წრფივი განტოლებები პარამეტრით

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ უფრო რთულ ამოცანებს პარამეტრთან და გადავწყვეტთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით.

თემა: გამეორება

გაკვეთილი: გრაფიკული მეთოდი ამოცანებში პარამეტრით. პრობლემის გადაჭრის გაგრძელება

1. კვადრატული განტოლების ამოხსნა პარამეტრით გრაფიკული მეთოდით

მაგალითი 1 - იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა a პარამეტრის მიხედვით:

პრობლემის ფორმულირების მიხედვით, ჩვენ არ გვჭირდება ფესვების მნიშვნელობების პოვნა, არამედ მხოლოდ მათი რიცხვი, ჩვენ პრობლემას ვხსნით გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით.

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის დახატვა მარცხენა მხარეს: . ჩვენ ვიცით ამ ფუნქციის გრაფიკი - ეს არის პარაბოლა, ტოტები მიმართულია ზევით, მისი ფესვები მარტივია: , აქედან შეგიძლიათ იპოვოთ წვეროს კოორდინატები:

ბრინჯი. 2. გრაფიკის დისექცია წრფეთა ოჯახის მიხედვით

გრაფიკის დათვალიერებისას ვწერთ პასუხს: არ არსებობს გადაწყვეტილებები; for , განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი; for , განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს.

2. განტოლებების ამოხსნა მოდულებით და პარამეტრით გრაფიკული მეთოდით

მაგალითი 2 - იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა a პარამეტრის მიხედვით:

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის დახატვა მარცხენა მხარეს. ვინაიდან არსებობს მოდული, ჩვენ ჯერ ვხატავთ ქვემოდულის ფუნქციას: . ეს არის პარაბოლა, ტოტები მიმართულია ზემოთ, ფესვები ადვილად გამოცნობთ: , აქედან შეგიძლიათ იპოვოთ წვეროს კოორდინატები: . მოცემული ფუნქციის გრაფიკის აგების შემდეგ ადვილია ფუნქციის გრაფიკის დახატვა მოდულით: , ამისათვის ფუნქციის ყველა უარყოფითი მნიშვნელობა ასახულია x ღერძის გარშემო.

ბრინჯი. 3. ფუნქციების გრაფიკი და

ბრინჯი. 4. გრაფიკის გაკვეთა წრფეთა ოჯახის მიხედვით

გრაფიკის დათვალიერებისას ვწერთ პასუხს: არ არსებობს გადაწყვეტილებები; ორი ხსნარით; ოთხი ხსნარით; სამი ხსნარით.

მაგალითი 3 - იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა a პარამეტრის მიხედვით:

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის დახატვა მარცხენა მხარეს. გასათვალისწინებელია, რომ. პირველ რიგში ვხატავთ ფუნქციას . ეს არის პარაბოლა, ტოტები მიმართულია ზემოთ, ფესვები ადვილად გამოცნობთ: , აქედან შეგიძლიათ იპოვოთ წვეროს კოორდინატები: . მოცემული ფუნქციის გრაფიკის აგების შემდეგ, მოდულით ფუნქციის დახატვა ადვილია . ამისათვის გახსოვდეთ, როგორ გაფართოვდა მოდული. დადებითი x-ისთვის, ის უბრალოდ შეიძლება გაუქმდეს - გრაფის ეს ნაწილი უკვე აშენებულია. უარყოფითი x: , გვაქვს გრაფიკი: . ეს არის პარაბოლა, ტოტები მიმართულია ზევით, ფესვები ადვილად გამოცნობა და ზედა. ეს კონსტრუქცია შეიძლება გაკეთდეს უფრო მარტივად, წესის ცოდნით: დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი მოდულის გარეშე დადებითი x-ისთვის და აჩვენეთ იგი სიმეტრიულად y ღერძის მიმართ. ავაშენოთ:

ბრინჯი. 5. ფუნქციის გრაფიკი

ბრინჯი. 6. გრაფიკის გაკვეთა წრფეთა ოჯახის მიხედვით

გრაფიკის დათვალიერებისას ვწერთ პასუხს: არ არსებობს გადაწყვეტილებები; ზე ორი ფესვი; ოთხი ფესვით; სამი ფესვით.

3. უტოლობების სისტემის ამოხსნა პარამეტრით გრაფიკულად

მაგალითი 4 - ამოხსენით უტოლობების სისტემა პარამეტრით:

სისტემა საკმაოდ რთულად გამოიყურება, მოდით გავამარტივოთ. ამისათვის მოიცილეთ ლოგარითმები და ფესვები. პირველ უტოლობაში შედარებულია ლოგარითმები ერთი და იგივე ფუძის მქონე ლოგარითმების, ჩვენ გვაქვს უფლება გავაუქმოთ ლოგარითმის ნიშანი, ხოლო უტოლობის ნიშანი შევცვალოთ, რადგან ლოგარითმების ფუძე ერთზე ნაკლებია, მაგრამ არ დაგავიწყდეთ დაცვა. სუბლოგარითმული გამოსახულებები (ODZ-ის გათვალისწინებით).

მეორე უტოლობაში ფესვების მოსაშორებლად, ჩვენ კვადრატში ვაქცევთ მას და ისევ არ უნდა დაგვავიწყდეს ODZ-ის გათვალისწინება. Ჩვენ გვაქვს:

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ოთხი უტოლობის სისტემა:

აქ არის მსგავსი წევრები:

ჩვენ ვაშენებთ შედეგად მიღებული ეკვივალენტური სისტემის გრაფიკს. პირველი უტოლობის გამოსავალი არის ვერტიკალური ხაზის მარცხნივ მდებარე ნახევარსიბრტყე, თავად ხაზი არ შედის, რადგან უტოლობა მკაცრია. მეორე უტოლობის გამოსავალი არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს ხაზის ზემოთ, თავად ხაზი არ შედის, რადგან უტოლობა მკაცრია. მესამე უტოლობის ამონახსნი არის ჰორიზონტალური ხაზის ქვეშ მდებარე ნახევრად სიბრტყე, თავად ხაზი არ შედის, რადგან უტოლობა მკაცრია. ბოლო უტოლობის გამოსავალი არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს ხაზის ზემოთ, თავად ხაზი შედის, რადგან უტოლობა არ არის მკაცრი. ჩვენ ვაჩვენებთ:

ბრინჯი. 7. უტოლობათა სისტემის ამოხსნის ილუსტრაცია

იმის გასარკვევად, რომ სისტემის გამოსავალი არის სამკუთხედი, როგორც გრაფიკიდან ჩანს, აუცილებელია გადაკვეთის წერტილების კოორდინატების გარკვევა.

წერტილი A იყოს წრფეების გადაკვეთის წერტილი, იპოვეთ მისი კოორდინატები, ამისათვის ჩვენ ვხსნით სისტემას:

ეს სისტემა ელემენტარულად წყდება ალგებრული დამატების მეთოდით:

B წერტილი იყოს წრფეების გადაკვეთის წერტილი იპოვეთ მისი კოორდინატები, ამისთვის ჩვენ ვხსნით სისტემას.

1. მოსწავლეთა პირადი მოტივაციის განსაზღვრა. განათლების გასაგრძელებლად, თვითგანვითარებისთვის და ინტელექტუალური ზრდისთვის აუცილებელია გულმოდგინედ და შეგნებულად სწავლა და ჯანმრთელობაზე ზრუნვა. 2. „პარამეტრის“ კონცეფციის წვდომა. პარამეტრი - მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს სისტემის ან ფენომენის ცვლილების ძირითად თვისებებს. (ლექსიკონი)

განტოლებებში (უტოლობებში), უცნობი ან თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტებს, რომლებიც მოცემულია არა კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობებით, არამედ ასოებით მითითებული, ეწოდება პარამეტრებს. მაგალითი: პარამეტრით პრობლემის გადაჭრა ნიშნავს, პარამეტრის თითოეული მნიშვნელობისთვის, იპოვოთ x მნიშვნელობები, რომლებიც აკმაყოფილებს ამ პრობლემის პირობას.

