გრაფიკზე ფუნქციის მაქსიმალური წარმოებული. ფუნქციის მნიშვნელობები და მაქსიმალური და მინიმალური ქულები

ფუნქციის მნიშვნელობები და მაქსიმალური და მინიმალური ქულები

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა

როგორც ნათლიამ თქვა: „არაფერი პირადული“. მხოლოდ წარმოებულები!

სტატისტიკაში 12 ამოცანა საკმაოდ რთულად ითვლება და ეს ყველაფერი იმიტომ, რომ ბიჭებმა არ წაიკითხეს ეს სტატია (ხუმრობა). უმეტეს შემთხვევაში უყურადღებობის ბრალია.

12 დავალება ორი ტიპისაა:

იპოვეთ მაღალი/დაბალი წერტილი (მოგეთხოვებათ იპოვოთ "x" მნიშვნელობები).
იპოვეთ მახასიათებლის ყველაზე დიდი/პატარა მნიშვნელობა (მოგეთხოვებათ იპოვოთ "y" მნიშვნელობები).

როგორ მოვიქცეთ ამ შემთხვევებში?

იპოვნეთ მაღალი/დაბალი წერტილი

გაუტოლეთ ნულს.
ნაპოვნია ან ნაპოვნი "x" და იქნება მინიმალური ან მაქსიმალური ქულები.
განსაზღვრეთ ნიშნები ინტერვალის მეთოდით და აირჩიეთ რომელი წერტილია საჭირო ამოცანაში.

ამოცანები გამოცდებთან დაკავშირებით:

იპოვნეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ჩვენ ვიღებთ წარმოებულს:

ასეა, ჯერ ფუნქცია იზრდება, შემდეგ მცირდება - ეს არის მაქსიმალური წერტილი!
პასუხი: -15

იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი

გარდაქმენით და აიღეთ წარმოებული:

დიდი! ჯერ ფუნქცია მცირდება, შემდეგ იზრდება - ეს არის მინიმალური წერტილი!

პასუხი: -2

იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი/პატარა მნიშვნელობა

აიღეთ შემოთავაზებული ფუნქციის წარმოებული.
გაუტოლეთ ნულს.
ნაპოვნი "x" იქნება მინიმალური ან მაქსიმალური წერტილი.
განსაზღვრეთ ნიშნები ინტერვალის მეთოდით და აირჩიეთ რომელი წერტილია საჭირო ამოცანაში.
ასეთ ამოცანებში ყოველთვის არის უფსკრული: მე-3 პუნქტში ნაპოვნი x-ები უნდა იყოს შეტანილი ამ ხარვეზში.
საწყის განტოლებაში ჩავანაცვლოთ მიღებული მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილი, მივიღებთ ფუნქციის უდიდეს ან უმცირეს მნიშვნელობას.

ამოცანები გამოცდებთან დაკავშირებით:

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ინტერვალზე [−4; −1]

პასუხი: -6

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა სეგმენტზე

ფუნქციის უმაღლესი მნიშვნელობა არის "11" მაქსიმალურ წერტილში (ამ სეგმენტზე) "0".

პასუხი: 11

დასკვნები:

შეცდომების 70% არის ის, რომ ბიჭებს არ ახსოვთ, რაზე პასუხობენ ფუნქციის უდიდესი / უმცირესი მნიშვნელობა, რომელიც უნდა დაწეროთ "y", და შემდეგ ჩაწერეთ მაქსიმალური / მინიმალური წერტილი "x".
აქვს თუ არა წარმოებულს გამოსავალი ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნისას?არ აქვს მნიშვნელობა, შეცვალეთ უფსკრულის უკიდურესი წერტილები!
პასუხი ყოველთვის შეიძლება დაიწეროს როგორც რიცხვი ან ათწილადი.არა? შემდეგ შეცვალეთ მაგალითი.
დავალებების უმეტესობაში ერთ ქულას მოიპოვებენ და ჩვენი სიზარმაცე მაქსიმუმის ან მინიმუმის შემოწმების გამართლდება. ჩვენ მივიღეთ ერთი წერტილი - შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ პასუხად.
Და აქ ფუნქციის მნიშვნელობის ძიებისას, ეს არ უნდა გააკეთოთ!დარწმუნდით, რომ ეს არის სასურველი წერტილი, წინააღმდეგ შემთხვევაში, უფსკრულის უკიდურესი მნიშვნელობები შეიძლება იყოს უფრო დიდი ან მცირე.

რა არის ფუნქციის ექსტრემუმი და რა არის ექსტრემუმის აუცილებელი პირობა?

ფუნქციის უკიდურესობა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური.

ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმალურის (უკიდურობის) აუცილებელი პირობა ასეთია: თუ f(x) ფუნქციას აქვს უკიდურესი x = a წერტილში, მაშინ ამ ეტაპზე წარმოებული არის ნული, ან უსასრულო, ან აქვს. არ არსებობს.

ეს პირობა აუცილებელია, მაგრამ არა საკმარისი. წარმოებული x = a წერტილში შეიძლება გაქრეს, წავიდეს უსასრულობამდე ან არ არსებობდეს ფუნქციას ამ ეტაპზე ექსტრემის გარეშე.

რა არის საკმარისი პირობა ფუნქციის უკიდურესობისთვის (მაქსიმალური თუ მინიმალური)?

პირველი პირობა:

თუ x = a წერტილთან საკმარისად სიახლოვეს, წარმოებული f?(x) დადებითია a-დან მარცხნივ და უარყოფითია მარჯვნივ a-დან, მაშინ x = a წერტილში, ფუნქცია f(x) აქვს. მაქსიმუმ

თუ x = a წერტილთან საკმარისად სიახლოვეს, წარმოებული f?(x) უარყოფითია a-დან მარცხნივ და დადებითია a-დან მარჯვნივ, მაშინ x = a წერტილში, ფუნქცია f(x) აქვს. მინიმალურიიმ პირობით, რომ f(x) ფუნქცია აქ უწყვეტია.

