პარამეტრთან დაკავშირებული პრობლემები (გამოხსნის გრაფიკული მეთოდი) შესავალი. გრაფიკული მეთოდით პარამეტრით ამოცანების გადაჭრის გეგმა. პარამეტრებით განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი

პარამეტრებთან განტოლებები სამართლიანად ითვლება ერთ-ერთ ყველაზე რთულ ამოცანად სასკოლო მათემატიკის კურსში. სწორედ ეს ამოცანები ხვდება წლიდან წლამდე ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის B და C ტიპის ამოცანების ჩამონათვალში. თუმცა, პარამეტრებთან დაკავშირებული განტოლებების დიდ რაოდენობას შორის არის ისეთებიც, რომელთა ამოხსნაც მარტივად შეიძლება გრაფიკულად. განვიხილოთ ეს მეთოდი რამდენიმე პრობლემის გადაჭრის მაგალითზე.

იპოვეთ a-ის მთელი მნიშვნელობების ჯამი, რომლის განტოლებაა |x 2 – 2x – 3| = a-ს აქვს ოთხი ფესვი.

გამოსავალი.

პრობლემის კითხვაზე პასუხის გასაცემად ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს ერთ კოორდინატულ სიბრტყეზე

y = |x 2 – 2x – 3| და y = a.

პირველი ფუნქციის გრაფიკი y = |x 2 – 2x – 3| მიიღება y = x 2 - 2x - 3 პარაბოლის გრაფიკიდან, გრაფიკის აბსცისის ღერძის მიმართ სიმეტრიულად ჩვენებით Ox ღერძის ქვემოთ. გრაფიკის ნაწილი x ღერძის ზემოთ უცვლელი დარჩება.

მოდით გავაკეთოთ ეს ეტაპობრივად. y \u003d x 2 - 2x - 3 ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. მისი გრაფიკის ასაგებად, ჩვენ ვპოულობთ წვეროს კოორდინატებს. ეს შეიძლება გაკეთდეს ფორმულის გამოყენებით x 0 = -b / 2a. ამრიგად, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. y-ღერძის გასწვრივ პარაბოლის ზედა კოორდინატის საპოვნელად, მიღებული მნიშვნელობა x 0-ს ვცვლით განსახილველი ფუნქციის განტოლებაში. მივიღებთ, რომ y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. მაშასადამე, პარაბოლას წვეროს აქვს კოორდინატები (1; -4).

შემდეგი, თქვენ უნდა იპოვოთ პარაბოლის ტოტების გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით. პარაბოლის ტოტების აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობა არის ნული. ამიტომ, ჩვენ ვხსნით კვადრატულ განტოლებას x 2 - 2x - 3 \u003d 0. მისი ფესვები იქნება სასურველი წერტილები. ვიეტას თეორემით გვაქვს x 1 = -1, x 2 = 3.

პარაბოლის ტოტების y ღერძთან გადაკვეთის წერტილებში არგუმენტის მნიშვნელობა არის ნული. ამრიგად, წერტილი y = -3 არის პარაბოლის ტოტების y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილი. შედეგად მიღებული გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 1.

y = |x 2 - 2x - 3| ფუნქციის გრაფიკის მისაღებად ჩვენ გამოვაჩენთ გრაფიკის ნაწილს, რომელიც x ღერძის ქვემოთაა, x ღერძის მიმართ სიმეტრიულად. შედეგად მიღებული გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 2.

y = a ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად. ეს ნაჩვენებია ნახაზზე 3. ნახატის გამოყენებით ვხვდებით, რომ გრაფიკებს აქვთ ოთხი საერთო წერტილი (და განტოლებას აქვს ოთხი ფესვი), თუ a ეკუთვნის ინტერვალს (0; 4).

a რიცხვის მთელი მნიშვნელობები მიღებული ინტერვალიდან: 1; 2; 3. ამოცანის კითხვაზე პასუხის გასაცემად ვიპოვოთ ამ რიცხვების ჯამი: 1 + 2 + 3 = 6.

პასუხი: 6.

იპოვეთ a რიცხვის მთელი მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული, რომლისთვისაც არის განტოლება |x 2 – 4|x| – 1| = a-ს აქვს ექვსი ფესვი.

დავიწყოთ y = |x 2 – 4|x| ფუნქციის გამოსახვით – 1|. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ტოლობას a 2 = |a| 2 და აირჩიეთ სრული კვადრატი ფუნქციის მარჯვენა მხარეს დაწერილ ქვემოდულის გამოსახულებაში:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

მაშინ ორიგინალური ფუნქცია გამოიყურება y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

ამ ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად, ჩვენ ვაშენებთ თანმიმდევრულად ფუნქციების გრაფიკებს:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - პარაბოლა წვერით წერტილში კოორდინატებით (2; -5); (ნახ. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - პარაბოლის 1-ლ პარაგრაფში აგებული ნაწილი, რომელიც მდებარეობს ორდინატთა ღერძის მარჯვნივ, სიმეტრიულად არის გამოსახული Oy ღერძის მარცხნივ; (ნახ. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - მე-2 პუნქტში აგებული გრაფის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ, ნაჩვენებია სიმეტრიულად აბსცისის ღერძის მიმართ ზემოთ. (ნახ. 3).

