უტოლობა მოდულის ამონახსნით. უტოლობების ამოხსნა მოდულებით

მათემატიკა მეცნიერების სიბრძნის სიმბოლოა,

მეცნიერული სიმკაცრისა და სიმარტივის მაგალითი,

სრულყოფისა და სილამაზის სტანდარტი მეცნიერებაში.

რუსი ფილოსოფოსი, პროფესორი A.V. ვოლოშინოვი

მოდულის უტოლობები

სასკოლო მათემატიკაში ყველაზე რთულად გადასაჭრელი პრობლემები უტოლობებია, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი. ასეთი უტოლობების წარმატებით გადასაჭრელად საჭიროა კარგად ვიცოდეთ მოდულის თვისებები და გქონდეთ მათი გამოყენების უნარები.

ძირითადი ცნებები და თვისებები

რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).აღინიშნა და განისაზღვრება შემდეგნაირად:

მოდულის მარტივი თვისებები მოიცავს შემდეგ ურთიერთობებს:

და .

Შენიშვნა, რომ ბოლო ორი თვისება მოქმედებს ნებისმიერი ლუწი ხარისხისთვის.

ასევე, თუ სად, მაშინ და

უფრო რთული მოდულის თვისებები, რომელიც შეიძლება ეფექტურად იქნას გამოყენებული მოდულებით განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას, ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემების საშუალებით:

თეორემა 1.ნებისმიერი ანალიტიკური ფუნქციისთვისდა უთანასწორობა.

თეორემა 2.Თანასწორობა უდრის უთანასწორობას.

თეორემა 3.Თანასწორობა უდრის უთანასწორობას.

ყველაზე გავრცელებული უტოლობები სასკოლო მათემატიკაში, მოდულის ნიშნის ქვეშ უცნობი ცვლადების შემცველი, ფორმის უტოლობებიადა სად რაღაც დადებითი მუდმივი.

თეორემა 4.უთანასწორობა ორმაგი უტოლობის ტოლფასია, და უთანასწორობის ამოხსნაამცირებს უტოლობათა სიმრავლის ამოხსნასდა .

ეს თეორემა არის მე-6 და მე-7 თეორემების განსაკუთრებული შემთხვევა.

უფრო რთული უტოლობები, მოდულის შემცველი ფორმის უტოლობებია, და .

ასეთი უტოლობების ამოხსნის მეთოდები შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი სამი თეორემის გამოყენებით.

თეორემა 5.უთანასწორობა უდრის უტოლობათა ორი სისტემის ერთობლიობას

და (1)

მტკიცებულება.Მას შემდეგ

ეს გულისხმობს (1) ვალიდობას.

თეორემა 6.უთანასწორობა უტოლობათა სისტემის ტოლფასია

მტკიცებულება.რადგან, შემდეგ უთანასწორობიდანამას მოჰყვება . ამ პირობით, უთანასწორობადა ამ შემთხვევაში უტოლობების მეორე სისტემა (1) არათანმიმდევრული აღმოჩნდება.

თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 7.უთანასწორობა უდრის ერთი უტოლობისა და უტოლობის ორი სისტემის ერთობლიობას

და (3)

მტკიცებულება.მას შემდეგ, უთანასწორობა ყოველთვის შესრულებული, თუ .

დაე, შემდეგ უთანასწორობაუთანასწორობის ტოლფასი იქნება, საიდანაც გამოდის ორი უტოლობის სიმრავლედა .

თეორემა დადასტურდა.

განვიხილოთ პრობლემების გადაჭრის ტიპიური მაგალითები თემაზე „უთანასწორობა, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი.

უტოლობების ამოხსნა მოდულით

უტოლობების მოდულით ამოხსნის უმარტივესი მეთოდია მეთოდი, მოდულის გაფართოების საფუძველზე. ეს მეთოდი ზოგადია, თუმცა, ზოგად შემთხვევაში, მისმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ძალიან რთული გამოთვლები. ამიტომ, სტუდენტებმა ასევე უნდა იცოდნენ ასეთი უტოლობების ამოხსნის სხვა (უფრო ეფექტური) მეთოდები და ხერხები. Კერძოდ, უნდა ჰქონდეს თეორემების გამოყენების უნარები, მოცემულ სტატიაში.

მაგალითი 1ამოხსენით უტოლობა

. (4)

გამოსავალი.უტოლობა (4) გადაიჭრება „კლასიკური“ მეთოდით – მოდულის გაფართოების მეთოდით. ამ მიზნით, ჩვენ ვარღვევთ რიცხვით ღერძსწერტილები და ინტერვალით და განიხილეთ სამი შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ , , , და უტოლობა (4) იღებს ფორმასან .

