ბავშვების შესახებ 

წილადური ლოგარითმული უტოლობების მაგალითების ამოხსნა. ლოგარითმული უტოლობები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

ლოგარითმული უთანასწორობა გამოყენებაში

სეჩინი მიხაილ ალექსანდროვიჩი

მეცნიერებათა მცირე აკადემია ყაზახეთის რესპუბლიკის სტუდენტებისთვის "მაძიებელი"

MBOU "საბჭოთა საშუალო სკოლა No1", კლასი 11, ქ. საბჭოეთის საბჭოთა ოლქი

გუნკო ლუდმილა დმიტრიევნა, MBOU "საბჭოთა საშუალო სკოლა No1" მასწავლებელი

საბჭოთა ოლქი

სამუშაოს მიზანი:არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით C3 ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, ლოგარითმის შესახებ საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.

კვლევის საგანი:

3) ისწავლეთ კონკრეტული ლოგარითმული C3 უტოლობების ამოხსნა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

შინაარსი

შესავალი ………………………………………………………………………………….4

თავი 1. ფონი................

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული ………………………………… 7

2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი…………… 7

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი …………………………………………………… 15

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.4. ამოცანები ხაფანგებით……………………………………………………………………………………………………………

დასკვნა………………………………………………………………… 30

ლიტერატურა………………………………………………………………………. 31

შესავალი

მე-11 კლასში ვარ და ვგეგმავ უნივერსიტეტში ჩაბარებას, სადაც მათემატიკა არის ძირითადი საგანი. და ამიტომაც ბევრს ვმუშაობ C ნაწილის ამოცანებთან. C3 ამოცანაში თქვენ უნდა ამოხსნათ არასტანდარტული უტოლობა ან უტოლობათა სისტემა, რომელიც ჩვეულებრივ ასოცირდება ლოგარითმებთან. გამოცდისთვის მომზადებისას დამხვდა C3-ში შემოთავაზებული საგამოცდო ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მეთოდებისა და ტექნიკის ნაკლებობის პრობლემა. მეთოდები, რომლებიც ამ თემაზე სასკოლო სასწავლო გეგმაშია შესწავლილი, არ იძლევა C3 ამოცანების ამოხსნის საფუძველს. მათემატიკის მასწავლებელმა შემომთავაზა დამოუკიდებლად მემუშავა C3 დავალებები მისი ხელმძღვანელობით. გარდა ამისა, მაინტერესებდა კითხვა: არის თუ არა ლოგარითმები ჩვენს ცხოვრებაში?

ამის გათვალისწინებით შეირჩა თემა:

"ლოგარითმული უტოლობები გამოცდაში"

სამუშაოს მიზანი:არასტანდარტული მეთოდებით C3 ამოცანების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, ლოგარითმის შესახებ საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.

კვლევის საგანი:

1) მოიძიეთ საჭირო ინფორმაცია ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესახებ.

2) მოიძიეთ დამატებითი ინფორმაცია ლოგარითმების შესახებ.

3) ისწავლეთ C3 კონკრეტული ამოცანების გადაჭრა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

პრაქტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს C3 პრობლემების გადაჭრის აპარატის გაფართოებაში. ამ მასალის გამოყენება შესაძლებელია ზოგიერთ გაკვეთილზე, წრეების ჩასატარებლად, მათემატიკაში არჩევითი გაკვეთილებისთვის.

პროექტის პროდუქტი იქნება კრებული "ლოგარითმული C3 უტოლობები ამონახსნებით".

თავი 1. ფონი

მე-16 საუკუნის განმავლობაში, სავარაუდო გამოთვლების რაოდენობა სწრაფად გაიზარდა, პირველ რიგში ასტრონომიაში. ინსტრუმენტების გაუმჯობესება, პლანეტების მოძრაობის შესწავლა და სხვა სამუშაოები მოითხოვდა კოლოსალურ, ზოგჯერ მრავალწლიან გამოთვლებს. ასტრონომიას შეუსრულებელ გამოთვლებში დახრჩობის რეალური საფრთხე ემუქრებოდა. სირთულეები წარმოიშვა სხვა სფეროებშიც, მაგალითად, სადაზღვევო ბიზნესში, სხვადასხვა პროცენტული მნიშვნელობისთვის საჭირო იყო რთული პროცენტის ცხრილები. მთავარი სირთულე იყო გამრავლება, მრავალნიშნა რიცხვების დაყოფა, განსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული სიდიდეები.

ლოგარითმების აღმოჩენა მე-16 საუკუნის ბოლოსათვის პროგრესირების ცნობილ თვისებებს ეფუძნებოდა. არქიმედესმა ისაუბრა გეომეტრიული პროგრესიის წევრებს შორის q, q2, q3, ... კავშირზე და მათი 1, 2, 3, ... ინდიკატორების არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ ფსალმუნში. კიდევ ერთი წინაპირობა იყო ხარისხის ცნების გაფართოება უარყოფით და წილადის მაჩვენებლებზე. ბევრმა ავტორმა აღნიშნა, რომ გამრავლება, გაყოფა, ხარისხამდე აწევა და ფესვის ამოღება ექსპონენტურად შეესაბამება არითმეტიკაში - იგივე თანმიმდევრობით - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა.

