სპეციფიკაციის ხაზების გადაკვეთის პირობები გამოცდის პარამეტრების მიხედვით. განტოლებები პარამეტრებით
ფორმის განტოლება ვ(x; ა) = 0 ეწოდება განტოლება ცვლადთან Xდა პარამეტრი ა.
განტოლების ამოხსნა პარამეტრით ა- ეს ნიშნავს თითოეულ მნიშვნელობას აიპოვნეთ ღირებულებები X, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.
მაგალითი 1. ოჰ= 0
მაგალითი 2. ოჰ = ა
მაგალითი 3.
x + 2 = აჰ
x – ah = -2
x(1 – a) = -2
თუ 1 - ა= 0, ე.ი. ა= 1, მაშინ X 0 = -2 ფესვების გარეშე
თუ 1 - ა 0, ე.ი. ა 1, მაშინ X =
მაგალითი 4.
(ა 2 – 1) X = 2ა 2 + ა – 3
(ა – 1)(ა + 1)X = 2(ა – 1)(ა – 1,5)
(ა – 1)(ა + 1)X = (1ა – 3)(ა – 1)
თუ ა= 1, შემდეგ 0 X = 0
X- ნებისმიერი რეალური რიცხვი
თუ ა= -1, შემდეგ 0 X = -2
ფესვების გარეშე
თუ ა 1, ა-1, მაშინ X= (ერთადერთი გამოსავალი).
ეს ნიშნავს, რომ თითოეული სწორი მნიშვნელობისთვის აშეესაბამება ერთ მნიშვნელობას X.
მაგალითად:
თუ ა= 5, მაშინ X = = ;
თუ ა= 0, მაშინ X= 3 და ა.შ.
დიდაქტიკური მასალა
1. ოჰ = X + 3
2. 4 + ოჰ = 3X – 1
3. ა = +
ზე ა= 1 ფესვების გარეშე.
ზე ა= 3 ფესვების გარეშე.
ზე ა = 1 X- ნებისმიერი რეალური რიცხვი გარდა X = 1
ზე ა = -1, ა= 0 გადაწყვეტილებების გარეშე.
ზე ა = 0, ა= 2 გადაწყვეტილებების გარეშე.
ზე ა = -3, ა = 0, 5, ა= -2 გადაწყვეტილებების გარეშე
ზე ა = -თან, თან= 0 გადაწყვეტილებების გარეშე.
კვადრატული განტოლებები პარამეტრით
მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება
(ა – 1)X 2 = 2(2ა + 1)X + 4ა + 3 = 0
ზე ა = 1 6X + 7 = 0
იმ შემთხვევაში ა 1, ჩვენ ხაზს ვუსვამთ იმ პარამეტრის მნიშვნელობებს, რომლებზეც დმიდის ნულამდე.
D = (2(2 ა + 1)) 2 – 4(ა – 1)(4ა + 30 = 16ა 2 + 16ა + 4 – 4(4ა 2 + 3ა – 4ა – 3) = 16ა 2 + 16ა + 4 – 16ა 2 + 4ა + 12 = 20ა + 16
20ა + 16 = 0
20ა = -16
თუ ა < -4/5, то დ < 0, уравнение имеет действительный корень.
თუ ა> -4/5 და ა 1, მაშინ დ > 0,
X = 
თუ ა= 4/5, მაშინ დ = 0,
მაგალითი 2.პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე აკეთებს განტოლება
x 2 + 2( ა + 1)X + 9ა– 5 = 0-ს აქვს 2 განსხვავებული უარყოფითი ფესვი?
D = 4( ა + 1) 2 – 4(9ა – 5) = 4ა 2 – 28ა + 24 = 4(ა – 1)(ა – 6)
4(ა – 1)(ა – 6) > 0
ვიეტას მეშვეობით: X 1 + X 2 = -2(ა + 1)
X 1 X 2 = 9ა – 5
პირობით X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(ა + 1) < 0 и 9ა – 5 > 0
| ბოლოს და ბოლოს | 4(ა – 1)(ა – 6) > 0 - 2(ა + 1) < 0 9ა – 5 > 0 |
ა < 1: а > 6 ა > - 1 ა > 5/9 |
 (ბრინჯი. 1) < ა < 1, либо ა > 6 |
მაგალითი 3.იპოვეთ ღირებულებები ა, რომლის ამონახსნი აქვს ამ განტოლებას.
x 2 – 2( ა – 1)X + 2ა + 1 = 0
D = 4( ა – 1) 2 – 4(2ა + 10 = 4ა 2 – 8ა + 4 – 8ა – 4 = 4ა 2 – 16ა
4ა 2 – 16 0
4ა(ა – 4) 0
A( ა – 4)) 0
A( ა – 4) = 0
a = 0 ან ა – 4 = 0
ა = 4
(ბრინჯი. 2)
პასუხი: ა 0 და ა 4
დიდაქტიკური მასალა
1. რა ღირებულებით აგანტოლება ოჰ 2 – (ა + 1) X + 2ა– 1 = 0 აქვს ერთი ფესვი?
2. რა ღირებულებით აგანტოლება ( ა + 2) X 2 + 2(ა + 2)X+ 2 = 0 აქვს ერთი ფესვი?
3. a-ს რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება ( ა 2 – 6ა + 8) X 2 + (ა 2 – 4) X + (10 – 3ა – ა 2) = 0-ს აქვს ორზე მეტი ფესვი?
4. a-ს რა მნიშვნელობებისთვის, განტოლება 2 X 2 + X – ა= 0-ს აქვს მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი 2 განტოლებით X 2 – 7X + 6 = 0?
5. განტოლების რა მნიშვნელობებისთვის X 2 +ოჰ+ 1 = 0 და X 2 + X + ა= 0 აქვს მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი?
1. როცა ა = - 1/7, ა = 0, ა = 1
2. როცა ა = 0
3. როცა ა = 2
4. როცა ა = 10
5. როცა ა = - 2
ექსპონენციალური განტოლებები პარამეტრით
მაგალითი 1.იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რისთვისაც განტოლება
9 x - ( ა+ 2)*3 x-1/x +2 ა*3 -2/x = 0 (1) აქვს ზუსტად ორი ფესვი.
გამოსავალი. გამრავლებით (1) განტოლების ორივე მხარე 3 2/x-ზე, მივიღებთ ეკვივალენტურ განტოლებას
3 2(x+1/x) – ( ა+ 2)*3 x+1/x + 2 ა = 0 (2)
მოდით 3 x+1/x = ზე, მაშინ განტოლება (2) მიიღებს ფორმას ზე 2 – (ა + 2)ზე + 2ა= 0, ან
(ზე – 2)(ზე – ა) = 0, საიდანაც ზე 1 =2, ზე 2 = ა.
თუ ზე= 2, ე.ი. 3 x+1/x = 2 მაშინ X + 1/X= ჟურნალი 3 2, ან X 2 – Xჟურნალი 3 2 + 1 = 0.
ამ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, რადგან ის დ= ჟურნალი 2 3 2 – 4< 0.
თუ ზე = ა, ე.ი. 3 x+1/x = არომ X + 1/X= ჟურნალი 3 ა, ან X 2 –Xჟურნალი 3 a + 1 = 0. (3)
განტოლებას (3) აქვს ზუსტად ორი ფესვი, თუ და მხოლოდ თუ
D = log 2 3 2 – 4 > 0, ან |log 3 a| > 2.
თუ ჟურნალი 3 a > 2, მაშინ ა> 9 და თუ ჟურნალი 3 ა< -2, то 0 < ა < 1/9.
პასუხი: 0< ა < 1/9, ა > 9.
მაგალითი 2. a-ს რა მნიშვნელობებზეა განტოლება 2 2x – ( A - 3) 2 x – 3 ა= 0 აქვს ამონახსნები?
იმისათვის, რომ მოცემულ განტოლებას ჰქონდეს ამონახსნები, აუცილებელია და საკმარისია, რომ განტოლება ტ 2 – (ა - 3) ტ – 3ა= 0-ს ჰქონდა მინიმუმ ერთი დადებითი ფესვი. მოდით ვიპოვოთ ფესვები ვიეტას თეორემის გამოყენებით: X 1 = -3, X 2 = ა = >
a დადებითი რიცხვია.
პასუხი: როდის ა > 0
დიდაქტიკური მასალა
1. იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც
25 x - (2 ა+ 5)*5 x-1/x + 10 ა* 5 -2/x = 0 აქვს ზუსტად 2 ამონახსნი.
2. a-ს რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება
2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 აქვს ერთი ფესვი?
3. პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე აკეთებს განტოლება
4 x - (5 ა-3)2 x +4 ა 2 – 3ა= 0 აქვს უნიკალური გადაწყვეტა?
ლოგარითმული განტოლებები პარამეტრით
მაგალითი 1.იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რისთვისაც განტოლება
ჟურნალი 4x (1 + ოჰ) = 1/2 (1)
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
გამოსავალი. განტოლება (1) განტოლების ტოლფასია
1 + ოჰ = 2Xზე X > 0, X 1/4 (3)
X = ზე
აი 2 - ზე + 1 = 0 (4)
(3)-დან (2) პირობა არ არის დაკმაყოფილებული.
დაე ა 0, მაშინ AU 2 – 2ზე+ 1 = 0 აქვს რეალური ფესვები თუ და მხოლოდ თუ დ = 4 – 4ა 0, ე.ი. ზე ა 1. უტოლობის გადასაჭრელად (3), დავხატოთ ფუნქციები გალიცკი მ.ლ., მოშკოვიჩ მ.მ., შვარცბურდი ს.ი.ალგებრის კურსის სიღრმისეული შესწავლა და მათემატიკური ანალიზი. – მ.: განათლება, 1990 წ
და სხვა ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა. სასწავლო სახელმძღვანელო. – მ.: გამოცდა, 2001–2008 წ.
_________________________________________________________________________________________________________________________________
MKOU "Lodeynopolskaya საშუალო სკოლა No. 68"
გამოსვლა მოსკოვის რეგიონის სხდომაზე
პრობლემის გადაჭრის მეთოდები
პარამეტრებით
პროკუშევა ნატალია გენადიევნა
2013-2014
ლოდეინოე პოლუსი
პრობლემები პარამეტრებთან
პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები ერთ-ერთი ყველაზე რთულია, როგორც ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, ასევე უნივერსიტეტებში დამატებით საკონკურსო გამოცდებზე.
ისინი მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ ლოგიკური აზროვნების და მათემატიკური კულტურის ჩამოყალიბებაში. სირთულეები, რომლებიც წარმოიქმნება მათი გადაჭრისას, განპირობებულია იმით, რომ პარამეტრების თითოეული პრობლემა წარმოადგენს ჩვეულებრივი ამოცანების მთელ კლასს, რომელთაგან თითოეულისთვის გამოსავალი უნდა იქნას მიღებული.
როგორც წესი, უცნობები აღინიშნება ლათინური ანბანის ბოლო ასოებით: x, y, z, ..., ხოლო პარამეტრები პირველით: a, b, c, ...
განტოლების (უტოლობა) პარამეტრებით ამოხსნა ნიშნავს იმის მითითებას, თუ რა პარამეტრების მნიშვნელობებზე არსებობს ამონახსნები და რა არის ისინი. ორ განტოლებას (უტოლობას), რომლებიც შეიცავს ერთსა და იმავე პარამეტრებს, ექვივალენტი ეწოდება, თუ:
ა) მათ აქვთ აზრი იმავე პარამეტრის მნიშვნელობებზე;
ბ) პირველი განტოლების (უტოლობა) ყოველი ამონახსნი არის მეორე და პირიქით.
ბუნებრივია, პრობლემების ასეთი მცირე კლასი ბევრს არ აძლევს საშუალებას გაითავისოს მთავარი: პარამეტრს, როგორც ფიქსირებულ, მაგრამ უცნობი რიცხვს, აქვს ორმაგი ბუნება. ჯერ ერთი, სავარაუდო დიდება საშუალებას გაძლევთ "კომუნიკაცია" პარამეტრთან, როგორც რიცხვთან, და მეორეც, კომუნიკაციის თავისუფლების ხარისხი შემოიფარგლება მისი გაურკვევლობით. ამრიგად, პარამეტრის შემცველ გამოხატულებაზე დაყოფა და ასეთი გამონათქვამებიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება მოითხოვს წინასწარ კვლევას. როგორც წესი, ამ კვლევების შედეგები გავლენას ახდენს როგორც გადაწყვეტილებაზე, ასევე პასუხზე.
როგორ დავიწყოთ ასეთი პრობლემების მოგვარება? ნუ შეგეშინდებათ პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გააკეთოთ ის, რაც კეთდება ნებისმიერი განტოლების ან უტოლობის ამოხსნისას - შეამცირეთ მოცემული განტოლება (უტოლობა) უფრო მარტივ ფორმამდე, თუ ეს შესაძლებელია: რაციონალური გამოსახულების ფაქტორები, ტრიგონომეტრიული პოლინომიის ფაქტორი, მოდულების, ლოგარითმების მოშორება, და ა.შ.. მაშინ თქვენ უნდა ყურადღებით წაიკითხოთ დავალება ისევ და ისევ.
პარამეტრის შემცველი ამოცანების გადაჭრისას არის პრობლემები, რომლებიც შეიძლება დაიყოს ორ დიდ კლასად. პირველი კლასი მოიცავს ამოცანებს, რომლებშიც აუცილებელია პარამეტრის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის უტოლობის ან განტოლების ამოხსნა. მეორე კლასში შედის დავალებები, რომლებშიც საჭიროა არა ყველა შესაძლო გადაწყვეტის მოძიება, არამედ მხოლოდ ის, რაც აკმაყოფილებს დამატებით პირობებს.
სკოლის მოსწავლეებისთვის ასეთი პრობლემების გადაჭრის ყველაზე გასაგები გზაა ჯერ ყველა გამოსავლის პოვნა და შემდეგ ისეთის არჩევა, რომელიც აკმაყოფილებს დამატებით პირობებს. მაგრამ ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. არსებობს უამრავი პრობლემა, რომლებშიც შეუძლებელია მრავალი გამოსავლის პოვნა და ჩვენ ამას არ სთხოვენ. ამიტომ, ჩვენ უნდა ვეძიოთ პრობლემის გადაჭრის გზა ისე, რომ ჩვენს ხელთ არ გვქონდეს მოცემული განტოლების ან უტოლობის ამონახსნების მთელი ნაკრები, მაგალითად, მოძებნოთ განტოლებაში შემავალი ფუნქციების თვისებები, რაც საშუალებას მოგვცემს ვიმსჯელოთ გადაწყვეტილებების გარკვეული ნაკრების არსებობაზე.
დავალებების ძირითადი ტიპები პარამეტრებით
ტიპი 1.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რომლებიც უნდა გადაწყდეს ან პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (პარამეტრები), ან პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს.
ამ ტიპის პრობლემა საბაზისოა თემის „პრობლემები პარამეტრებთან“ დაუფლებისას, რადგან ჩადებული სამუშაო წინასწარ განსაზღვრავს წარმატებას ყველა სხვა ძირითადი ტიპის პრობლემების გადაჭრაში.
ტიპი 2.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რისთვისაც აუცილებელია ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრა პარამეტრის (პარამეტრების) მნიშვნელობიდან გამომდინარე.
ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ ამ ტიპის ამოცანების ამოხსნისას არ არის საჭირო არც მოცემული განტოლებების, უტოლობების, მათი სისტემებისა და კომბინაციების ამოხსნა და ა.შ. უმეტეს შემთხვევაში, ასეთი არასაჭირო სამუშაო არის ტაქტიკური შეცდომა, რომელიც იწვევს დროის ზედმეტ დაკარგვას. ამასთან, ეს არ უნდა იყოს აბსოლუტური, რადგან ზოგჯერ პირდაპირი გადაწყვეტა 1 ტიპის შესაბამისად არის ერთადერთი გონივრული გზა პასუხის მისაღებად მე-2 ტიპის პრობლემის გადაჭრისას.
ტიპი 3.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და კოლექციები, რისთვისაც საჭიროა ყველა იმ პარამეტრის მნიშვნელობების პოვნა, რომლებისთვისაც მითითებულ განტოლებებს, უტოლობას, მათ სისტემებსა და კოლექციებს აქვთ ამონახსნების მოცემული რაოდენობა (კერძოდ, მათ არ აქვთ ან აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა).
ადვილი მისახვედრია, რომ მე-3 ტიპის პრობლემები გარკვეულწილად არის მე-2 ტიპის პრობლემების საპირისპირო.
ტიპი 4.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რომლებისთვისაც, პარამეტრის საჭირო მნიშვნელობებისთვის, ამონახსნების ნაკრები აკმაყოფილებს განსაზღვრულ პირობებს განსაზღვრების სფეროში.
მაგალითად, იპოვნეთ პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლებშიც:
1) განტოლება დაკმაყოფილებულია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მოცემული ინტერვალიდან;
2) პირველი განტოლების ამონახსნთა სიმრავლე არის მეორე განტოლების ამონახსნების სიმრავლის ქვესიმრავლე და ა.შ.
