ბავშვების შესახებ 

წილადური ლოგარითმული უტოლობების მაგალითების ამოხსნა. ლოგარითმული უტოლობები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

ლოგარითმული უთანასწორობა გამოყენებაში

სეჩინი მიხაილ ალექსანდროვიჩი

ყაზახეთის რესპუბლიკის სტუდენტებისთვის მეცნიერებათა მცირე აკადემია „ისკატელი“

MBOU "სოვეცკაიას საშუალო სკოლა No1", მე-11 კლასი, ქ. სოვეცკი სოვეცკის რაიონი

გუნკო ლუდმილა დმიტრიევნა, მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულების „სოვეცკაიას No1 საშუალო სკოლა“ მასწავლებელი.

სოვეცკის რაიონი

სამუშაოს მიზანი:ლოგარითმული უტოლობების C3 ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით, ლოგარითმის შესახებ საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.

კვლევის საგანი:

3) ისწავლეთ კონკრეტული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა C3 არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

შინაარსი

შესავალი……………………………………………………………………………………….4

თავი 1. საკითხის ისტორია……………………………………………………………….5

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული ………………………………… 7

2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი…………… 7

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი………………………………………………………………… 15

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება ............................................ ............. 22

2.4. ამოცანები ხაფანგებით………………………………………………………………………………………………

დასკვნა……………………………………………………………………………… 30

ლიტერატურა………………………………………………………………………. 31

შესავალი

მე-11 კლასში ვარ და ვგეგმავ უნივერსიტეტში ჩაბარებას, სადაც ძირითადი საგანი მათემატიკაა. ამიტომაც ბევრს ვმუშაობ ამოცანებთან C ნაწილში. C3 ამოცანაში მე უნდა გადავწყვიტო არასტანდარტული უტოლობა ან უტოლობათა სისტემა, რომელიც ჩვეულებრივ დაკავშირებულია ლოგარითმებთან. გამოცდისთვის მომზადებისას დამხვდა C3-ში შემოთავაზებული საგამოცდო ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მეთოდებისა და ტექნიკის დეფიციტის პრობლემა. მეთოდები, რომლებიც ამ თემაზე სასკოლო სასწავლო გეგმაშია შესწავლილი, არ იძლევა C3 ამოცანების ამოხსნის საფუძველს. მათემატიკის მასწავლებელმა შემომთავაზა დამოუკიდებლად მემუშავა C3 დავალებები მისი ხელმძღვანელობით. გარდა ამისა, მაინტერესებდა კითხვა: ვხვდებით თუ არა ლოგარითმებს ჩვენს ცხოვრებაში?

ამის გათვალისწინებით შეირჩა თემა:

„ლოგარითმული უტოლობები ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში“

სამუშაოს მიზანი:არასტანდარტული მეთოდებით C3 ამოცანების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, ლოგარითმის შესახებ საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.

კვლევის საგანი:

1) მოიძიეთ საჭირო ინფორმაცია ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესახებ.

2) მოიძიეთ დამატებითი ინფორმაცია ლოგარითმების შესახებ.

3) ისწავლეთ C3 კონკრეტული ამოცანების გადაჭრა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

პრაქტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს C3 ამოცანების გადაჭრის აპარატის გაფართოებაში. ამ მასალის გამოყენება შესაძლებელია ზოგიერთ გაკვეთილზე, კლუბებში და მათემატიკის არჩევით გაკვეთილებზე.

პროექტის პროდუქტი იქნება კრებული „C3 ლოგარითმული უტოლობები ამონახსნებით“.

თავი 1. ფონი

მთელი მე-16 საუკუნის განმავლობაში, სავარაუდო გამოთვლების რაოდენობა სწრაფად იზრდებოდა, პირველ რიგში ასტრონომიაში. ინსტრუმენტების გაუმჯობესება, პლანეტების მოძრაობის შესწავლა და სხვა სამუშაოები მოითხოვდა კოლოსალურ, ზოგჯერ მრავალწლიან გამოთვლებს. ასტრონომიას შეუსრულებელ გამოთვლებში დახრჩობის რეალური საფრთხე ემუქრებოდა. სირთულეები წარმოიშვა სხვა სფეროებში, მაგალითად, სადაზღვევო ბიზნესში, საჭირო იყო საპროცენტო ცხრილები სხვადასხვა საპროცენტო განაკვეთებისთვის. მთავარი სირთულე იყო მრავალნიშნა რიცხვების გამრავლება და გაყოფა, განსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული სიდიდეები.

ლოგარითმების აღმოჩენა ეფუძნებოდა პროგრესირების თვისებებს, რომლებიც კარგად იყო ცნობილი მე -16 საუკუნის ბოლოს. არქიმედესმა ისაუბრა ფსალმუნში გეომეტრიული პროგრესიის q, q2, q3, ... ტერმინებისა და მათი 1, 2, 3,... არითმეტიკული პროგრესიის კავშირზე. კიდევ ერთი წინაპირობა იყო ხარისხის ცნების გაფართოება უარყოფით და წილადის მაჩვენებლებზე. ბევრმა ავტორმა აღნიშნა, რომ გამრავლება, გაყოფა, გაძლიერება და ფესვის ამოღება გეომეტრიულ პროგრესიაში შეესაბამება არითმეტიკაში - იგივე თანმიმდევრობით - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა.

