პარამეტრი ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში. "პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდები"

მოხსენება MBOU მე-9 საშუალო სკოლის მათემატიკის მასწავლებლის გმო-ზე

მოლჩანოვა ელენა ვლადიმეროვნა

მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მზადება: პარამეტრების პრობლემები.

ვინაიდან სასკოლო სახელმძღვანელოებში არ არის პარამეტრის განმარტება, მე ვთავაზობ, რომ საფუძვლად მივიღოთ შემდეგი უმარტივესი ვერსია.

განმარტება . პარამეტრი არის დამოუკიდებელი ცვლადი, რომლის მნიშვნელობად პრობლემაში მიჩნეულია მოცემული ფიქსირებული ან თვითნებური რეალური რიცხვი, ან რიცხვი, რომელიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს.

რას ნიშნავს „პრობლემის გადაჭრა პარამეტრით“?

ბუნებრივია, ეს დამოკიდებულია პრობლემაზე არსებულ კითხვაზე. თუ, მაგალითად, აუცილებელია განტოლების, უტოლობის, სისტემის ან მათი სიმრავლის ამოხსნა, მაშინ ეს ნიშნავს დასაბუთებული პასუხის წარმოდგენას ან პარამეტრის ნებისმიერ მნიშვნელობაზე ან პარამეტრის მნიშვნელობაზე, რომელიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს. .

თუ თქვენ გჭირდებათ პარამეტრის მნიშვნელობების პოვნა, რომლებისთვისაც განტოლების ამონახსნების ნაკრები, უტოლობა და ა.

მკითხველს განუვითარდება უფრო გამჭვირვალე გაგება იმის შესახებ, თუ რას ნიშნავს პრობლემის გადაჭრა პარამეტრით, შემდეგ გვერდებზე პრობლემის გადაჭრის მაგალითების წაკითხვის შემდეგ.

რა არის ძირითადი ტიპის პრობლემები პარამეტრებთან?

ტიპი 1. განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რომლებიც უნდა გადაწყდეს ან პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (პარამეტრები), ან პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს.

ამ ტიპის პრობლემა საბაზისოა თემის „პრობლემები პარამეტრებთან“ დაუფლებისას, რადგან ჩადებული სამუშაო წინასწარ განსაზღვრავს წარმატებას ყველა სხვა ძირითადი ტიპის პრობლემების გადაჭრაში.

ტიპი 2. განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რისთვისაც აუცილებელია ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრა პარამეტრის (პარამეტრების) მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

თქვენს ყურადღებას ვაქცევ იმ ფაქტს, რომ ამ ტიპის ამოცანების ამოხსნისას არ არის საჭირო არც მოცემული განტოლებების, უტოლობების, მათი სისტემებისა და კომბინაციების ამოხსნა და ა.შ. უმეტეს შემთხვევაში, ასეთი არასაჭირო სამუშაო არის ტაქტიკური შეცდომა, რომელიც იწვევს დროის ზედმეტ დაკარგვას. ამასთან, ეს არ უნდა იყოს აბსოლუტური, რადგან ზოგჯერ პირდაპირი გადაწყვეტა 1 ტიპის შესაბამისად არის ერთადერთი გონივრული გზა პასუხის მისაღებად მე-2 ტიპის პრობლემის გადაჭრისას.

ტიპი 3. განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და კოლექციები, რისთვისაც საჭიროა ყველა იმ პარამეტრის მნიშვნელობების პოვნა, რომლებისთვისაც მითითებულ განტოლებებს, უტოლობას, მათ სისტემებსა და კოლექციებს აქვთ ამონახსნების მოცემული რაოდენობა (კერძოდ, მათ არ აქვთ ან აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა).

ადვილი მისახვედრია, რომ მე-3 ტიპის პრობლემები გარკვეულწილად არის მე-2 ტიპის პრობლემების საპირისპირო.

ტიპი 4. განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რომლებისთვისაც, პარამეტრის საჭირო მნიშვნელობებისთვის, ამონახსნების ნაკრები აკმაყოფილებს განსაზღვრულ პირობებს განსაზღვრების სფეროში.

მაგალითად, იპოვნეთ პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლებშიც:

1) განტოლება დაკმაყოფილებულია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მოცემული ინტერვალიდან;
2) პირველი განტოლების ამონახსნთა სიმრავლე არის მეორე განტოლების ამონახსნების სიმრავლის ქვესიმრავლე და ა.შ.

