განტოლებები ege პარამეტრებით არის ამონახსნების მაგალითები. ამოცანები წინა წლების გამოცდის პარამეტრით

MKOU "ლოდეინოპოლის საშუალო სკოლა No. 68"

_________________________________________________________________________________________________________________________________

გამოსვლა მოსკოვის რეგიონის სხდომაზე

პრობლემის გადაჭრის მეთოდები

პარამეტრებით

პროკუშევა ნატალია გენადიევნა

ლოდეინოე პოლუსი

2013-2014

ამოცანები პარამეტრებით

პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები ერთ-ერთი ურთულესი პრობლემაა, როგორც ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში, ასევე უნივერსიტეტებისთვის დამატებით საკონკურსო გამოცდებში.

ისინი მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ ლოგიკური აზროვნების და მათემატიკური კულტურის ჩამოყალიბებაში. სირთულეები, რომლებიც წარმოიქმნება მათ გადაჭრაში, დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ პარამეტრებთან დაკავშირებული თითოეული პრობლემა არის ჩვეულებრივი ამოცანების მთელი კლასი, რომელთაგან თითოეულისთვის გამოსავალი უნდა იქნას მიღებული.

თუ განტოლებაში (უტოლობაში) ზოგიერთი კოეფიციენტი არ არის მითითებული კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობებით, არამედ მითითებულია ასოებით, მაშინ მათ უწოდებენ პარამეტრებს, ხოლო განტოლება (უტოლობა) პარამეტრულია.

როგორც წესი, უცნობები აღინიშნება ლათინური ანბანის ბოლო ასოებით: x, y, z, ..., ხოლო პარამეტრები - პირველით: a, b, c, ...

განტოლების (უტოლობა) პარამეტრებით ამოხსნა ნიშნავს იმის მითითებას, თუ რა პარამეტრების მნიშვნელობებზე არსებობს ამონახსნები და რა არის ისინი. ორ განტოლებას (უტოლობას), რომლებიც შეიცავს ერთსა და იმავე პარამეტრებს, ექვივალენტი ეწოდება, თუ:

ა) მათ აქვთ აზრი პარამეტრების იგივე მნიშვნელობებისთვის;

ბ) პირველი განტოლების (უტოლობა) თითოეული ამონახსნი არის მეორე და პირიქით.

ბუნებრივია, პრობლემების ასეთი მცირე კლასი ბევრს არ აძლევს საშუალებას, გაითავისოს მთავარი: პარამეტრს, როგორც ფიქსირებულ, მაგრამ უცნობი რიცხვს, აქვს, თითქოს, ორმაგი ბუნება. ჯერ ერთი, სავარაუდო დიდება საშუალებას გაძლევთ "კომუნიკაცია" პარამეტრთან, როგორც რიცხვთან, და მეორეც, კომუნიკაციის თავისუფლების ხარისხი შემოიფარგლება მისი უცნობიობით. ასე რომ, პარამეტრის შემცველი გამოსახულებით დაყოფა, ასეთი გამონათქვამებიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება მოითხოვს წინასწარ კვლევას. როგორც წესი, ამ კვლევების შედეგები გავლენას ახდენს როგორც გადაწყვეტილებაზე, ასევე პასუხზე.

როგორ დავიწყოთ ასეთი პრობლემების მოგვარება? არ შეგეშინდეთ დავალებები პარამეტრებით. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გააკეთოთ ის, რაც კეთდება ნებისმიერი განტოლების ან უტოლობის ამოხსნისას - მიიყვანეთ მოცემული განტოლება (უტოლობა) უფრო მარტივ ფორმამდე, თუ ეს შესაძლებელია: რაციონალური გამოხატვის ფაქტორებად დაყოფა, ტრიგონომეტრიული პოლინომიის ფაქტორიზაცია, მოდულების მოშორება, ლოგარითმები და ა.შ.. მაშინ თქვენ უნდა ყურადღებით წაიკითხოთ დავალება ისევ და ისევ.

პარამეტრის შემცველი ამოცანების გადაჭრისას არის პრობლემები, რომლებიც პირობითად შეიძლება დაიყოს ორ დიდ კლასად. პირველი კლასი მოიცავს ამოცანებს, რომლებშიც აუცილებელია პარამეტრის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის უტოლობის ან განტოლების ამოხსნა. მეორე კლასში შედის დავალებები, რომლებშიც საჭიროა არა ყველა შესაძლო გადაწყვეტის მოძიება, არამედ მხოლოდ ის, რაც აკმაყოფილებს დამატებით პირობებს.

ასეთი პრობლემების გადაჭრის ყველაზე გასაგები გზა სკოლის მოსწავლეებისთვის არის ის, რომ ჯერ იპოვონ ყველა გამოსავალი, შემდეგ კი შეარჩიონ ის, რომელიც აკმაყოფილებს დამატებით პირობებს. მაგრამ ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. Შეხვედრა დიდი რიცხვიპრობლემები, რომლებშიც შეუძლებელია მთელი რიგი გადაწყვეტილებების პოვნა და ჩვენ ამას არ გვთხოვენ. მაშასადამე, თქვენ უნდა მოძებნოთ პრობლემის გადაჭრის გზა მოცემული განტოლების ან უტოლობის ამონახსნების მთელი ნაკრების გარეშე, მაგალითად, მოძებნოთ განტოლებაში შემავალი ფუნქციების თვისებები, რაც საშუალებას მოგცემთ ვიმსჯელოთ გადაწყვეტილებების გარკვეული ნაკრები.

ძირითადი ამოცანების ტიპები პარამეტრებით

ტიპი 1.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რომლებიც უნდა გადაწყდეს ან პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (პარამეტრები), ან პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს.

ამ ტიპის პრობლემა საბაზისოა თემის „პრობლემები პარამეტრებთან“ ათვისებისას, ვინაიდან ჩადებული სამუშაო წინასწარ განსაზღვრავს წარმატებას ყველა სხვა ძირითადი ტიპის პრობლემების გადაჭრაში.

ტიპი 2.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რისთვისაც საჭიროა ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრა პარამეტრის (პარამეტრების) მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ ამ ტიპის ამოცანების ამოხსნისას არ არის საჭირო არც მოცემული განტოლებების, უტოლობების, მათი სისტემებისა და კომბინაციების ამოხსნა და ა.შ. ასეთი ზედმეტი სამუშაო უმეტეს შემთხვევაში არის ტაქტიკური შეცდომა, რაც იწვევს დროის გაუმართლებელ ხარჯვას. თუმცა, ეს არ უნდა იქნას მიღებული როგორც აბსოლუტური, რადგან ზოგჯერ პირდაპირი გადაწყვეტა ტიპი 1-ის შესაბამისად არის ერთადერთი გონივრული გზა პასუხის მისაღებად მე-2 ტიპის პრობლემის გადაჭრისას.