აქ იყო ლოგარითმის, როგორც მაჩვენებლის იდეა.

ლოგარითმების დოქტრინის განვითარების ისტორიაში რამდენიმე ეტაპი გაიარა.

ეტაპი 1

ლოგარითმები არაუგვიანეს 1594 წელს გამოიგონა დამოუკიდებლად შოტლანდიელმა ბარონმა ნაპიერმა (1550-1617), ხოლო ათი წლის შემდეგ შვეიცარიელმა მექანიკოსმა ბურგიმ (1552-1632). ორივეს სურდა არითმეტიკული გამოთვლების ახალი, მოსახერხებელი საშუალების მიწოდება, თუმცა ამ პრობლემას სხვადასხვა გზით მიუდგა. ნაპიერმა კინემატიკურად გამოხატა ლოგარითმული ფუნქცია და ამით შევიდა ფუნქციის თეორიის ახალ სფეროში. ბურგი დარჩა დისკრეტული პროგრესირების განხილვის საფუძველზე. თუმცა, ორივეს ლოგარითმის განმარტება არ ჰგავს თანამედროვეს. ტერმინი „ლოგარითმი“ (logarithmus) ეკუთვნის ნაპიერს. იგი წარმოიშვა ბერძნული სიტყვების კომბინაციიდან: logos - "ურთიერთობა" და ariqmo - "რიცხვი", რაც ნიშნავს "ურთიერთობების რაოდენობას". თავდაპირველად, ნაპიერმა გამოიყენა განსხვავებული ტერმინი: numeri artificiales - "ხელოვნური რიცხვები", განსხვავებით numeri naturalts - "ნატურალური რიცხვები".

1615 წელს, ლონდონის გრეშის კოლეჯის მათემატიკის პროფესორ ჰენრი ბრიგსთან (1561-1631) საუბარში ნაპიერმა შესთავაზა ნულის აღება ერთის ლოგარითმად, ხოლო 100-ის ათი-ის ლოგარითმად, ანუ რა არის იგივე. რამ, მხოლოდ 1. ასე იბეჭდებოდა ათობითი ლოგარითმები და პირველი ლოგარითმული ცხრილები. მოგვიანებით, ბრიგსის ცხრილები დაემატა ჰოლანდიელმა წიგნის გამყიდველმა და მათემატიკის მოყვარულმა ადრიან ფლაკუსმა (1600-1667). ნეპიერმა და ბრიგსმა, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ყველა სხვაზე ადრე მივიდნენ ლოგარითმებზე, თავიანთი ცხრილები სხვებზე გვიან გამოაქვეყნეს - 1620 წელს. ნიშნები log და Log შემოიღო 1624 წელს ი.კეპლერმა. ტერმინი „ბუნებრივი ლოგარითმი“ შემოიღო მენგოლიმ 1659 წელს, რასაც მოჰყვა ნ. მერკატორი 1668 წელს, ხოლო ლონდონელმა მასწავლებელმა ჯონ სპაიდელმა გამოაქვეყნა 1-დან 1000-მდე რიცხვების ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები სახელწოდებით „ახალი ლოგარითმები“.

პირველი ლოგარითმული ცხრილები გამოქვეყნდა რუსულ ენაზე 1703 წელს. მაგრამ ყველა ლოგარითმულ ცხრილში იყო გაანგარიშების შეცდომები. პირველი უშეცდომო ცხრილები გამოქვეყნდა 1857 წელს ბერლინში, დამუშავებული გერმანელი მათემატიკოსის კ.ბრემიკერის (1804-1877) მიერ.

ეტაპი 2

ლოგარითმების თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია ანალიტიკური გეომეტრიისა და უსასრულოდ მცირე გამოთვლების უფრო ფართო გამოყენებასთან. იმ დროისთვის უკვე დამყარებული იყო კავშირი ტოლგვერდა ჰიპერბოლის კვადრატსა და ბუნებრივ ლოგარითმს შორის. ამ პერიოდის ლოგარითმების თეორია დაკავშირებულია არაერთი მათემატიკოსის სახელთან.

გერმანელი მათემატიკოსი, ასტრონომი და ინჟინერი ნიკოლაუს მერკატორი ნარკვევში

"ლოგარითმოტექნიკა" (1668) იძლევა სერიას, რომელიც იძლევა ln(x+1) გაფართოებას

x-ის ძალა:

ეს გამოთქმა ზუსტად შეესაბამება მის აზროვნების მატარებელს, თუმცა, რა თქმა უნდა, მან არ გამოიყენა ნიშნები d, ..., არამედ უფრო შრომატევადი სიმბოლიზმი. ლოგარითმული სერიების აღმოჩენით შეიცვალა ლოგარითმების გამოთვლის ტექნიკა: დაიწყო მათი განსაზღვრა უსასრულო სერიების გამოყენებით. 1907-1908 წლებში მის ლექციებში „დაწყებითი მათემატიკა უმაღლესი თვალსაზრისით“, ფ.