განვიხილოთ მიღებული ნახატები:

y = a ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად.

ფიგურის გამოყენებით დავასკვნით, რომ ფუნქციის გრაფიკებს აქვთ ექვსი საერთო წერტილი (განტოლებას აქვს ექვსი ფესვი), თუ a ეკუთვნის ინტერვალს (1; 5).

ეს ჩანს შემდეგ ფიგურაში:

იპოვეთ a პარამეტრის მთელი რიცხვების საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობა:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

პასუხი: 3.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ უფრო რთულ ამოცანებს პარამეტრთან და გადავწყვეტთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით.

თემა: გამეორება

გაკვეთილი: გრაფიკული მეთოდი ამოცანებში პარამეტრით. პრობლემის გადაჭრის გაგრძელება

1. კვადრატული განტოლების ამოხსნა პარამეტრით გრაფიკული მეთოდით

მაგალითი 1 - იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა a პარამეტრის მიხედვით:

პრობლემის ფორმულირების მიხედვით, ჩვენ არ გვჭირდება ფესვების მნიშვნელობების პოვნა, არამედ მხოლოდ მათი რიცხვი, ჩვენ პრობლემას ვხსნით გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით.

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის დახატვა მარცხენა მხარეს: . ჩვენ ვიცით ამ ფუნქციის გრაფიკი - ეს არის პარაბოლა, ტოტები მიმართულია ზევით, მისი ფესვები მარტივია: , აქედან შეგიძლიათ იპოვოთ წვეროს კოორდინატები:

ბრინჯი. 2. გრაფიკის დისექცია წრფეთა ოჯახის მიხედვით

გრაფიკის დათვალიერებისას ვწერთ პასუხს: არ არსებობს გადაწყვეტილებები; for , განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი; for , განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს.

2. განტოლებების ამოხსნა მოდულებით და პარამეტრით გრაფიკული მეთოდით

მაგალითი 2 - იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა a პარამეტრის მიხედვით:

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის დახატვა მარცხენა მხარეს. ვინაიდან არსებობს მოდული, ჩვენ ჯერ ვხატავთ ქვემოდულის ფუნქციას: . ეს არის პარაბოლა, ტოტები მიმართულია ზემოთ, ფესვები ადვილად გამოცნობთ: , აქედან შეგიძლიათ იპოვოთ წვეროს კოორდინატები: . მოცემული ფუნქციის გრაფიკის აგების შემდეგ ადვილია ფუნქციის გრაფიკის დახატვა მოდულით: , ამისათვის ფუნქციის ყველა უარყოფითი მნიშვნელობა ასახულია x ღერძის გარშემო.

ბრინჯი. 3. ფუნქციების გრაფიკი და

ბრინჯი. 4. გრაფიკის გაკვეთა წრფეთა ოჯახის მიხედვით

გრაფიკის დათვალიერებისას ვწერთ პასუხს: არ არსებობს გადაწყვეტილებები; ორი ხსნარით; ოთხი ხსნარით; სამი ხსნარით.

მაგალითი 3 - იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა a პარამეტრის მიხედვით:

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის დახატვა მარცხენა მხარეს. გასათვალისწინებელია, რომ. პირველ რიგში ვხატავთ ფუნქციას . ეს არის პარაბოლა, ტოტები მიმართულია ზემოთ, ფესვები ადვილად გამოცნობთ: , აქედან შეგიძლიათ იპოვოთ წვეროს კოორდინატები: . მოცემული ფუნქციის გრაფიკის აგების შემდეგ, მოდულით ფუნქციის დახატვა ადვილია . ამისათვის გახსოვდეთ, როგორ გაფართოვდა მოდული. დადებითი x-ისთვის, ის უბრალოდ შეიძლება გაუქმდეს - გრაფის ეს ნაწილი უკვე აშენებულია. უარყოფითი x: , გვაქვს გრაფიკი: . ეს არის პარაბოლა, ტოტები მიმართულია ზევით, ფესვები ადვილად გამოცნობა და ზედა. ეს კონსტრუქცია შეიძლება გაკეთდეს უფრო მარტივად, წესის ცოდნით: დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი მოდულის გარეშე დადებითი x-ისთვის და აჩვენეთ იგი სიმეტრიულად y ღერძის მიმართ. ავაშენოთ:

ბრინჯი. 5. ფუნქციის გრაფიკი

ბრინჯი. 6. გრაფიკის გაკვეთა წრფეთა ოჯახის მიხედვით

გრაფიკის დათვალიერებისას ვწერთ პასუხს: არ არსებობს გადაწყვეტილებები; ზე ორი ფესვი; ოთხი ფესვით; სამი ფესვით.

3. უტოლობების სისტემის ამოხსნა პარამეტრით გრაფიკულად

მაგალითი 4 - ამოხსენით უტოლობების სისტემა პარამეტრით:

სისტემა საკმაოდ რთულად გამოიყურება, მოდით გავამარტივოთ. ამისათვის მოიცილეთ ლოგარითმები და ფესვები. პირველ უტოლობაში შედარებულია ლოგარითმები ერთი და იგივე ფუძის მქონე ლოგარითმების, ჩვენ გვაქვს უფლება გავაუქმოთ ლოგარითმის ნიშანი, ხოლო უტოლობის ნიშანი შევცვალოთ, რადგან ლოგარითმების ფუძე ერთზე ნაკლებია, მაგრამ არ დაგავიწყდეთ დაცვა. სუბლოგარითმული გამოსახულებები (ODZ-ის გათვალისწინებით).