ამის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეორე საკმარისი პირობა ფუნქციის ექსტრემისთვის:

მოდით x = წერტილში და პირველი წარმოებული f?(x) ქრება; თუ მეორე წარმოებული f??(а) უარყოფითია, მაშინ f(x) ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი x = a წერტილში, თუ დადებითია, მაშინ მინიმალური.

რა არის ფუნქციის კრიტიკული წერტილი და როგორ მოვძებნოთ იგი?

ეს არის ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქციას აქვს ექსტრემუმი (ანუ მაქსიმუმი ან მინიმალური). მის პოვნა გჭირდებათ იპოვნეთ წარმოებულიფუნქცია f?(x) და ნულის ტოლფასი, განტოლების ამოხსნა f?(x) = 0. ამ განტოლების ფესვები, ისევე როგორც ის წერტილები, რომლებზეც ამ ფუნქციის წარმოებული არ არსებობს, არის კრიტიკული წერტილები, ანუ არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებშიც შეიძლება იყოს ექსტრემუმი. . მათი ამოცნობა ადვილად შეიძლება ნახვით წარმოებული გრაფიკი: ჩვენ გვაინტერესებს არგუმენტის ის მნიშვნელობები, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკი კვეთს აბსცისის ღერძს (Ox ღერძი) და ის მნიშვნელობები, რომლებზეც გრაფიკი განიცდის რღვევებს.

მაგალითად, ვიპოვოთ პარაბოლის ექსტრემი.

ფუნქცია y(x) = 3x2 + 2x - 50.

ფუნქციის წარმოებული: y?(x) = 6x + 2

ვხსნით განტოლებას: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

ამ შემთხვევაში კრიტიკული წერტილია x0=-1/3. ფუნქციას აქვს არგუმენტის ამ მნიშვნელობისთვის ექსტრემალური. მის მისაღებად იპოვე, გამოსახულებაში ნაპოვნი რიცხვს ვანაცვლებთ ფუნქციას "x"-ის ნაცვლად:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

როგორ განვსაზღვროთ ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმალური, ე.ი. მისი ყველაზე დიდი და პატარა მნიშვნელობები?

თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება „პლუს“-დან „მინუსზე“ x0 კრიტიკულ წერტილში გავლისას, მაშინ x0 არის მაქსიმალური ქულა; თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე, მაშინ x0 არის მინიმალური ქულა; თუ ნიშანი არ იცვლება, მაშინ x0 წერტილში არ არის არც მაქსიმუმი და არც მინიმალური.

განხილული მაგალითისთვის:

ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის თვითნებურ მნიშვნელობას კრიტიკული წერტილის მარცხნივ: x = -1

როდესაც x = -1, წარმოებულის მნიშვნელობა იქნება y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ანუ მინუს ნიშანი).

ახლა ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის თვითნებურ მნიშვნელობას კრიტიკული წერტილის მარჯვნივ: x = 1

x = 1-ისთვის წარმოებულის მნიშვნელობა იქნება y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ანუ პლუს ნიშანი).

როგორც ხედავთ, კრიტიკულ წერტილში გავლისას, წარმოებულმა შეცვალა ნიშანი მინუსიდან პლუსზე. ეს ნიშნავს, რომ x0-ის კრიტიკულ მნიშვნელობაზე გვაქვს მინიმალური წერტილი.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე(სეგმენტზე) გვხვდება ერთი და იგივე პროცედურით, მხოლოდ იმის გათვალისწინებით, რომ, შესაძლოა, ყველა კრიტიკული წერტილი არ იყოს მითითებულ ინტერვალში. ის კრიტიკული წერტილები, რომლებიც ინტერვალის მიღმაა, უნდა გამოირიცხოს განხილვისგან. თუ ინტერვალის შიგნით არის მხოლოდ ერთი კრიტიკული წერტილი, მას ექნება მაქსიმუმი ან მინიმალური. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების დასადგენად, ჩვენ ასევე გავითვალისწინებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს ინტერვალის ბოლოებში.

მაგალითად, ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

y (x) \u003d 3 ცოდვა (x) - 0.5x

ინტერვალებით:

ასე რომ, ფუნქციის წარმოებული არის

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

ჩვენ ვხსნით განტოლებას 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

კრიტიკულ წერტილებს ვპოულობთ ინტერვალზე [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (არ შედის ინტერვალში)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (არ შედის ინტერვალში)

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობებს არგუმენტის კრიტიკულ მნიშვნელობებზე:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

ჩანს, რომ ინტერვალზე [-9; 9] ფუნქციას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

და ყველაზე პატარა - x = 4.88-ზე:

x = 4.88, y = -5.398.

ინტერვალზე [-6; -3] გვაქვს მხოლოდ ერთი კრიტიკული წერტილი: x = -4.88. ფუნქციის მნიშვნელობა x = -4.88-ზე არის y = 5.398.

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობას ინტერვალის ბოლოებში:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

ინტერვალზე [-6; -3] გვაქვს ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

y = 5,398 x = -4,88-ზე

ყველაზე პატარა ღირებულებაა

y = 1.077 x = -3-ზე

როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილები და განვსაზღვროთ ამოზნექის და ჩაზნექის მხარეები?

y \u003d f (x) წრფის ყველა გადახრის წერტილის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ მეორე წარმოებული, გაათანაბრო იგი ნულამდე (გადაწყვიტე განტოლება) და შეამოწმე x-ის ყველა ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მეორე წარმოებული არის ნული. , უსასრულო ან არ არსებობს. თუ ამ სიდიდეებიდან ერთ-ერთის გავლისას მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს, მაშინ ფუნქციის გრაფიკს ამ ეტაპზე აქვს ფლექსია. თუ ის არ იცვლება, მაშინ არ არის გადახრა.

განტოლების ფესვები f ? (x) = 0, ისევე როგორც ფუნქციის და მეორე წარმოებულის უწყვეტობის შესაძლო წერტილები, ყოფს ფუნქციის დომენს რამდენიმე ინტერვალებად. ამოზნექულობა მათ თითოეულ ინტერვალში განისაზღვრება მეორე წარმოებულის ნიშნით. თუ მეორე წარმოებული შესწავლილი ინტერვალის წერტილში დადებითია, მაშინ წრფე y = f(x) აქ არის ჩაზნექილი ზემოთ, ხოლო თუ უარყოფითია, მაშინ ქვემოთ.

როგორ მოვძებნოთ ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობა?

მისი მინიჭების არეალში დიფერენცირებადი ფუნქციის f(x, y) უკიდურესობის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

1) იპოვეთ კრიტიკული წერტილები და ამისთვის ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) თითოეული კრიტიკული წერტილისთვის P0(a;b) გამოიკვლიეთ, რჩება თუ არა სხვაობის ნიშანი უცვლელი

ყველა წერტილისთვის (x; y) საკმარისად ახლოს P0-თან. თუ განსხვავება ინარჩუნებს დადებით ნიშანს, მაშინ P0 წერტილში გვაქვს მინიმალური, თუ უარყოფითი, მაშინ მაქსიმუმი. თუ განსხვავება არ ინარჩუნებს თავის ნიშანს, მაშინ Р0 წერტილში ექსტრემი არ არის.

ანალოგიურად, ფუნქციის ექსტრემა განისაზღვრება არგუმენტების უფრო დიდი რაოდენობით.

რა არის ბანდეროს ჯგუფის ოფიციალური ვებგვერდი
რუსულენოვანი ჰიპ-ჰოპ შემსრულებლების საიტები: mad-a.ru - რეპ შემსრულებლის MAD-A-ს ოფიციალური საიტი (ფოტოები, მუსიკა, ბიოგრაფია); st1m.ru - რეპ არტისტის St1m ოფიციალური ვებგვერდი (მუსიკა, ვიდეო, ფოტოები, ინფორმაცია კონცერტების შესახებ, სიახლეები, ფორუმი); all1.ru - შემოქმედებითი ასოციაციის ოფიციალური ვებგვერდი

რა შემთხვევაში აქვს ავტომანქანის გაჩერების უფლება საგზაო პოლიციის ინსპექტორს
„პოლიციის შესახებ“ კანონის მე-13 მუხლის მე-20 პუნქტის დებულებებიდან გამომდინარე, საგზაო პოლიციის ინსპექტორს უფლება აქვს გააჩეროს სატრანსპორტო საშუალება (შემდგომში – სატრანსპორტო საშუალება), თუ ეს აუცილებელია პოლიციისთვის დაკისრებული მოვალეობების შესასრულებლად. საგზაო უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად და სხვა შემთხვევებში (იხილეთ სრული სია ქვემოთ). თუ ინსპექტორი ვიზუალურად

როგორ დავიცვათ სამუშაო წიგნი დამსაქმებლის მიერ განზრახ დაკარგვისგან
დამსაქმებლის მიერ სამუშაო წიგნის განზრახ დაკარგვისაგან (დაზიანებისგან) დასაცავად, რეკომენდებულია საწარმოს თანამშრომელმა მიიღოს სამუშაო წიგნის ასლი ნებისმიერი კანონიერი გზით, მაგალითად, სესხის აღების საბაბით და შეინახეთ იგი უსაფრთხო ადგილას. თუ არაკეთილსინდისიერი დამსაქმებელი განზრახ ანადგურებს თანამშრომლის დასაქმების ფაქტებს თავის საწარმოში (რათა თავიდან აიცილოს შრომის კანონმდებლობის დარღვევის გამოვლენა საწარმოში.

სად ინტერნეტში შეგიძლიათ იპოვოთ ყველა ტელეფონის დახმარება
"ყვითელი გვერდების" საიტები ინტერნეტში: yellow-pages.ru - საცნობარო ინფორმაციის ონლაინ ჟურნალი "ყვითელი გვერდები"; ypag.ru - დსთ-ს ყვითელი გვერდები; yellowpages.rin.ru - ყვითელი გვერდები

რამდენი გრადუსია რადიანში
რკალი 1 წუთი (1′) = რკალი 60 წამი (60″) რკალი 1 ხარისხი (1°) = რკალი 60 წუთი (60′) = რკალი 3600 წამი (3600″) 1 რადიანი ≈ 57,295779513° ≈ °17&პრიმ

მუსიკა ხელოვნების ფორმაა. მუსიკაში განწყობისა და გრძნობის გადმოცემის საშუალება სპეციალურად ორგანიზებული ხმებია. მუსიკის ძირითადი ელემენტები და გამომსახველობითი საშუალებებია: მელოდია, რიტმი, მეტრი, ტემპი, დინამიკა, ტემბრი, ჰარმონია, ინსტრუმენტაცია და სხვა. მუსიკა ბავშვის მხატვრული გემოვნების აღზრდის ძალიან კარგი საშუალებაა. მუსიკას შეუძლია გავლენა მოახდინოს განწყობაზე

რომელმა ქვეყნებმა უმასპინძლეს ფორმულა 1-ის გრან პრის 2005 წელს
2005 წელს მსოფლიო ჩემპიონატი შედგებოდა 19 გრანპრისგან, რომლებიც ჩატარდა შემდეგ ქვეყნებში: ავსტრალია, მალაიზია, ბაჰრეინი, სან მარინო, ესპანეთი, მონაკო, კანადა, აშშ, საფრანგეთი, დიდი ბრიტანეთი, გერმანია, უნგრეთი, თურქეთი, იტალია, ბელგია, ბრაზილია, იაპონია, ჩინეთი. ევროპის გრან-პრი გერმანიაში (ნიურბურგი) გაიმართა დაწვრილებით ვებგვერდზე http:/

რა არის ალოკაზია
ალოკაზია (Alocasia) აროიდების ოჯახი. სამშობლო სამხრეთ ამერიკა. იშვიათი მცენარე, რომელსაც უყვარს სათბურის პირობები (ტენიანობა და სითბო) და ამიტომ ფართოდ არ გამოიყენება მეყვავილეებში. ალოკაზია მშვენიერი შიდა მცენარეა, დიდი ოვალური (ან გულის ფორმის) ფოთლებით, რომელიც შეიძლება იყოს არაუმეტეს 6-7. ყველაზე გავრცელებულია

რას ნიშნავს ფრაზა "ჩვენ უკვე ვიგრძენით ამ ყვავილის სუნი"?
ფრაზა „ჩვენ უკვე ვიგრძენით ამ ყვავილის სუნი“ იგივე მნიშვნელობით გამოიყენება, როგორც ცნობილი ფრაზეოლოგიური ერთეული „ერთსა და იმავე რაფზე ორჯერ ფეხის გადადგმა“, ე.ი. ნაცნობ უსიამოვნო სიტუაციის წინაშე. ეს გამოთქმა გვხვდება ილია ილფის ფელეტონში "ახალგაზრდა ქალბატონები" (1929) შემდეგში.

სად ვიპოვო პანაკოტას რეცეპტი?
პანაკოტა კრემისა და ჟელატინისგან დამზადებული ყველაზე დელიკატური და მაცდური დესერტია, რომელსაც ამზადებენ იტალიაში, ემილია-რომანიას რეგიონში. სიტყვასიტყვით, დესერტის სახელი ითარგმნება როგორც "მოხარშული კრემი" ან "მოხარშული კრემი", მაგრამ არსებითად ეს არის კრემის პუდინგი სხვადასხვა დანამატების გარეშე ან სხვადასხვა დანამატებით.

რა არის 90 გრადუსის კოსინუსი
კოსინუსი არის ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც აღინიშნება cos-ით. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოსინუსი უდრის ამ კუთხიდან გამომავალი ფეხის (მიმდებარე ფეხი) ჰიპოტენუზასთან შეფარდებას.

მნიშვნელობა

უდიდესი

მნიშვნელობა

სულ მცირე

მაქსიმალური ქულა

დაბალი წერტილი

ფუნქციის ექსტრემალური წერტილების პოვნის ამოცანები წყდება სტანდარტული სქემის მიხედვით 3 ეტაპად.

Ნაბიჯი 1. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

დაიმახსოვრეთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულის ფორმულები და დიფერენციაციის ძირითადი წესები წარმოებულის საპოვნელად.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

ნაბიჯი 2. იპოვეთ წარმოებულის ნულები

ამოხსენით მიღებული განტოლება წარმოებულის ნულების საპოვნელად.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

ნაბიჯი 3. იპოვნეთ ექსტრემალური წერტილები

გამოიყენე ინტერვალის მეთოდი წარმოებულის ნიშნების დასადგენად;
მინიმალურ წერტილში წარმოებული არის ნული და ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, ხოლო მაქსიმალურ წერტილში პლუსიდან მინუსზე.

მოდით გამოვიყენოთ ეს მიდგომა შემდეგი პრობლემის გადასაჭრელად:

იპოვეთ y=x3−243x+19 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

1) იპოვეთ წარმოებული: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) ამოხსენით განტოლება y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) წარმოებული დადებითია x>9 და x<−9 и отрицательная при −9

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო:

იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები სეგმენტზე (ინტერვალი).
იპოვეთ მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში და აირჩიეთ ყველაზე დიდი ან ყველაზე პატარა მნიშვნელობა მნიშვნელობებიდან უკიდურეს წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში.

ეხმარება ბევრ საქმეში თეორემა:

თუ სეგმენტზე არის მხოლოდ ერთი უკიდურესი წერტილი და ეს არის მინიმალური წერტილი, მაშინ მასში მიიღწევა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა. თუ ეს არის მაქსიმალური წერტილი, მაშინ მასზე მიიღწევა მაქსიმალური მნიშვნელობა.

14. განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნება და ძირითადი თვისებები.

თუ ფუნქცია ვ(x X, და კ- ნომერი, მაშინ

მოკლედ რომ ვთქვათ: მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან.

თუ ფუნქციები ვ(x) და გ(x) აქვთ ანტიდერივატები ინტერვალზე X, ეს

მოკლედ რომ ვთქვათ: ჯამის ინტეგრალი უდრის ინტეგრალების ჯამს.

თუ ფუნქცია ვ(x) აქვს ანტიდერივატი ინტერვალზე X, შემდეგ ამ ინტერვალის შიდა წერტილებისთვის:

მოკლედ რომ ვთქვათ: ინტეგრალის წარმოებული ინტეგრადის ტოლია.

თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე Xდა დიფერენცირებადია ამ ინტერვალის შიდა წერტილებში, მაშინ:

მოკლედ რომ ვთქვათ: ფუნქციის დიფერენციალური ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციას პლუს ინტეგრაციის მუდმივი.

მოდით მივცეთ მკაცრი მათემატიკური განმარტება განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნებები.

კეთილი გამოხატულება ჰქვია ფუნქციის განუყოფელი ნაწილი f(x) , სად f(x) - ინტეგრანდული ფუნქცია, რომელიც მოცემულია (ცნობილი), dx - დიფერენციალური x , სიმბოლოთი ყოველთვის იმყოფება dx .