ეტაპი 3

ლოგარითმული ფუნქციის, როგორც შებრუნებული ფუნქციის განმარტება

ექსპონენციალური, ლოგარითმი, როგორც მოცემული ფუძის მაჩვენებლის

დაუყოვნებლივ არ იყო ჩამოყალიბებული. ლეონჰარდ ეილერის ნარკვევი (1707-1783)

"შესავალი უსასრულო მცირეთა ანალიზში" (1748) ემსახურებოდა შემდგომ

ლოგარითმული ფუნქციების თეორიის შემუშავება. ამრიგად,

134 წელი გავიდა მას შემდეგ, რაც ლოგარითმები პირველად შემოიღეს

(ითვლის 1614 წლიდან), სანამ მათემატიკოსები მივიდნენ განსაზღვრებამდე

ლოგარითმის კონცეფცია, რომელიც ახლა სასკოლო კურსის საფუძველია.

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული

2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი.

ექვივალენტური გადასვლები

თუ a > 1

, თუ 0 < а < 1

განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი

ეს მეთოდი ყველაზე უნივერსალურია თითქმის ნებისმიერი ტიპის უტოლობების გადასაჭრელად. ამოხსნის დიაგრამა ასე გამოიყურება:

1. მიიტანეთ უტოლობა ისეთ ფორმამდე, სადაც მარცხენა მხარეს არის ფუნქცია
და მარჯვნივ 0.

2. იპოვეთ ფუნქციის დომენი
.

3. იპოვეთ ფუნქციის ნულები
, ანუ ამოხსენი განტოლება
(და განტოლების ამოხსნა ჩვეულებრივ უფრო ადვილია, ვიდრე უტოლობის ამოხსნა).

4. რიცხვით წრფეზე დახაზეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი და ნულები.

5. ფუნქციის ნიშნების დადგენა
მიღებულ ინტერვალებზე.

6. აირჩიეთ ინტერვალები, სადაც ფუნქცია იღებს საჭირო მნიშვნელობებს და ჩაწერეთ პასუხი.

მაგალითი 1.

გამოსავალი:

გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდი

სადაც

ამ მნიშვნელობებისთვის, ყველა გამონათქვამი ლოგარითმული ნიშნების ქვეშ არის დადებითი.

პასუხი:

მაგალითი 2.

გამოსავალი:

1-ლი გზა . ADL განისაზღვრება უთანასწორობით x> 3. ლოგარითმების აღება ასეთებისთვის xმე-10-მდე მივიღებთ

ბოლო უტოლობა შეიძლება გადაიჭრას გაფართოების წესების გამოყენებით, ე.ი. ფაქტორების შედარება ნულთან. თუმცა, ამ შემთხვევაში ადვილია ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალების დადგენა

შესაბამისად, ინტერვალის მეთოდის გამოყენება შესაძლებელია.

ფუნქცია ვ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ არის უწყვეტი at x> 3 და ქრება წერტილებში x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს ვ(x):

პასუხი:

მე-2 მეთოდი . მოდით პირდაპირ გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდის იდეები თავდაპირველ უტოლობაზე.

ამისათვის გავიხსენოთ, რომ გამონათქვამები აბ- აგ და ( ა - 1)(ბ- 1) აქვს ერთი ნიშანი. მაშინ ჩვენი უთანასწორობა ზე x> 3 უდრის უტოლობას

ან

ბოლო უტოლობა ამოხსნილია ინტერვალის მეთოდით

პასუხი:

მაგალითი 3.

გამოსავალი:

გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდი

პასუხი:

მაგალითი 4.

გამოსავალი:

2 წლიდან x 2 - 3x+ 3 > 0 ყველა რეალურისთვის x, ეს

მეორე უტოლობის ამოსახსნელად ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს

პირველ უტოლობაში ვაკეთებთ ჩანაცვლებას

მაშინ მივდივართ უტოლობამდე 2y 2 - წ - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те წ, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას -0.5< წ < 1.

საიდან, მას შემდეგ

ვიღებთ უთანასწორობას

რომელიც ხორციელდება როცა x, რისთვისაც 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

ახლა, სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნის გათვალისწინებით, საბოლოოდ მივიღებთ

პასუხი:

მაგალითი 5.

გამოსავალი:

უთანასწორობა სისტემების ერთობლიობის ტოლფასია

ან

გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდი ან

უპასუხე:

მაგალითი 6.

გამოსავალი:

უთანასწორობა უდრის სისტემას

დაე

მერე წ > 0,

და პირველი უთანასწორობა

სისტემა იღებს ფორმას

ან, გაშლა

კვადრატული ტრინომალური ფაქტორირებული,

ინტერვალის მეთოდის გამოყენება ბოლო უტოლობაზე,

ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი გადაწყვეტილებები აკმაყოფილებს მდგომარეობას წ> 0 იქნება ყველაფერი წ > 4.

ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა ექვივალენტურია სისტემის:

ასე რომ, უთანასწორობის გადაწყვეტილებები არის ყველა

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი.