მეორე უტოლობაში ფესვების მოსაშორებლად, ჩვენ კვადრატში ვაქცევთ მას და ისევ არ უნდა დაგვავიწყდეს ODZ-ის გათვალისწინება. Ჩვენ გვაქვს:

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ოთხი უტოლობის სისტემა:

აქ არის მსგავსი წევრები:

ჩვენ ვაშენებთ შედეგად მიღებული ეკვივალენტური სისტემის გრაფიკს. პირველი უტოლობის გამოსავალი არის ვერტიკალური ხაზის მარცხნივ მდებარე ნახევრად სიბრტყე, თავად ხაზი არ შედის, რადგან უტოლობა მკაცრია. მეორე უტოლობის გამოსავალი არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს ხაზის ზემოთ, თავად ხაზი არ შედის, რადგან უტოლობა მკაცრია. მესამე უტოლობის ამონახსნი არის ჰორიზონტალური ხაზის ქვეშ მდებარე ნახევრად სიბრტყე, თავად ხაზი არ შედის, რადგან უტოლობა მკაცრია. ბოლო უტოლობის გამოსავალი არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს ხაზის ზემოთ, თავად ხაზი შედის, რადგან უტოლობა არ არის მკაცრი. ჩვენ ვაჩვენებთ:

ბრინჯი. 7. უტოლობათა სისტემის ამოხსნის ილუსტრაცია

იმის გასარკვევად, რომ სისტემის გამოსავალი არის სამკუთხედი, როგორც ეს გრაფიკიდან ჩანს, აუცილებელია გადაკვეთის წერტილების კოორდინატების გარკვევა.

წერტილი A იყოს წრფეების გადაკვეთის წერტილი, იპოვეთ მისი კოორდინატები, ამისათვის ჩვენ ვხსნით სისტემას:

ეს სისტემა ელემენტარულად წყდება ალგებრული დამატების მეთოდით:

B წერტილი იყოს წრფეების გადაკვეთის წერტილი იპოვეთ მისი კოორდინატები, ამისთვის ჩვენ ვხსნით სისტემას.

1. მოსწავლეთა პირადი მოტივაციის განსაზღვრა. განათლების გასაგრძელებლად, თვითგანვითარებისთვის და ინტელექტუალური ზრდისთვის აუცილებელია გულმოდგინედ და შეგნებულად სწავლა და ჯანმრთელობაზე ზრუნვა. 2. „პარამეტრის“ კონცეფციის წვდომა. პარამეტრი - მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს სისტემის ან ფენომენის ცვლილების ძირითად თვისებებს. (ლექსიკონი)

განტოლებებში (უტოლობებში), უცნობი ან თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტებს, რომლებიც მოცემულია არა კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობებით, არამედ ასოებით მითითებული, ეწოდება პარამეტრებს. მაგალითი: პარამეტრით პრობლემის გადაჭრა ნიშნავს, პარამეტრის თითოეული მნიშვნელობისთვის, იპოვოთ x მნიშვნელობები, რომლებიც აკმაყოფილებს ამ პრობლემის პირობას.

X y x y a > 0 a 0, (2 ფესვი) 0 a 0, (2 ძირი)"> 0 a 0, (2 ძირი)"> 0 a 0, (2 ძირი)" title="x y x y a > 0 a 0, (2 ფესვი)"> title="x y x y a > 0 a 0, (2 ფესვი)"> !}

x უუუუუუუუუჰ

2. როდესაც განტოლება იღებს ფორმას და აქვს ფესვი x \u003d 0. 3. როცა ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ განტოლების ფესვებს პასუხი: როცა ფესვები არ არის; ერთი ფესვით x = 0. ორი ფესვით 1. განტოლების მარცხენა მხარე არაუარყოფითია უცნობი x, ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. არ არის გადაწყვეტილებები. x y 0 y = a "შეხედე!" მეთოდი 1 (ანალიტიკური) მეთოდი 2 (გრაფიკული)

a პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აქვს განტოლებას ერთი ამონახსნი? დავწეროთ განტოლება ფორმით: x დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკები: პასუხი: a \u003d 3 და მოძრავი სწორი ხაზი y \u003d a. ა

a პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები? x y ავაშენოთ გრაფიკი ნახაზის მიხედვით, ჩვენ ვხედავთ და სწორ ხაზს y \u003d a. არ არის გადაწყვეტილებები. პასუხი:

(პარამეტრით ამოცანების ამოხსნის გრაფიკული გზა) პარამეტრის პრობლემა შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციად f (x; a) =0 1. ვაშენებთ გრაფიკულ გამოსახულებას 2. მიღებულ გრაფიკს ვკვეთთ სწორი ხაზებით პარალელურად. x-ღერძი 3. „წაიკითხე“ საჭირო ინფორმაცია ამოხსნის სქემა: !!!

