იპოვეთ წარმოებულის მაქსიმალური წერტილი. ფუნქციის მაქსიმალური ქულების (წთ) პოვნა. ლოგარითმები

77419.იპოვეთ y \u003d x 3 -48x + 17 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

მოდით მივიღოთ ფესვები:

მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები მნიშვნელობების ინტერვალებიდან მიღებული წარმოებულში ჩანაცვლებით და გამოვსახოთ ფუნქციის ქცევა ფიგურაში:

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ –4 წერტილში წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე. ამრიგად, წერტილი x=-4 არის სასურველი მაქსიმალური წერტილი.

პასუხი: -4

77423. იპოვეთ y \u003d x 3 -3x 2 +2 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

გაუტოლეთ წარმოებული ნულს და ამოხსენით განტოლება:

x=0 წერტილში წარმოებული ცვლის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

77427. იპოვეთ y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

როდესაც წარმოებულს გავუტოლებთ ნულს და ვხსნით განტოლებას:

მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები და ნახატზე დავხატოთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები თითოეული ინტერვალიდან მნიშვნელობების წარმოებულ გამოსახულებაში ჩანაცვლებით:

x=-1 წერტილში წარმოებული ცვლის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მაქსიმალური წერტილი.

პასუხი: -1

77431. იპოვეთ y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

3x 2 - 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

x = 1 წერტილში წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მაქსიმალური წერტილი.

77435. იპოვეთ y \u003d 7 + 12x - x 3 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

12 - 3x 2 = 0

კვადრატული განტოლების ამოხსნით მივიღებთ:

*ეს არის ფუნქციის შესაძლო მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილები.

ავაშენოთ რიცხვითი ღერძი, აღვნიშნოთ წარმოებულის ნულები. ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს ყოველი ინტერვალიდან თვითნებური მნიშვნელობის ჩანაცვლებით ფუნქციის წარმოებულის გამოხატულებაში და სქემატურად გამოვსახავთ მატებას და შემცირებას ინტერვალებზე:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

x = 2 წერტილში წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მაქსიმალური წერტილი.

*იგივე ფუნქციისთვის მინიმალური წერტილი არის წერტილი x = - 2.

77439. იპოვეთ y \u003d 9x 2 -x 3 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

18x -3x 2 = 0

3x(6 - x) = 0

განტოლების ამოხსნით მივიღებთ:

*ეს არის ფუნქციის შესაძლო მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილები.

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

x=6 წერტილში წარმოებული ცვლის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მაქსიმალური წერტილი.

*იგივე ფუნქციისთვის მინიმალური წერტილია x = 0.

მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, რომლებიც გვხვდება გარკვეული ალგორითმის მიხედვით. ეს არის მთავარი მაჩვენებელი ფუნქციის პოვნაში. წერტილი x0 არის მინიმალური წერტილი, თუ x0-ის გარკვეული სამეზობლოდან ყველა x-ისთვის არის f(x) უტოლობა? f(x0) (მაქსიმალური წერტილისთვის საპირისპირო უტოლობა ობიექტურად არის f(x) ? f(x0)).

ინსტრუქცია

1. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული. წარმოებული ახასიათებს ფუნქციის მეტამორფოზას გარკვეულ წერტილში და განისაზღვრება, როგორც ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, ის, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ. მის საპოვნელად გამოიყენეთ წარმოებულების ცხრილი. ვთქვათ y = x3 ფუნქციის წარმოებული იქნება y' = x2.

2. გაუტოლეთ ამ წარმოებულს ნულს (ამ შემთხვევაში x2=0).

3. იპოვეთ მოცემული გამოხატვის ცვლადის მნიშვნელობა. ეს იქნება მნიშვნელობები, რომლებშიც ეს წარმოებული იქნება 0-ის ტოლი. ამისათვის გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ თვითნებური რიცხვები x-ის ნაცვლად, რომლებზეც მთელი გამოხატულება გახდება ნული. თქვით: 2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1

4. გამოიყენეთ მიღებული მნიშვნელობები კოორდინატთა ხაზზე და გამოთვალეთ წარმოებულის ნიშანი ყველა მიღებული ინტერვალისთვის. კოორდინატთა ხაზზე აღინიშნება წერტილები, რომლებიც აღებულია მითითების წინასიტყვაობად. ინტერვალებზე მნიშვნელობის გამოსათვლელად, შეცვალეთ თვითნებური მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება კრიტერიუმებს. ვთქვათ წინა ფუნქციისთვის -1 ინტერვალამდე, ნებადართულია -2 მნიშვნელობის უპირატესობა. -1-დან 1-მდე ინტერვალზე შეგიძლიათ აირჩიოთ 0, ხოლო 1-ზე მეტი მნიშვნელობებისთვის აირჩიეთ 2. ჩაანაცვლეთ ეს რიცხვები წარმოებულში და გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშანი. ამ შემთხვევაში წარმოებული x = -2 ტოლი იქნება -0,24, ე.ი. უარყოფითი და ამ ინტერვალში იქნება მინუს ნიშანი. თუ x=0, მაშინ მნიშვნელობა იქნება 2-ის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე დადებითი ნიშანია დატანილი. თუ x=1, მაშინ წარმოებულიც იქნება -0,24-ის ტოლი და ამიტომ მინუს დგება.

5. თუ კოორდინატთა ხაზის წერტილის გავლისას წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, მაშინ ეს არის მინიმალური წერტილი, ხოლო თუ პლუსიდან მინუსამდე, მაშინ ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

ფუნქციის მაქსიმალურ წერტილებს მინიმალურ წერტილებთან ერთად ექსტრემალური წერტილები ეწოდება. ამ წერტილებში ფუნქცია ცვლის ქცევის ხასიათს. ექსტრემები განისაზღვრება შეზღუდული რიცხვითი ინტერვალებით და უცვლელად ლოკალურია.

ინსტრუქცია

1. ლოკალური კიდურების პოვნის პროცესს ეწოდება ფუნქციის ძიება და ხორციელდება ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულების მიმოხილვით. ძიების დაწყებამდე დარწმუნდით, რომ არგუმენტების მნიშვნელობების მოცემული დიაპაზონი მიეკუთვნება შესაძლო მნიშვნელობებს. ვთქვათ, F=1/x ფუნქციისთვის, x=0 არგუმენტის მნიშვნელობა მიუღებელია. ან Y=tg(x) ფუნქციისთვის არგუმენტს არ შეიძლება ჰქონდეს x=90° მნიშვნელობა.

2. დარწმუნდით, რომ Y ფუნქცია დიფერენცირებადია ყოველ მოცემულ ინტერვალზე. იპოვეთ Y'-ის პირველი წარმოებული. როგორც ჩანს, ლოკალურ მაქსიმალურ წერტილამდე მიღწევამდე ფუნქცია იზრდება, ხოლო მაქსიმუმზე გავლისას ფუნქცია მცირდება. პირველი წარმოებული თავისი ფიზიკური მნიშვნელობით ახასიათებს ფუნქციის მეტამორფოზის სიჩქარეს. სანამ ფუნქცია იზრდება, ამ პროცესის სიჩქარე დადებითი მნიშვნელობაა. ლოკალური მაქსიმუმის გავლისას ფუნქცია იწყებს კლებას და ფუნქციის მეტამორფოზის პროცესის ტემპი ხდება უარყოფითი. ფუნქციის მეტამორფოზის სიჩქარის ნულზე გადასვლა ხდება ადგილობრივ მაქსიმალურ წერტილში.

3. შესაბამისად, ფუნქციის გაზრდის ადგილზე, მისი პირველი წარმოებული დადებითია ამ ინტერვალზე არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის. და პირიქით - კლების ფუნქციის ადგილზე პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა ნულზე ნაკლებია. ლოკალურ მაქსიმალურ წერტილში პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა არის ნული. როგორც ჩანს, ფუნქციის ლოკალური მაქსიმუმის საპოვნელად საჭიროა ვიპოვოთ წერტილი x?, სადაც ამ ფუნქციის პირველი წარმოებული უდრის ნულს. შესწავლილ xx სეგმენტზე არგუმენტის რომელიმე მნიშვნელობისთვის? - უარყოფითი.

4. რომ იპოვო x? ამოხსენით განტოლება Y'=0. Y(x?)-ის მნიშვნელობა იქნება ადგილობრივი მაქსიმუმი, თუ ფუნქციის მეორე წარმოებული ამ ეტაპზე ნულზე ნაკლებია. იპოვეთ Y-ის მეორე წარმოებული“, ჩაანაცვლეთ არგუმენტის მნიშვნელობა x \u003d x? და შეადარეთ გამოთვლების შედეგი ნულთან.

5. ვთქვათ Y=-x?+x+1 ფუნქციას -1-დან 1-მდე ინტერვალზე აქვს მუდმივი წარმოებული Y'=-2x+1. x=1/2-ზე წარმოებული ნულის ტოლია და ამ წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს „+“-დან „-ზე“. Y ფუნქციის მეორე წარმოებული "=-2. ააგეთ Y=-x?+x+1 ფუნქციის წერტილი-პუნქტიანი გრაფიკი და შეამოწმეთ, არის თუ არა წერტილი აბსცისის x=1/2 ლოკალური მაქსიმუმი რიცხვითი ღერძის მოცემულ სეგმენტზე.

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა
წარმოებულის მოსაძებნად, არის ონლაინ სერვისები, რომლებიც გამოთვლიან საჭირო მნიშვნელობებს და აჩვენებს შედეგს. ასეთ საიტებზე შესაძლებელია წარმოებულის აღმოჩენა მე-5 რიგის ჩათვლით.

ამ წერტილების პოვნის ალგორითმი უკვე არაერთხელ იქნა განხილული, მოკლედ გავიმეორებ:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

2. იპოვეთ წარმოებულის ნულები (წარმოებულს ვატოლებთ ნულს და ვხსნით განტოლებას).

3. შემდეგ ვაშენებთ რიცხვით ღერძს, ვნიშნავთ მასზე ნაპოვნი წერტილებს და მიღებულ ინტერვალებზე ვადგენთ წარმოებულის ნიშნებს. *ეს კეთდება თვითნებური მნიშვნელობების ინტერვალებიდან წარმოებულში ჩანაცვლებით.

თუ თქვენ სრულიად არ იცით წარმოებულის თვისებები ფუნქციების შესასწავლად, მაშინ აუცილებლად შეისწავლეთ სტატია« ». ასევე გაიმეორეთ წარმოებულების ცხრილი და დიფერენციაციის წესები (ხელმისაწვდომია იმავე სტატიაში). განიხილეთ დავალებები:

77431. იპოვეთ y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

3x 2 - 10x + 7 = 0

y(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

y(2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

y(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

პასუხი: 1

77432. იპოვეთ y \u003d x 3 + 5x 2 + 7x–5 ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

3x 2 + 10x + 7 = 0

კვადრატული განტოლების ამოხსნით მივიღებთ:

ინტერვალებზე ვადგენთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნებს და ვნიშნავთ ჩანახატზე. ჩვენ ვცვლით თვითნებურ მნიშვნელობას თითოეული ინტერვალიდან წარმოებული გამოსახულებით:

y(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

y(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

y(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

x \u003d -1 წერტილში წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს უარყოფითიდან დადებითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მინიმალური წერტილი.

პასუხი: -1

77435. იპოვეთ y \u003d 7 + 12x - x 3 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

12 - 3x 2 = 0

x 2 = 4

განტოლების ამოხსნით მივიღებთ:

*ეს არის ფუნქციის შესაძლო მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილები.

y(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

y(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

y( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

პასუხი: 2

*იგივე ფუნქციისთვის მინიმალური წერტილი არის წერტილი x = - 2.

77439. იპოვეთ y \u003d 9x 2 - x 3 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

18x -3x 2 = 0

3x(6 - x) = 0

განტოლების ამოხსნით მივიღებთ:

y(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

y(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

y(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

x = 6 წერტილში წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მაქსიმალური წერტილი.

პასუხი: 6

*იგივე ფუნქციისთვის მინიმალური წერტილია x = 0.

77443. იპოვეთ y \u003d (x 3 / 3) -9x -7 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

x 2 - 9 = 0

x 2 = 9

განტოლების ამოხსნით მივიღებთ:

y(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

y(0) "= 0 2 – 9 < 0

y(4) "= 4 2 – 9 > 0

წერტილში x \u003d - 3, წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მაქსიმალური წერტილი.

პასუხი: - 3

9 - x 2 \u003d 0

x 2 = 9

განტოლების ამოხსნით მივიღებთ:

y(–4 ) "= 9 – (–4) 2 < 0

y(0 გამოსავალი.

Სულ ეს არის. Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

გამარჯობა ძვირფასო მეგობრებო! ჩვენ ვაგრძელებთ ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებული ამოცანების განხილვას. მე გირჩევთ, რომ ამოცადოთ ამოცანები ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) მნიშვნელობის და ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილების მოსაძებნად.

ამოცანები ლოგარითმებით იპოვონ ჩვენ ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა. ამ სტატიაში განვიხილავთ სამ პრობლემას, რომლებშიც კითხვაა ფუნქციების მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილების პოვნა, ამ შემთხვევაში მოცემულ ფუნქციაში არის ბუნებრივი ლოგარითმი.

თეორიული მომენტი:

ლოგარითმის განმარტებით, გამოხატვა ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს ნულზე მეტი. *ეს გასათვალისწინებელია არა მარტო ამ ამოცანებში, არამედ ლოგარითმის შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილების პოვნის ალგორითმი:

1. ვიანგარიშებთ ფუნქციის წარმოებულს.
2. გაატოლეთ ის ნულთან, ამოხსენით განტოლება.
3. მიღებულ ფესვებს ვნიშნავთ რიცხვთა წრფეზე.*მასზე ასევე აღვნიშნავთ იმ წერტილებს, სადაც წარმოებული არ არსებობს. მოდით მივიღოთ ინტერვალები, რომლებზეც ფუნქცია იზრდება ან მცირდება.
4. განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშნები ამ ინტერვალებზე (თვითნებური მნიშვნელობების ჩანაცვლება მათგან წარმოებულში).

5. ვაკეთებთ დასკვნას.

იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი y \u003d ln (x - 11) - 5x + 2

ჩვენ მაშინვე ვწერთ, რომ x–11>0 (ლოგარითმის განმარტებით), ანუ x > 11.

განვიხილავთ ფუნქციას ინტერვალზე (11;∞).

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

წერტილი x = 11 არ შედის ფუნქციის დომენში და წარმოებული არ არსებობს მასში. ციფრულ ღერძზე ვნიშნავთ ორ წერტილს 11 და 11.2. განვსაზღვროთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები თვითნებური მნიშვნელობების (11;11,2) და (11,2;+∞) ინტერვალებიდან აღმოჩენილ წარმოებულში ჩანაცვლებით და გამოვსახოთ ფუნქციის ქცევა ფიგურაში. :

ამრიგად, x \u003d 11.2 წერტილში, ფუნქციის წარმოებული ცვლის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მაქსიმალური წერტილი.

პასუხი: 11.2

თავად გადაწყვიტე:

იპოვეთ y \u003d ln ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი (x + 5) - 2x + 9.

იპოვეთ y \u003d ფუნქციის მინიმალური წერტილი 4x - ln (x + 5) + 8

ჩვენ მაშინვე ვწერთ, რომ x + 5> 0 (ლოგარითმის თვისებით), ანუ x> -5.

განვიხილავთ ფუნქციას ინტერვალზე (– 5;+∞).

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

წერტილი x = -5 არ შედის ფუნქციის ფარგლებში და წარმოებული არ არსებობს მასში. მონიშნეთ ორი წერტილი რიცხვით წრფეზე-5 და -4,75. მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები თვითნებური მნიშვნელობების (–5;–4.75) და (–4.75; +∞) ინტერვალებიდან ნაპოვნი წარმოებულში ჩანაცვლებით და გამოვსახოთ ფუნქციის ქცევა ფიგურაში. :

ამრიგად, x = -4,75 წერტილში, ფუნქციის წარმოებული ცვლის ნიშანს უარყოფითიდან პოზიტიურზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მინიმალური წერტილი.

პასუხი: - 4.75

თავად გადაწყვიტე:

იპოვეთ y=2x–ln (x+3)+7 ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

იპოვეთ y \u003d x 2 -34x + 140lnx -10 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ლოგარითმის თვისებით, გამოხატვა მისი ნიშნის ქვეშ არის ნულზე მეტი, ანუ x\u003e 0.

განვიხილავთ ფუნქციას ინტერვალზე (0; +∞).

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

კვადრატული განტოლების ამოხსნით, ვიღებთ: D \u003d 9 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 7.

წერტილი x = 0 არ შედის ფუნქციის ფარგლებში და წარმოებული არ არსებობს მასში. ჩვენ აღვნიშნავთ სამ წერტილს რიცხვითი ღერძზე 0, 7და 10 .

x-ღერძი დაყოფილია ინტერვალებად: (0;7), (7;10), (10; +∞).

ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნებს მიღებული ინტერვალებიდან თვითნებური მნიშვნელობების აღმოჩენილ წარმოებულში ჩანაცვლებით და ასახავს ფუნქციის ქცევას ფიგურაში:

Სულ ეს არის. Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.