პარამეტრი გამოცდაში. "პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდები"
ანგარიში გმო მათემატიკის მასწავლებელზე MBOU No9 საშუალო სკოლა
მოლჩანოვა ელენა ვლადიმეროვნა
„მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მზადება: პრობლემები პარამეტრებთან“.
ვინაიდან სასკოლო სახელმძღვანელოებში პარამეტრის განმარტება არ არის, მე გთავაზობთ საფუძვლად შემდეგი მარტივი ვერსიის მიღებას.
განმარტება . პარამეტრი არის დამოუკიდებელი ცვლადი, რომლის მნიშვნელობად პრობლემაში მიჩნეულია მოცემული ფიქსირებული ან თვითნებური რეალური რიცხვი, ან რიცხვი, რომელიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს.
რას ნიშნავს "პრობლემის გადაჭრა პარამეტრით"?
ბუნებრივია, ეს დამოკიდებულია პრობლემაში არსებულ კითხვაზე. თუ, მაგალითად, საჭიროა განტოლების, უტოლობის, მათი სისტემის ან სიმრავლის ამოხსნა, მაშინ ეს ნიშნავს გონივრული პასუხის წარდგენას ნებისმიერი პარამეტრის მნიშვნელობაზე, ან პარამეტრის მნიშვნელობებზე, რომელიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს.
თუ საჭიროა პარამეტრის მნიშვნელობების პოვნა, რომლებისთვისაც განტოლების ამონახსნების ნაკრები, უტოლობა და ა.შ. აკმაყოფილებს დეკლარირებულ მდგომარეობას, მაშინ, ცხადია, პრობლემის გადაწყვეტა არის მითითებული პარამეტრის მნიშვნელობების პოვნა.
უფრო გამჭვირვალე გაგება იმისა, თუ რას ნიშნავს პრობლემის გადაჭრა პარამეტრით, მკითხველი ჩამოაყალიბებს შემდეგ გვერდებზე პრობლემის გადაჭრის მაგალითების წაკითხვის შემდეგ.
რა არის ძირითადი ტიპის ამოცანები პარამეტრებით?
ტიპი 1. განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რომლებიც უნდა გადაწყდეს ან პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (პარამეტრები), ან პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს.
ამ ტიპის პრობლემა საბაზისოა თემის „პრობლემები პარამეტრებთან“ ათვისებისას, ვინაიდან ჩადებული სამუშაო წინასწარ განსაზღვრავს წარმატებას ყველა სხვა ძირითადი ტიპის პრობლემების გადაჭრაში.
ტიპი 2. განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და სიმრავლეები, რისთვისაც საჭიროა ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრა პარამეტრის (პარამეტრების) მნიშვნელობიდან გამომდინარე.
თქვენს ყურადღებას ვაქცევ იმ ფაქტს, რომ ამ ტიპის ამოცანების ამოხსნისას არ არის საჭირო არც მოცემული განტოლებების ამოხსნა, უტოლობა, მათი სისტემები და კომბინაციები და ა.შ., ან ამ ამონახსნების მიცემა; ასეთი ზედმეტი სამუშაო უმეტეს შემთხვევაში არის ტაქტიკური შეცდომა, რაც იწვევს დროის გაუმართლებელ ხარჯვას. თუმცა, ეს არ უნდა იქნას მიღებული როგორც აბსოლუტური, რადგან ზოგჯერ პირდაპირი გადაწყვეტა ტიპი 1-ის შესაბამისად არის ერთადერთი გონივრული გზა პასუხის მისაღებად მე-2 ტიპის პრობლემის გადაჭრისას.
ტიპი 3. განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და კოლექციები, რისთვისაც საჭიროა პარამეტრის ყველა იმ მნიშვნელობის პოვნა, რომლისთვისაც მითითებულ განტოლებებს, უტოლობას, მათ სისტემებსა და კოლექციებს აქვთ ამონახსნების მოცემული რაოდენობა (კერძოდ, მათ არ აქვთ ან აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა).
ადვილი მისახვედრია, რომ მე-3 ტიპის პრობლემები გარკვეულწილად არის მე-2 ტიპის პრობლემების საპირისპირო.
ტიპი 4. განტოლებები, უტოლობა, მათი სისტემები და კოლექციები, რომლებისთვისაც, პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობებისთვის, ამონახსნების ნაკრები აკმაყოფილებს მოცემულ პირობებს განმარტების სფეროში.
მაგალითად, იპოვნეთ პარამეტრის მნიშვნელობები, რომელთათვისაც:
1) განტოლება შესრულებულია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მოცემული ინტერვალიდან;
2) პირველი განტოლების ამონახსნთა სიმრავლე არის მეორე განტოლების ამონახსნების სიმრავლის ქვესიმრავლე და ა.შ.
კომენტარი. პარამეტრთან დაკავშირებული პრობლემების მრავალფეროვნება მოიცავს სასკოლო მათემატიკის მთელ კურსს (როგორც ალგებრა, ასევე გეომეტრია), მაგრამ მათი აბსოლუტური უმრავლესობა ფინალურ და მისაღებ გამოცდებში მიეკუთვნება ჩამოთვლილ ოთხ ტიპს, რომელსაც ამ მიზეზით უწოდებენ ძირითადს.
პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების ყველაზე პოპულარული კლასი არის პრობლემები ერთი უცნობი და ერთი პარამეტრით. მომდევნო აბზაცში მითითებულია ამ კონკრეტული კლასის პრობლემების გადაჭრის ძირითადი გზები.
რა არის პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის ძირითადი გზები (მეთოდები)?
მეთოდი I (ანალიტიკური). ეს არის ეგრეთ წოდებული პირდაპირი გადაწყვეტის მეთოდი, რომელიც იმეორებს სტანდარტულ პროცედურებს პრობლემების პარამეტრის გარეშე პასუხის მოსაძებნად. ზოგჯერ ამბობენ, რომ ეს არის ძალისმიერი, კარგი გაგებით, "თავხედური" გადაწყვეტილების მიღება.
კომენტარი. პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის ანალიტიკური მეთოდი ყველაზე რთული მეთოდია, რომელიც მოითხოვს მაღალ წიგნიერებას და მის დაუფლებას უდიდეს ძალისხმევას.
მეთოდი II (გრაფიკული). დავალების მიხედვით (ცვლადი x და პარამეტრითა ) გრაფიკები განიხილება ან კოორდინატულ სიბრტყეში (x; y), ან კოორდინატულ სიბრტყეში (x;ა ).
კომენტარი. პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდის განსაკუთრებული სიცხადე და სილამაზე იმდენად ხიბლავს მათ, ვინც სწავლობს თემას "პრობლემები პარამეტრთან", რომ ისინი იწყებენ გადაჭრის სხვა მეთოდების იგნორირებას, ავიწყდებათ ცნობილი ფაქტი: ნებისმიერი კლასისთვის. მათ ავტორებს შეუძლიათ ჩამოაყალიბონ ის, რაც ბრწყინვალედ არის გადაწყვეტილი ამ მეთოდით და კოლოსალური სირთულეებით სხვა გზებით. ამიტომ, კვლევის საწყის ეტაპზე საშიშია პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდებით დაწყება.
მეთოდი III (პარამეტრის გადაწყვეტილება). ამ გზით ამოხსნისას ცვლადები x და a მიიღება ტოლად და არჩეულია ცვლადი, რომლის მიმართაც ანალიტიკური ამონახსნები უფრო მარტივია. ბუნებრივი გამარტივების შემდეგ ვუბრუნდებით x და a ცვლადების თავდაპირველ მნიშვნელობას და ვასრულებთ ამოხსნას.
ახლა მე გავაგრძელებ პარამეტრით პრობლემების გადაჭრის მითითებული მეთოდების დემონსტრირებას, რადგან ეს არის ჩემი საყვარელი მეთოდი ამ ტიპის პრობლემების გადასაჭრელად.
გრაფიკული მეთოდით ამოხსნილი პარამეტრით ყველა ამოცანის გაანალიზების შემდეგ, ვიწყებ გაცნობას 2002 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის B7-ის ამოცანების პარამეტრებთან:
ზე რა მთელი მნიშვნელობა აქვს განტოლებას 45x - 3x 2 - X 3 + 3k = 0 აქვს ზუსტად ორი ფესვი?
ეს დავალებები საშუალებას გაძლევთ, პირველ რიგში, დაიმახსოვროთ, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ გრაფიკები წარმოებულის გამოყენებით, და მეორეც, ავხსნათ სწორი ხაზის მნიშვნელობა y \u003d k.
მომდევნო გაკვეთილებზე ვიყენებ მსუბუქი და საშუალო დონის საკონკურსო დავალებების შერჩევას გამოცდისთვის მოსამზადებლად პარამეტრებით, განტოლებები მოდულით. ეს ამოცანები შეიძლება რეკომენდაცია გაუწიონ მათემატიკის მასწავლებლებს, როგორც სავარჯიშოების დამწყები ნაკრები სწავლებისთვის, თუ როგორ უნდა იმუშაოთ პარამეტრთან, რომელიც ჩასმულია მოდულის ნიშნის ქვეშ. რიცხვების უმეტესობა წყდება გრაფიკულად და მასწავლებელს აძლევს გაკვეთილის გეგმას (ან ორ გაკვეთილს) ძლიერი მოსწავლესთან ერთად. სავარჯიშოების მათემატიკაში გამოცდისთვის საწყისი მომზადება სირთულით უახლოვდება რეალურ C5 რიცხვებს. ბევრი შემოთავაზებული დავალება აღებულია 2009 წელს USE-სთვის მომზადების მასალებიდან, ზოგი კი ინტერნეტიდან კოლეგების გამოცდილებიდან.
1) მიუთითეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობაგვ
, რისთვისაც განტოლება 4 ფესვი აქვს?
პასუხი:
2) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა
განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები?
პასუხი:
3) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება ზუსტად 3 ფესვი აქვს?
პასუხი: a=2
4) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზებ განტოლება აქვს უნიკალური გამოსავალი? პასუხი:
5) იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობამ
, რისთვისაც განტოლება არ აქვს გადაწყვეტილებები.
პასუხი:
6) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც არსებობს აქვს ზუსტად 3 განსხვავებული ფესვი. (თუ a-ს ერთზე მეტი მნიშვნელობა აქვს, ჩაწერეთ მათი ჯამი პასუხში.)
პასუხი: 3
7) რა ღირებულებებზებ
განტოლება აქვს ზუსტად 2 გამოსავალი?
პასუხი:
8) მიუთითეთ ასეთი პარამეტრებიკ
, რისთვისაც განტოლება აქვს მინიმუმ ორი გამოსავალი.
პასუხი:
9) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეგვ
განტოლება აქვს მხოლოდ ერთი გამოსავალი?
პასუხი:
10) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება (x + 1)ზუსტად 2 ფესვი აქვს? თუ a-ს რამდენიმე მნიშვნელობა აქვს, პასუხად ჩაწერეთ მათი ჯამი.
პასუხი: - 3
11) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც არსებობს ზუსტად 3 ფესვი აქვს? (თუ a-ს ერთზე მეტი მნიშვნელობაა, პასუხად ჩაწერეთ მათი ჯამი).
პასუხი: 4
12) რა არის ა პარამეტრის უმცირესი ბუნებრივი მნიშვნელობა განტოლება – = 11 აქვს მხოლოდ დადებითი ფესვები?
პასუხი: 19
13) იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება = 1-ს აქვს ზუსტად 3 ფესვი? (თუ a-ს ერთზე მეტი მნიშვნელობაა, პასუხში ჩაწერეთ მათი ჯამი).
პასუხი: - 3
14) მიუთითეთ ასეთი პარამეტრის მნიშვნელობებიტ , რისთვისაც განტოლება აქვს 4 სხვადასხვა გადაწყვეტა. პასუხი:
15) იპოვეთ ასეთი პარამეტრებიმ , რისთვისაც განტოლება აქვს ორი განსხვავებული გამოსავალი. პასუხი:
16) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეგვ განტოლება აქვს ზუსტად 3 ექსტრემა? პასუხი:
17) მიუთითეთ ყველა შესაძლო პარამეტრი n რომლის ფუნქციაც აქვს ზუსტად ერთი მინიმალური ქულა. პასუხი:
გამოქვეყნებულ კომპლექტს მე რეგულარულად ვიყენებ უნარიან, მაგრამ არა ყველაზე ძლიერ სტუდენტთან სამუშაოდ, რომელიც მაინც ამტკიცებს მაღალი USE ქულას C5 ნომრის ამოხსნით. მასწავლებელი ამზადებს ასეთ მოსწავლეს რამდენიმე ეტაპად, გამოყოფს ცალკეულ გაკვეთილებს გრძელვადიანი გადაწყვეტილებების პოვნისა და განხორციელებისთვის საჭირო ინდივიდუალური უნარების მოსამზადებლად. ეს შერჩევა შესაფერისია მცურავი ფიგურების შესახებ იდეების ფორმირების ეტაპისთვის, რაც დამოკიდებულია პარამეტრზე. 16 და 17 რიცხვები მოდელირებულია რეალურ განტოლებაზე პარამეტრით USE 2011-ისთვის. ამოცანები დალაგებულია მათი სირთულის ზრდის მიხედვით.
ამოცანა C5 მათემატიკაში USE 2012 წ
აქ გვაქვს პარამეტრის ტრადიციული პრობლემა, რომელიც მოითხოვს მასალის ზომიერ ცოდნას და რამდენიმე თვისებისა და თეორემების გამოყენებას. ეს დავალება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ერთ-ერთი ურთულესი ამოცანაა. იგი განკუთვნილია, პირველ რიგში, მათთვის, ვინც აპირებს სწავლის გაგრძელებას აბიტურიენტთა მათემატიკური მომზადების გაზრდილი მოთხოვნების მქონე უნივერსიტეტებში. პრობლემის წარმატებით გადაჭრისთვის მნიშვნელოვანია შესწავლილი განმარტებებით, თვისებებით, თეორემებით თავისუფლად მუშაობა, მათი გამოყენება სხვადასხვა სიტუაციებში, მდგომარეობის ანალიზი და შესაძლო გადაწყვეტილებების პოვნა.
ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების საიტზე, ალექსანდრე ლარინი, 05/11/2012-დან შესთავაზეს ტრენინგის ვარიანტები No 1 - 22 "C" დონის დავალებებით, ზოგიერთი მათგანის C5 მსგავსი იყო იმ ამოცანებისა, რომლებიც იყო რეალურ გამოცდაზე. მაგალითად, იპოვნეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის ფუნქციის გრაფიკივ(x) = დაგ(x) = a(x + 5) + 2 არ გვაქვს საერთო წერტილები?
გავაანალიზოთ C5 ამოცანის ამოხსნა 2012 წლის გამოცდიდან.
ამოცანა C5 USE-2012-დან
პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება აქვს მინიმუმ ორი ფესვი.
მოდით გადავჭრათ ეს პრობლემა გრაფიკულად. მოდით გამოვსახოთ განტოლების მარცხენა მხარე: და გრაფიკი მარჯვენა მხარეს:და ჩამოაყალიბეთ პრობლემის კითხვა შემდეგნაირად: პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის ფუნქციების გრაფიკები დააქვს ორი ან მეტი საერთო წერტილი.
ორიგინალური განტოლების მარცხენა მხარეს არ არის პარამეტრი, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვსახოთ ფუნქცია.
ჩვენ ავაშენებთ ამ გრაფიკს გამოყენებით ფუნქციები:
1. ფუნქციის გრაფიკის გადატანა3 ერთეული ქვემოთ OY ღერძის გასწვრივ, ვიღებთ ფუნქციის გრაფიკს:
2. ფუნქციის გრაფიკის დახატვა . ფუნქციის გრაფიკის ამ ნაწილისთვის , რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, ნაჩვენები იქნება სიმეტრიულად ამ ღერძის მიმართ:
ასე რომ, ფუნქციის გრაფიკიროგორც ჩანს:
ფუნქციის გრაფიკი
ამოცანა 1 #6329
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\ბოლო(შემთხვევები)\]
აქვს ზუსტად ოთხი გამოსავალი.
(გამოყენება 2018, მთავარი ტალღა)
სისტემის მეორე განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \(y=\pm x\) . ამიტომ განიხილეთ ორი შემთხვევა: როდესაც \(y=x\) და როდესაც \(y=-x\) . მაშინ სისტემის ამონახსნების რაოდენობა უდრის პირველ და მეორე შემთხვევაში ამონახსნების რაოდენობის ჯამს.
1) \(y=x\) . ჩაანაცვლეთ პირველ განტოლებაში და მიიღეთ: \
(გაითვალისწინეთ, რომ \(y=-x\) შემთხვევაში ჩვენ იგივე გავაკეთებთ და ასევე მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას)
იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს 4 განსხვავებული გამოსავალი, აუცილებელია, რომ ორივე შემთხვევაში 2 გამოსავალი იყოს მიღებული.
კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი, როდესაც მისი \(D>0\) . ვიპოვოთ (1) განტოლების დისკრიმინანტი:
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
ნულზე მეტი დისკრიმინანტი: \(a^2+4a+2<0\)
, откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).
2) \(y=-x\) . ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას: \
დისკრიმინანტი მეტია ნულზე: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , საიდანაც \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\მარჯვნივ)\).
აუცილებელია შემოწმდეს, არის თუ არა ხსნარები პირველ შემთხვევაში იგივე, რაც მეორე შემთხვევაში.
მოდით \(x_0\) იყოს (1) და (2) განტოლების ზოგადი ამონახსნები, მაშინ \
აქედან მივიღებთ, რომ ან \(x_0=0\) ან \(a=0\) .
თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლებები (1) და (2) ერთნაირი აღმოჩნდება, შესაბამისად, მათ აქვთ იგივე ფესვები. ეს საქმე არ გვიწყობს.
თუ \(x_0=0\) მათი საერთო ფესვია, მაშინ \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), საიდანაც \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , საიდანაც \(a=-1\) ან \(a=-0,6\) . მაშინ მთელ თავდაპირველ სისტემას ექნება 3 განსხვავებული გადაწყვეტა, რაც ჩვენ არ ჯდება.
ამ ყველაფრის გათვალისწინებით, პასუხი იქნება:
პასუხი:
\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \მარჯვნივ)\)
ამოცანა 2 #4032
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა \(a\), რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
მოდით გადავიწეროთ სისტემა შემდეგნაირად: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\]განვიხილოთ სამი ფუნქცია: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ \(y\leqslant g\) , მაგრამ \(y\geqslant h\) . მაშასადამე, იმისათვის, რომ სისტემას ჰქონდეს ამონახსნები, გრაფიკი \(y\) უნდა იყოს იმ არეში, რომელიც მოცემულია პირობებით: გრაფიკის „ზევით“ \(h\) , მაგრამ „ქვემოთ“ გრაფიკის \(g\). ) :
("მარცხენა" რეგიონს დავარქმევთ I რეგიონს, "მარჯვენა" რეგიონს - რეგიონს II)
გაითვალისწინეთ, რომ ყოველი ფიქსირებული \(a\ne 0\) გრაფისთვის \(y\) არის პარაბოლა, რომლის წვერო არის \((-1;0)\) წერტილში და რომლის ტოტები არის ზემოთ ან ქვემოთ. თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლება ჰგავს \(y=0\) და გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა x ღერძს.
გაითვალისწინეთ, რომ იმისთვის, რომ ორიგინალურ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა, აუცილებელია, რომ გრაფიკს \(y\) ჰქონდეს ზუსტად ერთი საერთო წერტილი I რეგიონთან ან II რეგიონთან (ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკს \(y\) უნდა ჰქონდეს ერთი საერთო წერტილი ერთ-ერთი ამ რეგიონის საზღვართან).
განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა ცალკე.
1) \(a>0\) . შემდეგ პარაბოლას \(y\) ტოტები გადატრიალებულია ზემოთ. იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გამოსავალი, აუცილებელია, რომ პარაბოლა \(y\) შეეხოს I რეგიონის საზღვარს ან II რეგიონის საზღვარს, ანუ შეეხოს პარაბოლას \(g\) და შეხების წერტილის აბსციზა უნდა იყოს \(\leqslant -3\) ან \(\geqslant 2\) (ანუ პარაბოლა \(y\) უნდა შეეხოს ერთ-ერთი რეგიონის საზღვარს, რომელიც x-ის ზემოთაა. -ღერძი, რადგან პარაბოლა \(y\) დევს x-ღერძის ზემოთ).
\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . გრაფიკების \(y\) და \(g\) შეხების პირობები აბსცისის წერტილზე \(x_0\leqslant -3\) ან \(x_0\geqslant 2\) : \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end(შეგროვებული)\მარჯვნივ. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \მარცხნივ[\begin(შეგროვდა)\begin(გასწორებული) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end (შეგროვდა) \მარჯვნივ.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(შემთხვევები)\]მოცემული სისტემიდან \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
ჩვენ მივიღეთ \(a\) პარამეტრის პირველი მნიშვნელობა.
2) \(a=0\) . შემდეგ \(y=0\) და ცხადია, რომ წრფეს აქვს უსასრულო რაოდენობის საერთო წერტილი II რეგიონთან. ამიტომ, ეს პარამეტრის მნიშვნელობა არ ჯდება ჩვენთვის.
3) \(ა<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).
იპოვეთ \(a\), რომლის პარაბოლა \(y\) გადის \(B\) წერტილში: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ პარამეტრის ამ მნიშვნელობით, პარაბოლის \(y=-\frac34(x+1)^2\) გადაკვეთის მეორე წერტილი \(h=-2x-1\) წრფესთან არის წერტილი კოორდინატებით \(\ მარცხენა (-\frac13; -\frac13\მარჯვნივ)\).
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ კიდევ ერთი პარამეტრის მნიშვნელობა.
ვინაიდან ჩვენ განვიხილეთ ყველა შესაძლო შემთხვევა \(a\)-ისთვის, საბოლოო პასუხია: \
პასუხი:
\(\მარცხნივ\(-\frac34; \frac43\მარჯვნივ\)\)
ამოცანა 3 #4013
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლებების სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(შემთხვევები)\]
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი.
1) განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება, როგორც კვადრატული \(x\) მიმართ: \ დისკრიმინანტი უდრის \(D=9y^2\) , შესაბამისად, \
შემდეგ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] ამიტომ, მთელი სისტემა შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &y=2x\\ &y=0.5x\end(გასწორებული)\end(შეკრებილი)\მარჯვნივ.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\ბოლო(შემთხვევები)\]ნაკრები განსაზღვრავს ორ სწორ ხაზს, სისტემის მეორე განტოლება განსაზღვრავს წრეს ცენტრით \((a;a)\) და რადიუსით \(R=\sqrt5a^2\) . იმისთვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ჰქონდეს ორი ამონახსნი, წრე უნდა კვეთდეს პოპულაციის გრაფიკს ზუსტად ორ წერტილზე. აქ არის ნახაზი, როდესაც, მაგალითად, \(a=1\) : 
გაითვალისწინეთ, რომ რადგან წრის ცენტრის კოორდინატები ტოლია, წრის ცენტრი "გადის" სწორი ხაზის გასწვრივ \(y=x\) .
2) ვინაიდან წრფეს \(y \u003d kx\) აქვს ამ წრფის დახრის კუთხის ტანგენსი \(Ox\) ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ არის \(k\), მაშინ დახრილობის ტანგენსი წრფე \(y=0.5x\) უდრის \ (0,5\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\,\alpha\)), სწორი ხაზი \(y=2x\) არის ტოლია \(2\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). შეამჩნია, რომ \(\ mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), შესაბამისად, \(\ mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). აქედან გამომდინარე, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , საიდანაც \(\alpha+\beta=90^\circ\) . ეს ნიშნავს, რომ კუთხე \(y=2x\) და დადებით მიმართულებას \(Oy\) შორის უდრის კუთხეს \(y=0.5x\) და დადებით მიმართულებას \(Ox\) შორის: 
და რადგან წრფე \(y=x\) არის I კოორდინატული კუთხის ბისექტორი (ანუ კუთხეები მასსა და დადებით მიმართულებებს შორის \(Ox\) და \(Oy\) ტოლია \(45^\-ში). circ\) ), მაშინ კუთხეები \(y=x\) და წრფეებს შორის \(y=2x\) და \(y=0.5x\) ტოლია.
ეს ყველაფერი დაგვჭირდა იმისთვის, რომ გვეთქვა, რომ წრფეები \(y=2x\) და \(y=0.5x\) სიმეტრიულია ერთმანეთის მიმართ \(y=x\) , შესაბამისად, თუ წრე ერთს ეხება. მათგან, მაშინ ის აუცილებლად ეხება მეორე ხაზს.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ \(a=0\) , მაშინ წრე გადაგვარდება \((0;0)\) წერტილში და აქვს მხოლოდ ერთი გადაკვეთის წერტილი ორივე წრფესთან. ანუ ეს საქმე არ გვიწყობს.
ამრიგად, იმისათვის, რომ წრეს ჰქონდეს წრფეებთან გადაკვეთის 2 წერტილი, ის უნდა იყოს ტანგენსი ამ წრფეებზე: 
ჩვენ ვხედავთ, რომ შემთხვევა, როდესაც წრე მდებარეობს მესამე მეოთხედში, სიმეტრიულია (კოორდინატების წარმოშობის მიმართ) იმ შემთხვევის მიმართ, როდესაც ის მდებარეობს პირველ მეოთხედში. ანუ პირველ კვარტალში \(a>0\) , ხოლო მესამეში \(a<0\)
(но такие же по модулю).
ამიტომ განვიხილავთ მხოლოდ პირველ კვარტალს. 
შეამჩნია, რომ \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . შემდეგ \ შემდეგ \[\ mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]მაგრამ სხვანაირად, \[\mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]აქედან გამომდინარე, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\quad a =\pm \ dfrac15\]ამრიგად, ჩვენ უკვე მივიღეთ როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობა \(a\)-ისთვის. ამიტომ პასუხი ასეთია: \
პასუხი:
\(\{-0,2;0,2\}\)
ამოცანა 4 #3278
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა \(a\), რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
(გამოყენება 2017, ოფიციალური საცდელი 04/21/2017)
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება \(t=5^x, t>0\) და გადავიტანოთ ყველა ტერმინი ერთ ნაწილად: \
ჩვენ მივიღეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები, ვიეტას თეორემის მიხედვით, არის \(t_1=a+6\) და \(t_2=5+3|a|\) . იმისათვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ერთი ფესვი ჰქონდეს, საკმარისია, რომ მიღებულ განტოლებას \(t\)-ითაც ჰქონდეს ერთი (დადებითი!) ფესვი.
ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ \(t_2\) ყველა \(a\) იქნება დადებითი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ორ შემთხვევას:
1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(გასწორებული) \end(შეიკრიბა) \მარჯვნივ.\]
2) ვინაიდან \(t_2\) ყოველთვის დადებითია, \(t_1\) უნდა იყოს \(\leqslant 0\) : \
პასუხი:
\((-\infty;-6]\თასი\მარცხნივ\(-\frac14;\frac12\მარჯვნივ\)\)
ამოცანა 5 #3252
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]
აქვს ზუსტად ერთი ფესვი \(\) ინტერვალზე.
(ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2017, სარეზერვო დღე)
განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\]ამრიგად, გაითვალისწინეთ, რომ \(x=a\) არის განტოლების ფესვი ნებისმიერი \(a\)-ისთვის, რადგან განტოლება ხდება \(0=0\) . იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, საჭიროა \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
განტოლების მეორე ფესვი გვხვდება \(x+a=3x-1\)-დან, ანუ \(x=\frac(a+1)2\) . იმისათვის, რომ ეს რიცხვი იყოს განტოლების ფესვი, ის უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლების ODZ-ს, ანუ: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \
ამრიგად, ფესვი \(x=\frac(a+1)2\) რომ არსებობდეს და მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
გაითვალისწინეთ, რომ მაშინ \(0\leqslant a\leqslant 1\) ორივე ფესვი \(x=a\) და \(x=\frac(a+1)2\) ეკუთვნის სეგმენტს \(\) (ეს არის , განტოლებას აქვს ორი ფესვი ამ სეგმენტზე), გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ისინი ემთხვევა: \
ასე რომ, ჩვენ ჯდება \(a\ მარცხნივ[-\frac13; 0\მარჯვნივ)\)და \(a=1\) .
პასუხი:
\(a\in \ მარცხნივ[-\frac13;0\მარჯვნივ)\თასი\(1\)\)
ამოცანა 6 #3238
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \
აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე \(.\)
(ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2017, სარეზერვო დღე)
განტოლება ტოლია: \ odz განტოლება: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end (შემთხვევები)\] ODZ-ზე განტოლება გადაიწერება სახით: \
1) მოდით \(ა<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ არ ემთხვევა \(ა<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.
2) მოდით \(a=0\) . მაშინ ODZ განტოლება არის: \(x\geqslant 0\) . განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად: \ შედეგად მიღებული ფესვი ჯდება ODZ-ის ქვეშ და შედის \(\) სეგმენტში. ამიტომ, \(a=0\) შესაფერისია.
3) მოდით \(a>0\) . შემდეგ ODZ: \(x\geqslant a\) და \(x\leqslant 1\) . ამიტომ, თუ \(a>1\) , მაშინ ODZ არის ცარიელი ნაკრები. ამრიგად, \(0
წარმოებული არის \(y"=3x^2-2ax+3a\) . განვსაზღვროთ რა ნიშანი შეიძლება იყოს წარმოებული. ამისათვის იპოვეთ განტოლების დისკრიმინანტი \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a(a-9)\) ამიტომ, \(a\in (0;1]\) დისკრიმინანტისთვის \(D<0\)
. Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\)
положительно при всех \(x\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
производная \(y">0\). აქედან გამომდინარე, \(y\) იზრდება. ამრიგად, მზარდი ფუნქციის თვისებით, განტოლებას \(y(x)=0\) შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ ერთი ფესვი.
ამიტომ, იმისათვის, რომ განტოლების ფესვი (გრაფის \(y\) გადაკვეთის წერტილი x-ღერძთან) იყოს \(\) სეგმენტზე, აუცილებელია, რომ \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \]იმის გათვალისწინებით, რომ თავდაპირველად განსახილველ შემთხვევაში \(a\in (0;1]\), მაშინ პასუხი არის \(a\in (0;1]\). გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) აკმაყოფილებს \( (1) \) , ფესვები \(x_2\) და \(x_3\) აკმაყოფილებს \((2)\) .ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) ეკუთვნის სეგმენტს \(\) .
განვიხილოთ სამი შემთხვევა:
1) \(a>0\) . შემდეგ \(x_2>3\) , \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) არ აკმაყოფილებს \((1)\) , ან შეესაბამება \(x_1\) , ან აკმაყოფილებს \((1)\) , მაგრამ არ შედის სეგმენტში \(\) (ანუ \(0\)-ზე ნაკლები);
- \(x_1\) არ აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) აკმაყოფილებს \(1)\) და არ უდრის \(x_1\) .
გაითვალისწინეთ, რომ \(x_3\) არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები და დააკმაყოფილოს \((1)\) (ანუ მეტი \(\frac35\) ). ამ შენიშვნის გათვალისწინებით, შემთხვევები აღირიცხება შემდეგ ნაკრებში: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>ამ კრებულის ამოხსნით და იმის გათვალისწინებით, რომ \(a>0\) , მივიღებთ: \
2) \(a=0\) . შემდეგ \(x_2=x_3=3\in .\) გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) და \(x_2=3\) აკმაყოფილებს \((1)\) , შემდეგ იქ არის განტოლება, რომელსაც აქვს ორი ფესვი \(\)-ზე. ეს მნიშვნელობა \(a\) არ ჯდება ჩვენთვის.
3) \(ა<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) და \(x_3\არა\) . 1-ლი პუნქტის მსგავსად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ნაკრები: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end (გასწორებული) \ბოლო (შეიკრიბა)\მარჯვნივ.\]ამ კრებულის ამოხსნა და იმის გათვალისწინებით, რომ \(ა<0\) , получим: \\]
პასუხი:
\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \ cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)
1. წრფივი განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
პარამეტრის მქონე წრფივი განტოლებათა სისტემები წყდება იგივე ძირითადი მეთოდებით, როგორც განტოლებების ჩვეულებრივი სისტემები: ჩანაცვლების მეთოდი, განტოლებების დამატების მეთოდი და გრაფიკული მეთოდი. ხაზოვანი სისტემების გრაფიკული ინტერპრეტაციის ცოდნა გაადვილებს პასუხის გაცემას ფესვების რაოდენობისა და მათი არსებობის შესახებ.
მაგალითი 1
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას არ აქვს ამონახსნები.
(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.
გამოსავალი.
მოდით შევხედოთ ამ პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე გზას.
1 გზა.ჩვენ ვიყენებთ თვისებას: სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდება უდრის y-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არა თავისუფალი წევრების შეფარდებას (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). მაშინ გვაქვს:
1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ან სისტემა
(და 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.
პირველი განტოლებიდან a 2 \u003d 4, შესაბამისად, იმ პირობის გათვალისწინებით, რომ a ≠ 2, მივიღებთ პასუხს.
პასუხი: a = -2.
2 გზა.ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით.
(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,
((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
პირველი განტოლების ფრჩხილებიდან y საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივიღებთ:
((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ანუ
(და 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.
აშკარაა, რომ a = ± 2, მაგრამ მეორე პირობის გათვალისწინებით, მოცემულია მხოლოდ მინუს პასუხი.
პასუხი: a = -2.
მაგალითი 2
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
(8x + ay = 2,
(ცული + 2y = 1.
გამოსავალი.
თვისების მიხედვით, თუ x და y-ზე კოეფიციენტების თანაფარდობა იგივეა და უდრის სისტემის თავისუფალი წევრების შეფარდებას, მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო ნაკრები (ანუ a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). აქედან გამომდინარე, 8/a = a/2 = 2/1. მიღებული თითოეული განტოლების ამოხსნით, აღმოვაჩენთ, რომ ამ მაგალითში არის პასუხი \u003d 4.
პასუხი: a = 4.
2. რაციონალური განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
მაგალითი 3
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
გამოსავალი.
გაამრავლეთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
გამოვაკლოთ მეორე განტოლება პირველს, მივიღებთ 5|х| = 4 – ა. ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი a = 4-ისთვის. სხვა შემთხვევებში, ამ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნები (ა.< 4) или ни одного (при а > 4).
პასუხი: a = 4.
მაგალითი 4
იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.
(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.
გამოსავალი.
ამ სისტემას გრაფიკული მეთოდით მოვაგვარებთ. ამრიგად, სისტემის მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც ამაღლებულია Oy ღერძის გასწვრივ ერთი ერთეული სეგმენტით. პირველი განტოლება განსაზღვრავს წრფეთა სიმრავლეს y = -x წრფის პარალელურად (სურათი 1). ნახაზი ნათლად აჩვენებს, რომ სისტემას აქვს გამოსავალი, თუ სწორი ხაზი y \u003d -x + a არის პარაბოლის ტანგენტი კოორდინატებით (-0.5; 1.25) წერტილში. ამ კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში x და y-ის ნაცვლად, ვპოულობთ a პარამეტრის მნიშვნელობას: 
1,25 = 0,5 + ა;
პასუხი: a = 0.75.
მაგალითი 5
ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.
(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
გამოსავალი.
გამოთქვით y პირველი განტოლებიდან და ჩაანაცვლეთ მეორეში:
(y \u003d ah - a - 1,
(ცული + (a + 2) (ცული - a - 1) = 2.
მეორე განტოლება მივიღებთ kx = b ფორმას, რომელსაც ექნება უნიკალური ამონახსნი k ≠ 0-ისთვის. გვაქვს:
ცული + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;
a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.
კვადრატული ტრინომი a 2 + 3a + 2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფრჩხილების ნამრავლად
(a + 2)(a + 1), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:
(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).
ცხადია, 2 + 3a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, რაც ნიშნავს a ≠ 0 და ≠ -3.
პასუხი: a ≠ 0; ≠ -3.
მაგალითი 6
გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით განსაზღვრეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური ამონახსნები.
(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.
გამოსავალი.
მდგომარეობიდან გამომდინარე ვაშენებთ წრეს ცენტრით კოორდინატების საწყისთან და 3 ერთეული სეგმენტის რადიუსით, სწორედ ეს წრე ადგენს სისტემის პირველ განტოლებას.
x 2 + y 2 = 9. სისტემის მეორე განტოლება (y = |x| + a) არის გატეხილი ხაზი. Გამოყენებით სურათი 2ჩვენ განვიხილავთ მისი მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევას წრესთან შედარებით. ადვილი მისახვედრია, რომ a = 3. 
პასუხი: a = 3.
გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით განტოლების სისტემების ამოხსნა?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.