ტიპი 3.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და კოლექციები, რისთვისაც საჭიროა პარამეტრის ყველა იმ მნიშვნელობის პოვნა, რომლისთვისაც მითითებულ განტოლებებს, უტოლობას, მათ სისტემებსა და კოლექციებს აქვთ ამონახსნების მოცემული რაოდენობა (კერძოდ, მათ არ აქვთ ან აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა).

ადვილი მისახვედრია, რომ მე-3 ტიპის პრობლემები გარკვეულწილად არის მე-2 ტიპის პრობლემების საპირისპირო.

ტიპი 4.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და კოლექციები, რომლებისთვისაც, პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობებისთვის, ამონახსნების ნაკრები აკმაყოფილებს მოცემულ პირობებს განმარტების სფეროში.

მაგალითად, იპოვნეთ პარამეტრის მნიშვნელობები, რომელთათვისაც:

1) განტოლება შესრულებულია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მოცემული ინტერვალიდან;
2) პირველი განტოლების ამონახსნთა სიმრავლე არის მეორე განტოლების ამონახსნების სიმრავლის ქვესიმრავლე და ა.შ.

კომენტარი. პარამეტრთან დაკავშირებული პრობლემების მრავალფეროვნება მოიცავს სასკოლო მათემატიკის მთელ კურსს (როგორც ალგებრა, ასევე გეომეტრია), მაგრამ მათი აბსოლუტური უმრავლესობა ფინალურ და მისაღებ გამოცდებში მიეკუთვნება ჩამოთვლილ ოთხ ტიპს, რომელსაც ამ მიზეზით უწოდებენ ძირითადს.

პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების ყველაზე პოპულარული კლასი არის პრობლემები ერთი უცნობი და ერთი პარამეტრით. მომდევნო აბზაცში მითითებულია ამ კონკრეტული კლასის პრობლემების გადაჭრის ძირითადი გზები.

პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის ძირითადი მეთოდები

მეთოდი I(ანალიტიკური). ეს არის ეგრეთ წოდებული პირდაპირი გადაწყვეტის მეთოდი, რომელიც იმეორებს სტანდარტულ პროცედურებს პრობლემების პარამეტრის გარეშე პასუხის მოსაძებნად. ზოგჯერ ამბობენ, რომ ეს არის ძალისმიერი, კარგი გაგებით, "თავხედური" გადაწყვეტილების მიღება.

მეთოდი II(გრაფიკული). დავალებიდან გამომდინარე (ცვლადით xდა პარამეტრი ა) განიხილება გრაფიკებად ან კოორდინატულ სიბრტყეში ( x; წ), ან კოორდინატულ სიბრტყეში ( x; ა).

კომენტარი. პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდის განსაკუთრებული სიცხადე და სილამაზე იმდენად ხიბლავს მათ, ვინც სწავლობს თემას "პრობლემები პარამეტრთან", რომ ისინი იწყებენ გადაჭრის სხვა მეთოდების იგნორირებას, ავიწყდებათ ცნობილი ფაქტი: ნებისმიერი კლასისთვის. მათ ავტორებს შეუძლიათ ჩამოაყალიბონ ის, რაც ბრწყინვალედ არის გადაწყვეტილი ამ მეთოდით და კოლოსალური სირთულეებით სხვა გზებით. ამიტომ, კვლევის საწყის ეტაპზე საშიშია პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდებით დაწყება.

მეთოდი III(პარამეტრის გადაწყვეტილება). ამ გზით გადაჭრისას ცვლადები xდა ამიიღება თანაბარი და არჩეულია ცვლადი, რომლის მიმართაც ანალიტიკური ამოხსნა აღიარებულია, როგორც უფრო მარტივი. ბუნებრივი გამარტივების შემდეგ, ჩვენ ვუბრუნდებით ცვლადების საწყის მნიშვნელობას xდა ადა დაასრულეთ გამოსავალი.

მოდით ახლა გავაგრძელოთ პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის მითითებული მეთოდების დემონსტრირება.

1. წრფივი განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით

ხაზოვანი ფუნქცია: - სწორი ხაზის განტოლება ფერდობთან . დახრილობა ტოლია სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენტის ღერძის დადებითი მიმართულებით .

წრფივი განტოლებები ფორმის პარამეტრებით

თუ , განტოლება აქვს ერთადერთი რამ გამოსავალი.

თუ , შემდეგ განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები, Როდესაც , და განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი, Როდესაც .

მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა | x | = ა .

გამოსავალი:

ა > 0, => x 1.2 = ± ა

ა = 0, => x = 0

ა < 0, =>არ არის გადაწყვეტილებები.

პასუხი: x 1.2 = ± აზე ა > 0; x= 0 at ა= 0; არ არის გადაწყვეტილებები ა < 0.

მაგალითი 2განტოლების ამოხსნა |3 - x | = ა .

გამოსავალი:

ა > 0, => 3 – x = ± ა , => x= 3 ± ა

ა = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

ა < 0, =>არ არის გადაწყვეტილებები.

პასუხი: x 1.2=3± აზე ა > 0; x= 3 საათზე ა= 0; არ არის გადაწყვეტილებები ა < 0.

მაგალითი 3განტოლების ამოხსნა მ ² x – მ = x + 1.

გამოსავალი:

მ ² x – მ = x + 1

მ ² x – x = მ + 1

(m² - 1)x = m + 1

პასუხი:
ზე მ ≠ ± 1; x Є რზე მ= –1; არ არის გადაწყვეტილებები მ = 1.

მაგალითი 4 აამოხსენით განტოლება: ( ა 2 – 4) x = ა + 2 .

გამოსავალი:მოდით დავშალოთ კოეფიციენტი at ფაქტორებად. .

თუ , განტოლება აქვს ერთადერთი რამ გამოსავალი: .

თუ , განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები.

თუ , მაშინ განტოლება აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი .

მაგალითი 6ყველა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის ა ამოხსენით განტოლება:
.

გამოსავალი: ODZ: . ამ პირობით, განტოლება უდრის შემდეგს: . მოდით შევამოწმოთ ODZ-ის კუთვნილება: , თუ . თუ , შემდეგ განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები.

მაგალითი 7ყველა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის აამოხსენით განტოლება: | X + 3| – ა | x – 1| = 4.

გამოსავალი:ჩვენ ვყოფთ რიცხვით ხაზს 3 ნაწილად იმ წერტილებით, რომლებშიც მოდულის ნიშნის ქვეშ გამოსახულებები ქრება და ვხსნით 3 სისტემას:

1) , თუ . ნაპოვნი იქნება გამოსავალი თუ .

2) , თუ . ნაპოვნი აკმაყოფილებს სასურველ უტოლობას, შესაბამისად, არის გამოსავალი . თუ , მაშინ გამოსავალი არის ნებისმიერი .

3) , თუ . ნაპოვნია არააკმაყოფილებს სასურველ უთანასწორობას, შესაბამისად, არაარის გამოსავალი . თუ , მაშინ გამოსავალი არის ნებისმიერი x > 1.

პასუხი: ზე ; ზე ;

პრი ; ასევე გამოსავალია ყველასთვის .

მაგალითი 8იპოვე ყველა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის მე-15 განტოლების მინიმუმ ერთი ამონახსნები x – 7ა = 2 – 3ნაჯახი + 6ა ნაკლები 2 .

გამოსავალი:მოდით ვიპოვოთ განტოლების ამონახსნები თითოეულისთვის . , თუ . მოვაგვაროთ უტოლობა: .

ამისთვის, განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

უპასუხე : აÎ (–5 , 4) .

წრფივი უტოლობა პარამეტრებით

Მაგალითად: ამოხსენით უტოლობა: kx < ბ .

თუ კ> 0, მაშინ
. თუ კ < 0, то
. თუ კ= 0, მაშინ ბ> 0 გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є რ, და როცა
არ არის გადაწყვეტილებები.

იმავე გზით ამოხსენით უჯრაში დარჩენილი უტოლობა.

მაგალითი 1 a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის ამოხსენით უტოლობა
.

გამოსავალი:

. თუ ფრჩხილებში ადრე xდადებითია, ე.ი. ზე
, ეს
. თუ ფრჩხილებში ადრე xარის უარყოფითი, ე.ი. ზე
, ეს
. თუ ა= 0 ან a =, მაშინ არ არის ამონახსნები.

პასუხი:
ზე
;
ზე
;

არ არის გადაწყვეტილებები ა= 0 ან a =.

მაგალითი 2. ყველა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის აუთანასწორობის ამოხსნა | X– a| – | x + ა| < 2ა .

გამოსავალი:

ზე ა=0 გვაქვს არასწორი უტოლობა 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, შემდეგ x-ისთვის< –აორივე მოდული გაფართოებულია მინუსით და მივიღებთ არასწორ უტოლობას 2 ა < 2ა, ე.ი. არ არის გადაწყვეტილებები. თუ x Є [– ა ; ა] , მაშინ პირველი მოდული გაფართოვდება მინუსით, ხოლო მეორე პლიუსით და მივიღებთ უტოლობას –2 x < 2ა, ე.ი. x > –ა, ანუ გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є (– ა ; ა]. თუ x > აორივე მოდული გაფართოვებულია პლუსით და ვიღებთ სწორ უტოლობას -2 ა < 2ა, ე.ი. , გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є ( ა; +∞). ორივე პასუხის კომბინაციით, მივიღებთ ამას ა > 0 x Є (– ა ; +∞).

დაე ა < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2ა. ამრიგად, ზე ა < 0 решений нет.

პასუხი: x Є (– ა; +∞) at ა> 0, არ არსებობს გადაწყვეტილებები
.

კომენტარი.ამ პრობლემის გადაწყვეტა უფრო სწრაფი და მარტივია, თუ გამოიყენებთ ორი რიცხვის სხვაობის მოდულის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას, როგორც წერტილებს შორის მანძილს. შემდეგ მარცხენა მხარეს გამოთქმა შეიძლება განიმარტოს, როგორც წერტილიდან დაშორების განსხვავება Xწერტილებამდე ადა - ა .

მაგალითი 3იპოვე ყველა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის უტოლობის ყველა ამონახსნები
უთანასწორობის დაკმაყოფილება 2 x – ა² + 5< 0.

გამოსავალი:

უტოლობის ამოხსნით |x | ≤ 2 არის ნაკრები ა=[–2; 2] და უტოლობის ამოხსნა 2 x – ა² + 5< 0 является множество ბ = (–∞;
) . პრობლემის პირობის დასაკმაყოფილებლად აუცილებელია A სიმრავლე შევიდეს B სიმრავლეში (). ეს პირობა დაკმაყოფილებულია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში.

პასუხი: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

მაგალითი 4იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის უტოლობა
შესრულებული ყველასთვის xჭრილიდან.

გამოსავალი:

წილადი ფესვებს შორის ნულზე ნაკლებია, ამიტომ უნდა გაარკვიოთ რომელი ფესვი უფრო დიდია.

–3ა + 2 < 2ა + 4
და -3 ა + 2 > 2ა + 4
. ამრიგად, ზე
xЄ (–3 ა + 2; 2ა+ 4) და იმისათვის, რომ უტოლობა დარჩეს ყველა x სეგმენტიდან, აუცილებელია, რომ

ზე
xЄ (2 ა + 4; –3ა+ 2) და რომ უთანასწორობა ყველასთვის მოქმედებს xსეგმენტიდან, თქვენ გჭირდებათ

a = –-სთვის (როდესაც ფესვები ემთხვევა) არ არსებობს გამოსავალი, რადგან ამ შემთხვევაში უტოლობა იღებს ფორმას: .

პასუხი:
.

მაგალითი 5 აუტოლობა მოქმედებს ყველა უარყოფით მნიშვნელობაზე X?

გამოსავალი:

ფუნქცია მონოტონურად იზრდება, თუ კოეფიციენტი არის x არის არაუარყოფითი და ის მონოტონურად მცირდება, თუ კოეფიციენტი at xუარყოფითი.

გაარკვიეთ კოეფიციენტის ნიშანი at

ა ≤ –3,

ა ≥ 1; (ა² + 2 ა – 3) < 0 <=> –3 < ა < 1.

ა ≤ –3,

დაე ა≥ 1. შემდეგ ფუნქცია ვ (x ) მონოტონურად არ იკლებს და პრობლემის პირობა დაკმაყოფილდება თუ ვ (x ) ≤ 0 <=> 3ა ² – ა – 14 ≤ 0 <=>
.

ა ≤ –3,

პირობებთან ერთად ა≥ 1; ჩვენ ვიღებთ:

მოდით -3< ა < 1. Тогда функция ვ (x ) მონოტონურად მცირდება და პრობლემის მდგომარეობა ვერასოდეს დაკმაყოფილდება.

უპასუხე:
.

2. კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით

კვადრატული ფუნქცია:
.

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში ეს განტოლება შესწავლილია შემდეგი სქემის მიხედვით.

მაგალითი 1. რა ღირებულებებზე ა განტოლებაx ² – ნაჯახი + 1 = 0 არ აქვს ნამდვილი ფესვები?

გამოსავალი:

x ² – ნაჯახი + 1 = 0

დ = ა ² – 4 1 =ა ² - 4

ა ² - 4< 0 + – +

( ა – 2)( ა + 2) < 0 –2 2

უპასუხე: ზეa Є (–2; 2)

მაგალითი 2a-ს რომელ მნიშვნელობებს ეხება განტოლება ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5 აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი?

გამოსავალი:

ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5, ა ≠ 0

ოჰ ² – აჰ + ა – 3 X – 5 = 0

ოჰ ² – ( ა + 3) X + ა – 5 = 0

დ = ( ა +3)² - 4ა ( ა – 5) = ა ² +6ა + 9 – 4 ა ² + 20ა = –3 ა ² + 26ა + 9

–3 ა ² + 26 ა + 9 > 0

3 ა ² - 26ა – 9 < 0

დ \u003d 26² - 4 3 (-9) \u003d 784

ა 1 =
; ა 2 =
+ – +

0 9

პასუხი:ზეაЄ (–1/3; 0)უ (0; 9)

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება
.

გამოსავალი:

ოძ: x ≠1, x ≠ ა

x – 1 + x – ა = 2, 2 x = 3 + ა ,

1)
; 3 + ა ≠ 2; ა ≠ –1

2)
; 3 + ა ≠ 2 ა ; ა ≠ 3

პასუხი:
ზეა Є (–∞; –1)უ (–1; 3) უ (3; +∞);

არ არის გადაწყვეტილებებიa = -1; 3.

მაგალითი4 . განტოლების ამოხსნა | x ²–2 x –3 | = ა .

გამოსავალი:

განიხილეთ ფუნქციები წ = | x ²–2 x –3 | დაწ = ა .

ზე ა < 0 არ არის გადაწყვეტილებები;
ზე ა = 0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა < 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.

პასუხი:

ზე ა < 0 нет решений;
ზე ა= 0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა < 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.

მაგალითი 5იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა , რომელთაგან თითოეული განტოლება | x ²–( ა +2) x +2 ა | = | 3 x –6 |
აქვს ზუსტად ორი ფესვი. თუ ასეთი ღირებულებები ა ერთზე მეტი, თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათი პროდუქტი.

გამოსავალი:

გავაფართოვოთ კვადრატული ტრინომიალი x ²–( ა +2) x +2 ა მულტიპლიკატორებისთვის.
;
;
;

მიიღეთ | ( x –2)( x – ა ) | = 3 | x –2 |.
ეს განტოლება სიმრავლის ტოლფასია

მაშასადამე, ამ განტოლებას აქვს ზუსტად ორი ფესვი, თუ ა+ 3 = 2 და ა – 3 = 2.
აქედან გამომდინარე ვხვდებით, რომ სასურველი მნიშვნელობები აარიან ა 1 = –1; ა 2 = 5; ა 1 · ა 2 = –5.

პასუხი: –5.

მაგალითი 6იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა , რისთვისაც განტოლების ფესვები ნაჯახი ² – 2( ა + 1) x – ა + 5 = 0 დადებითი.

გამოსავალი:

Check Point ა= 0, რადგან ცვლის განტოლების არსს.

1. ა = 0 –2x + = 0;

პასუხი: a Є U .

მაგალითი 7ზერა პარამეტრის მნიშვნელობები ა განტოლება | x ² - 4 x + 3 | = ნაჯახი აქვს 3 ფესვი.

გამოსავალი:

მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები წ = | x ² - 4 x + 3 | და წ = ნაჯახი .

ფუნქციის გრაფიკი გამოსახულია სეგმენტზე
.
ამ განტოლებას ექნება სამი ფესვი, თუ ფუნქციის გრაფიკი წ = ნაჯახიგრაფიკზე ტანგენსი იქნება წ = x ²+ 4 x – 3 on
სეგმენტი.

ტანგენტის განტოლებას აქვს ფორმა წ = ვ (x 0 ) + ვ ’(x 0 )(x – x 0 ),



იმიტომ რომ ტანგენტის განტოლება წ = ა, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

იმიტომ რომ x 0 Є ,

პასუხი:ზე ა = 4 – 2
.

კვადრატული უტოლობები პარამეტრებით

მაგალითი.იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა , რომელთაგან თითოეულისთვის უტოლობის ამონახსნებს შორის
არ არის ათვლის წერტილი.

გამოსავალი:

ჯერ ვხსნით უტოლობას პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის და შემდეგ ვპოულობთ მათ, რისთვისაც არ არის სეგმენტის ერთი წერტილი ამონახსნებს შორის. .
დაე
, ნაჯახი = ტ ²

ტ ≥ 0

DPV-ში ცვლადების ასეთი ცვლილებით, უტოლობები ავტომატურად კმაყოფილდება. xშეიძლება გამოიხატოს მეშვეობით ტ, თუ ა≠ 0. მაშასადამე, შემთხვევა როცა ა = 0, განვიხილავთ ცალკე.
1. მოდით ა = 0, მაშინ X> 0 და მოცემული სეგმენტი არის ამონახსნი.
2. მოდით ა≠ 0, მაშინ
და უთანასწორობა
ფორმას მიიღებს
,

უტოლობის ამოხსნა დამოკიდებულია მნიშვნელობებზე ა, ამიტომ ორი შემთხვევა უნდა განვიხილოთ.
1) თუ ა>0, მაშინ
ზე
ან ძველ ცვლადებში,

ამოხსნა არ შეიცავს მოცემული სეგმენტის არცერთ წერტილს, თუ და მხოლოდ პირობების დაკმაყოფილების შემთხვევაში ა ≤ 7,

16ა≥ 96. აქედან გამომდინარე, ა Є .
2). თუ ა< 0, то
;
; ტЄ (4 ა ; ა). იმიტომ რომ ტ≥ 0, მაშინ გამოსავალი არ არის.

პასუხი: .

ირაციონალური განტოლებები პარამეტრებით

ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრით ამოხსნისას, პირველ რიგში, გასათვალისწინებელია დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. მეორეც, თუ უტოლობის ორივე ნაწილი არის არაუარყოფითი გამონათქვამები, მაშინ ასეთი უტოლობა შეიძლება დაინიშნოს უტოლობის ნიშნის შენარჩუნებით.
ხშირ შემთხვევაში, ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები ცვლადების ცვლილების შემდეგ მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე.

მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა
.

გამოსავალი:

ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, ა ≥ 0.

x + 1 = ა ².

თუ x = ა² - 1, მაშინ პირობა დაკმაყოფილებულია.

პასუხი: x = ა² - 1 ზე ა≥ 0; არ არის გადაწყვეტილებები ა < 0.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება
.

გამოსავალი:

ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

ნაჯახი ≥ 0; x ≤ ა;

x + 3 = ნაჯახი,

2x = ა – 3,

<=>
<=>
<=> ა ≥ –3.

პასუხი:
ზე ა≥ -3; არ არის გადაწყვეტილებები ა < –3.

მაგალითი 3რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას
პარამეტრების მნიშვნელობების მიხედვით ა?

გამოსავალი:

განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი: x Є [–2; 2]

მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები. პირველი ფუნქციის გრაფიკი არის წრის ზედა ნახევარი x² + წ² = 4. მეორე ფუნქციის გრაფიკი არის პირველი და მეორე კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. გამოვაკლოთ მეორე ფუნქციის გრაფიკი პირველი ფუნქციის გრაფიკს და მიიღეთ ფუნქციის გრაფიკი
. თუ ჩანაცვლება ზე on ა, მაშინ ფუნქციის ბოლო გრაფიკი არის წერტილების სიმრავლე (x; ა), რომელიც აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას.

ჩვენ ვხედავთ პასუხს გრაფიკზე.

პასუხი:ზე აЄ (–∞; –2) U (1; +∞), ფესვების გარეშე;

ზე აЄ [–2; 2), ორი ფესვი;

ზე ა= 1, ერთი ფესვი.

მაგალითი 4პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება
აქვს უნიკალური გამოსავალი?

გამოსავალი:

1 გზა (ანალიტიკური):

პასუხი:

2 გზა (გრაფიკული):

პასუხი:≥ –2-ისთვის განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები

მაგალითი 5პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება = 2 + x აქვს უნიკალური ამონახსნი.

გამოსავალი:

განვიხილოთ ამ განტოლების ამოხსნის გრაფიკული ვერსია, ანუ ჩვენ ავაშენებთ ორ ფუნქციას:
ზე 1 = 2 + Xდა ზე 2 =

პირველი ფუნქცია წრფივია და გადის წერტილებში (0; 2) და (–2; 0).
მეორე ფუნქციის გრაფიკი შეიცავს პარამეტრს. ჯერ განვიხილოთ ამ ფუნქციის გრაფიკი ა= 0 (ნახ. 1). პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლისას, გრაფიკი გადაადგილდება ღერძის გასწვრივ ოჰშესაბამის მნიშვნელობაზე მარცხნივ (დადებითით ა) ან მარჯვნივ (უარყოფით ა) (ნახ. 2)

ნახატიდან ჩანს, რომ ზე ა < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

პასუხი:ზე ა≥ –2 განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები პარამეტრებით.

მაგალითი 1ამოხსენით განტოლება ცოდვა (– x + 2 x – 1) = ბ + 1.

გამოსავალი:

ფუნქციის უცნაურობის გათვალისწინებით
, ეს განტოლება შეიძლება შემცირდეს ეკვივალენტამდე
.

1. ბ = –1

3. ბ =–2

4. | ბ + 1| > 1

გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

5. ბЄ(–1; 0)

6. ბЄ(–2; –1)

მაგალითი 2იპოვეთ p პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის განტოლება
არ აქვს გადაწყვეტილებები.

გამოსავალი:

ექსპრეს cos 2 xმეშვეობით სინქსი.

დაე
შემდეგ დავალება შემცირდა ყველა მნიშვნელობის პოვნამდე გვ, რომლის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები [–1; 1]. განტოლება ალგორითმულად არ არის ამოხსნილი, ამიტომ ამოცანას გრაფიკის გამოყენებით მოვაგვარებთ. განტოლებას ვწერთ ფორმით, ახლა კი მარცხენა მხარის გრაფიკის ჩანახატს
ადვილად ასაშენებელი.
განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, თუ წრფე წ = გვ+ 9 არ კვეთს გრაფიკს სეგმენტზე [–1; 1], ე.ი.

პასუხი:გვ Є (–∞; –9) U (17; +∞).

განტოლებათა სისტემები პარამეტრებით

ორი წრფივი განტოლების სისტემა პარამეტრებით

განტოლებათა სისტემა

ორი წრფივი განტოლების სისტემის ამონახსნები არის ორი წრფის გადაკვეთის წერტილები: და .

შესაძლებელია 3 შემთხვევა:

1. ხაზები არ არის პარალელური . მაშინ მათი ნორმალური ვექტორებიც არ არის პარალელური, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს მხოლოდ გადაწყვეტილება.

2. წრფეები პარალელურია და ერთმანეთს არ ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორებიც პარალელურია, მაგრამ ძვრები განსხვავებულია, ე.ი. .

Ამ შემთხვევაში არ არის გადაწყვეტილების სისტემა .

3. სწორი ხაზები ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია და ძვრები ემთხვევა, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებებიხაზის ყველა წერტილი .

ამოცანა 1 #6329

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\ბოლო(შემთხვევები)\]

აქვს ზუსტად ოთხი გამოსავალი.

(გამოყენება 2018, მთავარი ტალღა)

სისტემის მეორე განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \(y=\pm x\) . ამიტომ განიხილეთ ორი შემთხვევა: როდესაც \(y=x\) და როდესაც \(y=-x\) . მაშინ სისტემის ამონახსნების რაოდენობა უდრის პირველ და მეორე შემთხვევაში ამონახსნების რაოდენობის ჯამს.

1) \(y=x\) . ჩაანაცვლეთ პირველ განტოლებაში და მიიღეთ: \ (გაითვალისწინეთ, რომ \(y=-x\) შემთხვევაში ჩვენ იგივე გავაკეთებთ და ასევე მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას)
იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს 4 განსხვავებული გამოსავალი, აუცილებელია, რომ ორივე შემთხვევაში 2 გამოსავალი იყოს მიღებული.
კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი, როდესაც მისი \(D>0\) . ვიპოვოთ (1) განტოლების დისკრიმინანტი:
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
ნულზე მეტი დისკრიმინანტი: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

2) \(y=-x\) . ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას: \ დისკრიმინანტი მეტია ნულზე: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , საიდანაც \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\მარჯვნივ)\).

აუცილებელია შემოწმდეს, არის თუ არა ხსნარები პირველ შემთხვევაში იგივე, რაც მეორე შემთხვევაში.

მოდით \(x_0\) იყოს (1) და (2) განტოლების ზოგადი ამონახსნები, მაშინ \ აქედან მივიღებთ, რომ ან \(x_0=0\) ან \(a=0\) .
თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლებები (1) და (2) ერთნაირი აღმოჩნდება, შესაბამისად, მათ აქვთ იგივე ფესვები. ეს საქმე არ გვიწყობს.
თუ \(x_0=0\) მათი საერთო ფესვია, მაშინ \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), საიდანაც \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , საიდანაც \(a=-1\) ან \(a=-0,6\) . მაშინ მთელ თავდაპირველ სისტემას ექნება 3 განსხვავებული გადაწყვეტა, რაც ჩვენ არ ჯდება.

ამ ყველაფრის გათვალისწინებით, პასუხი იქნება:

პასუხი:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \მარჯვნივ)\)

ამოცანა 2 #4032

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა \(a\), რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]

აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

მოდით გადავიწეროთ სისტემა შემდეგნაირად: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\]განვიხილოთ სამი ფუნქცია: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ \(y\leqslant g\) , მაგრამ \(y\geqslant h\) . მაშასადამე, იმისათვის, რომ სისტემას ჰქონდეს ამონახსნები, გრაფიკი \(y\) უნდა იყოს იმ არეში, რომელიც მოცემულია პირობებით: გრაფიკის „ზევით“ \(h\) , მაგრამ „ქვემოთ“ გრაფიკის \(g\). ) :

("მარცხენა" რეგიონს დავარქმევთ I რეგიონს, "მარჯვენა" რეგიონს - რეგიონს II)
გაითვალისწინეთ, რომ ყოველი ფიქსირებული \(a\ne 0\) გრაფისთვის \(y\) არის პარაბოლა, რომლის წვერო არის \((-1;0)\) წერტილში და რომლის ტოტები არის ზემოთ ან ქვემოთ. თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლება ჰგავს \(y=0\) და გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა x ღერძს.
გაითვალისწინეთ, რომ იმისთვის, რომ ორიგინალურ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა, აუცილებელია, რომ გრაფიკს \(y\) ჰქონდეს ზუსტად ერთი საერთო წერტილი I რეგიონთან ან II რეგიონთან (ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკს \(y\) უნდა ჰქონდეს ერთი საერთო წერტილი ერთ-ერთი ამ რეგიონის საზღვართან).

განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა ცალკე.

1) \(a>0\) . შემდეგ პარაბოლას \(y\) ტოტები გადატრიალებულია ზემოთ. იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გამოსავალი, აუცილებელია, რომ პარაბოლა \(y\) შეეხოს I რეგიონის საზღვარს ან II რეგიონის საზღვარს, ანუ შეეხოს პარაბოლას \(g\) და შეხების წერტილის აბსციზა უნდა იყოს \(\leqslant -3\) ან \(\geqslant 2\) (ანუ პარაბოლა \(y\) უნდა შეეხოს ერთ-ერთი რეგიონის საზღვარს, რომელიც x-ის ზემოთაა. -ღერძი, რადგან პარაბოლა \(y\) დევს x-ღერძის ზემოთ).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . გრაფიკების \(y\) და \(g\) შეხების პირობები აბსცისის წერტილზე \(x_0\leqslant -3\) ან \(x_0\geqslant 2\) : \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end(შეგროვებული)\მარჯვნივ. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \მარცხნივ[\begin(შეგროვდა)\begin(გასწორებული) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end (შეგროვდა) \მარჯვნივ.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(შემთხვევები)\]მოცემული სისტემიდან \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
ჩვენ მივიღეთ \(a\) პარამეტრის პირველი მნიშვნელობა.

2) \(a=0\) . შემდეგ \(y=0\) და ცხადია, რომ წრფეს აქვს უსასრულო რაოდენობის საერთო წერტილი II რეგიონთან. ამიტომ, ეს პარამეტრის მნიშვნელობა არ ჯდება ჩვენთვის.

3) \(ა<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

იპოვეთ \(a\), რომლის პარაბოლა \(y\) გადის \(B\) წერტილში: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ პარამეტრის ამ მნიშვნელობით, პარაბოლის \(y=-\frac34(x+1)^2\) გადაკვეთის მეორე წერტილი \(h=-2x-1\) წრფესთან არის წერტილი კოორდინატებით \(\ მარცხენა (-\frac13; -\frac13\მარჯვნივ)\).
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ კიდევ ერთი პარამეტრის მნიშვნელობა.

ვინაიდან ჩვენ განვიხილეთ ყველა შესაძლო შემთხვევა \(a\)-ისთვის, საბოლოო პასუხია: \

პასუხი:

\(\მარცხნივ\(-\frac34; \frac43\მარჯვნივ\)\)

ამოცანა 3 #4013

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლებების სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(შემთხვევები)\]

აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი.

1) განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება, როგორც კვადრატული \(x\) მიმართ: \ დისკრიმინანტი უდრის \(D=9y^2\) , შესაბამისად, \ შემდეგ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] ამიტომ, მთელი სისტემა შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &y=2x\\ &y=0.5x\end(გასწორებული)\end(შეკრებილი)\მარჯვნივ.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\ბოლო(შემთხვევები)\]ნაკრები განსაზღვრავს ორ სწორ ხაზს, სისტემის მეორე განტოლება განსაზღვრავს წრეს ცენტრით \((a;a)\) და რადიუსით \(R=\sqrt5a^2\) . იმისთვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ჰქონდეს ორი ამონახსნი, წრე უნდა კვეთდეს პოპულაციის გრაფიკს ზუსტად ორ წერტილზე. აქ არის ნახაზი, როდესაც, მაგალითად, \(a=1\) :


გაითვალისწინეთ, რომ რადგან წრის ცენტრის კოორდინატები ტოლია, წრის ცენტრი "გადის" სწორი ხაზის გასწვრივ \(y=x\) .

2) ვინაიდან წრფეს \(y \u003d kx\) აქვს ამ წრფის დახრის კუთხის ტანგენსი \(Ox\) ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ არის \(k\), მაშინ დახრილობის ტანგენსი წრფე \(y=0.5x\) უდრის \ (0,5\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\,\alpha\)), სწორი ხაზი \(y=2x\) არის ტოლია \(2\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). შეამჩნია, რომ \(\ mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), შესაბამისად, \(\ mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). აქედან გამომდინარე, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , საიდანაც \(\alpha+\beta=90^\circ\) . ეს ნიშნავს, რომ კუთხე \(y=2x\) და დადებით მიმართულებას \(Oy\) შორის უდრის კუთხეს \(y=0.5x\) და დადებით მიმართულებას \(Ox\) შორის:


და რადგან წრფე \(y=x\) არის I კოორდინატული კუთხის ბისექტორი (ანუ კუთხეები მასსა და დადებით მიმართულებებს შორის \(Ox\) და \(Oy\) ტოლია \(45^\-ში). circ\) ), მაშინ კუთხეები \(y=x\) და წრფეებს შორის \(y=2x\) და \(y=0.5x\) ტოლია.
ეს ყველაფერი დაგვჭირდა იმისთვის, რომ გვეთქვა, რომ წრფეები \(y=2x\) და \(y=0.5x\) სიმეტრიულია ერთმანეთის მიმართ \(y=x\) , შესაბამისად, თუ წრე ერთს ეხება. მათგან, მაშინ ის აუცილებლად ეხება მეორე ხაზს.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ \(a=0\) , მაშინ წრე გადაგვარდება \((0;0)\) წერტილში და აქვს მხოლოდ ერთი გადაკვეთის წერტილი ორივე წრფესთან. ანუ ეს საქმე არ გვიწყობს.
ამრიგად, იმისათვის, რომ წრეს ჰქონდეს წრფეებთან გადაკვეთის 2 წერტილი, ის უნდა იყოს ტანგენსი ამ წრფეებზე:


ჩვენ ვხედავთ, რომ შემთხვევა, როდესაც წრე მდებარეობს მესამე მეოთხედში, სიმეტრიულია (კოორდინატების წარმოშობის მიმართ) იმ შემთხვევის მიმართ, როდესაც ის მდებარეობს პირველ მეოთხედში. ანუ პირველ კვარტალში \(a>0\) , ხოლო მესამეში \(a<0\) (но такие же по модулю).
ამიტომ განვიხილავთ მხოლოდ პირველ კვარტალს.


შეამჩნია, რომ \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . შემდეგ \ შემდეგ \[\ mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]მაგრამ სხვანაირად, \[\mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\ალფა)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]აქედან გამომდინარე, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\quad a =\pm \ dfrac15\]ამრიგად, ჩვენ უკვე მივიღეთ როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობა \(a\)-ისთვის. ამიტომ პასუხი ასეთია: \

პასუხი:

\(\{-0,2;0,2\}\)

ამოცანა 4 #3278

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა \(a\), რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \

აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

(გამოყენება 2017, ოფიციალური საცდელი 04/21/2017)

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება \(t=5^x, t>0\) და გადავიტანოთ ყველა ტერმინი ერთ ნაწილად: \ ჩვენ მივიღეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები, ვიეტას თეორემის მიხედვით, არის \(t_1=a+6\) და \(t_2=5+3|a|\) . იმისათვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ერთი ფესვი ჰქონდეს, საკმარისია, რომ მიღებულ განტოლებას \(t\)-ითაც ჰქონდეს ერთი (დადებითი!) ფესვი.
ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ \(t_2\) ყველა \(a\) იქნება დადებითი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ორ შემთხვევას:

1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(გასწორებული) \end(შეიკრიბა) \მარჯვნივ.\]

2) ვინაიდან \(t_2\) ყოველთვის დადებითია, \(t_1\) უნდა იყოს \(\leqslant 0\) : \

პასუხი:

\((-\infty;-6]\თასი\მარცხნივ\(-\frac14;\frac12\მარჯვნივ\)\)

ამოცანა 5 #3252

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

აქვს ზუსტად ერთი ფესვი \(\) ინტერვალზე.

(ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2017, სარეზერვო დღე)

განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\]ამრიგად, გაითვალისწინეთ, რომ \(x=a\) არის განტოლების ფესვი ნებისმიერი \(a\)-ისთვის, რადგან განტოლება ხდება \(0=0\) . იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, საჭიროა \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
განტოლების მეორე ფესვი გვხვდება \(x+a=3x-1\)-დან, ანუ \(x=\frac(a+1)2\) . იმისათვის, რომ ეს რიცხვი იყოს განტოლების ფესვი, ის უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლების ODZ-ს, ანუ: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \ ამრიგად, ფესვი \(x=\frac(a+1)2\) რომ არსებობდეს და მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
გაითვალისწინეთ, რომ მაშინ \(0\leqslant a\leqslant 1\) ორივე ფესვი \(x=a\) და \(x=\frac(a+1)2\) ეკუთვნის სეგმენტს \(\) (ეს არის , განტოლებას აქვს ორი ფესვი ამ სეგმენტზე), გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ისინი ემთხვევა: \ ასე რომ, ჩვენ ჯდება \(a\ მარცხნივ[-\frac13; 0\მარჯვნივ)\)და \(a=1\) .

პასუხი:

\(a\in \ მარცხნივ[-\frac13;0\მარჯვნივ)\თასი\(1\)\)

ამოცანა 6 #3238

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \

აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე \(.\)

(ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2017, სარეზერვო დღე)

განტოლება ტოლია: \ odz განტოლება: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end (შემთხვევები)\] ODZ-ზე განტოლება გადაიწერება სახით: \

1) მოდით \(ა<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ არ ემთხვევა \(ა<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) მოდით \(a=0\) . მაშინ ODZ განტოლება არის: \(x\geqslant 0\) . განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად: \ შედეგად მიღებული ფესვი ჯდება ODZ-ის ქვეშ და შედის \(\) სეგმენტში. ამიტომ, \(a=0\) შესაფერისია.

3) მოდით \(a>0\) . შემდეგ ODZ: \(x\geqslant a\) და \(x\leqslant 1\) . ამიტომ, თუ \(a>1\) , მაშინ ODZ არის ცარიელი ნაკრები. ამრიგად, \(0 განვიხილოთ ფუნქცია \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . მოდით გამოვიკვლიოთ იგი.
წარმოებული არის \(y"=3x^2-2ax+3a\) . განვსაზღვროთ რა ნიშანი შეიძლება იყოს წარმოებული. ამისათვის იპოვეთ განტოლების დისკრიმინანტი \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a(a-9)\) ამიტომ, \(a\in (0;1]\) დისკრიმინანტისთვის \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\). აქედან გამომდინარე, \(y\) იზრდება. ამრიგად, მზარდი ფუნქციის თვისებით, განტოლებას \(y(x)=0\) შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ ერთი ფესვი.

ამიტომ, იმისათვის, რომ განტოლების ფესვი (გრაფის \(y\) გადაკვეთის წერტილი x-ღერძთან) იყოს \(\) სეგმენტზე, აუცილებელია, რომ \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \]იმის გათვალისწინებით, რომ თავდაპირველად განსახილველ შემთხვევაში \(a\in (0;1]\), მაშინ პასუხია \(a\in (0;1]\) . გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) აკმაყოფილებს \( (1) \) , ფესვები \(x_2\) და \(x_3\) აკმაყოფილებს \((2)\) .ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) ეკუთვნის სეგმენტს \(\) .
განვიხილოთ სამი შემთხვევა:

1) \(a>0\) . შემდეგ \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) არ აკმაყოფილებს \((1)\) , ან შეესაბამება \(x_1\) , ან აკმაყოფილებს \((1)\) , მაგრამ არ შედის სეგმენტში \(\) (ანუ \(0\)-ზე ნაკლები);
- \(x_1\) არ აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) აკმაყოფილებს \(1)\) და არ უდრის \(x_1\) .
გაითვალისწინეთ, რომ \(x_3\) არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები და დააკმაყოფილოს \((1)\) (ანუ მეტი \(\frac35\) ). ამ შენიშვნის გათვალისწინებით, შემთხვევები აღირიცხება შემდეგ ნაკრებში: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>ამ კრებულის ამოხსნით და იმის გათვალისწინებით, რომ \(a>0\) , მივიღებთ: \

2) \(a=0\) . შემდეგ \(x_2=x_3=3\in .\) გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) და \(x_2=3\) აკმაყოფილებს \((1)\) , შემდეგ იქ არის განტოლება, რომელსაც აქვს ორი ფესვი \(\)-ზე. ეს მნიშვნელობა \(a\) არ ჯდება ჩვენთვის.

3) \(ა<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) და \(x_3\არა\) . 1-ლი პუნქტის მსგავსად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ნაკრები: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end (გასწორებული) \ბოლო (შეიკრიბა)\მარჯვნივ.\]ამ კრებულის ამოხსნა და იმის გათვალისწინებით, რომ \(ა<0\) , получим: \\]

პასუხი:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \ cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)

1. დავალება.
პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება ( ა - 1)x 2 + 2x + ა- 1 = 0 აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?

1. გადაწყვეტილება.
ზე ა= 1 განტოლებას აქვს ფორმა 2 x= 0 და აშკარად აქვს ერთი ფესვი x= 0. თუ ა No1, მაშინ ეს განტოლება არის კვადრატული და აქვს ერთი ფესვი იმ პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებისთვისაც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულის ტოლია. დისკრიმინანტის ნულთან გათანაბრებით, ვიღებთ პარამეტრის განტოლებას ა 4ა 2 - 8ა= 0, საიდანაც ა= 0 ან ა = 2.

1. პასუხი:განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ა O(0; 1; 2).

2. დავალება.
იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლის განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0.
2. გადაწყვეტილება.
განტოლება x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0-ს აქვს ორი განსხვავებული ფესვი, თუ და მხოლოდ თუ დ = 16ა 2 -4(8ა+3) > 0. ვიღებთ (4 საერთო კოეფიციენტით შემცირების შემდეგ) 4 ა 2 -8ა-3 > 0, საიდანაც

2. პასუხი:

ა O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) და (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. დავალება.
ცნობილია, რომ
ვ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ა) ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა ვ 1 (x) ზე ა = 1.
ბ) რა ღირებულებით აფუნქციის გრაფიკები ვ 1 (x) და ვ 2 (x) გაქვთ ერთი საერთო წერტილი?

3. გამოსავალი.
3.ა.მოდით გარდავქმნათ ვ 1 (x) შემდეგნაირად
ამ ფუნქციის გრაფიკი ა= 1 ნაჩვენებია ფიგურაში მარჯვნივ.
3.ბ.ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ფუნქციის გრაფიკები წ = kx+ბდა წ = ნაჯახი 2 +bx+გ (ა No 0) იკვეთება ერთ წერტილში თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ კვადრატული განტოლება kx+ბ = ნაჯახი 2 +bx+გაქვს ერთი ფესვი. ხედის გამოყენება ვ 1 of 3.ა, ვაიგივებთ განტოლების დისკრიმინანტს ა = 6x-x 2-6 ნულამდე. 36-24-4 განტოლებიდან ა= 0 ვიღებთ ა= 3. იგივეს გაკეთება მე-2 განტოლებით x-ა = 6x-x 2 -6 პოვნა ა= 2. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ეს პარამეტრის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. პასუხი: ა= 2 ან ა = 3.

4. დავალება.
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლის მიხედვითაც უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე x 2 -2ნაჯახი-3ა i 0 შეიცავს სეგმენტს.

4. გამოსავალი.
პარაბოლის წვეროს პირველი კოორდინატი ვ(x) = x 2 -2ნაჯახი-3აუდრის x 0 = ა. კვადრატული ფუნქციის თვისებებიდან მდგომარეობა ვ(x) i 0 ინტერვალზე უდრის სამი სისტემის მთლიანობას
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი?

5. გადაწყვეტილება.
მოდით გადავიწეროთ ეს განტოლება ფორმაში x 2 + (2ა-2)x - 3ა+7 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება, მას აქვს ზუსტად ორი ამონახსნი, თუ მისი დისკრიმინანტი მკაცრად მეტია ნულზე. დისკრიმინანტის გამოთვლით მივიღებთ, რომ ზუსტად ორი ფესვის არსებობის პირობა არის უტოლობის შესრულება. ა 2 +ა-6 > 0. უტოლობის ამოხსნა ვპოულობთ ა < -3 или ა> 2. ცხადია, უტოლობებიდან პირველს არ აქვს ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში, ხოლო მეორის უმცირესი ნატურალური ამონახსნები არის რიცხვი 3.

5. პასუხი: 3.

6. ამოცანა (10 უჯრედი)
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც ფუნქციის გრაფიკი ან აშკარა გარდაქმნების შემდეგ, ა-2 = | 2-ა| . ბოლო განტოლება უდრის უტოლობას ამე 2.

6. პასუხი: აშესახებ)