კომენტარი. პარამეტრთან დაკავშირებული პრობლემების მრავალფეროვნება მოიცავს სასკოლო მათემატიკის მთელ კურსს (როგორც ალგებრა, ასევე გეომეტრია), მაგრამ მათი დიდი უმრავლესობა ფინალურ და მისაღებ გამოცდებში მიეკუთვნება ჩამოთვლილ ოთხ ტიპს, რომელსაც ამ მიზეზით უწოდებენ ძირითადს.
პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების ყველაზე გავრცელებული კლასი არის პრობლემები ერთი უცნობი და ერთი პარამეტრით. მომდევნო აბზაცში მითითებულია ამ კონკრეტული კლასის პრობლემების გადაჭრის ძირითადი გზები.
პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის ძირითადი მეთოდები
მეთოდი I(ანალიტიკური). ეს არის ეგრეთ წოდებული პირდაპირი გადაწყვეტის მეთოდი, რომელიც იმეორებს სტანდარტულ პროცედურებს პრობლემების პარამეტრის გარეშე პასუხის მოსაძებნად. ზოგჯერ ამბობენ, რომ ეს არის ძალისმიერი, კარგი გაგებით, „ამპარტავანი“ გადაწყვეტის მეთოდი.
მეთოდი II(გრაფიკული). დავალებიდან გამომდინარე (ცვლადით xდა პარამეტრი ა) გრაფიკები განიხილება ან კოორდინატულ სიბრტყეში ( x; წ), ან კოორდინატულ სიბრტყეში ( x; ა).
კომენტარი. პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდის განსაკუთრებული სიცხადე და სილამაზე იმდენად ხიბლავს მოსწავლეებს თემის „პრობლემები პარამეტრთან“, რომ ისინი იწყებენ გადაწყვეტის სხვა მეთოდების იგნორირებას, ავიწყდებათ ცნობილი ფაქტი: პრობლემების ნებისმიერი კლასისთვის. მათ ავტორებს შეუძლიათ ჩამოაყალიბონ ერთი, რომელიც ბრწყინვალედ არის გადაწყვეტილი ამ გზით და კოლოსალური სირთულეებით სხვა გზებით. ამიტომ, შესწავლის საწყის ეტაპზე საშიშია პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის გრაფიკული ტექნიკით დაწყება.
მეთოდი III(გადაწყვეტილება პარამეტრთან დაკავშირებით). ამ გზით გადაჭრისას ცვლადები xდა ამიიღება ტოლი და არჩეულია ცვლადი, რომლის მიმართაც ანალიტიკური ამონახსნები უფრო მარტივია. ბუნებრივი გამარტივების შემდეგ, ჩვენ ვუბრუნდებით ცვლადების საწყის მნიშვნელობას xდა ადა დაასრულეთ გამოსავალი.
მოდით ახლა გადავიდეთ პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის ამ მეთოდების დემონსტრირებაზე.
1. წრფივი განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით
ხაზოვანი ფუნქცია: – სწორი ხაზის განტოლება დახრილობის კოეფიციენტთან . კუთხოვანი კოეფიციენტი ტოლია სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენტს ღერძის დადებითი მიმართულებით .
წრფივი განტოლებები ფორმის პარამეტრებით
თუ , განტოლებას აქვს ერთადერთი რამ გამოსავალი.
თუ , რომ განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები, როდის , და განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი, როცა .
მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება | x | = ა .
გამოსავალი:
ა > 0, => x 1.2 = ± ა
ა = 0, => x = 0
ა < 0, =>არ არის გადაწყვეტილებები.
პასუხი: x 1.2 = ± აზე ა > 0; x= 0 at ა= 0; არ არსებობს გადაწყვეტილებები ა < 0.
მაგალითი 2.განტოლების ამოხსნა |3 – x | = ა .
გამოსავალი:
ა > 0, => 3 – x = ± ა , => x= 3 ± ა
ა = 0, => 3 – x = 0. => x = 3
ა < 0, =>არ არის გადაწყვეტილებები.
პასუხი: x 1.2 = 3 ± აზე ა > 0; x= 3 საათზე ა= 0; არ არსებობს გადაწყვეტილებები ა < 0.
მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება მ ² x – მ = x + 1.
გამოსავალი:
მ ² x – მ = x + 1
მ ² x – x = მ + 1
(m² – 1)x = m + 1
პასუხი: 
ზე მ
≠ ±
1; x
Є
რზე მ= –1; არ არსებობს გადაწყვეტილებები მ
= 1.
მაგალითი 4. აამოხსენი განტოლება: ( ა 2 – 4) x = ა + 2 .
გამოსავალი:მოდით გავამრავლოთ კოეფიციენტი. .
თუ , განტოლებას აქვს ერთადერთი რამ გამოსავალი: .
თუ , განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები.
თუ , მაშინ განტოლება აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი .
მაგალითი 6.ყველა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის ა
ამოხსენი განტოლება: 
.
გამოსავალი: ODZ: .
ამ პირობით, განტოლება უდრის შემდეგს: 
.
მოდით შევამოწმოთ, ეკუთვნით თუ არა ODZ-ს: ,
თუ .
თუ ,
შემდეგ განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები.
მაგალითი 7.ყველა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის აამოხსენით განტოლება: | X + 3| – ა | x – 1| = 4.
გამოსავალი:მოდით გავყოთ რიცხვითი წრფე 3 ნაწილად იმ წერტილებით, რომლებშიც მოდულის ნიშნის ქვეშ გამოსახულებები ქრება და ამოხსნის 3 სისტემას:
1) 
,
თუ .
ნაპოვნი იქნება გამოსავალი თუ .
2) 
,
თუ .
ნაპოვნი ერთი აკმაყოფილებს საჭირო უთანასწორობას, ამიტომ არის გამოსავალი .
თუ ,
მაშინ გამოსავალი არის ნებისმიერი .
3) 
,
თუ .
ნაპოვნია არააკმაყოფილებს საჭირო უთანასწორობას, შესაბამისად, არაარის გამოსავალი, როდესაც .
თუ ,
მაშინ გამოსავალი არის ნებისმიერი x > 1.
პასუხი: ზე ; ზე ;
ნრი ; ასევე გამოსავალია ყველასთვის .
მაგალითი 8.იპოვე ყველა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის მე-15 განტოლების ამონახსნებიდან ერთი მაინც x – 7ა = 2 – 3ცული + 6ა ნაკლები 2 .
გამოსავალი:მოდით ვიპოვოთ განტოლების ამონახსნები თითოეულისთვის .
, თუ .
მოვაგვაროთ უტოლობა: 
.
როდესაც განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.
უპასუხე : აÎ (–5 , 4) .
წრფივი უტოლობა პარამეტრებით
მაგალითად: უტოლობის ამოხსნა: kx < ბ .
თუ კ> 0, მაშინ 
. თუ კ
< 0, то 
. თუ კ= 0, მაშინ როდის ბ> 0 გამოსავალი არის ნებისმიერი x
Є რდა როდის 
არ არის გადაწყვეტილებები.
იმავე გზით ამოხსენით უჯრაში დარჩენილი უტოლობა.
მაგალითი 1. a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის ამოხსენით უტოლობა 
.
გამოსავალი:
. თუ ფრჩხილები წინაა xდადებითია, ე.ი. ზე 
, ეს 
. თუ ფრჩხილები წინაა xუარყოფითი, ე.ი. ზე 
, ეს 
. თუ ა= 0 ან a =, მაშინ არ არის ამონახსნები.
პასუხი: ზე ; ზე ;
არ არსებობს გადაწყვეტილებები ა= 0 ან a =.
მაგალითი 2. ყველა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის აუთანასწორობის ამოხსნა | X– a| – | x + ა| < 2ა .
გამოსავალი:
ზე ა=0 გვაქვს არასწორი უტოლობა 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, შემდეგ x-ზე< –აორივე მოდული გაფართოებულია მინუსით და მივიღებთ არასწორ უტოლობას 2 ა < 2ა, ე.ი. არ არის გადაწყვეტილებები. თუ x Є [– ა ; ა] , მაშინ პირველი მოდული იხსნება მინუსით, ხოლო მეორე პლიუსით და მივიღებთ უტოლობას –2 x < 2ა, ე.ი. x > –ა, ანუ გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є (– ა ; ა]. თუ x > აორივე მოდული იხსნება პლუსით და ვიღებთ სწორ უტოლობას –2 ა < 2ა, ე.ი. , გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є ( ა; +∞). ორივე პასუხის კომბინაციით, მივიღებთ, რომ როდის ა > 0 x Є (– ა ; +∞).
დაე ა < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2ა. ამრიგად, თან ა < 0 решений нет.
პასუხი: x
Є (– ა; +∞) at ა> 0, არ არსებობს გადაწყვეტილებები 
.
კომენტარი.ამ პრობლემის გადაწყვეტა უფრო სწრაფი და მარტივია, თუ გამოიყენებთ ორი რიცხვის სხვაობის მოდულის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას, როგორც წერტილებს შორის მანძილს. შემდეგ მარცხენა მხარეს გამოთქმა შეიძლება განიმარტოს, როგორც წერტილიდან დაშორების განსხვავება Xწერტილებამდე ადა - ა .
მაგალითი 3.იპოვე ყველა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის უტოლობის ყველა ამონახსნები 
უთანასწორობის დაკმაყოფილება 2 x
– ა² + 5< 0.
გამოსავალი:
უტოლობის ამოხსნა |x | ≤ 2 არის ნაკრები ა=[–2; 2] და უტოლობის ამოხსნა 2 x
– ა² + 5< 0 является множество ბ
= (–∞; 
) . პრობლემის პირობების დასაკმაყოფილებლად აუცილებელია A სიმრავლე შევიდეს B სიმრავლეში (). ეს პირობა დაკმაყოფილდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში.
პასუხი: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).
მაგალითი 4.იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის უტოლობა 
გადის ყველასთვის xსეგმენტიდან.
გამოსავალი:
ფრაქცია არის ნულზე ნაკლები ფესვებს შორის, ასე რომ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელი ფესვი უფრო დიდია.
–3ა
+ 2 < 2ა
+ 4 
და -3 ა
+ 2 > 2ა
+ 4 
. ამრიგად, თან 
xЄ (–3 ა
+ 2; 2ა+ 4) და იმისთვის, რომ უტოლობა დარჩეს ყველა x სეგმენტიდან, აუცილებელია, რომ
ზე 
xЄ (2 ა
+ 4; –3ა+ 2) და ისე, რომ უთანასწორობა ყველასთვის მოქმედებს xსეგმენტიდან აუცილებელია, რომ
როდესაც a = – (როდესაც ფესვები ემთხვევა) არ არსებობს ამონახსნები, რადგან ამ შემთხვევაში უტოლობა იღებს ფორმას: .
პასუხი: 
.
მაგალითი 5. აუტოლობა მოქმედებს ყველა უარყოფით მნიშვნელობაზე X?
გამოსავალი:
ფუნქცია მონოტონურად იზრდება, თუ კოეფიციენტი არის x არაუარყოფითი და ის მონოტონურად მცირდება, თუ კოეფიციენტი არის xუარყოფითი.
მოდით გავარკვიოთ კოეფიციენტის ნიშანი at 
ა ≤ –3,
ა ≥ 1; (ა² + 2 ა – 3) < 0 <=> –3 < ა < 1.
ა ≤ –3,
დაე ა≥ 1. შემდეგ ფუნქცია ვ
(x
)
მონოტონურად არ იკლებს და პრობლემის პირობა დაკმაყოფილდება თუ ვ
(x
)
≤ 0 <=> 3ა
² – ა
– 14 ≤ 0 <=> 
.
ა ≤ –3,
პირობებთან ერთად ა≥ 1; ჩვენ ვიღებთ: 
მოდით -3< ა < 1. Тогда функция ვ (x ) მონოტონურად მცირდება და პრობლემის მდგომარეობა ვერასოდეს დაკმაყოფილდება.
უპასუხე:
.
2. კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით
კვადრატული ფუნქცია: 
.
რეალური რიცხვების სიმრავლეში ეს განტოლება შესწავლილია შემდეგი სქემის გამოყენებით.
მაგალითი 1. რა ღირებულებებზე ა განტოლებაx ² – ცული + 1 = 0 არ აქვს ნამდვილი ფესვები?
გამოსავალი:
x ² – ცული + 1 = 0
დ = ა ² – 4 1 =ა ² - 4
ა ² - 4< 0 + – +
( ა – 2)( ა + 2) < 0 –2 2
უპასუხე: ზეa Є (–2; 2)
მაგალითი 2.a-ს რომელ მნიშვნელობებს ეხება განტოლება ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5 აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი?
გამოსავალი:
ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5, ა ≠ 0
ოჰ ² – აჰ+ ა – 3 X – 5 = 0
ოჰ ² – ( ა + 3) X + ა – 5 = 0
დ = ( ა +3)² - 4ა ( ა – 5) = ა ² +6ა + 9 – 4 ა ² + 20ა = –3 ა ² + 26ა + 9
–3 ა ² + 26 ა + 9 > 0
3 ა ² - 26ა – 9 < 0
დ = 26² – 4 3 (–9) = 784
ა
1
=
;
ა
2
=
+ –
+
0 9
პასუხი:ზეაЄ (–1/3; 0)უ (0; 9)
მაგალითი 3: ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ოძ: x ≠1, x ≠ ა
x
– 1 +
x
–
ა
= 2, 2
x
= 3 +
ა
, 
1)
; 3 +
ა
≠ 2;
ა
≠ –1
2) 
; 3 +
ა
≠ 2
ა
;
ა
≠ 3
პასუხი:
ზეა
Є (–∞; –1)უ
(–1; 3)
უ
(3; +∞);
არ არსებობს გადაწყვეტილებებიa = –1; 3.
მაგალითი4 . ამოხსენით განტოლება | x ²–2 x –3 | = ა .
გამოსავალი:
მოდით შევხედოთ ფუნქციებს წ = | x ²–2 x –3 | დაწ = ა .
ზე ა
<
0
არ არის გადაწყვეტილებები;
ზე ა
=
0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა
< 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.
პასუხი:
ზე ა
< 0 нет решений;
ზე ა= 0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა
< 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.
მაგალითი 5.იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა
ა
, რომელთაგან თითოეული განტოლება
|
x
²–(
ა
+2)
x
+2
ა
| = |
3
x
–6
|
აქვს ზუსტად ორი ფესვი. თუ ასეთი ღირებულებები
ა
ერთზე მეტი, თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათი პროდუქტი.
გამოსავალი:
გავაფართოვოთ კვადრატული ტრინომიალი x
²–(
ა
+2)
x
+2
ა
მულტიპლიკატორებით.
;
;
;
ვიღებთ |
(
x
–2)(
x
–
ა
)
| =
3
|
x
–2
|.
ეს განტოლება სიმრავლის ტოლფასია
მაშასადამე, ამ განტოლებას აქვს ზუსტად ორი ფესვი თუ ა+ 3 = 2 და ა
– 3 = 2.
აქედან ვხვდებით, რომ სასურველი მნიშვნელობები აარიან ა
1
= –1; ა
2
= 5; ა
1
·
ა
2
= –5.
პასუხი: –5.
მაგალითი 6.იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა , რისთვისაც განტოლების ფესვები ცული ² – 2( ა + 1) x – ა + 5 = 0 დადებითები არიან.
გამოსავალი:
გამშვები პუნქტი ა= 0, რადგან ცვლის განტოლების არსს.
1. ა = 0 –2x + = 0;
პასუხი: a Є U.
მაგალითი 7.ზერა პარამეტრის მნიშვნელობები ა განტოლება | x ² - 4 x + 3 | = ცული აქვს 3 ფესვი.
გამოსავალი:
მოდით ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკები წ = | x ² - 4 x + 3 | და წ = ცული .
ფუნქცია გრაფიკულად არის დახატული სეგმენტზე 
.
ამ განტოლებას ექნება სამი ფესვი, თუ ფუნქციის გრაფიკი წ
=
ცულიიქნება ტანგენსი გრაფიკზე წ
= x
²+ 4
x
– 3
on
სეგმენტი
ტანგენტის განტოლებას აქვს ფორმა წ
=
ვ
(x
0
) +
ვ
’(x
0
)(x
–
x
0
),
იმიტომ რომ ტანგენტის განტოლება წ
=
ა, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას 
იმიტომ რომ x 0 Є ,
პასუხი:ზე ა
= 4 – 2
.
კვადრატული უტოლობა პარამეტრებით
მაგალითი.იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა
ა
, რომელთაგან თითოეული უტოლობების ამონახსნებს შორის 
ხაზის სეგმენტზე არ არის წერტილები.
გამოსავალი:
ჯერ მოდით გადავჭრათ უტოლობა პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის და შემდეგ ვიპოვოთ ის, რისთვისაც არ არის სეგმენტის ერთი წერტილი ამონახსნებს შორის. .
დაე 
, ცული
= ტ
²
ტ ≥ 0
ცვლადების ასეთი ჩანაცვლებით, უტოლობის ODZ შესრულებულია ავტომატურად. xშეიძლება გამოიხატოს მეშვეობით ტ, თუ ა≠ 0. მაშასადამე, შემთხვევა როცა ა
= 0, განვიხილავთ ცალკე.
1. მოდით ა
= 0, მაშინ X> 0 და მოცემული სეგმენტი არის ამონახსნი.
2.ნება ა≠ 0, მაშინ 
და უთანასწორობა მიიღებს ფორმას 
, 
უტოლობის ამოხსნა დამოკიდებულია მნიშვნელობებზე ა, ამიტომ ორი შემთხვევა უნდა განვიხილოთ.
1) თუ ა>0, მაშინ 
ზე 
ან ძველ ცვლადებში,
ამოხსნა არ შეიცავს მოცემული სეგმენტის ერთ წერტილს, თუ და მხოლოდ პირობების დაკმაყოფილების შემთხვევაში ა ≤ 7,
16ა≥ 96. აქედან გამომდინარე, ა
Є .
2). თუ ა< 0, то ; 
; ტЄ (4 ა
; ა). იმიტომ რომ ტ≥ 0, მაშინ გამოსავალი არ არის.
პასუხი: .
ირაციონალური განტოლებები პარამეტრებით
პარამეტრით ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას, პირველ რიგში, გასათვალისწინებელია მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. მეორეც, თუ უტოლობის ორივე მხარე არაუარყოფითი გამონათქვამებია, მაშინ ასეთი უტოლობა შეიძლება კვადრატული იყოს უტოლობის ნიშნის შენარჩუნებით.
ხშირ შემთხვევაში, ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები ცვლადების შეცვლის შემდეგ მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე.
მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, ა ≥ 0.
x + 1 = ა ².
თუ x = ა² – 1, მაშინ პირობა დაკმაყოფილებულია.
პასუხი: x = ა² – 1 ზე ა≥ 0; არ არსებობს გადაწყვეტილებები ა < 0.
მაგალითი 2: ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,
a–x ≥ 0; x ≤ ა;
x + 3 = a–x,
2x = ა – 3,
<=>
<=>
<=>
ა
≥ –3.
პასუხი: ზე ა≥ -3; არ არსებობს გადაწყვეტილებები ა
< –3.
მაგალითი 3.რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? 
პარამეტრების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე ა?
გამოსავალი:
განტოლების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი: x Є [–2; 2]
მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები. პირველი ფუნქციის გრაფიკი არის წრის ზედა ნახევარი x² + წ² = 4. მეორე ფუნქციის გრაფიკი არის პირველი და მეორე კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. პირველი ფუნქციის გრაფიკს გამოვაკლოთ მეორის გრაფიკი და მიიღეთ ფუნქციის გრაფიკი 
. თუ შეცვლით ზე on ა, მაშინ ფუნქციის ბოლო გრაფიკი არის თავდაპირველი განტოლების დამაკმაყოფილებელი წერტილების სიმრავლე (x; ა). 
გრაფიკის მიხედვით ჩვენ ვხედავთ პასუხს.
პასუხი:ზე აЄ (–∞; –2) U (1; +∞), ფესვების გარეშე;
ზე აЄ [–2; 2), ორი ფესვი;
ზე ა= 1, ერთი ფესვი.
მაგალითი 4.რა პარამეტრის მნიშვნელობებზე აგანტოლება 
აქვს ერთი გამოსავალი?
გამოსავალი:
მეთოდი 1 (ანალიტიკური):
პასუხი:
მეთოდი 2 (გრაფიკული):
პასუხი:≥ –2-ისთვის განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები
მაგალითი 5.პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებს აქვს განტოლება = 2 + x აქვს უნიკალური ამონახსნები.
გამოსავალი:
მოდით განვიხილოთ ამ განტოლების ამოხსნის გრაფიკული ვერსია, ანუ ჩვენ ავაშენებთ ორ ფუნქციას:
ზე 1 = 2 + Xდა ზე 2 =
პირველი ფუნქცია წრფივია და გადის წერტილებში (0; 2) და (–2; 0).
მეორე ფუნქციის გრაფიკი შეიცავს პარამეტრს. ჯერ განვიხილოთ ამ ფუნქციის გრაფიკი at ა= 0 (ნახ. 1). პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლისას, გრაფიკი მოძრაობს ღერძის გასწვრივ ოჰშესაბამისი მნიშვნელობით მარცხნივ (დადებითისთვის ა) ან მარჯვნივ (უარყოფითისთვის ა) (ნახ. 2)
ფიგურიდან ირკვევა, რომ როდის ა < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
პასუხი:ზე ა≥ –2 განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი.
ტრიგონომეტრიული განტოლებები პარამეტრებით.
მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება ცოდვა (– x + 2 x – 1) = ბ + 1.
გამოსავალი:
ფუნქციის უცნაურობის გათვალისწინებით 
, ამ განტოლებას ვამცირებთ ეკვივალენტამდე 
.
1. ბ = –1
3. ბ =–2
4. | ბ + 1| > 1
გადაწყვეტილებები არ არსებობს.
5. ბЄ(–1; 0)
6. ბЄ(–2; –1)
მაგალითი 2.იპოვეთ p პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის განტოლება
არ აქვს გადაწყვეტილებები.
გამოსავალი:
გამოვხატოთ cos 2 xმეშვეობით სინქსი.
დაე 
შემდეგ დავალება შემცირდა ყველა მნიშვნელობის პოვნამდე გვ, რომლის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები [–1; 1]. განტოლების ალგორითმულად ამოხსნა შეუძლებელია, ამიტომ ამოცანის ამოხსნას გრაფიკის გამოყენებით. მოდით დავწეროთ განტოლება ფორმით, ახლა კი მარცხენა მხარის გრაფიკის ჩანახატი 
ადვილად ასაშენებელი.
განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, თუ სწორი ხაზია წ
=
გვ+ 9 არ კვეთს გრაფიკს [–1; 1], ე.ი. 
პასუხი:გვ Є (–∞; –9) U (17; +∞).
განტოლებათა სისტემები პარამეტრებით
ორი წრფივი განტოლების სისტემა პარამეტრებით
განტოლებათა სისტემა 
ორი წრფივი განტოლების სისტემის ამონახსნები არის ორი სწორი წრფის გადაკვეთის წერტილები: და .
არსებობს 3 შესაძლო შემთხვევა:
1. ხაზები არ არის პარალელური . მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები არ არის პარალელური, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს ერთადერთი გამოსავალი.
2. წრფეები პარალელურია და ერთმანეთს არ ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია, მაგრამ ძვრები განსხვავებულია, ე.ი. .
ამ შემთხვევაში სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები .
3. სწორი ხაზები ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია და ძვრები ემთხვევა, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი -ხაზის ყველა წერტილი .
1. წრფივი განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
პარამეტრით წრფივი განტოლებათა სისტემები წყდება იგივე ძირითადი მეთოდებით, როგორც განტოლებების ჩვეულებრივი სისტემები: ჩანაცვლების მეთოდი, განტოლებების დამატების მეთოდი და გრაფიკული მეთოდი. ხაზოვანი სისტემების გრაფიკული ინტერპრეტაციის ცოდნა აადვილებს პასუხის გაცემას ფესვების რაოდენობისა და მათი არსებობის შესახებ.
მაგალითი 1.
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას არ აქვს ამონახსნები.
(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.
გამოსავალი.
მოდით შევხედოთ ამ ამოცანის გადაჭრის რამდენიმე გზას.
1 გზა.ჩვენ ვიყენებთ თვისებას: სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის წინ კოეფიციენტების თანაფარდობა უდრის y-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არა თავისუფალი წევრების შეფარდებას (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). მაშინ გვაქვს:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ან სისტემა
(და 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.
პირველი განტოლებიდან a 2 = 4, შესაბამისად, იმ პირობის გათვალისწინებით, რომ a ≠ 2, მივიღებთ პასუხს.
პასუხი: a = -2.
მეთოდი 2.ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,
((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
პირველი განტოლების ფრჩხილებიდან y საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივიღებთ:
((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ანუ
(და 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
ცხადია, a = ± 2, მაგრამ მეორე პირობის გათვალისწინებით, პასუხი მოდის მხოლოდ მინუს პასუხით.
პასუხი: a = -2.
მაგალითი 2.
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
(8x + ay = 2,
(ცული + 2y = 1.
გამოსავალი.
თვისების მიხედვით, თუ x და y კოეფიციენტების თანაფარდობა ერთნაირია და უდრის სისტემის თავისუფალი წევრების შეფარდებას, მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა (ე.ი. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). ამიტომ 8/a = a/2 = 2/1. თითოეული მიღებული განტოლების ამოხსნით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ a = 4 არის პასუხი ამ მაგალითში.
პასუხი: a = 4.
2. რაციონალური განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
მაგალითი 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
გამოსავალი.
მოდით გავამრავლოთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
თუ გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას პირველს, მივიღებთ 5|x| = 4 – ა. ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი a = 4-ისთვის. სხვა შემთხვევებში, ამ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნები (ა.< 4) или ни одного (при а > 4).
პასუხი: a = 4.
მაგალითი 4.
იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
გამოსავალი.
ამ სისტემას გრაფიკული მეთოდით მოვაგვარებთ. ამრიგად, სისტემის მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც ამაღლებულია Oy ღერძის გასწვრივ ერთი ერთეული სეგმენტით ზემოთ. პირველი განტოლება განსაზღვრავს წრფეთა ერთობლიობას y = -x წრფის პარალელურად (სურათი 1). ნახატიდან ნათლად ჩანს, რომ სისტემას აქვს ამონახსნი, თუ სწორი წრფე y = -x + a არის პარაბოლის ტანგენსი კოორდინატებით (-0.5, 1.25) წერტილში. ამ კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში x და y-ის ნაცვლად, ვპოულობთ a პარამეტრის მნიშვნელობას: 
1,25 = 0,5 + ა;
პასუხი: a = 0.75.
მაგალითი 5.
ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.
(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
გამოსავალი.
პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ y-ს და ვცვლით მეორეში:
(y = ცული - a - 1,
(ცული + (a + 2) (ცული – a – 1) = 2.
მეორე განტოლება შევამციროთ kx = b ფორმამდე, რომელსაც ექნება უნიკალური ამონახსნი k ≠ 0-ისთვის. გვაქვს:
ცული + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
ჩვენ წარმოვადგენთ კვადრატულ ტრინომს a 2 + 3a + 2, როგორც ფრჩხილების ნამრავლი
(a + 2)(a + 1), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).
ცხადია, 2 + 3a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, რაც ნიშნავს a ≠ 0 და ≠ -3.
პასუხი: a ≠ 0; ≠ -3.
მაგალითი 6.
გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით დაადგინეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
გამოსავალი.
მდგომარეობიდან გამომდინარე ვაშენებთ წრეს საწყისზე ცენტრით და 3 ერთეული სეგმენტის რადიუსით, ეს არის მითითებული სისტემის პირველი განტოლებით.
x 2 + y 2 = 9. სისტემის მეორე განტოლება (y = |x| + a) არის გატეხილი ხაზი. გამოყენებით სურათი 2ჩვენ განვიხილავთ მისი მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევას წრესთან შედარებით. ადვილი მისახვედრია, რომ a = 3. 
პასუხი: a = 3.
ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით განტოლების სისტემების ამოხსნა?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.