კომენტარი. პარამეტრთან დაკავშირებული პრობლემების მრავალფეროვნება მოიცავს სასკოლო მათემატიკის მთელ კურსს (როგორც ალგებრა, ასევე გეომეტრია), მაგრამ მათი დიდი უმრავლესობა ფინალურ და მისაღებ გამოცდებში მიეკუთვნება ჩამოთვლილ ოთხ ტიპს, რომელსაც ამ მიზეზით უწოდებენ ძირითადს.

პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების ყველაზე გავრცელებული კლასი არის პრობლემები ერთი უცნობი და ერთი პარამეტრით. მომდევნო აბზაცში მითითებულია ამ კონკრეტული კლასის პრობლემების გადაჭრის ძირითადი გზები.

რა არის პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის ძირითადი გზები (მეთოდები)?

მეთოდი I (ანალიტიკური). ეს არის ეგრეთ წოდებული პირდაპირი გადაწყვეტის მეთოდი, რომელიც იმეორებს სტანდარტულ პროცედურებს ამოცანებში პასუხის მოსაძებნად პარამეტრის გარეშე. ზოგჯერ ამბობენ, რომ ეს არის ძალისმიერი, კარგი გაგებით, „ამპარტავანი“ გადაწყვეტის მეთოდი.

კომენტარი. პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის ანალიტიკური მეთოდი ყველაზე რთული მეთოდია, რომელიც მოითხოვს მაღალ წიგნიერებას და მის დაუფლებას უდიდეს ძალისხმევას.

მეთოდი II (გრაფიკული). დავალების მიხედვით (ცვლადი x და პარამეტრითა ) გრაფიკები განიხილება ან კოორდინატულ სიბრტყეში (x; y), ან კოორდინატულ სიბრტყეში (x;ა ).

კომენტარი. პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდის განსაკუთრებული სიცხადე და სილამაზე იმდენად ხიბლავს მოსწავლეებს თემის „პრობლემები პარამეტრთან“, რომ ისინი იწყებენ გადაწყვეტის სხვა მეთოდების იგნორირებას, ავიწყდებათ ცნობილი ფაქტი: პრობლემების ნებისმიერი კლასისთვის. , მათ ავტორებს შეუძლიათ ჩამოაყალიბონ ისეთი, რომელიც ბრწყინვალედ არის გადაწყვეტილი ამ გზით და კოლოსალური სირთულეებით სხვა გზებით. ამიტომ, შესწავლის საწყის ეტაპზე საშიშია პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის გრაფიკული ტექნიკით დაწყება.

მეთოდი III (გადაწყვეტილება პარამეტრთან დაკავშირებით). ამ გზით ამოხსნისას x და a ცვლადები ტოლია და არჩეულია ის ცვლადი, რომლის მიმართაც ანალიტიკური ამონახსნი უფრო მარტივია მიჩნეული. ბუნებრივი გამარტივების შემდეგ ვუბრუნდებით x და a ცვლადების თავდაპირველ მნიშვნელობას და ვასრულებთ ამოხსნას.

ახლა გადავალ პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის ამ მეთოდების დემონსტრირებაზე, რადგან ეს არის ჩემი საყვარელი მეთოდი ამ ტიპის პრობლემების გადასაჭრელად.

გრაფიკულად გადაჭრილი პარამეტრებით ყველა დავალების გაანალიზების შემდეგ, ვიწყებ გაცნობას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის B7 2002 წლის ამოცანების პარამეტრებთან:

ზე რა არის 45x – 3x განტოლების მთელი რიცხვი 2 - X 3 + 3k = 0 აქვს ზუსტად ორი ფესვი?

ეს ამოცანები საშუალებას გვაძლევს, პირველ რიგში, გავიხსენოთ, როგორ ავაშენოთ გრაფიკები წარმოებულის გამოყენებით, და მეორეც, ავხსნათ სწორი ხაზის მნიშვნელობა y = k.

მომდევნო კლასებში ვიყენებ მარტივი და საშუალო დონის კონკურენტული ამოცანების შერჩევას პარამეტრებთან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად, განტოლებები მოდულით. ეს ამოცანები შეიძლება რეკომენდირებული იყოს მათემატიკის მასწავლებლებისთვის, როგორც სავარჯიშოების საწყისი ნაკრები, რათა ისწავლონ მუშაობა მოდულის ნიშნის ქვეშ მოთავსებულ პარამეტრთან. რიცხვების უმეტესობა წყდება გრაფიკულად და მასწავლებელს აწვდის მზა გაკვეთილის გეგმას (ან ორ გაკვეთილს) ძლიერ მოსწავლესთან ერთად. პირველადი მომზადება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის სავარჯიშოების გამოყენებით, რომელიც სირთულით უახლოვდება რეალურ C5 რიცხვებს. ბევრი შემოთავაზებული დავალება აღებულია მასალებიდან 2009 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადებისთვის, ზოგი კი ინტერნეტიდან არის კოლეგების გამოცდილებიდან.

1) მიუთითეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობაგვ , რისთვისაც განტოლება 4 ფესვი აქვს?
პასუხი:

2) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები?
პასუხი:

3) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება ზუსტად 3 ფესვი აქვს?
პასუხი: a=2

4) რა პარამეტრის მნიშვნელობებზებ განტოლება აქვს ერთი გამოსავალი? პასუხი:

5) იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობამ , რისთვისაც განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები.
პასუხი:

6) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც არსებობს აქვს ზუსტად 3 განსხვავებული ფესვი. (თუ a-ს ერთზე მეტი მნიშვნელობა აქვს, ჩაწერეთ მათი ჯამი თქვენს პასუხში.)

პასუხი: 3

7) რა ღირებულებებზებ განტოლება აქვს ზუსტად 2 გამოსავალი?
პასუხი:

8) მიუთითეთ ეს პარამეტრებიკ , რისთვისაც განტოლება აქვს მინიმუმ ორი გამოსავალი.
პასუხი:

9) რა პარამეტრის მნიშვნელობებზეგვ განტოლება აქვს მხოლოდ ერთი გამოსავალი?
პასუხი:

10) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება (x + 1)ზუსტად 2 ფესვი აქვს? თუ a-ს რამდენიმე მნიშვნელობა აქვს, პასუხად ჩაწერეთ მათი ჯამი.

პასუხი: - 3

11) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც არსებობს ზუსტად 3 ფესვი აქვს? (თუ a-ს ერთზე მეტი მნიშვნელობაა, პასუხად ჩაწერეთ მათი ჯამი).

პასუხი: 4

12) პარამეტრის რომელ უმცირეს ბუნებრივ მნიშვნელობაზეა განტოლება – = 11 აქვს მხოლოდ დადებითი ფესვები?

პასუხი: 19

13) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება = 1-ს აქვს ზუსტად 3 ფესვი? (თუ a-ს ერთზე მეტი მნიშვნელობა აქვს, ჩაწერეთ მათი ჯამი თქვენს პასუხში).

პასუხი: - 3

14) მიუთითეთ შემდეგი პარამეტრის მნიშვნელობებიტ , რისთვისაც განტოლება აქვს 4 სხვადასხვა გადაწყვეტა. პასუხი:

15) იპოვეთ ეს პარამეტრებიმ , რისთვისაც განტოლება აქვს ორი განსხვავებული გამოსავალი. პასუხი:

16) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეგვ განტოლება აქვს ზუსტად 3 ექსტრემა? პასუხი:

17) მიუთითეთ ყველა შესაძლო პარამეტრი n რომლის ფუნქციაც აქვს ზუსტად ერთი მინიმალური ქულა. პასუხი:

გამოქვეყნებულ კომპლექტს მე რეგულარულად ვიყენებ უნარიან, მაგრამ არა ყველაზე ძლიერ სტუდენტთან სამუშაოდ, რომელიც მაინც მიისწრაფვის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მაღალი ქულისკენ C5 ნომრის ამოხსნით. მასწავლებელი ამზადებს ასეთ მოსწავლეს რამდენიმე ეტაპად, გამოყოფს ცალკეულ გაკვეთილებს გრძელვადიანი გადაწყვეტილებების პოვნისა და განხორციელებისთვის აუცილებელი ინდივიდუალური უნარების მოსამზადებლად. ეს შერჩევა შესაფერისია მცურავი ნიმუშების შესახებ იდეების ფორმირების ეტაპისთვის, პარამეტრიდან გამომდინარე. 16 და 17 რიცხვები ეფუძნება 2011 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პარამეტრით რეალური განტოლების მოდელს. დავალებები დალაგებულია მზარდი სირთულის მიხედვით.

C5 დავალება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2012 წ

აქ გვაქვს ტრადიციული პარამეტრის პრობლემა, რომელიც მოითხოვს მასალის ზომიერ დაუფლებას და რამდენიმე თვისებისა და თეორემების გამოყენებას. ეს ამოცანა მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ამოცანაა. იგი განკუთვნილია ძირითადად მათთვის, ვინც აპირებს სწავლის გაგრძელებას აბიტურიენტთა მათემატიკური მომზადების გაზრდილი მოთხოვნების მქონე უნივერსიტეტებში. პრობლემის წარმატებით გადასაჭრელად მნიშვნელოვანია შესწავლილი განმარტებებით, თვისებებით, თეორემებით თავისუფლად მუშაობა, მათი გამოყენება სხვადასხვა სიტუაციებში, მდგომარეობის ანალიზი და შესაძლო გადაწყვეტილებების პოვნა.