ვინაიდან შემთხვევა აქ განიხილება, , არის უტოლობის ამოხსნა (4).

2. თუ, მაშინ უტოლობიდან (4) ვიღებთან . ინტერვალების გადაკვეთიდანდა ცარიელია, მაშინ განხილულ ინტერვალზე არ არსებობს უტოლობის (4) ამონახსნები.

3. თუ, მაშინ უტოლობა (4) იღებს ფორმასან . აშკარაა რომ ასევე არის უტოლობის ამოხსნა (4).

პასუხი: ,.

მაგალითი 2ამოხსენით უტოლობა.

გამოსავალი.დავუშვათ, რომ. რადგან, მაშინ მოცემული უტოლობა იღებს ფორმასან . იმიტომ რომ, მაშინ და აქედან გამომდინარეობსან .

თუმცა , ამიტომ ან .

მაგალითი 3ამოხსენით უტოლობა

. (5)

გამოსავალი.რადგან, მაშინ უტოლობა (5) უდრის უტოლობასან . აქედან, თეორემა 4-ის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს უთანასწორობების ნაკრებიდა .

პასუხი: ,.

მაგალითი 4ამოხსენით უტოლობა

. (6)

გამოსავალი.აღვნიშნოთ. შემდეგ უტოლობიდან (6) ვიღებთ უტოლობებს , ან .

აქედან, ინტერვალის მეთოდის გამოყენებითვიღებთ . რადგან, მაშინ აქ გვაქვს უტოლობათა სისტემა

სისტემის პირველი უტოლობა (7) არის ორი ინტერვალის გაერთიანებადა ხოლო მეორე უტოლობის ამოხსნა არის ორმაგი უტოლობა. ეს გულისხმობს, რომ უტოლობათა სისტემის ამონახსნი (7) არის ორი ინტერვალის გაერთიანებადა .

პასუხი:,

მაგალითი 5ამოხსენით უტოლობა

. (8)

გამოსავალი. ჩვენ გარდაქმნით უტოლობას (8) შემდეგნაირად:

ან .

ინტერვალის მეთოდის გამოყენება, ვიღებთ უტოლობის ამოხსნას (8).

პასუხი:.

Შენიშვნა. თუ დავსვათ მე-5 თეორემას მდგომარეობაში, მაშინ მივიღებთ .

მაგალითი 6ამოხსენით უტოლობა

. (9)

გამოსავალი. უტოლობიდან (9) გამოდის. ჩვენ გარდაქმნით უტოლობას (9) შემდეგნაირად:

ან

მას შემდეგ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 7ამოხსენით უტოლობა

. (10)

გამოსავალი.მას შემდეგ, რაც და, მაშინ ან.

ამასთან დაკავშირებით და უტოლობა (10) იღებს ფორმას

ან

. (11)

აქედან გამომდინარეობს, რომ ან . ვინაიდან , მაშინ უტოლობა (11) ასევე გულისხმობს ან .

პასუხი:.

Შენიშვნა. თუ გამოვიყენებთ 1 თეორემას უტოლობის მარცხენა მხარეს (10), შემდეგ მივიღებთ . აქედან და უტოლობიდან (10) გამომდინარეობს, რომ ან . რადგან, მაშინ უტოლობა (10) იღებს ფორმასან .

მაგალითი 8ამოხსენით უტოლობა

. (12)

გამოსავალი.Მას შემდეგ და უტოლობა (12) გულისხმობსან . თუმცა , ამიტომ ან . აქედან ვიღებთ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 9ამოხსენით უტოლობა

. (13)

გამოსავალი.მე-7 თეორემის მიხედვით, უტოლობის ამონახსნები (13) არის ან .

მოდით ახლა. Ამ შემთხვევაში და უტოლობა (13) იღებს ფორმასან .

თუ გავაერთიანებთ ინტერვალებსდა მაშინ ვიღებთ ამონახსნის ფორმის (13) უტოლობას.

მაგალითი 10ამოხსენით უტოლობა

. (14)

გამოსავალი.გადავწეროთ უტოლობა (14) ეკვივალენტური ფორმით: . თუ გამოვიყენებთ თეორემა 1-ს ამ უტოლობის მარცხენა მხარეს, მაშინ მივიღებთ უტოლობას.

აქედან და თეორემა 1-დან გამომდინარეობს, რომ უტოლობა (14) დაკმაყოფილებულია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

პასუხი: ნებისმიერი ნომერი.

მაგალითი 11.ამოხსენით უტოლობა

. (15)

გამოსავალი. თეორემა 1-ის გამოყენება უტოლობის მარცხენა მხარეს (15), ვიღებთ . აქედან და უტოლობიდან (15) მოყვება განტოლება, რომელიც ჰგავს.

თეორემა 3-ის მიხედვით, განტოლება უდრის უთანასწორობას. აქედან ვიღებთ.

მაგალითი 12.ამოხსენით უტოლობა

. (16)

გამოსავალი. უტოლობიდან (16), მე-4 თეორემის მიხედვით, ვიღებთ უტოლობათა სისტემას

უტოლობის ამოხსნისასვიყენებთ თეორემა 6-ს და ვიღებთ უტოლობათა სისტემასსაიდანაც გამომდინარეობს.

განვიხილოთ უთანასწორობა. მე-7 თეორემის მიხედვით, ვიღებთ უტოლობების ერთობლიობასდა . მეორე პოპულაციის უთანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერი რეალურისთვის.

აქედან გამომდინარე, უტოლობის ამოხსნა (16) არის.

მაგალითი 13ამოხსენით უტოლობა

. (17)

გამოსავალი.თეორემა 1-ის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

(18)

უტოლობის (17) გათვალისწინებით, დავასკვნით, რომ ორივე უტოლობა (18) იქცევა თანასწორებად, ე.ი. არსებობს განტოლებათა სისტემა

მე-3 თეორემის მიხედვით, განტოლებათა ეს სისტემა უტოლობების სისტემის ტოლფასია

ან

მაგალითი 14ამოხსენით უტოლობა

. (19)

გამოსავალი.Მას შემდეგ . მოდით გავამრავლოთ უტოლობის ორივე ნაწილი (19) გამოსახულებით, რომელიც ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს. შემდეგ მივიღებთ უტოლობას, რომელიც უტოლდება ფორმის უტოლობას (19).

აქედან ვიღებთ ან სად. მას შემდეგ, რაც და მაშინ უტოლობის ამონახსნები (19) არისდა .

პასუხი: ,.

მოდულით უტოლობების ამოხსნის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, მიზანშეწონილია მიმართოთ გაკვეთილებს, ჩამოთვლილი რეკომენდირებული წაკითხვის სიაში.

1. დავალებების კრებული მათემატიკაში ტექნიკური უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ .: სამყარო და განათლება, 2013. - 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: უტოლობების ამოხსნისა და დამტკიცების მეთოდები. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264გვ.

3. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: ამოცანების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდები. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296გვ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

მოდულის შემცველი უტოლობების ამოხსნის რამდენიმე გზა არსებობს. განვიხილოთ ზოგიერთი მათგანი.

1) უტოლობის ამოხსნა მოდულის გეომეტრიული თვისების გამოყენებით.

შეგახსენებთ, რა არის მოდულის გეომეტრიული თვისება: x რიცხვის მოდული არის მანძილი საწყისიდან x კოორდინატით წერტილამდე.

ამ გზით უტოლობების ამოხსნისას შეიძლება წარმოიშვას 2 შემთხვევა:

1. |x| ≤ ბ,

და უტოლობა მოდულით აშკარად მცირდება ორი უტოლობის სისტემამდე. აქ ნიშანი შეიძლება იყოს მკაცრი, ამ შემთხვევაში ნახატზე პუნქტები "გაიჭრება".

2. |x| ≥ ბ,მაშინ გამოსავლის სურათი ასე გამოიყურება:

და უტოლობა მოდულთან აშკარად მცირდება ორი უტოლობის სიმრავლემდე. აქ ნიშანი შეიძლება იყოს მკაცრი, ამ შემთხვევაში ნახატზე პუნქტები "გაიჭრება".

მაგალითი 1

ამოხსენით უტოლობა |4 – |x|| ≥ 3.

გამოსავალი.

ეს უტოლობა უდრის შემდეგ სიმრავლეს:

U [-1;1] U

მაგალითი 2

ამოხსენით უტოლობა ||x+2| – 3| ≤ 2.

გამოსავალი.

ეს უტოლობა უდრის შემდეგ სისტემას.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

ჩვენ ცალკე ვხსნით სისტემის პირველ უტოლობას. ეს უდრის შემდეგ კომპლექტს:

U[-1; 3].

2) უტოლობების ამოხსნა მოდულის განმარტების გამოყენებით.

შეგახსენებთ, რომ დაიწყოთ მოდულის განმარტება.

|ა| = a თუ ა ≥ 0 და |a| = -a თუ ა< 0.

