უსასრულოდ მზარდი გეომეტრიული პროგრესია. გეომეტრიული პროგრესია. მაგალითი ხსნარით
ამ რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი, ანუ თითოეული წევრი განსხვავდება წინადან q-ჯერ. (ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ q ≠ 1, წინააღმდეგ შემთხვევაში ყველაფერი ძალიან ტრივიალურია). ადვილი მისახვედრია, რომ გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ზოგადი ფორმულა არის b n = b 1 q n – 1 ; b n და b m რიცხვებით ტერმინები განსხვავდება q n – m-ჯერ.უკვე ძველ ეგვიპტეში იცოდნენ არა მხოლოდ არითმეტიკული, არამედ გეომეტრიული პროგრესიაც. აი, მაგალითად, პრობლემა რინდის პაპირუსიდან: „შვიდ სახეს შვიდი კატა აქვს; თითოეული კატა ჭამს შვიდ თაგვს, თითოეული თაგვი ჭამს შვიდ ყელს, ხოლო ქერის თითოეულ ყურს შეუძლია შვიდი ღერი ქერის მოყვანა. რამდენად დიდია ამ სერიის რიცხვები და მათი ჯამი?
 |
|
ბრინჯი. 1. ძველი ეგვიპტური გეომეტრიული პროგრესიის პრობლემა |
ეს დავალება ბევრჯერ განმეორდა სხვა ხალხებში სხვა დროს სხვადასხვა ვარიაციებით. მაგალითად, დაწერილი მე -13 საუკუნეში. ლეონარდო პიზას (ფიბონაჩის) „აბაკუს წიგნს“ აქვს პრობლემა, რომელშიც რომისკენ მიმავალ გზაზე ჩნდება 7 მოხუცი ქალი (აშკარად მომლოცველები), რომელთაგან თითოეულს ჰყავს 7 ჯორი, რომელთაგან თითოეულს აქვს 7 ჩანთა. შეიცავს 7 პურს, რომელთაგან თითოეულს აქვს 7 დანა, თითოეულს აქვს 7 გარსი. პრობლემა სვამს კითხვას, რამდენი ობიექტია.
გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . ეს ფორმულა შეიძლება დადასტურდეს, მაგალითად, ასე: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
დაამატეთ რიცხვი b 1 q n S n-ს და მიიღეთ:
|
აქედან S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), და მივიღებთ საჭირო ფორმულას.
უკვე მე-6 საუკუნით დათარიღებული ძველი ბაბილონის ერთ-ერთ თიხის ფირფიტაზე. ძვ.წ ე. შეიცავს ჯამს 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. მართალია, როგორც სხვა რიგ შემთხვევებში, ჩვენ არ ვიცით, როგორ იყო ცნობილი ეს ფაქტი ბაბილონელებისთვის. .
გეომეტრიული პროგრესიის სწრაფი ზრდა მთელ რიგ კულტურაში, განსაკუთრებით ინდურში, არაერთხელ გამოიყენება, როგორც სამყაროს უზარმაზარობის ვიზუალური სიმბოლო. ჭადრაკის გარეგნობის შესახებ ცნობილ ლეგენდაში მმართველი თავის გამომგონებელს აძლევს შესაძლებლობას თავად აირჩიოს ჯილდო და ის სთხოვს ხორბლის მარცვლების რაოდენობას, რომელიც მიიღება, თუ ერთი მოთავსდება ჭადრაკის დაფის პირველ კვადრატზე, ორზე. მეორე, მესამეზე ოთხი, მეოთხეზე რვა და ა.შ., ყოველ ჯერზე რიცხვი გაორმაგდება. ვლადიკას ეგონა, რომ მაქსიმუმ რამდენიმე ჩანთაზე იყო საუბარი, მაგრამ არასწორად გამოთვალა. ადვილი მისახვედრია, რომ ჭადრაკის დაფის 64-ვე კვადრატისთვის გამომგონებელს უნდა მიეღო (2 64 - 1) მარცვალი, რომელიც გამოიხატება 20-ნიშნა რიცხვით; დედამიწის მთელი ზედაპირი რომც დაითესოს, მარცვლეულის საჭირო რაოდენობის შეგროვებას მინიმუმ 8 წელი დასჭირდება. ეს ლეგენდა ზოგჯერ განმარტებულია, როგორც ჭადრაკის თამაშში დამალული პრაქტიკულად შეუზღუდავი შესაძლებლობები.
ადვილი მისახვედრია, რომ ეს რიცხვი ნამდვილად 20-ნიშნაა:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (უფრო ზუსტი გამოთვლა იძლევა 1,84∙10 19). მაგრამ მაინტერესებს შეგიძლიათ თუ არა გაიგოთ რა ციფრით მთავრდება ეს რიცხვი?
გეომეტრიული პროგრესია შეიძლება გაიზარდოს, თუ მნიშვნელი 1-ზე მეტია, ან შემცირდეს, თუ ის ერთზე ნაკლებია. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, რიცხვი q n საკმარისად დიდი n-ისთვის შეიძლება თვითნებურად მცირე გახდეს. მიუხედავად იმისა, რომ მზარდი გეომეტრიული პროგრესია იზრდება მოულოდნელად სწრაფად, კლებადი გეომეტრიული პროგრესია ისევე სწრაფად მცირდება.
რაც უფრო დიდია n, მით უფრო სუსტია რიცხვი q n განსხვავდება ნულიდან და მით უფრო უახლოვდება გეომეტრიული პროგრესიის n წევრთა ჯამი S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) რიცხვთან S = b 1 / ( 1 – q). (მაგალითად, ფ. ვიეტი ასე მსჯელობდა). რიცხვს S ეწოდება უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამს. თუმცა, მრავალი საუკუნის განმავლობაში მათემატიკოსებისთვის საკმარისად ნათელი არ იყო კითხვა, თუ რას ნიშნავს მთელი გეომეტრიული პროგრესიის შეჯამება, მისი უსასრულო რაოდენობის ტერმინებით.
შემცირებული გეომეტრიული პროგრესია ჩანს, მაგალითად, ზენონის აპორიებში "ნახევარი განყოფილება" და "აქილევსი და კუს". პირველ შემთხვევაში, ნათლად ჩანს, რომ მთელი გზა (სიგრძით 1) არის უსასრულო რაოდენობის სეგმენტების ჯამი 1/2, 1/4, 1/8 და ა.შ. ეს, რა თქმა უნდა, ასეა იდეების თვალსაზრისი სასრული ჯამის უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ. და მაინც - როგორ შეიძლება ეს?
|
ბრინჯი. 2. პროგრესირება 1/2 კოეფიციენტით |
აქილევსის შესახებ აპორიაში სიტუაცია ცოტა უფრო რთულია, რადგან აქ პროგრესიის მნიშვნელი არის არა 1/2, არამედ რაღაც სხვა რიცხვი. მაგალითად, აქილევსმა ირბინოს v სიჩქარით, კუ მოძრაობს u სიჩქარით და მათ შორის საწყისი მანძილი არის l. აქილევსი დაფარავს ამ მანძილს l/v დროში და ამ დროის განმავლობაში კუ გადაიწევს მანძილი lu/v. როდესაც აქილევსი გადის ამ სეგმენტს, მასსა და კუს შორის მანძილი გახდება l (u /v) 2 და ა.შ. გამოდის, რომ კუს დაჭერა ნიშნავს უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის პოვნას პირველ წევრთან. l და მნიშვნელი u /v. ეს ჯამი - სეგმენტი, რომელსაც საბოლოოდ აქილევსი კუსთან შეხვედრის ადგილისკენ გაუშვებს - უდრის l / (1 – u /v) = lv / (v – u). მაგრამ, კიდევ ერთხელ, როგორ უნდა განიმარტოს ეს შედეგი და რატომ აქვს მას რაიმე აზრი, დიდი ხნის განმავლობაში არ იყო ნათელი.
|
ბრინჯი. 3. გეომეტრიული პროგრესია 2/3 კოეფიციენტით |
არქიმედემ გამოიყენა გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი პარაბოლის სეგმენტის ფართობის დასადგენად. პარაბოლის ეს სეგმენტი შემოიფარგლოს AB აკორდით და პარაბოლის D წერტილში ტანგენსი იყოს AB-ის პარალელურად. მოდით C იყოს AB-ის შუა წერტილი, E - AC-ის შუა წერტილი, F - CB-ის შუა წერტილი. გავავლოთ DC-ის პარალელურად წრფეები A, E, F, B წერტილების გავლით; მოდით, D წერტილში დახატული ტანგენსი კვეთს ამ წრფეებს K, L, M, N წერტილებში. ასევე დავხატოთ AD და DB სეგმენტები. მოდით, EL წრფემ გადაკვეთოს AD წრფე G წერტილში, პარაბოლა კი H წერტილში; ხაზი FM კვეთს DB წრფეს Q წერტილში და პარაბოლას R წერტილში. კონუსური კვეთების ზოგადი თეორიის მიხედვით, DC არის პარაბოლის დიამეტრი (ანუ მისი ღერძის პარალელურად სეგმენტი); ის და ტანგენსი D წერტილში შეიძლება იყოს x და y კოორდინატთა ღერძები, რომლებშიც პარაბოლის განტოლება იწერება როგორც y 2 = 2px (x არის მანძილი D-დან მოცემული დიამეტრის ნებისმიერ წერტილამდე, y არის სიგრძე მოცემული ტანგენტის პარალელური სეგმენტი დიამეტრის ამ წერტილიდან პარაბოლის გარკვეულ წერტილამდე).
პარაბოლის განტოლების ძალით, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, და რადგან DK = 2DL, მაშინ KA = 4LH. რადგან KA = 2LG, LH = HG. პარაბოლას ADB სეგმენტის ფართობი უდრის სამკუთხედის ΔADB ფართობს და AHD და DRB სეგმენტების არეებს ერთად. თავის მხრივ, AHD სეგმენტის ფართობი ანალოგიურად უდრის AHD სამკუთხედის ფართობს და დანარჩენ AH და HD სეგმენტებს, რომელთაგან თითოეული შეგიძლიათ შეასრულოთ იგივე ოპერაცია - გაყოთ სამკუთხედად (Δ) და ორი დარჩენილი სეგმენტი () და ა.შ.:
სამკუთხედის ΔAHD ფართობი უდრის ΔALD სამკუთხედის ფართობის ნახევარს (მათ აქვთ საერთო ფუძე AD და სიმაღლეები განსხვავდება 2-ჯერ), რაც, თავის მხრივ, უდრის ფართობის ნახევარს. სამკუთხედი ΔAKD და, შესაბამისად, სამკუთხედის ΔACD ფართობის ნახევარი. ამრიგად, სამკუთხედის ΔAHD ფართობი უდრის ΔACD სამკუთხედის ფართობის მეოთხედს. ანალოგიურად, ΔDRB სამკუთხედის ფართობი უდრის ΔDFB სამკუთხედის ფართობის მეოთხედს. ასე რომ, სამკუთხედების ΔAHD და ΔDRB ფართობი, ერთად აღებული, უდრის ΔADB სამკუთხედის ფართობის მეოთხედს. ამ ოპერაციის განმეორებით AH, HD, DR და RB სეგმენტებზე გამოყენებული იქნება მათგან სამკუთხედები, რომელთა ფართობი ერთად აღებული იქნება 4-ჯერ ნაკლები სამკუთხედების ΔAHD და ΔDRB ფართობზე, ერთად აღებული და ამიტომ 16-ჯერ ნაკლები, ვიდრე სამკუთხედის ΔADB ფართობი. და ასე შემდეგ:
ამრიგად, არქიმედესმა დაამტკიცა, რომ „ყოველი სეგმენტი, რომელიც შეიცავს სწორ ხაზსა და პარაბოლას შორის, წარმოადგენს სამკუთხედის ოთხ მესამედს, რომელსაც აქვს იგივე ფუძე და თანაბარი სიმაღლე“.
გაკვეთილის მიზანი: მოსწავლეებს გავაცნოთ ახალი ტიპის მიმდევრობა - უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.
ამოცანები:
რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის საწყისი იდეის ჩამოყალიბება;
უსასრულო პერიოდული წილადების ჩვეულებრივად გადაქცევის სხვა ხერხის გაცნობა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულის გამოყენებით;
სკოლის მოსწავლეთა პიროვნების ინტელექტუალური თვისებების განვითარება, როგორიცაა ლოგიკური აზროვნება, შეფასებითი მოქმედებების უნარი და განზოგადება;
აქტიურობის, ურთიერთდახმარების, კოლექტივიზმისა და თემისადმი ინტერესის ხელშეწყობა.
ჩამოტვირთვა:
გადახედვა:
გაკვეთილი თემაზე „უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია“ (ალგებრა, მე-10 კლასი)
გაკვეთილის მიზანი: სტუდენტების ახალი ტიპის მიმდევრობის გაცნობა - უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.
ამოცანები:
რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის საწყისი იდეის ჩამოყალიბება; უსასრულო პერიოდული წილადების ჩვეულებრივად გადაქცევის სხვა ხერხის გაცნობა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულის გამოყენებით;
სკოლის მოსწავლეთა პიროვნების ინტელექტუალური თვისებების განვითარება, როგორიცაა ლოგიკური აზროვნება, შეფასებითი მოქმედებების უნარი და განზოგადება;
აქტიურობის, ურთიერთდახმარების, კოლექტივიზმისა და თემისადმი ინტერესის ხელშეწყობა.
აღჭურვილობა: კომპიუტერული კლასი, პროექტორი, ეკრანი.
გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი - ახალი თემის შესწავლა.
გაკვეთილის პროგრესი
I. ორგ. მომენტი. დაასახელეთ გაკვეთილის თემა და მიზანი.
II. მოსწავლეთა ცოდნის განახლება.
მე-9 კლასში შეისწავლეთ არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები.
კითხვები
1. არითმეტიკული პროგრესიის განმარტება.
(არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი
მეორიდან დაწყებული უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინა წევრს).
2. ფორმულა n არითმეტიკული პროგრესიის ე ტერმინი
3. პირველის ჯამის ფორმულან არითმეტიკული პროგრესიის პირობები.
(ან)
4. გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება.
(გეომეტრიული პროგრესია არის არანულოვანი რიცხვების თანმიმდევრობა
რომლის ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს გამრავლებული
იგივე ნომერი).
5. ფორმულა n გეომეტრიული პროგრესიის მე-თე ტერმინი
6. პირველის ჯამის ფორმულან გეომეტრიული პროგრესიის წევრები.
7. კიდევ რა ფორმულები იცით?
(, სად; ;
; , )
სტუმარი
1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია ფორმულით a n = 7 – 4n. იპოვე 10. (-33)
2. არითმეტიკული პროგრესიაში a 3 = 7 და 5 = 1. იპოვნეთ 4. (4)
3. არითმეტიკული პროგრესიაში a 3 = 7 და 5 = 1. იპოვნეთ 17. (-35)
4. არითმეტიკული პროგრესიაში a 3 = 7 და 5 = 1. იპოვეთ S 17. (-187)
5. გეომეტრიული პროგრესიისთვისიპოვეთ მეხუთე ტერმინი.
6. გეომეტრიული პროგრესიისთვისიპოვეთ n-ე ტერმინი.
7. ექსპონენტურად b 3 = 8 და b 5 = 2. იპოვეთ b 4. (4)
8. ექსპონენტურად b 3 = 8 და b 5 = 2. იპოვეთ b 1 და q.
9. ექსპონენტურად b 3 = 8 და b 5 = 2. იპოვეთ S5. (62)
III. ახალი თემის სწავლა(პრეზენტაციის დემონსტრირება).
განვიხილოთ კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია 1. დავხატოთ სხვა კვადრატი, რომლის გვერდი არის პირველი კვადრატის ნახევარი, შემდეგ მეორე, რომლის გვერდიც არის მეორეს ნახევარი, შემდეგ შემდეგი და ა.შ. ყოველ ჯერზე ახალი კვადრატის გვერდი უდრის წინა კვადრატის ნახევარს.
შედეგად მივიღეთ კვადრატების გვერდების თანმიმდევრობამნიშვნელთან გეომეტრიული პროგრესიის ფორმირება.
და, რაც ძალიან მნიშვნელოვანია, რაც მეტს ავაშენებთ ასეთ კვადრატებს, მით უფრო პატარა იქნება კვადრატის მხარე.მაგალითად,
იმათ. n რიცხვის მატებასთან ერთად პროგრესირების პირობები ნულს უახლოვდება.
ამ ფიგურის გამოყენებით, შეგიძლიათ განიხილოთ სხვა თანმიმდევრობა.
მაგალითად, კვადრატების ფართობების თანმიმდევრობა:
და კიდევ, თუ ნ იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, შემდეგ ფართობი უახლოვდება ნულს, რამდენადაც გსურთ.
მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომლის გვერდები ტოლია 1 სმ. ავაშენოთ შემდეგი სამკუთხედი 1-ლი სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილებში წვეროებით, სამკუთხედის შუა ხაზის შესახებ თეორემის მიხედვით - მე-2-ის გვერდი უდრის პირველის გვერდის ნახევარს, მე-3-ის გვერდს. უდრის მე-2 მხარის ნახევარს და ა.შ. ისევ ვიღებთ სამკუთხედების გვერდების სიგრძის თანმიმდევრობას.
ზე.
თუ განვიხილავთ გეომეტრიულ პროგრესიას უარყოფითი მნიშვნელით.
შემდეგ, ისევ, მზარდი რიცხვებითნ პროგრესის მიდგომის პირობები ნულოვანი.
მივაქციოთ ყურადღება ამ მიმდევრობების მნიშვნელებს. ყველგან მნიშვნელები აბსოლუტური მნიშვნელობით 1-ზე ნაკლები იყო.
შეგვიძლია დავასკვნათ: გეომეტრიული პროგრესია იქნება უსასრულოდ კლებადი, თუ მისი მნიშვნელის მოდული 1-ზე ნაკლებია.
ფრონტალური სამუშაო.
განმარტება:
გეომეტრიულ პროგრესიას ამბობენ, რომ უსასრულოდ მცირდება, თუ მისი მნიშვნელის მოდული ერთზე ნაკლებია..
განმარტების გამოყენებით შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ გეომეტრიული პროგრესია უსასრულოდ მცირდება თუ არა.
დავალება
არის თუ არა მიმდევრობა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, თუ იგი მოცემულია ფორმულით:
გამოსავალი:
მოდი ვიპოვოთ q.
; ; ; .
ეს გეომეტრიული პროგრესია უსასრულოდ მცირდება.
ბ) ეს თანმიმდევრობა არ არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.
განვიხილოთ კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია 1. გაყავით შუაზე, ერთი ნახევარი შუაზე და ა.შ. ყველა მიღებული მართკუთხედის ფართობი ქმნის უსასრულოდ კლებულ გეომეტრიულ პროგრესიას:
ამ გზით მიღებული ყველა მართკუთხედის ფართობის ჯამი იქნება 1-ლი კვადრატის ფართობის ტოლი და 1-ის ტოლი.
მაგრამ ამ ტოლობის მარცხენა მხარეს არის უსასრულო რაოდენობის წევრთა ჯამი.
განვიხილოთ პირველი n წევრის ჯამი.
გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის მიხედვით უდრის.
თუ ნ იზრდება შეუზღუდავად, მაშინ
ან . ამიტომ, ე.ი. .
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამიარის თანმიმდევრობის ლიმიტი S 1, S 2, S 3, …, S n, ….
მაგალითად, პროგრესისთვის,
გვაქვს
იმიტომ რომ
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამიშეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით.
III. გააზრება და კონსოლიდაცია(დავალებების შესრულება).
№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. შეჯამება.
რა თანმიმდევრობას გაეცანით დღეს?
განსაზღვრეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.
როგორ დავამტკიცოთ, რომ გეომეტრიული პროგრესია უსასრულოდ მცირდება?
მიეცით ფორმულა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამისთვის.
V. საშინაო დავალება.
2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
გადახედვა:
პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში და შედით მასში: https://accounts.google.com
სლაიდის წარწერები:
ყველას უნდა შეეძლოს თანმიმდევრულად აზროვნება, მტკიცებულებებით განსჯა და არასწორი დასკვნების უარყოფა: ფიზიკოსი და პოეტი, ტრაქტორის მძღოლი და ქიმიკოსი. ე.კოლმანი მათემატიკაში უნდა გვახსოვდეს არა ფორმულები, არამედ აზროვნების პროცესები. V.P. ერმაკოვი უფრო ადვილია წრის კვადრატის პოვნა, ვიდრე მათემატიკოსის გადალახვა. ავგუსტუს დე მორგანი რომელი მეცნიერება შეიძლება იყოს კაცობრიობისთვის უფრო კეთილშობილური, აღფრთოვანებული, უფრო სასარგებლო, ვიდრე მათემატიკა? ფრანკლინი
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ხარისხი 10
მე. არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები. კითხვები 1. არითმეტიკული პროგრესიის განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის იმავე რიცხვს დამატებული წინა წევრს. 2. არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა. 3. არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა. 4. გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება. გეომეტრიული პროგრესია არის არანულოვანი რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელთა ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე რიცხვზე 5. გეომეტრიული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა. 6. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა.
II. არითმეტიკული პროგრესია. ამოცანები არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია ფორმულით a n = 7 – 4 n იპოვეთ 10 . (-33) 2. არითმეტიკული პროგრესიის დროს, a 3 = 7 და a 5 = 1. იპოვნეთ 4. (4) 3. არითმეტიკული პროგრესიით a 3 = 7 და a 5 = 1. იპოვნეთ 17. (-35) 4. არითმეტიკული პროგრესიის დროს, a 3 = 7 და a 5 = 1. იპოვეთ S 17. (-187)
II. გეომეტრიული პროგრესია. ამოცანები 5. გეომეტრიული პროგრესიისთვის იპოვეთ მეხუთე წევრი 6. გეომეტრიული პროგრესიისთვის იპოვეთ მე-n წევრი. 7. გეომეტრიულ პროგრესიაში b 3 = 8 და b 5 = 2. იპოვეთ b 4. (4) 8. გეომეტრიულ პროგრესიაში b 3 = 8 და b 5 = 2. იპოვეთ b 1 და q. 9. გეომეტრიულ პროგრესიაში b 3 = 8 და b 5 = 2. იპოვეთ S5. (62)
განმარტება: გეომეტრიულ პროგრესიას ეწოდება უსასრულოდ კლებადი, თუ მისი მნიშვნელის მოდული ერთზე ნაკლებია.
ამოცანა No1 არის თუ არა მიმდევრობა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, თუ იგი მოცემულია ფორმულით: ამოხსნა: ა) ეს გეომეტრიული პროგრესია უსასრულოდ კლებადია. ბ) ეს თანმიმდევრობა არ არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის S 1, S 2, S 3, ..., S n, ... მიმდევრობის ზღვარი. მაგალითად, პროგრესიისთვის, რაც გვაქვს, ვინაიდან უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით
ამოცანების შესრულება იპოვეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი პირველი წევრით 3, მეორე 0,3. 2. No13; No14; სახელმძღვანელო, გვ.138 3. No15(1;3); No16(1;3) No18(1;3); 4. No19; No20.
რა თანმიმდევრობას გაეცანით დღეს? განსაზღვრეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. როგორ დავამტკიცოთ, რომ გეომეტრიული პროგრესია უსასრულოდ მცირდება? მიეცით ფორმულა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამისთვის. კითხვები
ცნობილი პოლონელი მათემატიკოსი უგო სტეინჰაუსი ხუმრობით ამტკიცებს, რომ არსებობს კანონი, რომელიც ასეა ჩამოყალიბებული: მათემატიკოსი ამას უკეთესად გააკეთებს. კერძოდ, თუ თქვენ ანდობთ ორ ადამიანს, რომელთაგან ერთი მათემატიკოსია, შეასრულოს მათთვის უცნობი სამუშაო, მაშინ შედეგი ყოველთვის იქნება შემდეგი: მათემატიკოსი ამას უკეთესად გააკეთებს. უგო სტეინჰაუსი 01/14/1887-02/25/1972
ინსტრუქციები
10, 30, 90, 270...
თქვენ უნდა იპოვოთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.
გამოსავალი:
ვარიანტი 1. ავიღოთ პროგრესიის თვითნებური წევრი (მაგალითად, 90) და გავყოთ წინაზე (30): 90/30=3.
თუ ცნობილია გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე წევრის ჯამი ან კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი, მაშინ პროგრესიის მნიშვნელის საპოვნელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულები:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), სადაც Sn არის გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი და
S = b1/(1-q), სადაც S არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი (პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი ერთზე ნაკლები მნიშვნელით).
მაგალითი.
კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი უდრის ერთს, ხოლო მისი ყველა წევრის ჯამი უდრის ორს.
საჭიროა ამ პროგრესიის მნიშვნელის დადგენა.
გამოსავალი:
ჩაანაცვლეთ ამოცანის მონაცემები ფორმულაში. გამოვა:
2=1/(1-q), საიდანაც – q=1/2.
პროგრესია არის რიცხვების თანმიმდევრობა. გეომეტრიულ პროგრესიაში ყოველი მომდევნო წევრი მიიღება წინას გარკვეულ რიცხვზე q გამრავლებით, რომელსაც პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება.
ინსტრუქციები
თუ ცნობილია ორი მომიჯნავე გეომეტრიული ტერმინი b(n+1) და b(n), მნიშვნელის მისაღებად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი უფრო დიდის წინა რიცხვზე: q=b(n+1)/b. (n). ეს გამომდინარეობს პროგრესიის განმარტებიდან და მისი მნიშვნელიდან. მნიშვნელოვანი პირობაა, რომ პირველი წევრი და პროგრესიის მნიშვნელი არ იყოს ნულის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში იგი ითვლება განუსაზღვრელად.
ამრიგად, პროგრესიის ტერმინებს შორის მყარდება შემდეგი მიმართებები: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) ფორმულის გამოყენებით შეიძლება გამოითვალოს გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი, რომელშიც ცნობილია q მნიშვნელი და ტერმინი b1. ასევე, თითოეული პროგრესია მოდულით უდრის მისი მეზობელი წევრების საშუალოს: |b(n)|=√, სადაც პროგრესიამ მიიღო თავისი .
გეომეტრიული პროგრესიის ანალოგი არის უმარტივესი ექსპონენციალური ფუნქცია y=a^x, სადაც x არის მაჩვენებელი, a არის გარკვეული რიცხვი. ამ შემთხვევაში პროგრესიის მნიშვნელი ემთხვევა პირველ წევრს და უდრის რიცხვს a. y ფუნქციის მნიშვნელობა შეიძლება გავიგოთ, როგორც პროგრესიის n-ე წევრი, თუ არგუმენტი x მიღებული იქნება ნატურალური რიცხვი n (მრიცხველი).
არსებობს გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამისთვის: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). ეს ფორმულა მოქმედებს q≠1-ისთვის. თუ q=1, მაშინ პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება S(n)=n b1 ფორმულით. სხვათა შორის, პროგრესიას დაერქმევა ზრდა, როდესაც q ერთზე მეტია და b1 დადებითია. თუ პროგრესიის მნიშვნელი არ აღემატება ერთს აბსოლუტური მნიშვნელობით, პროგრესიას კლებადი ეწოდება.
გეომეტრიული პროგრესიის განსაკუთრებული შემთხვევაა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია (უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია). ფაქტია, რომ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის პირობები ისევ და ისევ შემცირდება, მაგრამ არასოდეს მიაღწევს ნულს. ამის მიუხედავად, შესაძლებელია ასეთი პროგრესიის ყველა ტერმინის ჯამის პოვნა. იგი განისაზღვრება S=b1/(1-q) ფორმულით. n ტერმინების საერთო რაოდენობა უსასრულოა.
იმისათვის, რომ წარმოიდგინოთ, თუ როგორ შეგიძლიათ დაამატოთ უსასრულო რიცხვი უსასრულობის მიღების გარეშე, გამოაცხვეთ ნამცხვარი. ნახევარი გაჭერით. შემდეგ გაჭერით 1/2 ნახევარი და ა.შ. ნაჭრები, რომლებსაც მიიღებთ, სხვა არაფერია, თუ არა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრები 1/2 მნიშვნელით. თუ დაამატებთ ყველა ამ ნაჭერს, მიიღებთ ორიგინალურ ნამცხვარს.
გეომეტრიის პრობლემები სპეციალური ტიპის ვარჯიშია, რომელიც სივრცით აზროვნებას მოითხოვს. თუ ვერ ამოხსნით გეომეტრიულს დავალებასცადეთ ქვემოთ მოცემული წესების დაცვა.
ინსტრუქციები
წაიკითხეთ დავალების პირობები ძალიან ფრთხილად, თუ რამე არ გახსოვთ ან არ გესმით, ხელახლა წაიკითხეთ.
შეეცადეთ დაადგინოთ რა ტიპის გეომეტრიული ამოცანებია, მაგალითად: გამოთვლითი, როდესაც საჭიროა გარკვეული მნიშვნელობის გარკვევა, პრობლემები, რომლებიც მოითხოვს მსჯელობის ლოგიკურ ჯაჭვს, პრობლემები, რომლებიც დაკავშირებულია კონსტრუქციასთან კომპასისა და მმართველის გამოყენებით. შერეული ტიპის მეტი დავალება. როგორც კი გაარკვიეთ პრობლემის ტიპი, შეეცადეთ იფიქროთ ლოგიკურად.
გამოიყენეთ მოცემული დავალების საჭირო თეორემა, მაგრამ თუ ეჭვი გეპარებათ ან საერთოდ არ გაქვთ ვარიანტები, მაშინ შეეცადეთ დაიმახსოვროთ თეორია, რომელიც შეისწავლეთ შესაბამის თემაზე.
ასევე ჩაწერეთ პრობლემის გადაწყვეტა პროექტში. შეეცადეთ გამოიყენოთ ცნობილი მეთოდები თქვენი გადაწყვეტის სისწორის შესამოწმებლად.
ყურადღებით შეავსეთ პრობლემის გადაწყვეტა თქვენს ნოუთბუქში, წაშლისა და გადაკვეთის გარეშე და რაც მთავარია - შესაძლოა დრო და ძალისხმევა დასჭირდეს პირველი გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრას. თუმცა, როგორც კი ამ პროცესს დაეუფლებით, დაიწყებთ თხილის მსგავსი ამოცანების დაწკაპუნებას, სიამოვნებას!
გეომეტრიული პროგრესია არის b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) რიცხვების თანმიმდევრობა, რომ b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესიის ყოველი წევრი მიიღება წინადან მისი გამრავლებით პროგრესიის q რაიმე არანულოვან მნიშვნელზე.
ინსტრუქციები
პროგრესირების ამოცანები ყველაზე ხშირად წყდება b1 პროგრესიის პირველი წევრისა და პროგრესიის q მნიშვნელის სისტემის შედგენით და შემდეგ მიყოლებით. განტოლებების შესაქმნელად სასარგებლოა რამდენიმე ფორმულის დამახსოვრება.
როგორ გამოვხატოთ პროგრესიის n-ე წევრი პროგრესიის პირველი წევრის მეშვეობით და პროგრესიის მნიშვნელი: b(n)=b1*q^(n-1).
ცალკე განვიხილოთ შემთხვევა |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
ფიზიკასა და მათემატიკაში ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნა შესაძლებელია რიცხვითი რიგის თვისებების გამოყენებით. ორი უმარტივესი რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელიც ისწავლება სკოლებში არის ალგებრული და გეომეტრიული. ამ სტატიაში ჩვენ უფრო დეტალურად განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი.
პროგრესირება გეომეტრიული
ეს სიტყვები ნიშნავს ნამდვილ რიცხვთა სერიას, რომელთა ელემენტები a i აკმაყოფილებს გამონათქვამს:
აქ i არის ელემენტის რიცხვი სერიაში, r არის მუდმივი რიცხვი, რომელსაც მნიშვნელი ეწოდება.
ეს განმარტება გვიჩვენებს, რომ პროგრესიის ნებისმიერი წევრისა და მისი მნიშვნელის ცოდნით, შეგიძლიათ აღადგინოთ რიცხვების მთელი სერია. მაგალითად, თუ მე-10 ელემენტი ცნობილია, მაშინ მისი r-ზე გაყოფით მიიღება მე-9 ელემენტი, შემდეგ კვლავ გაყოფით მიიღებთ მე-8 და ა.შ. ეს მარტივი არგუმენტები საშუალებას გვაძლევს ჩამოვწეროთ გამონათქვამი, რომელიც მოქმედებს განხილული რიცხვების სერიისთვის:
პროგრესიის მაგალითი 2-ის მნიშვნელით იქნება შემდეგი სერია:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
თუ მნიშვნელი უდრის -2, მაშინ მიიღება სრულიად განსხვავებული სერია:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
გეომეტრიული პროგრესია ბევრად უფრო სწრაფია ვიდრე ალგებრული პროგრესია, ანუ მისი ტერმინები სწრაფად იზრდება და სწრაფად მცირდება.
i პროგრესირების პირობების ჯამი
პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად ხშირად საჭიროა განსახილველი რიცხვითი მიმდევრობის რამდენიმე ელემენტის ჯამის გამოთვლა. ამ შემთხვევაში მოქმედებს შემდეგი ფორმულა:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
ჩანს, რომ i ტერმინების ჯამის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ ორი რიცხვი: a 1 და r, რაც ლოგიკურია, რადგან ისინი ცალსახად განსაზღვრავენ მთელ თანმიმდევრობას.
კლებადი მიმდევრობა და მისი წევრთა ჯამი
ახლა მოდით შევხედოთ განსაკუთრებულ შემთხვევას. დავუშვათ, რომ r მნიშვნელის მოდული არ აღემატება ერთს, ანუ -1 კლებადი გეომეტრიული პროგრესია საინტერესოა გასათვალისწინებელი, რადგან მისი წევრთა უსასრულო ჯამი მიდრეკილია სასრული რეალური რიცხვისკენ. მოდით მივიღოთ ჯამის ფორმულა ამის გაკეთება ადვილია, თუ წინა აბზაცში მოცემული S i გამოთქმა. ჩვენ გვაქვს: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც i->∞. ვინაიდან მნიშვნელის მოდული 1-ზე ნაკლებია, მისი ამაღლება უსასრულო სიძლიერეზე მისცემს ნულს. ამის შემოწმება შესაძლებელია r=0.5 მაგალითის გამოყენებით: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. შედეგად, უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი მიიღებს ფორმას: ეს ფორმულა ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში, მაგალითად, ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად. იგი ასევე გამოიყენება ზენო ელეას პარადოქსის გადასაჭრელად კუსთან და აქილევსთან. აშკარაა, რომ უსასრულო გეომეტრიული მზარდი პროგრესიის ჯამის გათვალისწინებით (r>1) მივყავართ შედეგს S ∞ = +∞. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ფორმულები პრობლემის გადაჭრის მაგალითის გამოყენებით. ცნობილია, რომ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 11. უფრო მეტიც, მისი მე-7 წევრი 6-ჯერ ნაკლებია მესამე წევრზე. რა არის პირველი ელემენტი ამ რიცხვების სერიისთვის? ჯერ დავწეროთ ორი გამონათქვამი მე-7 და მე-3 ელემენტების დასადგენად. ჩვენ ვიღებთ: პირველი გამოხატვის მეორეზე გაყოფით და მნიშვნელის გამოსახატავად გვაქვს: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) ვინაიდან მეშვიდე და მესამე ტერმინების თანაფარდობა მოცემულია პრობლემის დებულებაში, შეგიძლიათ შეცვალოთ იგი და იპოვოთ r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894 ჩვენ გამოვთვალეთ r ხუთ ათწილადამდე. ვინაიდან მიღებული მნიშვნელობა ერთზე ნაკლებია, პროგრესია მცირდება, რაც ამართლებს ფორმულის გამოყენებას მისი უსასრულო ჯამისთვის. მოდით ჩავწეროთ პირველი წევრის გამოთქმა S ∞ ჯამის მეშვეობით: ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს ამ ფორმულაში და ვიღებთ პასუხს: a 1 = 11 * (1-0,63894) = 3,97166. ზენო ელეელი ცნობილი ბერძენი ფილოსოფოსია, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე V საუკუნეში. ე. მისმა რიგმა აპოგეებმა თუ პარადოქსებმა მოაღწია დღემდე, რომელშიც ჩამოყალიბებულია მათემატიკაში უსასრულოდ დიდის და უსასრულოდ მცირეს პრობლემა. ზენონის ერთ-ერთი ცნობილი პარადოქსია აქილევსის და კუს შეჯიბრი. ზენონს სჯეროდა, რომ თუ აქილევსი კუს გარკვეულ უპირატესობას მისცემდა დისტანციაში, ის ვერასოდეს მიაღწევდა მას. მაგალითად, ნება მიეცით აქილევსს 10-ჯერ უფრო სწრაფად ირბინოს, ვიდრე მცოცავი ცხოველი, რომელიც, მაგალითად, მის წინ არის 100 მეტრი. როდესაც მეომარი გარბის 100 მეტრზე, კუ 10 მეტრზე ირბინა, აქილევსი ხედავს, რომ კუ კიდევ 1 მეტრზე ცოცავს. შეგიძლიათ ასე უსასრულოდ კამათი, კონკურენტებს შორის მანძილი მართლაც შემცირდება, მაგრამ კუ ყოველთვის წინ იქნება. მიიყვანა ზენონი იმ დასკვნამდე, რომ მოძრაობა არ არსებობს და ობიექტების გარშემო არსებული ყველა მოძრაობა ილუზიაა. რა თქმა უნდა, ძველი ბერძენი ფილოსოფოსი ცდებოდა. პარადოქსის გამოსავალი მდგომარეობს იმაში, რომ მუდმივად კლებადი სეგმენტების უსასრულო ჯამი სასრულ რიცხვისკენ მიისწრაფვის. ზემოხსენებულ შემთხვევაში, აქილევსმა გაირბინა მანძილისთვის, მივიღებთ: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 მეტრი ეს შედეგი აჩვენებს, რომ აქილევსი დაეწევა კუს, როდესაც ის მხოლოდ 11,111 მეტრზე დაცოცავს. ძველმა ბერძნებმა არ იცოდნენ უსასრულო რაოდენობით მუშაობა მათემატიკაში. თუმცა, ეს პარადოქსი შეიძლება გადაიჭრას, თუ ყურადღებას მივაქცევთ არა უსასრულო რაოდენობის ხარვეზებს, რომლებიც აქილევსმა უნდა გადალახოს, არამედ ნაბიჯების სასრულ რაოდენობას, რომელსაც მორბენალი სჭირდება მიზნის მისაღწევად. მათემატიკა არის რაადამიანები აკონტროლებენ ბუნებას და საკუთარ თავს. საბჭოთა მათემატიკოსი, აკადემიკოსი ა.ნ. კოლმოგოროვი
გეომეტრიული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანებთან ერთად, მათემატიკაში მისაღები გამოცდებში ხშირია გეომეტრიული პროგრესიის ცნებასთან დაკავშირებული პრობლემებიც. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ გეომეტრიული პროგრესიების თვისებები და გქონდეთ მათი გამოყენების კარგი უნარები. ეს სტატია ეძღვნება გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებების პრეზენტაციას. აქ ასევე მოცემულია ტიპიური პრობლემების გადაჭრის მაგალითები.,
მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ამოცანებიდან ნასესხები. ჯერ აღვნიშნოთ გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და გავიხსენოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები და განცხადებები,
დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან. განმარტება.რიცხვთა თანმიმდევრობას ეწოდება გეომეტრიული პროგრესია, თუ ყოველი რიცხვი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინა, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი. გეომეტრიული პროგრესირებისთვისფორმულები მოქმედებს ,
(1)
სად . ფორმულა (1) ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) წარმოადგენს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას: პროგრესიის თითოეული წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი ტერმინების გეომეტრიულ საშუალოს და . შენიშვნა, რომ სწორედ ამ თვისების გამო განსახილველ პროგრესიას ეწოდება „გეომეტრიული“. ზემოთ მოყვანილი ფორმულები (1) და (2) განზოგადებულია შემდეგნაირად: ,
(3)
თანხის გამოსათვლელადპირველი გეომეტრიული პროგრესიის წევრებიფორმულა გამოიყენება თუ აღვნიშნავთ, მაშინ სად . ვინაიდან ფორმულა (6) არის (5) ფორმულის განზოგადება. იმ შემთხვევაში, როცა და გეომეტრიული პროგრესიაუსასრულოდ მცირდება. თანხის გამოსათვლელადუსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა ტერმინიდან გამოიყენება ფორმულა . (7)
მაგალითად, ფორმულის გამოყენებით (7) შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რა სად . ეს ტოლობები მიიღება ფორმულიდან (7) იმ პირობით, რომ , (პირველი თანასწორობა) და , (მეორე ტოლობა). თეორემა.თუ, მაშინ მტკიცებულება. თუ, მაშინ თეორემა დადასტურდა. მოდით გადავიდეთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითების განხილვაზე თემაზე "გეომეტრიული პროგრესია". მაგალითი 1.მოცემული: , და . იპოვე . გამოსავალი.თუ გამოვიყენებთ ფორმულას (5), მაშინ პასუხი:. მაგალითი 2.დაე იყოს. იპოვე . გამოსავალი.ვინაიდან და , ვიყენებთ ფორმულებს (5), (6) და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას თუ სისტემის მეორე განტოლება (9) იყოფა პირველზე, მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს, რომ . განვიხილოთ ორი შემთხვევა. 1. თუ, მაშინ (9) სისტემის პირველი განტოლებიდან გვაქვს.
2. თუ , მაშინ . მაგალითი 3.დაე , და . იპოვე . გამოსავალი.(2) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ან . მას შემდეგ ან . პირობის მიხედვით. თუმცა, ამიტომ. მას შემდეგ, რაც და მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა თუ სისტემის მეორე განტოლება იყოფა პირველზე, მაშინ ან . ვინაიდან, განტოლებას აქვს უნიკალური შესაფერისი ფესვი. ამ შემთხვევაში, ეს გამომდინარეობს სისტემის პირველი განტოლებიდან. ფორმულის (7) გათვალისწინებით, ვიღებთ. პასუხი:. მაგალითი 4.მოცემული: და . იპოვე . გამოსავალი.მას შემდეგ. მას შემდეგ ან ფორმულის მიხედვით (2) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, თანასწორობიდან (10) ვიღებთ ან . თუმცა, პირობით, ამიტომ. მაგალითი 5.ცნობილია, რომ. იპოვე . გამოსავალი. თეორემის მიხედვით გვაქვს ორი ტოლობა მას შემდეგ ან . იმიტომ რომ, მაშინ. პასუხი:. მაგალითი 6.მოცემული: და . იპოვე . გამოსავალი.ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ მას შემდეგ. მას შემდეგ, რაც და, მაშინ. მაგალითი 7.დაე იყოს. იპოვე . გამოსავალი.(1) ფორმულის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ ამიტომ გვაქვს ან . ცნობილია რომ და , ამიტომ და . პასუხი:. მაგალითი 8.იპოვეთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ და . გამოსავალი.
ფორმულიდან (7) გამომდინარეობსდა . აქედან და პრობლემის პირობებიდან ვიღებთ განტოლებათა სისტემას თუ სისტემის პირველი განტოლება კვადრატია,
და შემდეგ გაყავით მიღებული განტოლება მეორე განტოლებაზე, შემდეგ მივიღებთ ან . პასუხი:. მაგალითი 9.იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც თანმიმდევრობა, , არის გეომეტრიული პროგრესია. გამოსავალი.დაე , და . ფორმულის მიხედვით (2), რომელიც განსაზღვრავს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას, შეგვიძლია დავწეროთ ან . აქედან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას,
რომლის ფესვებიადა . შევამოწმოთ: თუ, შემდეგ და ; თუ , მაშინ და .პირველ შემთხვევაში გვაქვს და , და მეორეში – და . პასუხი: ,.მაგალითი 10. ,
(11)
ამოხსენით განტოლება სად და. ფორმულიდან (7) გამომდინარეობს, რა გამოსავალი. განტოლების (11) მარცხენა მხარე არის უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომელშიც და , ექვემდებარება: და .. ამასთან დაკავშირებით, განტოლება (11) იღებს ფორმას ან . შესაფერისი ფესვი პასუხი:. კვადრატული განტოლება არისმაგალითი 11. პდადებითი რიცხვების თანმიმდევრობააყალიბებს არითმეტიკულ პროგრესიას , ა- გეომეტრიული პროგრესია გამოსავალი.იმიტომ რომ , და აქ. იპოვე .არითმეტიკული თანმიმდევრობა , ეს(არითმეტიკული პროგრესიის მთავარი თვისება). მას შემდეგ, რაც , მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს,რომ გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს ფორმა. ფორმულის მიხედვით (2) , მაშინ ჩვენ ჩავწერთ ამას. მას შემდეგ და მერე. ამ შემთხვევაში გამოთქმა იღებს ფორმას ან. პირობის მიხედვით,ასე რომ, განტოლებიდანჩვენ ვიღებთ განსახილველი პრობლემის უნიკალურ გადაწყვეტას პასუხი:. , ე.ი. .მაგალითი 12. .
(12)
გამოსავალი.
ჯამის გამოთვლა გაამრავლეთ ტოლობის ორივე მხარე (12) 5-ზე და მიიღეთარითმეტიკული თანმიმდევრობა თუ გამოვაკლებთ (12) გამოსახულებას ან . პასუხი:. გამოსათვლელად, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ფორმულაში (7) და ვიღებთ . მას შემდეგ.,
აქ მოცემული პრობლემის გადაჭრის მაგალითები გამოადგებათ აპლიკანტებს მისაღები გამოცდებისთვის მომზადებისას. პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის,
დაკავშირებულია გეომეტრიულ პროგრესირებასთან შეგიძლიათ გამოიყენოთ გაკვეთილები რეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან. 1. მათემატიკაში ამოცანების კრებული კოლეჯების მსურველთათვის / რედ. მ.ი. სკანავი. – მ.: მირი და განათლება, 2013. – 608გვ. 2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: სასკოლო სასწავლო გეგმის დამატებითი განყოფილებები. – M.: Lenand / URSS , 2014. – 216გვ. 3. მედინსკი მ.მ. ელემენტარული მათემატიკის სრული კურსი ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი , 2015. – 208გვ. დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით. ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.
პროგრესის პირველი ტერმინის პოვნის ამოცანა
ზენონის ცნობილი პარადოქსი სწრაფ აქილევსთან და ნელი კუსთან