აქ იყო ლოგარითმის, როგორც მაჩვენებლის იდეა.

ლოგარითმების დოქტრინის განვითარების ისტორიაში რამდენიმე ეტაპი გაიარა.

ეტაპი 1

ლოგარითმები არაუგვიანეს 1594 წელს გამოიგონა დამოუკიდებლად შოტლანდიელმა ბარონმა ნაპიერმა (1550-1617), ხოლო ათი წლის შემდეგ შვეიცარიელმა მექანიკოსმა ბურგიმ (1552-1632). ორივეს სურდა არითმეტიკული გამოთვლების ახალი მოსახერხებელი საშუალების მიწოდება, თუმცა ამ პრობლემას სხვადასხვა გზით მიუდგნენ. ნაპიერმა კინემატიკურად გამოხატა ლოგარითმული ფუნქცია და ამით შევიდა ფუნქციის თეორიის ახალ სფეროში. ბურგი დარჩა დისკრეტული პროგრესირების განხილვის საფუძველზე. თუმცა, ორივეს ლოგარითმის განმარტება არ ჰგავს თანამედროვეს. ტერმინი „ლოგარითმი“ (logarithmus) ეკუთვნის ნაპიერს. იგი წარმოიშვა ბერძნული სიტყვების კომბინაციიდან: logos - "ურთიერთობა" და ariqmo - "რიცხვი", რაც ნიშნავს "ურთიერთობების რაოდენობას". თავდაპირველად, ნაპიერმა გამოიყენა განსხვავებული ტერმინი: numeri artificiales - "ხელოვნური რიცხვები", განსხვავებით numeri naturalts - "ნატურალური რიცხვები".

1615 წელს, ლონდონის გრეშის კოლეჯის მათემატიკის პროფესორ ჰენრი ბრიგსთან (1561-1631) საუბარში ნაპიერმა შესთავაზა ნულის აღება ერთის ლოგარითმისთვის და 100-ის ლოგარითმისთვის ათი, ანუ რა არის იგივე. , მხოლოდ 1. ასე იბეჭდებოდა ათობითი ლოგარითმები და პირველი ლოგარითმული ცხრილები. მოგვიანებით, ბრიგსის ცხრილები დაემატა ჰოლანდიელმა წიგნის გამყიდველმა და მათემატიკოსმა ანდრიან ფლაკმა (1600-1667). ნეპიერმა და ბრიგსმა, მიუხედავად იმისა, რომ ლოგარითმებზე ადრე მივიდნენ, თავიანთი ცხრილები სხვებზე გვიან გამოაქვეყნეს - 1620 წელს. ნიშნები log და Log შემოიღო 1624 წელს ი.კეპლერმა. ტერმინი „ბუნებრივი ლოგარითმი“ შემოიღო მენგოლიმ 1659 წელს, რასაც მოჰყვა ნ. მერკატორი 1668 წელს, ხოლო ლონდონელმა მასწავლებელმა ჯონ სპადელმა გამოაქვეყნა 1-დან 1000-მდე რიცხვების ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები სახელწოდებით „ახალი ლოგარითმები“.

რუსულად, პირველი ლოგარითმული ცხრილები გამოქვეყნდა 1703 წელს. მაგრამ ყველა ლოგარითმულ ცხრილებში დაშვებული იყო შეცდომები გაანგარიშებაში. პირველი უშეცდომო ცხრილები გამოქვეყნდა 1857 წელს ბერლინში გერმანელი მათემატიკოსის კ.ბრემიკერის (1804-1877) დამუშავებაში.

ეტაპი 2

ლოგარითმების თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია ანალიტიკური გეომეტრიისა და უსასრულო კალკულუსის უფრო ფართო გამოყენებასთან. იმ დროისთვის დამყარდა კავშირი ტოლგვერდა ჰიპერბოლის კვადრატსა და ბუნებრივ ლოგარითმს შორის. ამ პერიოდის ლოგარითმების თეორია დაკავშირებულია არაერთი მათემატიკოსის სახელთან.

გერმანელი მათემატიკოსი, ასტრონომი და ინჟინერი ნიკოლაუს მერკატორი თავის ნარკვევში

"ლოგარითმოტექნიკა" (1668) იძლევა სერიას, რომელიც იძლევა ln(x + 1) გაფართოებას

სიმძლავრე x:

ეს გამოთქმა ზუსტად შეესაბამება მისი აზროვნების მსვლელობას, თუმცა, რა თქმა უნდა, მან არ გამოიყენა ნიშნები d, ..., არამედ უფრო შრომატევადი სიმბოლოები. ლოგარითმული სერიების აღმოჩენით შეიცვალა ლოგარითმების გამოთვლის ტექნიკა: დაიწყო მათი განსაზღვრა უსასრულო სერიების გამოყენებით. 1907-1908 წლებში წაკითხული თავის ლექციებში „ელემენტარული მათემატიკა უმაღლესი თვალსაზრისით“, ფ.