მანამდე უთანასწორობა არ იყო ამოხსნილი რაციონალიზაციის მეთოდით. ეს არის "ახალი თანამედროვე ეფექტური მეთოდი ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების გადასაჭრელად" (ციტატა S.I. Kolesnikova-ს წიგნიდან)
და მაშინაც კი, თუ მასწავლებელი იცნობდა მას, იყო შიში - იცნობს თუ არა მას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ექსპერტი და რატომ არ აძლევენ მას სკოლაში? იყო სიტუაციები, როდესაც მასწავლებელმა უთხრა სტუდენტს: "საიდან იშოვე - 2".
ახლა ყველგან ხდება მეთოდის პოპულარიზაცია. და ექსპერტებისთვის არსებობს სახელმძღვანელო მითითებები, რომლებიც დაკავშირებულია ამ მეთოდთან და "სტანდარტული პარამეტრების ყველაზე სრულ გამოცემაში..." გამოსავალში C3 ეს მეთოდი გამოიყენება.
მშვენიერი მეთოდი!

"ჯადოსნური მაგიდა"


სხვა წყაროებში

თუ a >1 და b >1, შემდეგ log a b >0 და (a -1)(b -1)>0;

თუ a > 1 და 0

თუ 0<ა<1 и b >1, შემდეგ შედით a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

თუ 0<ა<1 и 00 და (a -1) (b -1)>0.

განხორციელებული მსჯელობა მარტივია, მაგრამ მნიშვნელოვნად ამარტივებს ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას.

მაგალითი 4.

ჟურნალი x (x 2 -3)<0

გამოსავალი:

მაგალითი 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

გამოსავალი:

უპასუხე. (0; 0.5) U.

მაგალითი 6.

ამ უტოლობის ამოსახსნელად მნიშვნელის ნაცვლად ვწერთ (x-1-1)(x-1), ხოლო მრიცხველის ნაცვლად ვწერთ ნამრავლს (x-1)(x-3-9 + x).


უპასუხე : (3;6)

მაგალითი 7.

მაგალითი 8.

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება.

მაგალითი 1.

მაგალითი 2.

მაგალითი 3.

მაგალითი 4.

მაგალითი 5.

მაგალითი 6.

მაგალითი 7.

log 4 (3 x -1)log 0.25

გავაკეთოთ ჩანაცვლება y=3 x -1; მაშინ ეს უთანასწორობა მიიღებს ფორმას

ჟურნალი 4 ჟურნალი 0.25
.

იმიტომ რომ ჟურნალი 0.25 = -ლოგი 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, შემდეგ გადავწერთ ბოლო უტოლობას, როგორც 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

გავაკეთოთ ჩანაცვლება t =log 4 y და მივიღოთ უტოლობა t 2 -2t +≥0, რომლის ამოხსნა არის ინტერვალები - .

ამრიგად, y-ის მნიშვნელობების საპოვნელად გვაქვს ორი მარტივი უტოლობის ნაკრები
ამ ნაკრების გამოსავალი არის ინტერვალები 0<у≤2 и 8≤у<+.

მაშასადამე, საწყისი უტოლობა უდრის ორი ექსპონენციალური უტოლობის სიმრავლეს,
ანუ აგრეგატები

ამ სიმრავლის პირველი უტოლობის გამოსავალი არის ინტერვალი 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა დაკმაყოფილებულია x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ინტერვალებიდან 0<х≤1 и 2≤х<+.

მაგალითი 8.

გამოსავალი:

უთანასწორობა უდრის სისტემას

ODZ-ის განმსაზღვრელი მეორე უტოლობის გამოსავალი იქნება ამ სიმრავლე x,

რისთვისაც x > 0.

პირველი უტოლობის ამოსახსნელად ვაკეთებთ ჩანაცვლებას

შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას

ან

ბოლო უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე ნაპოვნია მეთოდით

ინტერვალები: -1< ტ < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ვიღებთ

ან

ბევრი მათგანი x, რომლებიც აკმაყოფილებენ ბოლო უტოლობას

ეკუთვნის ODZ-ს ( x> 0), შესაბამისად, არის სისტემის გამოსავალი,

და აქედან გამომდინარე ორიგინალური უთანასწორობა.

პასუხი:

2.4. ამოცანები ხაფანგებით.

მაგალითი 1.

.

გამოსავალი.უტოლობის ODZ არის ყველა x რომელიც აკმაყოფილებს 0 პირობას . აქედან გამომდინარე, ყველა x არის 0-ის ინტერვალიდან

მაგალითი 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? ფაქტია, რომ მეორე რიცხვი აშკარად მეტია

დასკვნა

იოლი არ იყო C3 ამოცანების გადაჭრის კონკრეტული მეთოდების პოვნა სხვადასხვა საგანმანათლებლო წყაროების დიდი სიმრავლიდან. შესრულებული სამუშაოს დროს მოვახერხე რთული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესწავლა. ესენია: ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი, რაციონალიზაციის მეთოდი , არასტანდარტული ჩანაცვლება , ამოცანები ხაფანგებით ODZ-ზე. ეს მეთოდები არ შედის სასკოლო სასწავლო გეგმაში.

სხვადასხვა მეთოდის გამოყენებით მოვაგვარე ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე შემოთავაზებული 27 უტოლობა C ნაწილში, კერძოდ, C3. ამ უტოლობებმა ამონახსნებით მეთოდებით საფუძველი ჩაუყარა კრებულს „C3 ლოგარითმული უტოლობა ამონახსნებით“, რომელიც ჩემი საქმიანობის საპროექტო პროდუქტი გახდა. დადასტურდა ჰიპოთეზა, რომელიც მე წამოვაყენე პროექტის დასაწყისში: C3 პრობლემები შეიძლება ეფექტურად გადაწყდეს, თუ იცით ეს მეთოდები.

გარდა ამისა, აღმოვაჩინე საინტერესო ფაქტები ლოგარითმების შესახებ. ჩემთვის საინტერესო იყო ამის გაკეთება. ჩემი პროექტის პროდუქტები სასარგებლო იქნება როგორც სტუდენტებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის.

დასკვნები:

ამრიგად, პროექტის მიზანი მიღწეულია და პრობლემა მოგვარებულია. და მივიღე პროექტის აქტივობების ყველაზე სრულყოფილი და მრავალფეროვანი გამოცდილება მუშაობის ყველა ეტაპზე. პროექტზე მუშაობისას ჩემი ძირითადი განვითარების გავლენა იყო გონებრივი კომპეტენცია, ლოგიკურ ფსიქიკურ ოპერაციებთან დაკავშირებული აქტივობები, შემოქმედებითი კომპეტენციის განვითარება, პიროვნული ინიციატივა, პასუხისმგებლობა, შეუპოვრობა და აქტიურობა.

წარმატების გარანტია კვლევის პროექტის შექმნისას მივიღე: მნიშვნელოვანი სასკოლო გამოცდილება, სხვადასხვა წყაროდან ინფორმაციის მოპოვების, სანდოობის და მნიშვნელობის მიხედვით დახარისხების უნარი.

მათემატიკაში უშუალო საგნის ცოდნის გარდა, გავაფართოვე პრაქტიკული უნარები კომპიუტერული მეცნიერების სფეროში, შევიძინე ახალი ცოდნა და გამოცდილება ფსიქოლოგიის სფეროში, დავამყარე კონტაქტები თანაკლასელებთან, ვისწავლე უფროსებთან თანამშრომლობა. პროექტის აქტივობების განმავლობაში განვითარდა ორგანიზაციული, ინტელექტუალური და კომუნიკაციური ზოგადსაგანმანათლებლო უნარები.

ლიტერატურა

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. უტოლობების სისტემები ერთი ცვლადით (სტანდარტული ამოცანები C3).

2. Malkova A. G. მომზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მათემატიკაში.

3. Samarov S. S. ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა.

4. მათემატიკა. სასწავლო სამუშაოების კრებული, რედაქტირებულია A.L. სემენოვი და ი.ვ. იაშჩენკო. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 გვ.-

ლოგარითმული უტოლობების მთელ მრავალფეროვნებას შორის ცალკე შესწავლილია ცვლადი ფუძის მქონე უტოლობა. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის გამოყენებით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ასწავლიან სკოლაში:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

„∨“ ჩამრთველის ნაცვლად, შეგიძლიათ დააყენოთ ნებისმიერი უთანასწორობის ნიშანი: მეტ-ნაკლებად. მთავარი ის არის, რომ ორივე უტოლობაში ნიშნები ერთნაირია.

ამ გზით ჩვენ გავთავისუფლდებით ლოგარითმებისგან და პრობლემას რაციონალურ უთანასწორობამდე ვამცირებთ. ამ უკანასკნელის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას შეიძლება დამატებითი ფესვები გამოჩნდეს. მათი გათიშვის მიზნით, საკმარისია იპოვოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. თუ დაგავიწყდათ ლოგარითმის ODZ, გირჩევთ გაიმეოროთ იგი - იხილეთ „რა არის ლოგარითმი“.

ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონთან, ცალკე უნდა ჩაიწეროს და გადაწყდეს:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ეს ოთხი უტოლობა წარმოადგენს სისტემას და უნდა დაკმაყოფილდეს ერთდროულად. როდესაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი იქნა ნაპოვნი, რჩება მხოლოდ მისი გადაკვეთა რაციონალური უთანასწორობის ამოხსნით - და პასუხი მზად არის.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ ლოგარითმის ODZ:

პირველი ორი უტოლობა სრულდება ავტომატურად, მაგრამ ბოლო უნდა ამოიწეროს. ვინაიდან რიცხვის კვადრატი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი არის ნული, გვაქვს:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ არის ყველა რიცხვი ნულის გარდა: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). ახლა ჩვენ ვხსნით მთავარ უტოლობას:

ჩვენ ვაკეთებთ გადასვლას ლოგარითმული უტოლობიდან რაციონალურზე. თავდაპირველ უტოლობას აქვს "ნაკლები" ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ მიღებულ უტოლობას ასევე უნდა ჰქონდეს "ნაკლები" ნიშანი. ჩვენ გვაქვს:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

ამ გამოხატვის ნულებია: x = 3; x = −3; x = 0. უფრო მეტიც, x = 0 არის მეორე სიმრავლის ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ მასში გავლისას ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება. ჩვენ გვაქვს:

ვიღებთ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). ეს ნაკრები მთლიანად შეიცავს ლოგარითმის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის პასუხი.

ლოგარითმული უტოლობების გარდაქმნა

ხშირად თავდაპირველი უთანასწორობა განსხვავდება ზემოთ მოცემულისაგან. ამის მარტივად გამოსწორება შესაძლებელია ლოგარითმებთან მუშაობის სტანდარტული წესების გამოყენებით - იხილეთ „ლოგარითმების ძირითადი თვისებები“. კერძოდ:

  1. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით მოცემული ფუძით;
  2. ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი და სხვაობა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითმით.

ცალკე მინდა შეგახსენოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი, საჭიროა თითოეული მათგანის VA-ს პოვნა. ამრიგად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი სქემა შემდეგია:

  1. იპოვეთ უტოლობაში შემავალი თითოეული ლოგარითმის VA;
  2. უტოლობის შემცირება სტანდარტულზე ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებით;
  3. ამოხსენით მიღებული უტოლობა ზემოთ მოცემული სქემის გამოყენებით.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ვიპოვოთ პირველი ლოგარითმის განმარტების დომენი (DO):

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. მრიცხველის ნულების პოვნა:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

შემდეგ - მნიშვნელის ნულები:

x − 1 = 0;
x = 1.

ჩვენ აღვნიშნავთ ნულებს და ნიშნებს კოორდინატთა ისრზე:

ვიღებთ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). მეორე ლოგარითმს ექნება იგივე VA. თუ არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა ჩვენ გარდაქმნით მეორე ლოგარითმს ისე, რომ საფუძველი იყოს ორი:

როგორც ხედავთ, სამეული ძირში და ლოგარითმის წინ შემცირდა. მივიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით. მოდით დავამატოთ ისინი:

ჟურნალი 2 (x − 1) 2< 2;
ჟურნალი 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

მივიღეთ სტანდარტული ლოგარითმული უტოლობა. ლოგარითმებს ფორმულის გამოყენებით ვაშორებთ. ვინაიდან თავდაპირველი უტოლობა შეიცავს "ნაკლები" ნიშანს, შედეგად მიღებული რაციონალური გამოხატულება ასევე უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. ჩვენ გვაქვს:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

მივიღეთ ორი კომპლექტი:

  1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
  2. კანდიდატის პასუხი: x ∈ (−1; 3).

რჩება ამ კომპლექტების გადაკვეთა - ვიღებთ ნამდვილ პასუხს:

ჩვენ გვაინტერესებს კომპლექტების კვეთა, ამიტომ ვირჩევთ ინტერვალებს, რომლებიც დაჩრდილულია ორივე ისრზე. ვიღებთ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - ყველა წერტილი პუნქციაა.

მათთან არის ლოგარითმები შიგნით.

მაგალითები:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული უტოლობა:

ჩვენ უნდა შევეცადოთ შევამციროთ ნებისმიერი ლოგარითმული უტოლობა ფორმამდე \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (სიმბოლო \(˅\) ნიშნავს ნებისმიერს). ეს ტიპი საშუალებას გაძლევთ თავიდან აიცილოთ ლოგარითმები და მათი საფუძვლები, გადავიდეთ ლოგარითმების ქვეშ გამონათქვამების უთანასწორობაზე, ანუ ფორმაზე \(f(x) ˅ g(x)\).

მაგრამ ამ გადასვლისას არის ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი დახვეწილობა:
\(-\) თუ არის რიცხვი და ის მეტია 1-ზე, უტოლობის ნიშანი იგივე რჩება გადასვლისას,
\(-\) თუ ფუძე არის 0-ზე მეტი, მაგრამ 1-ზე ნაკლები რიცხვი (იწევს ნულსა და ერთს შორის), მაშინ უტოლობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ, ე.ი.

მაგალითები:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\ (x<8\)

გამოსავალი:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
პასუხი: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ 1))\)
ODZ: \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)2x-4>0\\x+1 > 0\ბოლო (შემთხვევები)\)
\(\ დასაწყისი(შემთხვევები)2x>4\\x > -1\ბოლო(შემთხვევები)\) \(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\) \(\დაწყება(შემთხვევები)x>2\\x > -1\დასრულება (შემთხვევები) \) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(x\in(2;\infty)\)

გამოსავალი:
\(2x-4\)\(≤\) \(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
პასუხი: \((2;5]\)

ძალიან მნიშვნელოვანია!ნებისმიერ უტოლობაში, ფორმიდან \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) გადასვლა ლოგარითმებში გამოსახულებების შედარებაზე შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ:


მაგალითი . უტოლობის ამოხსნა: \(\log\)\(≤-1\)

გამოსავალი:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)

მოდით დავწეროთ ODZ.

ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)

\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)

ვხსნით ფრჩხილებს და მივაქვთ.

\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)

ჩვენ ვამრავლებთ უტოლობას \(-1\-ზე), არ გვავიწყდება შედარების ნიშნის შებრუნება.