ალექსანდრე ლარინის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოსამზადებელ საიტზე, 05/11/2012, შესთავაზეს სასწავლო ვარიანტები No 1 – 22 დავალებები "C" დონეზე, ზოგიერთი მათგანის C5 მსგავსი იყო იმ ამოცანებისა, რომლებიც რეალურზე იყო. გამოცდა. მაგალითად, იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის ფუნქციების გრაფიკებივ(x) = დაგ(x) = a(x + 5) + 2 საერთო წერტილები არ აქვთ?

მოდით შევხედოთ C5 ამოცანის ამოხსნას 2012 წლის გამოცდიდან.

ამოცანა C5 2012 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებს აკეთებს განტოლება აქვს მინიმუმ ორი ფესვი.

მოდით გადავჭრათ ეს პრობლემა გრაფიკულად. მოდით გამოვსახოთ განტოლების მარცხენა მხარე: და გრაფიკი მარჯვენა მხარეს:და ჩამოაყალიბეთ პრობლემური კითხვა შემდეგნაირად: a პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა ფუნქციების გრაფიკები დააქვს ორი ან მეტი საერთო წერტილი.

ორიგინალური განტოლების მარცხენა მხარეს არ არის პარამეტრი, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვსახოთ ფუნქცია.

ჩვენ ავაშენებთ ამ გრაფიკს გამოყენებით ფუნქციები:

1. ფუნქციის გრაფიკის გადატანა3 ერთეული ქვემოთ OY ღერძის გასწვრივ, ვიღებთ ფუნქციის გრაფიკს:

2. დავხატოთ ფუნქცია . ამისათვის, ფუნქციის გრაფიკის ნაწილი , რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, ნაჩვენები იქნება სიმეტრიულად ამ ღერძის მიმართ:

ასე რომ, ფუნქციის გრაფიკიაქვს ფორმა:

ფუნქციის გრაფიკი

ამოცანა 1 #6329

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\ბოლო(შემთხვევები)\]

აქვს ზუსტად ოთხი გამოსავალი.

(გამოყენება 2018, მთავარი ტალღა)

სისტემის მეორე განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \(y=\pm x\) . ამიტომ განვიხილავთ ორ შემთხვევას: როდესაც \(y=x\) და როდესაც \(y=-x\) . მაშინ სისტემის ამონახსნების რაოდენობა უდრის პირველ და მეორე შემთხვევაში ამონახსნების რაოდენობის ჯამს.

1) \(y=x\) . ჩაანაცვლეთ პირველ განტოლებაში და მიიღეთ: \ (გაითვალისწინეთ, რომ \(y=-x\) შემთხვევაში ჩვენ იგივე გავაკეთებთ და ასევე მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას)
იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს 4 განსხვავებული გამოსავალი, აუცილებელია, რომ ორივე შემთხვევაში 2 ხსნარი იყოს მიღებული.
კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი, როდესაც მისი \(D>0\) . ვიპოვოთ განტოლების დისკრიმინანტი (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
ნულზე მეტი დისკრიმინანტი: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

2) \(y=-x\) . ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას: \ დისკრიმინანტი მეტია ნულზე: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\), საიდანაც \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\მარჯვნივ)\).

აუცილებელია შემოწმდეს, ემთხვევა თუ არა ხსნარები პირველ შემთხვევაში მეორე შემთხვევაში ხსნარებს.

მოდით \(x_0\) იყოს (1) და (2) განტოლების ზოგადი ამონახსნები, მაშინ \ აქედან მივიღებთ, რომ ან \(x_0=0\) ან \(a=0\) .
თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლებები (1) და (2) ერთნაირია, შესაბამისად, მათ აქვთ იგივე ფესვები. ეს საქმე არ გვიწყობს.
თუ \(x_0=0\) მათი საერთო ფესვია, მაშინ \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), საიდანაც \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , საიდანაც \(a=-1\) ან \(a=-0.6\) . მაშინ მთელ თავდაპირველ სისტემას ექნება 3 განსხვავებული გადაწყვეტა, რაც ჩვენ არ ჯდება.

ამ ყველაფრის გათვალისწინებით, პასუხი იქნება:

პასუხი:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \მარჯვნივ)\)

ამოცანა 2 #4032

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\)-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]

აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

მოდით გადავიწეროთ სისტემა ფორმაში: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\]განვიხილოთ სამი ფუნქცია: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ \(y\leqslant g\) , მაგრამ \(y\geqslant h\) . მაშასადამე, იმისათვის, რომ სისტემას ჰქონდეს ამონახსნები, გრაფიკი \(y\) უნდა იყოს იმ არეალში, რომელიც მითითებულია პირობებით: "ზემოთ" გრაფიკის \(h\) მაგრამ "ქვემოთ" გრაფიკის \(g\):

("მარცხენა" რეგიონს დავარქმევთ I რეგიონს, "მარჯვენა" რეგიონს II რეგიონს)
გაითვალისწინეთ, რომ ყოველი ფიქსირებული \(a\ne 0\) გრაფიკი \(y\) არის პარაბოლა, რომლის წვერო მდებარეობს \((-1;0)\ წერტილში), ხოლო ტოტები მიმართულია ან ზემოთ ან ქვემოთ. თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლება ჰგავს \(y=0\) და გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა x ღერძს.
გაითვალისწინეთ, რომ იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა, გრაფიკს \(y\) უნდა ჰქონდეს ზუსტად ერთი საერთო წერტილი I რეგიონთან ან II რეგიონთან (ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკს \(y\) უნდა ჰქონდეს ერთი საერთო წერტილი. ერთ-ერთი ამ ტერიტორიის საზღვართან).

განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა ცალკე.

1) \(a>0\) . შემდეგ პარაბოლის ტოტები \(y\) მიმართულია ზემოთ. იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გამოსავალი, აუცილებელია პარაბოლა \(y\) შეეხოს I რეგიონის საზღვარს ან II რეგიონის საზღვარს, ანუ შეეხოს პარაბოლას \(g\) და მიტანის წერტილის აბსცისა უნდა იყოს \(\leqslant -3\) ან \(\geqslant 2\) (ანუ პარაბოლა \(y\) უნდა ეხებოდეს ერთ-ერთი რეგიონის საზღვარს, რომელიც მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ. , ვინაიდან პარაბოლა \(y\) დევს აბსცისის ღერძის ზემოთ).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . გრაფიკების \(y\) და \(g\) შეხების პირობები აბსცისის წერტილზე \(x_0\leqslant -3\) ან \(x_0\geqslant 2\) : \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end(შეგროვებული)\მარჯვნივ. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \მარცხნივ[\begin(შეგროვდა)\begin(გასწორებული) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end (შეგროვდა) \მარჯვნივ.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(შემთხვევები)\]ამ სისტემიდან \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
ჩვენ მივიღეთ \(a\) პარამეტრის პირველი მნიშვნელობა.

2) \(a=0\) . შემდეგ \(y=0\) და ცხადია, რომ სწორ წრფეს აქვს უსასრულო რაოდენობის საერთო წერტილები II რეგიონთან. ამიტომ, ეს პარამეტრის მნიშვნელობა არ ჯდება ჩვენთვის.

3) \ (ა<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

ვიპოვოთ \(a\), რომლისთვისაც პარაბოლა \(y\) გადის \(B\) წერტილში: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ პარამეტრის ამ მნიშვნელობით პარაბოლის \(y=-\frac34(x+1)^2\) გადაკვეთის მეორე წერტილი \(h=-2x-1\) სწორი ხაზით არის წერტილი კოორდინატებით \(\ მარცხენა (-\frac13; -\frac13\მარჯვნივ)\).
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ სხვა პარამეტრის მნიშვნელობა.

ვინაიდან ჩვენ განვიხილეთ ყველა შესაძლო შემთხვევა \(a\)-ისთვის, საბოლოო პასუხია: \

პასუხი:

\(\მარცხნივ\(-\frac34; \frac43\მარჯვნივ\)\)

ამოცანა 3 #4013

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლებების სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(შემთხვევები)\]

აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი.

1) განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება, როგორც კვადრატული \(x\) მიმართ: \ დისკრიმინანტი უდრის \(D=9y^2\) , შესაბამისად, \ შემდეგ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] ამიტომ, მთელი სისტემა შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &y=2x\\ &y=0.5x\end(გასწორებული)\end(შეკრებილი)\მარჯვნივ.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\ბოლო(შემთხვევები)\]ნაკრები განსაზღვრავს ორ სწორ ხაზს, სისტემის მეორე განტოლება განსაზღვრავს წრეს ცენტრით \((a;a)\) და რადიუსით \(R=\sqrt5a^2\) . იმისთვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ჰქონდეს ორი ამონახსნი, წრე უნდა კვეთდეს პოპულაციის გრაფიკს ზუსტად ორ წერტილზე. აქ არის ნახაზი, როდესაც, მაგალითად, \(a=1\) :


გაითვალისწინეთ, რომ რადგან წრის ცენტრის კოორდინატები ტოლია, წრის ცენტრი "გადის" სწორი ხაზის გასწვრივ \(y=x\) .

2) ვინაიდან სწორ წრფეს \(y=kx\) აქვს ამ წრფის დახრის კუთხის ტანგენსი \(Ox\) ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ ტოლია \(k\), მაშინ ტანგენსი სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე \(y=0,5x\) უდრის \ (0,5\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\,\alpha\)), სწორი ხაზი \(y=2x \) უდრის \(2\)-ს (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). გაითვალისწინეთ რომ \(\ mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), შესაბამისად, \(\ mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). ამიტომ, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , საიდანაც \(\alpha+\beta=90^\circ\) . ეს ნიშნავს, რომ კუთხე \(y=2x\) და დადებით მიმართულებას \(Oy\) შორის უდრის კუთხეს \(y=0.5x\) და დადებით მიმართულებას \(Ox\) შორის:


და რადგან სწორი ხაზი \(y=x\) არის I კოორდინატული კუთხის ბისექტორი (ანუ კუთხეები მასსა და დადებით მიმართულებებს შორის \(Ox\) და \(Oy\) უდრის \(45^ \circ\) ), მაშინ კუთხეები \(y=x\) და \(y=2x\) და \(y=0.5x\) წრფეებს შორის ტოლია.
ეს ყველაფერი დაგვჭირდა იმისთვის, რომ გვეთქვა, რომ წრფეები \(y=2x\) და \(y=0.5x\) სიმეტრიულია ერთმანეთის მიმართ \(y=x\), შესაბამისად, თუ წრე ერთს ეხება. მათგან, მაშინ ის აუცილებლად ეხება მეორე ხაზს.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ \(a=0\) , მაშინ წრე გადაგვარდება \((0;0)\) წერტილში და აქვს მხოლოდ ერთი გადაკვეთის წერტილი ორივე წრფესთან. ანუ ეს საქმე არ გვიწყობს.
ამრიგად, იმისათვის, რომ წრეს ჰქონდეს ხაზებთან გადაკვეთის 2 წერტილი, ის უნდა შეეხოს ამ ხაზებს:


ჩვენ ვხედავთ, რომ შემთხვევა, როდესაც წრე მდებარეობს მესამე მეოთხედში, სიმეტრიულია (დასაწყისთან შედარებით) იმ შემთხვევის მიმართ, როდესაც ის მდებარეობს პირველ მეოთხედში. ანუ პირველ კვარტალში \(a>0\) , ხოლო მესამეში \(a<0\) (но такие же по модулю).
ამიტომ განვიხილავთ მხოლოდ პირველ კვარტალს.


გაითვალისწინეთ რომ \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . შემდეგ\მაშინ \[\ mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]მაგრამ, მეორე მხრივ, \[\mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]აქედან გამომდინარე, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\მარცხენა მარჯვენა ისარი\quad a =\pm\ dfrac15\]ამრიგად, ჩვენ უკვე მივიღეთ როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები \(a\)-სთვის. ამიტომ პასუხი ასეთია:\

პასუხი:

\(\{-0,2;0,2\}\)

ამოცანა 4 #3278

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\)-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \

აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

(გამოყენება 2017, ოფიციალური საცდელი 04/21/2017)

მოდით გავაკეთოთ ცვლილება \(t=5^x, t>0\) და გადავიტანოთ ყველა პირობა ერთ ნაწილად: \ მივიღეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები ვიეტას თეორემის მიხედვით არის \(t_1=a+6\) და \(t_2=5+3|a|\) . იმისათვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ერთი ფესვი ჰქონდეს, საკმარისია, რომ მიღებულ განტოლებას \(t\)-ითაც ჰქონდეს ერთი (დადებითი!) ფესვი.
დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ \(t_2\) ყველასთვის \(a\) დადებითი იქნება. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ორ შემთხვევას:

1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(გასწორებული) \end(შეიკრიბა) \მარჯვნივ.\]

2) ვინაიდან \(t_2\) ყოველთვის დადებითია, მაშინ \(t_1\) უნდა იყოს \(\leqslant 0\) : \

პასუხი:

\((-\infty;-6]\თასი\მარცხნივ\(-\frac14;\frac12\მარჯვნივ\)\)

ამოცანა 5 #3252

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

აქვს ზუსტად ერთი ფესვი სეგმენტზე \(\) .

(გამოყენება 2017, სარეზერვო დღე)

განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\]ამრიგად, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ \(x=a\) არის განტოლების ფესვი ნებისმიერი \(a\)-ისთვის, რადგან განტოლება იღებს ფორმას \(0=0\) . იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
განტოლების მეორე ფესვი გვხვდება \(x+a=3x-1\) -დან, ანუ \(x=\frac(a+1)2\) . იმისათვის, რომ ეს რიცხვი იყოს განტოლების ფესვი, ის უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლების ODZ-ს, ანუ: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \ ამრიგად, ფესვი \(x=\frac(a+1)2\) რომ არსებობდეს და მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
გაითვალისწინეთ, რომ მაშინ \(0\leqslant a\leqslant 1\) ორივე ფესვი \(x=a\) და \(x=\frac(a+1)2\) ეკუთვნის სეგმენტს \(\) (ეს არის , განტოლებას აქვს ორი ფესვი ამ სეგმენტზე), გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ისინი ემთხვევა: \ ასე რომ, ეს ჩვენთვის შესაფერისია \(a\ მარცხნივ[-\frac13; 0\მარჯვნივ)\)და \(a=1\) .

პასუხი:

\(a\in \ მარცხნივ[-\frac13;0\მარჯვნივ)\თასი\(1\)\)

ამოცანა 6 #3238

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \

აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე \(.\)

(გამოყენება 2017, სარეზერვო დღე)

განტოლება ტოლია: \ ODZ განტოლებები: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end (შემთხვევები)\] ODZ-ზე განტოლება ხელახლა ჩაიწერება: \

1) მოდით \(ა<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ არ ჯდება \(ა<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) მოდით \(a=0\) . შემდეგ ODZ განტოლება: \(x\geqslant 0\) . განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად: \ შედეგად მიღებული ფესვი ერგება ODZ-ს და შედის სეგმენტში \(\) . ამიტომ, \(a=0\) შესაფერისია.

3) მოდით \(a>0\) . შემდეგ ODZ: \(x\geqslant a\) და \(x\leqslant 1\) . ამიტომ, თუ \(a>1\) , მაშინ ODZ არის ცარიელი ნაკრები. ამრიგად, \(0 განვიხილოთ ფუნქცია \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . მოდით გამოვიკვლიოთ იგი.
წარმოებული უდრის \(y"=3x^2-2ax+3a\).მოდით განვსაზღვროთ რა ნიშანი შეიძლება ჰქონდეს წარმოებულს.ამისთვის იპოვეთ განტოლების დისკრიმინანტი \(3x^2-2ax+3a=0. \) : \(D=4a(a-9)\) ამიტომ, \(a\in (0;1]\) დისკრიმინანტისთვის \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\). ამიტომ, \(y\) იზრდება. ამრიგად, მზარდი ფუნქციის თვისებით, განტოლებას \(y(x)=0\) შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს ერთი ფესვი.

ამიტომ, იმისათვის, რომ განტოლების ფესვი (გრაფიკის \(y\) გადაკვეთის წერტილი აბსცისის ღერძთან) იყოს \(\) სეგმენტზე, აუცილებელია, რომ \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \]იმის გათვალისწინებით, რომ თავდაპირველად განსახილველ შემთხვევაში \(a\in (0;1]\) , მაშინ პასუხი არის \(a\in (0;1]\). გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) აკმაყოფილებს \( (1) \) , ფესვები \(x_2\) და \(x_3\) აკმაყოფილებს \((2)\) .
განვიხილოთ სამი შემთხვევა:

1) \(a>0\) . შემდეგ \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) არ აკმაყოფილებს \((1)\) , ან ემთხვევა \(x_1\) , ან აკმაყოფილებს \((1)\) , მაგრამ არ შედის სეგმენტში \(\) (ანუ \(0\)-ზე ნაკლები);
- \(x_1\) არ აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) აკმაყოფილებს \(1)\) და არ უდრის \(x_1\) .
გაითვალისწინეთ, რომ \(x_3\) არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები და დააკმაყოფილოს \((1)\) (ანუ იყოს მეტი \(\frac35\) ). ამ შენიშვნის გათვალისწინებით, შემთხვევები აღირიცხება შემდეგ ნაკრებში: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>ამ ნაკრების ამოხსნით და იმის გათვალისწინებით, რომ \(a>0\) , მივიღებთ: \

2) \(a=0\) . შემდეგ \(x_2=x_3=3\in .\) გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) და \(x_2=3\) აკმაყოფილებს \((1)\) , შემდეგ იქ არის განტოლება, რომელსაც აქვს ორი ფესვი \(\)-ზე. \(a\)-ის ეს მნიშვნელობა ჩვენ არ ჯდება.

3) \ (ა<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) და \(x_3\არა\) . 1 პუნქტის მსგავსად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ნაკრები: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end (გასწორებული) \ბოლო (შეიკრიბა)\მარჯვნივ.\]ამ ნაკრების ამოხსნა და იმის გათვალისწინებით, რომ \(ა<0\) , получим: \\]

პასუხი:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \ cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)

1. წრფივი განტოლებათა სისტემები პარამეტრით

პარამეტრით წრფივი განტოლებათა სისტემები წყდება იგივე ძირითადი მეთოდებით, როგორც განტოლებების ჩვეულებრივი სისტემები: ჩანაცვლების მეთოდი, განტოლებების დამატების მეთოდი და გრაფიკული მეთოდი. ხაზოვანი სისტემების გრაფიკული ინტერპრეტაციის ცოდნა აადვილებს პასუხის გაცემას ფესვების რაოდენობისა და მათი არსებობის შესახებ.

მაგალითი 1.

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

გამოსავალი.

მოდით შევხედოთ ამ ამოცანის გადაჭრის რამდენიმე გზას.

1 გზა.ჩვენ ვიყენებთ თვისებას: სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის წინ კოეფიციენტების თანაფარდობა უდრის y-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არა თავისუფალი წევრების შეფარდებას (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). მაშინ გვაქვს:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ან სისტემა

(და 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

პირველი განტოლებიდან a 2 = 4, შესაბამისად, იმ პირობის გათვალისწინებით, რომ a ≠ 2, მივიღებთ პასუხს.

პასუხი: a = -2.

მეთოდი 2.ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 - y.

პირველი განტოლების ფრჩხილებიდან y საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივიღებთ:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 - y.

სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ანუ

(და 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

ცხადია, a = ± 2, მაგრამ მეორე პირობის გათვალისწინებით, პასუხი მოდის მხოლოდ მინუს პასუხით.

პასუხი: a = -2.

მაგალითი 2.

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

(8x + ay = 2,
(ცული + 2y = 1.

გამოსავალი.

თვისების მიხედვით, თუ x და y კოეფიციენტების თანაფარდობა ერთნაირია და უდრის სისტემის თავისუფალი წევრების შეფარდებას, მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა (ე.ი. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). ამიტომ 8/a = a/2 = 2/1. თითოეული მიღებული განტოლების ამოხსნით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ a = 4 არის პასუხი ამ მაგალითში.

პასუხი: a = 4.

2. რაციონალური განტოლებათა სისტემები პარამეტრით

მაგალითი 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

გამოსავალი.

მოდით გავამრავლოთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

თუ გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას პირველს, მივიღებთ 5|x| = 4 – ა. ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი a = 4-ისთვის. სხვა შემთხვევებში, ამ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნები (ა.< 4) или ни одного (при а > 4).

პასუხი: a = 4.

მაგალითი 4.

იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

გამოსავალი.

ამ სისტემას გრაფიკული მეთოდით მოვაგვარებთ. ამრიგად, სისტემის მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც ამაღლებულია Oy ღერძის გასწვრივ ერთი ერთეული სეგმენტით ზემოთ. პირველი განტოლება განსაზღვრავს ხაზების ერთობლიობას y = -x წრფის პარალელურად (სურათი 1). ნახატიდან ნათლად ჩანს, რომ სისტემას აქვს ამონახსნი, თუ სწორი წრფე y = -x + a არის პარაბოლის ტანგენსი კოორდინატებით (-0.5, 1.25) წერტილში. ამ კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში x და y-ის ნაცვლად, ვპოულობთ a პარამეტრის მნიშვნელობას:

1,25 = 0,5 + ა;

პასუხი: a = 0.75.

მაგალითი 5.

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

გამოსავალი.

პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ y-ს და ვცვლით მეორეში:

(y = ცული - a - 1,
(ცული + (a + 2) (ცული – a – 1) = 2.

მეორე განტოლება შევამციროთ kx = b ფორმამდე, რომელსაც ექნება უნიკალური ამონახსნი k ≠ 0-ისთვის. გვაქვს:

ცული + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

ჩვენ წარმოვადგენთ კვადრატულ ტრინომს a 2 + 3a + 2, როგორც ფრჩხილების ნამრავლი

(a + 2)(a + 1), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).

ცხადია, 2 + 3a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, რაც ნიშნავს a ≠ 0 და ≠ -3.

პასუხი: a ≠ 0; ≠ -3.

მაგალითი 6.

გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით დაადგინეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

გამოსავალი.

მდგომარეობიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაშენებთ წრეს საწყისზე ცენტრით და 3 ერთეული სეგმენტის რადიუსით ეს არის მითითებული სისტემის პირველი განტოლებით

x 2 + y 2 = 9. სისტემის მეორე განტოლება (y = |x| + a) არის გატეხილი ხაზი. გამოყენებით სურათი 2ჩვენ განვიხილავთ მისი მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევას წრესთან შედარებით. ადვილი მისახვედრია, რომ a = 3.

პასუხი: a = 3.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.