ეტაპი 3

ლოგარითმული ფუნქციის განმარტება, როგორც ინვერსიის ფუნქცია

ექსპონენციალური, ლოგარითმი, როგორც მოცემული ფუძის მაჩვენებლის

დაუყოვნებლივ არ იყო ჩამოყალიბებული. ლეონჰარდ ეილერის (1707-1783) ნამუშევარი

შემდგომში „შესავალი უსასრულო მცირეთა ანალიზში“ (1748 წ.).

ლოგარითმული ფუნქციის თეორიის შემუშავება. ამრიგად,

ლოგარითმების პირველად შემოღებიდან 134 წელი გავიდა

(ითვლის 1614 წლიდან) სანამ მათემატიკოსები გამოვიდნენ განსაზღვრებამდე

ლოგარითმის კონცეფცია, რომელიც ახლა სასკოლო კურსის საფუძველია.

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული

2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი.

ექვივალენტური გადასვლები

თუ a > 1

თუ 0 < а < 1

განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი

ეს მეთოდი ყველაზე უნივერსალურია თითქმის ნებისმიერი ტიპის უტოლობების გადასაჭრელად. გადაწყვეტის სქემა ასე გამოიყურება:

1. მიიტანეთ უტოლობა ისეთ ფორმამდე, სადაც ფუნქცია მდებარეობს მარცხენა მხარეს
, და 0 მარჯვნივ.

2. იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები
.

3. იპოვეთ ფუნქციის ნულები
, ანუ ამოხსენი განტოლება
(და განტოლების ამოხსნა ჩვეულებრივ უფრო ადვილია, ვიდრე უტოლობის ამოხსნა).

4. დახატეთ ფუნქციის განსაზღვრების დომენი და ნულები რეალურ წრფეზე.

5. ფუნქციის ნიშნების დადგენა
მიღებულ ინტერვალებში.

6. აირჩიეთ ის ინტერვალები, სადაც ფუნქცია იღებს საჭირო მნიშვნელობებს და ჩაწერეთ პასუხი.

მაგალითი 1

გამოსავალი:

გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი

სადაც

ამ მნიშვნელობებისთვის, ყველა გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნების ქვეშ არის დადებითი.

პასუხი:

მაგალითი 2

გამოსავალი:

1-ლი გზა . ODZ განისაზღვრება უტოლობით x> 3. ლოგარითმების აღება ასეთებისთვის xმე-10 ბაზაში ვიღებთ

ბოლო უტოლობის ამოხსნა შეიძლებოდა დაშლის წესების გამოყენებით, ე.ი. ფაქტორების შედარება ნულთან. თუმცა, ამ შემთხვევაში ადვილია ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალების დადგენა

ასე რომ, ინტერვალის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას.

ფუნქცია ვ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ უწყვეტია ამისთვის x> 3 და ქრება წერტილებში x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალებს ვ(x):

პასუხი:

მე-2 გზა . მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალების მეთოდის იდეები პირდაპირ თავდაპირველ უტოლობაზე.

ამისთვის გავიხსენებთ, რომ გამონათქვამები აბ- აგ და ( ა - 1)(ბ- 1) აქვს ერთი ნიშანი. მაშინ ჩვენი უთანასწორობა ამისთვის x> 3 უდრის უტოლობას

ან

ბოლო უტოლობა ამოხსნილია ინტერვალის მეთოდით

პასუხი:

მაგალითი 3

გამოსავალი:

გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი

პასუხი:

მაგალითი 4

გამოსავალი:

2 წლიდან x 2 - 3x+ 3 > 0 ყველა რეალურისთვის x, ეს

მეორე უტოლობის ამოსახსნელად ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს

პირველ უთანასწორობაში ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას

მაშინ მივდივართ უტოლობამდე 2y 2 - წ - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те წ, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას -0.5< წ < 1.

საიდან იმიტომ

ვიღებთ უთანასწორობას

რომელიც ხორციელდება x, რისთვისაც 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

ახლა, სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნის გათვალისწინებით, საბოლოოდ მივიღებთ

პასუხი:

მაგალითი 5

გამოსავალი:

უთანასწორობა სისტემების ერთობლიობის ტოლფასია

ან

გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი ან

უპასუხე:

მაგალითი 6

გამოსავალი:

უთანასწორობა სისტემის ტოლფასია

დაე

მერე წ > 0,

და პირველი უთანასწორობა

სისტემა იღებს ფორმას

ან გაფართოება

კვადრატული ტრინომი ფაქტორების მიმართ,

ინტერვალის მეთოდის გამოყენება ბოლო უტოლობაზე,

ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი გადაწყვეტილებები აკმაყოფილებს მდგომარეობას წ> 0 იქნება ყველაფერი წ > 4.

ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა ექვივალენტურია სისტემის:

ასე რომ, უტოლობის ამონახსნები არის ყველა

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი.