X y x y a > 0 a 0, (2 ფესვი) 0 a 0, (2 ძირი)"> 0 a 0, (2 ძირი)"> 0 a 0, (2 ფესვი)" title="x y x y a > 0 a 0, (2 ფესვი)"> title="x y x y a > 0 a 0, (2 ფესვი)"> !}

x უუუუუუუუუჰ

2. როდესაც განტოლება იღებს ფორმას და აქვს ფესვი x \u003d 0. 3. როცა ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ განტოლების ფესვებს პასუხი: როცა ფესვები არ არის; ერთი ფესვით x = 0. ორი ფესვით 1. განტოლების მარცხენა მხარე არაუარყოფითია უცნობი x, ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. არ არის გადაწყვეტილებები. x y 0 y = a "შეხედე!" მეთოდი 1 (ანალიტიკური) მეთოდი 2 (გრაფიკული)

a პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აქვს განტოლებას ერთი ამონახსნი? დავწეროთ განტოლება ფორმით: x დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკები: პასუხი: a \u003d 3 და მოძრავი სწორი ხაზი y \u003d a. ა

a პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები? x y ავაშენოთ გრაფიკი ნახაზის მიხედვით, ჩვენ ვხედავთ და სწორ ხაზს y \u003d a. არ არის გადაწყვეტილებები. პასუხი:

(პარამეტრით ამოცანების ამოხსნის გრაფიკული გზა) პარამეტრის პრობლემა შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციად f (x; a) =0 1. ვაშენებთ გრაფიკულ გამოსახულებას 2. მიღებულ გრაფიკს ვკვეთთ სწორი ხაზებით პარალელურად. x-ღერძი 3. „წაიკითხე“ საჭირო ინფორმაცია ამოხსნის სქემა: !!!

X y y a პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას ორი ფესვი? x y x

1) როდესაც a \u003d 3, მარჯვენა კუთხის წვერო; იპოვეთ a პარამეტრის მთელი მნიშვნელობების ჯამი, რომლის განტოლებას სამი ფესვი აქვს. თავდაპირველი განტოლება B სიმრავლის ექვივალენტურია a პარამეტრის გამოსახატავად ვიღებთ: ნახატიდან ჩანს, რომ განტოლებას სამი ფესვი აქვს 3 შემთხვევაში x a a 1 = 3 a 2 = ? და 3 =? შემდეგ a = = 5. უპასუხეთ. 8. 2) x 4-ისთვის a 2 = 5 a 3 a 3 4, a 2 \u003d 5 a 3 a 3"\u003e

TO ამოცანები პარამეტრითმოიცავს, მაგალითად, წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძიებას ზოგადი ფორმით, არსებული ფესვების რაოდენობის განტოლების შესწავლას, პარამეტრის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დეტალური განმარტებების გარეშე, განიხილეთ შემდეგი განტოლებები მაგალითებად:

y = kx, სადაც x, y არის ცვლადები, k არის პარამეტრი;

y = kx + b, სადაც x, y არის ცვლადები, k და b არის პარამეტრები;

ax 2 + bx + c = 0, სადაც x არის ცვლადები, a, b და c არის პარამეტრები.

განტოლების (უტოლობა, სისტემა) პარამეტრით ამოხსნა ნიშნავს, როგორც წესი, განტოლებათა უსასრულო სიმრავლის ამოხსნას (უტოლობა, სისტემები).

პარამეტრის მქონე ამოცანები პირობითად შეიძლება დაიყოს ორ ტიპად:

ა)პირობა ამბობს: გადაწყვიტე განტოლება (უტოლობა, სისტემა) - ეს ნიშნავს, რომ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის იპოვეთ ყველა ამონახსნები. თუ ერთი შემთხვევა მაინც რჩება შეუსწავლელი, ასეთი გამოსავალი არ შეიძლება ჩაითვალოს დამაკმაყოფილებლად.

ბ)საჭიროა მიუთითოთ იმ პარამეტრის შესაძლო მნიშვნელობები, რომლისთვისაც განტოლებას (უტოლობა, სისტემა) აქვს გარკვეული თვისებები. მაგალითად, მას აქვს ერთი ამონახსნი, არ აქვს ამონახსნები, აქვს ამონახსნები, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს და ა.შ. ასეთ ამოცანებში აუცილებელია მკაფიოდ მიეთითოს პარამეტრის რა მნიშვნელობაზეა დაკმაყოფილებული საჭირო პირობა.

პარამეტრს, როგორც უცნობი ფიქსირებული რიცხვი, აქვს, თითქოს, განსაკუთრებული ორმაგი. უპირველეს ყოვლისა, გასათვალისწინებელია, რომ სავარაუდო პოპულარობა ვარაუდობს, რომ პარამეტრი უნდა იქნას აღქმული როგორც რიცხვი. მეორეც, პარამეტრის დამუშავების თავისუფლება შეზღუდულია მისი უცნობით. ასე, მაგალითად, გამონათქვამზე გაყოფის ოპერაციები, რომელშიც არის პარამეტრი, ან მსგავსი გამონათქვამიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება მოითხოვს წინასწარ კვლევას. ამიტომ, სიფრთხილე უნდა იქნას მიღებული პარამეტრის დამუშავებისას.

მაგალითად, ორი რიცხვის -6a და 3a შესადარებლად, სამი შემთხვევა უნდა განიხილებოდეს:

1) -6a იქნება 3a-ზე მეტი, თუ a უარყოფითი რიცხვია;

2) -6a = 3a იმ შემთხვევაში, როდესაც a = 0;

3) -6a იქნება 3a-ზე ნაკლები, თუ a არის დადებითი რიცხვი 0.

გადაწყვეტილება იქნება პასუხი.

მოცემული იყოს განტოლება kx = b. ეს განტოლება არის ერთ ცვლადში განტოლებათა უსასრულო სიმრავლის სტენოგრაფია.

ასეთი განტოლებების ამოხსნისას შეიძლება იყოს შემთხვევები:

1. დავუშვათ k ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი და b ნებისმიერი რიცხვი R-დან, შემდეგ x = b/k.

2. ვთქვათ k = 0 და b ≠ 0, თავდაპირველი განტოლება მიიღებს 0 · x = b ფორმას. ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

3. დავუშვათ k და b ნულის ტოლი რიცხვები, მაშინ გვაქვს ტოლობა 0 · x = 0. მისი ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:

1. განსაზღვრეთ პარამეტრის "საკონტროლო" მნიშვნელობები.

2. ამოხსენით x-ის საწყისი განტოლება იმ პარამეტრის მნიშვნელობებით, რომლებიც განსაზღვრულია პირველ აბზაცში.

3. ამოხსენით ორიგინალური განტოლება x-ისთვის პარამეტრის მნიშვნელობებით, რომლებიც განსხვავდება პირველ აბზაცში შერჩეულიდან.

4. პასუხი შეგიძლიათ ჩამოწეროთ შემდეგი ფორმით:

1) როდესაც ... (პარამეტრის მნიშვნელობა), განტოლებას აქვს ფესვები ...;

2) როდესაც ... (პარამეტრის მნიშვნელობა), განტოლებაში ფესვები არ არის.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლება |6 – x| პარამეტრით = ა.

გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ აქ არის ≥ 0.

მოდულის 6 – x = ±a წესით გამოვხატავთ x:

პასუხი: x = 6 ± a, სადაც a ≥ 0.

მაგალითი 2

ამოხსენით განტოლება a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 x ცვლადის მიმართ.

გამოსავალი.

მოდით გავხსნათ ფრჩხილები: ცული - a + 2x - 2 \u003d 0

დავწეროთ განტოლება სტანდარტული ფორმით: x(a + 2) = a + 2.

თუ გამოხატულება a + 2 არ არის ნული, ანუ თუ a ≠ -2, გვაქვს ამონახსნი x = (a + 2) / (a + 2), ე.ი. x = 1.

თუ a + 2 უდრის ნულს, ე.ი. a \u003d -2, მაშინ გვაქვს სწორი ტოლობა 0 x \u003d 0, ამიტომ x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

პასუხი: x \u003d 1 a ≠ -2-სთვის და x € R a \u003d -2-ისთვის.

მაგალითი 3

ამოხსენით განტოლება x/a + 1 = a + x x ცვლადის მიმართ.

გამოსავალი.

თუ a \u003d 0, მაშინ განტოლებას ვცვლით ფორმაში a + x \u003d a 2 + ax ან (a - 1) x \u003d -a (a - 1). a = 1-ის ბოლო განტოლებას აქვს ფორმა 0 · x = 0, შესაბამისად, x არის ნებისმიერი რიცხვი.

თუ a ≠ 1, მაშინ ბოლო განტოლება მიიღებს x = -a ფორმას.

ეს გამოსავალი შეიძლება ილუსტრირებული იყოს კოორდინატთა ხაზზე (ნახ. 1)

პასუხი: არ არსებობს ამონახსნები a = 0-სთვის; x - ნებისმიერი რიცხვი a = 1-ზე; x \u003d -a ≠ 0-ით და a ≠ 1-ით.

გრაფიკული მეთოდი

განვიხილოთ განტოლებების პარამეტრით ამოხსნის სხვა გზა - გრაფიკული. ეს მეთოდი საკმაოდ ხშირად გამოიყენება.

მაგალითი 4

რამდენ ძირს, a პარამეტრიდან გამომდინარე, აქვს განტოლება ||x| – 2| = ა?

გამოსავალი.

გრაფიკული მეთოდით ამოსახსნელად ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს y = ||x| – 2| და y = a (ნახ. 2).

ნახაზზე ნათლად ჩანს y = a წრფის მდებარეობის შესაძლო შემთხვევები და თითოეულ მათგანში ფესვების რაოდენობა.

პასუხი: განტოლებას არ ექნება ფესვები, თუ ა< 0; два корня будет в случае, если a >2 და a = 0; განტოლებას სამი ფესვი ექნება a = 2 შემთხვევაში; ოთხი ფესვი - 0-ზე< a < 2.

მაგალითი 5

რისთვისაც a არის განტოლება 2|x| + |x – 1| = a-ს აქვს ერთი ფესვი?

გამოსავალი.

დავხატოთ y = 2|x| ფუნქციების გრაფიკები + |x – 1| და y = a. y = 2|x| + |x - 1|, მოდულების გაფართოებით უფსკრული მეთოდით, მივიღებთ:

(-3x + 1, x-ზე< 0,

y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1-ისთვის,

(3x - 1, x > 1-ისთვის.

ჩართულია სურათი 3აშკარად ჩანს, რომ განტოლებას ექნება უნიკალური ფესვი მხოლოდ მაშინ, როდესაც a = 1.

პასუხი: a = 1.

მაგალითი 6

განსაზღვრეთ |x + 1| განტოლების ამონახსნების რაოდენობა + |x + 2| = a დამოკიდებულია a პარამეტრზე?

გამოსავალი.

y = |x + 1 ფუნქციის გრაფიკი + |x + 2| გატეხილი ხაზი იქნება. მისი წვეროები განთავსდება წერტილებზე (-2; 1) და (-1; 1) (სურათი 4).

პასუხი: თუ პარამეტრი a არის ერთზე ნაკლები, მაშინ განტოლებას ფესვები არ ექნება; თუ a = 1, მაშინ განტოლების ამონახსნი არის რიცხვების უსასრულო სიმრავლე [-2; -1]; თუ პარამეტრის a მნიშვნელობები ერთზე მეტია, მაშინ განტოლებას ექნება ორი ფესვი.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ განტოლებები პარამეტრით?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

§ 8. ალბათობის თეორიის გამოყენება სტატისტიკაში.

2. უცნობი განაწილების პარამეტრების განსაზღვრა.

ჰისტოგრამის დახმარებით ჩვენ შეგვიძლია დაახლოებით ავაშენოთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი. ამ გრაფის გამოჩენა ხშირად იძლევა ვარაუდის გაკეთებას შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივის შესახებ. ამ განაწილების სიმკვრივის გამოხატულება ჩვეულებრივ მოიცავს ზოგიერთ პარამეტრს, რომელიც უნდა განისაზღვროს ექსპერიმენტული მონაცემებით.
მოდით ვისაუბროთ კონკრეტულ შემთხვევაზე, როდესაც განაწილების სიმკვრივე დამოკიდებულია ორ პარამეტრზე.
ასე რომ მოდით x 1 , x 2 , ..., x nარის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობები და მოდით, მისი ალბათობის განაწილების სიმკვრივე დამოკიდებულია ორ უცნობ პარამეტრზე ადა ბ, ე.ი. როგორც ჩანს . უცნობი პარამეტრების პოვნის ერთ-ერთი მეთოდი ადა ბარის ის, რომ ისინი არჩეულია ისე, რომ თეორიული განაწილების მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია ემთხვევა შერჩევის საშუალოსა და დისპერსიას:

(66)

სად

(67)

მიღებული ორი განტოლებიდან () იპოვეთ უცნობი პარამეტრები ადა ბ. მაგალითად, თუ შემთხვევითი ცვლადი ემორჩილება ალბათობის განაწილების ნორმალურ კანონს, მაშინ მისი ალბათობის განაწილების სიმკვრივე

დამოკიდებულია ორ პარამეტრზე ადა . ეს პარამეტრები, როგორც ვიცით, არის, შესაბამისად, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა; ასე რომ ტოლები () დაიწერება ასე:

(68)

ამიტომ, ალბათობის განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა

შენიშვნა 1.ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ ეს პრობლემა. გაზომვის შედეგი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ემორჩილება ნორმალურ განაწილების კანონს პარამეტრებით ადა . მიახლოებისთვის აჩვენ ავირჩიეთ მნიშვნელობა, ხოლო სავარაუდო მნიშვნელობისთვის - მნიშვნელობა.

შენიშვნა 2.ექსპერიმენტების დიდი რაოდენობით, მნიშვნელობების პოვნა და ფორმულების გამოყენება () დაკავშირებულია რთულ გამოთვლებთან. აქედან გამომდინარე, ისინი მოქმედებენ შემდეგნაირად: თითოეული დაკვირვებული მნიშვნელობის რაოდენობა, რომელშიც მოხვდა მე- ინტერვალი ] X i-1 , X i [სტატისტიკური სერია, მიჩნეულია დაახლოებით შუას ტოლი გ იეს ინტერვალი, ე.ი. c i \u003d (X i-1 + X i) / 2. განვიხილოთ პირველი ინტერვალი ] X 0 , X 1 [. ის მოხვდა მ 1შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობები, რომელთაგან თითოეულს ვცვლით რიცხვით 1-დან. ამრიგად, ამ მნიშვნელობების ჯამი დაახლოებით ტოლია m 1 s 1. ანალოგიურად, მნიშვნელობების ჯამი, რომელიც მოხვდა მეორე ინტერვალში, დაახლოებით ტოლია m 2 s 2და ა.შ. Ამიტომაც

ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ მიახლოებით ტოლობას

მოდით ვაჩვენოთ ეს

(71)

მართლაც,