პირდაპირი დავალებების გადაკვეთის პირობები გამოცდის პარამეტრების მიხედვით. განტოლებები პარამეტრებით
ტიპის განტოლება ვ(x; ა) = 0 ეწოდება ცვლადი განტოლება Xდა პარამეტრი ა.
ამოხსენით განტოლება პარამეტრით აეს ნიშნავს, რომ ყველა ღირებულებისთვის აიპოვნეთ ღირებულებები Xაკმაყოფილებს ამ განტოლებას.
მაგალითი 1 ოჰ= 0
მაგალითი 2 ოჰ = ა
მაგალითი 3
x + 2 = ცული
x - ah \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
თუ 1 - ა= 0, ე.ი. ა= 1, მაშინ X 0 = -2 ფესვების გარეშე
თუ 1 - ა 0, ე.ი. ა 1, მაშინ X =
მაგალითი 4
(ა 2 – 1) X = 2ა 2 + ა – 3
(ა – 1)(ა + 1)X = 2(ა – 1)(ა – 1,5)
(ა – 1)(ა + 1)X = (1ა – 3)(ა – 1)
თუ ა= 1, შემდეგ 0 X = 0
X- ნებისმიერი რეალური ნომერი
თუ ა= -1, შემდეგ 0 X = -2
ფესვების გარეშე
თუ ა 1, ა-1 მაშინ X= (ერთადერთი გამოსავალი).
ეს ნიშნავს, რომ ყველა მოქმედი მნიშვნელობისთვის აშეესაბამება ერთ მნიშვნელობას X.
Მაგალითად:
თუ ა= 5, მაშინ X = = ;
თუ ა= 0, მაშინ X= 3 და ა.შ.
დიდაქტიკური მასალა
1. ოჰ = X + 3
2. 4 + ოჰ = 3X – 1
3. ა = +
ზე ა= 1 ფესვები არ არის.
ზე ა= 3 ფესვების გარეშე.
ზე ა = 1 Xნებისმიერი რეალური რიცხვი გარდა X = 1
ზე ა = -1, ა= 0 გამოსავალი არ არის.
ზე ა = 0, ა= 2 გადაწყვეტილებების გარეშე.
ზე ა = -3, ა = 0, 5, ა= -2 გადაწყვეტილებების გარეშე
ზე ა = -თან, თან= 0 გამოსავალი არ არის.
კვადრატული განტოლებები პარამეტრით
მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა
(ა – 1)X 2 = 2(2ა + 1)X + 4ა + 3 = 0
ზე ა = 1 6X + 7 = 0
Როდესაც ა 1 აირჩიეთ პარამეტრის ის მნიშვნელობები, რისთვისაც დმიდის ნულამდე.
D = (2(2 ა + 1)) 2 – 4(ა – 1)(4ა + 30 = 16ა 2 + 16ა + 4 – 4(4ა 2 + 3ა – 4ა – 3) = 16ა 2 + 16ა + 4 – 16ა 2 + 4ა + 12 = 20ა + 16
20ა + 16 = 0
20ა = -16
თუ ა < -4/5, то დ < 0, уравнение имеет действительный корень.
თუ ა> -4/5 და ა 1, მაშინ დ > 0,
X = 
თუ ა= 4/5, მაშინ დ = 0,
მაგალითი 2პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლება
x 2 + 2( ა + 1)X + 9ა– 5 = 0-ს აქვს 2 განსხვავებული უარყოფითი ფესვი?
D = 4( ა + 1) 2 – 4(9ა – 5) = 4ა 2 – 28ა + 24 = 4(ა – 1)(ა – 6)
4(ა – 1)(ა – 6) > 0
ვიეტას მიხედვით: X 1 + X 2 = -2(ა + 1)
X 1 X 2 = 9ა – 5
პირობით X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(ა + 1) < 0 и 9ა – 5 > 0
| საბოლოოდ | 4(ა – 1)(ა – 6) > 0 - 2(ა + 1) < 0 9ა – 5 > 0 |
ა < 1: а > 6 ა > - 1 ა > 5/9 |
 (ბრინჯი. 1) < ა < 1, либо ა > 6 |
მაგალითი 3იპოვეთ ღირებულებები არისთვისაც ამ განტოლებას აქვს ამონახსნი.
x 2 - 2 ( ა – 1)X + 2ა + 1 = 0
D = 4( ა – 1) 2 – 4(2ა + 10 = 4ა 2 – 8ა + 4 – 8ა – 4 = 4ა 2 – 16ა
4ა 2 – 16 0
4ა(ა – 4) 0
A( ა – 4)) 0
A( ა – 4) = 0
a = 0 ან ა – 4 = 0
ა = 4
(ბრინჯი. 2)
პასუხი: ა 0 და ა 4
დიდაქტიკური მასალა
1. რა ღირებულებით აგანტოლება ოჰ 2 – (ა + 1) X + 2ა– 1 = 0 აქვს ერთი ფესვი?
2. რა ღირებულებით აგანტოლება ( ა + 2) X 2 + 2(ა + 2)X+ 2 = 0 აქვს ერთი ფესვი?
3. a-ს რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება ( ა 2 – 6ა + 8) X 2 + (ა 2 – 4) X + (10 – 3ა – ა 2) = 0-ს აქვს ორზე მეტი ფესვი?
4. განტოლების რა მნიშვნელობებისთვის 2 X 2 + X – ა= 0-ს აქვს მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი 2 განტოლებით X 2 – 7X + 6 = 0?
5. a-ს რომელ მნიშვნელობებზე კეთდება განტოლებები X 2 +ოჰ+ 1 = 0 და X 2 + X + ა= 0 აქვს მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი?
1. როცა ა = - 1/7, ა = 0, ა = 1
2. როცა ა = 0
3. როცა ა = 2
4. როცა ა = 10
5. როცა ა = - 2
ექსპონენციალური განტოლებები პარამეტრით
მაგალითი 1.იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რისთვისაც განტოლება
9 x - ( ა+ 2) * 3 x-1 / x +2 ა*3 -2/x = 0 (1) აქვს ზუსტად ორი ფესვი.
გამოსავალი. გამრავლებით (1) განტოლების ორივე მხარე 3 2/x-ზე, მივიღებთ ეკვივალენტურ განტოლებას
3 2(x+1/x) – ( ა+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 ა = 0 (2)
მოდით 3 x+1/x = ზე, მაშინ განტოლება (2) იღებს ფორმას ზე 2 – (ა + 2)ზე + 2ა= 0, ან
(ზე – 2)(ზე – ა) = 0, საიდანაც ზე 1 =2, ზე 2 = ა.
თუ ზე= 2, ე.ი. 3 x + 1/x = 2 მაშინ X + 1/X= ჟურნალი 3 2, ან X 2 – Xჟურნალი 3 2 + 1 = 0.
ამ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, რადგან ის დ= ჟურნალი 2 3 2 – 4< 0.
თუ ზე = ა, ე.ი. 3 x+1/x = არომ X + 1/X= ჟურნალი 3 ა, ან X 2 –Xჟურნალი 3 a + 1 = 0. (3)
განტოლებას (3) აქვს ზუსტად ორი ფესვი, თუ და მხოლოდ თუ
D = log 2 3 2 – 4 > 0, ან |log 3 a| > 2.
თუ ჟურნალი 3 a > 2, მაშინ ა> 9 და თუ ჟურნალი 3 ა< -2, то 0 < ა < 1/9.
პასუხი: 0< ა < 1/9, ა > 9.
მაგალითი 2. განტოლების რა მნიშვნელობებზეა 2 2x - ( A - 3) 2 x - 3 ა= 0 აქვს ამონახსნები?
მოცემულ განტოლებას რომ ჰქონდეს ამონახსნები, აუცილებელია და საკმარისია, რომ განტოლება ტ 2 – (ა - 3) ტ – 3ა= 0-ს აქვს მინიმუმ ერთი დადებითი ფესვი. მოდით ვიპოვოთ ფესვები ვიეტას თეორემის გამოყენებით: X 1 = -3, X 2 = ა = >
a დადებითი რიცხვია.
პასუხი: როდის ა > 0
დიდაქტიკური მასალა
1. იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც
25 x - (2 ა+ 5) * 5 x-1 / x + 10 ა* 5 -2/x = 0-ს აქვს ზუსტად 2 ამონახსნი.
2. a-ს რომელ მნიშვნელობებს ეხება განტოლება
2(a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 აქვს უნიკალური ფესვი?
3. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება
4 x - (5 ა-3) 2 x +4 ა 2 – 3ა= 0 აქვს უნიკალური გადაწყვეტა?
ლოგარითმული განტოლებები პარამეტრით
მაგალითი 1იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რისთვისაც განტოლება
ჟურნალი 4x (1 + ოჰ) = 1/2 (1)
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
გამოსავალი. განტოლება (1) არის განტოლების ტოლფასი
1 + ოჰ = 2Xზე X > 0, X 1/4 (3)
X = ზე
ან 2 - ზე + 1 = 0 (4)
(2) პირობა (3) არ არის დაკმაყოფილებული.
დაე ა 0, მაშინ ან 2 – 2ზე+ 1 = 0 აქვს რეალური ფესვები თუ და მხოლოდ თუ დ = 4 – 4ა 0, ე.ი. ზე ა 1. (3) უტოლობის ამოსახსნელად ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს გალიცკი მ.ლ., მოშკოვიჩ მ.მ., შვარცბურდი ს.ი.ალგებრის კურსის სიღრმისეული შესწავლა და მათემატიკური ანალიზი. - მ.: განმანათლებლობა, 1990 წ
MKOU "ლოდეინოპოლის საშუალო სკოლა No. 68"
_________________________________________________________________________________________________________________________________
გამოსვლა მოსკოვის რეგიონის სხდომაზე
პრობლემის გადაჭრის მეთოდები
პარამეტრებით
პროკუშევა ნატალია გენადიევნა
ლოდეინოე პოლუსი
2013-2014
ამოცანები პარამეტრებით
პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები ერთ-ერთი ურთულესი პრობლემაა, როგორც ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში, ასევე უნივერსიტეტებისთვის დამატებით საკონკურსო გამოცდებში.
ისინი მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ ლოგიკური აზროვნების და მათემატიკური კულტურის ჩამოყალიბებაში. სირთულეები, რომლებიც წარმოიქმნება მათ გადაჭრაში, დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ პარამეტრებთან დაკავშირებული თითოეული პრობლემა არის ჩვეულებრივი ამოცანების მთელი კლასი, რომელთაგან თითოეულისთვის გამოსავალი უნდა იქნას მიღებული.
თუ განტოლებაში (უტოლობაში) ზოგიერთი კოეფიციენტი არ არის მითითებული კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობებით, არამედ მითითებულია ასოებით, მაშინ მათ უწოდებენ პარამეტრებს, ხოლო განტოლება (უტოლობა) პარამეტრულია.
როგორც წესი, უცნობები აღინიშნება ლათინური ანბანის ბოლო ასოებით: x, y, z, ..., ხოლო პარამეტრები - პირველით: a, b, c, ...
განტოლების (უტოლობა) პარამეტრებით ამოხსნა ნიშნავს იმის მითითებას, თუ რა პარამეტრების მნიშვნელობებზე არსებობს ამონახსნები და რა არის ისინი. ორ განტოლებას (უტოლობას), რომლებიც შეიცავს ერთსა და იმავე პარამეტრებს, ექვივალენტი ეწოდება, თუ:
ა) მათ აქვთ აზრი პარამეტრების იგივე მნიშვნელობებისთვის;
ბ) პირველი განტოლების (უტოლობა) თითოეული ამონახსნი არის მეორე და პირიქით.
ბუნებრივია, პრობლემების ასეთი მცირე კლასი ბევრს არ აძლევს საშუალებას, გაითავისოს მთავარი: პარამეტრს, როგორც ფიქსირებულ, მაგრამ უცნობი რიცხვს, აქვს, თითქოს, ორმაგი ბუნება. ჯერ ერთი, სავარაუდო დიდება საშუალებას გაძლევთ "კომუნიკაცია" პარამეტრთან, როგორც რიცხვთან, და მეორეც, კომუნიკაციის თავისუფლების ხარისხი შემოიფარგლება მისი უცნობიობით. ასე რომ, პარამეტრის შემცველი გამოსახულებით დაყოფა, ასეთი გამონათქვამებიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება მოითხოვს წინასწარ კვლევას. როგორც წესი, ამ კვლევების შედეგები გავლენას ახდენს როგორც გადაწყვეტილებაზე, ასევე პასუხზე.
როგორ დავიწყოთ ასეთი პრობლემების მოგვარება? არ შეგეშინდეთ დავალებები პარამეტრებით. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გააკეთოთ ის, რაც კეთდება ნებისმიერი განტოლების ან უტოლობის ამოხსნისას - მიიყვანეთ მოცემული განტოლება (უტოლობა) უფრო მარტივ ფორმამდე, თუ ეს შესაძლებელია: რაციონალური გამოხატვის ფაქტორებად დაყოფა, ტრიგონომეტრიული პოლინომიის ფაქტორიზაცია, მოდულების მოშორება, ლოგარითმები და ა.შ.. მაშინ თქვენ უნდა ყურადღებით წაიკითხოთ დავალება ისევ და ისევ.
პარამეტრის შემცველი ამოცანების გადაჭრისას არის პრობლემები, რომლებიც პირობითად შეიძლება დაიყოს ორ დიდ კლასად. პირველი კლასი მოიცავს ამოცანებს, რომლებშიც აუცილებელია პარამეტრის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის უტოლობის ან განტოლების ამოხსნა. მეორე კლასში შედის დავალებები, რომლებშიც საჭიროა არა ყველა შესაძლო გადაწყვეტის მოძიება, არამედ მხოლოდ ის, რაც აკმაყოფილებს დამატებით პირობებს.
ასეთი პრობლემების გადაჭრის ყველაზე გასაგები გზა სკოლის მოსწავლეებისთვის არის ის, რომ ჯერ იპოვონ ყველა გამოსავალი, შემდეგ კი შეარჩიონ ის, რომელიც აკმაყოფილებს დამატებით პირობებს. მაგრამ ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. არსებობს უამრავი პრობლემა, რომლებშიც შეუძლებელია მთელი რიგი გადაწყვეტილებების პოვნა და ჩვენ ამის შესახებ არ გვეკითხებიან. მაშასადამე, თქვენ უნდა მოძებნოთ პრობლემის გადაჭრის გზა მოცემული განტოლების ან უტოლობის ამონახსნების მთელი ნაკრების გარეშე, მაგალითად, მოძებნოთ განტოლებაში შემავალი ფუნქციების თვისებები, რაც საშუალებას მოგცემთ ვიმსჯელოთ გადაწყვეტილებების გარკვეული ნაკრები.
ძირითადი ამოცანების ტიპები პარამეტრებით
ტიპი 1.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რომლებიც უნდა გადაწყდეს ან პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (პარამეტრები), ან პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს.
ამ ტიპის პრობლემა საბაზისოა თემის „პრობლემები პარამეტრებთან“ ათვისებისას, ვინაიდან ჩადებული სამუშაო წინასწარ განსაზღვრავს წარმატებას ყველა სხვა ძირითადი ტიპის პრობლემების გადაჭრაში.
ტიპი 2.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რისთვისაც საჭიროა ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრა პარამეტრის (პარამეტრების) მნიშვნელობიდან გამომდინარე.
ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ ამ ტიპის ამოცანების ამოხსნისას არ არის საჭირო არც მოცემული განტოლებების, უტოლობების, მათი სისტემებისა და კომბინაციების ამოხსნა და ა.შ. ასეთი ზედმეტი სამუშაო უმეტეს შემთხვევაში არის ტაქტიკური შეცდომა, რაც იწვევს დროის გაუმართლებელ ხარჯვას. თუმცა, ეს არ უნდა იქნას მიღებული როგორც აბსოლუტური, რადგან ზოგჯერ პირდაპირი გადაწყვეტა ტიპი 1-ის შესაბამისად არის ერთადერთი გონივრული გზა პასუხის მისაღებად მე-2 ტიპის პრობლემის გადაჭრისას.
ტიპი 3.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და კოლექციები, რისთვისაც საჭიროა პარამეტრის ყველა იმ მნიშვნელობის პოვნა, რომლისთვისაც მითითებულ განტოლებებს, უტოლობას, მათ სისტემებსა და კოლექციებს აქვთ ამონახსნების მოცემული რაოდენობა (კერძოდ, მათ არ აქვთ ან აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა).
ადვილი მისახვედრია, რომ მე-3 ტიპის პრობლემები გარკვეულწილად არის მე-2 ტიპის პრობლემების საპირისპირო.
ტიპი 4.განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და კოლექციები, რომლებისთვისაც, პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობებისთვის, ამონახსნების ნაკრები აკმაყოფილებს მოცემულ პირობებს განმარტების სფეროში.
მაგალითად, იპოვნეთ პარამეტრის მნიშვნელობები, რომელთათვისაც:
1) განტოლება შესრულებულია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მოცემული ინტერვალიდან;
2) პირველი განტოლების ამონახსნთა სიმრავლე არის მეორე განტოლების ამონახსნების სიმრავლის ქვესიმრავლე და ა.შ.
კომენტარი. პარამეტრთან დაკავშირებული პრობლემების მრავალფეროვნება მოიცავს სასკოლო მათემატიკის მთელ კურსს (როგორც ალგებრა, ასევე გეომეტრია), მაგრამ მათი აბსოლუტური უმრავლესობა ფინალურ და მისაღებ გამოცდებში მიეკუთვნება ჩამოთვლილ ოთხ ტიპს, რომელსაც ამ მიზეზით უწოდებენ ძირითადს.
პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების ყველაზე პოპულარული კლასი არის პრობლემები ერთი უცნობი და ერთი პარამეტრით. მომდევნო აბზაცში მითითებულია ამ კონკრეტული კლასის პრობლემების გადაჭრის ძირითადი გზები.
პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის ძირითადი მეთოდები
მეთოდი I(ანალიტიკური). ეს არის ეგრეთ წოდებული პირდაპირი გადაწყვეტის მეთოდი, რომელიც იმეორებს სტანდარტულ პროცედურებს პრობლემების პარამეტრის გარეშე პასუხის მოსაძებნად. ზოგჯერ ამბობენ, რომ ეს არის ძალისმიერი, კარგი გაგებით, "თავხედური" გადაწყვეტილების მიღება.
მეთოდი II(გრაფიკული). დავალებიდან გამომდინარე (ცვლადით xდა პარამეტრი ა) განიხილება გრაფიკებად ან კოორდინატულ სიბრტყეში ( x; წ), ან კოორდინატულ სიბრტყეში ( x; ა).
კომენტარი. პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდის განსაკუთრებული სიცხადე და სილამაზე იმდენად ხიბლავს მათ, ვინც სწავლობს თემას "პრობლემები პარამეტრთან", რომ ისინი იწყებენ გადაჭრის სხვა მეთოდების იგნორირებას, ავიწყდებათ ცნობილი ფაქტი: ნებისმიერი კლასისთვის. მათ ავტორებს შეუძლიათ ჩამოაყალიბონ ის, რაც ბრწყინვალედ არის გადაწყვეტილი ამ მეთოდით და კოლოსალური სირთულეებით სხვა გზებით. ამიტომ, კვლევის საწყის ეტაპზე საშიშია პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდებით დაწყება.
მეთოდი III(პარამეტრის გადაწყვეტილება). ამ გზით გადაჭრისას ცვლადები xდა ამიიღება თანაბარი და არჩეულია ცვლადი, რომლის მიმართაც ანალიტიკური ამოხსნა აღიარებულია, როგორც უფრო მარტივი. ბუნებრივი გამარტივების შემდეგ, ჩვენ ვუბრუნდებით ცვლადების საწყის მნიშვნელობას xდა ადა დაასრულეთ გამოსავალი.
მოდით ახლა გავაგრძელოთ პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის მითითებული მეთოდების დემონსტრირება.
1. წრფივი განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით
ხაზოვანი ფუნქცია: - სწორი ხაზის განტოლება ფერდობთან . დახრილობა ტოლია სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენტის ღერძის დადებითი მიმართულებით .
წრფივი განტოლებები ფორმის პარამეტრებით
თუ , განტოლება აქვს ერთადერთი რამ გამოსავალი.
თუ , შემდეგ განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები, Როდესაც , და განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი, Როდესაც .
მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა | x | = ა .
გამოსავალი:
ა > 0, => x 1.2 = ± ა
ა = 0, => x = 0
ა < 0, =>არ არის გადაწყვეტილებები.
პასუხი: x 1.2 = ± აზე ა > 0; x= 0 at ა= 0; არ არის გადაწყვეტილებები ა < 0.
მაგალითი 2განტოლების ამოხსნა |3 - x | = ა .
გამოსავალი:
ა > 0, => 3 – x = ± ა , => x= 3 ± ა
ა = 0, => 3 – x = 0. => x = 3
ა < 0, =>არ არის გადაწყვეტილებები.
პასუხი: x 1.2=3± აზე ა > 0; x= 3 საათზე ა= 0; არ არის გადაწყვეტილებები ა < 0.
მაგალითი 3განტოლების ამოხსნა მ ² x – მ = x + 1.
გამოსავალი:
მ ² x – მ = x + 1
მ ² x – x = მ + 1
(m² - 1)x = m + 1
პასუხი: 
ზე მ
≠ ±
1; x
Є
რზე მ= –1; არ არის გადაწყვეტილებები მ
= 1.
მაგალითი 4 აამოხსენით განტოლება: ( ა 2 – 4) x = ა + 2 .
გამოსავალი:მოდით დავშალოთ კოეფიციენტი at ფაქტორებად. .
თუ , განტოლება აქვს ერთადერთი რამ გამოსავალი: .
თუ , განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები.
თუ , მაშინ განტოლება აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი .
მაგალითი 6ყველა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის ა
ამოხსენით განტოლება: 
.
გამოსავალი: ODZ: .
ამ პირობით, განტოლება უდრის შემდეგს: 
.
მოდით შევამოწმოთ ODZ-ის კუთვნილება: ,
თუ .
თუ ,
შემდეგ განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები.
მაგალითი 7ყველა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის აამოხსენით განტოლება: | X + 3| – ა | x – 1| = 4.
გამოსავალი:ჩვენ ვყოფთ რიცხვით ხაზს 3 ნაწილად იმ წერტილებით, რომლებშიც მოდულის ნიშნის ქვეშ გამოსახულებები ქრება და ვხსნით 3 სისტემას:
1) 
,
თუ .
ნაპოვნი იქნება გამოსავალი თუ .
2) 
,
თუ .
ნაპოვნი აკმაყოფილებს სასურველ უტოლობას, შესაბამისად, არის გამოსავალი .
თუ ,
მაშინ გამოსავალი არის ნებისმიერი .
3) 
,
თუ .
ნაპოვნია არააკმაყოფილებს სასურველ უთანასწორობას, შესაბამისად, არაარის გამოსავალი .
თუ ,
მაშინ გამოსავალი არის ნებისმიერი x > 1.
პასუხი: ზე ; ზე ;
პრი ; ასევე გამოსავალია ყველასთვის .
მაგალითი 8იპოვე ყველა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის მე-15 განტოლების მინიმუმ ერთი ამონახსნები x – 7ა = 2 – 3ნაჯახი + 6ა ნაკლები 2 .
გამოსავალი:მოდით ვიპოვოთ განტოლების ამონახსნები თითოეულისთვის .
, თუ .
მოვაგვაროთ უტოლობა: 
.
ამისთვის, განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.
უპასუხე : აÎ (–5 , 4) .
წრფივი უტოლობა პარამეტრებით
Მაგალითად: ამოხსენით უტოლობა: kx < ბ .
თუ კ> 0, მაშინ 
. თუ კ
< 0, то 
. თუ კ= 0, მაშინ ბ> 0 გამოსავალი არის ნებისმიერი x
Є რ, და როცა 
არ არის გადაწყვეტილებები.
იმავე გზით ამოხსენით უჯრაში დარჩენილი უტოლობა.
მაგალითი 1 a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის ამოხსენით უტოლობა 
.
გამოსავალი:
. თუ ფრჩხილებში ადრე xდადებითია, ე.ი. ზე 
, ეს 
. თუ ფრჩხილებში ადრე xარის უარყოფითი, ე.ი. ზე 
, ეს 
. თუ ა= 0 ან a =, მაშინ არ არის ამონახსნები.
პასუხი: ზე ; ზე ;
არ არის გადაწყვეტილებები ა= 0 ან a =.
მაგალითი 2. ყველა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის აუთანასწორობის ამოხსნა | X– a| – | x + ა| < 2ა .
გამოსავალი:
ზე ა=0 გვაქვს არასწორი უტოლობა 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, შემდეგ x-ისთვის< –აორივე მოდული გაფართოებულია მინუსით და მივიღებთ არასწორ უტოლობას 2 ა < 2ა, ე.ი. არ არის გადაწყვეტილებები. თუ x Є [– ა ; ა] , მაშინ პირველი მოდული გაფართოვდება მინუსით, ხოლო მეორე პლიუსით და მივიღებთ უტოლობას –2 x < 2ა, ე.ი. x > –ა, ანუ გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є (– ა ; ა]. თუ x > აორივე მოდული გაფართოვებულია პლუსით და ვიღებთ სწორ უტოლობას -2 ა < 2ა, ე.ი. , გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є ( ა; +∞). ორივე პასუხის კომბინაციით, მივიღებთ ამას ა > 0 x Є (– ა ; +∞).
დაე ა < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2ა. ამრიგად, ზე ა < 0 решений нет.
პასუხი: x
Є (– ა; +∞) at ა> 0, არ არსებობს გადაწყვეტილებები 
.
კომენტარი.ამ პრობლემის გადაწყვეტა უფრო სწრაფი და მარტივია, თუ გამოიყენებთ ორი რიცხვის სხვაობის მოდულის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას, როგორც წერტილებს შორის მანძილს. შემდეგ მარცხენა მხარეს გამოთქმა შეიძლება განიმარტოს, როგორც წერტილიდან დაშორების განსხვავება Xწერტილებამდე ადა - ა .
მაგალითი 3იპოვე ყველა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის უტოლობის ყველა ამონახსნები 
უთანასწორობის დაკმაყოფილება 2 x
– ა² + 5< 0.
გამოსავალი:
უტოლობის ამოხსნით |x | ≤ 2 არის ნაკრები ა=[–2; 2] და უტოლობის ამოხსნა 2 x
– ა² + 5< 0 является множество ბ
= (–∞; 
) . პრობლემის პირობის დასაკმაყოფილებლად აუცილებელია A სიმრავლე შევიდეს B სიმრავლეში (). ეს პირობა დაკმაყოფილებულია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში.
პასუხი: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).
მაგალითი 4იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის უტოლობა 
შესრულებული ყველასთვის xჭრილიდან.
გამოსავალი:
წილადი ფესვებს შორის ნულზე ნაკლებია, ამიტომ უნდა გაარკვიოთ რომელი ფესვი უფრო დიდია.
–3ა
+ 2 < 2ა
+ 4 
და -3 ა
+ 2 > 2ა
+ 4 
. ამრიგად, ზე 
xЄ (–3 ა
+ 2; 2ა+ 4) და იმისათვის, რომ უტოლობა დარჩეს ყველა x სეგმენტიდან, აუცილებელია, რომ
ზე 
xЄ (2 ა
+ 4; –3ა+ 2) და რომ უთანასწორობა ყველასთვის მოქმედებს xსეგმენტიდან, თქვენ გჭირდებათ
a = –-სთვის (როდესაც ფესვები ემთხვევა) არ არსებობს გამოსავალი, რადგან ამ შემთხვევაში უტოლობა იღებს ფორმას: .
პასუხი: 
.
მაგალითი 5 აუტოლობა მოქმედებს ყველა უარყოფით მნიშვნელობაზე X?
გამოსავალი:
ფუნქცია მონოტონურად იზრდება, თუ კოეფიციენტი არის x არის არაუარყოფითი და ის მონოტონურად მცირდება, თუ კოეფიციენტი at xუარყოფითი.
გაარკვიეთ კოეფიციენტის ნიშანი at 
ა ≤ –3,
ა ≥ 1; (ა² + 2 ა – 3) < 0 <=> –3 < ა < 1.
ა ≤ –3,
დაე ა≥ 1. შემდეგ ფუნქცია ვ
(x
)
მონოტონურად არ იკლებს და პრობლემის პირობა დაკმაყოფილდება თუ ვ
(x
)
≤ 0 <=> 3ა
² – ა
– 14 ≤ 0 <=> 
.
ა ≤ –3,
პირობებთან ერთად ა≥ 1; ჩვენ ვიღებთ: 
მოდით -3< ა < 1. Тогда функция ვ (x ) მონოტონურად მცირდება და პრობლემის მდგომარეობა ვერასოდეს დაკმაყოფილდება.
უპასუხე:
.
2. კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით
კვადრატული ფუნქცია: 
.
ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში ეს განტოლება შესწავლილია შემდეგი სქემის მიხედვით.
მაგალითი 1. რა ღირებულებებზე ა განტოლებაx ² – ნაჯახი + 1 = 0 არ აქვს ნამდვილი ფესვები?
გამოსავალი:
x ² – ნაჯახი + 1 = 0
დ = ა ² – 4 1 =ა ² - 4
ა ² - 4< 0 + – +
( ა – 2)( ა + 2) < 0 –2 2
უპასუხე: ზეa Є (–2; 2)
მაგალითი 2a-ს რომელ მნიშვნელობებს ეხება განტოლება ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5 აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი?
გამოსავალი:
ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5, ა ≠ 0
ოჰ ² – აჰ + ა – 3 X – 5 = 0
ოჰ ² – ( ა + 3) X + ა – 5 = 0
დ = ( ა +3)² - 4ა ( ა – 5) = ა ² +6ა + 9 – 4 ა ² + 20ა = –3 ა ² + 26ა + 9
–3 ა ² + 26 ა + 9 > 0
3 ა ² - 26ა – 9 < 0
დ \u003d 26² - 4 3 (-9) \u003d 784
ა
1
=
;
ა
2
=
+ –
+
0 9
პასუხი:ზეაЄ (–1/3; 0)უ (0; 9)
მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ოძ: x ≠1, x ≠ ა
x
– 1 +
x
–
ა
= 2, 2
x
= 3 +
ა
, 
1)
; 3 +
ა
≠ 2;
ა
≠ –1
2) 
; 3 +
ა
≠ 2
ა
;
ა
≠ 3
პასუხი:
ზეა
Є (–∞; –1)უ
(–1; 3)
უ
(3; +∞);
არ არის გადაწყვეტილებებიa = -1; 3.
მაგალითი4 . განტოლების ამოხსნა | x ²–2 x –3 | = ა .
გამოსავალი:
განვიხილოთ ფუნქციები წ = | x ²–2 x –3 | დაწ = ა .
ზე ა
<
0
არ არის გადაწყვეტილებები;
ზე ა
=
0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა
< 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.
პასუხი:
ზე ა
< 0 нет решений;
ზე ა= 0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა
< 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.
მაგალითი 5იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა
ა
, რომელთაგან თითოეული განტოლება
|
x
²–(
ა
+2)
x
+2
ა
| = |
3
x
–6
|
აქვს ზუსტად ორი ფესვი. თუ ასეთი ღირებულებები
ა
ერთზე მეტი, თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათი პროდუქტი.
გამოსავალი:
გავაფართოვოთ კვადრატული ტრინომიალი x
²–(
ა
+2)
x
+2
ა
მულტიპლიკატორებისთვის.
;
;
;
მიიღეთ |
(
x
–2)(
x
–
ა
)
| =
3
|
x
–2
|.
ეს განტოლება სიმრავლის ტოლფასია
მაშასადამე, ამ განტოლებას აქვს ზუსტად ორი ფესვი, თუ ა+ 3 = 2 და ა
– 3 = 2.
აქედან გამომდინარე ვხვდებით, რომ სასურველი მნიშვნელობები აარიან ა
1
= –1; ა
2
= 5; ა
1
·
ა
2
= –5.
პასუხი: –5.
მაგალითი 6იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა , რისთვისაც განტოლების ფესვები ნაჯახი ² – 2( ა + 1) x – ა + 5 = 0 დადებითი.
გამოსავალი:
Check Point ა= 0, რადგან ცვლის განტოლების არსს.
1. ა = 0 –2x + = 0;
პასუხი: a Є U .
მაგალითი 7ზერა პარამეტრის მნიშვნელობები ა განტოლება | x ² - 4 x + 3 | = ნაჯახი აქვს 3 ფესვი.
გამოსავალი:
მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები წ = | x ² - 4 x + 3 | და წ = ნაჯახი .
ფუნქციის გრაფიკი გამოსახულია სეგმენტზე 
.
ამ განტოლებას ექნება სამი ფესვი, თუ ფუნქციის გრაფიკი წ
=
ნაჯახიგრაფიკზე ტანგენსი იქნება წ
= x
²+ 4
x
– 3
on
სეგმენტი.
ტანგენტის განტოლებას აქვს ფორმა წ
=
ვ
(x
0
) +
ვ
’(x
0
)(x
–
x
0
),
იმიტომ რომ ტანგენტის განტოლება წ
=
ა, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას 
იმიტომ რომ x 0 Є ,
პასუხი:ზე ა
= 4 – 2
.
კვადრატული უტოლობები პარამეტრებით
მაგალითი.იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა
ა
, რომელთაგან თითოეულისთვის უტოლობის ამონახსნებს შორის 
არ არის ათვლის წერტილი.
გამოსავალი:
ჯერ ვხსნით უტოლობას პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის და შემდეგ ვპოულობთ მათ, რისთვისაც არ არის სეგმენტის ერთი წერტილი ამონახსნებს შორის. .
დაე 
, ნაჯახი
= ტ
²
ტ ≥ 0
DPV-ში ცვლადების ასეთი ცვლილებით, უტოლობები ავტომატურად კმაყოფილდება. xშეიძლება გამოიხატოს მეშვეობით ტ, თუ ა≠ 0. მაშასადამე, შემთხვევა როცა ა
= 0, განვიხილავთ ცალკე.
1. მოდით ა
= 0, მაშინ X> 0 და მოცემული სეგმენტი არის ამონახსნი.
2. მოდით ა≠ 0, მაშინ 
და უთანასწორობა ფორმას მიიღებს 
, 
უტოლობის ამოხსნა დამოკიდებულია მნიშვნელობებზე ა, ამიტომ ორი შემთხვევა უნდა განვიხილოთ.
1) თუ ა>0, მაშინ 
ზე 
ან ძველ ცვლადებში,
ამოხსნა არ შეიცავს მოცემული სეგმენტის არცერთ წერტილს, თუ და მხოლოდ პირობების დაკმაყოფილების შემთხვევაში ა ≤ 7,
16ა≥ 96. აქედან გამომდინარე, ა
Є .
2). თუ ა< 0, то ; 
; ტЄ (4 ა
; ა). იმიტომ რომ ტ≥ 0, მაშინ გამოსავალი არ არის.
პასუხი: .
ირაციონალური განტოლებები პარამეტრებით
ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრით ამოხსნისას, პირველ რიგში, გასათვალისწინებელია დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. მეორეც, თუ უტოლობის ორივე ნაწილი არის არაუარყოფითი გამონათქვამები, მაშინ ასეთი უტოლობა შეიძლება დაინიშნოს უტოლობის ნიშნის შენარჩუნებით.
ხშირ შემთხვევაში, ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები ცვლადების ცვლილების შემდეგ მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე.
მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა 
.
გამოსავალი:
ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, ა ≥ 0.
x + 1 = ა ².
თუ x = ა² - 1, მაშინ პირობა დაკმაყოფილებულია.
პასუხი: x = ა² - 1 ზე ა≥ 0; არ არის გადაწყვეტილებები ა < 0.
მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,
ნაჯახი ≥ 0; x ≤ ა;
x + 3 = ნაჯახი,
2x = ა – 3,
<=>
<=>
<=>
ა
≥ –3.
პასუხი: ზე ა≥ -3; არ არის გადაწყვეტილებები ა
< –3.
მაგალითი 3რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას 
პარამეტრების მნიშვნელობების მიხედვით ა?
გამოსავალი:
განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი: x Є [–2; 2]
მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები. პირველი ფუნქციის გრაფიკი არის წრის ზედა ნახევარი x² + წ² = 4. მეორე ფუნქციის გრაფიკი არის პირველი და მეორე კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. გამოვაკლოთ მეორე ფუნქციის გრაფიკი პირველი ფუნქციის გრაფიკს და მიიღეთ ფუნქციის გრაფიკი 
. თუ ჩანაცვლება ზე on ა, მაშინ ფუნქციის ბოლო გრაფიკი არის წერტილების სიმრავლე (x; ა), რომელიც აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას. 
პასუხს გრაფიკზე ვხედავთ.
პასუხი:ზე აЄ (–∞; –2) U (1; +∞), ფესვების გარეშე;
ზე აЄ [–2; 2), ორი ფესვი;
ზე ა= 1, ერთი ფესვი.
მაგალითი 4პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება 
აქვს უნიკალური გამოსავალი?
გამოსავალი:
1 გზა (ანალიტიკური):
პასუხი:
2 გზა (გრაფიკული):
პასუხი:≥ –2-ისთვის განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები
მაგალითი 5პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება = 2 + x აქვს უნიკალური ამონახსნი.
გამოსავალი:
განვიხილოთ ამ განტოლების ამოხსნის გრაფიკული ვერსია, ანუ ჩვენ ავაშენებთ ორ ფუნქციას:
ზე 1 = 2 + Xდა ზე 2 =
პირველი ფუნქცია წრფივია და გადის წერტილებში (0; 2) და (–2; 0).
მეორე ფუნქციის გრაფიკი შეიცავს პარამეტრს. ჯერ განვიხილოთ ამ ფუნქციის გრაფიკი ა= 0 (ნახ. 1). პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლისას, გრაფიკი გადაადგილდება ღერძის გასწვრივ ოჰშესაბამის მნიშვნელობაზე მარცხნივ (დადებითით ა) ან მარჯვნივ (უარყოფით ა) (ნახ. 2)
ნახატიდან ჩანს, რომ ზე ა < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
პასუხი:ზე ა≥ –2 განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი.
ტრიგონომეტრიული განტოლებები პარამეტრებით.
მაგალითი 1ამოხსენით განტოლება ცოდვა (– x + 2 x – 1) = ბ + 1.
გამოსავალი:
ფუნქციის უცნაურობის გათვალისწინებით 
, ეს განტოლება შეიძლება შემცირდეს ეკვივალენტამდე 
.
1. ბ = –1
3. ბ =–2
4. | ბ + 1| > 1
გადაწყვეტილებები არ არსებობს.
5. ბЄ(–1; 0)
6. ბЄ(–2; –1)
მაგალითი 2იპოვეთ p პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის განტოლება
არ აქვს გადაწყვეტილებები.
გამოსავალი:
ექსპრესი cos 2 xმეშვეობით სინქსი.
დაე 
შემდეგ დავალება შემცირდა ყველა მნიშვნელობის პოვნამდე გვ, რომლის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები [–1; 1]. განტოლება ალგორითმულად არ არის ამოხსნილი, ამიტომ ამოცანას გრაფიკის გამოყენებით მოვაგვარებთ. განტოლებას ვწერთ ფორმით, ახლა კი მარცხენა მხარის გრაფიკის ჩანახატს 
ადვილად ასაშენებელი.
განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, თუ წრფე წ
=
გვ+ 9 არ კვეთს გრაფიკს სეგმენტზე [–1; 1], ე.ი. 
პასუხი:გვ Є (–∞; –9) U (17; +∞).
განტოლებათა სისტემები პარამეტრებით
ორი წრფივი განტოლების სისტემა პარამეტრებით
განტოლებათა სისტემა 
ორი წრფივი განტოლების სისტემის ამონახსნები არის ორი წრფის გადაკვეთის წერტილები: და .
შესაძლებელია 3 შემთხვევა:
1. ხაზები არ არის პარალელური . მაშინ მათი ნორმალური ვექტორებიც არ არის პარალელური, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს მხოლოდ გადაწყვეტილება.
2. წრფეები პარალელურია და ერთმანეთს არ ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორებიც პარალელურია, მაგრამ ძვრები განსხვავებულია, ე.ი. .
Ამ შემთხვევაში არ არის გადაწყვეტილების სისტემა .
3. სწორი ხაზები ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია და ძვრები ემთხვევა, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებებიხაზის ყველა წერტილი .
1. წრფივი განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
პარამეტრის მქონე წრფივი განტოლებათა სისტემები წყდება იგივე ძირითადი მეთოდებით, როგორც განტოლებების ჩვეულებრივი სისტემები: ჩანაცვლების მეთოდი, განტოლებების დამატების მეთოდი და გრაფიკული მეთოდი. ხაზოვანი სისტემების გრაფიკული ინტერპრეტაციის ცოდნა გაადვილებს პასუხის გაცემას ფესვების რაოდენობისა და მათი არსებობის შესახებ.
მაგალითი 1
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას არ აქვს ამონახსნები.
(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.
გამოსავალი.
მოდით შევხედოთ ამ პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე გზას.
1 გზა.ჩვენ ვიყენებთ თვისებას: სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდება უდრის y-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არა თავისუფალი წევრების შეფარდებას (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). მაშინ გვაქვს:
1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ან სისტემა
(და 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.
პირველი განტოლებიდან a 2 \u003d 4, შესაბამისად, იმ პირობის გათვალისწინებით, რომ a ≠ 2, მივიღებთ პასუხს.
პასუხი: a = -2.
2 გზა.ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით.
(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,
((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
პირველი განტოლების ფრჩხილებიდან y საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივიღებთ:
((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ანუ
(და 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.
აშკარაა, რომ a = ± 2, მაგრამ მეორე პირობის გათვალისწინებით, მოცემულია მხოლოდ მინუს პასუხი.
პასუხი: a = -2.
მაგალითი 2
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
(8x + ay = 2,
(ცული + 2y = 1.
გამოსავალი.
თვისების მიხედვით, თუ x და y-ზე კოეფიციენტების თანაფარდობა იგივეა და უდრის სისტემის თავისუფალი წევრების შეფარდებას, მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო ნაკრები (ანუ a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). აქედან გამომდინარე, 8/a = a/2 = 2/1. მიღებული თითოეული განტოლების ამოხსნით, აღმოვაჩენთ, რომ ამ მაგალითში არის პასუხი \u003d 4.
პასუხი: a = 4.
2. რაციონალური განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
მაგალითი 3
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
გამოსავალი.
გაამრავლეთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
გამოვაკლოთ მეორე განტოლება პირველს, მივიღებთ 5|х| = 4 – ა. ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი a = 4-ისთვის. სხვა შემთხვევებში, ამ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნები (ა.< 4) или ни одного (при а > 4).
პასუხი: a = 4.
მაგალითი 4
იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.
(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.
გამოსავალი.
ამ სისტემას გრაფიკული მეთოდით მოვაგვარებთ. ამრიგად, სისტემის მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც ამაღლებულია Oy ღერძის გასწვრივ ერთი ერთეული სეგმენტით. პირველი განტოლება განსაზღვრავს წრფეთა სიმრავლეს y = -x წრფის პარალელურად (სურათი 1). ნახაზი ნათლად აჩვენებს, რომ სისტემას აქვს გამოსავალი, თუ სწორი ხაზი y \u003d -x + a არის პარაბოლის ტანგენტი კოორდინატებით (-0.5; 1.25) წერტილში. ამ კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში x და y-ის ნაცვლად, ვპოულობთ a პარამეტრის მნიშვნელობას: 
1,25 = 0,5 + ა;
პასუხი: a = 0.75.
მაგალითი 5
ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.
(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
გამოსავალი.
გამოთქვით y პირველი განტოლებიდან და ჩაანაცვლეთ მეორეში:
(y \u003d ah - a - 1,
(ცული + (a + 2) (ცული - a - 1) = 2.
მეორე განტოლება მივიღებთ kx = b ფორმას, რომელსაც ექნება უნიკალური ამონახსნი k ≠ 0-ისთვის. გვაქვს:
ცული + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;
a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.
კვადრატული ტრინომი a 2 + 3a + 2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფრჩხილების ნამრავლად
(a + 2)(a + 1), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:
(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).
ცხადია, 2 + 3a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, რაც ნიშნავს a ≠ 0 და ≠ -3.
პასუხი: a ≠ 0; ≠ -3.
მაგალითი 6
გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით განსაზღვრეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური ამონახსნები.
(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.
გამოსავალი.
მდგომარეობიდან გამომდინარე ვაშენებთ წრეს ცენტრით კოორდინატების საწყისთან და 3 ერთეული სეგმენტის რადიუსით, სწორედ ეს წრე ადგენს სისტემის პირველ განტოლებას.
x 2 + y 2 = 9. სისტემის მეორე განტოლება (y = |x| + a) არის გატეხილი ხაზი. Გამოყენებით სურათი 2ჩვენ განვიხილავთ მისი მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევას წრესთან შედარებით. ადვილი მისახვედრია, რომ a = 3. 
პასუხი: a = 3.
გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით განტოლების სისტემების ამოხსნა?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.