რა არის ლოგარითმი? ლოგარითმების ამოხსნა. მაგალითები. ლოგარითმების თვისებები. ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობა. პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება
ალგებრა მე-11 კლასი
თემა: „ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები“
გაკვეთილის მიზნები:
საგანმანათლებლო: ცოდნის ფორმირება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა გზების შესახებ, თითოეულ კონკრეტულ სიტუაციაში მათი გამოყენებისა და ამოხსნის ნებისმიერი მეთოდის არჩევის უნარი;
განვითარება: დაკვირვების, შედარების, ახალ სიტუაციაში ცოდნის გამოყენების, ნიმუშების ამოცნობის, განზოგადების უნარების გამომუშავება; ურთიერთკონტროლისა და თვითკონტროლის უნარების გამომუშავება;
საგანმანათლებლო: საგანმანათლებლო სამუშაოსადმი პასუხისმგებელი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება, გაკვეთილზე მასალის ყურადღებიანი აღქმა და ფრთხილად შენიშვნების აღება.
გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი ახალი მასალის გაცნობის შესახებ.
”ლოგარითმების გამოგონებამ, ასტრონომის მუშაობის შემცირებისას, გაახანგრძლივა მისი სიცოცხლე.”
ფრანგი მათემატიკოსი და ასტრონომი P.S. ლაპლასი
გაკვეთილის პროგრესი
I. გაკვეთილის მიზნის დასახვა
ლოგარითმის შესწავლილი განმარტება, ლოგარითმების თვისებები და ლოგარითმული ფუნქცია მოგვცემს ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის საშუალებას. ყველა ლოგარითმული განტოლება, რაც არ უნდა რთული იყოს, წყდება ერთიანი ალგორითმების გამოყენებით. ამ ალგორითმებს განვიხილავთ დღევანდელ გაკვეთილზე. ბევრი მათგანი არ არის. თუ მათ დაეუფლებით, მაშინ ლოგარითმებთან ნებისმიერი განტოლება შესაძლებელი იქნება თითოეული თქვენგანისთვის.
ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა ბლოკნოტში: „ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები“. ყველას ვიწვევ თანამშრომლობისთვის.
II. საცნობარო ცოდნის განახლება
მოვემზადოთ გაკვეთილის თემის შესასწავლად. თქვენ ამოხსნით თითოეულ დავალებას და ჩაწერეთ პასუხი თქვენ არ უნდა დაწეროთ პირობა. მუშაობა წყვილებში.
1) x-ის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს ფუნქციას აზრი:
(პასუხები მოწმდება თითოეულ სლაიდზე და დალაგებულია შეცდომები)
2) ემთხვევა თუ არა ფუნქციების გრაფიკები?
3) გადაწერეთ ტოლობები, როგორც ლოგარითმული ტოლობები:
4) დაწერეთ რიცხვები ლოგარითმების სახით 2 ფუძით:
5) გამოთვალეთ:
6) შეეცადეთ აღადგინოთ ან შეავსოთ დაკარგული ელემენტები ამ თანასწორობებში.
III. ახალი მასალის გაცნობა
შემდეგი განცხადება ნაჩვენებია ეკრანზე:
"განტოლება არის ოქროს გასაღები, რომელიც ხსნის ყველა მათემატიკურ სეზამს."
თანამედროვე პოლონელი მათემატიკოსი ს.კოვალი
შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ ლოგარითმული განტოლების განმარტება. (განტოლება, რომელიც შეიცავს უცნობს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ).
განვიხილოთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება:ჟურნალიაx = b(სადაც a>0, a ≠ 1). ვინაიდან ლოგარითმული ფუნქცია იზრდება (ან მცირდება) დადებითი რიცხვების სიმრავლეზე და იღებს ყველა რეალურ მნიშვნელობას, მაშინ ფესვის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი b-სთვის ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი და დადებითი.
დაიმახსოვრე ლოგარითმის განმარტება. (X რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ინდიკატორი იმ სიმძლავრისა, რომლითაც უნდა გაიზარდოს a ფუძე x რიცხვის მისაღებად). ლოგარითმის განმარტებიდან მაშინვე გამომდინარეობს, რომ ავარის ასეთი გამოსავალი.
დაწერე სათაური: ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები
1. ლოგარითმის განმარტებით.
ასე იხსნება ფორმის უმარტივესი განტოლებები.