\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)

ავაშენოთ რიცხვითი წრფე და აღვნიშნოთ მასზე წერტილები \(\frac(7)(3)\) და \(\frac(3)(2)\). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ წერტილი ამოღებულია მნიშვნელიდან, მიუხედავად იმისა, რომ უტოლობა არ არის მკაცრი. ფაქტია, რომ ეს წერტილი არ იქნება გამოსავალი, რადგან უტოლობაში ჩანაცვლებისას მიგვიყვანს ნულზე გაყოფამდე.


\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

ახლა ჩვენ გამოვსახავთ ODZ-ს იმავე ციფრულ ღერძზე და პასუხად ვწერთ ინტერვალს, რომელიც ხვდება ODZ-ში.


ჩვენ ვწერთ საბოლოო პასუხს.

პასუხი: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

მაგალითი . ამოხსენით უტოლობა: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

გამოსავალი:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

მოდით დავწეროთ ODZ.

ODZ: \(x>0\)

გადავიდეთ გამოსავალზე.

გამოსავალი: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

აქ გვაქვს ტიპიური კვადრატულ-ლოგარითმული უტოლობა. მოდით გავაკეთოთ.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

ჩვენ ვაფართოებთ უტოლობის მარცხენა მხარეს .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

ახლა ჩვენ უნდა დავუბრუნდეთ საწყის ცვლადს - x. ამისათვის გადავიდეთ , რომელსაც აქვს იგივე გამოსავალი და გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

\(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

ტრანსფორმაცია \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).

\(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

მოდით გადავიდეთ არგუმენტების შედარებაზე. ლოგარითმების საფუძვლები მეტია \(1\-ზე), ამიტომ უტოლობების ნიშანი არ იცვლება.

\(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

მოდით გავაერთიანოთ უტოლობის ამოხსნა და ODZ ერთ ფიგურაში.


დავწეროთ პასუხი.

პასუხი: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

ლოგარითმული უტოლობები

წინა გაკვეთილებზე გავეცანით ლოგარითმულ განტოლებებს და ახლა ვიცით რა არის და როგორ ამოხსნათ ისინი. დღევანდელი გაკვეთილი ლოგარითმული უტოლობების შესწავლას დაეთმობა. რა არის ეს უტოლობა და რა განსხვავებაა ლოგარითმული განტოლებისა და უტოლობის ამოხსნას შორის?

ლოგარითმული უტოლობები არის უტოლობები, რომლებსაც აქვთ ცვლადი, რომელიც ჩნდება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ან მის ბაზაზე.

ან, ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ლოგარითმული უტოლობა არის უტოლობა, რომელშიც მისი უცნობი მნიშვნელობა, როგორც ლოგარითმული განტოლებაში, გამოჩნდება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ.

უმარტივეს ლოგარითმულ უტოლობას აქვს შემდეგი ფორმა:

სადაც f(x) და g(x) არის ზოგიერთი გამონათქვამი, რომელიც დამოკიდებულია x-ზე.

მოდით შევხედოთ ამას ამ მაგალითის გამოყენებით: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნამდე, აღსანიშნავია, რომ ამოხსნისას ისინი მსგავსია ექსპონენციალური უტოლობების, კერძოდ:

პირველ რიგში, ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოსახულებებზე გადასვლისას ასევე უნდა შევადაროთ ლოგარითმის ფუძე ერთს;

მეორეც, ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნისას ცვლადების ცვლილების გამოყენებით, ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობები ცვლილებასთან მიმართებაში, სანამ არ მივიღებთ უმარტივეს უტოლობას.

მაგრამ მე და თქვენ განვიხილეთ ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მსგავსი ასპექტები. ახლა ყურადღება მივაქციოთ საკმაოდ მნიშვნელოვან განსხვავებას. თქვენ და მე ვიცით, რომ ლოგარითმულ ფუნქციას აქვს განსაზღვრის შეზღუდული დომენი, ამიტომ ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამონათქვამებზე გადასვლისას საჭიროა გავითვალისწინოთ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი (ADV).

ანუ, გასათვალისწინებელია, რომ ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას მე და თქვენ ჯერ შეგვიძლია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები, შემდეგ კი შევამოწმოთ ეს ამონახსნი. მაგრამ ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნა ამ გზით არ იმუშავებს, რადგან ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამონათქვამებზე გადასვლისას საჭირო იქნება უტოლობის ODZ-ის ჩაწერა.

გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ უტოლობების თეორია შედგება რეალური რიცხვებისგან, რომლებიც არის დადებითი და უარყოფითი რიცხვები, ასევე რიცხვი 0.

მაგალითად, როდესაც რიცხვი "a" დადებითია, მაშინ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი აღნიშვნა: a >0. ამ შემთხვევაში ამ რიცხვების ჯამიც და ნამრავლიც დადებითი იქნება.

უტოლობის ამოხსნის მთავარი პრინციპია მისი ჩანაცვლება უფრო მარტივი უტოლობით, მაგრამ მთავარია ის იყოს მოცემულის ეკვივალენტური. გარდა ამისა, ჩვენ ასევე მივიღეთ უტოლობა და კვლავ შევცვალეთ ის, რომელსაც აქვს უფრო მარტივი ფორმა და ა.შ.

