როგორ მოვძებნოთ სეგმენტის კუთვნილი განტოლების ფესვები. მოცემულ ინტერვალზე ფესვების შერჩევის ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და მეთოდების ამოხსნა

ა) ამოხსენით განტოლება: .

ბ) იპოვეთ ამ განტოლების ფესვები, რომლებიც ეკუთვნის ინტერვალს.

პრობლემის გადაწყვეტა

ეს გაკვეთილი აჩვენებს ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის მაგალითს, რომელიც წარმატებით შეიძლება გამოვიყენოთ მათემატიკაში გამოცდისთვის მოსამზადებლად. კერძოდ, C1 ტიპის პრობლემების გადაჭრისას, ეს გადაწყვეტა გახდება აქტუალური.

ამოხსნის დროს განტოლების მარცხენა მხარის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია გარდაიქმნება ორმაგი არგუმენტის სინუსის ფორმულის გამოყენებით. მარჯვენა მხარეს კოსინუს ფუნქცია ასევე იწერება როგორც სინუსური ფუნქცია გამარტივებული არგუმენტით. ამ შემთხვევაში მიღებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის წინ ნიშანი შებრუნებულია. გარდა ამისა, განტოლების ყველა პირობა გადადის მის მარცხენა მხარეს, სადაც საერთო ფაქტორი ამოღებულია ფრჩხილებიდან. შედეგად, მიღებული განტოლება წარმოდგენილია როგორც ორი ფაქტორის პროდუქტი. თითოეული ფაქტორი თავის მხრივ ნულის ტოლია, რაც საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ განტოლების ფესვები. შემდეგ განისაზღვრება მოცემული ინტერვალის კუთვნილი განტოლების ფესვები. შემობრუნების მეთოდის გამოყენებით აგებულ ერთეულ წრეზე მონიშნულია შემობრუნება მოცემული სეგმენტის მარცხენა საზღვრიდან მარჯვნივ. ერთეულ წრეზე აღმოჩენილი ფესვები დაკავშირებულია სეგმენტებით მის ცენტრთან და შემდეგ განისაზღვრება წერტილები, რომლებზეც ეს სეგმენტები კვეთენ ხვეულს. ეს გადაკვეთის წერტილები პასუხია პრობლემის „ბ“ ნაწილზე.

სავალდებულო მინიმალური ცოდნა

sin x \u003d a, -1 a 1 (a 1)
x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
ან
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- ა) = - arcsin a
sin x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
sin x = 0
x = k, kZ
sin x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
წ
წ
x
წ
x
x

სავალდებულო მინიმალური ცოდნა

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- ა) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
წ
წ
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
წ
x
x

სავალდებულო მინიმალური ცოდნა

tg x = a, a R
x = arctg a + n, n Z
ctg x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg ა
arctg (- a) = - arctg a განტოლების შემცირება ერთ ფუნქციამდე
ერთ არგუმენტამდე დაყვანა
გადაწყვეტის რამდენიმე მეთოდი
ტრიგონომეტრიული განტოლებები
ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენება
შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება
ფაქტორიზაცია
შემცირება კვადრატულ განტოლებამდე sin x, cos x, tg x მიმართ
დამხმარე არგუმენტის შემოტანით
პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლების ორივე მხარის გაყოფით
(asin x +bcosx = 0) cos x-მდე
მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლების ორივე მხარის გაყოფით
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) cos2 x-მდე

ზეპირი ვარჯიშები გამოთვალეთ

რკალი½
რკალი (-√2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
არქტანი √3
არქტანი (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6

(ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით)
cos 2x \u003d ½, x [- / 2; 3/2]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2n, nZ
x = ± /6 + n, n Z
ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით
პასუხი: - /6; /6; 5/6; 7/6

ფესვის შერჩევის სხვადასხვა მეთოდი

იპოვეთ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს
sin 3x \u003d √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს k-ის მნიშვნელობების ჩამოთვლით:
k = 0, x = /9 - ეკუთვნის ინტერვალს
k = 1, x = - /9 + /3 = 2 /9 - ეკუთვნის ინტერვალს
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 - არ ეკუთვნის ინტერვალს
k = - 1, x = - /9 - /3 = - 4 /9 - ეკუთვნის ინტერვალს
k = - 2, x = /9 - 2 /3 = - 5 /9 - არ ეკუთვნის ინტერვალს
პასუხი: -4/9; /9; 2/9

ფესვის შერჩევის სხვადასხვა მეთოდი

იპოვეთ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს
(უთანასწორობის გამოყენებით)
tan 3x = - 1, x (- /2;)
3x = - /4 + n, n Z
x = - /12 + n/3, n Z
ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს უტოლობის გამოყენებით:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; 1; 2; 3
n \u003d - 1, x \u003d - / 12 - / 3 \u003d - 5/12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = - /12 + /3 = /4
n \u003d 2, x \u003d - / 12 + 2 / 3 \u003d 7 / 12
n \u003d 3, x \u003d - / 12 + \u003d 11/12
პასუხი: - 5/12; - /12; /4; 7/12; 11/12

10. ფესვის შერჩევის სხვადასხვა მეთოდი

იპოვეთ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს
(დიაგრამის გამოყენებით)
cos x = – √2/2, x [–4; 5/4]
x = arccos (– √2/2) + 2n, nZ
x = 3 /4 + 2n, n Z
მოდით ავირჩიოთ ფესვები გრაფიკის გამოყენებით:
x \u003d - / 2 - / 4 \u003d - 3 / 4; x = - - /4 = - 5 /4
პასუხი: 5/4; 3/4

11. 1. ამოხსენით განტოლება 72cosx = 49sin2x და მიუთითეთ მისი ფესვები სეგმენტზე [; 5/2]

1. ამოხსენით განტოლება 72cosx = 49sin2x
და მიუთითეთ მისი ფესვები სეგმენტზე [; 5/2]
მოდით ამოხსნათ განტოლება:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cosx(1 - 2sinx) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + k, k Z
ან
1 - 2 სინქს = 0,
sin x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
მოდით შევარჩიოთ ფესვები გამოყენებით
ტრიგონომეტრიული წრე:
x = 2 + /6 = 13 /6
პასუხი:
ა) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
ბ) 3/2; 5/2; 13/6

12. 2. ამოხსენით განტოლება 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0 იპოვეთ მისი ფესვები მონაკვეთზე.

2. ამოხსენით განტოლება 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0
იპოვეთ მისი ფესვები სეგმენტზე
4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3/2 - x) +1 = 0,
4cos2x - 8 sin x +1 = 0,
4 - 4sin2 x - 8sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x - 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = -2.5
ან
sin x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z

13. ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს სეგმენტზე (გრაფიკების გამოყენებით)

ჩვენ შევარჩევთ ფესვებს სეგმენტზე
(სქემების გამოყენებით)
sin x = ½
მოდით გამოვსახოთ y = sin x და y = ½ ფუნქციები
x = 4 + /6 = 25 /6
პასუხი: ა) (-1)k /6 + k, k Z; ბ) 25/6

14. 3. ამოხსენი განტოლება იპოვე მისი ფესვები მონაკვეთზე

4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
თუ cos2 2x = 0, მაშინ sin2 2x = 0, რაც შეუძლებელია, ასე რომ
cos2 2x 0 და განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გაიყოს cos2 2x-ზე.
tg22x + 3 – 4 tg2x = 0,
tg22x – 4tg 2x + 3= 0,
tg 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
ან
tg 2x = 3,
2x = arctg 3 + k, k Z
x \u003d ½ არქტანი 3 + k / 2, k Z

15.

4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z ან x = ½ არქტანი 3 + k/2, k Z
0 წლიდან< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
არის გამოსავალი
0 წლიდან< /8 < /4 < 1,значит /8
ასევე გამოსავალია
სხვა გადაწყვეტილებები არ მოხვდება
უფსკრული მათგან
მიღებულია ½ არქტანი 3 და /8 რიცხვებიდან
/2-ის ჯერადი რიცხვების მიმატებით.
პასუხი: ა) /8 + n/2, n Z; ½ არქტანი 3 + k/2, k Z
ბ) /8; ½ არქტანი 3

16. 4. ამოხსენით განტოლება log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2 იპოვეთ მისი ფესვები სეგმენტზე.

4. ამოხსენით განტოლება log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2
იპოვეთ მისი ფესვები სეგმენტზე
მოდით ამოხსნათ განტოლება:
log5 (cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x - sin 2x + 25 > 0,
cos x - sin 2x + 25 \u003d 25, 25\u003e 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 - 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
ან
1 - 2 სინქს = 0,
sin x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z

17.

მოდით განვახორციელოთ ფესვების შერჩევა სეგმენტზე
მოდით განვახორციელოთ ფესვების შერჩევა სეგმენტზე:
1) x = /2 + n, n Z
2/2 + n 7/2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1.5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) sin x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 - /6 = 17 /6
პასუხი: ა) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
ბ) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6

18. 5. ამოხსენით განტოლება 1/sin2x + 1/sin x = 2 იპოვეთ მისი ფესვები მონაკვეთზე [-5/2; -3/2]

5. ამოხსენით განტოლება 1/sin2x + 1/sin x = 2
იპოვეთ მისი ფესვები [-5/2; -3/2]
მოდით ამოხსნათ განტოლება:
1/sin2x + 1/sinx = 2
x k
შეცვლა 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/ცოდვა x = - 2,
sin x \u003d - ½,
x = - /6 + 2 n, n Z
ან
x = – 5/6 + 2n, nZ
1/ცოდვა x = 1,
sin x = 1,
x = /2 + 2n, nZ
ფესვების ეს სერია გამორიცხულია, რადგან -150º+ 360ºn დიაპაზონის გარეთ
კომპლექტის სიგრძე [-450º; -270º]

19.

ჩვენ ვაგრძელებთ ფესვების შერჩევას სეგმენტზე
განვიხილოთ ფესვების დარჩენილი სერია და აირჩიეთ ფესვები
ინტერვალზე [-5/2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x \u003d - / 6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1,5 n -1, n Z
n=-1
n=-1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
პასუხი: ა) / 2 + 2 n, n Z; (-1)k+1 /6 + k, k Z
ბ) -13/6; -3/2

20. 6. ამოხსენით განტოლება |sin x|/sin x + 2 = 2cos x იპოვეთ მისი ფესვები მონაკვეთზე [-1; 8]

მოდი ამოვხსნათ განტოლება
|sinx|/sinx + 2 = 2cosx
1)თუ sin x >0, მაშინ |sin x| =sin x
განტოლება მიიღებს ფორმას:
2 cosx=3,
cos x \u003d 1.5 - არ აქვს ფესვები
2) თუ ცოდვა x<0, то |sin x| =-sin x
და განტოლება მიიღებს ფორმას
2cosx=1, cosx=1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
იმის გათვალისწინებით, რომ ცოდვა x< 0, то
დარჩა ერთი პასუხის ნაკრები
x = - π/3 +2πk, k Z
მოდით გავაკეთოთ ფესვების შერჩევა
სეგმენტი [-1; 8]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 ამას არ ეკუთვნის
სეგმენტი
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 პი/3 [-1; 8]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 არ ეკუთვნის ამას
სეგმენტი.
პასუხი: ა) - π/3 +2πk, k Z
ბ) 5
π/3

21. 7. ამოხსენით განტოლება 4sin3x=3cos(x- π/2) იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალზე.

8. ამოხსენით განტოლება √1-sin2x= sin x
იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალში
ამოხსნათ განტოლება √1-sin2x= sin x.
sin x ≥ 0,
1-sin2x=sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sinx≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
sin x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2

25. განვახორციელოთ ფესვების შერჩევა სეგმენტზე

მოდით განვახორციელოთ ფესვების შერჩევა სეგმენტზე
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
y=sin x და y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
პასუხი: ა) (-1)k /4 + k, k Z ;b) 11 /4

26. 9. ამოხსენით განტოლება (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალში [-5; -7/2]

9. ამოხსენით განტოლება (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალში [-5; -7 /2]
მოდი ამოვხსნათ განტოლება
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2n 2) sin2x + 2 sin2x =0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x + sin x) = 0,
sin x=0, x= n, n Z
ან
cos x+ sin x=0 | : cosx,
tg x= -1, x= - /4 + n, n Z
ODZ-ის გათვალისწინებით
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3 /4 + 2n, nZ

27. ამოირჩიეთ ფესვები მოცემულ სეგმენტზე

ავიღოთ ფესვები მოცემულზე
სეგმენტი [-5; -7 /2]
x= +2 n, n Z;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n=-3, x=-6=-5
x= 3 /4 + 2n, nZ
-5 ≤ 3 /4 + 2n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, ასეთი არ არის
მთელი რიცხვი n.
პასუხი: ა) +2 n, n Z;
3/4 + 2n, n Z;
ბ) -5.

28. 10. ამოხსენით განტოლება 2sin2x =4cos x –sinx+1 იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალში [/2; 3/2]

10. ამოხსენით განტოლება 2sin2x \u003d 4cos x -sinx + 1
იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალზე [ /2; 3/2]
მოდი ამოვხსნათ განტოლება
2sin2x = 4cosx - sinx+1
2sin2x \u003d 4cos x - sinx + 1,
4 sinx∙cos x - 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x - 1) + (sin x - 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
ან
4cos x +1= 0, cos x = -0.25
x = ±(-arccos(0.25)) + 2n,nZ
ამ განტოლების ფესვებს სხვანაირად ვწერთ
x = - arccos(0.25) + 2n,
x = -(- arccos(0.25)) + 2n, nZ

29. შეარჩიეთ ფესვები წრის გამოყენებით

x = /2+2 n, n Z, x = /2;
x = -arccos(0.25)+2n,
x \u003d - (-arccos (0.25)) +2 n, n Z,
x = - arccos (0.25),
x = + arccos (0.25)
პასუხი: ა) /2+2n,
-arccos(0.25)+2n,
-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z;
ბ) /2;
- arccos (0.25); + arccos (0.25)

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არასანქცირებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

წარმატებით მოსაგვარებლად ტრიგონომეტრიული განტოლებებიმოსახერხებელი გამოსაყენებლად შემცირების მეთოდიადრე მოგვარებულ პრობლემებზე. ვნახოთ, რა არის ამ მეთოდის არსი?

ნებისმიერ შემოთავაზებულ პრობლემაში თქვენ უნდა ნახოთ ადრე გადაწყვეტილი პრობლემა, შემდეგ კი, თანმიმდევრული ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით, შეეცადეთ შეამციროთ თქვენთვის მოცემული პრობლემა უფრო მარტივზე.

ასე რომ, ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, ისინი ჩვეულებრივ ქმნიან ეკვივალენტური განტოლებების გარკვეულ სასრულ მიმდევრობას, რომლის ბოლო რგოლი არის განტოლება აშკარა ამონახსნით. მხოლოდ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ თუ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარები არ არის ჩამოყალიბებული, მაშინ უფრო რთული განტოლებების ამოხსნა რთული და არაეფექტური იქნება.

გარდა ამისა, ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას არასოდეს უნდა დაივიწყოთ რამდენიმე ამოხსნის არსებობის შესაძლებლობა.

მაგალითი 1. იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა cos x = -1/2 ინტერვალზე.

გამოსავალი:

მე გზა.გამოვსახოთ y = cos x და y = -1/2 ფუნქციების გრაფიკები და ვიპოვოთ მათი საერთო წერტილების რაოდენობა ინტერვალზე (ნახ. 1).

ვინაიდან ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ ორი საერთო წერტილი ინტერვალზე, განტოლება შეიცავს ორ ფესვს ამ ინტერვალზე.

II გზა.ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით (ნახ. 2) ვიგებთ წერტილების რაოდენობას, რომლებიც მიეკუთვნება იმ ინტერვალს, რომელშიც cos x = -1/2. ნახაზი აჩვენებს, რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

III გზა.ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით ვხსნით განტოლებას cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z).

ფესვები 2π/3 და -2π/3 + 2π ეკუთვნის ინტერვალს, k არის მთელი რიცხვი. ამრიგად, განტოლებას აქვს ორი ფესვი მოცემულ ინტერვალზე.

პასუხი: 2.

სამომავლოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებები გადაიჭრება ერთ-ერთი შემოთავაზებული მეთოდით, რაც ხშირ შემთხვევაში არ გამორიცხავს სხვა მეთოდების გამოყენებას.

მაგალითი 2. იპოვეთ განტოლების ამონახსნების რაოდენობა tg (x + π/4) = 1 [-2π; 2π].

გამოსავალი:

ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

x + π/4 = არქტანი 1 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

x = πk, k არის მთელი რიცხვი (k ∈ Z);

ინტერვალი [-2π; 2π] ეკუთვნის რიცხვებს -2π; -π; 0; π; 2π. ამრიგად, განტოლებას აქვს ხუთი ფესვი მოცემულ ინტერვალზე.

პასუხი: 5.

მაგალითი 3. იპოვეთ cos 2 x + sin x cos x = 1 განტოლების ფესვების რაოდენობა [-π; π].

გამოსავალი:

ვინაიდან 1 = sin 2 x + cos 2 x (ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა), საწყისი განტოლება ხდება:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. ნამრავლი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც უნდა იყოს ნულის ტოლი, შესაბამისად:

sin x \u003d 0 ან sin x - cos x \u003d 0.

ვინაიდან ცვლადის მნიშვნელობა, რომელზეც cos x = 0, არ არის მეორე განტოლების ფესვები (ერთი და იგივე რიცხვის სინუსი და კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი ერთდროულად), მაშინ ვყოფთ მეორეს ორივე ნაწილს. განტოლება cos x-ით:

sin x = 0 ან sin x / cos x - 1 = 0.

მეორე განტოლებაში ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ tg x = sin x / cos x, შემდეგ:

sin x = 0 ან tg x = 1. ფორმულების გამოყენებით გვაქვს:

x = πk ან x = π/4 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z).

ფესვების პირველი სერიიდან [-π; π] ეკუთვნის რიცხვებს -π; 0; პ. მეორე სერიიდან: (π/4 – π) და π/4.

ამრიგად, თავდაპირველი განტოლების ხუთი ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს [-π; π].

პასუხი: 5.

მაგალითი 4. იპოვეთ tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 განტოლების ფესვების ჯამი [-π; 1.1π].

გამოსავალი:

გადავიწეროთ განტოლება შემდეგი ფორმით:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 და შეიტანეთ ცვლილება.

მოდით tg x + сtgx = a. მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

ვინაიდან tg x сtgx \u003d 1, შემდეგ tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, რაც ნიშნავს

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

ახლა ორიგინალური განტოლება ასე გამოიყურება:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. ვიეტას თეორემის გამოყენებით მივიღებთ, რომ a = -1 ან a = -2.

საპირისპირო ჩანაცვლების გაკეთებისას გვაქვს:

tg x + сtgx = -1 ან tg x + сtgx = -2. ამოხსნათ მიღებული განტოლებები.

tgx + 1/tgx = -1 ან tgx + 1/tgx = -2.

ორი ურთიერთ საპასუხო რიცხვის თვისებით ვადგენთ, რომ პირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები, ხოლო მეორე განტოლებიდან გვაქვს:

tg x = -1, ე.ი. x = -π/4 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z).

ინტერვალი [-π; 1,1π] ფესვები ეკუთვნის: -π/4; -π/4 + π. მათი ჯამი:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

პასუხი: π/2.

მაგალითი 5. იპოვეთ განტოლების ფესვების საშუალო არითმეტიკული sin 3x + sin x = sin 2x ინტერვალზე [-π; 0.5π].

გამოსავალი:

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), შემდეგ

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x და განტოლება ხდება

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ საერთო ფაქტორს sin 2x

sin 2x(2cos x - 1) = 0. მოდით ამოხსნათ მიღებული განტოლება:

sin 2x \u003d 0 ან 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 ან cos x = 1/2;

2x = πk ან x = ±π/3 + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k ∈ Z).

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ფესვები

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k ∈ Z).

ინტერვალი [-π; 0,5π] ეკუთვნის ფესვებს -π; -π/2; 0; π/2 (ფესვების პირველი სერიიდან); π/3 (მეორე სერიიდან); -π/3 (მესამე სერიიდან). მათი არითმეტიკული საშუალოა:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

პასუხი: -π/6.

მაგალითი 6. იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა sin x + cos x = 0 [-1,25π; 2π].

გამოსავალი:

ეს განტოლება არის პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება. მისი ორივე ნაწილი გაყავით cosx-ზე (ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც cos x = 0, არ არის ამ განტოლების ფესვები, რადგან ერთი და იგივე რიცხვის სინუსი და კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი ერთდროულად). ორიგინალური განტოლება ასე გამოიყურება:

x = -π/4 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z).

უფსკრული [-1,25π; 2π] აქვს ფესვები -π/4; (-π/4 + π); და (-π/4 + 2π).

ამრიგად, განტოლების სამი ფესვი მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს.

პასუხი: 3.

ისწავლეთ აკეთოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი - მკაფიოდ წარმოადგინოთ პრობლემის გადაჭრის გეგმა, შემდეგ კი ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლება თქვენს მხარზე იქნება.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.