გრაფიკზე ფუნქციის მაქსიმალური წარმოებული. ფუნქციის მნიშვნელობები და მაქსიმალური და მინიმალური ქულები

ფუნქციის მნიშვნელობები და მაქსიმალური და მინიმალური ქულები

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა

როგორც ნათლიამ თქვა: "არაფერი პირადი". მხოლოდ წარმოებულები!

სტატისტიკის დავალება 12 საკმაოდ რთულად ითვლება და ყველაფერი იმიტომ, რომ ბიჭებმა არ წაიკითხეს ეს სტატია (ხუმრობა). უმეტეს შემთხვევაში უყურადღებობის ბრალია.

12 დავალება მოდის ორ ტიპად:

იპოვეთ მაქსიმალური/მინიმალური წერტილი (მოითხოვეთ იპოვოთ "x" მნიშვნელობები).
იპოვეთ ფუნქციის ყველაზე დიდი/პატარა მნიშვნელობა (სთხოვეთ იპოვოთ „y“ მნიშვნელობები).

როგორ მოვიქცეთ ამ შემთხვევებში?

იპოვეთ მაქსიმალური/მინიმალური წერტილი

გაუტოლეთ ნულს.
ნაპოვნი ან ნაპოვნი "x" იქნება მინიმალური ან მაქსიმალური ქულები.
განსაზღვრეთ ნიშნები ინტერვალის მეთოდით და აირჩიეთ რომელი წერტილია საჭირო ამოცანაში.

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანები:

იპოვნეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ჩვენ ვიღებთ წარმოებულს:

ასეა, ჯერ ფუნქცია იზრდება, შემდეგ მცირდება - ეს არის მაქსიმალური წერტილი!
პასუხი: -15

იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი

მოდით გარდავქმნათ და ავიღოთ წარმოებული:

დიდი! ჯერ ფუნქცია მცირდება, შემდეგ იზრდება - ეს არის მინიმალური წერტილი!

პასუხი: -2

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი/უმცირესი მნიშვნელობა

აიღეთ შემოთავაზებული ფუნქციის წარმოებული.
გაუტოლეთ ნულს.
ნაპოვნი "x" იქნება მინიმალური ან მაქსიმალური წერტილი.
განსაზღვრეთ ნიშნები ინტერვალის მეთოდით და შეარჩიეთ რომელი წერტილია საჭირო ამოცანაში.
ასეთ ამოცანებში ყოველთვის მითითებულია უფსკრული: მე-3 საფეხურზე ნაპოვნი X-ები უნდა იყოს შეტანილი ამ ხარვეზში.
ჩაანაცვლეთ მიღებული მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილი თავდაპირველ განტოლებაში და მივიღებთ ფუნქციის უდიდეს ან უმცირეს მნიშვნელობას.

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანები:

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ინტერვალზე [−4; −1]

პასუხი: -6

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა სეგმენტზე

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა არის „11“ მაქსიმალურ წერტილში (ამ სეგმენტზე) „0“.

პასუხი: 11

დასკვნები:

შეცდომების 70% არის ის, რომ ბიჭებს არ ახსოვთ რა პასუხად ფუნქციის ყველაზე დიდი/პატარა მნიშვნელობა უნდა დაიწეროს „y“და შემდეგ ჩაწერეთ მაქსიმალური/მინიმალური წერტილი „x“.
არ არის გამოსავალი წარმოებულზე ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნისას?პრობლემა არ არის, შეცვალეთ ხარვეზის უკიდურესი წერტილები!
პასუხი ყოველთვის შეიძლება დაიწეროს როგორც რიცხვი ან ათწილადი.არა? შემდეგ გადახედე მაგალითს.
დავალებების უმეტესობაში ერთ ქულას მივიღებთ და ჩვენი სიზარმაცე მაქსიმუმის ან მინიმუმის შემოწმებისას გამართლდება. ჩვენ მივიღეთ ერთი წერტილი - შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ უკან.
მაგრამ ეს არ უნდა გააკეთოთ ფუნქციის მნიშვნელობის ძიებისას!შეამოწმეთ, რომ ეს არის სწორი წერტილი, წინააღმდეგ შემთხვევაში, უფსკრულის უკიდურესი მნიშვნელობები შეიძლება იყოს უფრო დიდი ან მცირე.

რა არის ფუნქციის ექსტრემუმი და რა არის ექსტრემუმის აუცილებელი პირობა?

ფუნქციის უკიდურესობა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური.

ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური (უკიდურობის) აუცილებელი პირობაა შემდეგი: თუ f(x) ფუნქციას აქვს უკიდურესი x = a წერტილში, მაშინ ამ ეტაპზე წარმოებული არის ნული, უსასრულო, ან არა. არსებობს.

ეს პირობა აუცილებელია, მაგრამ არა საკმარისი. წარმოებული x = a წერტილში შეიძლება წავიდეს ნულამდე, უსასრულობამდე, ან არ არსებობდეს ფუნქციას ამ წერტილში ექსტრემის გარეშე.

რა არის საკმარისი პირობა ფუნქციის უკიდურესობისთვის (მაქსიმალური თუ მინიმალური)?

პირველი პირობა:

თუ x = a წერტილთან საკმარისად სიახლოვეს, წარმოებული f?(x) დადებითია a-დან მარცხნივ და უარყოფითია მარჯვნივ a-დან, მაშინ x = a წერტილში აქვს f(x) ფუნქცია. მაქსიმუმ

თუ x = a წერტილთან საკმარისად სიახლოვეს, წარმოებული f?(x) უარყოფითია a-დან მარცხნივ და დადებითია a-დან მარჯვნივ, მაშინ x = a წერტილში აქვს f(x) ფუნქცია. მინიმალურიიმ პირობით, რომ ფუნქცია f(x) აქ არის უწყვეტი.