ცვლადით უტოლობების ამოხსნისას, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ყველა ამონახსნები. თუ ორ უტოლობას აქვს ერთიდაიგივე x ცვლადი, მაშინ ასეთი უტოლობა ექვივალენტურია, იმ პირობით, რომ მათი ამონახსნები ემთხვევა.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ამოცანების შესრულებისას უნდა გახსოვდეთ, რომ როდესაც a > 1, მაშინ ლოგარითმული ფუნქცია იზრდება და როცა 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მეთოდები

ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მეთოდს, რომლებიც გამოიყენება ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას. უკეთესი გაგებისა და ასიმილაციისთვის შევეცდებით მათი გაგება კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

ყველამ ვიცით, რომ უმარტივეს ლოგარითმულ უტოლობას აქვს შემდეგი ფორმა:

ამ უტოლობაში V – არის ერთ-ერთი შემდეგი უტოლობის ნიშანი:<,>, ≤ ან ≥.

როდესაც მოცემული ლოგარითმის საფუძველი ერთზე მეტია (a>1), ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფ გამონათქვამებზე გადასვლა ხდება, მაშინ ამ ვერსიაში უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია და უტოლობას ექნება შემდეგი ფორმა:

რაც ამ სისტემის ტოლფასია:


იმ შემთხვევაში, როდესაც ლოგარითმის საფუძველი არის ნულზე მეტი და ერთზე ნაკლები (0

ეს ამ სისტემის ტოლფასია:


მოდით შევხედოთ ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენები უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის სხვა მაგალითებს:



მაგალითების ამოხსნა

ვარჯიში.შევეცადოთ გადავჭრათ ეს უტოლობა:


მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის ამოხსნა.


ახლა ვცადოთ მისი მარჯვენა მხარის გამრავლება:

ვნახოთ, რა შეგვიძლია მივიღოთ:



ახლა მოდით გადავიდეთ სუბლოგარითმული გამონათქვამების კონვერტაციაზე. იმის გამო, რომ ლოგარითმის საფუძველი არის 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

და აქედან გამომდინარეობს, რომ ინტერვალი, რომელიც ჩვენ მივიღეთ, მთლიანად ეკუთვნის ODZ-ს და არის გამოსავალი ასეთი უტოლობისა.

აი პასუხი მივიღეთ:


რა არის საჭირო ლოგარითმული უტოლობების ამოსახსნელად?

ახლა ვცადოთ გავაანალიზოთ რა გვჭირდება ლოგარითმული უტოლობების წარმატებით გადასაჭრელად?

პირველ რიგში, მთელი თქვენი ყურადღება გაამახვილეთ და შეეცადეთ არ დაუშვათ შეცდომები იმ გარდაქმნების შესრულებისას, რომლებიც მოცემულია ამ უთანასწორობაში. ასევე, უნდა გვახსოვდეს, რომ ასეთი უტოლობების ამოხსნისას აუცილებელია თავიდან იქნას აცილებული უთანასწორობის ODZ-ის გაფართოება და შეკუმშვა, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს ზედმეტი ამონახსნების დაკარგვა ან შეძენა.

მეორეც, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას, თქვენ უნდა ისწავლოთ ლოგიკური აზროვნება და გაიგოთ განსხვავება ისეთ ცნებებს შორის, როგორიცაა უტოლობების სისტემა და უტოლობების სიმრავლე, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ მარტივად აირჩიოთ უტოლობის ამონახსნები მისი DL-ით ხელმძღვანელობით.

მესამე, ასეთი უტოლობების წარმატებით გადასაჭრელად, თითოეულმა თქვენგანმა უნდა იცოდეს ელემენტარული ფუნქციების ყველა თვისება და ნათლად გაიგოს მათი მნიშვნელობა. ასეთ ფუნქციებში შედის არა მხოლოდ ლოგარითმული, არამედ რაციონალური, სიმძლავრე, ტრიგონომეტრიული და ა.შ., ერთი სიტყვით, ყველა ის, რაც თქვენ სწავლობდით სკოლის ალგებრის დროს.

როგორც ხედავთ, ლოგარითმული უტოლობების თემის შესწავლისას, ამ უტოლობების ამოხსნაში რთული არაფერია, იმ პირობით, რომ ფრთხილად და დაჟინებული იყოთ თქვენი მიზნების მიღწევაში. უთანასწორობის გადაჭრის პრობლემების თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა ივარჯიშოთ მაქსიმალურად, გადაჭრათ სხვადასხვა ამოცანები და ამავე დროს გახსოვდეთ ასეთი უტოლობების გადაჭრის ძირითადი მეთოდები და მათი სისტემები. თუ ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას ვერ ახერხებთ, ყურადღებით უნდა გაანალიზოთ თქვენი შეცდომები, რათა მათ აღარ დაუბრუნდეთ მომავალში.

საშინაო დავალება

თემის უკეთ გასაგებად და გაშუქებული მასალის გასამყარებლად, ამოხსენით შემდეგი უტოლობა: