უთანასწორობის საგამოცდო პროფილის დავალება 15. კალკულატორი ონლაინ. უტოლობების ამოხსნა: წრფივი, კვადრატი და წილადი
სტატია ეძღვნება 2017 წლის მათემატიკაში პროფილის გამოცდიდან 15 ამოცანების ანალიზს. ამ ამოცანაში მოსწავლეებს სთავაზობენ უტოლობების ამოხსნას, ყველაზე ხშირად ლოგარითმული. მიუხედავად იმისა, რომ ისინი შეიძლება იყოს საჩვენებელი. ეს სტატია გთავაზობთ ლოგარითმული უტოლობების მაგალითების ანალიზს, მათ შორის ლოგარითმის ბაზაზე ცვლადის შემცველი მაგალითების ჩათვლით. ყველა მაგალითი აღებულია მათემატიკაში USE ამოცანების ღია ბანკიდან (პროფილი), ასე რომ, ასეთი უტოლობები დიდი ალბათობით გვხვდება როგორც დავალება 15 გამოცდაზე. იდეალურია მათთვის, ვისაც სურს ისწავლოს 15 ამოცანის ამოხსნა მეორე ნაწილიდან. პროფილი გამოიყენე მოკლე დროში მათემატიკაში გამოცდაზე უმაღლესი ქულების მისაღებად.
მათემატიკაში პროფილის გამოცდიდან 15 ამოცანების ანალიზი
| მაგალითი 1. ამოხსენით უტოლობა: |
მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-15 ამოცანებში (პროფილი) ხშირად გვხვდება ლოგარითმული უტოლობები. ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა იწყება მისაღები სიდიდეების დიაპაზონის განსაზღვრით. ამ შემთხვევაში, ორივე ლოგარითმის ბაზაში არ არის ცვლადი, არის მხოლოდ რიცხვი 11, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს დავალებას. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი შეზღუდვა, რომელიც გვაქვს აქ არის ის, რომ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ორივე გამონათქვამი დადებითია:
Title="გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
სისტემაში პირველი უტოლობა არის კვადრატული უტოლობა. მის გადასაჭრელად, ნამდვილად კარგი იქნება მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება. ვფიქრობ, თქვენ იცით, რომ ფორმის ნებისმიერი კვადრატული ტრინომია 
იგი ფაქტორიზებულია შემდეგნაირად:
სად და არის განტოლების ფესვები. ამ შემთხვევაში, კოეფიციენტი არის 1 (ეს არის რიცხვითი კოეფიციენტი .-ის წინ). კოეფიციენტიც 1-ის ტოლია და კოეფიციენტი თავისუფალი წევრია, უდრის -20-ს. ტრინომის ფესვების დადგენა ყველაზე ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ჩვენი განტოლება შემცირებულია, რაც ნიშნავს ფესვების ჯამს და ტოლი იქნება კოეფიციენტის საპირისპირო ნიშნით, ანუ -1 და ამ ფესვების ნამრავლი იქნება კოეფიციენტის ტოლი, ანუ -20. ადვილი მისახვედრია, რომ ფესვები იქნება -5 და 4.
ახლა უტოლობის მარცხენა მხარე შეიძლება იყოს ფაქტორირებული: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X-5 და 4 წერტილებზე. აქედან გამომდინარე, უტოლობის სასურველი ამოხსნა არის ინტერვალი. ვისაც არ ესმის, რა წერია აქ, შეგიძლიათ ნახოთ დეტალები ვიდეოში, ამიერიდან. იქ ასევე ნახავთ დეტალურ ახსნას, თუ როგორ იხსნება სისტემის მეორე უტოლობა. წყდება. უფრო მეტიც, პასუხი ზუსტად იგივეა, რაც სისტემის პირველ უთანასწორობაზე. ანუ, ზემოთ დაწერილი სიმრავლე არის უტოლობის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი.
ასე რომ, ფაქტორიზაციის გათვალისწინებით, თავდაპირველი უტოლობა იღებს ფორმას:
ფორმულის გამოყენებით გამოსახვის ძალას დავუმატოთ 11 პირველი ლოგარითმის ნიშნით და მეორე ლოგარითმი გადავიტანოთ უტოლობის მარცხენა მხარეს, ხოლო მისი ნიშანი საპირისპიროდ შევცვალოთ:
შემცირების შემდეგ ვიღებთ:
ბოლო უტოლობა, ფუნქციის გაზრდის გამო, უტოლდება უტოლობას 
, რომლის ამოხსნა არის ინტერვალი 
. რჩება მისი გადაკვეთა უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობთან და ეს იქნება პასუხი მთელ ამოცანაზე.
ასე რომ, დავალების სასურველ პასუხს აქვს ფორმა:
ჩვენ გავარკვიეთ ეს დავალება, ახლა გადავდივართ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 15 დავალების შემდეგ მაგალითზე (პროფილი).
| მაგალითი 2. ამოხსენით უტოლობა:
|
ჩვენ ვიწყებთ ამოხსნას ამ უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით. თითოეული ლოგარითმის საფუძველი უნდა იყოს დადებითი რიცხვი, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. ყველა გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს დადებითი. წილადის მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნული. ბოლო პირობა უდრის , რადგან მხოლოდ სხვაგვარად ქრება ორივე ლოგარითმი მნიშვნელში. ყველა ეს პირობა განსაზღვრავს ამ უტოლობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს, რომელიც მოცემულია შემდეგი უტოლობების სისტემით:
Title="გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ლოგარითმის ტრანსფორმაციის ფორმულები, რათა გავამარტივოთ უტოლობის მარცხენა მხარე. ფორმულის გამოყენებით 
მოიშორეთ მნიშვნელი:
ახლა ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ბაზის ლოგარითმები. ეს უკვე უფრო მოსახერხებელია. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას და ასევე ფორმულას, რათა გამოთქმა დიდების ღირსი მივიღოთ შემდეგ ფორმამდე:
გამოთვლებში გამოვიყენეთ ის, რაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონშია. ჩანაცვლების გამოყენებით მივდივართ გამოთქმამდე:
გამოვიყენოთ კიდევ ერთი ჩანაცვლება: . შედეგად მივდივართ შემდეგ შედეგამდე:
ასე რომ, თანდათან დაუბრუნდით საწყის ცვლადებს. პირველი ცვლადისკენ:
ლოგარითმული უთანასწორობა გამოყენებაში
სეჩინი მიხაილ ალექსანდროვიჩი
მეცნიერებათა მცირე აკადემია ყაზახეთის რესპუბლიკის სტუდენტებისთვის "მაძიებელი"
MBOU "საბჭოთა საშუალო სკოლა No1", კლასი 11, ქ. საბჭოეთის საბჭოთა ოლქი
გუნკო ლუდმილა დმიტრიევნა, MBOU "საბჭოთა საშუალო სკოლა No1" მასწავლებელი
საბჭოთა ოლქი
სამუშაოს მიზანი:არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით C3 ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, ლოგარითმის შესახებ საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.
კვლევის საგანი:
3) ისწავლეთ კონკრეტული ლოგარითმული C3 უტოლობების ამოხსნა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.
შედეგები:
შინაარსი
შესავალი ………………………………………………………………………………….4
თავი 1. ფონი................
თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული ………………………………… 7
2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი…………… 7
2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი …………………………………………………… 15
2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2.4. ამოცანები ხაფანგებით……………………………………………………………………………………………………………
დასკვნა………………………………………………………………… 30
ლიტერატურა………………………………………………………………………. 31
შესავალი
მე-11 კლასში ვარ და ვგეგმავ უნივერსიტეტში ჩაბარებას, სადაც მათემატიკა არის ძირითადი საგანი. და ამიტომაც ბევრს ვმუშაობ C ნაწილის ამოცანებთან. C3 ამოცანაში თქვენ უნდა ამოხსნათ არასტანდარტული უტოლობა ან უტოლობათა სისტემა, რომელიც ჩვეულებრივ ასოცირდება ლოგარითმებთან. გამოცდისთვის მომზადებისას დამხვდა C3-ში შემოთავაზებული საგამოცდო ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მეთოდებისა და ტექნიკის ნაკლებობის პრობლემა. მეთოდები, რომლებიც ამ თემაზე სასკოლო სასწავლო გეგმაშია შესწავლილი, არ იძლევა C3 ამოცანების ამოხსნის საფუძველს. მათემატიკის მასწავლებელმა შემომთავაზა დამოუკიდებლად მემუშავა C3 დავალებები მისი ხელმძღვანელობით. გარდა ამისა, მაინტერესებდა კითხვა: არის თუ არა ლოგარითმები ჩვენს ცხოვრებაში?
ამის გათვალისწინებით შეირჩა თემა:
"ლოგარითმული უტოლობები გამოცდაში"
სამუშაოს მიზანი:არასტანდარტული მეთოდებით C3 ამოცანების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, ლოგარითმის შესახებ საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.
კვლევის საგანი:
1) მოიძიეთ საჭირო ინფორმაცია ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესახებ.
2) მოიძიეთ დამატებითი ინფორმაცია ლოგარითმების შესახებ.
3) ისწავლეთ C3 კონკრეტული ამოცანების გადაჭრა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.
შედეგები:
პრაქტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს C3 პრობლემების გადაჭრის აპარატის გაფართოებაში. ამ მასალის გამოყენება შესაძლებელია ზოგიერთ გაკვეთილზე, წრეების ჩასატარებლად, მათემატიკაში არჩევითი გაკვეთილებისთვის.
პროექტის პროდუქტი იქნება კრებული "ლოგარითმული C3 უტოლობები ამონახსნებით".
თავი 1. ფონი
მე-16 საუკუნის განმავლობაში, სავარაუდო გამოთვლების რაოდენობა სწრაფად გაიზარდა, პირველ რიგში ასტრონომიაში. ინსტრუმენტების გაუმჯობესება, პლანეტების მოძრაობის შესწავლა და სხვა სამუშაოები მოითხოვდა კოლოსალურ, ზოგჯერ მრავალწლიან გამოთვლებს. ასტრონომიას შეუსრულებელ გამოთვლებში დახრჩობის რეალური საფრთხე ემუქრებოდა. სირთულეები წარმოიშვა სხვა სფეროებშიც, მაგალითად, სადაზღვევო ბიზნესში, სხვადასხვა პროცენტული მნიშვნელობისთვის საჭირო იყო რთული პროცენტის ცხრილები. მთავარი სირთულე იყო გამრავლება, მრავალნიშნა რიცხვების დაყოფა, განსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული სიდიდეები.
ლოგარითმების აღმოჩენა მე-16 საუკუნის ბოლოსათვის პროგრესირების ცნობილ თვისებებს ეფუძნებოდა. წევრებს შორის კომუნიკაციის შესახებ გეომეტრიული პროგრესია q, q2, q3, ... და მათი ინდიკატორების არითმეტიკული პროგრესია 1, 2, 3, ... არქიმედეს ლაპარაკობდა ფსალმუნში. კიდევ ერთი წინაპირობა იყო ხარისხის ცნების გაფართოება უარყოფით და წილადის მაჩვენებლებზე. ბევრმა ავტორმა აღნიშნა, რომ გამრავლება, გაყოფა, ხარისხამდე აწევა და ფესვის ამოღება ექსპონენტურად შეესაბამება არითმეტიკაში - იგივე თანმიმდევრობით - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა.
აქ იყო ლოგარითმის, როგორც მაჩვენებლის იდეა.
ლოგარითმების დოქტრინის განვითარების ისტორიაში რამდენიმე ეტაპი გაიარა.
ეტაპი 1
ლოგარითმები არაუგვიანეს 1594 წელს გამოიგონა დამოუკიდებლად შოტლანდიელმა ბარონმა ნაპიერმა (1550-1617), ხოლო ათი წლის შემდეგ შვეიცარიელმა მექანიკოსმა ბურგიმ (1552-1632). ორივეს სურდა არითმეტიკული გამოთვლების ახალი მოსახერხებელი საშუალების მიწოდება, თუმცა ამ პრობლემას სხვადასხვა გზით მიუდგნენ. ნაპიერმა კინემატიკურად გამოხატა ლოგარითმული ფუნქცია და ამით შევიდა ფუნქციის თეორიის ახალ სფეროში. ბურგი დარჩა დისკრეტული პროგრესირების განხილვის საფუძველზე. თუმცა, ორივეს ლოგარითმის განმარტება არ ჰგავს თანამედროვეს. ტერმინი „ლოგარითმი“ (logarithmus) ეკუთვნის ნაპიერს. იგი წარმოიშვა ბერძნული სიტყვების კომბინაციიდან: logos - "ურთიერთობა" და ariqmo - "რიცხვი", რაც ნიშნავს "ურთიერთობების რაოდენობას". თავდაპირველად, ნაპიერმა გამოიყენა განსხვავებული ტერმინი: numeri artificiales - "ხელოვნური რიცხვები", განსხვავებით numeri naturalts - "ნატურალური რიცხვები".
1615 წელს, ლონდონის გრეშის კოლეჯის მათემატიკის პროფესორ ჰენრი ბრიგსთან (1561-1631) საუბარში ნაპიერმა შესთავაზა ნულის აღება ერთის ლოგარითმისთვის და 100-ის ლოგარითმისთვის ათი, ანუ რა არის იგივე. , მხოლოდ 1. ასე იბეჭდებოდა ათობითი ლოგარითმები და პირველი ლოგარითმული ცხრილები. მოგვიანებით, ბრიგსის ცხრილები დაემატა ჰოლანდიელმა წიგნის გამყიდველმა და მათემატიკოსმა ანდრიან ფლაკმა (1600-1667). ნეპიერმა და ბრიგსმა, მიუხედავად იმისა, რომ ლოგარითმებზე ადრე მივიდნენ, თავიანთი ცხრილები სხვებზე გვიან გამოაქვეყნეს - 1620 წელს. ნიშნები log და Log შემოიღო 1624 წელს ი.კეპლერმა. ტერმინი „ბუნებრივი ლოგარითმი“ შემოიღო მენგოლიმ 1659 წელს, რასაც მოჰყვა ნ. მერკატორი 1668 წელს, ხოლო ლონდონელმა მასწავლებელმა ჯონ სპადელმა გამოაქვეყნა 1-დან 1000-მდე რიცხვების ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები სახელწოდებით „ახალი ლოგარითმები“.
რუსულად, პირველი ლოგარითმული ცხრილები გამოქვეყნდა 1703 წელს. მაგრამ ყველა ლოგარითმულ ცხრილებში დაშვებული იყო შეცდომები გაანგარიშებაში. პირველი უშეცდომო ცხრილები გამოქვეყნდა 1857 წელს ბერლინში გერმანელი მათემატიკოსის კ.ბრემიკერის (1804-1877) დამუშავებაში.
ეტაპი 2
ლოგარითმების თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია ანალიტიკური გეომეტრიისა და უსასრულო კალკულუსის უფრო ფართო გამოყენებასთან. იმ დროისთვის დამყარდა კავშირი ტოლგვერდა ჰიპერბოლის კვადრატსა და ბუნებრივ ლოგარითმს შორის. ამ პერიოდის ლოგარითმების თეორია დაკავშირებულია არაერთი მათემატიკოსის სახელთან.
გერმანელი მათემატიკოსი, ასტრონომი და ინჟინერი ნიკოლაუს მერკატორი თავის ნარკვევში
"ლოგარითმოტექნიკა" (1668) იძლევა სერიას, რომელიც იძლევა ln(x + 1) გაფართოებას
სიმძლავრე x:
ეს გამოთქმა ზუსტად შეესაბამება მისი აზროვნების მსვლელობას, თუმცა, რა თქმა უნდა, მან არ გამოიყენა ნიშნები d, ..., არამედ უფრო შრომატევადი სიმბოლოები. ლოგარითმული სერიების აღმოჩენით შეიცვალა ლოგარითმების გამოთვლის ტექნიკა: დაიწყო მათი განსაზღვრა უსასრულო სერიების გამოყენებით. 1907-1908 წლებში წაკითხული თავის ლექციებში „ელემენტარული მათემატიკა უმაღლესი თვალსაზრისით“, ფ.
ეტაპი 3
ლოგარითმული ფუნქციის განმარტება, როგორც ინვერსიის ფუნქცია
ექსპონენციალური, ლოგარითმი, როგორც მოცემული ფუძის მაჩვენებლის
დაუყოვნებლივ არ იყო ჩამოყალიბებული. ლეონჰარდ ეილერის (1707-1783) ნამუშევარი
შემდგომში „შესავალი უსასრულო მცირეთა ანალიზში“ (1748 წ.).
ლოგარითმული ფუნქციის თეორიის შემუშავება. ამრიგად,
ლოგარითმების პირველად შემოღებიდან 134 წელი გავიდა
(ითვლის 1614 წლიდან) სანამ მათემატიკოსები გამოვიდნენ განსაზღვრებამდე
ლოგარითმის კონცეფცია, რომელიც ახლა სასკოლო კურსის საფუძველია.
თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული
2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი.
ექვივალენტური გადასვლები
თუ a > 1
თუ 0 <
а <
1
განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი
ეს მეთოდი ყველაზე უნივერსალურია თითქმის ნებისმიერი ტიპის უტოლობების გადასაჭრელად. გადაწყვეტის სქემა ასე გამოიყურება:
1. მიიტანეთ უტოლობა ისეთ ფორმამდე, სადაც ფუნქცია მდებარეობს მარცხენა მხარეს 
, და 0 მარჯვნივ.
2. იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები .
3. იპოვეთ ფუნქციის ნულები , ანუ ამოხსენი განტოლება 
(და განტოლების ამოხსნა ჩვეულებრივ უფრო ადვილია, ვიდრე უტოლობის ამოხსნა).
4. დახატეთ ფუნქციის განსაზღვრების დომენი და ნულები რეალურ წრფეზე.
5. ფუნქციის ნიშნების დადგენა მიღებულ ინტერვალებში.
6. აირჩიეთ ის ინტერვალები, სადაც ფუნქცია იღებს საჭირო მნიშვნელობებს და ჩაწერეთ პასუხი.
მაგალითი 1
გამოსავალი:
გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი
სადაც
ამ მნიშვნელობებისთვის, ყველა გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნების ქვეშ არის დადებითი.
პასუხი:
მაგალითი 2
გამოსავალი:
1-ლი გზა . ODZ განისაზღვრება უტოლობით x> 3. ლოგარითმების აღება ასეთებისთვის xმე-10 ბაზაში ვიღებთ
ბოლო უტოლობის ამოხსნა შეიძლებოდა დაშლის წესების გამოყენებით, ე.ი. ფაქტორების შედარება ნულთან. თუმცა, ამ შემთხვევაში ადვილია ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალების დადგენა
ასე რომ, ინტერვალის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას.
ფუნქცია ვ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ უწყვეტია ამისთვის x> 3 და ქრება წერტილებში x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალებს ვ(x):
პასუხი:
მე-2 გზა . მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალების მეთოდის იდეები პირდაპირ თავდაპირველ უტოლობაზე.
ამისთვის გავიხსენებთ, რომ გამონათქვამები აბ- აგ და ( ა - 1)(ბ- 1) აქვს ერთი ნიშანი. მაშინ ჩვენი უთანასწორობა ამისთვის x> 3 უდრის უტოლობას
ან
ბოლო უტოლობა ამოხსნილია ინტერვალის მეთოდით
პასუხი:
მაგალითი 3
გამოსავალი:
გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი
პასუხი:
მაგალითი 4
გამოსავალი:
2 წლიდან x 2 - 3x+ 3 > 0 ყველა რეალურისთვის x, ეს
მეორე უტოლობის ამოსახსნელად ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს
პირველ უთანასწორობაში ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას
მაშინ მივდივართ უტოლობამდე 2y 2 - წ - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те წ, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას -0.5< წ < 1.
საიდან იმიტომ
ვიღებთ უთანასწორობას
რომელიც ხორციელდება x, რისთვისაც 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
ახლა, სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნის გათვალისწინებით, საბოლოოდ მივიღებთ
პასუხი:
მაგალითი 5
გამოსავალი:
უთანასწორობა სისტემების ერთობლიობის ტოლფასია
ან
გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი ან
უპასუხე:
მაგალითი 6
გამოსავალი:
უთანასწორობა სისტემის ტოლფასია
დაე
მერე წ > 0,
და პირველი უთანასწორობა
სისტემა იღებს ფორმას
ან გაფართოება
კვადრატული ტრინომი ფაქტორების მიმართ,
ინტერვალის მეთოდის გამოყენება ბოლო უტოლობაზე,
ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი გადაწყვეტილებები აკმაყოფილებს მდგომარეობას წ> 0 იქნება ყველაფერი წ > 4.
ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა ექვივალენტურია სისტემის:
ასე რომ, უტოლობის ამონახსნები არის ყველა
2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი.
ადრე უთანასწორობის რაციონალიზაციის მეთოდი არ იყო გადაწყვეტილი, ცნობილი არ იყო. ეს არის "ახალი თანამედროვე ეფექტური მეთოდი ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების გადასაჭრელად" (ციტატა კოლესნიკოვა S.I. წიგნიდან).
და მაშინაც კი, თუ მასწავლებელი იცნობდა მას, იყო შიში - მაგრამ იცნობს თუ არა მას USE ექსპერტი და რატომ არ აძლევენ მას სკოლაში? იყო სიტუაციები, როდესაც მასწავლებელმა ეუბნება მოსწავლეს: "საიდან მოიტანე? დაჯექი - 2".
ახლა ყველგან ხდება მეთოდის პოპულარიზაცია. და ექსპერტებისთვის, არსებობს ამ მეთოდთან დაკავშირებული სახელმძღვანელო მითითებები და "სტანდარტული ვარიანტების ყველაზე სრულ გამოცემაში ..." გადაწყვეტილებაში C3, ეს მეთოდი გამოიყენება.
მეთოდი შესანიშნავია!
"ჯადოსნური მაგიდა"
სხვა წყაროებში
თუ a >1 და b >1, შემდეგ log a b >0 და (a -1)(b -1)>0;
თუ a > 1 და 0 თუ 0<ა<1 и b
>1, შემდეგ შედით a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
თუ 0<ა<1 и 00 და (a -1) (b -1)>0. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მარტივია, მაგრამ შესამჩნევად ამარტივებს ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას. მაგალითი 4
ჟურნალი x (x 2 -3)<0
გამოსავალი:
მაგალითი 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x) გამოსავალი: მაგალითი 6
ამ უტოლობის ამოსახსნელად მნიშვნელის ნაცვლად ვწერთ (x-1-1) (x-1), ხოლო მრიცხველის ნაცვლად ნამრავლს (x-1) (x-3-9 + x). მაგალითი 7
მაგალითი 8
2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება. მაგალითი 1
მაგალითი 2
მაგალითი 3
მაგალითი 4
მაგალითი 5
მაგალითი 6
მაგალითი 7
log 4 (3 x -1) log 0.25 გავაკეთოთ ჩანაცვლება y=3 x -1; მაშინ ეს უტოლობა იღებს ფორმას log 4 log 0.25 იმიტომ რომ ჟურნალი 0.25 გავაკეთოთ ჩანაცვლება t =log 4 y და მივიღოთ უტოლობა t 2 -2t +≥0, რომლის ამოხსნა არის ინტერვალები - ამრიგად, y-ის მნიშვნელობების საპოვნელად, გვაქვს ორი უმარტივესი უტოლობის ნაკრები მაშასადამე, საწყისი უტოლობა უდრის ორი ექსპონენციალური უტოლობის სიმრავლეს, ამ სიმრავლის პირველი უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ მაგალითი 8
გამოსავალი:
უთანასწორობა სისტემის ტოლფასია მეორე უტოლობის ამოხსნა, რომელიც განსაზღვრავს ODZ-ს, იქნება მათთა სიმრავლე x,
რისთვისაც x > 0.
პირველი უტოლობის გადასაჭრელად, ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას ან ბოლო უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე ნაპოვნია მეთოდით ინტერვალები: -1< ტ < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ვიღებთ ან ბევრი მათგანი x, რომლებიც აკმაყოფილებენ ბოლო უტოლობას ეკუთვნის ODZ-ს ( x> 0), შესაბამისად, არის სისტემის გამოსავალი, და აქედან გამომდინარე ორიგინალური უთანასწორობა. პასუხი: 2.4. ამოცანები ხაფანგებით. მაგალითი 1
გამოსავალი.უტოლობის ODZ არის ყველა x, რომელიც აკმაყოფილებს 0 პირობას მაგალითი 2
ჟურნალი 2 (2x +1-x 2)>ლოგი 2 (2x-1 +1-x)+1.
უპასუხე. (0; 0.5) U.
უპასუხე :
(3;6)
.
= -ლოგი 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, შემდეგ გადავწერთ ბოლო უტოლობას, როგორც 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
ამ კოლექციის გამოსავალი არის ინტერვალები 0<у≤2 и 8≤у<+.
ანუ აგრეგატები 
. ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა მოქმედებს x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის 0-ის ინტერვალებიდან<х≤1 и 2≤х<+.
.
. მაშასადამე, ყველა x 0-ის ინტერვალიდან
დასკვნა
C3 პრობლემების გადაჭრის სპეციალური მეთოდების პოვნა ადვილი არ იყო სხვადასხვა საგანმანათლებლო წყაროების დიდი სიმრავლიდან. შესრულებული სამუშაოს დროს მოვახერხე რთული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესწავლა. ესენია: ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი, რაციონალიზაციის მეთოდი , არასტანდარტული ჩანაცვლება , ამოცანები ხაფანგებით ODZ-ზე. ეს მეთოდები არ არის სასკოლო სასწავლო გეგმაში.
სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით, მე გადავწყვიტე USE-ში შემოთავაზებული 27 უტოლობა C ნაწილში, კერძოდ, C3. ეს უტოლობები ამონახსნებით მეთოდებით საფუძვლად დაედო კრებულს „ლოგარითმული C3 უტოლობები ამონახსნებით“, რომელიც ჩემი საქმიანობის საპროექტო პროდუქტი გახდა. დადასტურდა ჰიპოთეზა, რომელიც წამოვაყენე პროექტის დასაწყისში: C3 პრობლემები შეიძლება ეფექტურად გადაწყდეს, თუ ეს მეთოდები ცნობილია.
გარდა ამისა, აღმოვაჩინე საინტერესო ფაქტები ლოგარითმების შესახებ. ჩემთვის საინტერესო იყო ამის გაკეთება. ჩემი პროექტის პროდუქტები სასარგებლო იქნება როგორც სტუდენტებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის.
დასკვნები:
ამრიგად, პროექტის მიზანი მიღწეულია, პრობლემა მოგვარებულია. და მივიღე ყველაზე სრულყოფილი და მრავალმხრივი გამოცდილება პროექტის აქტივობებში მუშაობის ყველა ეტაპზე. პროექტზე მუშაობისას ჩემი ძირითადი განმავითარებელი გავლენა იყო გონებრივ კომპეტენციაზე, ლოგიკურ ფსიქიკურ ოპერაციებთან დაკავშირებულ აქტივობებზე, შემოქმედებითი კომპეტენციის განვითარებაზე, პიროვნულ ინიციატივაზე, პასუხისმგებლობაზე, შეუპოვრობაზე და აქტიურობაზე.
წარმატების გარანტია კვლევის პროექტის შექმნისას მე გავხდი: მნიშვნელოვანი სასკოლო გამოცდილება, ინფორმაციის სხვადასხვა წყაროდან ამოღების, სანდოობის შემოწმების, მნიშვნელობის მიხედვით რანჟირების უნარი.
მათემატიკაში უშუალოდ საგნობრივი ცოდნის გარდა, მან გააფართოვა პრაქტიკული უნარები კომპიუტერული მეცნიერების სფეროში, შეიძინა ახალი ცოდნა და გამოცდილება ფსიქოლოგიის სფეროში, დაამყარა კონტაქტები თანაკლასელებთან და ისწავლა უფროსებთან თანამშრომლობა. პროექტის აქტივობების მსვლელობისას განვითარდა ორგანიზაციული, ინტელექტუალური და კომუნიკაციური ზოგადსაგანმანათლებლო უნარები და უნარები.
ლიტერატურა
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. უტოლობების სისტემები ერთი ცვლადით (ტიპიური ამოცანები C3).
2. Malkova A. G. მზადება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის.
3. ს.ს.სამაროვა, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა.
4. მათემატიკა. სასწავლო სამუშაოების კრებული, რედაქტირებულია A.L. სემიონოვი და ი.ვ. იაშჩენკო. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 გვ.-
უძველესი დროიდან პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას საჭირო იყო ღირებულებებისა და რაოდენობების შედარება. ამავდროულად გაჩნდა ისეთი სიტყვები, როგორიცაა მეტი და ნაკლები, უფრო მაღალი და ქვედა, მსუბუქი და მძიმე, უფრო მშვიდი და ხმამაღალი, იაფი და ძვირი და ა.შ., რაც ერთგვაროვანი რაოდენობების შედარების შედეგებს აღნიშნავს.
ცნებები მეტი და ნაკლები წარმოიშვა საგნების დათვლასთან, სიდიდეების გაზომვასთან და შედარებასთან დაკავშირებით. მაგალითად, ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა იცოდნენ, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე და რომ სამკუთხედის უფრო დიდი გვერდი უფრო დიდი კუთხის საპირისპიროდ მდებარეობს. არქიმედესმა წრის გარშემოწერილობის გამოთვლისას აღმოაჩინა, რომ ნებისმიერი წრის პერიმეტრი სამჯერ უდრის დიამეტრს, ჭარბი, რომელიც დიამეტრის მეშვიდეზე ნაკლებია, მაგრამ დიამეტრის ათ სამოცდათერთმეტზე მეტი.
სიმბოლურად დაწერეთ ურთიერთობები რიცხვებსა და სიდიდეებს შორის > და b ნიშნების გამოყენებით. ჩანაწერები, რომლებშიც ორი რიცხვი დაკავშირებულია ერთ-ერთი ნიშნით: > (უფრო მეტი), დაწყებით კლასებშიც შეგხვდათ რიცხვითი უტოლობები. თქვენ იცით, რომ უთანასწორობა შეიძლება იყოს ან არ იყოს ჭეშმარიტი. მაგალითად, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) არის სწორი რიცხვითი უტოლობა, 0.23 > 0.235 არის არასწორი რიცხვითი უტოლობა.
უტოლობები, რომლებიც შეიცავს უცნობებს, შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი უცნობის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და მცდარი სხვებისთვის. მაგალითად, უტოლობა 2x+1>5 მართალია x = 3-ისთვის, მაგრამ მცდარია x = -3-ისთვის. ერთი უცნობის მქონე უტოლობისთვის, შეგიძლიათ დააყენოთ დავალება: ამოხსნათ უტოლობა. პრაქტიკაში უტოლობების ამოხსნის ამოცანები დასმული და გადაწყვეტილია არანაკლებ ხშირად, ვიდრე განტოლებების ამოხსნის ამოცანები. მაგალითად, მრავალი ეკონომიკური პრობლემა მცირდება წრფივი უტოლობების სისტემების შესწავლასა და გადაწყვეტაზე. მათემატიკის ბევრ დარგში უტოლობები უფრო ხშირია, ვიდრე განტოლებები.
ზოგიერთი უტოლობა არის ერთადერთი დამხმარე საშუალება გარკვეული ობიექტის არსებობის დასამტკიცებლად ან უარყოფისთვის, მაგალითად, განტოლების ფესვი.
რიცხვითი უტოლობები
შეგიძლიათ შეადაროთ მთელი და ათწილადები. იცოდეთ ერთი და იგივე მნიშვნელის, მაგრამ განსხვავებული მრიცხველის მქონე ჩვეულებრივი წილადების შედარების წესები; ერთი და იგივე მრიცხველებით, მაგრამ განსხვავებული მნიშვნელებით. აქ თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეადაროთ ნებისმიერი ორი რიცხვი მათი განსხვავების ნიშნის აღმოჩენით.
რიცხვების შედარება ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში. მაგალითად, ეკონომისტი ადარებს დაგეგმილ მაჩვენებლებს რეალურს, ექიმი ადარებს პაციენტის ტემპერატურას ნორმალურთან, ტურნერი ადარებს დამუშავებული ნაწილის ზომებს სტანდარტს. ყველა ასეთ შემთხვევაში ზოგიერთი რიცხვი შედარებულია. რიცხვების შედარების შედეგად წარმოიქმნება რიცხვითი უტოლობები.
განმარტება.რიცხვი a მეტია b რიცხვზე, თუ განსხვავება a-b დადებითია. რიცხვი a ნაკლებია b რიცხვზე, თუ განსხვავება a-b უარყოფითია.
თუ a მეტია b-ზე, მაშინ წერენ: a > b; თუ a ნაკლებია b-ზე, მაშინ წერენ: a ამრიგად, უტოლობა a > b ნიშნავს, რომ სხვაობა a - b დადებითია, ე.ი. a - b > 0. უტოლობა a ნებისმიერი ორი რიცხვისთვის a და b შემდეგი სამი მიმართებიდან a > b, a = b, a თეორემა.თუ a > b და b > c, მაშინ a > c.
თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარეს ერთი და იგივე რიცხვი დაემატება, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.
შედეგი.ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე ამ ტერმინის საპირისპირო ნიშნის შეცვლით.
თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია იმავე დადებით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლდა იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.
შედეგი.თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა ერთნაირი დადებითი რიცხვით, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.
თქვენ იცით, რომ რიცხვითი ტოლობები შეიძლება დაემატოს და გამრავლდეს ტერმინით. შემდეგი, თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეასრულოთ მსგავსი მოქმედებები უტოლობებით. პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება უტოლობების ტერმინით ტერმინით დამატებისა და გამრავლების უნარი. ეს მოქმედებები დაგეხმარებათ გადაჭრათ გამოხატვის მნიშვნელობების შეფასების და შედარების პრობლემები.
სხვადასხვა ამოცანის ამოხსნისას ხშირად საჭიროა უტოლობათა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების შეკრება ან გამრავლება. ზოგჯერ ამბობენ, რომ უტოლობები ემატება ან მრავლდება. მაგალითად, თუ ტურისტმა პირველ დღეს გაიარა 20 კმ-ზე მეტი, ხოლო მეორე დღეს 25 კმ-ზე მეტი, მაშინ შეიძლება იმის მტკიცება, რომ ორ დღეში მან 45 კმ-ზე მეტი გაიარა. ანალოგიურად, თუ მართკუთხედის სიგრძე 13 სმ-ზე ნაკლებია, ხოლო სიგანე 5 სმ-ზე ნაკლები, მაშინ შეიძლება ითქვას, რომ ამ მართკუთხედის ფართობი 65 სმ2-ზე ნაკლებია.
ამ მაგალითების განხილვისას, შემდეგი თეორემები უტოლობების შეკრებისა და გამრავლების შესახებ:
თეორემა.ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობების შეკრებისას ვიღებთ იმავე ნიშნის უტოლობას: თუ a > b და c > d, მაშინ a + c > b + d.
თეორემა.ერთი და იმავე ნიშნის უტოლობების გამრავლებისას, რომლებისთვისაც მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები დადებითია, მიიღება იგივე ნიშნის უტოლობა: თუ a > b, c > d და a, b, c, d დადებითი რიცხვებია, მაშინ ac >. ბდ.
უტოლობები ნიშნით > (ზე მეტი) და 1/2, 3/4 b, c მკაცრი უტოლობის ნიშნებთან ერთად > და ანალოგიურად, უტოლობა \(a \geq b \) ნიშნავს, რომ რიცხვი a მეტია. b-ზე ან ტოლია, ანუ და არანაკლებ b.
\(\geq \) ნიშნის ან \(\leq \) ნიშნის შემცველ უტოლობას უწოდებენ არამკაცრს. მაგალითად, \(18 \geq 12, \; 11 \leq 12 \) არ არის მკაცრი უტოლობები.
მკაცრი უტოლობების ყველა თვისება ასევე მოქმედებს არამკაცრ უტოლობაზე. უფრო მეტიც, თუ მკაცრი უტოლობისთვის ნიშნები > საპირისპიროდ ჩაითვალა და თქვენ იცით, რომ რიგი გამოყენებითი ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეადგინოთ მათემატიკური მოდელი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის სახით. გარდა ამისა, თქვენ შეიტყობთ, რომ მრავალი პრობლემის გადაჭრის მათემატიკური მოდელები არის უტოლობები უცნობებთან. ჩვენ გავაცნობთ უტოლობის ამოხსნის ცნებას და ვაჩვენებთ, როგორ შევამოწმოთ არის თუ არა მოცემული რიცხვი კონკრეტული უტოლობის ამოხსნა.
ფორმის უტოლობები
\(ax > b, \quad ax სადაც a და b მოცემულია რიცხვები და x უცნობია, ეწოდება წრფივი უტოლობა ერთი უცნობით.
განმარტება.უტოლობის ამოხსნა ერთ უცნობთან არის უცნობის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ეს უტოლობა გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. უთანასწორობის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამოხსნის პოვნას ან იმის დადგენას, რომ არ არსებობს.
თქვენ ამოხსნით განტოლებებს უმარტივეს განტოლებამდე შემცირებით. ანალოგიურად, უტოლობების ამოხსნისას, მიდრეკილია მათი შემცირება თვისებების დახმარებით უმარტივესი უტოლობების სახით.
მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნა ერთი ცვლადით
ფორმის უტოლობები
\(ax^2+bx+c >0 \) და \(ax^2+bx+c სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და \(a \neq 0 \) ეწოდება მეორე ხარისხის უტოლობები ერთი ცვლადით.
უტოლობის ამოხსნა
\(ax^2+bx+c >0 \) ან \(ax^2+bx+c \) შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ხარვეზების პოვნა, სადაც ფუნქცია \(y= ax^2+bx+c \) დადებითია. ან უარყოფითი მნიშვნელობები ამისათვის საკმარისია გავაანალიზოთ, თუ როგორ მდებარეობს \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატულ სიბრტყეში: სად არის მიმართული პარაბოლის ტოტები - ზემოთ ან ქვემოთ. , კვეთს თუ არა პარაბოლა x ღერძს და თუ კვეთს, მაშინ რომელ წერტილებში.
მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი ერთი ცვლადით:
1) იპოვეთ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი \(ax^2+bx+c\) და გაარკვიეთ აქვს თუ არა ტრინომს ფესვები;
2) თუ ტრინომს აქვს ფესვები, მაშინ მონიშნეთ ისინი x ღერძზე და დახაზეთ სქემატური პარაბოლა მონიშნულ წერტილებში, რომელთა ტოტები მიმართულია ზევით > 0-ზე ან ქვევით 0-ზე ან ქვედაზე 3) იპოვეთ ხარვეზები. x ღერძზე, რომლის წერტილების პარაბოლები განლაგებულია x ღერძის ზემოთ (თუ ისინი ამოხსნიან უტოლობას \(ax^2+bx+c >0 \)) ან x ღერძის ქვემოთ (თუ ისინი ხსნიან უტოლობას
\(ax^2+bx+c უტოლობების ამოხსნა ინტერვალების მეთოდით
განიხილეთ ფუნქცია
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
ამ ფუნქციის დომენი არის ყველა რიცხვის ნაკრები. ფუნქციის ნულები არის რიცხვები -2, 3, 5. ისინი ყოფენ ფუნქციის დომენს \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) ინტერვალებად. ) \) და \( (5; +\infty)\)
მოდით გავარკვიოთ, რა არის ამ ფუნქციის ნიშნები თითოეულ მითითებულ ინტერვალში.
გამოხატულება (x + 2) (x - 3) (x - 5) არის სამი ფაქტორის ნამრავლი. თითოეული ამ ფაქტორის ნიშანი განხილულ ინტერვალებში მითითებულია ცხრილში:
ზოგადად, ფუნქცია მოცემულია ფორმულით
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
სადაც x არის ცვლადი და x 1, x 2, ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები. რიცხვები x 1 , x 2 , ..., x n არის ფუნქციის ნულები. თითოეულ ინტერვალში, რომლებშიც განსაზღვრების დომენი იყოფა ფუნქციის ნულებით, ფუნქციის ნიშანი შენარჩუნებულია და ნულზე გავლისას იცვლება მისი ნიშანი.
ეს თვისება გამოიყენება ფორმის უტოლობების გადასაჭრელად
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) სადაც x 1 , x 2 , ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები
განხილული მეთოდი უტოლობების ამოხსნას ინტერვალების მეთოდს უწოდებენ.
მოვიყვანოთ უტოლობების ინტერვალის მეთოდით ამოხსნის მაგალითები.
ამოხსენით უტოლობა:
\(x(0.5-x)(x+4) ცხადია, f(x) = x(0.5-x)(x+4) ფუნქციის ნულები არის წერტილები \(x=0, \; x= \frac (1)(2), \; x=-4 \)ჩვენ გამოვსახავთ ფუნქციის ნულებს რეალურ ღერძზე და გამოვთვლით ნიშანს თითოეულ ინტერვალზე:
ვირჩევთ იმ ინტერვალებს, რომლებზედაც ფუნქცია არის ნულზე ნაკლები ან ტოლი და ვწერთ პასუხს.
პასუხი:
\(x \in \ მარცხნივ (-\infty; \; 1 \მარჯვნივ) \თასი \მარცხნივ[ 4; \; +\infty \მარჯვნივ) \)