განმარტება. განუსაზღვრელი ინტეგრალიფუნქციას უწოდებენ F(x) + C , რომელიც შეიცავს თვითნებურ მუდმივას C , რომლის დიფერენციალი უდრის ინტეგრანდგამოხატულება f(x)dx , ე.ი. ან ფუნქციას ეძახიან ანტიდერივატიული ფუნქცია. ფუნქციის ანტიდერივატი განისაზღვრება მუდმივ მნიშვნელობამდე.

შეგახსენებთ, რომ - ფუნქციის დიფერენციალიდა განისაზღვრება შემდეგნაირად:

პრობლემის პოვნა განუსაზღვრელი ინტეგრალიარის ფუნქციის პოვნა წარმოებულირომელიც უდრის ინტეგრანდს. ეს ფუნქცია განისაზღვრება მუდმივამდე, რადგან მუდმივის წარმოებული არის ნული.

მაგალითად, ცნობილია, რომ , შემდეგ გამოდის, რომ , აქ არის თვითნებური მუდმივი.

ამოცანის პოვნა განუსაზღვრელი ინტეგრალიფუნქციებიდან არც ისე მარტივი და მარტივია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. ხშირ შემთხვევაში, უნდა არსებობდეს მუშაობის უნარი განუსაზღვრელი ინტეგრალები,უნდა იყოს გამოცდილება, რომელიც მოყვება პრაქტიკას და მუდმივ განუსაზღვრელი ინტეგრალების მაგალითების ამოხსნა.გასათვალისწინებელია ის ფაქტი, რომ განუსაზღვრელი ინტეგრალებიზოგიერთი ფუნქციიდან (საკმაოდ ბევრია) ელემენტარულ ფუნქციებში არ არის აღებული.

15. ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი.

ძირითადი ფორმულები

16. განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც ინტეგრალური ჯამის ზღვარი. ინტეგრალის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა.

y=ƒ(x) ფუნქცია განისაზღვროს [a; ბ], და< b. Выполним следующие действия.

1. x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B წერტილების გამოყენებით (x 0

2. თითოეულ ნაწილობრივ სეგმენტში, i = 1,2,...,n, ვირჩევთ თვითნებურ წერტილს i є-ით და ვიანგარიშებთ მასზე ფუნქციის მნიშვნელობას, ანუ მნიშვნელობას ƒ(i-ით).

3. გავამრავლოთ ƒ ფუნქციის ნაპოვნი მნიშვნელობა (i-დან) შესაბამისი ნაწილობრივი სეგმენტის სიგრძეზე ∆x i =x i -x i-1: ƒ (i-დან) ∆х i.

4. შეადგინეთ ყველა ასეთი პროდუქტის ჯამი S n:

ფორმის ჯამს (35.1) ეწოდება y \u003d ƒ (x) ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი [a; ბ]. λ-ით აღნიშნეთ უდიდესი ნაწილობრივი სეგმენტის სიგრძე: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. იპოვეთ ინტეგრალური ჯამის (35.1) ზღვარი, როგორც n → ∞ ისე, რომ λ→0.

თუ გარდა ამისა, ინტეგრალურ ჯამს S n აქვს ზღვარი I, რომელიც არ არის დამოკიდებული სეგმენტის დაყოფის მეთოდზე [a; b] ნაწილობრივ სეგმენტებად, ან მათში არსებული წერტილების არჩევიდან, მაშინ რიცხვს I ეწოდება y \u003d ƒ (x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი სეგმენტზე [a; b] და აღინიშნება ასე,

a და b რიცხვებს უწოდებენ შესაბამისად ინტეგრაციის ქვედა და ზედა ზღვრებს, ƒ(x) - ინტეგრანდს, ƒ(x) dx - ინტეგრანდს, x - ინტეგრაციის ცვლადს, სეგმენტს [a; b] - ინტეგრაციის არე (სეგმენტი).

ფუნქცია y \u003d ƒ (x), რომლისთვისაც სეგმენტზე [a; ბ] ამ ინტერვალზე არის განსაზღვრული ინტეგრალი, რომელსაც ეწოდება ინტეგრირებადი.

ახლა ჩამოვაყალიბოთ არსებობის თეორემა განსაზღვრული ინტეგრალისთვის.

თეორემა 35.1 (კოში). თუ ფუნქცია y = ƒ(x) უწყვეტია სეგმენტზე [a; b], შემდეგ განსაზღვრული ინტეგრალი

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის უწყვეტობა საკმარისი პირობაა მისი ინტეგრირებისთვის. თუმცა, განსაზღვრული ინტეგრალი ასევე შეიძლება არსებობდეს ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქციისთვის, კერძოდ, ნებისმიერი ფუნქციისთვის, რომელიც შემოსაზღვრულია ინტერვალზე და აქვს მასზე შეწყვეტის წერტილების სასრული რაოდენობა.

მოდით აღვნიშნოთ განსაზღვრული ინტეგრალის რამდენიმე თვისება, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან (35.2).

1. განსაზღვრული ინტეგრალი დამოუკიდებელია ინტეგრაციის ცვლადის აღნიშვნისაგან:

ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ინტეგრალური ჯამი (35.1) და, შესაბამისად, მისი ზღვარი (35.2) არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რომელი ასო აღნიშნავს ამ ფუნქციის არგუმენტს.

2. განსაზღვრული ინტეგრალი ინტეგრაციის იგივე ზღვრებით უდრის ნულს:

3. ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის c.

17. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითადი თვისებები.

დაუშვით ფუნქცია y = f(x)უწყვეტი სეგმენტზე და F(x)არის ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი ამ სეგმენტზე, მაშინ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა: .

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ე.წ ინტეგრალური გამოთვლის ძირითადი ფორმულა.

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის დასამტკიცებლად, ჩვენ გვჭირდება ინტეგრალის კონცეფცია ცვლადი ზედა ზღვრით.

თუ ფუნქცია y = f(x)უწყვეტი სეგმენტზე , მაშინ არგუმენტისთვის ფორმის ინტეგრალი არის ზედა ზღვრის ფუნქცია. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ფუნქციას და ეს ფუნქცია არის უწყვეტი და თანასწორობა .

მართლაც, დავწეროთ არგუმენტის ნამატის შესაბამისი ფუნქციის ნამატი და გამოვიყენოთ განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე თვისება და მეათე თვისებიდან მიღებული თანმიმდევრობა:

სად .

მოდით გადავიწეროთ ეს თანასწორობა ფორმაში . თუ გავიხსენებთ ფუნქციის წარმოებულის განმარტებას და მივდივართ ლიმიტამდე at, მაშინ მივიღებთ. ანუ არის ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი y = f(x)სეგმენტზე . ამრიგად, ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები F(x)შეიძლება დაიწეროს როგორც , სად თანარის თვითნებური მუდმივი.

გამოთვლა F(a)განსაზღვრული ინტეგრალის პირველი თვისების გამოყენებით: , შესაბამისად, . ჩვენ ვიყენებთ ამ შედეგს გამოსათვლელად F(b): ანუ . ეს თანასწორობა იძლევა ნიუტონ-ლაიბნიცის დასამტკიცებელ ფორმულას .

ფუნქციის ზრდა ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც . ამ აღნიშვნის გამოყენებით, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა იღებს ფორმას .

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოსაყენებლად საკმარისია ვიცოდეთ ერთ-ერთი ანტიდერივატი y=F(x)ინტეგრანდ y=f(x)სეგმენტზე და გამოთვალეთ ამ ანტიწარმოებულის ზრდა ამ სეგმენტზე. სტატიაში ინტეგრაციის მეთოდები გაანალიზებულია ანტიდერივატივის პოვნის ძირითადი გზები. მოდით მოვიყვანოთ განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლის რამდენიმე მაგალითი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით გასარკვევად.

მაგალითი.

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით.

გამოსავალი.

პირველი, გაითვალისწინეთ, რომ ინტეგრანტი უწყვეტია ინტერვალზე , შესაბამისად, მასზე ინტეგრირებადია. (ინტეგრირებადი ფუნქციების შესახებ ვისაუბრეთ ფუნქციების განყოფილებაში, რომელთათვისაც არსებობს გარკვეული ინტეგრალი).

განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილიდან ჩანს, რომ ფუნქციისთვის ანტიწარმოებულების სიმრავლე არგუმენტის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის (შესაბამისად, for) იწერება როგორც . ავიღოთ პრიმიტიული C=0: .

ახლა რჩება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება განსაზღვრული ინტეგრალის გამოსათვლელად: .

18. განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული აპლიკაციები.

განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული აპლიკაციები

მართკუთხა ს.კ.	პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქცია	Polyarnaya S.K.
სიბრტყის ფიგურების ფართობის გამოთვლა

პლანტური მრუდის რკალის სიგრძის გამოთვლა

რევოლუციის ზედაპირის ფართობის გამოთვლა

სხეულის მოცულობის გაანგარიშება

სხეულის მოცულობის გაანგარიშება პარალელური მონაკვეთების ცნობილი უბნებიდან:

ბრუნვის სხეულის მოცულობა: ; .

მაგალითი 1. იპოვეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით y=sinx, სწორი ხაზებით

გამოსავალი:ფიგურის ფართობის პოვნა:

მაგალითი 2. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

გამოსავალი:ვიპოვოთ ამ ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები. ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას

აქედან ვპოულობთ x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2.5.

19. დიფერენციალური კონტროლის კონცეფცია. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

დიფერენციალური განტოლება- განტოლება, რომელიც აკავშირებს ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობას თავად ფუნქციასთან, დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობებთან, რიცხვებთან (პარამეტრებთან). განტოლებაში შემავალი წარმოებულების თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს განსხვავებული (ფორმალურად, ეს არაფრით შეზღუდული არ არის). წარმოებულები, ფუნქციები, დამოუკიდებელი ცვლადები და პარამეტრები შეიძლება შედიოდეს განტოლებაში სხვადასხვა კომბინაციებში, ან ყველა წარმოებულის გარდა, სულ მცირე, შეიძლება საერთოდ არ იყოს. არცერთი განტოლება, რომელიც შეიცავს უცნობი ფუნქციის წარმოებულებს, არ არის დიფერენციალური განტოლება. Მაგალითად, არ არის დიფერენციალური განტოლება.

ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები(URCHP) არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს რამდენიმე ცვლადის უცნობ ფუნქციას და მათ ნაწილობრივ წარმოებულებს. ასეთი განტოლებების ზოგადი ფორმა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

სადაც არის დამოუკიდებელი ცვლადები და არის ამ ცვლადების ფუნქცია. ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ისევე, როგორც ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებისთვის. ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი კლასიფიკაცია არის მათი დაყოფა ელიფსური, პარაბოლური და ჰიპერბოლური ტიპის განტოლებად, განსაკუთრებით მეორე რიგის განტოლებისთვის.

როგორც ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები, ასევე ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები შეიძლება დაიყოს ხაზოვანიდა არაწრფივი. დიფერენციალური განტოლება წრფივია, თუ უცნობი ფუნქცია და მისი წარმოებულები შედიან განტოლებაში მხოლოდ პირველ ხარისხში (და არ მრავლდებიან ერთმანეთთან). ასეთი განტოლებისთვის ამონახსნები ქმნიან ფუნქციების სივრცის აფინურ ქვესივრცეს. წრფივი დიფერენციალური განტოლებების თეორია ბევრად უფრო ღრმად არის შემუშავებული, ვიდრე არაწრფივი განტოლებების თეორია. წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ფორმა ნ- რიგი:

სად პი(x) არის დამოუკიდებელი ცვლადის ცნობილი ფუნქციები, რომელსაც ეწოდება განტოლების კოეფიციენტები. ფუნქცია რ(x) მარჯვენა მხარეს ეძახიან თავისუფალი წევრი(ერთადერთი ტერმინი, რომელიც არ არის დამოკიდებული უცნობ ფუნქციაზე) წრფივი განტოლებების მნიშვნელოვანი კონკრეტული კლასია წრფივი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტები.

წრფივი განტოლებათა ქვეკლასი არის ერთგვაროვანიდიფერენციალური განტოლებები - განტოლებები, რომლებიც არ შეიცავს თავისუფალ ტერმინს: რ(x) = 0. ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებისთვის მოქმედებს სუპერპოზიციის პრინციპი: ასეთი განტოლების კონკრეტული ამონახსნების წრფივი კომბინაცია ასევე იქნება მისი ამონახვა. ყველა სხვა წრფივი დიფერენციალური განტოლება ეწოდება ჰეტეროგენულიდიფერენციალური განტოლებები.

არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები ზოგად შემთხვევაში არ აქვთ განვითარებული ამოხსნის მეთოდები, გარდა ზოგიერთი კონკრეტული კლასისა. ზოგიერთ შემთხვევაში (გარკვეული მიახლოებების გამოყენებით) ისინი შეიძლება შემცირდეს ხაზოვანზე. მაგალითად, ჰარმონიული ოსცილატორის წრფივი განტოლება შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკური ქანქარის არაწრფივი განტოლების მიახლოებად მცირე ამპლიტუდების შემთხვევაში, როცა წ≈ ცოდვა წ.

· არის მეორე რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით. ამოხსნა არის ფუნქციების ოჯახი, სადაც და არის თვითნებური მუდმივები, რომლებიც კონკრეტული ამოხსნისთვის განისაზღვრება ცალკე მითითებული საწყისი პირობებიდან. ეს განტოლება, კერძოდ, აღწერს ჰარმონიული ოსცილატორის მოძრაობას ციკლური სიხშირით 3.

· ნიუტონის მეორე კანონი შეიძლება დაიწეროს დიფერენციალური განტოლების სახით სად მ- სხეულის მასა, x- მისი კოორდინატი, ფ(x, ტ) არის ძალა, რომელიც მოქმედებს სხეულზე კოორდინატთან ერთად xდროზე ტ. მისი გამოსავალი არის სხეულის ტრაექტორია მითითებული ძალის მოქმედების ქვეშ.

· ბესელის დიფერენციალური განტოლება არის მეორე რიგის ჩვეულებრივი წრფივი ჰომოგენური განტოლება ცვლადი კოეფიციენტებით: მისი ამონახსნები არის ბესელის ფუნქციები.

პირველი რიგის არაერთგვაროვანი არაწრფივი ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების მაგალითი:

მაგალითების შემდეგ ჯგუფში უცნობი ფუნქცია uდამოკიდებულია ორ ცვლადზე xდა ტან xდა წ.

პირველი რიგის ჰომოგენური წრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლება:

ერთგანზომილებიანი ტალღური განტოლება - ერთგვაროვანი წრფივი განტოლება მეორე რიგის ჰიპერბოლური ტიპის ნაწილობრივ წარმოებულებში მუდმივი კოეფიციენტებით, აღწერს სიმის ვიბრაციას, თუ - სიმის გადახრას კოორდინატთან წერტილში. xდროზე ტდა პარამეტრი აადგენს სტრიქონების თვისებებს:

ლაპლასის განტოლება ორგანზომილებიან სივრცეში არის ელიფსური ტიპის მეორე რიგის ნაწილობრივი დიფერენციალური ერთგვაროვანი წრფივი განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით, რომელიც წარმოიქმნება მექანიკის, სითბოს გამტარობის, ელექტროსტატიკის, ჰიდრავლიკის მრავალ ფიზიკურ პრობლემაში:

Korteweg-de Vries განტოლება, არაწრფივი მესამე რიგის ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლება, რომელიც აღწერს სტაციონარულ არაწრფივ ტალღებს, მათ შორის სოლიტონებს:

20. დიფერენციალური განტოლებები განცალკევებით გამოიყენება. წრფივი განტოლებები და ბერნულის მეთოდი.

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც წრფივია უცნობი ფუნქციისა და მისი წარმოებულის მიმართ. Ეს ჰგავს

მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, რომლებიც გვხვდება გარკვეული ალგორითმის მიხედვით. ეს არის მთავარი მაჩვენებელი ფუნქციის პოვნაში. წერტილი x0 არის მინიმალური წერტილი, თუ x0-ის გარკვეული სამეზობლოდან ყველა x-ისთვის არის f(x) უტოლობა? f(x0) (მაქსიმალური წერტილისთვის საპირისპირო უტოლობა ობიექტურად არის f(x) ? f(x0)).

ინსტრუქცია

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული. წარმოებული ახასიათებს ფუნქციის მეტამორფოზას გარკვეულ წერტილში და განისაზღვრება, როგორც ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, ის, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ. მის საპოვნელად გამოიყენეთ წარმოებულების ცხრილი. ვთქვათ y = x3 ფუნქციის წარმოებული იქნება y' = x2.

2. გაუტოლეთ ამ წარმოებულს ნულს (ამ შემთხვევაში x2=0).

3. იპოვეთ მოცემული გამოხატვის ცვლადის მნიშვნელობა. ეს იქნება მნიშვნელობები, რომლებშიც ეს წარმოებული იქნება 0-ის ტოლი. ამისათვის გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ თვითნებური რიცხვები x-ის ნაცვლად, რომლებზეც მთელი გამოხატულება გახდება ნული. თქვით: 2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1

4. გამოიყენეთ მიღებული მნიშვნელობები კოორდინატთა ხაზზე და გამოთვალეთ წარმოებულის ნიშანი ყველა მიღებული ინტერვალისთვის. კოორდინატთა ხაზზე აღინიშნება წერტილები, რომლებიც აღებულია მითითების წინასიტყვაობად. ინტერვალებზე მნიშვნელობის გამოსათვლელად, შეცვალეთ თვითნებური მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება კრიტერიუმებს. ვთქვათ წინა ფუნქციისთვის -1 ინტერვალამდე, ნებადართულია -2 მნიშვნელობის უპირატესობა. -1-დან 1-მდე ინტერვალზე შეგიძლიათ აირჩიოთ 0, ხოლო 1-ზე მეტი მნიშვნელობებისთვის აირჩიეთ 2. ჩაანაცვლეთ ეს რიცხვები წარმოებულში და გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშანი. ამ შემთხვევაში წარმოებული x = -2 ტოლი იქნება -0,24, ე.ი. უარყოფითი და ამ ინტერვალში იქნება მინუს ნიშანი. თუ x=0, მაშინ მნიშვნელობა იქნება 2-ის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე დადებითი ნიშანია დატანილი. თუ x=1, მაშინ წარმოებულიც იქნება -0,24-ის ტოლი და ამიტომ მინუს დგება.

5. თუ კოორდინატთა ხაზის წერტილის გავლისას წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, მაშინ ეს არის მინიმალური წერტილი, ხოლო თუ პლუსიდან მინუსამდე, მაშინ ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

ფუნქციის მაქსიმალურ წერტილებს მინიმალურ წერტილებთან ერთად ექსტრემალური წერტილები ეწოდება. ამ წერტილებში ფუნქცია ცვლის ქცევის ხასიათს. ექსტრემები განისაზღვრება შეზღუდული რიცხვითი ინტერვალებით და უცვლელად ლოკალურია.

ინსტრუქცია

1. ლოკალური კიდურების პოვნის პროცესს ეწოდება ფუნქციის ძიება და ხორციელდება ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულების მიმოხილვით. ძიების დაწყებამდე დარწმუნდით, რომ არგუმენტების მნიშვნელობების მოცემული დიაპაზონი მიეკუთვნება შესაძლო მნიშვნელობებს. ვთქვათ, F=1/x ფუნქციისთვის, x=0 არგუმენტის მნიშვნელობა მიუღებელია. ან Y=tg(x) ფუნქციისთვის არგუმენტს არ შეიძლება ჰქონდეს x=90° მნიშვნელობა.

2. დარწმუნდით, რომ Y ფუნქცია დიფერენცირებადია ყოველ მოცემულ ინტერვალზე. იპოვეთ Y'-ის პირველი წარმოებული. როგორც ჩანს, ლოკალურ მაქსიმალურ წერტილამდე მიღწევამდე ფუნქცია იზრდება, ხოლო მაქსიმუმზე გავლისას ფუნქცია მცირდება. პირველი წარმოებული თავისი ფიზიკური მნიშვნელობით ახასიათებს ფუნქციის მეტამორფოზის სიჩქარეს. სანამ ფუნქცია იზრდება, ამ პროცესის სიჩქარე დადებითი მნიშვნელობაა. ლოკალური მაქსიმუმის გავლისას ფუნქცია იწყებს კლებას და ფუნქციის მეტამორფოზის პროცესის ტემპი ხდება უარყოფითი. ფუნქციის მეტამორფოზის სიჩქარის ნულზე გადასვლა ხდება ადგილობრივ მაქსიმალურ წერტილში.

3. შესაბამისად, ფუნქციის გაზრდის ადგილზე, მისი პირველი წარმოებული დადებითია ამ ინტერვალზე არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის. და პირიქით - კლების ფუნქციის ადგილზე პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა ნულზე ნაკლებია. ლოკალურ მაქსიმალურ წერტილში პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა არის ნული. როგორც ჩანს, ფუნქციის ლოკალური მაქსიმუმის საპოვნელად საჭიროა ვიპოვოთ წერტილი x?, სადაც ამ ფუნქციის პირველი წარმოებული უდრის ნულს. შესწავლილ xx სეგმენტზე არგუმენტის რომელიმე მნიშვნელობისთვის? - უარყოფითი.

4. რომ იპოვო x? ამოხსენით განტოლება Y'=0. Y(x?)-ის მნიშვნელობა იქნება ადგილობრივი მაქსიმუმი, თუ ფუნქციის მეორე წარმოებული ამ ეტაპზე ნულზე ნაკლებია. იპოვეთ Y-ის მეორე წარმოებული“, შეცვალეთ მიღებულ გამონათქვამში არგუმენტის მნიშვნელობა x \u003d x? და შეადარეთ გამოთვლების შედეგი ნულთან.

5. ვთქვათ Y=-x?+x+1 ფუნქციას -1-დან 1-მდე ინტერვალზე აქვს მუდმივი წარმოებული Y'=-2x+1. x=1/2-ზე წარმოებული ნულის ტოლია და ამ წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს „+“-დან „-ზე“. Y”=-2 ფუნქციის მეორე წარმოებული. ააგეთ Y=-x?+x+1 ფუნქციის წერტილი-პუნქტიანი გრაფიკი და შეამოწმეთ, არის თუ არა წერტილი აბსცისის x=1/2 ლოკალური მაქსიმუმი რიცხვითი ღერძის მოცემულ სეგმენტზე.

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა
წარმოებულის მოსაძებნად, არის ონლაინ სერვისები, რომლებიც გამოთვლიან საჭირო მნიშვნელობებს და აჩვენებს შედეგს. ასეთ საიტებზე შესაძლებელია წარმოებულის აღმოჩენა მე-5 რიგის ჩათვლით.