ამის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეორე საკმარისი პირობა ფუნქციის ექსტრემისთვის:

მოდით x = a წერტილში გაქრეს f?(x) პირველი წარმოებული; თუ მეორე წარმოებული f??(a) უარყოფითია, მაშინ f(x) ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი x = a წერტილში, თუ დადებითია, მაშინ მას აქვს მინიმალური.

რა არის ფუნქციის კრიტიკული წერტილი და როგორ მოვძებნოთ იგი?

ეს არის ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქციას აქვს ექსტრემუმი (ანუ მაქსიმუმი ან მინიმალური). მის პოვნა გჭირდებათ იპოვნეთ წარმოებულიფუნქცია f?(x) და ნულის ტოლფასი, განტოლების ამოხსნა f?(x) = 0. ამ განტოლების ფესვები, ისევე როგორც ის წერტილები, რომლებზეც ამ ფუნქციის წარმოებული არ არსებობს, არის კრიტიკული წერტილები, ანუ არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებშიც შეიძლება იყოს ექსტრემუმი. მათი ამოცნობა ადვილად შეიძლება ნახვით წარმოებული გრაფიკი: ჩვენ გვაინტერესებს არგუმენტის ის მნიშვნელობები, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკი კვეთს აბსცისის ღერძს (Ox ღერძი) და ის მნიშვნელობები, რომლებზეც გრაფიკი განიცდის უწყვეტობას.

მაგალითად, ვიპოვოთ პარაბოლის ექსტრემუმი.

ფუნქცია y(x) = 3x2 + 2x - 50.

ფუნქციის წარმოებული: y?(x) = 6x + 2

ამოხსენით განტოლება: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

ამ შემთხვევაში კრიტიკული წერტილია x0=-1/3. ფუნქციას აქვს ამ არგუმენტის მნიშვნელობით ექსტრემალური. მას იპოვე, გამოთქმაში ნაპოვნი რიცხვი ჩაანაცვლეთ ფუნქციით „x“-ის ნაცვლად:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

როგორ განვსაზღვროთ ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმალური, ე.ი. მისი ყველაზე დიდი და პატარა მნიშვნელობები?

თუ წარმოებულის ნიშანი x0 კრიტიკულ წერტილში გავლისას იცვლება „პლუს“-დან „მინუსში“, მაშინ x0 არის მაქსიმალური ქულა; თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე, მაშინ x0 არის მინიმალური ქულა; თუ ნიშანი არ იცვლება, მაშინ x0 წერტილში არ არის არც მაქსიმუმი და არც მინიმალური.

განხილული მაგალითისთვის:

ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის თვითნებურ მნიშვნელობას კრიტიკული წერტილის მარცხნივ: x = -1

x = -1-ზე წარმოებულის მნიშვნელობა იქნება y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ანუ ნიშანი არის „მინუს“).

ახლა ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის თვითნებურ მნიშვნელობას კრიტიკული წერტილის მარჯვნივ: x = 1

x = 1-ზე წარმოებულის მნიშვნელობა იქნება y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ანუ ნიშანი არის „პლუს“).

როგორც ხედავთ, წარმოებულმა შეცვალა ნიშანი მინუსიდან პლუსზე კრიტიკულ წერტილში გავლისას. ეს ნიშნავს, რომ x0 კრიტიკულ მნიშვნელობაზე გვაქვს მინიმალური წერტილი.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე(სეგმენტზე) გვხვდება იგივე პროცედურის გამოყენებით, მხოლოდ იმის გათვალისწინებით, რომ, შესაძლოა, ყველა კრიტიკული წერტილი არ იყოს მითითებულ ინტერვალში. ის კრიტიკული წერტილები, რომლებიც ინტერვალის მიღმაა, უნდა გამოირიცხოს განხილვისგან. თუ ინტერვალში მხოლოდ ერთი კრიტიკული წერტილია, მას ექნება მაქსიმუმი ან მინიმალური. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების დასადგენად, ჩვენ ასევე გავითვალისწინებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს ინტერვალის ბოლოებში.

მაგალითად, ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

ინტერვალებით:

ასე რომ, ფუნქციის წარმოებული არის

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

ჩვენ ვხსნით განტოლებას 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

კრიტიკულ წერტილებს ვპოულობთ ინტერვალზე [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (არ შედის ინტერვალში)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos (0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos (0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (არ შედის ინტერვალში)

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობებს არგუმენტის კრიტიკულ მნიშვნელობებზე:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

ჩანს, რომ ინტერვალზე [-9; 9] ფუნქციას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

და ყველაზე პატარა - x = 4.88-ზე:

x = 4.88, y = -5.398.

ინტერვალზე [-6; -3] გვაქვს მხოლოდ ერთი კრიტიკული წერტილი: x = -4.88. ფუნქციის მნიშვნელობა x = -4.88-ზე უდრის y = 5.398-ს.

იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ინტერვალის ბოლოებში:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

ინტერვალზე [-6; -3] გვაქვს ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

y = 5,398 x = -4,88-ზე

ყველაზე პატარა ღირებულება -

y = 1.077 x = -3-ზე

როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილები და განვსაზღვროთ ამოზნექილი და ჩაზნექილი გვერდები?

y = f(x) წრფის ყველა გადახრის წერტილის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ მეორე წარმოებული, გაათანაბროთ იგი ნულამდე (გადაწყვიტეთ განტოლება) და შეამოწმოთ x-ის ყველა ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მეორე წარმოებული არის ნული, უსასრულო ან არ არსებობს. თუ ამ სიდიდეებიდან ერთ-ერთის გავლისას მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს, მაშინ ფუნქციის გრაფიკს ამ ეტაპზე აქვს ფლექსია. თუ ის არ იცვლება, მაშინ არ არის მოსახვევი.