მაგალითად, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

მაგალითი 1

ამოხსენით უტოლობა 3|x – 1| ≤ x + 3.

გამოსავალი.

მოდულის განმარტების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ორ სისტემას:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.

პირველი და მეორე სისტემების ცალკე გადაჭრით, მივიღებთ:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

საწყისი უტოლობის გამოსავალი იქნება პირველი სისტემის ყველა ამონახსნობა და მეორე სისტემის ყველა ამონახვა.

პასუხი: x €.

3) უტოლობების ამოხსნა კვადრატში.

მაგალითი 1

ამოხსენით უტოლობა |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

გამოსავალი.

მოდი უტოლობის ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ. მე აღვნიშნავ, რომ უთანასწორობის ორივე მხარის კვადრატში მოყვანა შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე დადებითია. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს მოდულები მარცხნივ და მარჯვნივ, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება.

(| x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

ახლა გამოვიყენოთ მოდულის შემდეგი თვისება: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x(x - 2)(2x - 1)< 0.

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით.

პასუხი: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) უტოლობების ამოხსნა ცვლადების შეცვლის მეთოდით.

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

გამოსავალი.

გაითვალისწინეთ, რომ (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

გავაკეთოთ ცვლილება y = |2x + 3|.

მოდით გადავწეროთ ჩვენი უტოლობა ჩანაცვლების გათვალისწინებით.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

მარცხნივ კვადრატულ ტრინომს ვანაწილებთ.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 - 11) / 2,

(y - 6)(y + 5) ≤ 0.

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით და ვიღებთ:

დაბრუნება ჩანაცვლებაზე:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

ეს ორმაგი უტოლობა უდრის უტოლობათა სისტემას:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

თითოეულ უტოლობას ცალ-ცალკე ვხსნით.

პირველი არის სისტემის ტოლფასი

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

მოდი მოვაგვაროთ.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

მეორე უტოლობა აშკარად მოქმედებს ყველა x-ისთვის, რადგან მოდული, განსაზღვრებით, დადებითი რიცხვია. ვინაიდან სისტემის ამონახსნი არის ყველა x, რომელიც ერთდროულად აკმაყოფილებს სისტემის პირველ და მეორე უტოლობას, მაშინ თავდაპირველი სისტემის ამოხსნა იქნება მისი პირველი ორმაგი უტოლობა (ბოლოს და ბოლოს, მეორე მართალია ყველა x-სთვის).

პასუხი: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

მოდულის ნომერითავად ამ რიცხვს უწოდებენ, თუ ის არაუარყოფითია, ან იგივე რიცხვს საპირისპირო ნიშნით, თუ ის უარყოფითია.

მაგალითად, 6-ის მოდული არის 6, ხოლო -6-ის მოდული ასევე არის 6.

ანუ რიცხვის მოდული გაგებულია, როგორც აბსოლუტური მნიშვნელობა, ამ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა მისი ნიშნის გათვალისწინების გარეშე.

აღინიშნება შემდეგნაირად: |6|, | X|, |ა| და ა.შ.

(დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ განყოფილება "რიცხვის მოდული").

მოდულის განტოლებები.

მაგალითი 1 . განტოლების ამოხსნა|10 X - 5| = 15.

გამოსავალი.

წესის მიხედვით, განტოლება უდრის ორი განტოლების კომბინაციას:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Ჩვენ ვწყვეტთ:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

უპასუხე: X 1 = 2, X 2 = -1.

მაგალითი 2 . განტოლების ამოხსნა|2 X + 1| = X + 2.

გამოსავალი.

ვინაიდან მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ X+ 2 ≥ 0. შესაბამისად:

X ≥ -2.

ჩვენ ვქმნით ორ განტოლებას:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Ჩვენ ვწყვეტთ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

ორივე რიცხვი -2-ზე მეტია. ასე რომ, ორივე არის განტოლების ფესვები.

უპასუხე: X 1 = -1, X 2 = 1.

მაგალითი 3 . განტოლების ამოხსნა

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

გამოსავალი.

განტოლებას აქვს აზრი, თუ მნიშვნელი არ არის ნულის ტოლი - ასე რომ, თუ X≠ 1. გავითვალისწინოთ ეს პირობა. ჩვენი პირველი მოქმედება მარტივია - ჩვენ არ ვიშორებთ წილადს, არამედ ვაქცევთ მას ისე, რომ მოდული მივიღოთ მის სუფთა სახით:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

ახლა ჩვენ გვაქვს მხოლოდ გამონათქვამი განტოლების მარცხენა მხარეს მოდულის ქვეშ. Განაგრძე.
რიცხვის მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი - ანუ ის უნდა იყოს ნულის მეტი ან ტოლი. შესაბამისად, ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს მეორე პირობა: განტოლების ფესვი უნდა იყოს მინიმუმ 3/4.