განვიხილოთ No514(a)): ამოხსენი განტოლება
როგორ სთავაზობთ მის მოგვარებას? (ლოგარითმის განმარტებით)
გამოსავალი. , აქედან გამომდინარე 2x - 4 = 4; x = 4.
ამ ამოცანაში, 2x - 4 > 0, რადგან > 0, ასე რომ არ შეიძლება გამოჩნდეს ზედმეტი ფესვები და არ არის საჭირო შემოწმება. ამ ამოცანაში არ არის საჭირო პირობის 2x - 4 > 0 ჩაწერა.
2. პოტენიზაცია(მოცემული გამოთქმის ლოგარითმიდან გადასვლა თავად ამ გამოთქმაზე).
განვიხილოთ No. 519 (გ): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
რა თვისება შენიშნე? (ფუძეები ერთნაირია და ორი გამონათქვამის ლოგარითმები ტოლია.) რა შეიძლება გაკეთდეს? (გაძლიერება).
გასათვალისწინებელია, რომ ნებისმიერი ამონახსნი შეიცავს ყველა x-ს, რომლის ლოგარითმული გამოსახულებები დადებითია.
გამოსავალი: ODZ:
X2+8>0 არის არასაჭირო უტოლობა
log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)= log5 (8 x+8)
მოდით გავაძლიეროთ საწყისი განტოლება
ვიღებთ განტოლებას x2+8= 8x+8
მოვაგვაროთ: x2-8x=0
პასუხი: 0; 8
ზოგადად ეკვივალენტურ სისტემაზე გადასვლა:
განტოლება
(სისტემა შეიცავს ზედმეტ პირობას - ერთ-ერთი უტოლობის განხილვა საჭირო არ არის).
კითხვა კლასისთვის: ამ სამი გამოსავალიდან რომელი მოგეწონათ ყველაზე მეტად? (მეთოდების განხილვა).
თქვენ გაქვთ უფლება გადაწყვიტოთ ნებისმიერი გზით.
3. ახალი ცვლადის დანერგვა.
განვიხილოთ No. 520 (გ). .
რა შეამჩნიე? (ეს არის კვადრატული განტოლება log3x-ის მიმართ) რაიმე შემოთავაზება? (დანერგეთ ახალი ცვლადი)
გამოსავალი. ODZ: x > 0.
მოდით, მაშინ განტოლება იღებს ფორმას:. დისკრიმინანტი D > 0. ფესვები ვიეტას თეორემის მიხედვით:.
დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას: ან.
უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის შემდეგ მივიღებთ:
პასუხი: 27;
4. განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი.
ამოხსენით განტოლება:.
ამოხსნა: ODZ: x>0, აიღეთ განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი 10 საფუძველში:
გამოვიყენოთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისება:
(logx + 3) logx = 4
მოდით logx = y, შემდეგ (y + 3)y = 4
, (D > 0) ფესვები ვიეტას თეორემის მიხედვით: y1 = -4 და y2 = 1.
დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას, მივიღებთ: lgx = -4,; lgx = 1, .
პასუხი: 0.0001; 10.
5. შემცირება ერთ ბაზაზე.
No523(c). ამოხსენით განტოლება:
ამოხსნა: ODZ: x>0. გადავიდეთ მე-3 ბაზაზე.
6. ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი.
№ 509 (დ).ამოხსენით განტოლება გრაფიკულად: = 3 - x.
როგორ გვთავაზობ გადაჭრას? (ააგეთ ორი ფუნქციის გრაფიკები y = log2x და y = 3 - x წერტილების გამოყენებით და მოძებნეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისა).
შეხედეთ თქვენს გამოსავალს სლაიდზე.
არსებობს გზა, რათა თავიდან აიცილოთ გრაფიკების გაკეთება . ეს არის შემდეგი : თუ ერთ-ერთი ფუნქცია y = f(x) იზრდება და მეორე y = g(x) მცირდება X ინტერვალზე, შემდეგ განტოლებაზე f(x)= g(x) აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი X ინტერვალზე.
თუ არსებობს ფესვი, მაშინ მისი გამოცნობა შეიძლება.
ჩვენს შემთხვევაში, ფუნქცია იზრდება x>0-ისთვის, ხოლო ფუნქცია y = 3 - x მცირდება x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, მათ შორის x>0-სთვის, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას არ აქვს ერთი ფესვზე მეტი. გაითვალისწინეთ, რომ x = 2-ზე განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში, ვინაიდან .
„მეთოდების სწორი გამოყენება შეიძლება ვისწავლოთ
მხოლოდ მათი გამოყენებით სხვადასხვა მაგალითებზე“.
დანიელი მათემატიკის ისტორიკოსი G.G. Zeiten
მეV. საშინაო დავალება
გვ. 39 განიხილეთ მაგალითი 3, ამოხსენით No. 514(b), No.529(b), No.520(b), No.523(b)
V. გაკვეთილის შეჯამება
ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის რა მეთოდებს განვიხილეთ კლასში?
შემდეგ გაკვეთილებში ჩვენ განვიხილავთ უფრო რთულ განტოლებებს. მათ გადასაჭრელად გამოადგება შესწავლილი მეთოდები.
ბოლო სლაიდი ნაჩვენები:
„რა არის მსოფლიოში ყველაფერზე მეტი?
სივრცე.
რა არის ყველაზე გონივრული?
დრო.
რა არის საუკეთესო ნაწილი?
მიაღწიე იმას, რაც გინდა."
თალესი
ყველას ვუსურვებ მიაღწიოს იმას, რაც სურს. გმადლობთ თანამშრომლობისა და გაგებისთვის.
ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ ძირითად თეორიულ ფაქტებს ლოგარითმების შესახებ და განვიხილავთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნას.
გავიხსენოთ ცენტრალური განმარტება - ლოგარითმის განმარტება. იგი მოიცავს ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნას. ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, მას უწოდებენ b-ის ლოგარითმს a საფუძვლად:
განმარტება:
b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს a ფუძე, რომ მივიღოთ b.
შეგახსენებთ ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა.
გამოთქმა (გამოთქმა 1) არის განტოლების ფესვი (გამოხატვა 2). ჩაანაცვლეთ x მნიშვნელობა 1 გამოსახულებიდან x-ის ნაცვლად გამოსახულებაში 2 და მიიღეთ მთავარი ლოგარითმული იდენტურობა:
ასე რომ, ჩვენ ვხედავთ, რომ თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება მნიშვნელობასთან. b აღვნიშნავთ x(), c-ს y-ით და ამით ვიღებთ ლოგარითმული ფუნქციას:
მაგალითად: 
გავიხსენოთ ლოგარითმული ფუნქციის ძირითადი თვისებები.
აქ კიდევ ერთხელ მივაქციოთ ყურადღება, რადგან ლოგარითმის ქვეშ შეიძლება იყოს მკაცრად დადებითი გამოხატულება, როგორც ლოგარითმის საფუძველი.
ბრინჯი. 1. ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი სხვადასხვა ფუძეებში
ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია შავ ფერში. ბრინჯი. 1. თუ არგუმენტი იზრდება ნულიდან უსასრულობამდე, ფუნქცია იზრდება მინუსიდან პლუს უსასრულობამდე.
ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია წითლად. ბრინჯი. 1.
ამ ფუნქციის თვისებები:
სფერო: ;
მნიშვნელობების დიაპაზონი: ;
ფუნქცია მონოტონურია მთელი მისი განმარტების დომენში. როდესაც მონოტონურად (მკაცრად) იზრდება, არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას. როდესაც მონოტონურად (მკაცრად) მცირდება, არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.
ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები არის სხვადასხვა ლოგარითმული განტოლების ამოხსნის გასაღები.
განვიხილოთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება, როგორც წესი, ამ ფორმამდეა დაყვანილი.
ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები და თავად ლოგარითმები ტოლია, ლოგარითმის ქვეშ მყოფი ფუნქციებიც ტოლია, მაგრამ ჩვენ არ უნდა გამოგვრჩეს განმარტების სფერო. მხოლოდ დადებითი რიცხვი შეიძლება გამოჩნდეს ლოგარითმის ქვეშ, გვაქვს:
ჩვენ გავარკვიეთ, რომ f და g ფუნქციები ტოლია, ამიტომ საკმარისია აირჩიოთ რომელიმე უტოლობა ODZ-ის შესასრულებლად.
ამრიგად, ჩვენ გვაქვს შერეული სისტემა, რომელშიც არის განტოლება და უტოლობა:
როგორც წესი, არ არის საჭირო უტოლობის ამოხსნა, საკმარისია განტოლების ამოხსნა და აღმოჩენილი ფესვების ჩანაცვლება უტოლობაში, რითაც შესრულდება შემოწმება.
მოდით ჩამოვაყალიბოთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდი:
ლოგარითმების საფუძვლების გათანაბრება;
სუბლოგარითმული ფუნქციების გათანაბრება;
შეასრულეთ შემოწმება.
მოდით შევხედოთ კონკრეტულ მაგალითებს.
მაგალითი 1 - ამოხსენით განტოლება:
ლოგარითმების საფუძვლები თავდაპირველად ტოლია, ჩვენ გვაქვს უფლება გავაიგივოთ სუბლოგარითმული გამონათქვამები, არ დაივიწყოთ ODZ, ჩვენ ვირჩევთ პირველ ლოგარითმს უტოლობის შედგენისთვის:
მაგალითი 2 - ამოხსენით განტოლება:
ეს განტოლება განსხვავდება წინაგან იმით, რომ ლოგარითმების საფუძვლები ერთზე ნაკლებია, მაგრამ ეს არანაირად არ იმოქმედებს ამოხსნაზე:
ვიპოვოთ ფესვი და ჩავანაცვლოთ უტოლობით:
ჩვენ მივიღეთ არასწორი უტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ნაპოვნი ფესვი არ აკმაყოფილებს ODZ-ს.
მაგალითი 3 - ამოხსენით განტოლება:
ლოგარითმების საფუძვლები თავდაპირველად ტოლია, ჩვენ გვაქვს უფლება გავაიგივოთ სუბლოგარითმული გამონათქვამები, არ დაივიწყოთ ODZ, ჩვენ ვირჩევთ მეორე ლოგარითმს უტოლობის შესადგენად:
ვიპოვოთ ფესვი და ჩავანაცვლოთ უტოლობით:
ცხადია, მხოლოდ პირველი ფესვი აკმაყოფილებს DD-ს.
ლოგარითმული განტოლებები. ჩვენ ვაგრძელებთ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის B ნაწილის ამოცანების განხილვას. ჩვენ უკვე განვიხილეთ ზოგიერთი განტოლების ამონახსნები სტატიებში "", "". ამ სტატიაში განვიხილავთ ლოგარითმულ განტოლებებს. მე დაუყოვნებლივ ვიტყვი, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე ასეთი განტოლებების ამოხსნისას არ იქნება რთული გარდაქმნები. ისინი მარტივია.
საკმარისია ვიცოდეთ და გავიგოთ ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა, იცოდეთ ლოგარითმის თვისებები. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მისი ამოხსნის შემდეგ, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემოწმება - შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა თავდაპირველ განტოლებაში და გამოთვალეთ, საბოლოოდ თქვენ უნდა მიიღოთ სწორი ტოლობა.
განმარტება:
რიცხვის ლოგარითმი b ფუძემდე არის მაჩვენებლი,რომელზედაც b უნდა გაიზარდოს a-ს მისაღებად.
მაგალითად:
ჟურნალი 3 9 = 2, ვინაიდან 3 2 = 9
ლოგარითმის თვისებები:
ლოგარითმების განსაკუთრებული შემთხვევები:
მოვაგვაროთ პრობლემები. პირველ მაგალითში ჩვენ გავაკეთებთ შემოწმებას. მომავალში, თავად შეამოწმეთ.
იპოვეთ განტოლების ფესვი: log 3 (4–x) = 4
ვინაიდან ჟურნალი b a = x b x = a, მაშინ
3 4 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
გამოცდა:
ჟურნალი 3 (4–(–77)) = 4
ჟურნალი 3 81 = 4
3 4 = 81 სწორია.
პასუხი: - 77
თავად გადაწყვიტე:
იპოვეთ განტოლების ფესვი: log 2 (4 – x) = 7
იპოვეთ განტოლების ჟურნალი 5-ის ფესვი(4 + x) = 2
ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ლოგარითმულ იდენტობას.
ვინაიდან log a b = x b x = a, მაშინ
5 2 = 4 + x
x =5 2 – 4
x = 21
გამოცდა:
ჟურნალი 5 (4 + 21) = 2
ჟურნალი 5 25 = 2
5 2 = 25 სწორია.
პასუხი: 21
იპოვეთ განტოლების ფესვი log 3 (14 – x) = log 3 5.
ხდება შემდეგი თვისება, მისი მნიშვნელობა ასეთია: თუ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს გვაქვს ლოგარითმები ერთი და იგივე ფუძით, მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ გამონათქვამები ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ.
14 – x = 5
x=9
გააკეთე შემოწმება.
პასუხი: 9
თავად გადაწყვიტე:
იპოვეთ განტოლების ფესვი log 5 (5 – x) = log 5 3.
იპოვეთ განტოლების ფესვი: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
თუ log c a = log c b, მაშინ a = b
x + 3 = 4x - 15
3x = 18
x = 6
გააკეთე შემოწმება.
პასუხი: 6
იპოვეთ განტოლების ლოგის ფესვი 1/8 (13 – x) = – 2.
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 – x
x = 13 - 64
x = – 51
გააკეთე შემოწმება.
მცირე დამატება - ქონება აქ გამოიყენება
გრადუსი ().
პასუხი: - 51
თავად გადაწყვიტე:
იპოვეთ განტოლების ფესვი: log 1/7 (7 – x) = – 2
იპოვეთ განტოლების ფესვი log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.
მოდით გარდავქმნათ მარჯვენა მხარე. გამოვიყენოთ ქონება:
log a b m = m∙log a b
ჟურნალი 2 (4 – x) = ჟურნალი 2 5 2
თუ log c a = log c b, მაშინ a = b
4 – x = 5 2
4 – x = 25
x = – 21
გააკეთე შემოწმება.
პასუხი: - 21
თავად გადაწყვიტე:
იპოვეთ განტოლების ფესვი: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
ამოხსენით განტოლება log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
თუ log c a = log c b, მაშინ a = b
x 2 + 4x = x 2 + 11
4x = 11
x = 2.75
გააკეთე შემოწმება.
პასუხი: 2.75
თავად გადაწყვიტე:
იპოვეთ განტოლების ფესვი log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).
ამოხსენით განტოლება log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.
აუცილებელია მივიღოთ ფორმის გამოხატულება განტოლების მარჯვენა მხარეს:
ჟურნალი 2 (......)
ჩვენ წარმოვადგენთ 1, როგორც საბაზისო 2 ლოგარითმი:
1 = ჟურნალი 2 2
log c (ab) = log c a + log c b
ჟურნალი 2 (2 – x) = ჟურნალი 2 (2 – 3x) + ჟურნალი 2 2
ჩვენ ვიღებთ:
ჟურნალი 2 (2 – x) = ჟურნალი 2 2 (2 – 3x)
თუ log c a = log c b, მაშინ a = b, მაშინ
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0.4
გააკეთე შემოწმება.
პასუხი: 0.4
თავად გადაწყვიტე: შემდეგ თქვენ უნდა ამოხსნათ კვადრატული განტოლება. სხვათა შორის,
ფესვები არის 6 და - 4.
ფესვი "-4" არ არის გამოსავალი, რადგან ლოგარითმის საფუძველი უნდა იყოს ნულზე მეტი და– 4" უდრის" – 5". გამოსავალი არის ფესვი 6.გააკეთე შემოწმება.
პასუხი: 6.
რ მიირთვით დამოუკიდებლად:
ამოხსენით განტოლება log x –5 49 = 2. თუ განტოლებას აქვს ერთზე მეტი ფესვი, უპასუხეთ პატარას.
როგორც ხედავთ, არ არის რთული გარდაქმნები ლოგარითმული განტოლებებითარა. საკმარისია იცოდეთ ლოგარითმის თვისებები და შეძლოთ მათი გამოყენება. USE ამოცანებში, რომლებიც დაკავშირებულია ლოგარითმული გამონათქვამების ტრანსფორმაციასთან, უფრო სერიოზული გარდაქმნები ხდება და საჭიროა ამოხსნის უფრო ღრმა უნარები. ჩვენ გადავხედავთ ასეთ მაგალითებს, არ გამოტოვოთ ისინი!წარმატებები შენ!!!
პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.
P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.
რა არის ლოგარითმი?
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით განტოლებები ლოგარითმებით.
ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? ჯარიმა. ახლა, სულ რაღაც 10-20 წუთში თქვენ:
1. გაიგებთ რა არის ლოგარითმი.
2. ისწავლეთ ექსპონენციალური განტოლებების მთელი კლასის ამოხსნა. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არაფერი გსმენიათ.
3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.
უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ხარისხამდე...
ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარება... კარგი, კარგი, მონიშნე დრო! მოდით წავიდეთ!
პირველ რიგში, ამოხსენით ეს განტოლება თქვენს თავში:
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
პრიმიტიული დონის ალგებრის ერთ-ერთი ელემენტია ლოგარითმი. სახელი მომდინარეობს ბერძნული ენიდან სიტყვიდან "რიცხვი" ან "ძალა" და ნიშნავს ძალას, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძის რიცხვი საბოლოო ნომრის მოსაძებნად.
ლოგარითმების სახეები
- log a b – b რიცხვის ლოგარითმი a საფუძვლამდე (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – ათობითი ლოგარითმი (ლოგარითმი 10 ფუძემდე, a = 10);
- ln b – ბუნებრივი ლოგარითმი (ლოგარითმი e ფუძემდე, a = e).
როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?
b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე არის მაჩვენებელი, რომელიც მოითხოვს b-ის ამაღლებას a ფუძემდე. მიღებული შედეგი გამოითქმის ასე: „b-ის ლოგარითმი a-მდე“. ლოგარითმული ამოცანების გამოსავალი არის ის, რომ თქვენ უნდა განსაზღვროთ მოცემული სიმძლავრე რიცხვებში მითითებული რიცხვებიდან. არსებობს რამდენიმე ძირითადი წესი ლოგარითმის დასადგენად ან ამოსახსნელად, ასევე თავად აღნიშვნის გარდაქმნისთვის. მათი გამოყენებით ხდება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, წარმოებულების პოვნა, ინტეგრალების ამოხსნა და მრავალი სხვა ოპერაცია. ძირითადად, თავად ლოგარითმის გამოსავალი არის მისი გამარტივებული აღნიშვნა. ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ფორმულები და თვისებები:
ნებისმიერი ა; a > 0; a ≠ 1 და ნებისმიერი x-ისთვის; y > 0.
- a log a b = b – ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა
- შესვლა a 1 = 0
- ლოგა a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, k ≠ 0-ისთვის
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა
- log a x = 1/log x a
როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები - გადაჭრის ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები
- პირველ რიგში, ჩაწერეთ საჭირო განტოლება.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ საბაზისო ლოგარითმი არის 10, მაშინ ჩანაწერი მცირდება, რის შედეგადაც ხდება ათობითი ლოგარითმი. თუ არსებობს ნატურალური რიცხვი e, მაშინ ჩვენ მას ჩამოვწერთ, ვამცირებთ ბუნებრივ ლოგარითმამდე. ეს ნიშნავს, რომ ყველა ლოგარითმის შედეგი არის სიმძლავრე, რომელზედაც ამაღლებულია საბაზისო რიცხვი b რიცხვის მისაღებად.
პირდაპირ, გამოსავალი მდგომარეობს ამ ხარისხის გამოთვლაში. გამონათქვამის ლოგარითმით ამოხსნამდე ის უნდა გამარტივდეს წესის მიხედვით, ანუ ფორმულების გამოყენებით. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ძირითადი ვინაობა სტატიაში ცოტა უკან დაბრუნებით.
ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლებისას ორი განსხვავებული რიცხვით, მაგრამ ერთი და იგივე ფუძით, შეცვალეთ ერთი ლოგარითმი b და c რიცხვების ნამრავლით ან გაყოფით. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ბაზაზე გადასვლის ფორმულა (იხ. ზემოთ).
თუ იყენებთ გამონათქვამებს ლოგარითმის გასამარტივებლად, გასათვალისწინებელია გარკვეული შეზღუდვები. და ეს არის: a ლოგარითმის საფუძველი მხოლოდ დადებითი რიცხვია, მაგრამ არა ერთის ტოლი. რიცხვი b, ისევე როგორც a, უნდა იყოს ნულზე მეტი.
არის შემთხვევები, როდესაც გამონათქვამის გამარტივებით, თქვენ ვერ შეძლებთ ლოგარითმის რიცხვით გამოთვლას. ეს ხდება, რომ ასეთ გამოთქმას აზრი არ აქვს, რადგან ბევრი ძალა ირაციონალური რიცხვია. ამ პირობით, დატოვეთ რიცხვის სიმძლავრე ლოგარითმად.