განტოლების ფესვები ვ? (x) = 0, ისევე როგორც ფუნქციის და მეორე წარმოებულის უწყვეტობის შესაძლო წერტილები, ყოფს ფუნქციის განსაზღვრის დომენს რამდენიმე ინტერვალებად. ამოზნექულობა მათ თითოეულ ინტერვალზე განისაზღვრება მეორე წარმოებულის ნიშნით. თუ მეორე წარმოებული შესწავლილი ინტერვალის წერტილში დადებითია, მაშინ წრფე y = f(x) არის ჩაზნექილი ზემოთ, ხოლო თუ უარყოფითია, მაშინ ქვემოთ.

როგორ მოვძებნოთ ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესი?

f(x,y) ფუნქციის ექსტრემის საპოვნელად, დიფერენცირებადი მისი სპეციფიკაციის დომენში, დაგჭირდებათ:

1) იპოვეთ კრიტიკული წერტილები და ამისთვის - ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

fh? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) თითოეული კრიტიკული წერტილისთვის P0(a;b) გამოიკვლიეთ, რჩება თუ არა სხვაობის ნიშანი უცვლელი

ყველა წერტილისთვის (x;y) საკმარისად ახლოს P0-თან. თუ სხვაობა დადებითი რჩება, მაშინ P0 წერტილში გვაქვს მინიმალური, თუ უარყოფითი, მაშინ გვაქვს მაქსიმუმი. თუ განსხვავება არ ინარჩუნებს თავის ნიშანს, მაშინ P0 წერტილში არ არის ექსტრემუმი.

ფუნქციის უკიდურესობა განისაზღვრება არგუმენტების უფრო დიდი რაოდენობით ანალოგიურად.

რა არის ბენდი "ბანდეროსის" ოფიციალური ვებგვერდი
რუსულენოვანი ჰიპ-ჰოპ შემსრულებლების ვებსაიტები: mad-a.ru - რეპ შემსრულებლის MAD-A-ს ოფიციალური ვებგვერდი (ფოტოები, მუსიკა, ბიოგრაფია); st1m.ru - რეპ არტისტის St1m ოფიციალური ვებგვერდი (მუსიკა, ვიდეო, ფოტოები, ინფორმაცია კონცერტების შესახებ, სიახლეები, ფორუმი); all1.ru - კრეატიული გაერთიანების ოფიციალური ვებგვერდი

რა შემთხვევაში აქვს საგზაო პოლიციის ინსპექტორს მანქანის გაჩერების უფლება?
„პოლიციის შესახებ“ კანონის მე-13 მუხლის მე-20 პუნქტის დებულებებიდან გამომდინარე, საგზაო პოლიციის ინსპექტორს უფლება აქვს გააჩეროს სატრანსპორტო საშუალება (შემდგომში – სატრანსპორტო საშუალება), თუ ეს აუცილებელია დაკისრებული მოვალეობების შესასრულებლად. პოლიცია საგზაო უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად და სხვა შემთხვევებში (სრული სია იხილეთ ქვემოთ). თუ ინსპექტორი ვიზუალურად

როგორ დავიცვათ თქვენი სამუშაო ჩანაწერი დამსაქმებლის მიერ განზრახ დაკარგვისგან
დამსაქმებლის მიერ სამუშაო ჩანაწერის განზრახ დაკარგვისგან (დაზიანებისგან) დასაცავად, რეკომენდებულია საწარმოს თანამშრომელმა მიიღოს სამუშაო ჩანაწერის ასლი ნებისმიერი კანონიერი გზით, მაგალითად, საბაბით, რომ მიმართოს სესხს და შეინახოს. ის უსაფრთხო ადგილას. თუ არაკეთილსინდისიერი დამსაქმებელი განზრახ ანადგურებს თანამშრომლის დასაქმების ფაქტებს მის საწარმოში (რათა თავიდან აიცილოს შრომის კანონმდებლობის დარღვევის გამოვლენა.

სად შეგიძლიათ იპოვოთ დახმარების ინფორმაცია ინტერნეტში ყველა ტელეფონისთვის?
"ყვითელი გვერდების" ვებსაიტები ინტერნეტში: yellow-pages.ru - საცნობარო ინფორმაციის ონლაინ ჟურნალი "ყვითელი გვერდები"; ypag.ru - დსთ-ს ყვითელი გვერდები; yellowpages.rin.ru - ყვითელი გვერდები

რამდენი გრადუსია რადიანში?
1 რკალი წუთი (1′) = 60 რკალი წამი (60″) 1 კუთხური ხარისხი (1°) = 60 რკალი წუთი (60′) = 3600 რკალი წამი (3600″) 1 რადიანი ≈ 57,295779513° ≈ 7& prim 571

მუსიკა ხელოვნების ფორმაა. სპეციალურად ორგანიზებული ხმები ემსახურება მუსიკაში განწყობისა და გრძნობების გადმოცემის საშუალებას. მუსიკის ძირითადი ელემენტები და გამომსახველობითი საშუალებებია: მელოდია, რიტმი, მეტრი, ტემპი, დინამიკა, ტემბრი, ჰარმონია, ინსტრუმენტაცია და სხვა. მუსიკა ბავშვის მხატვრული გემოვნების განვითარების ძალიან კარგი საშუალებაა. მუსიკას შეუძლია გავლენა მოახდინოს თქვენს განწყობაზე

რომელმა ქვეყნებმა უმასპინძლეს ფორმულა 1-ის გრან პრის 2005 წელს?
2005 წელს მსოფლიო ჩემპიონატი შედგებოდა 19 გრანპრისგან, რომლებიც ჩატარდა შემდეგ ქვეყნებში: ავსტრალია, მალაიზია, ბაჰრეინი, სან მარინო, ესპანეთი, მონაკო, კანადა, აშშ, საფრანგეთი, დიდი ბრიტანეთი, გერმანია, უნგრეთი, თურქეთი, იტალია, ბელგია, ბრაზილია, იაპონია, ჩინეთი. ევროპის გრან-პრი გერმანიაში (ნიურბურგი) გაიმართა დაწვრილებით ვებგვერდზე http:/.