წესის მიხედვით, ჩვენ ვადგენთ ორი განტოლების ერთობლიობას და ვხსნით მათ:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

ორი პასუხი მივიღეთ. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვები.

ჩვენ გვქონდა ორი პირობა: განტოლების ფესვი არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი და ის უნდა იყოს მინიმუმ 3/4. ანუ X ≠ 1, X≥ 3/4. ორივე ეს პირობა შეესაბამება მიღებული ორი პასუხიდან მხოლოდ ერთს - რიცხვს 2. აქედან გამომდინარე, მხოლოდ ის არის საწყისი განტოლების ფესვი.

უპასუხე: X = 2.

უტოლობა მოდულთან.

მაგალითი 1 . ამოხსენით უტოლობა| X - 3| < 4

გამოსავალი.

მოდულის წესი ამბობს:

|ა| = ა, თუ ა ≥ 0.

|ა| = -ა, თუ ა < 0.

მოდულს შეიძლება ჰქონდეს როგორც არაუარყოფითი, ასევე უარყოფითი რიცხვი. ამიტომ ორივე შემთხვევა უნდა განვიხილოთ: X- 3 ≥ 0 და X - 3 < 0.

1) როდის X- 3 ≥ 0, ჩვენი საწყისი უტოლობა რჩება ისეთი, როგორიც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:
X - 3 < 4.

2) როდის X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

ფრჩხილების გახსნისას მივიღებთ:

-X + 3 < 4.

ამრიგად, ამ ორი პირობიდან მივედით უტოლობის ორი სისტემის გაერთიანებამდე:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

მოდით მოვაგვაროთ ისინი:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

ასე რომ, ჩვენს პასუხში გვაქვს ორი სიმრავლის გაერთიანება:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

განსაზღვრეთ უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები. ეს არის -1 და 7. ამავე დროს X-1-ზე მეტი, მაგრამ 7-ზე ნაკლები.
გარდა ამისა, X≥ 3. მაშასადამე, უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1-დან 7-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების გამოკლებით.

უპასუხე: -1 < X < 7.

ან: X ∈ (-1; 7).

დანამატები.

1) არსებობს უფრო მარტივი და მოკლე გზა ჩვენი უთანასწორობის გადასაჭრელად - გრაფიკული. ამისათვის დახაზეთ ჰორიზონტალური ღერძი (ნახ. 1).

გამოხატულება | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3 წერტილამდე ოთხ ერთეულზე ნაკლები. ღერძზე ვნიშნავთ რიცხვს 3 და ვითვლით 4 განყოფილებას მარცხნივ და მარჯვნივ. მარცხნივ მივალთ -1 წერტილამდე, მარჯვნივ - 7 წერტილამდე. ამრიგად, წერტილები Xჩვენ უბრალოდ ვნახეთ მათი გამოთვლის გარეშე.

უფრო მეტიც, უტოლობის პირობის მიხედვით, თავად -1 და 7 არ შედის ამონახსნების სიმრავლეში. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ პასუხს:

1 < X < 7.

2) მაგრამ არის კიდევ ერთი გამოსავალი, რომელიც კიდევ უფრო მარტივია, ვიდრე გრაფიკული გზა. ამისათვის ჩვენი უტოლობა უნდა იყოს წარმოდგენილი შემდეგი სახით:

4 < X - 3 < 4.

მოდულის წესით ხომ ასეა. არაუარყოფითი რიცხვი 4 და მსგავსი უარყოფითი რიცხვი -4 არის უტოლობის ამოხსნის საზღვრები.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

მაგალითი 2 . ამოხსენით უტოლობა| X - 2| ≥ 5

გამოსავალი.

ეს მაგალითი მნიშვნელოვნად განსხვავდება წინა მაგალითისგან. მარცხენა მხარე 5-ზე მეტია ან 5-ის ტოლია. გეომეტრიული თვალსაზრისით, უტოლობის ამონახსნი არის ყველა რიცხვი, რომელიც 2 წერტილიდან 5 ერთეულზე ან მეტ მანძილზეა (ნახ. 2). გრაფიკი აჩვენებს, რომ ეს არის ყველა რიცხვი, რომელიც არის -3-ზე ნაკლები ან ტოლი და მეტი ან ტოლი 7-ის. ასე რომ, პასუხი უკვე მივიღეთ.

უპასუხე: -3 ≥ X ≥ 7.

გზაზე, ჩვენ ვხსნით იმავე უტოლობას თავისუფალი ტერმინის გადალაგებით მარცხნივ და მარჯვნივ საპირისპირო ნიშნით:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

პასუხი იგივეა: -3 ≥ X ≥ 7.

ან: X ∈ [-3; 7]

მაგალითი მოგვარებულია.

მაგალითი 3 . ამოხსენით უტოლობა 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

გამოსავალი.

ნომერი Xშეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულოვანი. ამიტომ სამივე გარემოება უნდა გავითვალისწინოთ. როგორც მოგეხსენებათ, ისინი გათვალისწინებულია ორ უტოლობაში: X≥ 0 და X < 0. При X≥ 0, ჩვენ უბრალოდ გადავიწერთ ჩვენს თავდაპირველ უტოლობას, როგორც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

ახლა მეორე შემთხვევისთვის: თუ X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

ფრჩხილების გაფართოება:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ განტოლების ორი სისტემა:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობები სისტემებში - რაც ნიშნავს, რომ უნდა ვიპოვოთ ორი კვადრატული განტოლების ფესვები. ამისათვის ჩვენ უტოლობების მარცხენა მხარეებს ვატოლებთ ნულს.

დავიწყოთ პირველით:

6X 2 - X - 2 = 0.

როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება - იხილეთ განყოფილება "კვადრატული განტოლება". ჩვენ დაუყოვნებლივ დავასახელებთ პასუხს:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

უტოლობათა პირველი სისტემიდან მივიღებთ, რომ თავდაპირველი უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1/2-დან 2/3-მდე. ჩვენ ვწერთ გადაწყვეტილებების გაერთიანებას X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

ახლა გადავწყვიტოთ მეორე კვადრატული განტოლება:

6X 2 + X - 2 = 0.

მისი ფესვები:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

დასკვნა: როდის X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

გავაერთიანოთ ორი პასუხი და მივიღოთ საბოლოო პასუხი: ამონახსნი არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -2/3-დან 2/3-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების ჩათვლით.

უპასუხე: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

ან: X ∈ [-2/3; 2/3].

მოდულებთან უტოლობების გამოვლენის მეთოდები (წესები) მოიცავს მოდულების თანმიმდევრულ გამოვლენას, ქვემოდულის ფუნქციების მუდმივი ნიშნის ინტერვალების გამოყენებით. საბოლოო ვერსიაში მიიღება რამდენიმე უტოლობა, საიდანაც ისინი პოულობენ ინტერვალებს ან ხარვეზებს, რომლებიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას.

გადავიდეთ პრაქტიკაში გავრცელებული მაგალითების ამოხსნაზე.

წრფივი უტოლობა მოდულებით

წრფივში ვგულისხმობთ განტოლებებს, რომლებშიც ცვლადი განტოლებაში წრფივად შედის.

მაგალითი 1. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა

გამოსავალი:
პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ მოდულები გადაიქცევა ნულში x=-1 და x=-2-ზე. ეს წერტილები ყოფს რიცხვით ღერძს ინტერვალებად

თითოეულ ამ ინტერვალში ჩვენ ვხსნით მოცემულ უტოლობას. ამისათვის, უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვხატავთ სუბმოდულური ფუნქციების მუდმივი ნიშნის უბნების გრაფიკულ ნახაზებს. ისინი გამოსახულია როგორც უბნები თითოეული ფუნქციის ნიშნებით.

ან ინტერვალები ყველა ფუნქციის ნიშნებით.

პირველ ინტერვალზე გახსენით მოდულები

ორივე ნაწილს ვამრავლებთ მინუს ერთზე, ხოლო უტოლობის ნიშანი პირიქით იცვლება. თუ ამ წესთან შეგუება გაგიჭირდებათ, მაშინ მინუსის მოსაშორებლად შეგიძლიათ თითოეული ნაწილი ნიშანს მიღმა გადაიტანოთ. საბოლოო ჯამში, თქვენ მიიღებთ

x>-3 სიმრავლის კვეთა იმ ფართობთან, რომელზედაც ამოხსნილია განტოლებები იქნება ინტერვალი (-3;-2) . მათთვის, ვისაც უადვილდება გადაწყვეტილებების გრაფიკულად ძიება, შეგიძლიათ დახაზოთ ამ უბნების კვეთა

ტერიტორიების საერთო გადაკვეთა იქნება გამოსავალი. მკაცრი უთანასწორობით, კიდეები არ შედის. თუ არასტრიქონი შემოწმებულია ჩანაცვლებით.

მეორე ინტერვალზე ვიღებთ

განყოფილება იქნება ინტერვალი (-2; -5/3). გრაფიკულად, გამოსავალი ასე გამოიყურება

მესამე ინტერვალზე ვიღებთ

ეს მდგომარეობა არ იძლევა გამოსავალს საჭირო ფართობზე.

ვინაიდან ნაპოვნი ორი ამონახსნი (-3;-2) და (-2;-5/3) ესაზღვრება x=-2 წერტილს, ჩვენც ვამოწმებთ.

ამგვარად, წერტილი x=-2 არის ამონახსნი. ამის გათვალისწინებით ზოგადი გამოსავალი ასე გამოიყურება (-3;5/3).

მაგალითი 2. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

გამოსავალი:
ქვემოდულის ფუნქციების ნულები იქნება წერტილები x=2, x=3, x=4 . როდესაც არგუმენტების მნიშვნელობები ამ წერტილებზე ნაკლებია, ქვემოდულის ფუნქციები უარყოფითია, ხოლო როდესაც მნიშვნელობები დიდია, ისინი დადებითია.

წერტილები რეალურ ღერძს ოთხ ინტერვალად ყოფენ. ვხსნით მოდულებს ნიშნის მუდმივობის ინტერვალების მიხედვით და ვხსნით უტოლობას.

1) პირველ ინტერვალზე ყველა სუბმოდულური ფუნქცია უარყოფითია, ამიტომ მოდულების გაფართოებისას ჩვენ ვცვლით ნიშანს საპირისპიროდ.

ნაპოვნი x მნიშვნელობების გადაკვეთა განხილულ ინტერვალთან იქნება პუნქტების ნაკრები

2) x=2 და x=3 წერტილებს შორის ინტერვალში პირველი ქვემოდულის ფუნქცია დადებითია, მეორე და მესამე უარყოფითი. მოდულების გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ

უტოლობა, რომელიც იმ ინტერვალთან გადაკვეთისას, რომელზეც ჩვენ ვხსნით, იძლევა ერთ ამონახსანს - x=3.

3) x=3 და x=4 წერტილებს შორის ინტერვალში პირველი და მეორე ქვემოდულის ფუნქციები დადებითია, ხოლო მესამე უარყოფითი. ამის საფუძველზე ვიღებთ

ეს პირობა გვიჩვენებს, რომ მთელი ინტერვალი დააკმაყოფილებს მოდულების უთანასწორობას.

4) x>4 მნიშვნელობებისთვის, ყველა ფუნქცია დადებითი ნიშანია. მოდულების გაფართოებისას ჩვენ არ ვცვლით მათ ნიშანს.

ნაპოვნი მდგომარეობა ინტერვალთან კვეთაზე იძლევა ამონახსნების შემდეგ კომპლექტს

ვინაიდან უტოლობა წყდება ყველა ინტერვალზე, რჩება ყველა ნაპოვნი x მნიშვნელობის საერთო მნიშვნელობის პოვნა. გამოსავალი არის ორი ინტერვალი

ეს მაგალითი მოგვარებულია.

მაგალითი 3. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
||x-1|-5|>3-2x

გამოსავალი:
ჩვენ გვაქვს უთანასწორობა მოდულიდან მოდულთან. ასეთი უთანასწორობები ვლინდება მოდულების ჩადგმისას, დაწყებული მათგან, რომლებიც უფრო ღრმაა განთავსებული.

ქვემოდულის ფუნქცია x-1 გარდაიქმნება ნულში x=1 წერტილში. უფრო მცირე მნიშვნელობებისთვის 1-ს მიღმა არის უარყოფითი და დადებითი x>1-ისთვის. ამის საფუძველზე ვხსნით შიდა მოდულს და განვიხილავთ უტოლობას თითოეულ ინტერვალზე.

ჯერ განიხილეთ ინტერვალი მინუს უსასრულობიდან ერთამდე

ქვემოდულის ფუნქცია არის ნული x=-4 წერტილში. მცირე მნიშვნელობებისთვის ეს დადებითია, უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის - უარყოფითი. გააფართოვეთ მოდული x-ისთვის<-4:

იმ ფართობთან გადაკვეთაზე, რომელზეც განვიხილავთ, ვიღებთ ამონახსნების ერთობლიობას

შემდეგი ნაბიჯი არის მოდულის გაფართოება ინტერვალზე (-4; 1)

მოდულის გაფართოების არეალის გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ გადაწყვეტილებების ინტერვალს

დაიმახსოვრე: თუ თქვენ მიიღებთ ორ ინტერვალს ასეთ დარღვევებში მოდულებთან, რომლებიც ესაზღვრება საერთო წერტილს, მაშინ, როგორც წესი, ეს ასევე გამოსავალია.

ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა შეამოწმოთ.

ამ შემთხვევაში ვცვლით x=-4 წერტილს.

ასე რომ x=-4 არის გამოსავალი.
გააფართოვეთ შიდა მოდული x>1-ისთვის

ქვემოდულის ფუნქცია უარყოფითია x-ისთვის<6.
მოდულის გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ

ეს მდგომარეობა განყოფილებაში ინტერვალით (1;6) იძლევა ამონახსნების ცარიელ კომპლექტს.

x>6-ისთვის ვიღებთ უტოლობას

ასევე ამოხსნისას მივიღეთ ცარიელი ნაკრები.
ყოველივე ზემოთქმულიდან გამომდინარე, მოდულებთან უთანასწორობის ერთადერთი გამოსავალი იქნება შემდეგი ინტერვალი.

უტოლობა მოდულებთან, რომლებიც შეიცავს კვადრატულ განტოლებებს

მაგალითი 4. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
|x^2+3x|>=2-x^2

გამოსავალი:
ქვემოდულის ფუნქცია ქრება x=0, x=-3 წერტილებში. მარტივი ჩანაცვლებით მინუს ერთი

ჩვენ ვაყენებთ, რომ ის არის ნულზე ნაკლები ინტერვალზე (-3; 0) და დადებითი მის მიღმა.
გააფართოვეთ მოდული იმ ადგილებში, სადაც ქვემოდულის ფუნქცია დადებითია

რჩება იმ უბნების დადგენა, სადაც კვადრატის ფუნქცია დადებითია. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ კვადრატული განტოლების ფესვებს

მოხერხებულობისთვის ვცვლით x=0 წერტილს, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (-2;1/2). ფუნქცია ამ ინტერვალში უარყოფითია, ამიტომ გამოსავალი იქნება შემდეგი x სიმრავლეები

აქ ფრჩხილებში მითითებულია უბნების კიდეები ხსნარებით; ეს გაკეთდა განზრახ, შემდეგი წესის გათვალისწინებით.

დაიმახსოვრე: თუ უტოლობა მოდულებთან, ან უბრალო უტოლობა მკაცრია, მაშინ ნაპოვნი უბნების კიდეები არ არის ამონახსნები, მაგრამ თუ უტოლობები არ არის მკაცრი (), მაშინ კიდეები არის ამონახსნები (აღნიშნავენ კვადრატულ ფრჩხილებს).

ამ წესს ბევრი მასწავლებელი იყენებს: თუ მკაცრი უტოლობაა მოცემული და გამოთვლების დროს ამონახსნში ჩაწერთ კვადრატულ ფრჩხილს ([,]), ისინი ავტომატურად ჩათვლიან არასწორ პასუხად. ასევე, ტესტირებისას, თუ მითითებულია არა მკაცრი უთანასწორობა მოდულებთან, მაშინ გადაწყვეტილებებს შორის მოძებნეთ კვადრატული ფრჩხილების მქონე ადგილები.

ინტერვალზე (-3; 0), მოდულის გაფართოებით, ჩვენ ვცვლით ფუნქციის ნიშანს საპირისპიროდ

უთანასწორობის გამჟღავნების ფარგლების გათვალისწინებით, გამოსავალს ექნება ფორმა

წინა არეალთან ერთად ეს მისცემს ორ ნახევარ ინტერვალს

მაგალითი 5. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
9x^2-|x-3|>=9x-2

გამოსავალი:
მოცემულია არამკაცრი უტოლობა, რომლის ქვემოდული ფუნქცია x=3 წერტილში ნულის ტოლია. მცირე მნიშვნელობებში ის უარყოფითია, უფრო დიდ მნიშვნელობებში დადებითია. ჩვენ ვაფართოებთ მოდულს x ინტერვალზე<3.

განტოლების დისკრიმინანტის პოვნა

და ფესვები

ნულოვანი წერტილის ჩანაცვლებით აღმოვაჩენთ, რომ [-1/9; 1] ინტერვალზე კვადრატული ფუნქცია უარყოფითია, ამიტომ ინტერვალი არის ამონახსნები. შემდეგ გახსენით მოდული x>3-ისთვის