ადრე უთანასწორობის რაციონალიზაციის მეთოდი არ იყო გადაწყვეტილი, ცნობილი არ იყო. ეს არის "ახალი თანამედროვე ეფექტური მეთოდი ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების გადასაჭრელად" (ციტატა კოლესნიკოვა S.I. წიგნიდან).
და მაშინაც კი, თუ მასწავლებელი იცნობდა მას, იყო შიში - მაგრამ იცნობს თუ არა მას USE ექსპერტი და რატომ არ აძლევენ მას სკოლაში? იყო სიტუაციები, როდესაც მასწავლებელმა ეუბნება მოსწავლეს: "საიდან მოიტანე? დაჯექი - 2".
ახლა ყველგან ხდება მეთოდის პოპულარიზაცია. და ექსპერტებისთვის, არსებობს ამ მეთოდთან დაკავშირებული სახელმძღვანელო მითითებები და "სტანდარტული ვარიანტების ყველაზე სრულ გამოცემაში ..." გადაწყვეტილებაში C3, ეს მეთოდი გამოიყენება.
მეთოდი შესანიშნავია!

"ჯადოსნური მაგიდა"


სხვა წყაროებში

თუ a >1 და b >1, შემდეგ log a b >0 და (a -1)(b -1)>0;

თუ a > 1 და 0

თუ 0<ა<1 и b >1, შემდეგ შედით a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

თუ 0<ა<1 и 00 და (a -1) (b -1)>0.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მარტივია, მაგრამ შესამჩნევად ამარტივებს ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას.

მაგალითი 4

ჟურნალი x (x 2 -3)<0

გამოსავალი:

მაგალითი 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

გამოსავალი:

უპასუხე. (0; 0.5) U.

მაგალითი 6

ამ უტოლობის ამოსახსნელად მნიშვნელის ნაცვლად ვწერთ (x-1-1) (x-1), ხოლო მრიცხველის ნაცვლად ნამრავლს (x-1) (x-3-9 + x).


უპასუხე : (3;6)

მაგალითი 7

მაგალითი 8

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება.

მაგალითი 1

მაგალითი 2

მაგალითი 3

მაგალითი 4

მაგალითი 5

მაგალითი 6

მაგალითი 7

log 4 (3 x -1) log 0.25

გავაკეთოთ ჩანაცვლება y=3 x -1; მაშინ ეს უტოლობა იღებს ფორმას

log 4 log 0.25
.

იმიტომ რომ ჟურნალი 0.25 = -ლოგი 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, შემდეგ გადავწერთ ბოლო უტოლობას, როგორც 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

გავაკეთოთ ჩანაცვლება t =log 4 y და მივიღოთ უტოლობა t 2 -2t +≥0, რომლის ამოხსნა არის ინტერვალები - .

ამრიგად, y-ის მნიშვნელობების საპოვნელად, გვაქვს ორი უმარტივესი უტოლობის ნაკრები
ამ კოლექციის გამოსავალი არის ინტერვალები 0<у≤2 и 8≤у<+.

მაშასადამე, საწყისი უტოლობა უდრის ორი ექსპონენციალური უტოლობის სიმრავლეს,
ანუ აგრეგატები

ამ სიმრავლის პირველი უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა მოქმედებს x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის 0-ის ინტერვალებიდან<х≤1 и 2≤х<+.

მაგალითი 8

გამოსავალი:

უთანასწორობა სისტემის ტოლფასია

მეორე უტოლობის ამოხსნა, რომელიც განსაზღვრავს ODZ-ს, იქნება მათთა სიმრავლე x,

რისთვისაც x > 0.

პირველი უტოლობის გადასაჭრელად, ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას

შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას

ან

ბოლო უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე ნაპოვნია მეთოდით

ინტერვალები: -1< ტ < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ვიღებთ

ან

ბევრი მათგანი x, რომლებიც აკმაყოფილებენ ბოლო უტოლობას

ეკუთვნის ODZ-ს ( x> 0), შესაბამისად, არის სისტემის გამოსავალი,

და აქედან გამომდინარე ორიგინალური უთანასწორობა.

პასუხი:

2.4. ამოცანები ხაფანგებით.

მაგალითი 1

.

გამოსავალი.უტოლობის ODZ არის ყველა x, რომელიც აკმაყოფილებს 0 პირობას . მაშასადამე, ყველა x 0-ის ინტერვალიდან

მაგალითი 2

ჟურნალი 2 (2x +1-x 2)>ლოგი 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? საქმე იმაშია, რომ მეორე რიცხვი აშკარად მეტია

დასკვნა

C3 პრობლემების გადაჭრის სპეციალური მეთოდების პოვნა ადვილი არ იყო სხვადასხვა საგანმანათლებლო წყაროების დიდი სიმრავლიდან. შესრულებული სამუშაოს დროს მოვახერხე რთული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესწავლა. ესენია: ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი, რაციონალიზაციის მეთოდი , არასტანდარტული ჩანაცვლება , ამოცანები ხაფანგებით ODZ-ზე. ეს მეთოდები არ არის სასკოლო სასწავლო გეგმაში.

სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით, მე გადავწყვიტე USE-ში შემოთავაზებული 27 უტოლობა C ნაწილში, კერძოდ, C3. ეს უტოლობები ამონახსნებით მეთოდებით საფუძვლად დაედო კრებულს „ლოგარითმული C3 უტოლობები ამონახსნებით“, რომელიც ჩემი საქმიანობის საპროექტო პროდუქტი გახდა. დადასტურდა ჰიპოთეზა, რომელიც წამოვაყენე პროექტის დასაწყისში: C3 პრობლემები შეიძლება ეფექტურად გადაწყდეს, თუ ეს მეთოდები ცნობილია.

გარდა ამისა, აღმოვაჩინე საინტერესო ფაქტები ლოგარითმების შესახებ. ჩემთვის საინტერესო იყო ამის გაკეთება. ჩემი პროექტის პროდუქტები სასარგებლო იქნება როგორც სტუდენტებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის.

დასკვნები:

ამრიგად, პროექტის მიზანი მიღწეულია, პრობლემა მოგვარებულია. და მივიღე ყველაზე სრულყოფილი და მრავალმხრივი გამოცდილება პროექტის აქტივობებში მუშაობის ყველა ეტაპზე. პროექტზე მუშაობისას ჩემი ძირითადი განმავითარებელი გავლენა იყო გონებრივ კომპეტენციაზე, ლოგიკურ ფსიქიკურ ოპერაციებთან დაკავშირებულ აქტივობებზე, შემოქმედებითი კომპეტენციის განვითარებაზე, პიროვნულ ინიციატივაზე, პასუხისმგებლობაზე, შეუპოვრობაზე და აქტიურობაზე.

წარმატების გარანტია კვლევის პროექტის შექმნისას მე გავხდი: მნიშვნელოვანი სასკოლო გამოცდილება, ინფორმაციის სხვადასხვა წყაროდან ამოღების, სანდოობის შემოწმების, მნიშვნელობის მიხედვით რანჟირების უნარი.

მათემატიკაში უშუალოდ საგნობრივი ცოდნის გარდა, მან გააფართოვა პრაქტიკული უნარები კომპიუტერული მეცნიერების სფეროში, შეიძინა ახალი ცოდნა და გამოცდილება ფსიქოლოგიის სფეროში, დაამყარა კონტაქტები თანაკლასელებთან და ისწავლა უფროსებთან თანამშრომლობა. პროექტის აქტივობების მსვლელობისას განვითარდა ორგანიზაციული, ინტელექტუალური და კომუნიკაციური ზოგადსაგანმანათლებლო უნარები და უნარები.

ლიტერატურა

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. უტოლობების სისტემები ერთი ცვლადით (ტიპიური ამოცანები C3).

2. Malkova A. G. მზადება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის.

3. ს.ს.სამაროვა, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა.

4. მათემატიკა. სასწავლო სამუშაოების კრებული, რედაქტირებულია A.L. სემიონოვი და ი.ვ. იაშჩენკო. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 გვ.-

ლოგარითმული უტოლობების მთელ მრავალფეროვნებას შორის ცალკე შესწავლილია ცვლადი ფუძის მქონე უტოლობა. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის მიხედვით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ასწავლიან სკოლაში:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

ყაბას "∨"-ის ნაცვლად შეგიძლიათ დაუდოთ ნებისმიერი უთანასწორობის ნიშანი: მეტ-ნაკლებად. მთავარი ის არის, რომ ორივე უტოლობაში ნიშნები ერთნაირია.

ასე რომ, ჩვენ გავთავისუფლდებით ლოგარითმებისგან და პრობლემას რაციონალურ უთანასწორობამდე ვამცირებთ. ამ უკანასკნელის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას შეიძლება დამატებითი ფესვები გამოჩნდეს. მათი გათიშვის მიზნით, საკმარისია იპოვოთ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. თუ დაგავიწყდათ ლოგარითმის ODZ, გირჩევთ გაიმეოროთ იგი - იხილეთ „რა არის ლოგარითმი“.

მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონთან დაკავშირებული ყველაფერი ცალკე უნდა ჩაიწეროს და გადაწყდეს:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ეს ოთხი უტოლობა წარმოადგენს სისტემას და უნდა შესრულდეს ერთდროულად. როდესაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი იპოვება, რჩება მისი გადაკვეთა რაციონალური უთანასწორობის გადაწყვეტით - და პასუხი მზად არის.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ჯერ დავწეროთ ლოგარითმის ODZ:

პირველი ორი უტოლობა შესრულებულია ავტომატურად, ხოლო ბოლო უნდა ჩაიწეროს. ვინაიდან რიცხვის კვადრატი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი არის ნული, გვაქვს:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ არის ყველა რიცხვი ნულის გარდა: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). ახლა ჩვენ ვხსნით მთავარ უტოლობას:

ჩვენ ვასრულებთ გადასვლას ლოგარითმული უტოლობიდან რაციონალურზე. თავდაპირველ უტოლობაში არის "ნაკლები" ნიშანი, ამიტომ მიღებული უტოლობა ასევე უნდა იყოს "ნაკლები" ნიშნით. Ჩვენ გვაქვს:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

ამ გამოხატვის ნულები: x = 3; x = -3; x = 0. უფრო მეტიც, x = 0 არის მეორე სიმრავლის ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ მასში გავლისას ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება. Ჩვენ გვაქვს:

ვიღებთ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). ეს ნაკრები მთლიანად შეიცავს ლოგარითმის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის პასუხი.

