ფაქტორიზაციის ფორმები. კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია. რას ნიშნავს რიცხვის გამრავლება პირველ ფაქტორებად

განტოლების ფაქტორინგი არის ტერმინების ან გამონათქვამების პოვნის პროცესი, რომლებიც გამრავლებისას მიგვიყვანს საწყის განტოლებამდე. ფაქტორინგი არის სასარგებლო უნარი ძირითადი ალგებრული ამოცანების გადასაჭრელად და ხდება პრაქტიკული აუცილებლობა კვადრატულ განტოლებებთან და სხვა მრავალწევრებთან მუშაობისას. ფაქტორინგი გამოიყენება ალგებრული განტოლებების გასამარტივებლად მათი ამოხსნის გასაადვილებლად. ფაქტორინგი დაგეხმარებათ გამორიცხოთ გარკვეული შესაძლო პასუხები უფრო სწრაფად, ვიდრე თქვენ შეგიძლიათ განტოლების ხელით ამოხსნით.

ნაბიჯები

რიცხვებისა და ძირითადი ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორიზაცია

1. რიცხვების ფაქტორიზაცია.ფაქტორინგის კონცეფცია მარტივია, მაგრამ პრაქტიკაში ფაქტორინგი შეიძლება იყოს სახიფათო (რთული განტოლების გათვალისწინებით). მაშ ასე, დავიწყოთ ფაქტორირების კონცეფციით რიცხვების მაგალითის გამოყენებით, გავაგრძელოთ მარტივი განტოლებები და შემდეგ გადავიდეთ რთულ განტოლებაზე. მოცემული რიცხვის ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, 12 რიცხვის ფაქტორებია რიცხვები: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ვინაიდან 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ რიცხვის ფაქტორები, როგორც მისი გამყოფები, ანუ ის რიცხვები, რომლებზეც მოცემული რიცხვი იყოფა.
   • იპოვეთ რიცხვი 60-ის ყველა ფაქტორი. ჩვენ ხშირად ვიყენებთ რიცხვს 60 (მაგალითად, საათში 60 წუთი, წუთში 60 წამი და ა.შ.) და ამ რიცხვს აქვს საკმაოდ დიდი რაოდენობის ფაქტორები.
     • 60 მამრავლი: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 და 60.

2. გახსოვდეთ:კოეფიციენტის (რიცხვის) და ცვლადის შემცველი გამოხატვის ტერმინები ასევე შეიძლება ფაქტორირებული იყოს. ამისათვის იპოვეთ კოეფიციენტის მამრავლები ცვლადზე. იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა მოხდეს განტოლების ტერმინების ფაქტორიზირება, შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ ეს განტოლება.

   • მაგალითად, ტერმინი 12x შეიძლება დაიწეროს 12-ისა და x-ის ნამრავლად. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაწეროთ 12x, როგორც 3(4x), 2(6x) და ა.შ. 12-ის ფაქტორებით, რომლებიც საუკეთესოდ მუშაობს თქვენთვის.
     • შეგიძლიათ ზედიზედ რამდენჯერმე დაალაგოთ 12x. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ არ უნდა გაჩერდეთ 3(4x) ან 2(6x); გააგრძელეთ გაფართოება: 3(2(2x)) ან 2(3(2x)) (ცხადია, 3(4x)=3(2(2x)) და ა.შ.)

3. გამოიყენეთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება ალგებრული განტოლებების ფაქტორიზაციისთვის.იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა მოხდეს გამოსახულებების რიცხვებისა და ტერმინების ფაქტორიზაცია (კოეფიციენტები ცვლადებით), შეგიძლიათ გაამარტივოთ მარტივი ალგებრული განტოლებები რიცხვის საერთო კოეფიციენტისა და გამონათქვამის ტერმინის მოძიებით. ჩვეულებრივ, განტოლების გასამარტივებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd). ასეთი გამარტივება შესაძლებელია გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამო: ნებისმიერი a, b, c რიცხვისთვის მართებულია ტოლობა a (b + c) = ab + ac.

   • მაგალითი. შეადარეთ განტოლება 12x + 6. პირველ რიგში, იპოვეთ 12x და 6-ის gcd. 6 არის უდიდესი რიცხვი, რომელიც ყოფს 12x-ს და 6-ს, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ ეს განტოლება დაანაწილოთ: 6(2x+1).
   • ეს პროცესი ასევე ეხება განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ უარყოფითი და წილადი წევრები. მაგალითად, x/2+4 შეიძლება დაიშალოს 1/2(x+8); მაგალითად, -7x+(-21) შეიძლება დაიშალოს -7(x+3-ად).

   კვადრატული განტოლებების ფაქტორიზაცია

   1. დარწმუნდით, რომ განტოლება არის კვადრატული ფორმით (ax 2 + bx + c = 0).კვადრატული განტოლებებია: ax 2 + bx + c = 0, სადაც a, b, c არის რიცხვითი კოეფიციენტები, გარდა 0. თუ თქვენ გეძლევათ განტოლება ერთი ცვლადით (x) და ამ განტოლებას აქვს ერთი ან მეტი წევრი მეორე რიგით. ცვლადი, შეგიძლიათ განტოლების ყველა პირობა გადაიტანოთ განტოლების ერთ მხარეს და გაუტოლოთ ნულს.

      • მაგალითად, მოცემული განტოლება: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. ის შეიძლება გარდაიქმნას განტოლებაში x 2 + 6x + 9 = 0, რომელიც არის კვადრატული განტოლება.
      • განტოლებები დიდი რიგის x ცვლადით, მაგალითად, x 3, x 4 და ა.შ. არ არის კვადრატული განტოლებები. ეს არის კუბური განტოლებები, მეოთხე რიგის განტოლებები და ასე შემდეგ (მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ასეთი განტოლებები არ შეიძლება გამარტივდეს კვადრატულ განტოლებამდე x ცვლადი 2-ის ხარისხზე).

   2. კვადრატული განტოლებები, სადაც a \u003d 1, იშლება (x + d) (x + e), სადაც d * e \u003d c და d + e \u003d b.თუ თქვენ მოწოდებულ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა: x 2 + bx + c \u003d 0 (ანუ x 2-ზე კოეფიციენტი უდრის 1-ს), მაშინ ასეთი განტოლება შეიძლება (მაგრამ არა გარანტირებული) დაიშალოს ზემოაღნიშნულში. ფაქტორები. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ ორი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ "c", ხოლო მიმატებისას - "b". როგორც კი იპოვით ამ ორ რიცხვს (d და e), ჩაანაცვლეთ ისინი შემდეგი გამოსახულებით: (x+d)(x+e), რომელიც ფრჩხილების გახსნისას მივყავართ თავდაპირველ განტოლებამდე.

      • მაგალითად, მოცემული კვადრატული განტოლება x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 და 3+2=5, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გააფართოვოთ განტოლება (x+3)(x+2).
      • უარყოფითი პირობებისთვის, შეიტანეთ შემდეგი მცირე ცვლილებები ფაქტორიზაციის პროცესში:
        • თუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 -bx + c, მაშინ ის იშლება: (x-_) (x-_).
        • თუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 -bx-c, მაშინ ის იშლება: (x + _) (x-_).
      • შენიშვნა: სივრცეები შეიძლება შეიცვალოს წილადებით ან ათწილადებით. მაგალითად, განტოლება x 2 + (21/2)x + 5 = 0 იშლება (x + 10) (x + 1/2).

   3. ფაქტორიზაცია საცდელი და შეცდომით.მარტივი კვადრატული განტოლებები შეიძლება ფაქტორირებული იყოს რიცხვების შესაძლო ამონახსნებით ჩანაცვლებით, სანამ არ იპოვით სწორ ამონახსნებს. თუ განტოლებას აქვს ფორმა ax 2 +bx+c, სადაც a>1, შესაძლო ამონახსნები იწერება როგორც (dx +/- _)(ex +/- _), სადაც d და e არის რიცხვითი კოეფიციენტები ნულის გარდა, რომელიც გამრავლებისას იძლევა ა. ან d ან e (ან ორივე კოეფიციენტი) შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი. თუ ორივე კოეფიციენტი უდრის 1-ს, მაშინ გამოიყენეთ ზემოთ აღწერილი მეთოდი.

      • მაგალითად, მოცემული განტოლების 3x 2 - 8x + 4. აქ 3-ს აქვს მხოლოდ ორი ფაქტორი (3 და 1), ამიტომ შესაძლო ამონახსნები იწერება როგორც (3x +/- _)(x +/- _). ამ შემთხვევაში, -2-ის ინტერვალით, იპოვით სწორ პასუხს: -2*3x=-6x და -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x და -2*-2=4, ანუ ასეთი გაფართოება ფრჩხილების გახსნისას გამოიწვევს საწყისი განტოლების ტერმინებს.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არასანქცირებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

განვიხილოთ, კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით, როგორ გავამრავლოთ მრავალწევრი.

ჩვენ გავაფართოვებთ მრავალწევრებს შესაბამისად.

ფაქტორინგული პოლინომები:

შეამოწმეთ არის თუ არა საერთო ფაქტორი. დიახ, ის უდრის 7cd-ს. ამოვიღოთ ფრჩხილებიდან:

ფრჩხილებში გამოთქმა შედგება ორი ტერმინისგან. აღარ არსებობს საერთო ფაქტორი, გამოთქმა არ არის ფორმულა კუბების ჯამისთვის, რაც ნიშნავს, რომ დაშლა დასრულებულია.

შეამოწმეთ არის თუ არა საერთო ფაქტორი. არა. პოლინომი შედგება სამი წევრისაგან, ამიტომ ვამოწმებთ არის თუ არა სრული კვადრატული ფორმულა. ორი წევრი არის გამონათქვამების კვადრატები: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², მესამე წევრი ტოლია ამ გამონათქვამების ნამრავლის ორჯერ: 2∙5x∙3y=30xy. ასე რომ, ეს მრავალწევრი არის სრულყოფილი კვადრატი. ვინაიდან ორმაგი პროდუქტი არის მინუს ნიშნით, ეს არის:

ჩვენ ვამოწმებთ, შესაძლებელია თუ არა საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება. არსებობს საერთო ფაქტორი, ის უდრის a. ამოვიღოთ ფრჩხილებიდან:

ფრჩხილებში ორი ტერმინია. ვამოწმებთ არის თუ არა კვადრატების სხვაობის ფორმულა თუ კუბების სხვაობის. a² არის a-ს კვადრატი, 1=1². ასე რომ, ფრჩხილებში გამოსახვა შეიძლება დაიწეროს კვადრატების ფორმულის სხვაობის მიხედვით:

არის საერთო ფაქტორი, ის უდრის 5-ს. ამოვიღებთ ფრჩხილებიდან:

ფრჩხილებში არის სამი ტერმინი. შეამოწმეთ არის თუ არა გამოთქმა სრულყოფილი კვადრატი. ორი წევრი კვადრატია: 16=4² და a² არის a-ს კვადრატი, მესამე წევრი უდრის 4-ის ნამრავლის ორჯერ და a: 2∙4∙a=8a. ამიტომ, ეს არის სრულყოფილი მოედანი. ვინაიდან ყველა ტერმინი არის "+" ნიშნით, ფრჩხილებში გამოსახული არის ჯამის სრული კვადრატი:

საერთო ფაქტორი -2x ამოღებულია ფრჩხილებიდან:

ფრჩხილებში არის ორი წევრის ჯამი. ვამოწმებთ, არის თუ არა მოცემული გამოხატულება კუბების ჯამი. 64=4³, x³-კუბი x. ასე რომ, ბინომი შეიძლება გაფართოვდეს ფორმულის მიხედვით:

არსებობს საერთო ფაქტორი. მაგრამ, რადგან მრავალწევრი შედგება 4 წევრისაგან, ჯერ და მხოლოდ ამის შემდეგ ამოვიღებთ საერთო ფაქტორს ფრჩხილებიდან. პირველ ტერმინს ვაჯგუფებთ მეოთხეს, მეორეში - მესამეს:

პირველი ფრჩხილებიდან ვიღებთ საერთო ფაქტორს 4a, მეორედან - 8b:

ჯერ არ არსებობს საერთო მულტიპლიკატორი. მის მისაღებად, მეორე ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ ფრჩხილებს "-", ხოლო ფრჩხილებში თითოეული ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ:

ახლა ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს (1-3a) ფრჩხილებიდან:

მეორე ფრჩხილებში არის საერთო ფაქტორი 4 (ეს არის იგივე ფაქტორი, რომელიც ჩვენ არ ამოვიღეთ ფრჩხილებიდან მაგალითის დასაწყისში):

ვინაიდან პოლინომი შედგება ოთხი წევრისაგან, ჩვენ ვასრულებთ დაჯგუფებას. პირველ ტერმინს ვაჯგუფებთ მეორესთან, მესამეს მეოთხესთან:

პირველ ფრჩხილებში არ არის საერთო კოეფიციენტი, მაგრამ არსებობს კვადრატების სხვაობის ფორმულა, მეორე ფრჩხილებში საერთო კოეფიციენტია -5:

გაჩნდა საერთო ფაქტორი (4მ-3ნ). ამოვიღოთ ფრჩხილებიდან.

რა უნდა გააკეთოთ, თუ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან პრობლემის გადაჭრის პროცესში ან მათემატიკაში მისაღებ გამოცდაზე მიიღეთ პოლინომი, რომელიც არ შეიძლება იყოს ფაქტორირებული იმ სტანდარტული მეთოდებით, რომლებიც სკოლაში ისწავლეთ? ამ სტატიაში მათემატიკის დამრიგებელი ისაუბრებს ერთ ეფექტურ გზაზე, რომლის შესწავლა სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებს სცილდება, მაგრამ პოლინომის ფაქტორირება რთული არ იქნება. წაიკითხეთ ეს სტატია ბოლომდე და ნახეთ თანდართული ვიდეო გაკვეთილი. მიღებული ცოდნა დაგეხმარებათ გამოცდაში.

მრავალწევრის ფაქტორირება გაყოფის მეთოდით

იმ შემთხვევაში, თუ თქვენ მიიღეთ მეორე ხარისხზე მეტი მრავალწევრი და შეძლეთ გამოიცნოთ ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ეს მრავალწევრი ხდება ნულის ტოლი (მაგალითად, ეს მნიშვნელობა უდრის), იცოდეთ! ეს მრავალწევრი ნარჩენების გარეშე შეიძლება დაიყოს .

მაგალითად, ადვილი მისახვედრია, რომ მეოთხე ხარისხის პოლინომი ქრება ზე. ეს ნიშნავს, რომ ის შეიძლება დაიყოს ნაშთის გარეშე, რითაც მიიღება მესამე ხარისხის პოლინომი (ერთზე ნაკლები). ანუ ჩასვით ფორმაში:

სად ა, ბ, Cდა დ- რამდენიმე რიცხვი. მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

ვინაიდან ერთნაირი სიმძლავრის კოეფიციენტები უნდა იყოს იგივე, მივიღებთ:

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ:

Განაგრძე. საკმარისია რამდენიმე პატარა მთელი რიცხვის დალაგება, რომ დავინახოთ, რომ მესამე ხარისხის მრავალწევრი ისევ იყოფა . ეს იწვევს მეორე ხარისხის პოლინომს (ერთზე ნაკლები). შემდეგ გადავდივართ ახალ ჩანაწერზე:

სად ე, ფდა გ- რამდენიმე რიცხვი. ფრჩხილების ხელახლა გახსნით, მივდივართ შემდეგ გამოთქმამდე:

ისევ, იმავე სიმძლავრის კოეფიციენტების ტოლობის პირობიდან ვიღებთ:

შემდეგ მივიღებთ:

ანუ, თავდაპირველი პოლინომი შეიძლება ფაქტორირებული იყოს შემდეგნაირად:

პრინციპში, თუ სასურველია, კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით, შედეგი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმით:

აქ არის ასეთი მარტივი და ეფექტური გზა მრავალწევრების ფაქტორიზაციისთვის. დაიმახსოვრე, ეს შეიძლება გამოადგეს გამოცდას ან მათემატიკის ოლიმპიადას. შეამოწმეთ, ისწავლეთ თუ არა ამ მეთოდის გამოყენება. შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ შემდეგი პრობლემა.

მრავალწევრის ფაქტორიზაცია:

დაწერეთ თქვენი პასუხები კომენტარებში.

მოამზადა სერგეი ვალერიევიჩმა

ჩვენ უკვე ვიცით, თუ როგორ გამოვიყენოთ ხარისხთა სხვაობის ფაქტორიზაცია ნაწილობრივ - თემის „კვადრატების განსხვავება“ და „კუბების განსხვავება“ შესწავლისას ვისწავლეთ გამოსახულებების განსხვავების წარმოდგენა პროდუქტად, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კვადრატებად ან როგორც ზოგიერთი გამონათქვამის ან რიცხვის კუბურები.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების მიხედვით:

კვადრატების სხვაობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი რიცხვის ან გამონათქვამის სხვაობის ნამრავლი მათი ჯამით

კუბების სხვაობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი რიცხვის სხვაობის ნამრავლი ჯამის არასრული კვადრატით

გადასვლა გამონათქვამების განსხვავებაზე 4 ძალაში

კვადრატების ფორმულის განსხვავების საფუძველზე, ვცადოთ გამონათქვამის ფაქტორიზაცია $a^4-b^4$

გავიხსენოთ, როგორ იზრდება სიმძლავრე ხარისხამდე - ამისათვის საფუძველი იგივე რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება, ანუ $((a^n))^m=a^(n*m)$

მაშინ შეგიძლია წარმოიდგინო:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((ბ)^2))^2$

ასე რომ, ჩვენი გამოხატულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს $a^4-b^4=((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$

ახლა პირველ ფრჩხილში ჩვენ კვლავ მივიღეთ რიცხვების სხვაობა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია კვლავ გავამრავლოთ, როგორც ორი რიცხვის ან გამოსახულებების სხვაობის ნამრავლი მათი ჯამით: $a^2-b^2=\left(a-b\right) (ა+ბ)$.

ახლა ვიანგარიშებთ მეორე და მესამე ფრჩხილების ნამრავლს მრავალწევრების ნამრავლის წესის გამოყენებით - ვამრავლებთ პირველი მრავალწევრის თითოეულ წევრს მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე და ვამატებთ შედეგს. ამისათვის ჯერ პირველი მრავალწევრის - $a$-ის პირველ წევრს ვამრავლებთ მეორის პირველ და მეორე წევრებზე ($a^2$ და $b^2$-ზე), ე.ი. მივიღებთ $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, შემდეგ ვამრავლებთ პირველი მრავალწევრის მეორე წევრს -$b$- მეორე მრავალწევრის პირველ და მეორე წევრებზე ($a^2$-ზე და $b^2$), ისინი. მიიღეთ $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ და შეაჯამეთ მიღებული გამონათქვამები

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

ჩვენ ვწერთ მე-4 ხარისხის მონომების განსხვავებას გამოთვლილი პროდუქტის გათვალისწინებით:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((ბ)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \მარცხნივ(a-b\მარჯვნივ)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

მე-6 ხარისხში გამოთქმათა სხვაობაზე გადასვლა

კვადრატების ფორმულის განსხვავებიდან გამომდინარე, ვცადოთ გამონათქვამის ფაქტორიზაცია $a^6-b^6$

გავიხსენოთ, როგორ იზრდება სიმძლავრე ხარისხამდე - ამისათვის საფუძველი იგივე რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება, ანუ $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

მაშინ შეგიძლია წარმოიდგინო:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((ბ)^3))^2$

ასე რომ, ჩვენი გამოხატულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$

პირველ ფრჩხილში მივიღეთ მონომების კუბების სხვაობა, მეორეში - მონომების კუბების ჯამი, ახლა შეგვიძლია კვლავ გავამრავლოთ მონომების კუბების სხვაობა, როგორც ორი რიცხვის სხვაობის ნამრავლი ჯამის არასრული კვადრატით. $a^3-b^3=\მარცხნივ(a-b\მარჯვნივ)(a^2+ab+b^2)$

ორიგინალური გამოხატულება იღებს ფორმას

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

მეორე და მესამე ფრჩხილების ნამრავლს ვიანგარიშებთ მრავალწევრების ნამრავლის წესის გამოყენებით - ვამრავლებთ პირველი მრავალწევრის თითოეულ წევრს მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე და ვამატებთ შედეგს.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

ჩვენ ვწერთ მე-6 ხარისხის მონომების განსხვავებას გამოთვლილი პროდუქტის გათვალისწინებით:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

სიმძლავრის სხვაობის ფაქტორირება

მოდით გავაანალიზოთ კუბურების სხვაობის ფორმულები, სხვაობა $4$ გრადუსი, სხვაობა $6$ გრადუსი

ჩვენ ვხედავთ, რომ თითოეულ ამ გაფართოებაში არის გარკვეული ანალოგია, რომლის განზოგადებაც მივიღებთ:

მაგალითი 1

ფაქტორიზაცია $(32x)^(10)-(243y)^(15)$

გამოსავალი:პირველ რიგში, ჩვენ წარმოვადგენთ თითოეულ მონომს, როგორც 5-ის ხარისხზე მყოფი მონომი:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

ჩვენ ვიყენებთ სიმძლავრის განსხვავების ფორმულას

სურათი 1.