რა არის ალოკაზია
ალოკაზია (Alocasia) ჯიშისებრთა ოჯახი. სამშობლო სამხრეთ ამერიკა. იშვიათი მცენარე, რომელსაც უყვარს სათბურის პირობები (ტენიანობა და სითბო) და ამიტომ ფართოდ არ გამოიყენება მებოსტნეებში. ალოკაზია მშვენიერი შიდა მცენარეა, დიდი ისრის ფორმის ოვალური (ან გულის ფორმის) ფოთლებით, რომელთაგან 6-7-ზე მეტი არ არის. ყველაზე გავრცელებულია

რას ნიშნავს ფრაზა "ჩვენ უკვე ვიგრძენით ამ ყვავილის სუნი"?
ფრაზა "ჩვენ უკვე ვიგრძენით ამ ყვავილის სუნი" გამოყენებულია იმავე მნიშვნელობით, როგორც ცნობილი ფრაზეოლოგიური ერთეული "გადააბიჯე ერთსა და იმავე რაფზე ორჯერ", ე.ი. უკვე ნაცნობი უსიამოვნო სიტუაციის წინაშე. ეს გამოთქმა გვხვდება ილია ილფის ფელეტონში „ახალგაზრდა ქალბატონები“ (1929) შემდეგში.

სად ვიპოვოთ პანაკოტას რეცეპტი
პანაკოტა არის ნაზი, მაცდუნებელი დესერტი, დამზადებული კრემისა და ჟელატინისაგან, რომელიც მზადდება იტალიაში, ემილია-რომანიას რეგიონში. დესერტის სახელი სიტყვასიტყვით ითარგმნება როგორც "მოხარშული კრემი" ან "მოხარშული კრემი", მაგრამ არსებითად ეს არის კრემის პუდინგი სხვადასხვა დანამატების გარეშე ან სხვადასხვა დანამატებით.

რა არის 90 გრადუსის კოსინუსი?
კოსინუსი არის ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც აღინიშნება cos. მართკუთხა სამკუთხედში, მწვავე კუთხის კოსინუსი უდრის ამ კუთხიდან გამომავალი ფეხის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან კოსინუსების მნიშვნელობები ხშირად წარმოქმნილი კუთხეებისთვის (π - pi, √ - კვადრატული ფესვი

მნიშვნელობა

უდიდესი

მნიშვნელობა

სულ მცირე

მაქსიმალური ქულა

მინიმალური ქულა

ექსტრემალური ფუნქციის წერტილების პოვნის ამოცანები წყდება სტანდარტული სქემის მიხედვით 3 ეტაპად.

ნაბიჯი 1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

დაიმახსოვრეთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებული ფორმულები და დიფერენციაციის ძირითადი წესები წარმოებულის საპოვნელად.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

ნაბიჯი 2. იპოვეთ წარმოებულის ნულები

ამოხსენით მიღებული განტოლება წარმოებულის ნულების საპოვნელად.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

ნაბიჯი 3. იპოვნეთ უკიდურესი წერტილები

გამოიყენე ინტერვალის მეთოდი წარმოებულის ნიშნების დასადგენად;
მინიმალურ წერტილში წარმოებული ტოლია ნულისა და ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, ხოლო მაქსიმალურ წერტილში პლუსიდან მინუსზე.

მოდით გამოვიყენოთ ეს მიდგომა შემდეგი პრობლემის გადასაჭრელად:

იპოვეთ y=x3−243x+19 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

1) იპოვეთ წარმოებული: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) ამოხსენით განტოლება y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) წარმოებული დადებითია x>9 და x<−9 и отрицательная при −9

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო:

იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები სეგმენტზე (ინტერვალი).
იპოვეთ მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში და აირჩიეთ ყველაზე დიდი ან ყველაზე პატარა მნიშვნელობა მნიშვნელობებიდან უკიდურეს წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში.

ეხმარება ბევრ დავალებას თეორემა:

თუ სეგმენტზე არის მხოლოდ ერთი უკიდურესი წერტილი და ეს არის მინიმალური წერტილი, მაშინ მასზე მიიღწევა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა. თუ ეს არის მაქსიმალური წერტილი, მაშინ იქ მიიღწევა უდიდესი მნიშვნელობა.

14. განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნება და ძირითადი თვისებები.

თუ ფუნქცია ვ(x X, და კ- მაშინ ნომერი

მოკლედ რომ ვთქვათ: მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან.

თუ ფუნქციები ვ(x) და გ(x) აქვთ ანტიდერივატები ინტერვალზე X, ეს

მოკლედ რომ ვთქვათ: ჯამის ინტეგრალი უდრის ინტეგრალების ჯამს.

თუ ფუნქცია ვ(x) აქვს ანტიდერივატი ინტერვალზე X, შემდეგ ამ ინტერვალის შიდა წერტილებისთვის:

მოკლედ რომ ვთქვათ: ინტეგრალის წარმოებული ინტეგრადის ტოლია.

თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე Xდა დიფერენცირებადია ამ ინტერვალის შიდა წერტილებში, მაშინ:

მოკლედ რომ ვთქვათ: ფუნქციის დიფერენციალური ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციას პლუს ინტეგრაციის მუდმივი.

მოდით მივცეთ მკაცრი მათემატიკური განმარტება განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნებები.

ფორმის გამოხატულება ეწოდება ფუნქციის განუყოფელი ნაწილი f(x) , სად f(x) - ინტეგრირებული ფუნქცია, რომელიც მოცემულია (ცნობილი), dx - დიფერენციალური x , სიმბოლოთი ყოველთვის იმყოფება dx .

განმარტება. განუსაზღვრელი ინტეგრალიფუნქციას უწოდებენ F(x) + C , რომელიც შეიცავს თვითნებურ მუდმივას C , რომლის დიფერენციალი უდრის ინტეგრანდგამოხატულება f(x)dx , ე.ი. ან ფუნქციას ეძახიან ანტიდერივატიული ფუნქცია. ფუნქციის ანტიდერივატი განისაზღვრება მუდმივ მნიშვნელობამდე.

შეგახსენებთ, რომ - დიფერენციალური ფუნქციადა განისაზღვრება შემდეგნაირად:

პრობლემის პოვნა განუსაზღვრელი ინტეგრალიარის ასეთი ფუნქციის პოვნა წარმოებულირომელიც უდრის ინტეგრანდს. ეს ფუნქცია ზუსტად განისაზღვრება მუდმივამდე, რადგან მუდმივის წარმოებული არის ნული.

მაგალითად, ცნობილია, რომ , შემდეგ გამოდის, რომ , აქ არის თვითნებური მუდმივი.

პრობლემის პოვნა განუსაზღვრელი ინტეგრალიფუნქციები არც ისე მარტივი და მარტივია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. ხშირ შემთხვევაში, უნდა არსებობდეს მუშაობის უნარი განუსაზღვრელი ინტეგრალები,უნდა არსებობდეს გამოცდილება, რომელიც მოჰყვება პრაქტიკას და მუდმივ განუსაზღვრელი ინტეგრალების მაგალითების ამოხსნა.გასათვალისწინებელია ის ფაქტი, რომ განუსაზღვრელი ინტეგრალებიზოგიერთი ფუნქციიდან (საკმაოდ ბევრია) ელემენტარულ ფუნქციებში არ არის აღებული.

15. ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი.

ძირითადი ფორმულები

16. განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც ინტეგრალური ჯამის ზღვარი. ინტეგრალის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა.

y=ƒ(x) ფუნქცია განისაზღვროს [a; ბ], ა< b. Выполним следующие действия.

1. წერტილების გამოყენებით x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0

2. თითოეულ ნაწილობრივ სეგმენტში, i = 1,2,...,n, აირჩიე თვითნებური წერტილი i є-ით და გამოთვალეთ მასში არსებული ფუნქციის მნიშვნელობა, ანუ მნიშვნელობა ƒ(i-ით).

3. ƒ ფუნქციის ნაპოვნი მნიშვნელობა გავამრავლოთ შესაბამისი ნაწილობრივი სეგმენტის ∆x i =x i -x i-1 სიგრძეზე: ƒ (i-ით) ∆x i.

4. ყველა ასეთი პროდუქტის ჯამი S n გამოვიტანოთ:

(35.1) ფორმის ჯამს ეწოდება y = ƒ(x) ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი [a; ბ]. λ-ით ავღნიშნოთ უდიდესი ნაწილობრივი სეგმენტის სიგრძე: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. ვიპოვოთ ინტეგრალური ჯამის ზღვარი (35.1), როდესაც n → ∞ ისე, რომ λ→0.

თუ ამ შემთხვევაში ინტეგრალურ ჯამს S n აქვს ზღვარი I, რომელიც არ არის დამოკიდებული სეგმენტის დაყოფის მეთოდზე [a; b] ნაწილობრივ სეგმენტებზე და არც მათში წერტილების არჩევაზე, მაშინ I რიცხვს ეწოდება y = ƒ(x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი [a; b] და აღინიშნება ასე,

a და b რიცხვებს უწოდებენ ინტეგრაციის ქვედა და ზედა ზღვრებს, შესაბამისად, ƒ(x) - ინტეგრანდული ფუნქცია, ƒ(x) dx - ინტეგრადი, x - ინტეგრაციის ცვლადი, სეგმენტი [a; b] - ინტეგრაციის არე (სეგმენტი).

ფუნქცია y=ƒ(x), რომლისთვისაც ინტერვალზე [a; ბ] ამ ინტერვალზე არის განსაზღვრული ინტეგრალი, რომელსაც ეწოდება ინტეგრირებადი.

ახლა ჩამოვაყალიბოთ თეორემა განსაზღვრული ინტეგრალის არსებობის შესახებ.

თეორემა 35.1 (კოში). თუ ფუნქცია y = ƒ(x) უწყვეტია [a; b], შემდეგ განსაზღვრული ინტეგრალი

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის უწყვეტობა საკმარისი პირობაა მისი ინტეგრირებისთვის. თუმცა, განსაზღვრული ინტეგრალი ასევე შეიძლება არსებობდეს ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქციისთვის, კერძოდ, ნებისმიერი ფუნქციისთვის, რომელიც შემოიფარგლება ინტერვალზე, რომელსაც აქვს შეწყვეტის წერტილების სასრული რაოდენობა.

მოდით მივუთითოთ განსაზღვრული ინტეგრალის ზოგიერთი თვისება, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან (35.2).

1. განსაზღვრული ინტეგრალი დამოუკიდებელია ინტეგრაციის ცვლადის აღნიშვნისაგან:

ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ინტეგრალური ჯამი (35.1) და შესაბამისად მისი ზღვარი (35.2) არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა ასოთი აღინიშნება მოცემული ფუნქციის არგუმენტი.

2. ინტეგრაციის იგივე ზღვრებით განსაზღვრული ინტეგრალი ნულის ტოლია:

3. ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის c.

17. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითადი თვისებები.

დაუშვით ფუნქცია y = f(x)უწყვეტი სეგმენტზე და F(x)არის ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი ამ სეგმენტზე, მაშინ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა: .

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ე.წ ინტეგრალური გამოთვლების ძირითადი ფორმულა.

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის დასამტკიცებლად, ჩვენ გვჭირდება ინტეგრალის კონცეფცია ცვლადი ზედა ზღვრით.

თუ ფუნქცია y = f(x)უწყვეტი სეგმენტზე , მაშინ არგუმენტისთვის ფორმის ინტეგრალი არის ზედა ზღვრის ფუნქცია. ავღნიშნოთ ეს ფუნქცია და ეს ფუნქცია უწყვეტია და თანასწორობა მართალია .

მართლაც, ჩავწეროთ არგუმენტის ნამატის შესაბამისი ფუნქციის ნამატი და გამოვიყენოთ განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე თვისება და მეათე თვისების დასკვნა:

სად .

მოდით გადავიწეროთ ეს თანასწორობა ფორმაში . თუ გავიხსენებთ ფუნქციის წარმოებულის განმარტებას და მივდივართ ლიმიტამდე, მივიღებთ. ანუ ეს არის ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი y = f(x)სეგმენტზე . ამრიგად, ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები F(x)შეიძლება დაიწეროს როგორც , სად თან- თვითნებური მუდმივი.

გამოვთვალოთ F(a)განსაზღვრული ინტეგრალის პირველი თვისების გამოყენებით: , შესაბამისად, . მოდით გამოვიყენოთ ეს შედეგი გაანგარიშებისას F(b): ანუ . ეს თანასწორობა იძლევა ნიუტონ-ლაიბნიცის დასამტკიცებელ ფორმულას .

ფუნქციის ზრდა ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც . ამ აღნიშვნის გამოყენებით, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა იღებს ფორმას .

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოსაყენებლად საკმარისია ვიცოდეთ ერთ-ერთი ანტიდერივატი y=F(x)ინტეგრირებული ფუნქცია y=f(x)სეგმენტზე და გამოთვალეთ ამ ანტიდერივატივის ზრდა ამ სეგმენტზე. ინტეგრაციის მეთოდების სტატიაში განხილულია ანტიდერივატივის პოვნის ძირითადი გზები. მოდით მოვიყვანოთ განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლის რამდენიმე მაგალითი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით გასარკვევად.

მაგალითი.

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით.

გამოსავალი.

დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ინტეგრანტი უწყვეტია ინტერვალზე მაშასადამე, მასზე ინტეგრირებადია. (ინტეგრირებად ფუნქციებზე ვისაუბრეთ ფუნქციების განყოფილებაში, რომელთათვისაც არსებობს გარკვეული ინტეგრალი.)

განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილიდან ირკვევა, რომ ფუნქციისთვის ანტიწარმოებულების სიმრავლე არგუმენტის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის (და შესაბამისად for) იწერება როგორც . ავიღოთ ანტიდერივატი ამისთვის C=0: .

ახლა რჩება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება განსაზღვრული ინტეგრალის გამოსათვლელად: .

18. განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული აპლიკაციები.

განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული აპლიკაციები

მართკუთხა ს.კ.	პარამეტრულად მითითებული ფუნქცია	Polyarnaya S.K.
სიბრტყე ფიგურების ფართობების გამოთვლა

სიბრტყე მრუდის რკალის სიგრძის გამოთვლა

რევოლუციის ზედაპირის ფართობის გამოთვლა

სხეულის მოცულობის გაანგარიშება

სხეულის მოცულობის გამოთვლა პარალელური მონაკვეთების ცნობილი უბნებიდან:

ბრუნვის სხეულის მოცულობა: ; .

მაგალითი 1. იპოვეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით y=sinx სწორი ხაზებით

გამოსავალი:ფიგურის ფართობის პოვნა:

მაგალითი 2. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

გამოსავალი:ვიპოვოთ ამ ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისა. ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას

აქედან ვპოულობთ x 1 =0, x 2 =2.5.

19. დიფერენციალური კონტროლის ცნება. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

დიფერენციალური განტოლება- განტოლება, რომელიც აკავშირებს ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობას თავად ფუნქციასთან, დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობებთან და რიცხვებთან (პარამეტრებთან). განტოლებაში შემავალი წარმოებულების თანმიმდევრობა შეიძლება განსხვავებული იყოს (ფორმალურად ის არაფრით შემოიფარგლება). წარმოებულები, ფუნქციები, დამოუკიდებელი ცვლადები და პარამეტრები შეიძლება გამოჩნდეს განტოლებაში სხვადასხვა კომბინაციებში, ან ყველა წარმოებულის გარდა შეიძლება საერთოდ არ იყოს. ყველა განტოლება, რომელიც შეიცავს უცნობი ფუნქციის წარმოებულებს, არ არის დიფერენციალური განტოლება. მაგალითად, არ არის დიფერენციალური განტოლება.

ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები(PDF) არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს რამდენიმე ცვლადის უცნობ ფუნქციას და მათ ნაწილობრივ წარმოებულებს. ასეთი განტოლებების ზოგადი ფორმა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

სად არის დამოუკიდებელი ცვლადები და არის ამ ცვლადების ფუნქცია. ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ისევე, როგორც ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებისთვის. ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი კლასიფიკაცია არის მათი დაყოფა ელიფსური, პარაბოლური და ჰიპერბოლური ტიპის განტოლებად, განსაკუთრებით მეორე რიგის განტოლებისთვის.

როგორც ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები, ასევე ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები შეიძლება დაიყოს ხაზოვანიდა არაწრფივი. დიფერენციალური განტოლება წრფივია, თუ უცნობი ფუნქცია და მისი წარმოებულები შედიან განტოლებაში მხოლოდ პირველ ხარისხში (და არ მრავლდებიან ერთმანეთთან). ასეთი განტოლებისთვის ამონახსნები ქმნიან ფუნქციების სივრცის აფინურ ქვესივრცეს. წრფივი დიფერენციალური განტოლებების თეორია ბევრად უფრო ღრმად არის განვითარებული, ვიდრე არაწრფივი განტოლებების თეორია. წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ხედი ნ- რიგი:

სად p i(x) არის დამოუკიდებელი ცვლადის ცნობილი ფუნქციები, რომელსაც ეწოდება განტოლების კოეფიციენტები. ფუნქცია რ(x) მარჯვენა მხარეს ეძახიან თავისუფალი წევრი(ერთადერთი ტერმინი, რომელიც არ არის დამოკიდებული უცნობ ფუნქციაზე) წრფივი განტოლებების მნიშვნელოვანი კონკრეტული კლასია წრფივი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტები.

წრფივი განტოლებების ქვეკლასი არის ერთგვაროვანიდიფერენციალური განტოლებები - განტოლებები, რომლებიც არ შეიცავს თავისუფალ ტერმინს: რ(x) = 0. ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებისთვის მოქმედებს სუპერპოზიციის პრინციპი: ასეთი განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნების წრფივი კომბინაცია ასევე იქნება მისი ამონახსნი. ყველა სხვა წრფივი დიფერენციალური განტოლება ეწოდება ჰეტეროგენულიდიფერენციალური განტოლებები.

არაწრფივ დიფერენციალურ განტოლებებს ზოგად შემთხვევაში არ აქვთ განვითარებული ამოხსნის მეთოდები, გარდა ზოგიერთი სპეციალური კლასისა. ზოგიერთ შემთხვევაში (გარკვეული მიახლოებების გამოყენებით) ისინი შეიძლება შემცირდეს წრფივამდე. მაგალითად, ჰარმონიული ოსცილატორის წრფივი განტოლება შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკური ქანქარის არაწრფივი განტოლების მიახლოებად მცირე ამპლიტუდების შემთხვევაში, როცა წ≈ ცოდვა წ.

· - მეორე რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით. ამოხსნა არის ფუნქციების ოჯახი, სადაც და არის თვითნებური მუდმივები, რომლებიც კონკრეტული ამოხსნისთვის განისაზღვრება ცალკე მითითებული საწყისი პირობებიდან. ეს განტოლება, კერძოდ, აღწერს ჰარმონიული ოსცილატორის მოძრაობას ციკლური სიხშირით 3.

· ნიუტონის მეორე კანონი შეიძლება დაიწეროს დიფერენციალური განტოლების სახით სად მ- სხეულის წონა, x- მისი კოორდინატი, ფ(x, ტ) - სხეულზე მოქმედი კოორდინატის მქონე ძალა xდროის მომენტში ტ. მისი გამოსავალი არის სხეულის ტრაექტორია მითითებული ძალის მოქმედების ქვეშ.

· ბესელის დიფერენციალური განტოლება არის მეორე რიგის ჩვეულებრივი წრფივი ჰომოგენური განტოლება ცვლადი კოეფიციენტებით: მისი ამონახსნები არის ბესელის ფუნქციები.

· პირველი რიგის არაერთგვაროვანი არაწრფივი ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების მაგალითი:

მაგალითების შემდეგ ჯგუფში არის უცნობი ფუნქცია uდამოკიდებულია ორ ცვლადზე xდა ტან xდა წ.

· პირველი რიგის ჰომოგენური წრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლება:

· ერთგანზომილებიანი ტალღური განტოლება - ერთგვაროვანი წრფივი განტოლება მეორე რიგის ჰიპერბოლური ტიპის ნაწილობრივ წარმოებულებში მუდმივი კოეფიციენტებით, აღწერს სიმის რხევას, თუ - სიმის გადახრას წერტილში კოორდინატთან. xდროის მომენტში ტდა პარამეტრი აადგენს სტრიქონის თვისებებს:

· ლაპლასის განტოლება ორგანზომილებიან სივრცეში არის ელიფსური ტიპის მეორე რიგის ერთგვაროვანი წრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით, რომელიც წარმოიქმნება მექანიკის, თბოგამტარობის, ელექტროსტატიკის, ჰიდრავლიკის მრავალ ფიზიკურ პრობლემაში:

· Korteweg-de Vries განტოლება, მესამე რიგის არაწრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლება, რომელიც აღწერს სტაციონარულ არაწრფივ ტალღებს, მათ შორის სოლიტონებს:

20. დიფერენციალური განტოლებები განცალკევებით გამოიყენება. წრფივი განტოლებები და ბერნულის მეთოდი.

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც წრფივია უცნობი ფუნქციისა და მისი წარმოებულის მიმართ. როგორც ჩანს

მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, რომლებიც გვხვდება გარკვეული ალგორითმის მიხედვით. ეს არის მთავარი მაჩვენებელი ფუნქციის ძიებისას. წერტილი x0 არის მინიმალური წერტილი, თუ ყველა x-ისთვის გარკვეული სამეზობლოდან x0 უტოლობა f(x) ? f(x0) (მაქსიმალური წერტილისთვის ობიექტურად შებრუნებული უტოლობა არის f(x) ? f(x0)).

ინსტრუქციები

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული. წარმოებული ახასიათებს ფუნქციის მეტამორფოზას გარკვეულ წერტილში და განისაზღვრება, როგორც ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, ის, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ. მის საპოვნელად გამოიყენეთ წარმოებულების ცხრილი. ვთქვათ y = x3 ფუნქციის წარმოებული იქნება y’ = x2.

2. გაუტოლეთ ამ წარმოებულს ნულს (ამ შემთხვევაში x2=0).

3. აღმოაჩინეთ მოცემული გამოხატვის ცვლადი მნიშვნელობა. ეს იქნება მნიშვნელობები, რომლებშიც ეს წარმოებული იქნება 0-ის ტოლი. ამისათვის გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ თვითნებური რიცხვები x-ის ნაცვლად, რომლებზეც მთელი გამოხატულება გახდება ნული. ვთქვათ:2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1

4. მიღებული მნიშვნელობები დახაზეთ კოორდინატთა ხაზზე და გამოთვალეთ წარმოებულის ნიშანი ყველა მიღებული ინტერვალისთვის. კოორდინატთა ხაზზე აღინიშნება წერტილები, რომლებიც აღებულია მითითების წინასიტყვაობად. ინტერვალებზე მნიშვნელობის გამოსათვლელად, შეცვალეთ თვითნებური მნიშვნელობები, რომლებიც აკმაყოფილებენ კრიტერიუმებს. ვთქვათ, წინა ფუნქციისთვის -1 ინტერვალამდე დაშვებულია უპირატესობა -2 მნიშვნელობისთვის. -1-დან 1-მდე ინტერვალში შეგიძლიათ აირჩიოთ 0, ხოლო 1-ზე მეტი მნიშვნელობებისთვის აირჩიეთ 2. ჩაანაცვლეთ ეს რიცხვები წარმოებულში და გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშანი. ამ შემთხვევაში წარმოებული x = -2 ტოლი იქნება -0,24, ე.ი. უარყოფითი და ამ ინტერვალზე იქნება მინუს ნიშანი. თუ x=0, მაშინ მნიშვნელობა იქნება 2-ის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე დადებითი ნიშანია განთავსებული. თუ x=1, მაშინ წარმოებულიც იქნება -0,24-ის ტოლი და ამიტომ მინუს დგება.

5. თუ კოორდინატთა ხაზის წერტილის გავლისას წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, მაშინ ეს არის მინიმალური წერტილი, ხოლო თუ პლუსიდან მინუსამდე, მაშინ ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

ფუნქციის მაქსიმალურ წერტილებს მინიმალურ წერტილებთან ერთად ექსტრემალური წერტილები ეწოდება. ამ წერტილებში ფუნქცია ცვლის ქცევის ხასიათს. ექსტრემები განისაზღვრება შეზღუდული რიცხვითი ინტერვალებით და უცვლელად ლოკალურია.

ინსტრუქციები

1. ლოკალური კიდურების პოვნის პროცესს ფუნქციის მაინინგი ეწოდება და ხორციელდება ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულების დათვალიერებით. სანამ დაიწყებთ კვლევას, დარწმუნდით, რომ არგუმენტების მნიშვნელობების ეს დიაპაზონი მიეკუთვნება შესაძლო მნიშვნელობებს. ვთქვათ, F=1/x ფუნქციისთვის, x=0 არგუმენტის მნიშვნელობა მიუღებელია. ან Y=tg(x) ფუნქციისთვის არგუმენტს არ შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელობა x=90°.

2. დარწმუნდით, რომ Y ფუნქცია დიფერენცირებადია თითოეულ მოცემულ ინტერვალზე. იპოვეთ Y'-ის პირველი წარმოებული. როგორც ჩანს, ლოკალური მაქსიმალური წერტილის მიღწევამდე ფუნქცია იზრდება, ხოლო მაქსიმუმზე გავლისას ფუნქცია მცირდება. პირველი წარმოებული, თავისი ფიზიკური მნიშვნელობით, ახასიათებს ფუნქციის მეტამორფოზის სიჩქარეს. მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქცია იზრდება, ამ პროცესის სიჩქარე დადებითი მნიშვნელობაა. ლოკალური მაქსიმუმის გავლისას ფუნქცია იწყებს კლებას და ფუნქციის მეტამორფოზის პროცესის სიჩქარე ხდება უარყოფითი. ფუნქციის მეტამორფოზის სიჩქარის ნულზე გადასვლა ხდება ლოკალური მაქსიმუმის წერტილში.

3. შესაბამისად, გაზრდის ფუნქციის სეგმენტში მისი პირველი წარმოებული დადებითია ამ ინტერვალზე არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის. და პირიქით - რეგიონში, სადაც ფუნქცია მცირდება, პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა ნულზე ნაკლებია. ლოკალურ მაქსიმალურ წერტილში პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა არის ნული. როგორც ჩანს, ფუნქციის ლოკალური მაქსიმუმის გამოსავლენად საჭიროა x წერტილის აღმოჩენა, სადაც ამ ფუნქციის პირველი წარმოებული უდრის ნულს. არგუმენტის რომელიმე მნიშვნელობისთვის საკვლევ სეგმენტზე xx? - უარყოფითი.

4. რომ იპოვო x? ამოხსენით განტოლება Y’=0. Y(x?)-ის მნიშვნელობა იქნება ადგილობრივი მაქსიმუმი, თუ ფუნქციის მეორე წარმოებული ამ ეტაპზე ნულზე ნაკლებია. იპოვეთ Y-ის მეორე წარმოებული“, ჩაანაცვლეთ არგუმენტის x = x მნიშვნელობა მიღებულ გამოსახულებაში? და შეადარეთ გამოთვლების შედეგი ნულთან.

5. ვთქვათ Y=-x?+x+1 ფუნქციას -1-დან 1-მდე ინტერვალზე აქვს მუდმივი წარმოებული Y’=-2x+1. x=1/2-ზე წარმოებული არის ნული და ამ წერტილის გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს „+“-დან „-ზე“. Y”=-2 ფუნქციის მეორე წარმოებული. დახაზეთ Y=-x?+x+1 ფუნქციის წერტილი-წერტილი გრაფიკი და შეამოწმეთ არის თუ არა წერტილი აბსცისის x=1/2 ლოკალური მაქსიმუმი რიცხვითი ღერძის მოცემულ მონაკვეთზე.

ვიდეო თემაზე

სასარგებლო რჩევა
წარმოებულის მოსაძებნად არის ონლაინ სერვისები, რომლებიც გამოთვლიან საჭირო მნიშვნელობებს და აჩვენებს შედეგს. ასეთ საიტებზე შესაძლებელია მე-5 რიგის წარმოებულების აღმოჩენა.