როგორ ამოხსნათ განტოლებები ე.ლექცია: „ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

დასკვნითი ტესტირებისთვის მომზადების ეტაპზე, საშუალო სკოლის მოსწავლეებმა უნდა გაიუმჯობესონ ცოდნა თემაზე „ექსპონენციალური განტოლებები“. გასული წლების გამოცდილება მიუთითებს, რომ მსგავსი ამოცანები გარკვეულ სირთულეებს უქმნის სკოლის მოსწავლეებს. ამიტომ, საშუალო სკოლის მოსწავლეებს, განურჩევლად მომზადების დონისა, საჭიროა ყურადღებით დაეუფლონ თეორიას, დაიმახსოვრონ ფორმულები და გაიგონ ასეთი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი. მას შემდეგ, რაც ისწავლეს ამ ტიპის ამოცანების შესრულება, კურსდამთავრებულები შეძლებენ მაღალი ქულების დათვლას მათემატიკაში გამოცდის ჩაბარებისას.

მოემზადეთ საგამოცდო ტესტირებისთვის შკოლკოვოსთან ერთად!

გაშუქებული მასალების გამეორებისას ბევრ მოსწავლეს აწყდება განტოლებების ამოსახსნელად საჭირო ფორმულების პოვნის პრობლემა. სასკოლო სახელმძღვანელო ყოველთვის ხელთ არ არის და ინტერნეტში თემის შესახებ საჭირო ინფორმაციის შერჩევას დიდი დრო სჭირდება.

შკოლკოვოს საგანმანათლებლო პორტალი იწვევს სტუდენტებს გამოიყენონ ჩვენი ცოდნის ბაზა. ვახორციელებთ საბოლოო გამოცდისთვის მომზადების სრულიად ახალ მეთოდს. ჩვენს საიტზე სწავლისას, თქვენ შეძლებთ ცოდნის ხარვეზების იდენტიფიცირებას და ყურადღება მიაქციოთ ზუსტად იმ ამოცანებს, რომლებიც იწვევს უდიდეს სირთულეებს.

„შკოლკოვოს“ მასწავლებლებმა შეაგროვეს, სისტემატიზაცია მოახდინეს და წარადგინეს გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის საჭირო ყველა მასალა უმარტივესი და ხელმისაწვდომი ფორმით.

ძირითადი განმარტებები და ფორმულები წარმოდგენილია განყოფილებაში "თეორიული მითითება".

მასალის უკეთ ათვისებისთვის გირჩევთ დავალებების შესრულებას. ყურადღებით გადახედეთ ამ გვერდზე წარმოდგენილი ამონახსნებით ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითებს, რათა გაიგოთ გამოთვლის ალგორითმი. ამის შემდეგ გააგრძელეთ დავალებები "კატალოგების" განყოფილებაში. შეგიძლიათ დაიწყოთ უმარტივესი ამოცანებით ან პირდაპირ გადაჭრათ რთული ექსპონენციალური განტოლებები რამდენიმე უცნობი ან . ჩვენს ვებ-გვერდზე არსებული სავარჯიშოების მონაცემთა ბაზა მუდმივად ივსება და ახლდება.

ის მაგალითები ინდიკატორებით, რამაც სირთულეები შეგიქმნათ, შეიძლება დაემატოს "რჩეულებს". ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ ისინი და განიხილოთ გამოსავალი მასწავლებელთან.

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის ყოველდღე ისწავლეთ შკოლკოვოს პორტალზე!

განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. განტოლებებს ადამიანი უძველესი დროიდან იყენებდა და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. სიმძლავრე ან ექსპონენციალური განტოლებები ეწოდება განტოლებებს, რომლებშიც ცვლადები არიან სიმძლავრეებში, ხოლო ფუძე არის რიცხვი. Მაგალითად:

ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა მოდის 2 საკმაოდ მარტივ ნაბიჯამდე:

1. აუცილებელია შევამოწმოთ, არის თუ არა ერთი და იგივე განტოლების საფუძვლები მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ საფუძვლები არ არის იგივე, ჩვენ ვეძებთ ვარიანტებს ამ მაგალითის გადასაჭრელად.

2. მას შემდეგ, რაც ფუძეები ერთნაირი გახდება, ვაიგივებთ გრადუსებს და ვხსნით მიღებულ ახალ განტოლებას.

დავუშვათ, რომ გვეძლევა შემდეგი ფორმის ექსპონენციალური განტოლება:

ღირს ამ განტოლების ამოხსნის დაწყება ფუძის ანალიზით. ფუძეები განსხვავებულია - 2 და 4, ხოლო ამოხსნისთვის გვჭირდება ისინი ერთნაირი, ამიტომ 4-ს გარდაქმნით შემდეგი ფორმულის მიხედვით - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

დაამატეთ თავდაპირველ განტოლებას:

ამოვიღოთ ფრჩხილები \

ექსპრესი \

იმის გამო, რომ ხარისხები იგივეა, ჩვენ მათ უარვყოფთ:

პასუხი: \

სად შემიძლია ამოვხსნა ექსპონენციალური განტოლება ონლაინ გამხსნელით?

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლება წამებში. თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ უყუროთ ვიდეო ინსტრუქციას და გაიგოთ როგორ ამოხსნათ განტოლება ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს Vkontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

Რა მოხდა ექსპონენციალური განტოლება? ეს არის განტოლება, რომელშიც არის უცნობი (x) და გამოსახულებები მათთან ერთად ინდიკატორებირამდენიმე გრადუსი. და მხოლოდ იქ! Ეს არის მნიშვნელოვანი.

აი შენ ხარ ექსპონენციალური განტოლების მაგალითები:

3 x 2 x = 8 x + 3

Შენიშვნა! გრადუსების საფუძვლებში (ქვემოთ) - მხოლოდ ნომრები. IN ინდიკატორებიგრადუსი (ზემოთ) - გამოთქმების მრავალფეროვნება x-ით. თუ უეცრად x ჩნდება განტოლებაში ინდიკატორის გარდა სხვა ადგილას, მაგალითად:

ეს იქნება შერეული ტიპის განტოლება. ასეთ განტოლებებს არ გააჩნია ამოხსნის მკაფიო წესები. ჩვენ მათ ჯერ არ განვიხილავთ. აქ ჩვენ შევეხებით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნამისი სუფთა სახით.

სინამდვილეში, სუფთა ექსპონენციალური განტოლებებიც კი ყოველთვის არ არის მკაფიოდ ამოხსნილი. მაგრამ არსებობს გარკვეული ტიპის ექსპონენციალური განტოლებები, რომლებიც შეიძლება და უნდა გადაწყდეს. ეს ის ტიპებია, რომლებსაც ჩვენ განვიხილავთ.

უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა.

დავიწყოთ რაღაც ძალიან ძირითადი. Მაგალითად:

ყოველგვარი თეორიის გარეშეც კი, მარტივი შერჩევით ცხადია, რომ x = 2. მეტი არაფერი, არა!? სხვა x მნიშვნელობის რულონები არ არის. ახლა კი მოდით შევხედოთ ამ რთული ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნას:

რა გავაკეთეთ? ჩვენ, ფაქტობრივად, უბრალოდ გამოვყარეთ იგივე ფსკერები (სამები). მთლიანად ამოაგდეს. და, რაც გსიამოვნებს, დაარტყი ნიშანს!

მართლაც, თუ ექსპონენციალურ განტოლებაში მარცხნივ და მარჯვნივ არიან იგივერიცხვები ნებისმიერი ხარისხით, ეს რიცხვები შეიძლება ამოღებულ იქნას და თანაბარი მაჩვენებლები იყოს. მათემატიკა იძლევა საშუალებას. რჩება გაცილებით მარტივი განტოლების ამოხსნა. კარგია, არა?)

თუმცა, ირონიულად გავიხსენოთ: თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ბაზები მხოლოდ მაშინ, როდესაც მარცხნივ და მარჯვნივ ბაზის ნომრები ბრწყინვალე იზოლაციაშია!ყოველგვარი მეზობლებისა და კოეფიციენტების გარეშე. განტოლებებში ვთქვათ:

2 x +2 x + 1 = 2 3, ან

დუბლის ამოღება არ შეიძლება!

ისე, ჩვენ ავითვისეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი. როგორ გადავიდეთ ბოროტი ექსპონენციალური გამონათქვამებიდან მარტივ განტოლებამდე.

"აი ეს დრო!" - შენ ამბობ. „ვინ მისცემს ასეთ პრიმიტივას კონტროლსა და გამოცდებზე!?

აიძულეს დათანხმდეს. არავინ გააკეთებს. მაგრამ ახლა თქვენ იცით, სად უნდა წახვიდეთ დამაბნეველი მაგალითების ამოხსნისას. აუცილებელია გავიხსენოთ ის, როდესაც ერთი და იგივე საბაზისო ნომერია მარცხნივ - მარჯვნივ. მაშინ ყველაფერი უფრო ადვილი იქნება. სინამდვილეში, ეს მათემატიკის კლასიკაა. ჩვენ ვიღებთ ორიგინალურ მაგალითს და გარდაქმნით მას სასურველზე ჩვენგონება. რა თქმა უნდა, მათემატიკის წესების მიხედვით.

განვიხილოთ მაგალითები, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით ძალისხმევას, რათა მათ უმარტივესამდე მივიყვანოთ. მოდით დავურეკოთ მათ მარტივი ექსპონენციალური განტოლებები.

მარტივი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

ექსპონენციური განტოლებების ამოხსნისას ძირითადი წესებია მოქმედებები უფლებამოსილებით.ამ ქმედებების ცოდნის გარეშე, არაფერი იმუშავებს.

ხარისხების მქონე მოქმედებებს უნდა დაემატოს პირადი დაკვირვება და გამომგონებლობა. გვჭირდება იგივე საბაზისო ნომრები? ასე რომ, ჩვენ ვეძებთ მათ მაგალითში აშკარა ან დაშიფრული ფორმით.

ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს პრაქტიკაში?

მოვიყვანოთ მაგალითი:

2 2x - 8 x+1 = 0

პირველი შეხედვით საფუძველი.ისინი... განსხვავებულები არიან! ორი და რვა. მაგრამ ძალიან ადრეა იმედგაცრუება. დროა გავიხსენოთ ეს

ორი და რვა ხარისხით ნათესავები არიან.) სავსებით შესაძლებელია ჩავწეროთ:

8 x+1 = (2 3) x+1

თუ გავიხსენებთ ფორმულას ძალაუფლების მქონე მოქმედებებიდან:

(a n) m = a nm,

ზოგადად მშვენივრად მუშაობს:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ორიგინალური მაგალითი ასე გამოიყურება:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

გადავიტანთ 2 3 (x+1)მარჯვნივ (არავინ გააუქმა მათემატიკის ელემენტარული მოქმედებები!), ვიღებთ:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

ეს პრაქტიკულად ყველაფერია. ბაზების ამოღება:

ჩვენ ამ ურჩხულს მოვაგვარებთ და ვიღებთ

ეს არის სწორი პასუხი.

ამ მაგალითში ორი ძალის ცოდნა დაგვეხმარა. ჩვენ იდენტიფიცირებულირვაში, დაშიფრული დუისი. ეს ტექნიკა (საერთო ფუძეების დაშიფვრა სხვადასხვა რიცხვებში) ძალიან პოპულარული ხრიკია ექსპონენციალურ განტოლებებში! დიახ, თუნდაც ლოგარითმებში. ადამიანს უნდა შეეძლოს სხვა რიცხვების ძალაუფლების ამოცნობა რიცხვებში. ეს ძალზე მნიშვნელოვანია ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად.

ფაქტია, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნებისმიერ ძალაზე აწევა პრობლემა არ არის. გაამრავლე თუნდაც ფურცელზე და სულ ესაა. მაგალითად, ყველას შეუძლია აწიოს 3 მეხუთე ხარისხზე. 243 გამოვა, თუ თქვენ იცით გამრავლების ცხრილი.) მაგრამ ექსპონენციალურ განტოლებებში, ბევრად უფრო ხშირად საჭიროა არა სიმძლავრის აწევა, არამედ პირიქით ... რა რიცხვი რამდენადიმალება 243 ნომრის მიღმა, ან, ვთქვათ, 343... აქ არც ერთი კალკულატორი არ დაგეხმარება.

თქვენ უნდა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ძალა მხედველობით, დიახ... ვივარჯიშოთ?

დაადგინეთ რა ძალა და რა რიცხვია რიცხვები:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

პასუხები (არეულად, რა თქმა უნდა!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

თუ კარგად დააკვირდებით, უცნაურ ფაქტს შეამჩნევთ. მეტი პასუხია ვიდრე კითხვა! ისე, ეს ხდება... მაგალითად, 2 6, 4 3, 8 2 არის სულ 64.

დავუშვათ, რომ თქვენ გაითვალისწინეთ ინფორმაცია რიცხვების გაცნობის შესახებ.) შეგახსენებთ, რომ ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად ვიყენებთ მთელიმათემატიკური ცოდნის მარაგი. მათ შორის დაბალი და საშუალო კლასებიდან. პირდაპირ საშუალო სკოლაში არ წახვედი, არა?

მაგალითად, ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება ძალიან ხშირად გვეხმარება (გამარჯობა მე-7 კლასს!). ვნახოთ მაგალითი:

3 2x+4 -11 9 x = 210

და ისევ, პირველი შეხედვა - ნიადაგზე! გრადუსების საფუძვლები განსხვავებულია... სამი და ცხრა. და ჩვენ გვინდა, რომ ისინი იყვნენ იგივე. ისე, ამ შემთხვევაში, სურვილი სავსებით შესაძლებელია!) რადგან:

9 x = (3 2) x = 3 2x

იგივე წესების მიხედვით მოქმედებების ხარისხით:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

მშვენიერია, შეგიძლიათ დაწეროთ:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

იგივე მიზეზების გამო მოვიყვანეთ მაგალითი. მაშ, რა არის შემდეგი!? სამების ამოგდება არ შეიძლება... ჩიხი?

Არაფერს. გავიხსენოთ ყველაზე უნივერსალური და ძლიერი გადაწყვეტილების წესი ყველამათემატიკური ამოცანები:

თუ არ იცი რა გააკეთო, გააკეთე რაც შეგიძლია!

უყურებ, ყველაფერი ჩამოყალიბებულია).

რა არის ამ ექსპონენციალურ განტოლებაში შეუძლიაკეთება? დიახ, მარცხენა მხარე პირდაპირ ითხოვს ფრჩხილებს! საერთო კოეფიციენტი 3 2x აშკარად მიანიშნებს ამაზე. ვცადოთ და მერე ვნახოთ:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

მაგალითი სულ უფრო და უფრო უმჯობესდება!

შეგახსენებთ, რომ საფუძვლების აღმოსაფხვრელად საჭიროა სუფთა ხარისხი, ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე. რიცხვი 70 გვაწუხებს. ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს 70-ზე, მივიღებთ:

ოპ-პა! ყველაფერი კარგად იყო!

ეს არის საბოლოო პასუხი.

თუმცა ხდება, რომ იმავე საფუძვლით ტაქსაცია მიიღება, მაგრამ მათი ლიკვიდაცია არა. ეს ხდება სხვა ტიპის ექსპონენციალურ განტოლებებში. მოდით მივიღოთ ეს ტიპი.

ცვლადის ცვლილება ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითები.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

4 x - 3 2 x +2 = 0

პირველი - როგორც ყოველთვის. მოდით გადავიდეთ ბაზაზე. დეუზას.

4 x = (2 2) x = 2 2x

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

და აი ჩვენ დავკიდებთ. წინა ილეთები არ იმუშავებს, არ აქვს მნიშვნელობა როგორ ატრიალებთ მას. ჩვენ მოგვიწევს სხვა ძლიერი და მრავალმხრივი გზის არსენალიდან გამოყვანა. ჰქვია ცვლადი ჩანაცვლება.

მეთოდის არსი საოცრად მარტივია. ერთი რთული ხატის ნაცვლად (ჩვენს შემთხვევაში, 2 x), ჩვენ ვწერთ მეორეს, უფრო მარტივს (მაგალითად, t). ასეთი ერთი შეხედვით უაზრო ჩანაცვლება იწვევს საოცარ შედეგებს!) ყველაფერი უბრალოდ ნათელი და გასაგები ხდება!

ასე რომ მოდით

შემდეგ 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

ჩვენ განტოლებაში ვცვლით ყველა ძალას x-ებით t-ით:

აბა, გათენდება?) ჯერ არ დაგავიწყდათ კვადრატული განტოლებები? ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის საშუალებით, ვიღებთ:

აქ მთავარია არ გავჩერდეთ, როგორც ხდება... ეს ჯერ არ არის პასუხი, x გვჭირდება და არა t. ვუბრუნდებით Xs-ს, ე.ი. ჩანაცვლების გაკეთება. პირველი t 1-ისთვის:

ანუ

ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს, t 2-დან:

ჰმ... მარცხნივ 2 x, მარჯვნივ 1... შეფერხება? დიახ, საერთოდ არა! საკმარისია გვახსოვდეს (ხარისხიანი მოქმედებებიდან, დიახ...) რომ ერთიანობაა ნებისმიერირიცხვი ნულამდე. ნებისმიერი. რაც დაგჭირდებათ, ჩვენ დავდებთ. ჩვენ გვჭირდება ორი. ნიშნავს:

ახლა სულ ესაა. აქვს 2 ფესვი:

ეს არის პასუხი.

ზე ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნაბოლოს ზოგჯერ რაღაც უხერხული გამოთქმა მიიღება. ტიპი:

შვიდიდან, უბრალო ხარისხში გადასასვლელი არ მუშაობს. ნათესავები არ არიან... აქ როგორ ვიყო? ვიღაც შეიძლება დაბნეული იყოს ... მაგრამ ადამიანი, ვინც წაიკითხა ამ საიტზე თემა "რა არის ლოგარითმი?" მხოლოდ ზომიერად გაიღიმეთ და მტკიცე ხელით ჩაწერეთ აბსოლუტურად სწორი პასუხი:

გამოცდაზე „B“ ამოცანებში ასეთი პასუხი არ შეიძლება. საჭიროა კონკრეტული ნომერი. მაგრამ ამოცანებში "C" - მარტივად.

ამ გაკვეთილზე მოცემულია ყველაზე გავრცელებული ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მაგალითები. გამოვყოთ მთავარი.

პრაქტიკული რჩევები:

1. პირველ რიგში ვუყურებთ საფუძველიგრადუსი. ვნახოთ, თუ ისინი არ შეიძლება გაკეთდეს იგივე.შევეცადოთ ამის გაკეთება აქტიური გამოყენებით მოქმედებები უფლებამოსილებით.არ დაგავიწყდეთ, რომ x-ის გარეშე რიცხვები ასევე შეიძლება გადაიზარდოს ძალებად!

2. ვცდილობთ ექსპონენციალური განტოლება მივიყვანოთ იმ ფორმამდე, როცა მარცხენა და მარჯვენა არის იგივერიცხვები ნებისმიერი ხარისხით. Ჩვენ ვიყენებთ მოქმედებები უფლებამოსილებითდა ფაქტორიზაცია.რა შეიძლება დაითვალოს რიცხვებში - ჩვენ ვითვლით.

3. თუ მეორე რჩევამ არ გაამართლა, ვცდილობთ გამოვიყენოთ ცვლადის ჩანაცვლება. შედეგი შეიძლება იყოს განტოლება, რომელიც ადვილად ამოსახსნელია. ყველაზე ხშირად - კვადრატი. ან წილადი, რომელიც ასევე მცირდება კვადრატამდე.

4. ექსპონენციალური განტოლებების წარმატებით ამოსახსნელად საჭიროა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ხარისხები „მხედველობით“.

ჩვეულებისამებრ, გაკვეთილის ბოლოს გიწვევთ მცირეოდენის გადასაჭრელად.) დამოუკიდებლად. მარტივიდან რთულამდე.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა:

Უფრო რთული:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

იპოვნეთ ფესვების პროდუქტი:

2 3-x + 2 x = 9

მოხდა?

კარგად, მაშინ ყველაზე რთული მაგალითი (ის მოგვარებულია, თუმცა, გონებაში ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

რა არის უფრო საინტერესო? მაშინ აქ არის ცუდი მაგალითი თქვენთვის. საკმაოდ გაზრდილი სირთულე. მე მინიშნებით, რომ ამ მაგალითში ზოგავს გამომგონებლობა და ყველა მათემატიკური ამოცანის ამოხსნის ყველაზე უნივერსალური წესი.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

მაგალითი უფრო მარტივია, დასვენებისთვის):

9 2 x - 4 3 x = 0

და დესერტად. იპოვეთ განტოლების ფესვების ჯამი:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Დიახ დიახ! ეს არის შერეული ტიპის განტოლება! რაც ამ გაკვეთილზე არ გავითვალისწინეთ. და რა უნდა ჩაითვალოს მათ, ისინი უნდა ამოხსნან!) ეს გაკვეთილი სავსებით საკმარისია განტოლების ამოსახსნელად. ჰოდა, გამომგონებლობაა საჭირო... დიახ, მეშვიდე კლასი გამოგადგებათ (ეს მინიშნებაა!).

პასუხები (არეულად, გამოყოფილი მძიმით):

1; 2; 3; 4; არ არსებობს გადაწყვეტილებები; 2; -2; -5; 4; 0.

ყველაფერი წარმატებულია? დიდი.

Პრობლემაა? Არაა პრობლემა! სპეციალურ განყოფილებაში 555, ყველა ეს ექსპონენციალური განტოლება ამოხსნილია დეტალური განმარტებებით. რა, რატომ და რატომ. და, რა თქმა უნდა, არის დამატებითი ღირებული ინფორმაცია ყველა სახის ექსპონენციალურ განტოლებასთან მუშაობის შესახებ. არა მარტო ამათ.)

გასათვალისწინებელია ბოლო სახალისო კითხვა. ამ გაკვეთილზე ვიმუშავეთ ექსპონენციალური განტოლებებით. რატომ არ ვთქვი სიტყვა აქ ODZ-ზე?განტოლებებში ეს ძალიან მნიშვნელოვანი რამაა, სხვათა შორის...

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ეს გაკვეთილი განკუთვნილია მათთვის, ვინც ახლახან იწყებს ექსპონენციალური განტოლებების სწავლას. როგორც ყოველთვის, დავიწყოთ განმარტებით და მარტივი მაგალითებით.

თუ ამ გაკვეთილს კითხულობთ, მაშინ მეეჭვება, რომ თქვენ უკვე გაქვთ მინიმუმ მინიმალური გაგება უმარტივესი განტოლებების - წრფივი და კვადრატული: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ და ა.შ. ასეთი კონსტრუქციების გადაწყვეტა აბსოლუტურად აუცილებელია, რათა არ "ჩამოკიდებული" იმ თემაში, რომელსაც ახლა განვიხილავთ.

ასე რომ, ექსპონენციალური განტოლებები. ნება მომეცით მოგცეთ რამდენიმე მაგალითი:

\[((2)^(x))=4;\ quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\ quad ((9)^(x))=- 3\]

ზოგიერთი მათგანი შეიძლება უფრო რთულად მოგეჩვენოთ, ზოგი კი პირიქით, ძალიან მარტივია. მაგრამ ყველა მათგანს ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი აერთიანებს: ისინი შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას $f\left(x \right)=((a)^(x))$. ამრიგად, ჩვენ წარმოგიდგენთ განმარტებას:

ექსპონენციალური განტოლება არის ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას, ე.ი. $((a)^(x))$ ფორმის გამოხატულება. გარდა მითითებული ფუნქციისა, ასეთი განტოლებები შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ სხვა ალგებრულ კონსტრუქციას - მრავალწევრებს, ფესვებს, ტრიგონომეტრიას, ლოგარითმებს და ა.შ.

კარგი მაშინ. გაიგე განმარტება. ახლა ისმის კითხვა: როგორ მოვაგვაროთ მთელი ეს სისულელე? პასუხი არის ერთდროულად მარტივი და რთული.

დავიწყოთ კარგი ამბებით: ბევრ სტუდენტთან ჩემი გამოცდილებიდან შემიძლია ვთქვა, რომ მათი უმეტესობისთვის ექსპონენციალური განტოლებები ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე იგივე ლოგარითმები და მით უმეტეს, ტრიგონომეტრია.

მაგრამ არის ცუდი ამბავიც: ზოგჯერ ყველა სახის სახელმძღვანელოსა და გამოცდის პრობლემების შემდგენელებს "შთაგონება" ეწვევა და მათი ნარკოტიკებით ანთებული ტვინი იწყებს ისეთი სასტიკი განტოლებების გამომუშავებას, რომ პრობლემატური ხდება არა მხოლოდ სტუდენტებისთვის მათი გადაჭრა - ბევრი მასწავლებელიც კი ჩერდება ასეთ პრობლემებზე.

თუმცა სამწუხარო რამეებზე ნუ ვისაუბრებთ. და დავუბრუნდეთ იმ სამ განტოლებას, რომლებიც მოთხრობის დასაწყისში იყო მოცემული. შევეცადოთ თითოეული მათგანის ამოხსნა.

პირველი განტოლება: $((2)^(x))=4$. აბა, რა ძალამდე უნდა გაიზარდოს ნომერი 2, რომ მივიღოთ ნომერი 4? ალბათ მეორე? ბოლოს და ბოლოს, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — და მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა, ე.ი. მართლაც $x=2$. კარგი, მადლობა, ქუდი, მაგრამ ეს განტოლება იმდენად მარტივი იყო, რომ ჩემს კატასაც კი შეეძლო მისი ამოხსნა. :)

მოდით შევხედოთ შემდეგ განტოლებას:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

მაგრამ აქ ცოტა უფრო რთულია. ბევრმა სტუდენტმა იცის, რომ $((5)^(2))=25$ არის გამრავლების ცხრილი. ზოგიერთი ასევე ეჭვობს, რომ $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ არის არსებითად უარყოფითი მაჩვენებლების განმარტება (მსგავსი ფორმულა $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

დაბოლოს, მხოლოდ რამდენიმე გამოცნობს, რომ ეს ფაქტები შეიძლება გაერთიანდეს და გამოვიდეს შემდეგი შედეგი:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

ამრიგად, ჩვენი ორიგინალური განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\მარჯვენა ისარი ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

ახლა კი ეს უკვე მთლიანად მოგვარებულია! განტოლების მარცხენა მხარეს არის ექსპონენციალური ფუნქცია, განტოლების მარჯვენა მხარეს არის ექსპონენციალური ფუნქცია, მათ გარდა სხვაგან არაფერია. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია ბაზების „გადაგდება“ და ინდიკატორების სულელურად გათანაბრება:

ჩვენ მივიღეთ უმარტივესი წრფივი განტოლება, რომლის ამოხსნაც ნებისმიერ სტუდენტს შეუძლია მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში. კარგი, ოთხ სტრიქონში:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\ბოლო(გასწორება)\]

თუ ვერ გაიგეთ რა მოხდა ბოლო ოთხ სტრიქონში, აუცილებლად დაუბრუნდით თემას „წრფივი განტოლებები“ და გაიმეორეთ. რადგან ამ თემის მკაფიო ასიმილაციის გარეშე, თქვენთვის ნაადრევია ექსპონენციალური განტოლებების მიღება.

\[((9)^(x))=-3\]

აბა, როგორ გადაწყვიტე? პირველი ფიქრი: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, ასე რომ ორიგინალური განტოლება შეიძლება გადაიწეროს ასე:

\[((\ მარცხენა (((3)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))=-3\]

შემდეგ გავიხსენებთ, რომ ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას ინდიკატორები მრავლდება:

\[((\ მარცხენა (((3)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))=(3)^(2x))\მარჯვენა ისარი ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\ბოლო(გასწორება)\]

და ასეთი გადაწყვეტილების მისაღებად, ჩვენ მივიღებთ პატიოსნად დამსახურებულ დეუსს. ჩვენ, პოკემონის სიმშვიდით, სამის წინ მინუს ნიშანი გავუგზავნეთ სწორედ ამ სამს. და თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება. და ამიტომ. შეხედეთ სამეულის სხვადასხვა ძალას:

\[\begin(მატრიცა) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(მატრიცა)\]

ამ ტაბლეტის შედგენისას, როგორც კი გავაკეთე, არ გავუსწორებდი: დადებით ხარისხებს ვთვლიდი, უარყოფითებს და წილადებსაც კი... აბა, სად არის აქ მინიმუმ ერთი უარყოფითი რიცხვი? Იგი არ არის! და ეს არ შეიძლება იყოს, რადგან ექსპონენციალური ფუნქცია $y=((a)^(x))$, პირველ რიგში, ყოველთვის იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს (რაც არ უნდა გაამრავლოთ ერთი ან გაყოთ ორზე, ის მაინც იქნება დადებითი რიცხვი) და მეორეც, ასეთი ფუნქციის საფუძველი, რიცხვი $a$, განსაზღვრებით დადებითი რიცხვია!

აბა, როგორ ამოხსნათ განტოლება $((9)^(x))=-3$? არა, ფესვები არ არსებობს. და ამ თვალსაზრისით, ექსპონენციალური განტოლებები ძალიან ჰგავს კვადრატულ განტოლებებს - შეიძლება ასევე არ იყოს ფესვები. მაგრამ თუ კვადრატულ განტოლებებში ფესვების რაოდენობა განისაზღვრება დისკრიმინანტით (დისკრიმინანტი დადებითია - 2 ფესვი, უარყოფითი - ფესვები არ არის), მაშინ ექსპონენციურ განტოლებებში ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა არის ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ.

ამრიგად, ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ ძირითადი დასკვნა: $((a)^(x))=b$ ფორმის უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას აქვს ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ $b>0$. იცოდეთ ეს მარტივი ფაქტი, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად განსაზღვროთ, აქვს თუ არა თქვენთვის შემოთავაზებულ განტოლებას ფესვები. იმათ. ღირს თუ არა მისი გადაჭრა საერთოდ ან დაუყოვნებლივ დაწერეთ, რომ ფესვები არ არსებობს.

ეს ცოდნა ბევრჯერ დაგვეხმარება, როცა უფრო რთული პრობლემების გადაჭრა მოგვიწევს. იმავდროულად, საკმარისი ლექსები - დროა შევისწავლოთ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ძირითადი ალგორითმი.

როგორ ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ პრობლემა. აუცილებელია ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

"გულუბრყვილო" ალგორითმის მიხედვით, რომელიც ადრე გამოვიყენეთ, აუცილებელია რიცხვი $b$ წარმოვიდგინოთ $a$ რიცხვის ხარისხად:

გარდა ამისა, თუ $x$ ცვლადის ნაცვლად არის რაიმე გამოხატულება, მივიღებთ ახალ განტოლებას, რომლის ამოხსნაც უკვე შესაძლებელია. Მაგალითად:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\მარჯვენა ისარი ((3)^(-x))=((3)^(4))\მარჯვენა ისარი -x=4\მარჯვენა ისარი x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\მარჯვენა ისარი ((5)^(2x))=(5)^(3))\მარჯვენა ისარი 2x=3\მარჯვენა ისარი x=\frac(3)( 2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

და უცნაურად საკმარისია, რომ ეს სქემა მუშაობს დაახლოებით 90% შემთხვევაში. მერე დანარჩენი 10% რას იტყვით? დანარჩენი 10% არის ფორმის ოდნავ „შიზოფრენიული“ ექსპონენციალური განტოლებები:

\[((2)^(x))=3;\ოთხი ((5)^(x))=15;\ოთხი ((4)^(2x))=11\]

რა სიმძლავრემდე გჭირდებათ 2-ის აწევა 3-ის მისაღებად? Პირველად? მაგრამ არა: $((2)^(1))=2$ არ არის საკმარისი. მეორეში? არც ერთი: $((2)^(2))=4$ ძალიან ბევრია. Რა იქნება შემდეგ?

მცოდნე სტუდენტებმა, ალბათ, უკვე გამოიცნეს: ასეთ შემთხვევებში, როდესაც შეუძლებელია „ლამაზად“ ამოხსნა, „მძიმე არტილერია“ დაკავშირებულია საქმესთან - ლოგარითმებთან. შეგახსენებთ, რომ ლოგარითმების გამოყენებით, ნებისმიერი დადებითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერი სხვა დადებითი რიცხვის ხარისხად (გარდა ერთისა):

გახსოვთ ეს ფორმულა? როცა ჩემს სტუდენტებს ვეუბნები ლოგარითმების შესახებ, მე ყოველთვის გაფრთხილებ: ეს ფორმულა (ის ასევე არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა ან, თუ გნებავთ, ლოგარითმის განმარტება) ძალიან დიდხანს დაგდევნის და ყველაზე მეტად „გაჩნდება“. მოულოდნელი ადგილები. ისე, ის გამოჩნდა. მოდით შევხედოთ ჩვენს განტოლებას და ამ ფორმულას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((2)^(x))=3 \\& a=((ბ)^((\log )_(ბ))ა)) \\\ბოლო(გასწორება) \]

თუ ვივარაუდებთ, რომ $a=3$ არის ჩვენი ორიგინალური რიცხვი მარჯვნივ და $b=2$ არის ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი, რომელსაც ასე გვინდა შევამციროთ მარჯვენა მხარე, მივიღებთ შემდეგს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& a=((ბ)^(((\log )_(ბ))ა))\მარჯვენა ისარი 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\მარჯვენა ისარი ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\მარჯვენა ისარი x=( (\log )_(2))3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მივიღეთ ოდნავ უცნაური პასუხი: $x=((\log )_(2))3$. სხვა ამოცანისას, ასეთი პასუხით, ბევრს შეეპარება ეჭვი და დაიწყებს გადაწყვეტის ორჯერ შემოწმებას: რა იქნებოდა, თუ სადმე შეცდომა იყო? მე მეჩქარება გაგახაროთ: აქ შეცდომა არ არის და ლოგარითმები ექსპონენციალური განტოლებების ფესვებში საკმაოდ ტიპიური სიტუაციაა. ასე რომ შეეგუე. :)

ახლა ჩვენ ანალოგიით ვხსნით დარჩენილ ორ განტოლებას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((5)^(x))=15\მარჯვენა ისარი ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \მარჯვენა ისარი x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\მარჯვენა ისარი ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\მარჯვენა ისარი 2x=( (\log )_(4))11\მარჯვენა ისარი x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! სხვათა შორის, ბოლო პასუხი შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს:

სწორედ ჩვენ შევიტანეთ მულტიპლიკატორი ლოგარითმის არგუმენტში. მაგრამ არავინ გვიშლის ხელს ამ ფაქტორის ბაზაზე დამატებაში:

უფრო მეტიც, სამივე ვარიანტი სწორია - ისინი უბრალოდ ერთი და იგივე რიცხვის ჩაწერის სხვადასხვა ფორმაა. რომელი აირჩიოთ და ჩაწეროთ ამ გადაწყვეტილებაში, თქვენზეა დამოკიდებული.

ამრიგად, ჩვენ ვისწავლეთ $((a)^(x))=b$ ფორმის ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა, სადაც რიცხვები $a$ და $b$ მკაცრად დადებითია. თუმცა, ჩვენი სამყაროს მკაცრი რეალობა ის არის, რომ ასეთი მარტივი ამოცანები ძალიან, ძალიან იშვიათად შეგხვდებათ. უფრო ხშირად შეგხვდებათ მსგავსი რამ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აბა, როგორ გადაწყვიტე? შეიძლება ეს საერთოდ გადაწყდეს? და თუ ასეა, როგორ?

არანაირი პანიკა. ყველა ეს განტოლება სწრაფად და მარტივად მცირდება იმ მარტივ ფორმულებამდე, რომელიც უკვე განვიხილეთ. თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ, რომ გახსოვდეთ რამდენიმე ხრიკი ალგებრის კურსიდან. და რა თქმა უნდა, აქ დიპლომებთან მუშაობის წესები არ არსებობს. ამ ყველაფერზე ახლა ვისაუბრებ. :)

ექსპონენციალური განტოლებების ტრანსფორმაცია

პირველი, რაც უნდა გვახსოვდეს, არის ის, რომ ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლება, რაც არ უნდა რთული იყოს ის, ამა თუ იმ გზით უნდა დაიყვანოს უმარტივეს განტოლებამდე - სწორედ ისეთ განტოლებამდე, რომელიც უკვე განვიხილეთ და რომლის ამოხსნაც ვიცით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნის სქემა ასე გამოიყურება:

ჩაწერეთ ორიგინალური განტოლება. მაგალითად: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
გააკეთე რაღაც სისულელე. ან თუნდაც რაღაც სისულელე სახელწოდებით "განტოლების გარდაქმნა";
გამოსავალზე მიიღეთ უმარტივესი გამონათქვამები, როგორიცაა $((4)^(x))=4$ ან სხვა მსგავსი. უფრო მეტიც, ერთ საწყის განტოლებას შეუძლია ერთდროულად რამდენიმე ასეთი გამონათქვამის მიცემა.

პირველი პუნქტით ყველაფერი ნათელია - ჩემს კატასაც კი შეუძლია ფოთოლზე დაწეროს განტოლება. მესამე პუნქტითაც, როგორც ჩანს, მეტ-ნაკლებად გასაგებია - ზემოთ უკვე მოვაგვარეთ ასეთი განტოლებების მთელი თაიგული.

მაგრამ რაც შეეხება მეორე პუნქტს? რა არის გარდაქმნები? რა გადავიყვანოთ რაზე? Და როგორ?

აბა, მოდი გავარკვიოთ. პირველ რიგში, მინდა აღვნიშნო შემდეგი. ყველა ექსპონენციალური განტოლება იყოფა ორ ტიპად:

განტოლება შედგება იგივე ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციებისგან. მაგალითი: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
ფორმულა შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციებს სხვადასხვა ფუძით. მაგალითები: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ და $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

დავიწყოთ პირველი ტიპის განტოლებებით – მათი ამოხსნა ყველაზე მარტივია. და მათ გადაწყვეტაში დაგვეხმარება ისეთი ტექნიკა, როგორიცაა სტაბილური გამონათქვამების შერჩევა.

სტაბილური გამოხატვის ხაზგასმა

მოდით კიდევ ერთხელ შევხედოთ ამ განტოლებას:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

რას ვხედავთ? ოთხივე ამაღლებულია სხვადასხვა ხარისხით. მაგრამ ყველა ეს ძალა არის $x$ ცვლადის მარტივი ჯამები სხვა რიცხვებთან. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია გახსოვდეთ ხარისხებთან მუშაობის წესები:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a) )^(y))). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, მაჩვენებლების დამატება შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხების ნამრავლად, ხოლო გამოკლება ადვილად გარდაიქმნება გაყოფად. შევეცადოთ გამოვიყენოთ ეს ფორმულები ჩვენი განტოლების ძალებზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ ხელახლა ვწერთ თავდაპირველ განტოლებას ამ ფაქტის გათვალისწინებით და შემდეგ ვაგროვებთ მარცხნივ ყველა ტერმინს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -თერთმეტი; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველი ოთხი ტერმინი შეიცავს ელემენტს $((4)^(x))$ - მოდით ამოვიღოთ იგი ფრჩხილიდან:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \მარჯვნივ)=-11. \\\ბოლო (გასწორება)\]

რჩება განტოლების ორივე მხარის გაყოფა $-\frac(11)(4)$ წილადზე, ე.ი. არსებითად გავამრავლოთ შებრუნებულ წილადზე - $-\frac(4)(11)$. ჩვენ ვიღებთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \მარჯვნივ)\cdot \left(-\frac(4)(11) \მარჯვნივ )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! თავდაპირველი განტოლება შევამცირეთ უმარტივესამდე და მივიღეთ საბოლოო პასუხი.

ამავდროულად, ამოხსნის პროცესში აღმოვაჩინეთ (და ამოიღეთ კიდეც ფრჩხილიდან) საერთო ფაქტორი $((4)^(x))$ - ეს არის სტაბილური გამოხატულება. ის შეიძლება დაინიშნოს როგორც ახალი ცვლადი, ან შეგიძლიათ უბრალოდ ზუსტად გამოხატოთ და მიიღოთ პასუხი. ნებისმიერ შემთხვევაში, გადაწყვეტის ძირითადი პრინციპი შემდეგია:

იპოვეთ თავდაპირველ განტოლებაში სტაბილური გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომელიც ადვილად გამოირჩევა ყველა ექსპონენციალური ფუნქციისგან.

კარგი ამბავი ის არის, რომ თითქმის ყველა ექსპონენციალური განტოლება აღიარებს ასეთ სტაბილურ გამონათქვამს.

მაგრამ ცუდი ამბავი ის არის, რომ ეს გამონათქვამები შეიძლება ძალიან რთული იყოს და მათი გარჩევა საკმაოდ რთულია. მოდით შევხედოთ სხვა პრობლემას:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

ალბათ ვინმეს ახლა გაუჩნდება კითხვა: „ფაშა, ჩაქოლეს? აქ არის სხვადასხვა ბაზები - 5 და 0.2. ოღონდ ვცადოთ სიმძლავრის გადაქცევა ბაზისით 0.2. მაგალითად, მოვიშოროთ ათობითი წილადი, მივიყვანოთ ის ჩვეულებრივზე:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(2)(10 ) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)) )\]

როგორც ხედავთ, რიცხვი 5 მაინც გამოჩნდა, თუმცა მნიშვნელში. ამავდროულად, ინდიკატორი გადაიწერა როგორც უარყოფითი. ახლა კი გავიხსენებთ ხარისხებთან მუშაობის ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან წესს:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^( -\left(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(5)(1) \მარჯვნივ))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

აი, რა თქმა უნდა, ცოტა მოვიტყუე. იმის გამო, რომ სრული გაგებისთვის, უარყოფითი ინდიკატორებისგან თავის დაღწევის ფორმულა უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \მარჯვნივ))^(n ))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(5)(1) \ მარჯვნივ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

მეორეს მხრივ, არაფერი შეგვეშალა მხოლოდ ერთ წილადთან მუშაობაში:

\[((\left(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\left(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(((5)^(-1)) \ მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((5)^(\ მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(-\left(x+1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ) ))=((5)^(x+1))\]

მაგრამ ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეძლოთ ხარისხის სხვა ხარისხით აწევა (შეგახსენებთ: ამ შემთხვევაში ინდიკატორები ემატება). მაგრამ მე არ მომიწია წილადების „გადაბრუნება“ - ალბათ ვინმესთვის ეს უფრო ადვილი იქნება. :)

ნებისმიერ შემთხვევაში, ორიგინალური ექსპონენციალური განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ასე რომ, გამოდის, რომ ორიგინალური განტოლება კიდევ უფრო ადვილია ამოსახსნელი, ვიდრე ადრე განხილული: აქ თქვენ არც კი გჭირდებათ სტაბილური გამოთქმის გამოყოფა - ყველაფერი თავისთავად შემცირდა. რჩება მხოლოდ გვახსოვდეს, რომ $1=((5)^(0))$, საიდანაც ვიღებთ:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი! მივიღეთ საბოლოო პასუხი: $x=-2$. ამავდროულად, მინდა აღვნიშნო ერთი ხრიკი, რომელმაც მნიშვნელოვნად გაამარტივა ჩვენთვის ყველა გამოთვლა:

ექსპონენციურ განტოლებებში აუცილებლად მოიშორეთ ათობითი წილადები, გადათარგმნეთ ისინი ჩვეულებრივად. ეს საშუალებას მოგცემთ დაინახოთ გრადუსების იგივე საფუძვლები და მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ გამოსავალი.

ახლა მოდით გადავიდეთ უფრო რთულ განტოლებებზე, რომლებშიც არის სხვადასხვა ფუძე, რომლებიც, როგორც წესი, არ შემცირდება ერთმანეთის მიმართ ძალების გამოყენებით.

მაჩვენებლის თვისების გამოყენება

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ გვაქვს კიდევ ორი განსაკუთრებით მკაცრი განტოლება:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აქ მთავარი სირთულე ის არის, რომ გაუგებარია რა და რის საფუძველზე მივიყვანოთ. სად არის ფიქსირებული გამონათქვამები? სად არის საერთო საფუძველი? ეს არ არსებობს.

მაგრამ შევეცადოთ სხვა გზით წავიდეთ. თუ არ არსებობს მზა იდენტური ბაზები, შეგიძლიათ სცადოთ მათი პოვნა ხელმისაწვდომი ბაზების ფაქტორინგით.

დავიწყოთ პირველი განტოლებით:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\მარჯვენა ისარი ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \მარჯვნივ))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ პირიქით - შეადგინეთ რიცხვი 21 ნომრებიდან 7 და 3. განსაკუთრებით ადვილია ამის გაკეთება მარცხნივ, რადგან ორივე ხარისხის ინდიკატორები ერთნაირია:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\ მარცხნივ(7\cdot 3 \მარჯვნივ))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! თქვენ ამოიღეთ მაჩვენებლები პროდუქტიდან და მაშინვე მიიღეთ ლამაზი განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა მოდით საქმე მეორე განტოლებაზე. აქ ყველაფერი ბევრად უფრო რთულია:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \მარჯვნივ))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ამ შემთხვევაში წილადები შეუქცევადი აღმოჩნდა, მაგრამ თუ რამის შემცირება შეიძლებოდა, აუცილებლად შეამცირეთ. ეს ხშირად იწვევს საინტერესო საფუძვლებს, რომლებთანაც უკვე შეგიძლიათ მუშაობა.

სამწუხაროდ, არაფერი გამოგვივიდა. მაგრამ ჩვენ ვხედავთ, რომ პროდუქტში მარცხნივ მაჩვენებლები საპირისპიროა:

შეგახსენებთ: მაჩვენებლის მინუს ნიშნის მოსაშორებლად, თქვენ უბრალოდ უნდა "გადატრიალოთ" წილადი. მოდით გადავიწეროთ ორიგინალური განტოლება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \მარჯვნივ))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\ left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \მარჯვნივ))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე სტრიქონში, ჩვენ უბრალოდ დავაფიქსირეთ ჯამი პროდუქტიდან $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) წესის მიხედვით ))^ (x))$ და ამ უკანასკნელში უბრალოდ ამრავლეს რიცხვი 100 წილადზე.

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ მარცხნივ (ძირში) და მარჯვნივ რიცხვები გარკვეულწილად მსგავსია. Როგორ? დიახ, ცხადია: ისინი ერთნაირი რაოდენობის ძალები არიან! Ჩვენ გვაქვს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \მარჯვნივ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\left(\frac(3)(10) \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[((\ left(((\ left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3)) \მარჯვნივ))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \მარჯვნივ))^(2))\]

\[((\ left(((\ left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3)) \მარჯვნივ))^(x-1))=((\ left(\frac(10 )(3) \მარჯვნივ))^(3\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3x-3))\]

ამავდროულად, მარჯვნივ, თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ ხარისხი იმავე ფუძით, რისთვისაც საკმარისია მხოლოდ წილადის „გადაბრუნება“:

\[((\left(\frac(3)(10) \მარჯვნივ))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(-2))\]

საბოლოოდ, ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3x-3))=((\მარცხნივ(\frac(10)(3) \მარჯვნივ)) ^ (-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac (1) (3). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი. მისი მთავარი იდეა ემყარება იმ ფაქტს, რომ თუნდაც სხვადასხვა მიზეზის გამო, ჩვენ ვცდილობთ, რომ ეს მიზეზები ერთსა და იმავეზე დავიყვანოთ. ამაში გვეხმარება განტოლებების ელემენტარული გარდაქმნები და ძალებთან მუშაობის წესები.

მაგრამ რა წესები და როდის გამოვიყენოთ? როგორ გავიგოთ, რომ ერთ განტოლებაში საჭიროა ორივე მხარის გაყოფა რაღაცაზე, ხოლო მეორეში - ექსპონენციური ფუნქციის ფუძის დაშლა ფაქტორებად?

ამ კითხვაზე პასუხი გამოცდილებით მოვა. სცადეთ თქვენი ხელი ჯერ მარტივ განტოლებებზე, შემდეგ კი თანდათან გაართულეთ დავალებები - და ძალიან მალე თქვენი უნარები იქნება საკმარისი იმისათვის, რომ ამოხსნათ ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლება იმავე USE-დან ან ნებისმიერი დამოუკიდებელი / სატესტო სამუშაოდან.

და დაგეხმაროთ ამ რთულ ამოცანაში, მე გთავაზობთ ჩამოტვირთოთ განტოლებების ნაკრები ჩემს ვებსაიტზე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. ყველა განტოლებას აქვს პასუხი, ასე რომ თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ საკუთარი თავი.

მაგალითები:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

როგორ ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები

ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნისას, ჩვენ ვცდილობთ მივიყვანოთ ის ფორმამდე $a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $, შემდეგ კი გადავიდეთ ინდიკატორების თანასწორობაზე, ანუ:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

Მაგალითად:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

Მნიშვნელოვანი! იგივე ლოგიკით, ასეთი გადასვლისთვის ორი მოთხოვნა მოდის:
- ნომერი შევიდა მარცხენა და მარჯვენა უნდა იყოს იგივე;
- მარცხნივ და მარჯვნივ გრადუსი უნდა იყოს "სუფთა"ანუ არ უნდა იყოს არცერთი, გამრავლება, გაყოფა და ა.შ.

Მაგალითად:

განტოლების გამოსატანად ფორმაში $a^(f(x))=a^(g(x))$ და გამოიყენება.

მაგალითი . ამოხსენით ექსპონენციალური განტოლება $\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
გამოსავალი:

$\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

ჩვენ ვიცით, რომ $27 = 3^3$. ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვცვლით განტოლებას.

$\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

ფესვის თვისებით $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ ვიღებთ, რომ $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. გარდა ამისა, ხარისხის თვისების გამოყენებით $(a^b)^c=a^(bc)$, ვიღებთ $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

ჩვენ ასევე ვიცით, რომ $a^b a^c=a^(b+c)$. ამის მარცხენა მხარეს გამოყენებისას მივიღებთ: $3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)$.

$3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

ახლა გახსოვდეთ, რომ: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$. ეს ფორმულა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპიროდ: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$. შემდეგ $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$.

$3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)$

თვისების $(a^b)^c=a^(bc)$ მარჯვენა მხარეს გამოყენებისას მივიღებთ: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$.

$3^(x+0.5)=3^(-2x)$

ახლა კი გვაქვს საფუძვლები ტოლი და არ არის ჩარევის კოეფიციენტები და ა.შ. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ.

მაგალითი . ამოხსენით ექსპონენციალური განტოლება $4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$
გამოსავალი:

$4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$		კვლავ ვიყენებთ ხარისხის თვისებას $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ საპირისპირო მიმართულებით.
$4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0$		ახლა გახსოვდეთ, რომ $4=2^2$.
$(2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0$		ხარისხის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.$
$2 (2^x)^2-5 2^x+2=0$		ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ განტოლებას და ვხედავთ, რომ ჩანაცვლება $t=2^x$ აქ თავისთავად გვთავაზობს.

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		თუმცა, ჩვენ ვიპოვნეთ მნიშვნელობები $t$ და გვჭირდება $x$. ჩვენ ვუბრუნდებით X-ს, ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		მეორე განტოლების გარდაქმნა უარყოფითი სიმძლავრის თვისების გამოყენებით...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		...და გადაჭრით პასუხამდე.
$x_1=1$ $x_2=-1$

უპასუხე : $-1; 1$.

რჩება კითხვა - როგორ გავიგოთ, როდის რომელი მეთოდის გამოყენება? გააჩნია გამოცდილებას. ამასობაში, არ გამოგიმუშავებიათ, გამოიყენეთ ზოგადი რეკომენდაცია რთული პრობლემების გადასაჭრელად – „თუ არ იცი რა გააკეთო – გააკეთე რაც შეგიძლია“. ანუ, მოძებნეთ როგორ შეგიძლიათ პრინციპში გარდაქმნას განტოლება და სცადეთ ამის გაკეთება - რა მოხდება, თუ ის გამოვა? მთავარია გავაკეთოთ მხოლოდ მათემატიკურად გამართლებული გარდაქმნები.

ექსპონენციალური განტოლებები ამონახსნების გარეშე

მოდით შევხედოთ კიდევ ორ სიტუაციას, რომლებიც ხშირად აბნევს სტუდენტებს:
- ხარისხზე დადებითი რიცხვი უდრის ნულს, მაგალითად, $2^x=0$;
- ხარისხზე დადებითი რიცხვი უდრის უარყოფით რიცხვს, მაგალითად, $2^x=-4$.

ვცადოთ მისი გადაჭრა უხეში ძალით. თუ x დადებითი რიცხვია, მაშინ როცა x იზრდება, მთელი სიმძლავრე $2^x$ მხოლოდ გაიზრდება:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$.

$x=0$; $2^0=1$

ასევე წარსული. არის უარყოფითი x-ები. დამახსოვრების თვისება $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$, ჩვენ ვამოწმებთ:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

იმისდა მიუხედავად, რომ რიცხვი ყოველ ნაბიჯზე მცირდება, ის არასოდეს მიაღწევს ნულს. ასე რომ, არც უარყოფითმა ხარისხმა გადაგვარჩინა. მივდივართ ლოგიკურ დასკვნამდე:

ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი დარჩება დადებით რიცხვად.

ამრიგად, ზემოთ მოცემულ ორივე განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

ექსპონენციალური განტოლებები სხვადასხვა ფუძით

პრაქტიკაში, ზოგჯერ არსებობს ექსპონენციალური განტოლებები სხვადასხვა ფუძეებით, რომლებიც არ არის შემცირებული ერთმანეთთან და ამავე დროს ერთი და იგივე მაჩვენებლებით. ისინი ასე გამოიყურება: $a^(f(x))=b^(f(x))$, სადაც $a$ და $b$ დადებითი რიცხვებია.

Მაგალითად:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

ასეთი განტოლებები ადვილად ამოიხსნება განტოლების რომელიმე ნაწილზე გაყოფით (ჩვეულებრივ, მარჯვენა მხარეს, ანუ \ (b ^ (f (x)) \-ზე). დადებითი რიცხვი დადებითია ნებისმიერი ხარისხით (ანუ არ ვყოფთ ნულზე.) მივიღებთ:

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

მაგალითი . ამოხსენით ექსპონენციალური განტოლება $5^(x+7)=3^(x+7)$
გამოსავალი:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		აქ ხუთს ვერ გადავაქცევთ სამად, ან პირიქით (ყოველ შემთხვევაში, გამოყენების გარეშე). ასე რომ, ჩვენ ვერ მივალთ ფორმამდე $a^(f(x))=a^(g(x))$. ამავე დროს, ინდიკატორები იგივეა. მოდით გავყოთ განტოლება მარჯვენა მხარეს, ანუ $3^(x+7)$-ზე (ეს შეგვიძლია, რადგან ვიცით, რომ სამმაგი არ იქნება ნული არც ერთ გრადუსზე).
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		ახლა დაიმახსოვრეთ თვისება $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ და გამოიყენეთ იგი მარცხნიდან საპირისპირო მიმართულებით. მარჯვნივ, ჩვენ უბრალოდ ვამცირებთ წილადს.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		ეს არ ჩანდა უკეთესი. მაგრამ დაიმახსოვრეთ ხარისხის კიდევ ერთი თვისება: $a^0=1$, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: "ნულ ხარისხზე ნებისმიერი რიცხვი უდრის $1$". პირიქითაც მართალია: „ერთეული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ამაღლებულია ნულის ხარისხზე“. ჩვენ ამას ვიყენებთ იმით, რომ ვაკეთებთ ბაზას მარჯვნივ, როგორც მარცხნივ.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		ვოილა! ჩვენ ვიშორებთ საძირკველს.
		ჩვენ ვწერთ პასუხს.

უპასუხე : $-7$.

ზოგჯერ მაჩვენებლების „ერთგვაროვნება“ აშკარა არ არის, მაგრამ ხარისხის თვისებების ოსტატურად გამოყენება წყვეტს ამ საკითხს.

მაგალითი . ამოხსენით ექსპონენციალური განტოლება $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
გამოსავალი:

$7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		განტოლება საკმაოდ სევდიანად გამოიყურება... არამარტო ფუძეები ერთსა და იმავე რიცხვამდე ვერ დაიყვანება (შვიდი არ იქნება $\frac(1)(3)$), ამიტომ ინდიკატორებიც განსხვავებულია... ოღონდ, გამოვიყენოთ მარცხენა ხარისხის დუსის მაჩვენებელი.
$7^(2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		თვისების გათვალისწინებით $(a^b)^c=a^(b c)$ მარცხნივ: $7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		ახლა, როდესაც გავიხსენოთ უარყოფითი სიმძლავრის თვისება $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$, ჩვენ ვაფორმებთ მარჯვნივ: $(\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		ალილუია! ქულები იგივეა! ჩვენთვის უკვე ნაცნობი სქემის მიხედვით ვიმოქმედებთ, პასუხამდე ვწყვეტთ.

უპასუხე : $2$.