X y y a პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას ორი ფესვი? x y x

1) როდესაც a \u003d 3, მარჯვენა კუთხის წვერო; იპოვეთ a პარამეტრის მთელი მნიშვნელობების ჯამი, რომლის განტოლებას სამი ფესვი აქვს. თავდაპირველი განტოლება B სიმრავლის ექვივალენტურია a პარამეტრის გამოსახატავად ვიღებთ: ნახატიდან ჩანს, რომ განტოლებას სამი ფესვი აქვს 3 შემთხვევაში x a a 1 = 3 a 2 = ? და 3 =? შემდეგ a = = 5. უპასუხეთ. 8. 2) x 4-ისთვის a 2 = 5 a 3 a 3 4, a 2 \u003d 5 a 3 a 3"\u003e

ოტდელკინა ოლგა, მე-9 კლასის მოსწავლე

ეს თემა ალგებრის სასკოლო კურსის შესწავლის განუყოფელი ნაწილია. ამ ნაშრომის მიზანია ამ თემის უფრო ღრმად შესწავლა, ყველაზე რაციონალური გადაწყვეტის იდენტიფიცირება, რომელიც სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე. ეს თხზულება დაეხმარება სხვა მოსწავლეებს გააცნობიერონ გრაფიკული მეთოდის გამოყენება პარამეტრებით განტოლებების ამოხსნისთვის, გაეცნონ ამ მეთოდის წარმოშობას, განვითარებას.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

შესავალი 2

Თავი 1

მე-3 პარამეტრით განტოლებების გაჩენის ისტორია

ვიეტას თეორემა 4

ძირითადი ცნებები5

თავი 2. განტოლების ტიპები პარამეტრებით.

წრფივი განტოლებები6

კვადრატული განტოლებები……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………...7

თავი 3

ანალიტიკური მეთოდი…………………………………………………………………………………….

გრაფიკული მეთოდი. შემთხვევის ისტორია ………………………………9

გრაფიკული ამოხსნის ალგორითმი ………………………………….10

განტოლების ამოხსნა მოდულით………………………………………………………….11

პრაქტიკული ნაწილი……………………………………………………………………12

დასკვნა………………………………………………………………………….19

ლიტერატურა…………………………………………………………………………………………

შესავალი.

ეს თემა იმიტომ ავირჩიე, რომ სასკოლო ალგებრის კურსის შესწავლის განუყოფელი ნაწილია. ამ ნაშრომის მომზადებისას, მე დავსახე ამ თემის უფრო ღრმა შესწავლის მიზანი, ყველაზე რაციონალური გადაწყვეტის გამოვლენა, რომელიც სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე. ჩემი ნარკვევი დაეხმარება სხვა მოსწავლეებს გააცნობიერონ გრაფიკული მეთოდის გამოყენება პარამეტრებით განტოლებების ამოხსნისთვის, გაეცნონ ამ მეთოდის წარმოშობას, განვითარებას.

თანამედროვე ცხოვრებაში მრავალი ფიზიკური პროცესისა და გეომეტრიული ნიმუშის შესწავლა ხშირად იწვევს პარამეტრების პრობლემების გადაჭრას.

ასეთი განტოლებების ამოსახსნელად, გრაფიკული მეთოდი ძალზე ეფექტურია, როდესაც საჭიროა დადგინდეს, რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას α პარამეტრიდან გამომდინარე.

პარამეტრების მქონე ამოცანები წმინდა მათემატიკური ინტერესია, ხელს უწყობს მოსწავლეთა ინტელექტუალურ განვითარებას და კარგ მასალას ემსახურება უნარების პრაქტიკისთვის. მათ აქვთ დიაგნოსტიკური მნიშვნელობა, რადგან მათი გამოყენება შესაძლებელია მათემატიკის ძირითადი სექციების ცოდნის შესამოწმებლად, მათემატიკური დონისა და ლოგიკური აზროვნება, პირველადი კვლევის უნარები და უმაღლეს სასწავლებლებში მათემატიკის კურსის წარმატებით დაუფლების პერსპექტიული შესაძლებლობები.

ჩემს აბსტრაქტში განიხილება განტოლებების ყველაზე გავრცელებული ტიპები და ვიმედოვნებ, რომ მუშაობის პროცესში მიღებული ცოდნა დამეხმარება სკოლის გამოცდების ჩაბარებისას, რადგანგანტოლებები პარამეტრებითსამართლიანად განიხილება ერთ-ერთი ყველაზე რთული ამოცანა სასკოლო მათემატიკის კურსში. სწორედ ეს დავალებები შედის USE-ის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანების ჩამონათვალში.

პარამეტრით განტოლებების გაჩენის ისტორია

პარამეტრის მქონე განტოლებების პრობლემები უკვე შეგვხვდა 499 წელს ინდოელი მათემატიკოსისა და ასტრონომის არიაბჰატას მიერ შედგენილ ასტრონომიულ ტრაქტატში "არიაბჰატამი". კიდევ ერთმა ინდოელმა მეცნიერმა, ბრაჰმაგუპტამ (VII ს.), გამოიკვეთა კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი, რომელიც შემცირებულია კანონიკურ ფორმამდე:

αх 2 + bx = c, α>0

განტოლებაში, პარამეტრის გარდა, კოეფიციენტები, ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი.

კვადრატული განტოლებები ალ-ხვარეზმში.

ალ-ხვარეზმის ალგებრულ ტრაქტატში მოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია პარამეტრით. ავტორი ჩამოთვლის განტოლების 6 ტიპს და მათ შემდეგნაირად გამოხატავს:

1) "კვადრატები უდრის ფესვებს", ანუ αx 2 = bx.

2) „კვადრატები რიცხვის ტოლია“, ანუ αx 2 = გ.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ αx = c.

4) „კვადრატები და რიცხვები ფესვების ტოლია“, ანუ αx 2 + c = bx.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ αx 2 + bx = c.

6) "ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს", ანუ bx + c = αx 2 .

ევროპაში ალ-ხორეზმის მიხედვით კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები პირველად ჩამოყალიბდა იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ 1202 წელს დაწერილი "აბაკუსის წიგნში".

ვიეტას აქვს ფორმულის ზოგადი წარმოშობა პარამეტრით კვადრატული განტოლების ამოხსნისთვის, მაგრამ ვიეტამ აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. მეთორმეტე საუკუნეში პირველთა შორის იყვნენ იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელი. გაითვალისწინეთ, გარდა დადებითი და უარყოფითი ფესვებისა. მხოლოდ XVII საუკუნეში. ჟირარის, დეკარტის, ნიუტონისა და სხვა მეცნიერების ნაშრომების წყალობით კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდმა თანამედროვე სახე მიიღო.

ვიეტას თეორემა

კვადრატული განტოლების პარამეტრებს, კოეფიციენტებსა და მის ფესვებს შორის კავშირის გამომხატველი თეორემა, რომელსაც აქვს ვიეტას სახელი, ჩამოაყალიბა მის მიერ პირველად 1591 წელს. შემდეგნაირად: „თუ b + d გამრავლებული α მინუს α-ზე. 2 უდრის bc, შემდეგ α უდრის b და უდრის d.

ვიეტას გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ α, ისევე როგორც ნებისმიერი ხმოვანი, ნიშნავდა უცნობს (ჩვენს x), ხოლო ხმოვნები b, d არის კოეფიციენტები უცნობისთვის. თანამედროვე ალგებრის ენაზე ვიეტას ზემოთ მოცემული ფორმულირება ნიშნავს:

Თუ იქ არის

(α + ბ)x - x 2 \u003d αb,

ანუ x 2 - (α -b)x + αb \u003d 0,

შემდეგ x 1 = α, x 2 = b.

სიმბოლოების გამოყენებით დაწერილი ზოგადი ფორმულებით განტოლებების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირის გამოხატვით, ვიეტამ დაადგინა ერთგვაროვნება განტოლებების ამოხსნის მეთოდებში. თუმცა, ვიეტას სიმბოლიკა ჯერ კიდევ შორს არის მისი თანამედროვე ფორმისგან. ის არ ცნობდა უარყოფით რიცხვებს და, შესაბამისად, განტოლებების ამოხსნისას განიხილავდა მხოლოდ შემთხვევებს, როდესაც ყველა ფესვი დადებითია.

Ძირითადი ცნებები

Პარამეტრი - დამოუკიდებელი ცვლადი, რომლის მნიშვნელობად ითვლება ფიქსირებული ან თვითნებური რიცხვი, ან რიცხვი, რომელიც მიეკუთვნება პრობლემის პირობით განსაზღვრულ ინტერვალს.

განტოლება პარამეტრით- მათემატიკურიგანტოლება, რომლის გარეგნობა და გამოსავალი დამოკიდებულია ერთი ან რამდენიმე პარამეტრის მნიშვნელობებზე.

გადაწყვიტე განტოლება პარამეტრის საშუალებებით თითოეული მნიშვნელობისთვისიპოვეთ x მნიშვნელობები, რომლებიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას და ასევე:

1. გამოიკვლიეთ რა პარამეტრების მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას ფესვები და რამდენი მათგანია პარამეტრების სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.
2. იპოვეთ ყველა გამონათქვამი ფესვებისთვის და მიუთითეთ თითოეული მათგანისთვის იმ პარამეტრების მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც ეს გამონათქვამი რეალურად განსაზღვრავს განტოლების ფესვს.

განვიხილოთ განტოლება α(х+k)= α +c, სადაც α, c, k, x ცვლადებია.

α, c, k, x ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების სისტემაეწოდება ცვლადების მნიშვნელობების ნებისმიერ სისტემას, რომელშიც ამ განტოლების ორივე მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები იღებენ რეალურ მნიშვნელობებს.

მოდით A იყოს α-ს ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე, K - k-ის ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე, X - x-ის ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე, C - ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე. გ. თუ თითოეული A, K, C, X სიმრავლისთვის ავირჩევთ და დავაფიქსიროთ, შესაბამისად, ერთი მნიშვნელობა α, k, c და ჩავანაცვლოთ განტოლებაში, მაშინ მივიღებთ x-ის განტოლებას, ე.ი. განტოლება ერთი უცნობით.

ცვლადებს α, k, c, რომლებიც განტოლების ამოხსნისას მუდმივად ითვლება, პარამეტრებს უწოდებენ, ხოლო თავად განტოლებას - პარამეტრების შემცველ განტოლებას.

პარამეტრები აღინიშნება ლათინური ანბანის პირველი ასოებით: α, b, c, d, …, k, l, m, n, ხოლო უცნობი - ასოებით x, y, z.

ორი განტოლება, რომელიც შეიცავს ერთსა და იმავე პარამეტრებს, ეწოდებაექვივალენტი, თუ:

ა) მათ აქვთ აზრი პარამეტრების იგივე მნიშვნელობებისთვის;

ბ) პირველი განტოლების ყოველი ამონახსნი არის მეორე და პირიქით.

განტოლების ტიპები პარამეტრებით

განტოლებები პარამეტრებით არის: წრფივიდა კვადრატი.

1) წრფივი განტოლება. ზოგადი ფორმა:

α x = b, სადაც x უცნობია;α , b - პარამეტრები.

ამ განტოლებისთვის, პარამეტრის სპეციალური ან საკონტროლო მნიშვნელობა არის ის, რომლის დროსაც კოეფიციენტი ქრება უცნობში.

პარამეტრით წრფივი განტოლების ამოხსნისას განიხილება შემთხვევები, როდესაც პარამეტრი უდრის მის განსაკუთრებულ მნიშვნელობას და განსხვავდება მისგან.

α პარამეტრის სპეციალური მნიშვნელობა არის მნიშვნელობაα = 0.

1.თუ, ა ≠0, შემდეგ ნებისმიერი წყვილი პარამეტრისთვისα და b მას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა x =.

2.თუ, ა =0, მაშინ განტოლება იღებს ფორმას: 0 x = ბ . ამ შემთხვევაში, ღირებულებაბ = 0 არის სპეციალური პარამეტრის მნიშვნელობაბ.

2.1. ბ ≠ 0 განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

2.2. ბ =0 განტოლება მიიღებს ფორმას: 0 x=0.

ამ განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

კვადრატული განტოლება პარამეტრით.

ზოგადი ფორმა:

α x 2 + bx + c = 0

სადაც პარამეტრი α ≠ 0, b და c - თვითნებური ნომრები

თუ α =1, მაშინ განტოლებას ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლება.

კვადრატული განტოლების ფესვები გვხვდება ფორმულებით

გამოხატულება D = b 2 - 4 α c დაუძახა დისკრიმინანტს.

1. თუ D> 0 - განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს.

2. თუ დ< 0 — уравнение не имеет корней.

3. თუ D = 0 - განტოლებას ორი ტოლი ფესვი აქვს.

პარამეტრით განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

ანალიტიკური - პირდაპირი ამოხსნის მეთოდი, რომელიც იმეორებს სტანდარტულ პროცედურებს განტოლებაში პარამეტრების გარეშე პასუხის მოსაძებნად.
გრაფიკული - პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, განიხილება შესაბამისი კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის პოზიცია კოორდინატთა სისტემაში.

ანალიტიკური მეთოდი

გადაწყვეტის ალგორითმი:

სანამ პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემის გადაჭრას ანალიტიკური მეთოდით გავაგრძელებთ, აუცილებელია პარამეტრის კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობის სიტუაციის გაგება. მაგალითად, აიღეთ α =1 პარამეტრის მნიშვნელობა და უპასუხეთ კითხვას: არის თუ არა პარამეტრის α =1 მნიშვნელობა ამ ამოცანისთვის საჭირო მნიშვნელობა.

მაგალითი 1: გადაწყვიტეთ X წრფივი განტოლება m პარამეტრით:

ამოცანის მნიშვნელობის მიხედვით (m-1)(x+3) = 0, ანუ m= 1, x = -3.

განტოლების ორივე გვერდის გამრავლებით (m-1)(x+3) მივიღებთ განტოლებას

ვიღებთ

აქედან გამომდინარე, m = 2.25-ზე.

ახლა თქვენ უნდა შეამოწმოთ, არ არის თუ არა m-ის ასეთი მნიშვნელობები

ნაპოვნი x მნიშვნელობა არის -3.

ამ განტოლების ამოხსნით, მივიღებთ, რომ x არის -3, როდესაც m = -0.4.

პასუხი: m=1, m=2.25-ზე.

გრაფიკული მეთოდი. გაჩენის ისტორია

ზოგადი დამოკიდებულებების შესწავლა დაიწყო მე-14 საუკუნეში. შუა საუკუნეების მეცნიერება სქოლასტიური იყო. ასეთი ხასიათით არ იყო ადგილი რაოდენობრივი დამოკიდებულებების შესასწავლად, საქმე მხოლოდ საგნების თვისებებსა და ერთმანეთთან ურთიერთობას ეხებოდა. მაგრამ სქოლასტიკოსებს შორის გაჩნდა სკოლა, რომელიც ამტკიცებდა, რომ თვისებები შეიძლება იყოს მეტ-ნაკლებად ინტენსიური (მდინარეში ჩავარდნილი ადამიანის ჩაცმულობა უფრო სველია, ვიდრე წვიმაში მოხვედრილის)

ფრანგმა მეცნიერმა ნიკოლას ორესმემ დაიწყო სეგმენტების სიგრძის ინტენსივობის წარმოდგენა. როდესაც მან მოაწყო ეს სეგმენტები რაიმე სწორი ხაზის პერპენდიკულურად, მათი ბოლოები ქმნიდნენ ხაზს, რომელსაც უწოდა "ინტენსივობის ხაზი" ან "ზედა კიდის ხაზი" (შესაბამისი ფუნქციური დამოკიდებულების გრაფიკი). ორესმუსმა შეისწავლა თუნდაც "სიბრტყე". და "სხეულებრივი" თვისებები, ანუ ფუნქციები, რომლებიც დამოკიდებულია ორ ან სამ ცვლადზე.

ორესმესის მნიშვნელოვანი მიღწევა იყო მიღებული გრაფიკების კლასიფიკაციის მცდელობა. მან გამოყო სამი სახის თვისება: ერთგვაროვანი (მუდმივი ინტენსივობით), ერთგვაროვანი არათანაბარი (ინტენსივობის ცვლილების მუდმივი სიჩქარით) და არათანაბრად არათანაბარი (ყველა დანარჩენი), ისევე როგორც ასეთი თვისებების გრაფიკების დამახასიათებელი თვისებები.

ფუნქციის გრაფიკების შესასწავლი მათემატიკური აპარატის შესაქმნელად, დასჭირდა ცვლადის კონცეფცია. ეს კონცეფცია მეცნიერებაში შემოიტანა ფრანგმა ფილოსოფოსმა და მათემატიკოსმა რენე დეკარტმა (1596-1650). სწორედ დეკარტს მოუვიდა იდეები ალგებრისა და გეომეტრიის ერთიანობისა და ცვლადების როლის შესახებ, დეკარტმა შემოიტანა ფიქსირებული ერთეული სეგმენტი და დაიწყო მასზე სხვა სეგმენტების მიმართებების განხილვა.

ამრიგად, ფუნქციების გრაფიკებმა მათი არსებობის მთელი პერიოდის განმავლობაში გაიარეს ფუნდამენტური გარდაქმნების სერია, რამაც ისინი მიიყვანა იმ ფორმამდე, რომელსაც ჩვენ შევეჩვიეთ. ფუნქციების გრაფიკების შემუშავების თითოეული ეტაპი ან ნაბიჯი თანამედროვე ალგებრისა და გეომეტრიის ისტორიის განუყოფელი ნაწილია.

განტოლების ფესვების რაოდენობის განსაზღვრის გრაფიკული მეთოდი მასში შემავალი პარამეტრის მიხედვით უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე ანალიტიკური.

გრაფიკული ამოხსნის ალგორითმი

ფუნქციის გრაფიკი არის პუნქტების ერთობლიობა, სადაცაბსცისიარის სწორი არგუმენტის მნიშვნელობები, ა ორდინატებს- შესაბამისი მნიშვნელობებიფუნქციები.

პარამეტრით განტოლებების გრაფიკული ამოხსნის ალგორითმი:

იპოვეთ განტოლების დომენი.
გამოვხატავთ α x-ის ფუნქციის სახით.
კოორდინატთა სისტემაში ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკსα (x) x-ის იმ მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მოცემული განტოლების დომენშია.
წრფის გადაკვეთის წერტილების პოვნაα =c, ფუნქციის გრაფიკით

ნაჯახი). თუ ხაზი α =c კვეთს გრაფიკსα (x), შემდეგ განვსაზღვრავთ გადაკვეთის წერტილების აბსცისებს. ამისათვის საკმარისია განტოლების ამოხსნა c = α (x) x-თან შედარებით.

დაწერეთ პასუხი

განტოლებების ამოხსნა მოდულით

პარამეტრის შემცველი მოდულით განტოლებების გრაფიკულად ამოხსნისას აუცილებელია ფუნქციის გრაფიკების გამოსახვა და პარამეტრის სხვადასხვა მნიშვნელობის ყველა შესაძლო შემთხვევის გათვალისწინება.

მაგალითად, │х│= a,

პასუხი: თუ ა < 0, то нет корней, a > 0, შემდეგ x \u003d a, x \u003d - a, თუ a \u003d 0, მაშინ x \u003d 0.

Პრობლემის გადაჭრა.

ამოცანა 1. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას| | x | - 2 | = ა პარამეტრის მიხედვითა?

გამოსავალი. კოორდინატთა სისტემაში (x; y) გამოვსახავთ y = | ფუნქციების გრაფიკებს | x | - 2 | და y=ა . y = | ფუნქციის გრაფიკი | x | - 2 | ნაჩვენებია ფიგურაში.

y = ფუნქციის გრაფიკიα a = 0).

გრაფიკიდან ჩანს, რომ:

თუ a = 0, მაშინ წრფე y = a ემთხვევა Ox ღერძს და აქვს y = | ფუნქციის გრაფიკს | x | - 2 | ორი საერთო წერტილი; მაშასადამე, თავდაპირველ განტოლებას აქვს ორი ფესვი (ამ შემთხვევაში ფესვები შეიძლება მოიძებნოს: x 1,2 = + 2).
თუ 0< a < 2, то прямая y = α აქვს ფუნქციის გრაფიკით y = | | x | - 2 | ოთხი საერთო წერტილი და, შესაბამისად, თავდაპირველ განტოლებას ოთხი ფესვი აქვს.
თუა = 2, მაშინ y = 2 წრფეს სამი საერთო წერტილი აქვს ფუნქციის გრაფიკთან. მაშინ თავდაპირველ განტოლებას სამი ფესვი აქვს.
თუ a > 2, შემდეგ წრფე y = a ექნება ორი წერტილი საწყისი ფუნქციის გრაფიკით, ანუ ამ განტოლებას ექნება ორი ფესვი.

პასუხი: თუ ა < 0, то корней нет;
თუ a = 0, a > 2, მაშინ ორი ფესვი;
თუ a = 2, მაშინ სამი ფესვი;
თუ 0< a < 2, то четыре корня.

ამოცანა 2. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას| x 2 - 2| x | - 3 | = ა პარამეტრის მიხედვითა?

გამოსავალი. კოორდინატთა სისტემაში (x; y) გამოვსახავთ y = | ფუნქციების გრაფიკებს x 2 - 2| x | - 3 | და y = a.

y = | ფუნქციის გრაფიკი x 2 - 2| x | - 3 | ნაჩვენებია ფიგურაში. y = ფუნქციის გრაფიკიα არის ოქსის პარალელურად ან მასთან დამთხვევის წრფე (როდესაც a = 0).

გრაფიკიდან შეგიძლიათ იხილოთ:

თუ a = 0, მაშინ წრფე y = a ემთხვევა Ox ღერძს და აქვს y = | ფუნქციის გრაფიკს x2 - 2| x | - 3 | ორი საერთო წერტილი, ასევე ხაზი y =ა ექნება ფუნქციის გრაფიკით y = | x 2 - 2| x | - 3 | ორი საერთო წერტილი a > 4. აქედან გამომდინარე, a = 0 და a > 4 თავდაპირველ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.
თუ 0< ა< 3, то прямая y = a აქვს ფუნქციის გრაფიკით y = | x 2 - 2| x | - 3 | ოთხი საერთო წერტილი, ასევე წრფე y=ა ექნება ოთხი საერთო წერტილი აგებული ფუნქციის გრაფიკით at a = 4. აქედან გამომდინარე, 0-ზე< a < 3, a = 4 თავდაპირველ განტოლებას ოთხი ფესვი აქვს.
თუ a = 3, შემდეგ წრფე y = a კვეთს ფუნქციის გრაფიკს ხუთ წერტილზე; შესაბამისად, განტოლებას ხუთი ფესვი აქვს.
თუ 3< ა< 4, прямая y = α კვეთს აგებული ფუნქციის გრაფიკს ექვს წერტილზე; ამრიგად, პარამეტრის ამ მნიშვნელობებისთვის თავდაპირველ განტოლებას აქვს ექვსი ფესვი.
თუა < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α არ კვეთს y = | ფუნქციის გრაფიკს x 2 - 2| x | - 3 |.

პასუხი: თუ ა < 0, то корней нет;
თუ a = 0, a > 4, მაშინ ორი ფესვი;
თუ 0< a < 3, a = 4, შემდეგ ოთხი ფესვი;

თუ = 3, შემდეგ ხუთი ფესვი;
თუ 3< a < 4, то шесть корней.

ამოცანა 3. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას

პარამეტრის მიხედვითა?

გამოსავალი. კოორდინატულ სისტემაში (x; y) ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

ოღონდ ჯერ დავაყენოთ ფორმაში:

ხაზები x = 1, y = 1 არის ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები. y = | ფუნქციის გრაფიკი x | +ა მიღებული y = | ფუნქციის გრაფიკიდან x | ოფსეტური ერთეულებით Oy ღერძის გასწვრივ.

ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება ერთ წერტილშია > - 1; აქედან გამომდინარე, განტოლებას (1) პარამეტრის ამ მნიშვნელობებისთვის აქვს ერთი გამოსავალი.

იყიდება = - 1, ა = - 2 გრაფიკი იკვეთება ორ წერტილზე; ამრიგად, პარამეტრის ამ მნიშვნელობებისთვის, განტოლებას (1) აქვს ორი ფესვი.
ზე - 2< ა< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

პასუხი: თუ ა > - 1, შემდეგ ერთი ხსნარი;
თუ a = - 1, ა = - 2, შემდეგ ორი ხსნარი;
თუ - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

კომენტარი. პრობლემის განტოლების ამოხსნისას განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს იმ შემთხვევას, როცაა = - 2, ვინაიდან წერტილი (- 1; - 1) არ ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკსმაგრამ ეკუთვნის y = | ფუნქციის გრაფიკს x | +ა.

ამოცანა 4. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას

x + 2 = a | x - 1 |

პარამეტრის მიხედვითა?

გამოსავალი. გაითვალისწინეთ, რომ x = 1 არ არის ამ განტოლების ფესვი, რადგან ტოლობა 3 =ა 0 არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ნებისმიერი პარამეტრის მნიშვნელობისთვისა . განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ |-ზე x - 1 |(| x - 1 |0), შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმასxOy კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ გამოვსახავთ ფუნქციას

ამ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე. y = ფუნქციის გრაფიკია არის სწორი ხაზი Ox-ის ღერძის პარალელურად ან ემთხვევა მას (ამისთვის a = 0).