ლოგარითმული უტოლობების ტრანსფორმაცია

ხშირად თავდაპირველი უთანასწორობა განსხვავდება ზემოთ მოყვანილისგან. ამის გამოსწორება ადვილია ლოგარითმებთან მუშაობის სტანდარტული წესების მიხედვით - იხილეთ „ლოგარითმების ძირითადი თვისებები“. კერძოდ:

  1. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით მოცემული ფუძით;
  2. ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი და სხვაობა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითმით.

ცალკე მინდა შეგახსენოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი, საჭიროა თითოეული მათგანის DPV-ის პოვნა. ამრიგად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი სქემა ასეთია:

  1. იპოვეთ უტოლობაში შემავალი თითოეული ლოგარითმის ODZ;
  2. უტოლობის შემცირება სტანდარტულამდე ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებით;
  3. მიღებული უტოლობა ამოხსენით ზემოთ მოცემული სქემის მიხედვით.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

იპოვეთ პირველი ლოგარითმის განმარტების დომენი (ODZ):

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. მრიცხველის ნულების პოვნა:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

შემდეგ - მნიშვნელის ნულები:

x − 1 = 0;
x = 1.

ჩვენ აღვნიშნავთ ნულებს და ნიშნებს კოორდინატთა ისრზე:

ვიღებთ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). ODZ-ის მეორე ლოგარითმი იგივე იქნება. თუ ჩემი არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა ჩვენ გარდაქმნით მეორე ლოგარითმს ისე, რომ საფუძველი იყოს ორი:

როგორც ხედავთ, სამეულები ფუძესთან და ლოგარითმამდე შემცირდა. მიიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით. მოდით გავაერთიანოთ ისინი:

ჟურნალი 2 (x − 1) 2< 2;
ჟურნალი 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

ჩვენ მივიღეთ სტანდარტული ლოგარითმული უტოლობა. ლოგარითმებს ფორმულით ვაშორებთ. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში არის ნიშანიზე ნაკლები, შედეგად მიღებული რაციონალური გამოხატულება ასევე უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. Ჩვენ გვაქვს:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

მივიღეთ ორი კომპლექტი:

  1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
  2. უპასუხეთ კანდიდატს: x ∈ (−1; 3).

რჩება ამ კომპლექტების გადაკვეთა - ვიღებთ ნამდვილ პასუხს:

ჩვენ გვაინტერესებს კომპლექტების გადაკვეთა, ამიტომ ვირჩევთ ორივე ისრზე დაჩრდილულ ინტერვალებს. ვიღებთ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - ყველა წერტილი პუნქციაა.

მათთან არის ლოგარითმები შიგნით.

მაგალითები:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული უტოლობა:

ნებისმიერი ლოგარითმული უტოლობა უნდა შემცირდეს ფორმამდე \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (სიმბოლო \(˅\) ნიშნავს ნებისმიერს). ეს ფორმა საშუალებას გვაძლევს თავი დავაღწიოთ ლოგარითმებს და მათ ფუძეებს ლოგარითმებში გამოთქმათა უტოლობაზე გადასვლით, ანუ ფორმაზე \(f(x) ˅ g(x)\).

მაგრამ ამ გადასვლისას არის ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი დახვეწილობა:
\(-\) თუ - რიცხვი და ის მეტია 1-ზე - უტოლობის ნიშანი იგივე რჩება გადასვლისას,
\(-\) თუ ფუძე არის 0-ზე მეტი, მაგრამ 1-ზე ნაკლები (ნულსა და ერთს შორის) რიცხვი, მაშინ უტოლობის ნიშანი უნდა იყოს შებრუნებული, ე.ი.

მაგალითები:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\ (x<8\)

გამოსავალი:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
პასუხი: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ 1))\)
ODZ: \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)2x-4>0\\x+1 > 0\ბოლო (შემთხვევები)\)
\(\ დასაწყისი(შემთხვევები)2x>4\\x > -1\ბოლო(შემთხვევები)\) \(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\) \(\დაწყება(შემთხვევები)x>2\\x > -1\დასრულება (შემთხვევები) \) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(x\in(2;\infty)\)

გამოსავალი:
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
პასუხი: \((2;5]\)

Ძალიან მნიშვნელოვანი!ნებისმიერ უტოლობაში, ფორმიდან \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) გადასვლა ლოგარითმებში გამოსახულებების შედარებაზე შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ:


მაგალითი . ამოხსენით უტოლობა: \(\log\)\(≤-1\)

გამოსავალი:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)

მოდით დავწეროთ ODZ.

ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)

\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)

ვხსნით ფრჩხილებს, ვაძლევთ .

\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)

ჩვენ ვამრავლებთ უტოლობას \(-1\-ზე), გვახსოვდეს შედარების ნიშნის შებრუნება.

\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)

ავაშენოთ რიცხვითი წრფე და მოვნიშნოთ მასზე წერტილები \(\frac(7)(3)\) და \(\frac(3)(2)\). გაითვალისწინეთ, რომ წერტილი მნიშვნელიდან არის პუნქცია, მიუხედავად იმისა, რომ უტოლობა არ არის მკაცრი. ფაქტია, რომ ეს წერტილი არ იქნება გამოსავალი, რადგან უტოლობაში ჩანაცვლებისას ის მიგვიყვანს ნულზე გაყოფამდე.


