სამზარეულო 

ფაქტორინგის ფორმულა. ხარისხითა სხვაობის ფაქტორინგი. პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

მრავალწევრი არის გამოხატულება, რომელიც შედგება მონომების ჯამისაგან. ეს უკანასკნელი არის მუდმივის (რიცხვის) და გამოსახულების ფესვის (ან ფესვების) ნამრავლი k ხარისხში. ამ შემთხვევაში საუბარია k ხარისხის მრავალწევრზე. მრავალწევრის დაშლა გულისხმობს გამოხატვის ტრანსფორმაციას, რომელშიც ტერმინები იცვლება ფაქტორებით. განვიხილოთ ამ ტიპის ტრანსფორმაციის განხორციელების ძირითადი გზები.

მრავალწევრის გაფართოების მეთოდი საერთო ფაქტორის გამოყვანით

ეს მეთოდი ეფუძნება განაწილების კანონის კანონებს. ასე რომ, mn + mk = m * (n + k).

  • მაგალითი:გაფართოება 7y 2 + 2uy და 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2 მ 3 - 12 მ 2 + 4 ლმ = 2 მ (მ 2 - 6 მ + 2 ლ).

თუმცა, ის ფაქტორი, რომელიც აუცილებლად არის თითოეულ მრავალწევრში, შეიძლება ყოველთვის არ მოიძებნოს, ამიტომ ეს მეთოდი არ არის უნივერსალური.

პოლინომიური გაფართოების მეთოდი, რომელიც დაფუძნებულია შემოკლებული გამრავლების ფორმულებზე

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები მოქმედებს ნებისმიერი ხარისხის მრავალწევრებისთვის. ზოგადად, ტრანსფორმაციის გამოხატულება ასე გამოიყურება:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), სადაც k არის წარმომადგენელი ნატურალური რიცხვები.

პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გამოიყენება მეორე და მესამე რიგის პოლინომების ფორმულები:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

  • მაგალითი:გაფართოება 25p 2 - 144b 2 და 64m 3 - 8l 3 .

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64მ 3 - 8ლ 3 = (4მ) 3 - (2ლ) 3 = (4მ - 2ლ)((4მ) 2 + 4მ * 2ლ + (2ლ) 2) = (4მ - 2ლ)(16მ 2 + 8მლ + 4ლ 2 ).


პოლინომიური დაშლის მეთოდი - გამოხატვის ტერმინების დაჯგუფება

ეს მეთოდი გარკვეულწილად ეხმიანება საერთო ფაქტორის გამოყვანის ტექნიკას, მაგრამ აქვს გარკვეული განსხვავებები. კერძოდ, საერთო ფაქტორის გამოყოფამდე უნდა დაჯგუფდეს მონომები. დაჯგუფება ეფუძნება ასოციაციური და კომუტაციური კანონების წესებს.

გამონათქვამში წარმოდგენილი ყველა მონომი იყოფა ჯგუფებად, რომელთაგან თითოეულში ამოღებულია საერთო მნიშვნელობა ისე, რომ მეორე ფაქტორი ყველა ჯგუფში ერთნაირი იქნება. ზოგადად, ასეთი დაშლის მეთოდი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც გამოხატულება:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

  • მაგალითი:გაფართოება 14მ + 16ლნ - 49მ - 56ლ.

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l)(2n - 7).


პოლინომიური დაშლის მეთოდი - სრული კვადრატის ფორმირება

ეს მეთოდი ერთ-ერთი ყველაზე ეფექტურია პოლინომიური დაშლის დროს. საწყის ეტაპზე აუცილებელია განისაზღვროს მონომები, რომლებიც შეიძლება "დაკეცოთ" სხვაობის ან ჯამის კვადრატში. ამისათვის გამოიყენება ერთ-ერთი შემდეგი ურთიერთობა:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

  • მაგალითი:გააფართოვეთ გამონათქვამი u 4 + 4u 2 – 1.

მის მონომებს შორის გამოვყოფთ ტერმინებს, რომლებიც ქმნიან სრულ კვადრატს: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

შეასრულეთ ტრანსფორმაცია შემოკლებული გამრავლების წესების გამოყენებით: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

რომ. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5)(u 2 + 2 + √5).


ფაქტორიზაცია დიდი რიცხვიარ არის ადვილი საქმე.ადამიანების უმეტესობას უჭირს ოთხნიშნა ან ხუთნიშნა რიცხვების დაშლა. პროცესის გასამარტივებლად, ჩაწერეთ რიცხვი ორი სვეტის ზემოთ.

  • 6552 რიცხვი გავამრავლოთ.

  • მოცემული რიცხვი გავყოთ უმცირეს მარტივ გამყოფზე (გარდა 1-ისა), რომელიც ყოფს მოცემულ რიცხვს ნაშთის გარეშე.ჩაწერეთ ეს გამყოფი მარცხენა სვეტში და ჩაწერეთ გაყოფის შედეგი მარჯვენა სვეტში. როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ლუწი რიცხვების გაანგარიშება მარტივია, რადგან მათი უმცირესი მარტივი კოეფიციენტი ყოველთვის იქნება 2 (კენტი რიცხვებს აქვთ სხვადასხვა უმცირესი მარტივი კოეფიციენტები).

    • ჩვენს მაგალითში 6552 არის ლუწი რიცხვი, ამიტომ 2 არის მისი უმცირესი მარტივი ფაქტორი. 6552 ÷ 2 = 3276. მარცხენა სვეტში ჩაწერეთ 2 და მარჯვენა სვეტში 3276.

  • შემდეგ, მარჯვენა სვეტის რიცხვი გაყავით უმცირეს მარტივ გამყოფზე (გარდა 1-ისა), რომელიც ყოფს მოცემულ რიცხვს ნაშთის გარეშე. ჩაწერეთ ეს გამყოფი მარცხენა სვეტში და ჩაწერეთ გაყოფის შედეგი მარჯვენა სვეტში (გააგრძელეთ ეს პროცესი მანამ, სანამ მარჯვენა სვეტში 1 არ დარჩება).

    • ჩვენს მაგალითში: 3276 ÷ 2 = 1638. მარცხენა სვეტში ჩაწერეთ 2 და მარჯვენა სვეტში 1638. შემდეგი: 1638 ÷ 2 = 819. ჩაწერეთ 2 მარცხენა სვეტში და 819 მარჯვენა სვეტში.

  • თქვენ მიიღეთ კენტი რიცხვი; ასეთი რიცხვებისთვის უმცირესი მარტივი გამყოფის პოვნა უფრო რთულია.თუ მიიღებთ კენტ რიცხვს, სცადეთ მისი გაყოფა ყველაზე პატარა კენტ პირველ რიცხვებზე: 3, 5, 7, 11.

    • ჩვენს მაგალითში მიიღეთ კენტი რიცხვი 819. გაყავით ის 3-ზე: 819 ÷ 3 = 273. ჩაწერეთ 3 მარცხენა სვეტში და 273 მარჯვენა სვეტში.
    • როდესაც ეძებთ გამყოფებს, სცადეთ ყველა მარტივი რიცხვი თქვენს მიერ ნაპოვნი უდიდესი გამყოფის კვადრატულ ფესვამდე. თუ არც ერთი გამყოფი არ ყოფს რიცხვს თანაბრად, მაშინ დიდი ალბათობით მიიღეთ მარტივი რიცხვი და შეგიძლიათ შეწყვიტოთ გამოთვლა.

  • განაგრძეთ რიცხვების გაყოფის პროცესი მარტივ ფაქტორებზე მანამ, სანამ მარჯვენა სვეტში არ დარჩება 1 (თუ თქვენ მიიღებთ მარტივ რიცხვს მარჯვენა სვეტში, გაყავით იგი თავისთავად, რომ მიიღოთ 1).

    • გავაგრძელოთ ჩვენი მაგალითი:
      • გაყავით 3-ზე: 273 ÷ 3 = 91. ნაშთი არ არის. ჩაწერეთ 3 მარცხენა სვეტში და 91 მარჯვენა სვეტში.
      • გავყოთ 3-ზე. 91 იყოფა 3-ზე ნაშთით, ამიტომ გავყოთ 5-ზე. მარცხენა სვეტში ჩაწერეთ 7 და მარჯვენა სვეტში 13.
      • გავყოთ 7-ზე. 13 იყოფა 7-ზე ნაშთით, ამიტომ გავყოთ 11-ზე. მარცხენა სვეტში ჩაწერეთ 13 და მარჯვენა სვეტში 1. თქვენი გამოთვლები დასრულებულია.

  • მარცხენა სვეტი აჩვენებს თავდაპირველი რიცხვის პირველ ფაქტორებს.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მარცხენა სვეტიდან ყველა რიცხვის გამრავლებისას მიიღებთ სვეტების ზემოთ დაწერილ რიცხვს. თუ ერთი და იგივე ფაქტორი რამდენჯერმე გამოჩნდება ფაქტორების სიაში, გამოიყენეთ ექსპონენტები მის აღსანიშნავად. ჩვენს მაგალითში 2 ჩნდება 4-ჯერ მულტიპლიკატორთა სიაში; ჩაწერეთ ეს ფაქტორები როგორც 2 4 და არა როგორც 2*2*2*2.

    • ჩვენს მაგალითში, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. თქვენ გადაანაწილეთ რიცხვი 6552 მარტივ ფაქტორებად (ამ ნოტაციაში ფაქტორების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს).

    • რას ნიშნავს ფაქტორიზაცია? ეს ნიშნავს რიცხვების პოვნას, რომელთა ნამრავლი თავდაპირველი რიცხვის ტოლია.

    იმის გასაგებად, თუ რას ნიშნავს ფაქტორიზაცია, განვიხილოთ მაგალითი.

    რიცხვის ფაქტორინგის მაგალითი

    აკრიფეთ ნომერი 8.

    რიცხვი 8 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 2-ის 4-ის ნამრავლად:

    8-ის წარმოდგენა 2*4-ის ნამრავლად და აქედან გამომდინარე ფაქტორიზაცია.

    გაითვალისწინეთ, რომ ეს არ არის 8-ის ერთადერთი ფაქტორიზაცია.

    ყოველივე ამის შემდეგ, 4 ფასდება შემდეგნაირად:

    აქედან 8 შეიძლება იყოს წარმოდგენილი:

    8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

    მოდით შევამოწმოთ ჩვენი პასუხი. მოდით ვიპოვოთ რის ტოლია ფაქტორიზაცია:

    ანუ მივიღეთ ორიგინალური ნომერი, პასუხი სწორია.

    24 რიცხვის ფაქტორიზაცია

    როგორ გავამრავლოთ რიცხვი 24?

    რიცხვს უბრალო ეწოდება, თუ ის იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე.

    რიცხვი 8 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 3-ის ნამრავლად 8-ზე:

    აქ რიცხვი 24 არის ფაქტორირებული. მაგრამ ამოცანაში ნათქვამია "24 რიცხვის ფაქტორიზირება", ე.ი. ჩვენ გვჭირდება ძირითადი ფაქტორები. და ჩვენს გაფართოებაში 3 არის პირველი ფაქტორი, ხოლო 8 არ არის პირველი ფაქტორი.

    Რა მოხდა ფაქტორიზაცია?ეს არის უხერხული და რთული მაგალითის მარტივ და მიმზიდველად გადაქცევის საშუალება.) ძალიან ძლიერი ხრიკი! ეს ხდება ყოველ საფეხურზე, როგორც ელემენტარულ მათემატიკაში, ასევე უმაღლეს მათემატიკაში.

    ასეთ გარდაქმნებს მათემატიკური ენაში ეწოდება გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები. ვინც არ არის თემაში - გაისეირნეთ ლინკზე. არის ძალიან ცოტა, მარტივი და გამოსადეგი.) ნებისმიერი იდენტური ტრანსფორმაციის მნიშვნელობა არის გამოხატვის დაწერა განსხვავებული ფორმითმისი არსის შენარჩუნებისას.

    მნიშვნელობა ფაქტორიზაციებიძალიან მარტივი და გასაგები. უშუალოდ სათაურიდან. შეგიძლიათ დაივიწყოთ (ან არ იცოდეთ) რა არის მულტიპლიკატორი, მაგრამ შეგიძლიათ გაარკვიოთ, რომ ეს სიტყვა მომდინარეობს სიტყვიდან "გამრავლება"?) ფაქტორინგი ნიშნავს: წარმოადგენენ გამონათქვამს, როგორც რაღაცის რაღაცაზე გამრავლებას. მაპატიეთ მათემატიკა და რუსული ენა...) და ეს არის.

    მაგალითად, თქვენ უნდა დაშალოთ რიცხვი 12. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ:

    ასე რომ, ჩვენ წარმოვადგინეთ რიცხვი 12, როგორც 3-ის 4-ზე გამრავლება. გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ მარჯვნივ (3 და 4) რიცხვები სრულიად განსხვავებულია, ვიდრე მარცხნივ (1 და 2). მაგრამ ჩვენ კარგად ვიცით, რომ 12 და 3 4 იგივე. 12 რიცხვის არსი ტრანსფორმაციისგან არ შეცვლილა.

    შესაძლებელია თუ არა 12-ის სხვა გზით დაშლა? მარტივად!

    12=3 4=2 6=3 2 2=0.5 24=........

    დაშლის ვარიანტები გაუთავებელია.

    რიცხვების ფაქტორებად დაშლა სასარგებლო რამ არის. ეს ძალიან ეხმარება, მაგალითად, ფესვებთან ურთიერთობისას. მაგრამ ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორიზაცია არ არის სასარგებლო, ეს არის - აუცილებელია!უბრალოდ მაგალითად:

    გამარტივება:

    ვინც არ იცის გამოთქმის ფაქტორიზაცია, განზე ისვენებს. ვინ იცის როგორ - ამარტივებს და იღებს:

    ეფექტი საოცარია, არა?) სხვათა შორის, გამოსავალი საკმაოდ მარტივია. თქვენ თვითონ ნახავთ ქვემოთ. ან, მაგალითად, ასეთი დავალება:

    ამოხსენით განტოლება:

    x 5 - x 4 = 0

    სხვათა შორის, გონებაში გადაწყდა. ფაქტორიზაციის დახმარებით. ქვემოთ მოვაგვარებთ ამ მაგალითს. პასუხი: x 1 = 0; x2 = 1.

    ან, იგივე, მაგრამ უფროსებისთვის):

    ამოხსენით განტოლება:

    ამ მაგალითებში მე ვაჩვენე მთავარი მიზანიფაქტორიზაციები: წილადი გამოსახულებების გამარტივება და ზოგიერთი ტიპის განტოლების ამოხსნა. გირჩევთ გახსოვდეთ ცერის წესი:

    თუ ჩვენ წინ გვაქვს საშინელი წილადური გამოხატულება, შეგვიძლია ვცადოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორიზირება. ძალიან ხშირად, ფრაქცია მცირდება და გამარტივებულია.

    თუ ჩვენ წინ გვაქვს განტოლება, სადაც მარჯვნივ არის ნული, ხოლო მარცხნივ - არ მესმის რა, შეგიძლიათ სცადოთ მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება. ზოგჯერ ეს ეხმარება.)

    ფაქტორიზაციის ძირითადი მეთოდები.

    აქ არის ყველაზე პოპულარული გზები:

    4. კვადრატული ტრინომის დაშლა.

    ეს მეთოდები უნდა გვახსოვდეს. ეს იმ თანმიმდევრობით. შემოწმებულია რთული მაგალითები დაშლის ყველა შესაძლო მეთოდისთვის.და ჯობია გადაამოწმოთ თანმიმდევრობით, რომ არ დაიბნეთ ... დავიწყოთ თანმიმდევრობით.)

    1. საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

    მარტივი და საიმედო გზა. მისგან ცუდი არ არის! ეს ან კარგად ხდება ან საერთოდ არა.) ამიტომ ის პირველია. ჩვენ გვესმის.

    ყველამ იცის (მჯერა!) წესი:

    a(b+c) = ab+ac

    ან უფრო ზოგადად:

    a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

    ყველა თანასწორობა მუშაობს მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით, მარჯვნიდან მარცხნივ. შეგიძლიათ დაწეროთ:

    ab+ac = a(b+c)

    ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

    ეს არის საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

    Მარცხნივ ა - საერთო ფაქტორიყველა ტერმინისთვის. ყველაფერზე გამრავლებული.) უფლება ყველაზე მეტია აუკვე არის ფრჩხილების გარეთ.

    მეთოდის პრაქტიკულ გამოყენებას განვიხილავთ მაგალითებით. თავდაპირველად, ვარიანტი მარტივია, თუნდაც პრიმიტიული.) მაგრამ ამ ვარიანტში მე აღვნიშნავ (მწვანეში) ძალიან მნიშვნელოვან წერტილებს ნებისმიერი ფაქტორიზაციისთვის.

    გამრავლება:

    აჰ+9x

    რომელიც გენერალიარის მულტიპლიკატორი ორივე თვალსაზრისით? X, რა თქმა უნდა! ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ. ჩვენ ასე ვაკეთებთ. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ x ფრჩხილებს გარეთ:

    ნაჯახი+9x=x(

    ხოლო ფრჩხილებში ვწერთ გაყოფის შედეგს ყოველი ტერმინისწორედ ამ x-ზე. Წესით:

    Სულ ეს არის. რა თქმა უნდა, არ არის აუცილებელი ასეთი დეტალების დახატვა, ეს კეთდება გონებაში. მაგრამ იმის გასაგებად, რა არის რა, სასურველია). ჩვენ ვაფიქსირებთ მეხსიერებაში:

    საერთო ფაქტორს ვწერთ ფრჩხილების გარეთ. ფრჩხილებში ვწერთ ყველა ტერმინის ამ ძალიან გავრცელებულ ფაქტორზე გაყოფის შედეგებს. Წესით.

    აქ ჩვენ გავაფართოვეთ გამოხატულება აჰ+9xმულტიპლიკატორებისთვის. გადააქციე ის x-ზე გამრავლებით (a + 9).მე აღვნიშნავ, რომ თავდაპირველ გამონათქვამში ასევე იყო გამრავლება, თუნდაც ორი: x და 9 x.Მაგრამ ეს არ არის ფაქტორიზებული!რადგან ეს გამოთქმა გამრავლების გარდა შეიცავდა შეკრებას, „+“ ნიშანს! და გამოთქმაში x(a+9) გამრავლების გარდა არაფერი!

    Როგორ თუ!? - მესმის ხალხის აღშფოთებული ხმა - და ფრჩხილებში!?)

    დიახ, არის დამატებები ფრჩხილებში. მაგრამ ხრიკი ის არის, რომ სანამ ფრჩხილები არ არის გახსნილი, ჩვენ მათ განვიხილავთ როგორც ერთი ასო.და ჩვენ ვაკეთებთ ყველა მოქმედებას ფრჩხილებით მთლიანად, როგორც ერთი ასო.ამ თვალსაზრისით გამოხატულებაში x(a+9)გამრავლების გარდა არაფერი. ეს არის ფაქტორიზაციის მთელი აზრი.

    სხვათა შორის, არის თუ არა რაიმე გზა იმის შესამოწმებლად, ყველაფერი სწორად გავაკეთეთ თუ არა? Ადვილი! საკმარისია ამოღებული (x) ფრჩხილებით გავამრავლოთ და ვნახოთ გამოვიდა თუ არა ორიგინალურიგამოხატულება? თუ ეს გამოვიდა, ყველაფერი საუკეთესოა!)

    x(a+9)=ax+9x

    მოხდა.)

    ამ პრიმიტიულ მაგალითში პრობლემა არ არის. მაგრამ თუ არის რამდენიმე ტერმინი, თანაც განსხვავებული ნიშნებით... მოკლედ, ყოველი მესამე სტუდენტი ირევა). ამიტომ:

    საჭიროების შემთხვევაში, შეამოწმეთ ფაქტორიზაცია შებრუნებული გამრავლებით.

    გამრავლება:

    3ax+9x

    ჩვენ ვეძებთ საერთო ფაქტორს. ისე, X-ით ყველაფერი გასაგებია, ამის ატანა შეიძლება. კიდევ არის გენერალიფაქტორი? დიახ! ეს არის ტრიო. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაწეროთ გამოთქმა ასე:

    3x+3 3x

    აქ მაშინვე ნათელია, რომ საერთო ფაქტორი იქნება 3x. აქ ჩვენ ამოვიღებთ:

    3ax+3 3x=3x(a+3)

    Გავრცელება.

    და რა მოხდება, თუ აიღებთ მხოლოდ x?Არაფერი განსაკუთრებული:

    3ax+9x=x(3a+9)

    ესეც ფაქტორიზაცია იქნება. მაგრამ ამ მომხიბლავ პროცესში, ჩვეულებრივად არის განლაგებული ყველაფერი, სანამ ის არ შეჩერდება, სანამ არის შესაძლებლობა. აქ ფრჩხილებში არის სამეულის ამოღების შესაძლებლობა. მიიღეთ:

    3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

    იგივე, მხოლოდ ერთი დამატებითი მოქმედებით.) გახსოვდეთ:

    ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღებისას ვცდილობთ ამოვიღოთ მაქსიმუმსაერთო მულტიპლიკატორი.

    გავაგრძელოთ გართობა?

    გამოხატვის ფაქტორირება:

    3ax+9x-8a-24

    რას ამოვიღებთ? სამი, X? არა-ეე... არ შეგიძლია. შეგახსენებთ, რომ შეგიძლიათ მიიღოთ მხოლოდ გენერალიმულტიპლიკატორი ანუ სულგამოხატვის პირობები. ამიტომაც ის გენერალი.ასეთი მულტიპლიკატორი აქ არ არის... რა, ვერ დადებ!? დიახ, ჩვენ აღფრთოვანებული ვიყავით, როგორ ... შეხვდით:

    2. დაჯგუფება.

    სინამდვილეში, დაჯგუფებას ძნელად შეიძლება ეწოდოს ფაქტორიზაციის დამოუკიდებელი მეთოდი. ეს უფრო რთული მაგალითიდან გამოსვლის საშუალებაა.) თქვენ უნდა დააჯგუფოთ ტერმინები ისე, რომ ყველაფერი გამოვიდეს. ამის ჩვენება მხოლოდ მაგალითით შეიძლება. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს გამოთქმა:

    3ax+9x-8a-24

    ჩანს, რომ არსებობს რამდენიმე საერთო ასო და რიცხვი. მაგრამ... გენერალიარ არსებობს მულტიპლიკატორი ყველა თვალსაზრისით. გული არ დაკარგო და ჩვენ ვწყვეტთ გამონათქვამს ნაწილებად.ვაჯგუფებთ. ისე, რომ თითოეულ ნაჭერში იყო საერთო ფაქტორი, იყო რაღაც ამოსაღები. როგორ გავტეხოთ? დიახ, მხოლოდ ფრჩხილებში.

    შეგახსენებთ, რომ ბრეკეტები შეიძლება განთავსდეს ყველგან და ნებისმიერნაირად. თუ მხოლოდ მაგალითის არსი არ შეცვლილა.მაგალითად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს:

    3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

    გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ მეორე ფრჩხილებს! მათ წინ უძღვის მინუს ნიშანი და 8ადა 24 გახდი პოზიტიური! თუ გადამოწმებისთვის ფრჩხილებს უკან გავხსნით, ნიშნები შეიცვლება და მივიღებთ ორიგინალურიგამოხატულება. იმათ. ფრჩხილებიდან გამოთქმის არსი არ შეცვლილა.

    მაგრამ თუ უბრალოდ ჩასვით ფრჩხილებში, არ გაითვალისწინებთ ნიშნის ცვლილებას, მაგალითად, ასე:

    3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a-24 )

    ეს იქნება შეცდომა. მართალია - უკვე სხვაგამოხატულება. გააფართოვეთ ფრჩხილები და ყველაფერი ნათელი გახდება. თქვენ აღარ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ, დიახ ...)

    მაგრამ დავუბრუნდეთ ფაქტორიზაციას. შეხედეთ პირველ ფრჩხილებს (3ax + 9x)და დაფიქრდი, შესაძლებელია რამის გაძლება? კარგად, ეს მაგალითი ზემოთ მოვაგვარეთ, შეგვიძლია მისი ამოღება 3x:

    (3ax+9x)=3x(a+3)

    ჩვენ ვსწავლობთ მეორე ფრჩხილებს, იქ შეგიძლიათ ამოიღოთ რვა:

    (8a+24)=8(a+3)

    მთელი ჩვენი გამოხატულება იქნება:

    (3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

    გამრავლებული? არა. დაშლა უნდა მოჰყვეს მხოლოდ გამრავლება,და ჩვენ გვაქვს მინუს ნიშანი აფუჭებს ყველაფერს. მაგრამ... ორივე ტერმინს აქვს საერთო ფაქტორი! ეს (a+3). ტყუილად არ ვთქვი, რომ ფრჩხილები მთლიანობაში, თითქოს, ერთი ასოა. ასე რომ, ამ ფრჩხილების ამოღება შესაძლებელია ფრჩხილებიდან. დიახ, ზუსტად ასე ჟღერს.)

    ჩვენ ვაკეთებთ როგორც ზემოთ აღწერილი. დაწერეთ საერთო ფაქტორი (a+3), მეორე ფრჩხილებში ვწერთ ტერმინების გაყოფის შედეგებს (a+3):

    3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

    ყველა! მარჯვნივ, გამრავლების გარდა არაფერია! ასე რომ, ფაქტორიზაცია წარმატებით დასრულდა!) აი:

    3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

    გავიმეოროთ ჯგუფის არსი.

    თუ გამოთქმა არა გენერალიმულტიპლიკატორი ამისთვის ყველათვალსაზრისით, ჩვენ ვყოფთ გამოხატულებას ფრჩხილებით ისე, რომ ფრჩხილების შიგნით არის საერთო ფაქტორი იყო.ამოვიღოთ და ვნახოთ რა იქნება. თუ გაგვიმართლა და ზუსტად იგივე გამონათქვამები რჩება ფრჩხილებში, ამ ფრჩხილებს ამოვიღებთ ფრჩხილებიდან.

    დავამატებ, რომ დაჯგუფება შემოქმედებითი პროცესია). ის ყოველთვის არ მუშაობს პირველად. Ყველაფერი კარგადაა. ზოგჯერ თქვენ უნდა შეცვალოთ პირობები, განიხილოთ სხვადასხვა დაჯგუფების ვარიანტები, სანამ არ იპოვით კარგს. აქ მთავარია გული არ დაკარგო!)

    მაგალითები.

    ახლა, ცოდნით გამდიდრებული, თქვენ ასევე შეგიძლიათ ამოხსნათ რთული მაგალითები.) გაკვეთილის დასაწყისში სამი ასეთი იყო ...

    გამარტივება:

    სინამდვილეში, ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ ეს მაგალითი. ჩემთვის შეუმჩნევლად.) შეგახსენებთ: თუ საშინელ წილადს გვაძლევენ, ვცდილობთ მრიცხველი და მნიშვნელი დავშალოთ ფაქტორებად. სხვა გამარტივების ვარიანტები უბრალოდ არა.

    ჰოდა, აქ მნიშვნელი კი არ იშლება, არამედ მრიცხველი... გაკვეთილის მსვლელობისას უკვე დავშალეთ მრიცხველი! Ამგვარად:

    3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

    გაფართოების შედეგს ვწერთ წილადის მრიცხველში:

    წილადების (წილადის მთავარი თვისება) შემცირების წესის მიხედვით, მრიცხველი და მნიშვნელი შეგვიძლია გავყოთ (ერთდროულად!) ერთი და იგივე რიცხვზე, ანუ გამოსახულებაზე. ფრაქცია აქედან არ იცვლება.ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს და მნიშვნელს გამოსახულებით (3x-8). და აქეთ-იქით ვიღებთ ერთეულებს. გამარტივების საბოლოო შედეგი:

    განსაკუთრებით ხაზს ვუსვამ: წილადის შემცირება შესაძლებელია თუ და მხოლოდ მრიცხველში და მნიშვნელში, გამონათქვამების გამრავლების გარდა. იქ არაფერია.ამიტომ ჯამის (განსხვავების) გარდაქმნა გამრავლებაასე მნიშვნელოვანია გამარტივება. რა თქმა უნდა, თუ გამონათქვამები განსხვავებული,მაშინ არაფერი შემცირდება. ბივეტი. მაგრამ ფაქტორიზაცია აძლევს შანსს.ეს შანსი დაშლის გარეშე - უბრალოდ არ არსებობს.

    განტოლების მაგალითი:

    ამოხსენით განტოლება:

    x 5 - x 4 = 0

    საერთო ფაქტორის ამოღება x 4ფრჩხილებისთვის. ჩვენ ვიღებთ:

    x 4 (x-1)=0

    ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ფაქტორების ნამრავლი ნულის ტოლია მაშინ და მხოლოდ მაშინროცა რომელიმე მათგანი ნულის ტოლია. თუ ეჭვი გეპარებათ, იპოვნეთ რამდენიმე არა-ნულოვანი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ ნულს.) ასე რომ, ჩვენ ვწერთ პირველ ფაქტორს:

    ამ თანასწორობით მეორე ფაქტორი არ გვაწუხებს. ნებისმიერი შეიძლება იყოს, მაინც, საბოლოოდ, ნული გამოვა. რა რიცხვია ნულის მეოთხე ხარისხში? მხოლოდ ნული! და მეტი არაფერი... ამიტომ:

    ჩვენ გავარკვიეთ პირველი ფაქტორი, ვიპოვეთ ერთი ფესვი. მოდით გაუმკლავდეთ მეორე ფაქტორს. ახლა ჩვენ არ გვაინტერესებს პირველი მულტიპლიკატორი.):

    აქ ვიპოვეთ გამოსავალი: x 1 = 0; x2 = 1. ამ ფესვებიდან რომელიმე შეესაბამება ჩვენს განტოლებას.

    ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ მოვაგვარეთ განტოლება ნელ - ნელა!თითოეული ფაქტორი დაყენებული იყო ნულზე. განურჩევლად სხვა ფაქტორებისა.სხვათა შორის, თუ ასეთ განტოლებაში არ არის ორი ფაქტორი, როგორც ჩვენ გვაქვს, არამედ სამი, ხუთი, რამდენიც გინდა, ჩვენ გადავწყვეტთ მსგავსი.Ნაკუწ - ნაკუწ. Მაგალითად:

    (x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

    ვინც ფრჩხილებს ხსნის, ყველაფერს ამრავლებს, სამუდამოდ ჩამოკიდებს ამ განტოლებას.) სწორი მოსწავლე მაშინვე დაინახავს, ​​რომ მარცხნივ არაფერია გამრავლების გარდა, მარჯვნივ - ნული. და ის დაიწყებს (გონებაში!) ყველა ფრჩხილის ნულთან გათანაბრებას. და ის მიიღებს (10 წამში!) სწორ გამოსავალს: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

    კარგია, არა?) ასეთი ელეგანტური ამოხსნა შესაძლებელია, თუ განტოლების მარცხენა მხარეა გაყოფილი მრავალჯერადად.მინიშნება გასაგებია?)

    ისე, ბოლო მაგალითი, უფროსებისთვის):

    ამოხსენით განტოლება:

    რაღაცით წინას ჰგავს, არ გგონიათ?) რა თქმა უნდა. დროა გავიხსენოთ, რომ მეშვიდე კლასის ალგებრაში ასოების ქვეშ შეიძლება დამალული იყოს სინუსები, ლოგარითმები და ყველაფერი! ფაქტორინგი მუშაობს ყველა მათემატიკაში.

    საერთო ფაქტორის ამოღება lg4xფრჩხილებისთვის. ჩვენ ვიღებთ:

    lg 4x=0

    ეს არის ერთი ფესვი. მოდით გაუმკლავდეთ მეორე ფაქტორს.

    აქ არის საბოლოო პასუხი: x 1 = 1; x2 = 10.

    იმედი მაქვს, თქვენ გააცნობიერეთ ფაქტორინგის ძალა წილადების გამარტივებაში და განტოლებების ამოხსნაში.)

    ამ გაკვეთილზე გავეცანით საერთო ფაქტორის ამოღებას და დაჯგუფებას. რჩება საქმე შემოკლებული გამრავლების ფორმულებთან და კვადრატულ ტრინომებთან.

    თუ მოგწონთ ეს საიტი...

    სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

    შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

    შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

    ფაქტორიზაციისთვის აუცილებელია გამონათქვამების გამარტივება. ეს აუცილებელია იმისათვის, რომ შემცირდეს. მრავალწევრის დაშლას აქვს აზრი, როდესაც მისი ხარისხი არ არის მეორეზე დაბალი. პირველი ხარისხის მრავალწევრს წრფივი ეწოდება.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    სტატიაში გამოვლენილია დაშლის ყველა ცნება, თეორიული საფუძვლები და მრავალწევრის ფაქტორინგის მეთოდები.

    თეორია

    თეორემა 1

    როდესაც ნებისმიერი მრავალწევრი n ხარისხით, რომელსაც აქვს ფორმა P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, წარმოდგენილია როგორც პროდუქტი მუდმივი ფაქტორით, უმაღლესი ხარისხით a n და n წრფივი ფაქტორებით (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , შემდეგ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , სადაც x i , i = 1 , 2 , … , n - ეს არის მრავალწევრის ფესვები.

    თეორემა განკუთვნილია კომპლექსური ტიპის ფესვებისთვის x i , i = 1 , 2 , ... , n და რთული კოეფიციენტებისთვის a k , k = 0 , 1 , 2 , ... , n . ეს არის ნებისმიერი დაშლის საფუძველი.

    როდესაც a k , k = 0 , 1 , 2 , ... , n ფორმის კოეფიციენტები რეალური რიცხვებია, მაშინ რთული ფესვები წარმოიქმნება შეერთებულ წყვილებში. მაგალითად, ფესვები x 1 და x 2 დაკავშირებულია P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მრავალწევრთან. . . + a 1 x + a 0 ითვლება რთულ კონიუგატად, მაშინ სხვა ფესვები რეალურია, აქედან გამომდინარე მივიღებთ, რომ მრავალწევრი იღებს ფორმას P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, სადაც x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

    კომენტარი

    მრავალწევრის ფესვები შეიძლება განმეორდეს. განვიხილოთ ალგებრის თეორემის მტკიცებულება, ბეზუტის თეორემის შედეგები.

    ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა

    თეორემა 2

    n ხარისხის მქონე ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.

    ბეზუტის თეორემა

    P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მრავალწევრის გაყოფის შემდეგ. . . + a 1 x + a 0 on (x - s) , შემდეგ მივიღებთ ნაშთს, რომელიც უდრის მრავალწევრს s წერტილში, მაშინ მივიღებთ

    P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , სადაც Q n - 1 (x) არის მრავალწევრი n - 1 ხარისხით.

    დასკვნა ბეზუტის თეორემიდან

    როდესაც P n (x) მრავალწევრის ფესვი მიჩნეულია s , მაშინ P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . ეს დასკვნა საკმარისია გამოსავლის აღწერისთვის.

    კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია

    a x 2 + b x + c ფორმის კვადრატული ტრინომი შეიძლება გამრავლდეს წრფივ ფაქტორებად. შემდეგ მივიღებთ, რომ x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , სადაც x 1 და x 2 არის ფესვები (კომპლექსური ან რეალური).

    ეს გვიჩვენებს, რომ თავად დაშლა მცირდება კვადრატული განტოლების მოგვიანებით ამოხსნამდე.

    მაგალითი 1

    კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია.

    გამოსავალი

    აუცილებელია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა ფორმულის მიხედვით, შემდეგ მივიღებთ D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. ამიტომ გვაქვს ეს

    x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

    აქედან მივიღებთ, რომ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

    შემოწმების შესასრულებლად საჭიროა ფრჩხილების გახსნა. შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოხატვას:

    4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

    გადამოწმების შემდეგ მივდივართ თავდაპირველ გამოხატვამდე. ანუ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ გაფართოება სწორია.

    მაგალითი 2

    3 x 2 - 7 x - 11 ფორმის კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია.

    გამოსავალი

    ჩვენ ვიღებთ, რომ აუცილებელია გამოვთვალოთ მიღებული კვადრატული განტოლება ფორმის 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

    ფესვების მოსაძებნად, თქვენ უნდა დაადგინოთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა. ჩვენ ამას მივიღებთ

    3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 წ

    აქედან მივიღებთ, რომ 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

    მაგალითი 3

    მრავალწევრის ფაქტორიზაცია 2 x 2 + 1.

    გამოსავალი

    ახლა თქვენ უნდა ამოხსნათ კვადრატული განტოლება 2 x 2 + 1 = 0 და იპოვოთ მისი ფესვები. ჩვენ ამას მივიღებთ

    2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

    ამ ფესვებს უწოდებენ კომპლექსურ კონიუგატს, რაც ნიშნავს, რომ თავად დაშლა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

    მაგალითი 4

    გააფართოვეთ კვადრატული ტრინომი x 2 + 1 3 x + 1 .

    გამოსავალი

    ჯერ უნდა ამოხსნათ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ფორმის კვადრატული განტოლება და იპოვოთ მისი ფესვები.

    x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

    ფესვების მოპოვების შემდეგ, ჩვენ ვწერთ

    x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

    კომენტარი

    თუ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა უარყოფითია, მაშინ მრავალწევრები დარჩება მეორე რიგის პოლინომებად. აქედან გამომდინარეობს, რომ ჩვენ არ დავშლით მათ ხაზოვან ფაქტორებად.

    მეორეზე მაღალი ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორინგის მეთოდები

    დაშლა ითვალისწინებს უნივერსალურ მეთოდს. ყველა შემთხვევა დაფუძნებულია ბეზოუთის თეორემის დასკვნაზე. ამისათვის თქვენ უნდა აირჩიოთ ფესვის მნიშვნელობა x 1 და შეამციროთ მისი ხარისხი მრავალწევრის 1-ზე გაყოფით (x - x 1-ზე) . მიღებულ მრავალწევრს სჭირდება x 2 ფესვის პოვნა და ძიების პროცესი ციკლურია, სანამ არ მივიღებთ სრულ დაშლას.

    თუ ფესვი არ არის ნაპოვნი, მაშინ გამოიყენება ფაქტორიზაციის სხვა მეთოდები: დაჯგუფება, დამატებითი ტერმინები. ეს თემა ითვალისწინებს განტოლებების ამოხსნას უფრო მაღალი სიმძლავრით და მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

    საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან

    განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, მაშინ მრავალწევრის ფორმა ხდება P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.

    ჩანს, რომ ასეთი მრავალწევრის ფესვი ტოლი იქნება x 1 \u003d 0, შემდეგ შეგიძლიათ წარმოადგინოთ მრავალწევრი გამოხატვის სახით P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

    ეს მეთოდი ითვლება საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებად.

    მაგალითი 5

    მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორიზაცია 4 x 3 + 8 x 2 - x.

    გამოსავალი

    ჩვენ ვხედავთ, რომ x 1 \u003d 0 არის მოცემული მრავალწევრის ფესვი, შემდეგ შეგვიძლია x გამოვყოთ მთელი გამოსახულებიდან. ჩვენ ვიღებთ:

    4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

    მოდით გადავიდეთ კვადრატული ტრინომალური 4 x 2 + 8 x - 1 ფესვების პოვნაზე. მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი და ფესვები:

    D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

    შემდეგ ამას მოჰყვება

    4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

    დასაწყისისთვის, განვიხილოთ დაშლის მეთოდი, რომელიც შეიცავს P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მთელი რიცხვების კოეფიციენტებს. . . + a 1 x + a 0 , სადაც ყველაზე მაღალი სიმძლავრის კოეფიციენტი არის 1 .

    როდესაც მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ ისინი განიხილება თავისუფალი წევრის გამყოფებად.

    მაგალითი 6

    გააფართოვეთ გამონათქვამი f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

    გამოსავალი

    დაფიქრდით არის თუ არა მთელი რიცხვი ფესვები. აუცილებელია ამოვიწეროთ რიცხვის გამყოფები - 18. მივიღებთ, რომ ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები. შეგიძლიათ შეამოწმოთ ჰორნერის სქემის მიხედვით. ეს ძალიან მოსახერხებელია და საშუალებას გაძლევთ სწრაფად მიიღოთ მრავალწევრის გაფართოების კოეფიციენტები:

    აქედან გამომდინარეობს, რომ x \u003d 2 და x \u003d - 3 არის თავდაპირველი მრავალწევრის ფესვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც ფორმის პროდუქტი:

    f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

    ჩვენ მივმართავთ x 2 + 2 x + 3 ფორმის კვადრატული ტრინომის დაშლას.

    ვინაიდან დისკრიმინანტი უარყოფითია, ეს ნიშნავს, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

    პასუხი: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

    კომენტარი

    დასაშვებია ჰორნერის სქემის ნაცვლად ძირეული შერჩევისა და მრავალწევრის მრავალწევრზე დაყოფის გამოყენება. გავაგრძელოთ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მთელი რიცხვითი კოეფიციენტების შემცველი მრავალწევრის გაფართოების განხილვა. . . + a 1 x + a 0 , რომელთაგან ყველაზე მაღალი არ უდრის ერთს.

    ეს შემთხვევა ხდება წილადი რაციონალური წილადებისთვის.

    მაგალითი 7

    ფაქტორიზაცია f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

    გამოსავალი

    აუცილებელია შეიცვალოს ცვლადი y = 2 x , უნდა გადავიდეს მრავალწევრში 1-ის ტოლი კოეფიციენტებით უმაღლესი ხარისხით. თქვენ უნდა დაიწყოთ გამოხატვის 4-ზე გამრავლებით. ჩვენ ამას მივიღებთ

    4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

    როდესაც ფორმის შედეგად მიღებულ ფუნქციას g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ მათი აღმოჩენა თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორისაა. ჩანაწერი ასე გამოიყურება:

    ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

    გადავიდეთ ამ წერტილებში g (y) ფუნქციის გამოთვლაზე, რათა შედეგად მივიღოთ ნული. ჩვენ ამას მივიღებთ

    გ (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 გ (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 გ (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 გ (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 გ (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 გ (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 გ (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 გ (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 გ (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 გ (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

    მივიღებთ, რომ y \u003d - 5 არის y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ფორმის განტოლების ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ x \u003d y 2 \u003d - 5 2 არის ორიგინალური ფუნქციის ფესვი.

    მაგალითი 8

    აუცილებელია გავყოთ სვეტით 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2-ზე.

    გამოსავალი

    ჩვენ ვწერთ და ვიღებთ:

    2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

    გამყოფების შემოწმებას დიდი დრო დასჭირდება, ამიტომ უფრო მომგებიანია x 2 + 7 x + 3 ფორმის შედეგად მიღებული კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია. ნულის ტოლობით ვპოულობთ დისკრიმინანტს.

    x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

    აქედან გამომდინარეობს, რომ

    2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

    ხელოვნური ხრიკები მრავალწევრის ფაქტორინგისას

    რაციონალური ფესვები არ არის თანდაყოლილი ყველა მრავალწევრში. ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ სპეციალური მეთოდები ფაქტორების მოსაძებნად. მაგრამ ყველა პოლინომი არ შეიძლება დაიშალა ან წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი.

    დაჯგუფების მეთოდი

    არის შემთხვევები, როდესაც შეგიძლიათ დააჯგუფოთ მრავალწევრის ტერმინები, რათა იპოვოთ საერთო ფაქტორი და ამოიღოთ იგი ფრჩხილებიდან.

    მაგალითი 9

    მრავალწევრის ფაქტორიზაცია x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

    გამოსავალი

    იმის გამო, რომ კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია, ფესვებიც შეიძლება იყოს მთელი რიცხვები. შესამოწმებლად, ჩვენ ვიღებთ მნიშვნელობებს 1, - 1, 2 და - 2, რათა გამოვთვალოთ მრავალწევრის მნიშვნელობა ამ წერტილებში. ჩვენ ამას მივიღებთ

    1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

    ეს გვიჩვენებს, რომ ფესვები არ არის, საჭიროა დაშლისა და ხსნარის სხვა მეთოდის გამოყენება.

    დაჯგუფება საჭიროა:

    x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

    თავდაპირველი მრავალწევრის დაჯგუფების შემდეგ აუცილებელია მისი წარმოდგენა ორი კვადრატული ტრინომის ნამრავლად. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ფაქტორიზაცია. ჩვენ ამას ვიღებთ

    x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

    x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

    კომენტარი

    დაჯგუფების სიმარტივე არ ნიშნავს იმას, რომ საკმარისად ადვილია ტერმინების არჩევა. მისი ამოხსნის გარკვეული გზა არ არსებობს, ამიტომ აუცილებელია სპეციალური თეორემებისა და წესების გამოყენება.

    მაგალითი 10

    მრავალწევრის ფაქტორიზაცია x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

    გამოსავალი

    მოცემულ მრავალწევრს არ აქვს მთელი რიცხვი ფესვები. ტერმინები უნდა იყოს დაჯგუფებული. ჩვენ ამას მივიღებთ

    x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

    ფაქტორინგის შემდეგ, ჩვენ ამას ვიღებთ

    x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

    შემოკლებული გამრავლებისა და ნიუტონის ბინომის ფორმულების გამოყენება მრავალწევრის ფაქტორიზაციისთვის

    გარეგნობა ხშირად ყოველთვის არ ცხადყოფს, თუ რომელი გზა უნდა გამოვიყენოთ დაშლის დროს. გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ შეგიძლიათ ააგოთ ხაზი, რომელიც შედგება პასკალის სამკუთხედისგან, წინააღმდეგ შემთხვევაში მათ ნიუტონის ბინომი ეწოდება.

    მაგალითი 11

    მრავალწევრის ფაქტორიზაცია x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

    გამოსავალი

    აუცილებელია გამოხატვის ფორმაში გადაყვანა

    x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

    ფრჩხილებში ჯამის კოეფიციენტების თანმიმდევრობა მითითებულია გამოხატულებით x + 1 4 .

    ასე რომ, გვაქვს x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

    კვადრატების განსხვავების გამოყენების შემდეგ ვიღებთ

    x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

    განვიხილოთ გამონათქვამი, რომელიც მეორე ფრჩხილშია. გასაგებია, რომ იქ ცხენები არ არის, ამიტომ კვადრატების განსხვავების ფორმულა კვლავ უნდა იქნას გამოყენებული. ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს, როგორიცაა

    x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

    მაგალითი 12

    ფაქტორიზაცია x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

    გამოსავალი

    გამოთქმა შევცვალოთ. ჩვენ ამას მივიღებთ

    x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

    აუცილებელია კუბურების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ:

    x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

    ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი მრავალწევრის ფაქტორინგისას

    ცვლადის შეცვლისას ხარისხი მცირდება და მრავალწევრი ფაქტორიზაცია ხდება.

    მაგალითი 13

    x 6 + 5 x 3 + 6 ფორმის მრავალწევრის ფაქტორიზაცია.

    გამოსავალი

    პირობით, ცხადია, რომ აუცილებელია ჩანაცვლება y = x 3. ჩვენ ვიღებთ:

    x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

    მიღებული კვადრატული განტოლების ფესვებია y = - 2 და y = - 3, მაშინ

    x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

    აუცილებელია კუბურების ჯამის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ ფორმის გამონათქვამებს:

    x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

    ანუ მივიღეთ სასურველი გაფართოება.

    ზემოთ განხილული შემთხვევები დაგეხმარებათ მრავალწევრის განხილვასა და ფაქტორირებაში სხვადასხვა გზით.

    თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter