, შესაბამისად, არანაკლებ თითოეულ მათგანზე; მაგრამ კვეთა (სისტემა) მოიცავს მხოლოდ იმ ელემენტებს, რომლებიც არიან როგორც პირველ კომპლექტში, ასევე მეორეში. მაშასადამე, სიმრავლეთა კვეთა არასოდეს არ არის მეტი წყაროს სიმრავლეებზე.

ასე უფრო ნათელი გახდა? Დიდებულია. მოდით გადავიდეთ პრაქტიკაზე.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| 3x+1 \მარჯვნივ| \gt 5-4x\]

გამოსავალი. ჩვენ ვმოქმედებთ სქემის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| 3x+1 \მარჯვნივ| \gt 5-4x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\მარცხნივ(5-4x \მარჯვნივ) \\\ბოლო (გასწორება) \ მართალია.\]

ჩვენ ვხსნით თითოეულ პოპულაციის უთანასწორობას:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (გასწორება) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ აღვნიშნავთ თითოეულ მიღებულ კომპლექტს რიცხვით ხაზზე და შემდეგ ვაკავშირებთ მათ:

კომპლექტების გაერთიანება

ცხადია, პასუხი არის $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

პასუხი: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \მარჯვნივ)$

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \gtx\]

გამოსავალი. კარგად? არა, სულ ერთია. მოდულის მქონე უტოლობიდან გადავდივართ ორი უტოლობის სიმრავლეზე:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \gt x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ ვხსნით თითოეულ უტოლობას. სამწუხაროდ, ფესვები იქ არ იქნება ძალიან კარგი:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე უტოლობაში ასევე არის ცოტა თამაში:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ჩვენ უნდა მოვნიშნოთ ეს რიცხვები ორ ღერძზე - თითო ღერძი თითოეული უტოლობისთვის. თუმცა, თქვენ უნდა მონიშნოთ ქულები სწორი თანმიმდევრობით: რაც უფრო დიდია რიცხვი, მით უფრო შორდება წერტილი მარჯვნივ.

და აქ ჩვენ ველოდებით დაყენებას. თუ ყველაფერი ნათელია $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (პირველის მრიცხველის ტერმინები წილადი ნაკლებია მეორეს მრიცხველში მოცემულ წევრებზე, ამიტომ ჯამიც უფრო მცირეა, რიცხვებით $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt). (21))(2)$ ასევე არ იქნება სირთულე (პოზიტიური რიცხვი აშკარად უფრო უარყოფითია), მაგრამ ბოლო წყვილთან ერთად ყველაფერი არც ისე მარტივია. რომელია უფრო დიდი: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ თუ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? პუნქტების განლაგება რიცხვით ხაზებზე და, ფაქტობრივად, პასუხი დამოკიდებული იქნება ამ კითხვაზე პასუხზე.

ასე რომ შევადაროთ:

\[\begin(მატრიცა) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end (მატრიცა)\]

ჩვენ გამოვყავით ფესვი, მივიღეთ არაუარყოფითი რიცხვები უტოლობის ორივე მხარეს, ასე რომ, გვაქვს უფლება ორივე მხარის კვადრატში:

\[\begin(მატრიცა) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end (მატრიცა)\]

ვფიქრობ, უაზროა, რომ $4\sqrt(13) \gt 3$, ასე რომ $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, ბოლოს ღერძებზე წერტილები ასე იქნება მოწყობილი:

მახინჯი ფესვების საქმე

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ ვხსნით კომპლექტს, ამიტომ პასუხი იქნება გაერთიანება და არა დაჩრდილული სიმრავლეთა გადაკვეთა.

პასუხი: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

როგორც ხედავთ, ჩვენი სქემა მშვენივრად მუშაობს როგორც მარტივი, ასევე ძალიან რთული ამოცანებისთვის. ამ მიდგომის ერთადერთი „სუსტი წერტილი“ არის ის, რომ საჭიროა ირაციონალური რიცხვების სწორად შედარება (და მერწმუნეთ: ეს არ არის მხოლოდ ფესვები). მაგრამ ცალკე (და ძალიან სერიოზული გაკვეთილი) დაეთმობა შედარების კითხვებს. და ჩვენ მივდივართ.

3. უტოლობა არაუარყოფითი „კუდებით“

ასე რომ, ჩვენ მივედით ყველაზე საინტერესოზე. ეს არის ფორმის უტოლობები:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt\მარცხნივ| g\right|\]

ზოგადად რომ ვთქვათ, ალგორითმი, რომელზეც ახლა ვისაუბრებთ, მართალია მხოლოდ მოდულისთვის. ის მუშაობს ყველა უტოლობაში, სადაც არის გარანტირებული არაუარყოფითი გამონათქვამები მარცხნივ და მარჯვნივ:

რა ვუყოთ ამ ამოცანებს? უბრალოდ გახსოვდეთ:

არაუარყოფითი კუდების მქონე უთანასწორობებში, ორივე მხარე შეიძლება აიწიოს ნებისმიერ ბუნებრივ ძალამდე. დამატებითი შეზღუდვები არ იქნება.

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ დავინტერესდებით კვადრატში - ის წვავს მოდულებს და ფესვებს:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ მარცხენა (\sqrt(f) \მარჯვნივ))^(2))=f. \\\ბოლო (გასწორება)\]

უბრალოდ არ აურიოთ ეს კვადრატის ფესვის აღებაში:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\მარცხენა| f \right|\ne f\]

უთვალავი შეცდომა დაუშვა, როცა სტუდენტს დაავიწყდა მოდულის დაყენება! მაგრამ ეს სრულიად განსხვავებული ამბავია (ეს, როგორც იქნა, ირაციონალური განტოლებებია), ამიტომ ახლა მასში არ შევალთ. მოდი უკეთ გადავწყვიტოთ რამდენიმე პრობლემა:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ|\ge \მარცხნივ| 1-2x \მარჯვნივ|\]

გამოსავალი. ჩვენ მაშინვე ვამჩნევთ ორ რამეს:

1. ეს არის არა მკაცრი უთანასწორობა. რიცხვითი ხაზის ქულები ამოიჭრება.
2. უტოლობის ორივე მხარე აშკარად არაუარყოფითია (ეს არის მოდულის თვისება: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია უტოლობის ორივე მხარე კვადრატში, რათა მოვიშოროთ მოდული და მოვაგვაროთ პრობლემა ჩვეულებრივი ინტერვალის მეთოდით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ (\ მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2))\ge ((\ მარცხნივ(\მარცხნივ| 1-2x \მარჯვნივ| \მარჯვნივ) )^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))^(2))\ge ((\ მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ბოლო საფეხურზე ცოტა მოვიტყუე: ტერმინების თანმიმდევრობა შევცვალე მოდულის პარიტეტის გამოყენებით (ფაქტობრივად, გამონათქვამი $1-2x$ გავამრავლე −1-ზე).

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ))^(2))-((\left(x+2 \მარჯვნივ))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \მარჯვნივ)-\left(x+2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)\cdot \left(\left(2x-1 \მარჯვნივ)+\მარცხნივ(x+2 \ მარჯვენა)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \მარჯვნივ)\le 0; \\ & \left(x-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(3x+1 \მარჯვნივ)\le 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. გადავიდეთ უტოლობიდან განტოლებაზე:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\ბოლო (გასწორება)\]

აღმოჩენილ ფესვებს ვნიშნავთ რიცხვთა ხაზზე. კიდევ ერთხელ: ყველა წერტილი დაჩრდილულია, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა არ არის მკაცრი!

მოდულის ნიშნის მოშორება

შეგახსენებთ განსაკუთრებით ჯიუტისთვის: ჩვენ ვიღებთ ნიშნებს ბოლო უტოლობიდან, რომელიც ჩამოწერილი იყო განტოლებაზე გადასვლამდე. და ჩვენ ვხატავთ საჭირო უბნებს იმავე უთანასწორობაში. ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

კარგი, ახლა ყველაფერი დასრულდა. პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \მარჯვნივ]$.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ|\le \მარცხნივ| ((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ|\]

გამოსავალი. ჩვენ ყველაფერს ერთნაირად ვაკეთებთ. კომენტარს არ გავაკეთებ - უბრალოდ გადახედეთ მოქმედებების თანმიმდევრობას.

მოდით კვადრატში გავანაწილოთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(\ მარცხნივ| ((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2))\le ((\მარცხნივ(\მარცხნივ | ((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ))^(2))\le ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ))^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ))^(2))-((\ left(((x)^(2))+3x+4 \ მარჯვნივ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \მარჯვნივ)\ჯერ \\ & \ჯერ \მარცხნივ(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \მარჯვნივ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \მარჯვნივ)\le 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

დაშორების მეთოდი:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ(-2x-3 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2((x)^(2))+4x+5 \მარჯვნივ)=0 \\ & -2x-3=0\ მარჯვენა ისარი x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

რიცხვთა ხაზის მხოლოდ ერთი ფესვია:

პასუხი არის მთელი დიაპაზონი

პასუხი: $x\in \left[ -1.5;+\infty \მარჯვნივ)$.

მცირე შენიშვნა ბოლო დავალების შესახებ. როგორც ჩემმა ერთ-ერთმა სტუდენტმა ზუსტად აღნიშნა, ორივე ქვემოდულის გამოხატულება ამ უთანასწორობაში აშკარად დადებითია, ამიტომ მოდულის ნიშანი შეიძლება გამოტოვოთ ჯანმრთელობისთვის ზიანის მიყენების გარეშე.

მაგრამ ეს უკვე სრულიად განსხვავებული აზროვნების დონეა და სხვა მიდგომა – მას პირობითად შეიძლება ეწოდოს შედეგების მეთოდი. მის შესახებ - ცალკე გაკვეთილზე. ახლა კი გადავიდეთ დღევანდელი გაკვეთილის ბოლო ნაწილზე და განვიხილოთ უნივერსალური ალგორითმი, რომელიც ყოველთვის მუშაობს. მაშინაც კი, როცა ყველა წინა მიდგომა უძლური იყო. :)

4. ვარიანტების ჩამოთვლის მეთოდი

რა მოხდება, თუ ყველა ეს ხრიკი არ მუშაობს? თუ უთანასწორობა არ შემცირდება არაუარყოფით კუდებამდე, თუ შეუძლებელია მოდულის იზოლირება, თუ საერთოდ ტკივილი-სევდა-ლტოლვა?

შემდეგ სცენაზე შემოდის ყველა მათემატიკის „მძიმე არტილერია“ - აღრიცხვის მეთოდი. რაც შეეხება უტოლობას მოდულთან, ეს ასე გამოიყურება:

1. ჩამოწერეთ ყველა ქვემოდულის გამონათქვამი და გაათანაბრე ისინი ნულთან;
2. ამოხსენით მიღებული განტოლებები და მონიშნეთ ნაპოვნი ფესვები ერთ რიცხვით წრფეზე;
3. სწორი ხაზი დაიყოფა რამდენიმე მონაკვეთად, რომლის ფარგლებშიც თითოეულ მოდულს აქვს ფიქსირებული ნიშანი და ამიტომ ცალსახად ფართოვდება;
4. ამოხსენით უტოლობა თითოეულ ასეთ მონაკვეთზე (შეგიძლიათ ცალკე განიხილოთ მე-2 პუნქტში მიღებული სასაზღვრო ფესვები - სანდოობისთვის). შეუთავსეთ შედეგები - ეს იქნება პასუხი. :)

აბა, როგორ? სუსტი? მარტივად! მხოლოდ დიდი ხნის განმავლობაში. ვნახოთ პრაქტიკაში:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-\frac(3)(2)\]

გამოსავალი. ეს სისულელე არ იშლება უტოლობებით, როგორიცაა $\left| f\right| \lt g$, $\მარცხენა| f\right| \gt g$ ან $\მარცხენა| f\right| \lt\მარცხნივ| g \right|$, ასე რომ, მოდით წავიდეთ წინ.

ჩვენ ვწერთ ქვემოდულის გამონათქვამებს, ვატოლებთ მათ ნულს და ვპოულობთ ფესვებს:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+2=0\მარჯვენა ისარი x=-2; \\ & x-1=0\მარჯვენა ისარი x=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

საერთო ჯამში, ჩვენ გვაქვს ორი ფესვი, რომელიც ყოფს რიცხვთა ხაზს სამ ნაწილად, რომლის შიგნით თითოეული მოდული ცალსახად ვლინდება:

რიცხვითი წრფის გაყოფა სუბმოდულური ფუნქციების ნულებზე

განვიხილოთ თითოეული განყოფილება ცალკე.

1. მოდით $x \lt -2$. მაშინ ორივე ქვემოდულის გამონათქვამი უარყოფითია და თავდაპირველი უტოლობა გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\დაწყება(გასწორება) & -\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ) \lt -\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ მივიღეთ საკმაოდ მარტივი შეზღუდვა. მოდით გადავკვეთოთ ის თავდაპირველი ვარაუდით, რომ $x \lt -2$:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ ისარი x\\varnothing\]

ცხადია, $x$ ცვლადი ერთდროულად არ შეიძლება იყოს −2-ზე ნაკლები, მაგრამ 1,5-ზე მეტი. ამ სფეროში გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

1.1. ცალკე განვიხილოთ საზღვრის შემთხვევა: $x=-2$. მოდით ჩავანაცვლოთ ეს რიცხვი თავდაპირველ უტოლობაში და შევამოწმოთ: ინახება?

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\მარცხნივ. \მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-1,5 \მარჯვნივ|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \მარცხნივ| -3 \მარჯვნივ|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

ცხადია, გამოთვლების ჯაჭვმა მიგვიყვანა არასწორ უთანასწორობამდე. მაშასადამე, თავდაპირველი უტოლობა ასევე მცდარია და $x=-2$ არ შედის პასუხში.

2. ახლა მოდით $-2 \lt x \lt 1$. მარცხენა მოდული უკვე გაიხსნება „პლუს“-ით, მაგრამ მარჯვენა მაინც „მინუსით“. Ჩვენ გვაქვს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x+2 \lt -\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ კვლავ ვკვეთთ თავდაპირველ მოთხოვნას:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ ისარი x\in \varnothing \]

და ისევ, ამონახსნების ცარიელი სიმრავლე, რადგან არ არსებობს რიცხვები, რომლებიც −2,5-ზე ნაკლები და −2-ზე მეტია.

2.1. და ისევ სპეციალური შემთხვევა: $x=1$. ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ უტოლობას:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\მარცხნივ. \მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-1,5 \მარჯვნივ|)_(x=1)) \\ & \მარცხნივ| 3\მარჯვნივ| \lt\მარცხნივ| 0 \მარჯვნივ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

წინა „განსაკუთრებული შემთხვევის“ მსგავსად, რიცხვი $x=1$ აშკარად არ შედის პასუხში.

3. ხაზის ბოლო ნაწილი: $x \gt 1$. აქ ყველა მოდული გაფართოვდა პლუს ნიშნით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \ბოლო (გასწორება)\ ]

და ისევ ჩვენ ვკვეთთ ნაპოვნი სიმრავლეს თავდაპირველ შეზღუდვას:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვენა ისარი x\მარცხნივ(4,5;+\infty \მარჯვნივ)\]

ბოლოს და ბოლოს! ჩვენ ვიპოვეთ ინტერვალი, რომელიც იქნება პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(4,5;+\infty \მარჯვნივ)$

და ბოლოს, ერთი შენიშვნა, რომელიც შეიძლება გიხსნათ სულელური შეცდომებისგან რეალური პრობლემების გადაჭრისას:

უტოლობების ამონახსნები მოდულებთან, როგორც წესი, არის უწყვეტი სიმრავლე რიცხვთა წრფეზე - ინტერვალები და სეგმენტები. იზოლირებული წერტილები გაცილებით იშვიათია. და კიდევ უფრო იშვიათად, ხდება, რომ ამოხსნის საზღვრები (სეგმენტის დასასრული) ემთხვევა განსახილველი დიაპაზონის საზღვარს.

მაშასადამე, თუ საზღვრები (ეს ძალიან „განსაკუთრებული შემთხვევები“) არ არის შეტანილი პასუხში, მაშინ ამ საზღვრების მარცხნივ-მარჯვნივ მდებარე არეები თითქმის არ იქნება ჩართული პასუხში. და პირიქით: საპასუხოდ შემოვიდა საზღვარი, რაც იმას ნიშნავს, რომ მის ირგვლივ გარკვეული ადგილებიც იქნება პასუხები.

გაითვალისწინეთ ეს თქვენი გადაწყვეტილებების შემოწმებისას.

მოდულის ნომერითავად ამ რიცხვს უწოდებენ, თუ ის არაუარყოფითია, ან იგივე რიცხვს საპირისპირო ნიშნით, თუ ის უარყოფითია.

მაგალითად, 6-ის მოდული არის 6, ხოლო -6-ის მოდული ასევე არის 6.

ანუ რიცხვის მოდული გაგებულია, როგორც აბსოლუტური მნიშვნელობა, ამ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა მისი ნიშნის გათვალისწინების გარეშე.

აღინიშნება შემდეგნაირად: |6|, | X|, |ა| და ა.შ.

(დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ განყოფილება "რიცხვის მოდული").

მოდულის განტოლებები.

მაგალითი 1 . განტოლების ამოხსნა|10 X - 5| = 15.

გამოსავალი.

წესის მიხედვით, განტოლება უდრის ორი განტოლების კომბინაციას:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Ჩვენ ვწყვეტთ:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

უპასუხე: X 1 = 2, X 2 = -1.

მაგალითი 2 . განტოლების ამოხსნა|2 X + 1| = X + 2.

გამოსავალი.

ვინაიდან მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ X+ 2 ≥ 0. შესაბამისად:

X ≥ -2.

ჩვენ ვქმნით ორ განტოლებას:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Ჩვენ ვწყვეტთ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

ორივე რიცხვი -2-ზე მეტია. ასე რომ, ორივე არის განტოლების ფესვები.

უპასუხე: X 1 = -1, X 2 = 1.

მაგალითი 3 . განტოლების ამოხსნა

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

გამოსავალი.

განტოლებას აქვს აზრი, თუ მნიშვნელი არ არის ნულის ტოლი - ასე რომ, თუ X≠ 1. გავითვალისწინოთ ეს პირობა. ჩვენი პირველი მოქმედება მარტივია - ჩვენ არ ვიშორებთ წილადს, არამედ ვაქცევთ მას ისე, რომ მოდული მივიღოთ მის სუფთა სახით:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

ახლა ჩვენ გვაქვს მხოლოდ გამონათქვამი განტოლების მარცხენა მხარეს მოდულის ქვეშ. Განაგრძე.
რიცხვის მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი - ანუ ის უნდა იყოს ნულის მეტი ან ტოლი. შესაბამისად, ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს მეორე პირობა: განტოლების ფესვი უნდა იყოს მინიმუმ 3/4.

წესის მიხედვით, ჩვენ ვადგენთ ორი განტოლების ერთობლიობას და ვხსნით მათ:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

ორი პასუხი მივიღეთ. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვები.

ჩვენ გვქონდა ორი პირობა: განტოლების ფესვი არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი და ის უნდა იყოს მინიმუმ 3/4. ანუ X ≠ 1, X≥ 3/4. ორივე ეს პირობა შეესაბამება მიღებული ორი პასუხიდან მხოლოდ ერთს - რიცხვს 2. აქედან გამომდინარე, მხოლოდ ის არის საწყისი განტოლების ფესვი.

უპასუხე: X = 2.

უტოლობა მოდულთან.

მაგალითი 1 . ამოხსენით უტოლობა| X - 3| < 4

გამოსავალი.

მოდულის წესი ამბობს:

|ა| = ა, თუ ა ≥ 0.

|ა| = -ა, თუ ა < 0.

მოდულს შეიძლება ჰქონდეს როგორც არაუარყოფითი, ასევე უარყოფითი რიცხვი. ამიტომ ორივე შემთხვევა უნდა განვიხილოთ: X- 3 ≥ 0 და X - 3 < 0.

1) როდის X- 3 ≥ 0, ჩვენი საწყისი უტოლობა რჩება ისეთი, როგორიც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:
X - 3 < 4.

2) როდის X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

ფრჩხილების გახსნისას მივიღებთ:

-X + 3 < 4.

ამრიგად, ამ ორი პირობიდან მივედით უტოლობის ორი სისტემის გაერთიანებამდე:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

მოდით მოვაგვაროთ ისინი:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

ასე რომ, ჩვენს პასუხში გვაქვს ორი სიმრავლის გაერთიანება:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

განსაზღვრეთ უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები. ეს არის -1 და 7. ამავე დროს X-1-ზე მეტი, მაგრამ 7-ზე ნაკლები.
გარდა ამისა, X≥ 3. მაშასადამე, უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1-დან 7-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების გამოკლებით.

უპასუხე: -1 < X < 7.

ან: X ∈ (-1; 7).

დანამატები.

1) არსებობს უფრო მარტივი და მოკლე გზა ჩვენი უთანასწორობის გადასაჭრელად - გრაფიკული. ამისათვის დახაზეთ ჰორიზონტალური ღერძი (ნახ. 1).

გამოხატულება | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3 წერტილამდე ოთხ ერთეულზე ნაკლები. ღერძზე ვნიშნავთ რიცხვს 3 და ვითვლით 4 განყოფილებას მარცხნივ და მარჯვნივ. მარცხნივ მივალთ -1 წერტილამდე, მარჯვნივ - 7 წერტილამდე. ამრიგად, წერტილები Xჩვენ უბრალოდ ვნახეთ მათი გამოთვლის გარეშე.

უფრო მეტიც, უტოლობის პირობის მიხედვით, თავად -1 და 7 არ შედის ამონახსნების სიმრავლეში. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ პასუხს:

1 < X < 7.

2) მაგრამ არის კიდევ ერთი გამოსავალი, რომელიც კიდევ უფრო მარტივია, ვიდრე გრაფიკული გზა. ამისათვის ჩვენი უტოლობა უნდა იყოს წარმოდგენილი შემდეგი სახით:

4 < X - 3 < 4.

მოდულის წესით ხომ ასეა. არაუარყოფითი რიცხვი 4 და მსგავსი უარყოფითი რიცხვი -4 არის უტოლობის ამოხსნის საზღვრები.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

მაგალითი 2 . ამოხსენით უტოლობა| X - 2| ≥ 5

გამოსავალი.

ეს მაგალითი მნიშვნელოვნად განსხვავდება წინა მაგალითისგან. მარცხენა მხარე 5-ზე მეტია ან 5-ის ტოლია. გეომეტრიული თვალსაზრისით, უტოლობის ამონახსნი არის ყველა რიცხვი, რომელიც 2 წერტილიდან 5 ერთეულზე ან მეტ მანძილზეა (ნახ. 2). გრაფიკი აჩვენებს, რომ ეს არის ყველა რიცხვი, რომელიც არის -3-ზე ნაკლები ან ტოლი და მეტი ან ტოლი 7-ის. ასე რომ, პასუხი უკვე მივიღეთ.

უპასუხე: -3 ≥ X ≥ 7.

გზაზე, ჩვენ ვხსნით იმავე უტოლობას თავისუფალი ტერმინის გადალაგებით მარცხნივ და მარჯვნივ საპირისპირო ნიშნით:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

პასუხი იგივეა: -3 ≥ X ≥ 7.

ან: X ∈ [-3; 7]

მაგალითი მოგვარებულია.

მაგალითი 3 . ამოხსენით უტოლობა 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

გამოსავალი.

ნომერი Xშეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულოვანი. ამიტომ სამივე გარემოება უნდა გავითვალისწინოთ. როგორც მოგეხსენებათ, ისინი გათვალისწინებულია ორ უტოლობაში: X≥ 0 და X < 0. При X≥ 0, ჩვენ უბრალოდ გადავიწერთ ჩვენს თავდაპირველ უტოლობას, როგორც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

ახლა მეორე შემთხვევისთვის: თუ X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

ფრჩხილების გაფართოება:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ განტოლების ორი სისტემა:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობები სისტემებში - რაც ნიშნავს, რომ უნდა ვიპოვოთ ორი კვადრატული განტოლების ფესვები. ამისათვის ჩვენ უტოლობების მარცხენა მხარეებს ვატოლებთ ნულს.

დავიწყოთ პირველით:

6X 2 - X - 2 = 0.

როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება - იხილეთ განყოფილება "კვადრატული განტოლება". ჩვენ დაუყოვნებლივ დავასახელებთ პასუხს:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

უტოლობათა პირველი სისტემიდან მივიღებთ, რომ თავდაპირველი უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1/2-დან 2/3-მდე. ჩვენ ვწერთ გადაწყვეტილებების გაერთიანებას X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

ახლა გადავწყვიტოთ მეორე კვადრატული განტოლება:

6X 2 + X - 2 = 0.

მისი ფესვები:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

დასკვნა: როდის X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

გავაერთიანოთ ორი პასუხი და მივიღოთ საბოლოო პასუხი: ამონახსნი არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -2/3-დან 2/3-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების ჩათვლით.

უპასუხე: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

ან: X ∈ [-2/3; 2/3].

მათემატიკა მეცნიერების სიბრძნის სიმბოლოა,

მეცნიერული სიმკაცრისა და სიმარტივის მაგალითი,

სრულყოფისა და სილამაზის სტანდარტი მეცნიერებაში.

რუსი ფილოსოფოსი, პროფესორი A.V. ვოლოშინოვი

მოდულის უტოლობები

სასკოლო მათემატიკაში ყველაზე რთულად გადასაჭრელი პრობლემები უტოლობებია, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი. ასეთი უტოლობების წარმატებით გადასაჭრელად საჭიროა კარგად ვიცოდეთ მოდულის თვისებები და გქონდეთ მათი გამოყენების უნარები.

ძირითადი ცნებები და თვისებები

რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).აღინიშნა და განისაზღვრება შემდეგნაირად:

მოდულის მარტივი თვისებები მოიცავს შემდეგ ურთიერთობებს:

და .

Შენიშვნა, რომ ბოლო ორი თვისება მოქმედებს ნებისმიერი ლუწი ხარისხისთვის.

ასევე, თუ სად, მაშინ და

უფრო რთული მოდულის თვისებები, რომელიც შეიძლება ეფექტურად იქნას გამოყენებული მოდულებით განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას, ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემების საშუალებით:

თეორემა 1.ნებისმიერი ანალიტიკური ფუნქციისთვისდა უთანასწორობა.

თეორემა 2.Თანასწორობა უდრის უთანასწორობას.

თეორემა 3.Თანასწორობა უდრის უთანასწორობას.

ყველაზე გავრცელებული უტოლობები სასკოლო მათემატიკაში, მოდულის ნიშნის ქვეშ უცნობი ცვლადების შემცველი, ფორმის უტოლობებიადა სად რაღაც დადებითი მუდმივი.

თეორემა 4.უთანასწორობა ორმაგი უტოლობის ტოლფასია, და უთანასწორობის ამოხსნაამცირებს უტოლობათა სიმრავლის ამოხსნასდა .

ეს თეორემა არის მე-6 და მე-7 თეორემების განსაკუთრებული შემთხვევა.

უფრო რთული უტოლობები, მოდულის შემცველი ფორმის უტოლობებია, და .

ასეთი უტოლობების ამოხსნის მეთოდები შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი სამი თეორემის გამოყენებით.

თეორემა 5.უთანასწორობა უდრის უტოლობათა ორი სისტემის ერთობლიობას

და (1)

მტკიცებულება.Მას შემდეგ

ეს გულისხმობს (1) ვალიდობას.

თეორემა 6.უთანასწორობა უტოლობათა სისტემის ტოლფასია

მტკიცებულება.რადგან, შემდეგ უთანასწორობიდანამას მოჰყვება . ამ პირობით, უთანასწორობადა ამ შემთხვევაში უტოლობების მეორე სისტემა (1) არათანმიმდევრული აღმოჩნდება.

თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 7.უთანასწორობა უდრის ერთი უტოლობისა და უტოლობის ორი სისტემის ერთობლიობას

და (3)

მტკიცებულება.მას შემდეგ, უთანასწორობა ყოველთვის შესრულებული, თუ .

დაე, შემდეგ უთანასწორობაუთანასწორობის ტოლფასი იქნება, საიდანაც გამოდის ორი უტოლობის სიმრავლედა .

თეორემა დადასტურდა.

განვიხილოთ პრობლემების გადაჭრის ტიპიური მაგალითები თემაზე „უთანასწორობა, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი.

უტოლობების ამოხსნა მოდულით

უტოლობების მოდულით ამოხსნის უმარტივესი მეთოდია მეთოდი, მოდულის გაფართოების საფუძველზე. ეს მეთოდი ზოგადია, თუმცა, ზოგად შემთხვევაში, მისმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ძალიან რთული გამოთვლები. ამიტომ, სტუდენტებმა ასევე უნდა იცოდნენ ასეთი უტოლობების ამოხსნის სხვა (უფრო ეფექტური) მეთოდები და ხერხები. Კერძოდ, უნდა ჰქონდეს თეორემების გამოყენების უნარები, მოცემულ სტატიაში.

მაგალითი 1ამოხსენით უტოლობა

. (4)

გამოსავალი.უტოლობა (4) გადაიჭრება „კლასიკური“ მეთოდით – მოდულის გაფართოების მეთოდით. ამ მიზნით, ჩვენ ვარღვევთ რიცხვით ღერძსწერტილები და ინტერვალით და განიხილეთ სამი შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ , , , და უტოლობა (4) იღებს ფორმასან .

ვინაიდან შემთხვევა აქ განიხილება, , არის უტოლობის ამოხსნა (4).

2. თუ, მაშინ უტოლობიდან (4) ვიღებთან . ინტერვალების გადაკვეთიდანდა ცარიელია, მაშინ განხილულ ინტერვალზე არ არსებობს უტოლობის (4) ამონახსნები.

3. თუ, მაშინ უტოლობა (4) იღებს ფორმასან . აშკარაა რომ ასევე არის უტოლობის ამოხსნა (4).

პასუხი: ,.

მაგალითი 2ამოხსენით უტოლობა.

გამოსავალი.დავუშვათ, რომ. რადგან, მაშინ მოცემული უტოლობა იღებს ფორმასან . იმიტომ რომ, მაშინ და აქედან გამომდინარეობსან .

თუმცა , ამიტომ ან .

მაგალითი 3ამოხსენით უტოლობა

. (5)

გამოსავალი.რადგან, მაშინ უტოლობა (5) უდრის უტოლობასან . აქედან, თეორემა 4-ის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს უთანასწორობების ნაკრებიდა .

პასუხი: ,.

მაგალითი 4ამოხსენით უტოლობა

. (6)

გამოსავალი.აღვნიშნოთ. შემდეგ უტოლობიდან (6) ვიღებთ უტოლობებს , ან .

აქედან, ინტერვალის მეთოდის გამოყენებითვიღებთ . რადგან, მაშინ აქ გვაქვს უტოლობათა სისტემა

სისტემის პირველი უტოლობა (7) არის ორი ინტერვალის გაერთიანებადა ხოლო მეორე უტოლობის ამოხსნა არის ორმაგი უტოლობა. ეს გულისხმობს, რომ უტოლობათა სისტემის ამონახსნი (7) არის ორი ინტერვალის გაერთიანებადა .

პასუხი:,

მაგალითი 5ამოხსენით უტოლობა

. (8)

გამოსავალი. ჩვენ გარდაქმნით უტოლობას (8) შემდეგნაირად:

ან .

ინტერვალის მეთოდის გამოყენება, ვიღებთ უტოლობის ამოხსნას (8).

პასუხი:.

Შენიშვნა. თუ დავსვათ მე-5 თეორემას მდგომარეობაში, მაშინ მივიღებთ .

მაგალითი 6ამოხსენით უტოლობა

. (9)

გამოსავალი. უტოლობიდან (9) გამოდის. ჩვენ გარდაქმნით უტოლობას (9) შემდეგნაირად:

ან

მას შემდეგ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 7ამოხსენით უტოლობა

. (10)

გამოსავალი.მას შემდეგ, რაც და, მაშინ ან.

ამასთან დაკავშირებით და უტოლობა (10) იღებს ფორმას

ან

. (11)

აქედან გამომდინარეობს, რომ ან . ვინაიდან , მაშინ უტოლობა (11) ასევე გულისხმობს ან .

პასუხი:.

Შენიშვნა. თუ გამოვიყენებთ 1 თეორემას უტოლობის მარცხენა მხარეს (10), შემდეგ მივიღებთ . აქედან და უტოლობიდან (10) გამომდინარეობს, რომ ან . რადგან, მაშინ უტოლობა (10) იღებს ფორმასან .

მაგალითი 8ამოხსენით უტოლობა

. (12)

გამოსავალი.Მას შემდეგ და უტოლობა (12) გულისხმობსან . თუმცა , ამიტომ ან . აქედან ვიღებთ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 9ამოხსენით უტოლობა

. (13)

გამოსავალი.მე-7 თეორემის მიხედვით, უტოლობის ამონახსნები (13) არის ან .

მოდით ახლა. Ამ შემთხვევაში და უტოლობა (13) იღებს ფორმასან .

თუ გავაერთიანებთ ინტერვალებსდა მაშინ ვიღებთ ამონახსნის ფორმის (13) უტოლობას.

მაგალითი 10ამოხსენით უტოლობა

. (14)

გამოსავალი.გადავწეროთ უტოლობა (14) ეკვივალენტური ფორმით: . თუ გამოვიყენებთ თეორემა 1-ს ამ უტოლობის მარცხენა მხარეს, მაშინ მივიღებთ უტოლობას.

აქედან და თეორემა 1-დან გამომდინარეობს, რომ უტოლობა (14) დაკმაყოფილებულია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

პასუხი: ნებისმიერი ნომერი.

მაგალითი 11.ამოხსენით უტოლობა

. (15)

გამოსავალი. თეორემა 1-ის გამოყენება უტოლობის მარცხენა მხარეს (15), ვიღებთ . აქედან და უტოლობიდან (15) მოყვება განტოლება, რომელიც ჰგავს.

თეორემა 3-ის მიხედვით, განტოლება უდრის უთანასწორობას. აქედან ვიღებთ.

მაგალითი 12.ამოხსენით უტოლობა

. (16)

გამოსავალი. უტოლობიდან (16), მე-4 თეორემის მიხედვით, ვიღებთ უტოლობათა სისტემას

უტოლობის ამოხსნისასვიყენებთ თეორემა 6-ს და ვიღებთ უტოლობათა სისტემასსაიდანაც გამომდინარეობს.

განვიხილოთ უთანასწორობა. მე-7 თეორემის მიხედვით, ვიღებთ უტოლობების ერთობლიობასდა . მეორე პოპულაციის უთანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერი რეალურისთვის.

აქედან გამომდინარე, უტოლობის ამოხსნა (16) არის.

მაგალითი 13ამოხსენით უტოლობა

. (17)

გამოსავალი.თეორემა 1-ის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

(18)

უტოლობის (17) გათვალისწინებით, დავასკვნით, რომ ორივე უტოლობა (18) იქცევა თანასწორებად, ე.ი. არსებობს განტოლებათა სისტემა

მე-3 თეორემის მიხედვით, განტოლებათა ეს სისტემა უტოლობების სისტემის ტოლფასია

ან

მაგალითი 14ამოხსენით უტოლობა

. (19)

გამოსავალი.Მას შემდეგ . მოდით გავამრავლოთ უტოლობის ორივე ნაწილი (19) გამოსახულებით, რომელიც ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს. შემდეგ მივიღებთ უტოლობას, რომელიც უტოლდება ფორმის უტოლობას (19).

აქედან ვიღებთ ან სად. მას შემდეგ, რაც და მაშინ უტოლობის ამონახსნები (19) არისდა .

პასუხი: ,.

მოდულით უტოლობების ამოხსნის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, მიზანშეწონილია მიმართოთ გაკვეთილებს, ჩამოთვლილი რეკომენდირებული წაკითხვის სიაში.

1. დავალებების კრებული მათემატიკაში ტექნიკური უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ .: სამყარო და განათლება, 2013. - 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: უტოლობების ამოხსნისა და დამტკიცების მეთოდები. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264გვ.

3. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: ამოცანების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდები. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296გვ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

მოდულებთან უტოლობების გამოვლენის მეთოდები (წესები) მოიცავს მოდულების თანმიმდევრულ გამოვლენას, ქვემოდულის ფუნქციების მუდმივი ნიშნის ინტერვალების გამოყენებით. საბოლოო ვერსიაში მიიღება რამდენიმე უტოლობა, საიდანაც ისინი პოულობენ ინტერვალებს ან ხარვეზებს, რომლებიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას.

გადავიდეთ პრაქტიკაში გავრცელებული მაგალითების ამოხსნაზე.

წრფივი უტოლობა მოდულებით

წრფივში ვგულისხმობთ განტოლებებს, რომლებშიც ცვლადი განტოლებაში წრფივად შედის.

მაგალითი 1. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა

გამოსავალი:
პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ მოდულები გადაიქცევა ნულში x=-1 და x=-2-ზე. ეს წერტილები ყოფს რიცხვით ღერძს ინტერვალებად

თითოეულ ამ ინტერვალში ჩვენ ვხსნით მოცემულ უტოლობას. ამისათვის, უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვხატავთ სუბმოდულური ფუნქციების მუდმივი ნიშნის უბნების გრაფიკულ ნახაზებს. ისინი გამოსახულია როგორც უბნები თითოეული ფუნქციის ნიშნებით.

ან ინტერვალები ყველა ფუნქციის ნიშნებით.

პირველ ინტერვალზე გახსენით მოდულები

ორივე ნაწილს ვამრავლებთ მინუს ერთზე, ხოლო უტოლობის ნიშანი პირიქით იცვლება. თუ ამ წესთან შეგუება გაგიჭირდებათ, მაშინ მინუსის მოსაშორებლად შეგიძლიათ თითოეული ნაწილი ნიშანს მიღმა გადაიტანოთ. საბოლოო ჯამში, თქვენ მიიღებთ

x>-3 სიმრავლის კვეთა იმ ფართობთან, რომელზედაც ამოხსნილია განტოლებები იქნება ინტერვალი (-3;-2) . მათთვის, ვისაც უადვილდება გადაწყვეტილებების გრაფიკულად ძიება, შეგიძლიათ დახაზოთ ამ უბნების კვეთა

ტერიტორიების საერთო გადაკვეთა იქნება გამოსავალი. მკაცრი უთანასწორობით, კიდეები არ შედის. თუ არასტრიქონი შემოწმებულია ჩანაცვლებით.

მეორე ინტერვალზე ვიღებთ

განყოფილება იქნება ინტერვალი (-2; -5/3). გრაფიკულად, გამოსავალი ასე გამოიყურება

მესამე ინტერვალზე ვიღებთ

ეს მდგომარეობა არ იძლევა გამოსავალს საჭირო ფართობზე.

ვინაიდან ნაპოვნი ორი ამონახსნი (-3;-2) და (-2;-5/3) ესაზღვრება x=-2 წერტილს, ჩვენც ვამოწმებთ.

ამგვარად, წერტილი x=-2 არის ამონახსნი. ამის გათვალისწინებით ზოგადი გამოსავალი ასე გამოიყურება (-3;5/3).

მაგალითი 2. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

გამოსავალი:
ქვემოდულის ფუნქციების ნულები იქნება წერტილები x=2, x=3, x=4 . როდესაც არგუმენტების მნიშვნელობები ამ წერტილებზე ნაკლებია, ქვემოდულის ფუნქციები უარყოფითია, ხოლო როდესაც მნიშვნელობები დიდია, ისინი დადებითია.

წერტილები რეალურ ღერძს ოთხ ინტერვალად ყოფენ. ვხსნით მოდულებს ნიშნის მუდმივობის ინტერვალების მიხედვით და ვხსნით უტოლობას.

1) პირველ ინტერვალზე ყველა სუბმოდულური ფუნქცია უარყოფითია, ამიტომ მოდულების გაფართოებისას ჩვენ ვცვლით ნიშანს საპირისპიროდ.

ნაპოვნი x მნიშვნელობების გადაკვეთა განხილულ ინტერვალთან იქნება პუნქტების ნაკრები

2) x=2 და x=3 წერტილებს შორის ინტერვალში პირველი ქვემოდულის ფუნქცია დადებითია, მეორე და მესამე უარყოფითი. მოდულების გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ

უტოლობა, რომელიც იმ ინტერვალთან გადაკვეთისას, რომელზეც ჩვენ ვხსნით, იძლევა ერთ ამონახსანს - x=3.

3) x=3 და x=4 წერტილებს შორის ინტერვალში პირველი და მეორე ქვემოდულის ფუნქციები დადებითია, ხოლო მესამე უარყოფითი. ამის საფუძველზე ვიღებთ

ეს პირობა გვიჩვენებს, რომ მთელი ინტერვალი დააკმაყოფილებს მოდულების უთანასწორობას.

4) x>4 მნიშვნელობებისთვის, ყველა ფუნქცია დადებითი ნიშანია. მოდულების გაფართოებისას ჩვენ არ ვცვლით მათ ნიშანს.

ნაპოვნი მდგომარეობა ინტერვალთან კვეთაზე იძლევა ამონახსნების შემდეგ კომპლექტს

ვინაიდან უტოლობა წყდება ყველა ინტერვალზე, რჩება ყველა ნაპოვნი x მნიშვნელობის საერთო მნიშვნელობის პოვნა. გამოსავალი არის ორი ინტერვალი

ეს მაგალითი მოგვარებულია.

მაგალითი 3. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
||x-1|-5|>3-2x

გამოსავალი:
ჩვენ გვაქვს უთანასწორობა მოდულიდან მოდულთან. ასეთი უთანასწორობები ვლინდება მოდულების ჩადგმისას, დაწყებული მათგან, რომლებიც უფრო ღრმაა განთავსებული.

ქვემოდულის ფუნქცია x-1 გარდაიქმნება ნულში x=1 წერტილში. უფრო მცირე მნიშვნელობებისთვის 1-ს მიღმა არის უარყოფითი და დადებითი x>1-ისთვის. ამის საფუძველზე ვხსნით შიდა მოდულს და განვიხილავთ უტოლობას თითოეულ ინტერვალზე.

ჯერ განიხილეთ ინტერვალი მინუს უსასრულობიდან ერთამდე

ქვემოდულის ფუნქცია არის ნული x=-4 წერტილში. მცირე მნიშვნელობებისთვის ეს დადებითია, უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის - უარყოფითი. გააფართოვეთ მოდული x-ისთვის<-4:

იმ ფართობთან გადაკვეთაზე, რომელზეც განვიხილავთ, ვიღებთ ამონახსნების ერთობლიობას

შემდეგი ნაბიჯი არის მოდულის გაფართოება ინტერვალზე (-4; 1)

მოდულის გაფართოების არეალის გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ გადაწყვეტილებების ინტერვალს

დაიმახსოვრე: თუ თქვენ მიიღებთ ორ ინტერვალს ასეთ დარღვევებში მოდულებთან, რომლებიც ესაზღვრება საერთო წერტილს, მაშინ, როგორც წესი, ეს ასევე გამოსავალია.

ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა შეამოწმოთ.

ამ შემთხვევაში ვცვლით x=-4 წერტილს.

ასე რომ x=-4 არის გამოსავალი.
გააფართოვეთ შიდა მოდული x>1-ისთვის

ქვემოდულის ფუნქცია უარყოფითია x-ისთვის<6.
მოდულის გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ

ეს მდგომარეობა განყოფილებაში ინტერვალით (1;6) იძლევა ამონახსნების ცარიელ კომპლექტს.

x>6-ისთვის ვიღებთ უტოლობას

ასევე ამოხსნისას მივიღეთ ცარიელი ნაკრები.
ყოველივე ზემოთქმულიდან გამომდინარე, მოდულებთან უთანასწორობის ერთადერთი გამოსავალი იქნება შემდეგი ინტერვალი.

უტოლობა მოდულებთან, რომლებიც შეიცავს კვადრატულ განტოლებებს

მაგალითი 4. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
|x^2+3x|>=2-x^2

გამოსავალი:
ქვემოდულის ფუნქცია ქრება x=0, x=-3 წერტილებში. მარტივი ჩანაცვლებით მინუს ერთი

ჩვენ ვაყენებთ, რომ ის არის ნულზე ნაკლები ინტერვალზე (-3; 0) და დადებითი მის მიღმა.
გააფართოვეთ მოდული იმ ადგილებში, სადაც ქვემოდულის ფუნქცია დადებითია

რჩება იმ უბნების დადგენა, სადაც კვადრატის ფუნქცია დადებითია. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ კვადრატული განტოლების ფესვებს

მოხერხებულობისთვის ვცვლით x=0 წერტილს, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (-2;1/2). ფუნქცია ამ ინტერვალში უარყოფითია, ამიტომ გამოსავალი იქნება შემდეგი x სიმრავლეები

აქ ფრჩხილებში მითითებულია უბნების კიდეები ხსნარებით; ეს გაკეთდა განზრახ, შემდეგი წესის გათვალისწინებით.

დაიმახსოვრე: თუ უტოლობა მოდულებთან, ან უბრალო უტოლობა მკაცრია, მაშინ ნაპოვნი უბნების კიდეები არ არის ამონახსნები, მაგრამ თუ უტოლობები არ არის მკაცრი (), მაშინ კიდეები არის ამონახსნები (აღნიშნავენ კვადრატულ ფრჩხილებს).

ამ წესს ბევრი მასწავლებელი იყენებს: თუ მკაცრი უტოლობაა მოცემული და გამოთვლების დროს ამონახსნში ჩაწერთ კვადრატულ ფრჩხილს ([,]), ისინი ავტომატურად ჩათვლიან არასწორ პასუხად. ასევე, ტესტირებისას, თუ მითითებულია არა მკაცრი უთანასწორობა მოდულებთან, მაშინ გადაწყვეტილებებს შორის მოძებნეთ კვადრატული ფრჩხილების მქონე ადგილები.

ინტერვალზე (-3; 0), მოდულის გაფართოებით, ჩვენ ვცვლით ფუნქციის ნიშანს საპირისპიროდ

უთანასწორობის გამჟღავნების ფარგლების გათვალისწინებით, გამოსავალს ექნება ფორმა

წინა არეალთან ერთად ეს მისცემს ორ ნახევარ ინტერვალს

მაგალითი 5. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
9x^2-|x-3|>=9x-2

გამოსავალი:
მოცემულია არამკაცრი უტოლობა, რომლის ქვემოდული ფუნქცია x=3 წერტილში ნულის ტოლია. მცირე მნიშვნელობებში ის უარყოფითია, უფრო დიდ მნიშვნელობებში დადებითია. ჩვენ ვაფართოებთ მოდულს x ინტერვალზე<3.

განტოლების დისკრიმინანტის პოვნა

და ფესვები

ნულოვანი წერტილის ჩანაცვლებით აღმოვაჩენთ, რომ [-1/9; 1] ინტერვალზე კვადრატული ფუნქცია უარყოფითია, ამიტომ ინტერვალი არის ამონახსნები. შემდეგ გახსენით მოდული x>3-ისთვის