\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

ახლა ჩვენ გამოვსახავთ ODZ-ს იმავე ციფრულ ღერძზე და პასუხად ვწერთ ინტერვალს, რომელიც ხვდება ODZ-ში.


დაწერეთ საბოლოო პასუხი.

პასუხი: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

მაგალითი . ამოხსენით უტოლობა: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

გამოსავალი:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

მოდით დავწეროთ ODZ.

ODZ: \(x>0\)

გადავიდეთ გადაწყვეტილებამდე.

გამოსავალი: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

ჩვენს წინაშე არის ტიპიური კვადრატულ-ლოგარითმული უტოლობა. Ჩვენ ვაკეთებთ.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

გააფართოვეთ უტოლობის მარცხენა მხარე .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

ახლა თქვენ უნდა დაუბრუნდეთ თავდაპირველ ცვლადს - x. ამისათვის გადავდივართ , რომელსაც აქვს იგივე გამოსავალი და ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.

\(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

ტრანსფორმაცია \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).

\(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

მოდით გადავიდეთ არგუმენტების შედარებაზე. ლოგარითმების საფუძვლები მეტია \(1\-ზე), ამიტომ უტოლობების ნიშანი არ იცვლება.

\(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

მოდით გავაერთიანოთ უტოლობის და ODZ ამონახსნი ერთ ფიგურაში.


დავწეროთ პასუხი.

პასუხი: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

ლოგარითმული უტოლობები

წინა გაკვეთილებზე გავეცანით ლოგარითმულ განტოლებებს და ახლა ვიცით რა არის და როგორ ამოხსნათ ისინი. დღევანდელი გაკვეთილი კი ლოგარითმული უტოლობების შესწავლას დაეთმობა. რა არის ეს უტოლობა და რა განსხვავებაა ლოგარითმული განტოლებისა და უტოლობების ამოხსნას შორის?

ლოგარითმული უტოლობები არის უტოლობები, რომლებსაც აქვთ ცვლადი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ან მის ბაზაზე.

ან, ასევე შეიძლება ითქვას, რომ ლოგარითმული უტოლობა არის უტოლობა, რომელშიც მისი უცნობი მნიშვნელობა, როგორც ლოგარითმული განტოლებაში, იქნება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ.

უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობა ასე გამოიყურება:

სადაც f(x) და g(x) არის ზოგიერთი გამონათქვამი, რომელიც დამოკიდებულია x-ზე.

მოდით შევხედოთ ამას შემდეგი მაგალითის გამოყენებით: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნამდე უნდა აღინიშნოს, რომ მათი ამოხსნისას ისინი მსგავსია ექსპონენციალური უტოლობების, კერძოდ:

უპირველეს ყოვლისა, ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამონათქვამებზე გადასვლისას ასევე უნდა შევადაროთ ლოგარითმის ფუძე ერთს;

მეორეც, ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნისას ცვლადების ცვლილების გამოყენებით, ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობები ცვლილებასთან მიმართებაში, სანამ არ მივიღებთ უმარტივეს უტოლობას.

მაგრამ სწორედ ჩვენ განვიხილეთ ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მსგავსი მომენტები. ახლა მოდით შევხედოთ საკმაოდ მნიშვნელოვან განსხვავებას. თქვენ და მე ვიცით, რომ ლოგარითმულ ფუნქციას აქვს განსაზღვრების შეზღუდული დომენი, ამიტომ ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფ გამონათქვამებზე გადასვლისას, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი (ODV).

ანუ, გასათვალისწინებელია, რომ ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას ჩვენ შეგვიძლია ჯერ ვიპოვოთ განტოლების ფესვები, შემდეგ კი შევამოწმოთ ეს ამონახსნი. მაგრამ ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნა ამ გზით არ იმუშავებს, ვინაიდან ლოგარითმებიდან ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამონათქვამებზე გადასვლა, საჭირო იქნება უტოლობის ODZ-ის ჩაწერა.

გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ უტოლობების თეორია შედგება რეალური რიცხვებისგან, რომლებიც არის დადებითი და უარყოფითი რიცხვები, ასევე რიცხვი 0.

მაგალითად, როდესაც რიცხვი "a" დადებითია, მაშინ უნდა იქნას გამოყენებული შემდეგი აღნიშვნა: a > 0. ამ შემთხვევაში, ამ რიცხვების ჯამიც და ნამრავლიც დადებითი იქნება.

უტოლობის ამოხსნის ძირითადი პრინციპია მისი ჩანაცვლება უფრო მარტივი უტოლობით, მაგრამ მთავარია ის იყოს მოცემულის ეკვივალენტური. გარდა ამისა, ჩვენ ასევე მივიღეთ უტოლობა და კვლავ შევცვალეთ ის, რომელსაც აქვს უფრო მარტივი ფორმა და ა.შ.

უტოლობების ამოხსნა ცვლადით, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ყველა ამონახსნები. თუ ორ უტოლობას აქვს ერთი და იგივე x ცვლადი, მაშინ ასეთი უტოლობა ექვივალენტურია, იმ პირობით, რომ მათი ამონახსნები იგივეა.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ამოცანების შესრულებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ როდესაც a > 1, მაშინ იზრდება ლოგარითმული ფუნქცია, ხოლო როდესაც 0.< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის გზები

ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მეთოდს, რომლებიც გამოიყენება ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას. უკეთესი გაგებისა და ასიმილაციისთვის შევეცდებით მათი გაგება კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

ჩვენ ვიცით, რომ უმარტივეს ლოგარითმულ უტოლობას აქვს შემდეგი ფორმა:

ამ უთანასწორობაში, V - არის ერთ-ერთი ასეთი უთანასწორობის ნიშანი, როგორიცაა:<,>, ≤ ან ≥.

როდესაც ამ ლოგარითმის საფუძველი ერთზე მეტია (a>1), გადადის ლოგარითმებიდან გამონათქვამებზე ლოგარითმის ნიშნით, მაშინ ამ ვერსიაში უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია და უტოლობა ასე გამოიყურება:

რომელიც უდრის შემდეგ სისტემას:


იმ შემთხვევაში, როდესაც ლოგარითმის საფუძველი არის ნულზე მეტი და ერთზე ნაკლები (0

ეს ამ სისტემის ტოლფასია:


მოდით შევხედოთ ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენები უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის სხვა მაგალითებს:



მაგალითების გადაწყვეტა

ვარჯიში.შევეცადოთ გადავჭრათ ეს უტოლობა:


დასაშვები ღირებულებების ფართობის გადაწყვეტილება.


ახლა ვცადოთ მისი მარჯვენა მხარის გამრავლება:

ვნახოთ, რა შეგვიძლია გავაკეთოთ:



ახლა გადავიდეთ სუბლოგარითმული გამონათქვამების ტრანსფორმაციაზე. ვინაიდან ლოგარითმის საფუძველი არის 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

და აქედან გამომდინარეობს, რომ ინტერვალი, რომელიც ჩვენ მივიღეთ, მთლიანად ეკუთვნის ODZ-ს და არის ასეთი უტოლობის ამოხსნა.

აი პასუხი მივიღეთ:


რა არის საჭირო ლოგარითმული უტოლობების ამოსახსნელად?

ახლა ვცადოთ გავაანალიზოთ რა გვჭირდება ლოგარითმული უტოლობების წარმატებით გადასაჭრელად?

პირველ რიგში, მთელი თქვენი ყურადღება გაამახვილეთ და შეეცადეთ არ დაუშვათ შეცდომები იმ გარდაქმნების შესრულებისას, რომლებიც მოცემულია ამ უთანასწორობაში. ასევე, უნდა გვახსოვდეს, რომ ასეთი უტოლობების ამოხსნისას აუცილებელია ODZ-ის უთანასწორობის გაფართოებისა და შევიწროვების თავიდან აცილება, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს ზედმეტი ამონახსნების დაკარგვა ან შეძენა.

მეორეც, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას, თქვენ უნდა ისწავლოთ ლოგიკური აზროვნება და გაიგოთ განსხვავება ისეთ ცნებებს შორის, როგორიცაა უტოლობების სისტემა და უტოლობების ნაკრები, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ მარტივად აირჩიოთ უტოლობის ამონახსნები მისი DHS-ით ხელმძღვანელობით.

მესამე, ასეთი უტოლობების წარმატებით გადასაჭრელად, თითოეულმა თქვენგანმა მშვენივრად უნდა იცოდეს ელემენტარული ფუნქციების ყველა თვისება და ნათლად გაიგოს მათი მნიშვნელობა. ასეთ ფუნქციებში შედის არა მხოლოდ ლოგარითმული, არამედ რაციონალური, სიმძლავრე, ტრიგონომეტრიული და ა.შ., ერთი სიტყვით, ყველა ის, რაც თქვენ სწავლობდით სკოლის ალგებრის დროს.

როგორც ხედავთ, ლოგარითმული უტოლობების თემის შესწავლისას, არაფერია რთული ამ უტოლობების ამოხსნაში, იმ პირობით, რომ ყურადღებიანი და დაჟინებული ხართ თქვენი მიზნების მიღწევაში. იმისათვის, რომ უთანასწორობების ამოხსნაში პრობლემები არ შეგექმნათ, საჭიროა მაქსიმალურად ივარჯიშოთ, გადაჭრათ სხვადასხვა ამოცანები და ამავდროულად დაიმახსოვროთ ასეთი უტოლობების გადაჭრის ძირითადი გზები და მათი სისტემები. ლოგარითმული უტოლობების წარუმატებელი ამონახსნებით, თქვენ უნდა ყურადღებით გაანალიზოთ თქვენი შეცდომები, რათა მათ აღარ დაუბრუნდეთ მომავალში.

Საშინაო დავალება

თემის უკეთ ათვისებისა და გაშუქებული მასალის კონსოლიდაციისთვის ამოხსენით შემდეგი უტოლობა: