მოვამზადოთ 

ფაქტორიზაციის ფორმულა. სიმძლავრის განსხვავებების ფაქტორიზაცია. პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

მრავალწევრი არის გამოხატულება, რომელიც შედგება მონომების ჯამისაგან. ეს უკანასკნელი არის გამონათქვამის მუდმივის (რიცხვის) და ფესვის (ან ფესვების) ნამრავლი k-ის ხარისხზე. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ k ხარისხის მრავალწევრზე. მრავალწევრის გაფართოება გულისხმობს გამოხატვის ტრანსფორმაციას, რომელშიც ტერმინები იცვლება ფაქტორებით. განვიხილოთ ამ ტიპის ტრანსფორმაციის განხორციელების ძირითადი გზები.

მრავალწევრის გაფართოების მეთოდი საერთო ფაქტორის გამოყოფით

ეს მეთოდი ეფუძნება განაწილების კანონის კანონებს. ასე რომ, mn + mk = m * (n + k).

  • მაგალითი:გაფართოება 7y 2 + 2uy და 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).

თუმცა, ის ფაქტორი, რომელიც აუცილებლად არის თითოეულ მრავალწევრში, შეიძლება ყოველთვის არ მოიძებნოს, ამიტომ ეს მეთოდი არ არის უნივერსალური.

პოლინომიური გაფართოების მეთოდი, რომელიც დაფუძნებულია შემოკლებული გამრავლების ფორმულებზე

გამრავლების შემოკლებული ფორმულები მოქმედებს ნებისმიერი ხარისხის მრავალწევრებისთვის. ზოგადად, ტრანსფორმაციის გამოხატულება ასე გამოიყურება:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), სადაც k არის წარმომადგენელი ნატურალური რიცხვები.

პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფორმულები არის მეორე და მესამე რიგის მრავალწევრებისთვის:

u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),

u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 – ul + l 2).

  • მაგალითი:გაფართოება 25p 2 – 144b 2 და 64m 3 – 8l 3.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64მ 3 – 8ლ 3 = (4მ) 3 – (2ლ) 3 = (4მ – 2ლ)((4მ) 2 + 4მ * 2ლ + (2ლ) 2) = (4მ – 2ლ)(16მ 2 + 8მლ + 4ლ 2 ).


პოლინომიური გაფართოების მეთოდი - გამოხატვის ტერმინების დაჯგუფება

ამ მეთოდს რაღაცნაირად აქვს საერთო საერთო ფაქტორის გამოყვანის ტექნიკასთან, მაგრამ აქვს გარკვეული განსხვავებები. კერძოდ, საერთო ფაქტორის გამოყოფამდე მონომები უნდა დაჯგუფდეს. დაჯგუფება ეფუძნება კომბინაციურ და კომუტაციური კანონების წესებს.

გამოსახულებაში წარმოდგენილი ყველა მონომი იყოფა ჯგუფებად, რომელთაგან თითოეულში მოცემულია საერთო მნიშვნელობა ისეთი, რომ მეორე ფაქტორი ყველა ჯგუფში ერთნაირი იქნება. ზოგადად, ეს დაშლის მეთოდი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც გამოხატულება:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

  • მაგალითი:გაშლილი 14მნ + 16ლნ – 49მ – 56ლ.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).


პოლინომიური გაფართოების მეთოდი - სრულყოფილი კვადრატის ფორმირება

ეს მეთოდი ერთ-ერთი ყველაზე ეფექტურია მრავალწევრის გაფართოებაში. საწყის ეტაპზე აუცილებელია მონომების დადგენა, რომლებიც შეიძლება "ჩამოიშალოს" სხვაობის ან ჯამის კვადრატში. ამისათვის გამოიყენეთ ერთ-ერთი ურთიერთობა:

(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2,

  • მაგალითი:გააფართოვეთ გამონათქვამი u 4 + 4u 2 – 1.

მის მონომებს შორის ვირჩევთ ტერმინებს, რომლებიც ქმნიან სრულ კვადრატს: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

შეასრულეთ ტრანსფორმაცია გამრავლების შემოკლებული წესების გამოყენებით: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

რომ. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).


ფაქტორიზაცია დიდი რაოდენობა- ადვილი საქმე არ არის.ადამიანების უმეტესობას უჭირს ოთხ ან ხუთნიშნა რიცხვების გარკვევა. პროცესის გასაადვილებლად, ჩაწერეთ რიცხვი ორი სვეტის ზემოთ.

  • 6552 რიცხვი გავამრავლოთ.

  • მოცემული რიცხვი გავყოთ უმცირეს მარტივ გამყოფზე (1-ის გარდა), რომელიც ყოფს მოცემულ რიცხვს ნაშთის დატოვების გარეშე.ჩაწერეთ ეს გამყოფი მარცხენა სვეტში და ჩაწერეთ გაყოფის შედეგი მარჯვენა სვეტში. როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ლუწი რიცხვების გაანგარიშება მარტივია, რადგან მათი უმცირესი მარტივი კოეფიციენტი ყოველთვის იქნება 2 (კენტი რიცხვებს აქვთ სხვადასხვა უმცირესი მარტივი კოეფიციენტები).

    • ჩვენს მაგალითში 6552 არის ლუწი რიცხვი, ამიტომ 2 არის მისი უმცირესი მარტივი ფაქტორი. 6552 ÷ 2 = 3276. მარცხენა სვეტში ჩაწერეთ 2 და მარჯვენა სვეტში 3276.

  • შემდეგ, მარჯვენა სვეტის რიცხვი გაყავით უმცირეს მარტივ კოეფიციენტზე (გარდა 1-ისა), რომელიც ყოფს რიცხვს ნაშთის გარეშე.

    • ჩაწერეთ ეს გამყოფი მარცხენა სვეტში, ხოლო მარჯვენა სვეტში ჩაწერეთ გაყოფის შედეგი (გააგრძელეთ ეს პროცესი მანამ, სანამ მარჯვენა სვეტში 1-ები არ დარჩება).

  • ჩვენს მაგალითში: 3276 ÷ 2 = 1638. მარცხენა სვეტში ჩაწერეთ 2, ხოლო მარჯვენა სვეტში 1638: 1638 ÷ 2 = 819. ჩაწერეთ 2 მარცხენა სვეტში, ხოლო 819 მარჯვენა სვეტში.თქვენ მიიღეთ კენტი რიცხვი; ასეთი რიცხვებისთვის უმცირესი მარტივი გამყოფის პოვნა უფრო რთულია.

    • ჩვენს მაგალითში მიიღეთ კენტი რიცხვი 819. გაყავით ის 3-ზე: 819 ÷ 3 = 273. ჩაწერეთ 3 მარცხენა სვეტში და 273 მარჯვენა სვეტში.
    • როდესაც ეძებთ ფაქტორებს, სცადეთ ყველა მარტივი რიცხვი ყველაზე დიდი ფაქტორის კვადრატულ ფესვამდე, რომელსაც იპოვით. თუ არც ერთი გამყოფი არ ყოფს რიცხვს მთელ რიცხვზე, მაშინ დიდი ალბათობით გაქვთ მარტივი რიცხვი და შეგიძლიათ შეწყვიტოთ გამოთვლა.

  • განაგრძეთ რიცხვების გაყოფის პროცესი პირველ ფაქტორებზე, სანამ არ დარჩება 1 მარჯვენა სვეტში (თუ თქვენ მიიღებთ მარტივ რიცხვს მარჯვენა სვეტში, გაყავით იგი თავისთავად, რომ მიიღოთ 1).

    • მოდით გავაგრძელოთ გამოთვლები ჩვენს მაგალითში:
      • გაყავით 3-ზე: 273 ÷ 3 = 91. ნაშთი არ არის. ჩაწერეთ 3 მარცხენა სვეტში და 91 მარჯვენა სვეტში.
      • გავყოთ 3-ზე. 91 იყოფა 3-ზე ნაშთით, ამიტომ გავყოთ 5-ზე. ჩაწერეთ 7 მარცხენა სვეტში და 13 მარჯვენა სვეტში.
      • გავყოთ 7-ზე. 13 იყოფა 7-ზე ნაშთით, ამიტომ გავყოთ 11-ზე. ჩაწერეთ 13 მარცხენა სვეტში და 1 თქვენი გამოთვლები დასრულებულია.

  • მარცხენა სვეტი აჩვენებს თავდაპირველი რიცხვის პირველ ფაქტორებს.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც მარცხენა სვეტის ყველა რიცხვს გაამრავლებთ, მიიღებთ სვეტების ზემოთ დაწერილ რიცხვს. თუ ერთი და იგივე ფაქტორი არაერთხელ ჩნდება ფაქტორების სიაში, გამოიყენეთ ექსპონენტები მის აღსანიშნავად. ჩვენს მაგალითში 2 4-ჯერ ჩნდება მულტიპლიკატორთა სიაში; ჩაწერეთ ეს ფაქტორები როგორც 2 4 და არა 2*2*2*2.

    • ჩვენს მაგალითში, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. თქვენ დაამატე 6552 პირველ ფაქტორებად (ამ ნოტაციაში ფაქტორების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს).

    • რას ნიშნავს ფაქტორინგი? ეს ნიშნავს რიცხვების პოვნას, რომელთა ნამრავლი თავდაპირველი რიცხვის ტოლია.

    იმის გასაგებად, თუ რას ნიშნავს ფაქტორირება, მოდით შევხედოთ მაგალითს.

    რიცხვის ფაქტორინგის მაგალითი

    აკრიფეთ ნომერი 8.

    რიცხვი 8 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 2-ის 4-ის ნამრავლად:

    8-ის წარმოდგენა 2*4-ის ნამრავლად ნიშნავს ფაქტორიზაციას.

    გაითვალისწინეთ, რომ ეს არ არის 8-ის ერთადერთი ფაქტორიზაცია.

    ბოლოს და ბოლოს, 4 ფაქტორირებულია ასე:

    აქედან 8 შეიძლება იყოს წარმოდგენილი:

    8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

    მოდით შევამოწმოთ ჩვენი პასუხი. მოდით ვიპოვოთ რის ტოლია ფაქტორიზაცია:

    ანუ მივიღეთ ორიგინალური ნომერი, პასუხი სწორია.

    რიცხვი 24 გადაიტანეთ პირველ ფაქტორებად

    როგორ გავამრავლოთ რიცხვი 24 პირველ ფაქტორებად?

    რიცხვს უბრალო ეწოდება, თუ ის იყოფა მხოლოდ ერთზე და საკუთარ თავზე.

    რიცხვი 8 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 3-ის ნამრავლად 8-ზე:

    აქ რიცხვი 24 ფაქტორიზებულია. მაგრამ დავალება ამბობს: „გაანაწილე რიცხვი 24 პირველ ფაქტორებად“, ე.ი. ეს არის მთავარი ფაქტორები, რომლებიც საჭიროა. და ჩვენს გაფართოებაში 3 არის პირველი ფაქტორი, ხოლო 8 არ არის პირველი ფაქტორი.

    რა მოხდა ფაქტორიზაცია?ეს არის არასასიამოვნო და რთული მაგალითის მარტივ და მიმზიდველად გადაქცევის გზა.) ძალიან ძლიერი ტექნიკა! ის გვხვდება ყოველ საფეხურზე, როგორც დაწყებით, ისე უმაღლეს მათემატიკაში.

    ასეთ გარდაქმნებს მათემატიკური ენაში ეწოდება გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები. ვინც არ იცის, გადახედეთ ლინკს. იქ ძალიან ცოტაა, მარტივი და სასარგებლო.) ნებისმიერი იდენტობის ტრანსფორმაციის მნიშვნელობა არის გამოხატვის ჩაწერა სხვა ფორმითმისი არსის შენარჩუნებისას.

    მნიშვნელობა ფაქტორიზაციაუკიდურესად მარტივი და გასაგები. თავად სახელიდან. შეიძლება დაგავიწყდეთ (ან არ იცოდეთ) რა არის მულტიპლიკატორი, მაგრამ შეგიძლიათ გაარკვიოთ, რომ ეს სიტყვა მომდინარეობს სიტყვიდან "გამრავლება"?) ფაქტორინგი ნიშნავს: წარმოადგენენ გამოხატულებას რაღაცის რაღაცაზე გამრავლების სახით. მაპატიოს მათემატიკა და რუსული ენა...) სულ ესაა.

    მაგალითად, თქვენ უნდა გააფართოვოთ რიცხვი 12. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ:

    ასე რომ, ჩვენ წარმოვადგინეთ რიცხვი 12, როგორც 3-ის 4-ზე გამრავლება. გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ მარჯვნივ (3 და 4) რიცხვები სრულიად განსხვავებულია, ვიდრე მარცხნივ (1 და 2). მაგრამ ჩვენ მშვენივრად გვესმის, რომ 12 და 3 4 ერთი და იგივე.რიცხვი 12-ის არსი ტრანსფორმაციისგან არ შეცვლილა.

    შესაძლებელია თუ არა 12-ის სხვაგვარად დაშლა? მარტივად!

    12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

    დაშლის ვარიანტები გაუთავებელია.

    რიცხვების ფაქტორინგი სასარგებლო რამ არის. ეს ძალიან ეხმარება, მაგალითად, ფესვებთან მუშაობისას. მაგრამ ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორინგი არა მხოლოდ სასარგებლოა, არამედ აუცილებელია!უბრალოდ მაგალითად:

    გამარტივება:

    მათ, ვინც არ იცის, როგორ მოახდინოს გამოთქმის ფაქტორი, ისვენებს გვერდით. ვინც იცის როგორ - გაამარტივეთ და მიიღეთ:

    ეფექტი საოცარია, არა?) სხვათა შორის, გამოსავალი საკმაოდ მარტივია. თქვენ თვითონ ნახავთ ქვემოთ. ან, მაგალითად, ეს ამოცანა:

    ამოხსენით განტოლება:

    x 5 - x 4 = 0

    სხვათა შორის, გონებაში წყდება. ფაქტორიზაციის გამოყენება. ამ მაგალითს ქვემოთ მოვაგვარებთ. პასუხი: x 1 = 0; x 2 = 1.

    ან, იგივე, მაგრამ უფროსებისთვის):

    ამოხსენით განტოლება:

    ამ მაგალითებში მე ვაჩვენე მთავარი მიზანიფაქტორიზაცია: წილადური გამოსახულებების გამარტივება და ზოგიერთი ტიპის განტოლების ამოხსნა. აქ არის ცერის წესი, რომელიც უნდა გახსოვდეთ:

    თუ ჩვენ წინ გვაქვს საშინელი წილადი გამოხატულება, შეგვიძლია სცადოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორინგი. ძალიან ხშირად ფრაქცია მცირდება და გამარტივებულია.

    თუ ჩვენ წინ გვაქვს განტოლება, სადაც მარჯვნივ არის ნული, ხოლო მარცხნივ - არ მესმის რა, შეგვიძლია ვცადოთ მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება. ზოგჯერ ეს ეხმარება).

    ფაქტორიზაციის ძირითადი მეთოდები.

    აქ არის ყველაზე პოპულარული მეთოდები:

    4. კვადრატული ტრინომის გაფართოება.

    ეს მეთოდები უნდა გვახსოვდეს. ზუსტად ამ თანმიმდევრობით. შემოწმებულია რთული მაგალითები დაშლის ყველა შესაძლო მეთოდისთვის.და ჯობია გადაამოწმოთ თანმიმდევრობით, რომ არ დაიბნეთ... ასე რომ, რიგზე დავიწყოთ.)

    1. საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

    მარტივი და საიმედო გზა. მისგან ცუდი არაფერი მოდის! ეს ან კარგად ხდება ან საერთოდ არ ხდება.) ამიტომ ის პირველ ადგილზეა. მოდი გავარკვიოთ.

    ყველამ იცის (მჯერა!) წესი:

    a(b+c) = ab+ac

    ან უფრო ზოგადად:

    a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

    ყველა თანასწორობა მუშაობს მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით, მარჯვნიდან მარცხნივ. შეგიძლიათ დაწეროთ:

    ab+ac = a(b+c)

    ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

    ეს არის საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

    მარცხენა მხარეს ა - საერთო მულტიპლიკატორიყველა ტერმინისთვის. გამრავლებული ყველაფერზე რაც არსებობს). მარჯვნივ არის ყველაზე მეტი აუკვე მდებარეობს ფრჩხილების გარეთ.

    ჩვენ განვიხილავთ მეთოდის პრაქტიკულ გამოყენებას მაგალითების გამოყენებით. თავდაპირველად ვარიანტი მარტივია, თუნდაც პრიმიტიული.) მაგრამ ამ ვარიანტში მე აღვნიშნავ (მწვანეში) ძალიან მნიშვნელოვან პუნქტებს ნებისმიერი ფაქტორიზაციისთვის.

    ფაქტორიზაცია:

    აჰ+9x

    რომელიც გენერალიმულტიპლიკატორი ორივე ტერმინში ჩანს? X, რა თქმა უნდა! ფრჩხილებიდან გამოვყოფთ. მოდით გავაკეთოთ ეს. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ X-ს ფრჩხილების გარეთ:

    ნაჯახი+9x=x(

    ხოლო ფრჩხილებში ვწერთ გაყოფის შედეგს ყოველი ტერმინისწორედ ამ X-ზე. თანმიმდევრობით:

    ესე იგი. რა თქმა უნდა, არ არის საჭირო ამის ასე დეტალურად აღწერა, ეს კეთდება გონებაში. მაგრამ მიზანშეწონილია გაიგოთ რა არის). ჩვენ ჩავწერთ მეხსიერებაში:

    საერთო ფაქტორს ვწერთ ფრჩხილების გარეთ. ფრჩხილებში ვწერთ ყველა ტერმინის ამ საერთო ფაქტორზე გაყოფის შედეგებს. იმისათვის.

    ასე რომ, ჩვენ გავაფართოვეთ გამოხატულება აჰ+9xმულტიპლიკატორებით. გადააქციე ის x-ზე გამრავლებით (a+9).მე აღვნიშნავ, რომ თავდაპირველ გამონათქვამში ასევე იყო გამრავლება, თუნდაც ორი: A·x და 9·x.მაგრამ ის არ იყო ფაქტორიზებული!რადგან ეს გამოთქმა გამრავლების გარდა შეიცავდა შეკრებას, „+“ ნიშანს! და გამოხატვისას x(a+9) გამრავლების გარდა არაფერია!

    როგორ ასე!? - მესმის ხალხის აღშფოთებული ხმა - და ფრჩხილებში!?)

    დიახ, არის დამატება ფრჩხილებში. მაგრამ ხრიკი ის არის, რომ სანამ ფრჩხილები არ არის გახსნილი, ჩვენ მათ განვიხილავთ როგორც ერთი ასო.და ჩვენ ყველა მოქმედებას ვაკეთებთ მთლიანად ფრჩხილებით, როგორც ერთი ასოთი.ამ თვალსაზრისით გამოხატულებაში x(a+9)გამრავლების გარდა არაფერია. ეს არის ფაქტორიზაციის მთელი აზრი.

    სხვათა შორის, შესაძლებელია თუ არა როგორმე შევამოწმოთ ყველაფერი სწორად გავაკეთეთ? მარტივად! საკმარისია გაამრავლოთ ის, რაც გამოიტანეთ (x) ფრჩხილებით და ნახოთ, მუშაობდა თუ არა ორიგინალიგამოხატვა? თუ მუშაობს, ყველაფერი მშვენიერია!)

    x(a+9)=ax+9x

    იმუშავა.)

    ამ პრიმიტიულ მაგალითში პრობლემები არ არის. მაგრამ თუ რამდენიმე ტერმინია, თანაც განსხვავებული ნიშნით... მოკლედ, ყოველი მესამე სტუდენტი აფუჭებს). ამიტომ:

    საჭიროების შემთხვევაში, შეამოწმეთ ფაქტორიზაცია შებრუნებული გამრავლებით.

    ფაქტორიზაცია:

    3ax+9x

    ჩვენ ვეძებთ საერთო ფაქტორს. ისე, X-ით ყველაფერი გასაგებია, მისი ამოღება შესაძლებელია. არის კიდევ გენერალიფაქტორი? დიახ! ეს არის სამი. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ გამოთქმა ასე:

    3ax+3 3x

    აქ მაშინვე ნათელია, რომ საერთო ფაქტორი იქნება 3x. აქ ჩვენ ამოვიღებთ:

    3ax+3 3x=3x(a+3)

    გაშლილი.

    რა მოხდება, თუ ამოიღებ მხოლოდ x?არაფერი განსაკუთრებული:

    3ax+9x=x(3a+9)

    ესეც ფაქტორიზაცია იქნება. მაგრამ ამ მომხიბლავ პროცესში, ჩვეულებრივად არის ყველაფერი ზღვრამდე ჩამოყალიბება, სანამ არსებობს შესაძლებლობა. აქ ფრჩხილებში არის სამის გამოტანის შესაძლებლობა. გამოვა:

    3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

    იგივე, მხოლოდ ერთი დამატებითი მოქმედებით.) გახსოვდეთ:

    ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღებისას ვცდილობთ ამოვიღოთ მაქსიმუმსაერთო ფაქტორი.

    გავაგრძელოთ გართობა?)

    გააქტიურეთ გამოხატულება:

    3ახ+9х-8а-24

    რას წავართმევთ? სამი, X? არა... არ შეგიძლია. შეგახსენებთ, რომ მხოლოდ გატანა შეგიძლიათ გენერალიმულტიპლიკატორი ანუ ყველაშიგამოხატვის პირობები. ამიტომაც ის გენერალი.აქ ასეთი მულტიპლიკატორი არ არის... რა, არ უნდა გააფართოოთ!? ჰო, ძალიან გაგვიხარდა... გაიცანით:

    2. დაჯგუფება.

    სინამდვილეში, დაჯგუფებას ძნელად შეიძლება ეწოდოს ფაქტორიზაციის დამოუკიდებელი მეთოდი. ეს უფრო რთული მაგალითიდან გამოსვლის საშუალებაა.) თქვენ უნდა დააჯგუფოთ ტერმინები ისე, რომ ყველაფერი გამოვიდეს. ამის ჩვენება მხოლოდ მაგალითით შეიძლება. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს გამოთქმა:

    3ახ+9х-8а-24

    ჩანს, რომ არსებობს რამდენიმე საერთო ასო და რიცხვი. მაგრამ... გენერალიარ არსებობს მულტიპლიკატორი ყველა თვალსაზრისით. გული არ გავიტეხოთ და დაარღვიე გამოთქმა ნაწილებად.დაჯგუფება. ისე, რომ თითოეულ ნაწილს ჰქონდეს საერთო ფაქტორი, არის რაღაც წასაღებად. როგორ გავტეხოთ? დიახ, ჩვენ უბრალოდ ვდებთ ფრჩხილებს.

    შეგახსენებთ, რომ ფრჩხილების განთავსება შესაძლებელია ყველგან და როგორც გინდათ. მხოლოდ მაგალითის არსი არ შეცვლილა.მაგალითად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს:

    3ახ+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

    გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ მეორე ფრჩხილებს! მათ წინ უძღვის მინუს ნიშანი და 8ადა 24 პოზიტიური აღმოჩნდა! თუ შესამოწმებლად გავხსნით ფრჩხილებს უკან, ნიშნები შეიცვლება და მივიღებთ ორიგინალიგამოხატულება. იმათ. ფრჩხილებიდან გამოთქმის არსი არ შეცვლილა.

    მაგრამ თუ თქვენ უბრალოდ ჩადეთ ფრჩხილები ნიშნის ცვლილების გათვალისწინების გარეშე, მაგალითად, ასე:

    3ახ+9х-8а-24=(3ax+9x) - (8a-24 )

    ეს იქნებოდა შეცდომა. მარჯვნივ - უკვე სხვაგამოხატულება. გახსენით ფრჩხილები და ყველაფერი ხილული გახდება. თქვენ არ გჭირდებათ მეტი გადაწყვეტილების მიღება, დიახ...)

    მაგრამ დავუბრუნდეთ ფაქტორიზაციას. მოდით შევხედოთ პირველ ფრჩხილებს (3ax+9x)და ჩვენ ვფიქრობთ, არის თუ არა რაიმე რისი ამოღება? კარგად, ეს მაგალითი ზემოთ მოვაგვარეთ, შეგვიძლია ავიღოთ 3x:

    (3ax+9x)=3x(a+3)

    მოდით შევისწავლოთ მეორე ფრჩხილები, იქ შეგვიძლია დავამატოთ რვა:

    (8a+24)=8(a+3)

    მთელი ჩვენი გამოთქმა იქნება:

    (3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

    ფაქტორირებული? არა. დაშლის შედეგი უნდა იყოს მხოლოდ გამრავლებამაგრამ ჩვენთან მინუს ნიშანი ყველაფერს აფუჭებს. მაგრამ... ორივე ტერმინს აქვს საერთო ფაქტორი! ეს (a+3). ტყუილად არ ვთქვი, რომ მთელი ფრჩხილები, თითქოს, ერთი ასოა. ეს ნიშნავს, რომ ამ ფრჩხილების ამოღება შესაძლებელია ფრჩხილებიდან. დიახ, ზუსტად ასე ჟღერს.)

    ჩვენ ვაკეთებთ როგორც ზემოთ აღწერილი. ჩვენ ვწერთ საერთო ფაქტორს (a+3), მეორე ფრჩხილებში ვწერთ ტერმინების გაყოფის შედეგებს (a+3):

    3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

    ყველა! გამრავლების გარდა მარჯვნივ არაფერია! ეს ნიშნავს, რომ ფაქტორიზაცია წარმატებით დასრულდა!) აი:

    3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

    მოკლედ გავიმეოროთ ჯგუფის არსი.

    თუ გამოთქმა არა გენერალიმულტიპლიკატორი ამისთვის ყველასთვალსაზრისით, ჩვენ ვყოფთ გამონათქვამს ფრჩხილებში ისე, რომ ფრჩხილების შიგნით არის საერთო ფაქტორი იყო.ამოვიღებთ და ვნახოთ რა მოხდება. თუ გაგიმართლათ და ფრჩხილებში დარჩა აბსოლუტურად იდენტური გამონათქვამები, ამ ფრჩხილებს ფრჩხილებიდან ამოვიყვანთ.

    დავამატებ, რომ დაჯგუფება შემოქმედებითი პროცესია). ეს ყოველთვის არ გამოდის პირველად. არაუშავს. ზოგჯერ თქვენ უნდა შეცვალოთ პირობები და განიხილოთ სხვადასხვა დაჯგუფების ვარიანტები, სანამ არ იპოვით წარმატებულს. აქ მთავარია გული არ დაკარგო!)

    მაგალითები.

    ახლა, ცოდნით გამდიდრებით, შეგიძლიათ ამოხსნათ რთული მაგალითები.) გაკვეთილის დასაწყისში სამი ასეთი იყო...

    გამარტივება:

    არსებითად, ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ ეს მაგალითი. ჩვენთვის არ ვიცით.) შეგახსენებთ: თუ საშინელ წილადს გვაძლევენ, ვცდილობთ მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორზე დგომას. სხვა გამარტივების ვარიანტები უბრალოდ არა.

    ისე, აქ მნიშვნელი არ არის გაფართოებული, არამედ მრიცხველი... გაკვეთილზე უკვე გავაფართოვეთ მრიცხველი! მოსწონს ეს:

    3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

    გაფართოების შედეგს ვწერთ წილადის მრიცხველში:

    წილადების (წილადის მთავარი თვისება) შემცირების წესის მიხედვით, მრიცხველი და მნიშვნელი შეგვიძლია გავყოთ (ერთდროულად!) ერთი და იგივე რიცხვზე, ანუ გამოსახულებაზე. ფრაქცია აქედან არ იცვლება.ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს და მნიშვნელს გამოსახულებით (3x-8). და აქეთ-იქით მივიღებთ. გამარტივების საბოლოო შედეგი:

    განსაკუთრებით მინდა ხაზგასმით აღვნიშნო: წილადის შემცირება შესაძლებელია თუ და მხოლოდ მრიცხველში და მნიშვნელში, გამონათქვამების გამრავლების გარდა. არაფერია.ამიტომ ჯამის (განსხვავების) გარდაქმნა გამრავლებაასე მნიშვნელოვანია გამარტივებისთვის. რა თქმა უნდა, თუ გამონათქვამები განსხვავებული,მაშინ არაფერი შემცირდება. ეს მოხდება. მაგრამ ფაქტორიზაცია აძლევს შანსს.ეს შანსი დაშლის გარეშე უბრალოდ არ არსებობს.

    მაგალითი განტოლებით:

    ამოხსენით განტოლება:

    x 5 - x 4 = 0

    ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს x 4ფრჩხილებიდან. ჩვენ ვიღებთ:

    x 4 (x-1)=0

    ჩვენ ვაცნობიერებთ, რომ ფაქტორების ნამრავლი ნულის ტოლია მაშინ და მხოლოდ მაშინ,როდესაც რომელიმე მათგანი ნულის ტოლია. თუ ეჭვი გეპარებათ, იპოვნეთ რამდენიმე არა-ნულოვანი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ ნულს.) ასე რომ, ჩვენ ვწერთ პირველ ფაქტორს:

    ასეთი თანასწორობით მეორე ფაქტორი ჩვენ არ გვეხება. ნებისმიერს შეუძლია იყოს, მაგრამ საბოლოოდ მაინც ნული იქნება. რა რიცხვს აძლევს ნული მეოთხე ხარისხს? მხოლოდ ნული! და სხვა არა... ამიტომ:

    ჩვენ გავარკვიეთ პირველი ფაქტორი და ვიპოვეთ ერთი ფესვი. მოდით შევხედოთ მეორე ფაქტორს. ახლა ჩვენ აღარ გვაინტერესებს პირველი ფაქტორი.):

    აქ ვიპოვეთ გამოსავალი: x 1 = 0; x 2 = 1. ამ ფესვებიდან რომელიმე შეესაბამება ჩვენს განტოლებას.

    ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ განტოლება ცალი ცალი!თითოეული ფაქტორი ნულის ტოლი იყო, განურჩევლად სხვა ფაქტორებისა.სხვათა შორის, თუ ასეთ განტოლებაში არის არა ორი ფაქტორი, როგორიც ჩვენია, არამედ სამი, ხუთი, რამდენიც გინდა, ჩვენ მოვაგვარებთ ზუსტად იგივე.ცალი ნაჭერი. მაგალითად:

    (x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

    ვინც ფრჩხილებს გახსნის და ყველაფერს გაამრავლებს, სამუდამოდ დარჩება ამ განტოლებაზე.) სწორი მოსწავლე მაშინვე დაინახავს, ​​რომ მარცხნივ არაფერია გამრავლების გარდა, ხოლო მარჯვნივ - ნული. და ის დაიწყებს (მისი აზრით!) ყველა ფრჩხილის გათანაბრებას ნულამდე. და ის მიიღებს (10 წამში!) სწორ გამოსავალს: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

    მაგარია, არა?) ასეთი ელეგანტური გამოსავალი შესაძლებელია, თუ განტოლების მარცხენა მხარეა ფაქტორიზებული.მინიშნება გაიგე?)

    ისე, ერთი ბოლო მაგალითი, უფროსებისთვის):

    ამოხსენით განტოლება:

    ეს გარკვეულწილად წინას ჰგავს, არ ფიქრობთ?) რა თქმა უნდა. დროა გავიხსენოთ, რომ მეშვიდე კლასის ალგებრაში ასოების ქვეშ შეიძლება დამალული იყოს სინუსები, ლოგარითმები და სხვა ყველაფერი! ფაქტორინგი მუშაობს მათემატიკაში.

    ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს lg 4 xფრჩხილებიდან. ჩვენ ვიღებთ:

    ჟურნალი 4 x=0

    ეს არის ერთი ფესვი. მოდით შევხედოთ მეორე ფაქტორს.

    აქ არის საბოლოო პასუხი: x 1 = 1; x 2 = 10.

    იმედი მაქვს, თქვენ გააცნობიერეთ ფაქტორინგის ძალა წილადების გამარტივებაში და განტოლებების ამოხსნაში.)

    ამ გაკვეთილზე ვისწავლეთ საერთო ფაქტორინგი და დაჯგუფება. რჩება მოკლე გამრავლებისა და კვადრატული ტრინომის ფორმულების გაგება.

    თუ მოგწონთ ეს საიტი...

    სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

    შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

    შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

    ფაქტორიზაციისთვის აუცილებელია გამონათქვამების გამარტივება. ეს აუცილებელია იმისათვის, რომ კიდევ უფრო შემცირდეს. მრავალწევრის გაფართოებას აქვს აზრი, როდესაც მისი ხარისხი არ არის ორზე დაბალი. პირველი ხარისხის მრავალწევრს წრფივი ეწოდება.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    სტატიაში განხილული იქნება დაშლის ყველა ცნება, თეორიული საფუძვლები და მრავალწევრის ფაქტორინგის მეთოდები.

    თეორია

    თეორემა 1

    როდესაც ნებისმიერი მრავალწევრი n ხარისხით, რომელსაც აქვს ფორმა P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, წარმოდგენილია როგორც პროდუქტი მუდმივი ფაქტორით, უმაღლესი ხარისხით a n და n წრფივი ფაქტორებით (x - x i), i = 1, 2, ..., n, შემდეგ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , სადაც x i, i = 1, 2, ..., n არის მრავალწევრის ფესვები.

    თეორემა განკუთვნილია კომპლექსური ტიპის ფესვებისთვის x i, i = 1, 2, …, n და რთული კოეფიციენტებისთვის a k, k = 0, 1, 2, …, n. ეს არის ნებისმიერი დაშლის საფუძველი.

    როდესაც a k, k = 0, 1, 2, ..., n ფორმის კოეფიციენტები რეალური რიცხვებია, მაშინ რთული ფესვები, რომლებიც წარმოიქმნება შეერთებულ წყვილებში. მაგალითად, ფესვები x 1 და x 2 დაკავშირებულია P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მრავალწევრთან. . . + a 1 x + a 0 ითვლება რთულ კონიუგატად, მაშინ სხვა ფესვები რეალურია, საიდანაც ვიღებთ, რომ მრავალწევრი იღებს ფორმას P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, სადაც x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

    კომენტარი

    მრავალწევრის ფესვები შეიძლება განმეორდეს. განვიხილოთ ალგებრის თეორემის დადასტურება, ბეზუტის თეორემის შედეგი.

    ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა

    თეორემა 2

    n ხარისხის მქონე ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.

    ბეზუტის თეორემა

    P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მრავალწევრის გაყოფის შემდეგ. . . + a 1 x + a 0 on (x - s), შემდეგ მივიღებთ ნაშთს, რომელიც უდრის მრავალწევრს s წერტილში, მაშინ მივიღებთ

    P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , სადაც Q n - 1 (x) არის მრავალწევრი n - 1 ხარისხით.

    ბეზუტის თეორემის დასკვნა

    როდესაც P n (x) მრავალწევრის ფესვად ითვლება s, მაშინ P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . ეს დასკვნა საკმარისია გამოსავლის აღწერისთვის.

    კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება

    a x 2 + b x + c ფორმის კვადრატული ტრინომი შეიძლება დაიყოს წრფივ ფაქტორებად. მაშინ მივიღებთ, რომ a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , სადაც x 1 და x 2 არის ფესვები (რთული ან რეალური).

    ეს გვიჩვენებს, რომ გაფართოება მცირდება შემდგომში კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.

    მაგალითი 1

    კვადრატული ტრინომის ფაქტორი.

    გამოსავალი

    აუცილებელია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ მივიღებთ D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. აქედან გვაქვს ეს

    x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

    აქედან მივიღებთ, რომ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

    შემოწმების შესასრულებლად, თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები. შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოხატვას:

    4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

    შემოწმების შემდეგ მივდივართ თავდაპირველ გამონათქვამამდე. ანუ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ დაშლა სწორად შესრულდა.

    მაგალითი 2

    3 x 2 - 7 x - 11 ფორმის კვადრატული ტრინომილის ფაქტორზე.

    გამოსავალი

    ჩვენ ვხვდებით, რომ აუცილებელია გამოვთვალოთ 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 ფორმის შედეგად მიღებული კვადრატული განტოლება.

    ფესვების მოსაძებნად, თქვენ უნდა დაადგინოთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა. ჩვენ ამას მივიღებთ

    3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

    აქედან მივიღებთ, რომ 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

    მაგალითი 3

    გაამრავლეთ მრავალწევრი 2 x 2 + 1.

    გამოსავალი

    ახლა ჩვენ უნდა ამოხსნათ კვადრატული განტოლება 2 x 2 + 1 = 0 და ვიპოვოთ მისი ფესვები. ჩვენ ამას მივიღებთ

    2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

    ამ ფესვებს უწოდებენ კომპლექსურ კონიუგატს, რაც ნიშნავს, რომ თავად გაფართოება შეიძლება გამოსახული იყოს როგორც 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

    მაგალითი 4

    დაშალეთ კვადრატული ტრინომი x 2 + 1 3 x + 1 .

    გამოსავალი

    ჯერ უნდა ამოხსნათ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ფორმის კვადრატული განტოლება და იპოვოთ მისი ფესვები.

    x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

    ფესვების მოპოვების შემდეგ, ჩვენ ვწერთ

    x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

    კომენტარი

    თუ დისკრიმინაციული მნიშვნელობა უარყოფითია, მაშინ მრავალწევრები დარჩება მეორე რიგის პოლინომებად. აქედან გამომდინარეობს, რომ ჩვენ არ გავაფართოვებთ მათ ხაზოვან ფაქტორებად.

    ორზე მაღალი ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორინგის მეთოდები

    დაშლისას გათვალისწინებულია უნივერსალური მეთოდი. ყველა შემთხვევა დაფუძნებულია ბეზოუთის თეორემის დასკვნაზე. ამისათვის თქვენ უნდა აირჩიოთ ფესვის მნიშვნელობა x 1 და შეამციროთ მისი ხარისხი მრავალწევრზე 1-ზე გაყოფით (x - x 1-ზე). მიღებულ მრავალწევრს უნდა მოძებნოს ფესვი x 2 და ძიების პროცესი ციკლურია, სანამ არ მივიღებთ სრულ გაფართოებას.

    თუ ფესვი არ არის ნაპოვნი, მაშინ გამოიყენება ფაქტორიზაციის სხვა მეთოდები: დაჯგუფება, დამატებითი ტერმინები. ეს თემა მოიცავს განტოლებების ამოხსნას უფრო მაღალი სიმძლავრით და მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით.

    საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან

    განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, მაშინ მრავალწევრის ფორმა ხდება P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.

    ჩანს, რომ ასეთი მრავალწევრის ფესვი ტოლი იქნება x 1 = 0, მაშინ მრავალწევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გამოსახულებით P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

    ეს მეთოდი ითვლება საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებად.

    მაგალითი 5

    მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორზე 4 x 3 + 8 x 2 - x.

    გამოსავალი

    ჩვენ ვხედავთ, რომ x 1 = 0 არის მოცემული მრავალწევრის ფესვი, შემდეგ შეგვიძლია ამოიღოთ x მთლიანი გამოხატვის ფრჩხილებიდან. ჩვენ ვიღებთ:

    4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

    მოდით გადავიდეთ კვადრატული ტრინომალური 4 x 2 + 8 x - 1 ფესვების პოვნაზე. მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი და ფესვები:

    D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

    შემდეგ ამას მოჰყვება

    4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

    დასაწყისისთვის, მოდით გავითვალისწინოთ დაშლის მეთოდი, რომელიც შეიცავს P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მთელი რიცხვების კოეფიციენტებს. . . + a 1 x + a 0, სადაც უმაღლესი ხარისხის კოეფიციენტი არის 1.

    როდესაც მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ ისინი განიხილება თავისუფალი წევრის გამყოფებად.

    მაგალითი 6

    დაშალეთ გამონათქვამი f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

    გამოსავალი

    მოდით განვიხილოთ, არის თუ არა სრული ფესვები. აუცილებელია ჩაწეროთ რიცხვის გამყოფები - 18. ვიღებთ, რომ ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები. შეგიძლიათ შეამოწმოთ ჰორნერის სქემის გამოყენებით. ეს ძალიან მოსახერხებელია და საშუალებას გაძლევთ სწრაფად მიიღოთ მრავალწევრის გაფართოების კოეფიციენტები:

    აქედან გამომდინარეობს, რომ x = 2 და x = - 3 არის თავდაპირველი მრავალწევრის ფესვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმის ნამრავლად:

    f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

    ჩვენ ვაგრძელებთ x 2 + 2 x + 3 ფორმის კვადრატული ტრინომის გაფართოებას.

    ვინაიდან დისკრიმინანტი უარყოფითია, ეს ნიშნავს, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

    პასუხი: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

    კომენტარი

    დასაშვებია ჰორნერის სქემის ნაცვლად ძირეული შერჩევისა და მრავალწევრის მრავალწევრზე დაყოფის გამოყენება. გადავიდეთ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მთელი რიცხვითი კოეფიციენტების შემცველი მრავალწევრის გაფართოების განხილვაზე. . . + a 1 x + a 0, რომელთაგან ყველაზე მაღალი უდრის ერთს.

    ეს შემთხვევა ხდება რაციონალურ წილადებზე.

    მაგალითი 7

    ფაქტორიზაცია f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

    გამოსავალი

    აუცილებელია ცვლადის შეცვლა y = 2 x, უნდა გადახვიდეთ მრავალწევრზე, რომლის კოეფიციენტები ტოლია 1-ის უმაღლესი ხარისხით. თქვენ უნდა დაიწყოთ გამოხატვის 4-ზე გამრავლებით. ჩვენ ამას მივიღებთ

    4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

    როდესაც ფორმის შედეგად მიღებულ ფუნქციას g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 აქვს მთელი ფესვები, მაშინ მათი მდებარეობა თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორისაა. ჩანაწერი ასე გამოიყურება:

    ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

    გადავიდეთ ამ წერტილებში g (y) ფუნქციის გამოთვლაზე, რათა შედეგად მივიღოთ ნული. ჩვენ ამას მივიღებთ

    გ (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 გ (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 გ (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 გ (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 გ (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 გ (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 გ (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 გ (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 გ (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 გ (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

    ჩვენ ვხვდებით, რომ y = - 5 არის y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ფორმის განტოლების ფესვი, რაც ნიშნავს x = y 2 = - 5 2 არის საწყისი ფუნქციის ფესვი.

    მაგალითი 8

    აუცილებელია სვეტით გაყოფა 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2-ზე.

    გამოსავალი

    მოდით დავწეროთ და მივიღოთ:

    2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

    გამყოფების შემოწმებას დიდი დრო დასჭირდება, ამიტომ უფრო მომგებიანია x 2 + 7 x + 3 ფორმის შედეგად მიღებული კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია. ნულის ტოლობით ვპოულობთ დისკრიმინანტს.

    x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

    აქედან გამომდინარეობს

    2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

    მრავალწევრის ფაქტორინგის ხელოვნური ტექნიკა

    რაციონალური ფესვები არ არის თანდაყოლილი ყველა მრავალწევრში. ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ სპეციალური მეთოდები ფაქტორების მოსაძებნად. მაგრამ ყველა პოლინომი არ შეიძლება გაფართოვდეს ან წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი.

    დაჯგუფების მეთოდი

    არის შემთხვევები, როდესაც შეგიძლიათ დააჯგუფოთ მრავალწევრის ტერმინები, რათა იპოვოთ საერთო ფაქტორი და ამოიღოთ იგი ფრჩხილებში.

    მაგალითი 9

    შეადგინეთ მრავალწევრი x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

    გამოსავალი

    იმის გამო, რომ კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია, ფესვებიც შეიძლება იყოს მთელი რიცხვები. შესამოწმებლად, აიღეთ მნიშვნელობები 1, - 1, 2 და - 2, რათა გამოვთვალოთ მრავალწევრის მნიშვნელობა ამ წერტილებში. ჩვენ ამას მივიღებთ

    1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

    ეს გვიჩვენებს, რომ არ არსებობს ფესვები, აუცილებელია გაფართოების და გადაწყვეტის სხვა მეთოდის გამოყენება.

    აუცილებელია დაჯგუფება:

    x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

    თავდაპირველი მრავალწევრის დაჯგუფების შემდეგ, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ იგი ორი კვადრატული ტრინომის ნამრავლად. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ფაქტორიზაცია. ჩვენ ამას ვიღებთ

    x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

    x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

    კომენტარი

    დაჯგუფების სიმარტივე არ ნიშნავს იმას, რომ ტერმინების არჩევა საკმაოდ მარტივია. არ არსებობს კონკრეტული ამოხსნის მეთოდი, ამიტომ აუცილებელია სპეციალური თეორემებისა და წესების გამოყენება.

    მაგალითი 10

    მრავლობითი მრავალწევრი x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

    გამოსავალი

    მოცემულ მრავალწევრს არ აქვს მთელი რიცხვი ფესვები. ტერმინები უნდა იყოს დაჯგუფებული. ჩვენ ამას მივიღებთ

    x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

    ფაქტორიზაციის შემდეგ მივიღებთ ამას

    x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

    შემოკლებული გამრავლების ფორმულებისა და ნიუტონის ბინომის გამოყენებით მრავალწევრის ფაქტორირებისთვის

    გარეგნობა ხშირად ყოველთვის არ ცხადყოფს, რომელი მეთოდი უნდა იქნას გამოყენებული დაშლის დროს. გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ ააგოთ ხაზი, რომელიც შედგება პასკალის სამკუთხედისგან, წინააღმდეგ შემთხვევაში მათ ნიუტონის ბინომიალს უწოდებენ.

    მაგალითი 11

    შეადგინეთ მრავალწევრი x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

    გამოსავალი

    აუცილებელია გამოხატვის ფორმაში გადაყვანა

    x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

    ფრჩხილებში ჩასმული ჯამის კოეფიციენტების თანმიმდევრობა მითითებულია გამოხატულებით x + 1 4 .

    ეს ნიშნავს, რომ გვაქვს x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

    კვადრატების განსხვავების გამოყენების შემდეგ ვიღებთ

    x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

    განვიხილოთ გამონათქვამი, რომელიც არის მეორე ფრჩხილში. გასაგებია, რომ იქ რაინდები არ არიან, ამიტომ კვადრატების სხვაობის ფორმულა ისევ უნდა გამოვიყენოთ. ვიღებთ ფორმის გამოხატულებას

    x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

    მაგალითი 12

    ფაქტორიზაცია x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

    გამოსავალი

    დავიწყოთ გამოხატვის ტრანსფორმაცია. ჩვენ ამას მივიღებთ

    x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

    აუცილებელია კუბურების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ:

    x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

    ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი მრავალწევრის ფაქტორინგისას

    ცვლადის ჩანაცვლებისას ხარისხი მცირდება და მრავალწევრი ფაქტორდება.

    მაგალითი 13

    შეადგინეთ x 6 + 5 x 3 + 6 ფორმის მრავალწევრი.

    გამოსავალი

    პირობის მიხედვით, ცხადია, რომ აუცილებელია ჩანაცვლება y = x 3. ჩვენ ვიღებთ:

    x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

    მიღებული კვადრატული განტოლების ფესვებია y = - 2 და y = - 3, მაშინ

    x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

    აუცილებელია კუბურების ჯამის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ ფორმის გამონათქვამებს:

    x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

    ანუ მივიღეთ სასურველი დაშლა.

    ზემოთ განხილული შემთხვევები დაგეხმარებათ მრავალწევრის განხილვასა და ფაქტორირებაში სხვადასხვა გზით.

    თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter