„განტოლებების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდები. §3 ირაციონალური განტოლებები, რომლებიც შემცირდება მოდულამდე. ამრიგად, მივიღეთ განტოლება

განტოლებების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდები.

რიბენკოვა M.P.

MBOU "სკოლა 140"

ნ.ნოვგოროდი.

თავი ᲛᲔ. გაიდლაინები შესწავლის არასტანდარტული

განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

1. მეორე კონცენტრაციაში ვარჯიშის თავისებურებები.

1.2. არასტანდარტული მეთოდები.

1.3. შემოქმედებითი აზროვნების განვითარება განტოლებების არასტანდარტული მეთოდებით ამოხსნისას.

თავი მე მე. განტოლებების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდები.

2.1. განტოლებების ამოხსნა ODZ კვლევის გამოყენებით

2.2 განტოლებების ამოხსნა მნიშვნელობათა სიმრავლის გამოყენებით

2.3 ფუნქციების ერთფეროვნების გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას

2.4 ეკვივალენტობის გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას

2.5.ფუნქციების პარიტეტის გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას

2.6 ვექტორების გამოყენება განტოლებების ამოსახსნელად

2.7 საშუალო არითმეტიკული უტოლობის გამოყენება

და გეომეტრიული საშუალო განტოლებების ამოხსნისას

დასკვნა.

ბიბლიოგრაფია.

თავი ᲛᲔ. გადაწყვეტის არასტანდარტული მეთოდების შესწავლის სახელმძღვანელო.

1.1.მეორე კონცენტრაციაში ვარჯიშის თავისებურებები.

"აქტივობის სწავლება შეუძლებელია, მაგრამ მისი დაუფლება შესაძლებელია."

თანამედროვე სკოლის პირობებში მასწავლებლის წინაშე დგას ამოცანა, მოაწყოს სასწავლო პროცესი ისე, რომ სკოლა იქცეს არა ცოდნის ჯამის შეძენის, არამედ პიროვნული განვითარების, ინტელექტუალური ტექნიკის დაუფლების ადგილად. საჭირო მომავალში. ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია უფროს კლასებში, კურსდამთავრებულებისთვის, რომლებსაც მალე მოუწევთ ზრდასრულ ცხოვრებაში ადაპტაცია, გადაწყვეტილებების დამოუკიდებლად მიღება და პასუხისმგებლობის აღება.

10-11 კლასებში გაკვეთილების ორგანიზებისას, მათ შორის პრაქტიკული გაკვეთილების ჩათვლით, მასწავლებელმა, პირველ რიგში, უნდა გაითვალისწინოს განათლების კონცენტრული სტრუქტურის თავისებურებები.

პირველ კონცენტრაციაში ტრენინგი მოიცავს ფაქტების შესწავლას. 5-9 კლასებში მოსწავლე ეცნობა ფაქტებს, აგროვებს მათ, სისტემატიზაციას და ათვისებას, იძენს მათემატიკურ ცოდნას მინიმუმს.

მეორე კონცენტრაცია ითვალისწინებს ასიმილაციის ფუნდამენტურად ახალ დონეს სასწავლო მასალა. მასწავლებელი მოსწავლეებს ყურადღებას ამახვილებს არა ინფორმაციულ, არამედ ასიმილაციის პრობლემურ პრინციპზე. ამრიგად, აქცენტი კეთდება მათემატიკაში პრობლემაზე დაფუძნებულ სწავლაზე. პრობლემაზე დაფუძნებული სწავლის არსი მდგომარეობს პრობლემის ფორმულირებაში, ამოცანის გადასაჭრელად. ეს არის სწავლა, რომელიც ეფუძნება მოსწავლეთა აქტიურ ჩართულობას სასწავლო პროცესში. ამ მხრივ მნიშვნელოვნად იცვლება მასწავლებლისა და მოსწავლის ფუნქციები, განათლების მიზნები.

თუ პირველი კონცენტრაციის ფარგლებში ჭარბობს მასწავლებლის მიერ ახალი ინფორმაციის გადაცემა, ანუ ინფორმაციულ-რეპროდუქციული დონე, მაშინ მეორე კონცენტრაციაში აქცენტი კეთდება მათემატიკური პროცესის არსის გაგებაზე, მიზეზ-შედეგობრივი კავშირების დადგენაზე. , მოვლენის ადგილისა და როლის განსაზღვრაზე, თავად მოსწავლეების მიერ ფაქტების გაანალიზებაზე მასწავლებლის ხელმძღვანელობით.

ამრიგად, მოსწავლე იქცევა საგანმანათლებლო საქმიანობის საგნად, მასწავლებლის ამოცანა კი არის ორგანიზაციული, მენეჯერული (მასწავლებელი გაკვეთილის მენეჯერია). საგანმანათლებლო პრობლემები ადვილად გამოვლენილია თეორიებსა და ფაქტებს შორის კავშირების დამყარებისას, თეორიებსა და ცნებებს შორის, ცალკეულ ცნებებს შორის და ა.შ. ასე, მაგალითად, პრობლემა ისაა, თუ რატომ არ შეიძლება იგივე, ვთქვათ, ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ერთსა და იმავე სიძლიერეზე აწევით.

1.2 „არასტანდარტული“ მეთოდები.

რა მეთოდებს უწოდებენ არასტანდარტულს? „განტოლებების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდები ისეთი ატიპიური მეთოდებია, რომლებიც შეიცავს ორიგინალურ, კრეატიულ იდეას, ეს არ არის ტრადიციული მეთოდები, რომლებიც შორს არის შაბლონისგან. განტოლების ამოხსნის მეთოდის შეფასება ტრადიციულობის (არასტანდარტული) პოზიციიდან დიდწილად სუბიექტურია: რამდენად უჩვეულოა შემოთავაზებული მეთოდი მოსწავლისთვის, ამიტომ არასტანდარტული. და, ალბათ, არასტანდარტული იდეის უმაღლესი ხარისხი მისი მოულოდნელობაა.

„არასტანდარტული“ მეთოდის ცნება შედარებითია. როგორც კი მასწავლებელი აცნობს მოსწავლეებს განტოლებების ამოხსნის ასეთ მეთოდებს, ისინი წყვეტენ „არასტანდარტულად“.

არასტანდარტული ამოცანები, ისევ პირობითად, შეიძლება დაიყოს ორ ტიპად: გარეგნულად არასტანდარტული და სტანდარტული. ხშირად, პირველი ტიპის ამოცანა არის რაღაც „ფუნქციური ვინეგრეტის“ მსგავსი, ე.ი. იგი აგებულია მათემატიკის სხვადასხვა დარგის ფუნქციებით. Მაგალითად: .

სიტუაცია განსხვავებულია მეორე ტიპის ამოცანებისთვის. მათი გარეგანი „დამამშვიდებელი სტანდარტი“ ერთგვარი მოტყუებაა. ხშირად, ავთვისებიანი კანონის თანახმად, გრძელი ხსნარი ნაკლებად შენიღბულია, ვიდრე მოკლე. ასეთ შემთხვევებში სასარგებლოა პრობლემის მდგომარეობის ხელახალი ანალიზი და რაც მთავარია, მისი სპეციფიკური მახასიათებლების პოვნა, რაც შესაძლებელს გახდის მისი ტრადიციული იდეის აღმოჩენას. ამიტომ, ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად, განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ისეთი თვისებები, როგორიცაა სწრაფი ჭკუა, ინტუიცია და მაღალი ლოგიკური კულტურა. ამავდროულად, საერთოდ არ გვინდა ვთქვათ, რომ მეორე ტიპის პრობლემები უფრო რთულია, ვიდრე პირველი: არატრადიციული იდეის ძიების აუცილებლობის განცდა არ ნიშნავს, რომ ის მოიძებნება.

სამწუხაროდ, არ არსებობს უნივერსალური მეთოდი, რომელიც ნებისმიერი განტოლების, ნებისმიერი არასტანდარტული პრობლემის ამოხსნის საშუალებას იძლევა. მაგრამ იმისათვის, რომ მივაღწიოთ კარგი შედეგი, უნდა დაიცვან შემდეგი მითითებები:

1) ინტერესის გაღვივება კონკრეტული პრობლემის გადაჭრის მიმართ. (ასეთი განტოლებების ამოხსნა შეგიძლიათ ასწავლოთ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოსწავლეს აქვს სურვილი.) მასწავლებლის უნარს, შეარჩიოს საინტერესო ამოცანები.

2) პრობლემები არ უნდა იყოს ზედმეტად ადვილი ან ძალიან რთული, რათა მოსწავლემ არ დაკარგოს საკუთარი თავის რწმენა, არ შესთავაზოს მოსწავლეებს ისეთი პრობლემები, რომლებსაც აშკარად ვერ გადაჭრიან.

3) თუ ისინი არ წყვეტენ მოცემულ პრობლემას, მაშინ არ შესთავაზეთ მის გადაწყვეტას, არამედ შესთავაზეთ იდეა გადაწყვეტისთვის, ან გეგმა, ან დამხმარე ამოცანები.

4) აღნიშნეთ მოსწავლეების წარმატება ამ ტიპის პრობლემის გადაჭრაში.

5) არაფერია ცუდი იმაში, რომ ასეთი ამოცანების გადაჭრისას მოსწავლემ მიმართა ვინმეს დახმარებისთვის, მას აინტერესებს დავალება და სხვის მიერ შემოთავაზებული ამოხსნის მეთოდის შესწავლა ხელს შეუწყობს მათემატიკური მარაგის დაგროვებას. ფაქტები.

1.3.შემოქმედებითი აზროვნების განვითარება განტოლებების არასტანდარტული მეთოდებით ამოხსნისას.

განტოლების ამოხსნის არატრადიციული გზის დამოუკიდებელი ძიება, რაც იწვევს ამოხსნის სწრაფ და რაციონალურ გზას, ხელს უწყობს შემოქმედებითი აზროვნების განვითარებას.

ფსიქოლოგებმა დიდი ძალისხმევა და დრო დახარჯეს იმის გასარკვევად, თუ როგორ წყვეტს ადამიანი ახალ, უჩვეულო, არასტანდარტულ, შემოქმედებით ამოცანებს. თუმცა, ჯერ კიდევ არ არსებობს მკაფიო პასუხი შემოქმედების ფსიქოლოგიური ბუნების კითხვაზე. მეცნიერებას აქვს მხოლოდ გარკვეული მონაცემები, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს ნაწილობრივ აღვწეროთ ადამიანის მიერ ასეთი პრობლემების გადაჭრის პროცესი, დავახასიათოთ ის პირობები, რომლებიც ხელს უწყობს და ხელს უშლის სწორი გადაწყვეტის პოვნას.

აზროვნება განსხვავდება სხვა ფსიქოლოგიური პროცესებისგან იმით, რომ იგი თითქმის ყოველთვის ასოცირდება პრობლემური სიტუაციის არსებობასთან, რომელიც უნდა გადაწყდეს. ინფორმაციაზე დაფუძნებული აზროვნებისას კეთდება გარკვეული თეორიული და პრაქტიკული დასკვნები.

აზროვნება არის იდეების მოძრაობა, საგნების არსის გამოვლენა. მისი შედეგი არის არა სურათი, არამედ გარკვეული აზრი, იდეა.

რა არის შემოქმედებითი აზროვნება? ერთ-ერთი პირველი, ვინც ამ კითხვაზე პასუხის ჩამოყალიბება სცადა, იყო ჯ. გილფორდი. მას მიაჩნდა, რომ აზროვნების „კრეატიულობა“ დაკავშირებულია მასში ოთხი თვისების დომინირებასთან.

ა. ორიგინალურობა, არატრივიალურობა, გამოხატული უჩვეულო იდეები, გამოხატული სურვილი ინტელექტუალური სიახლისკენ. შემოქმედებითი ადამიანი თითქმის ყოველთვის და ყველგან ეძებს საკუთარი გადაწყვეტის პოვნას, სხვებისგან განსხვავებული.

B სემანტიკური მოქნილობა, ე.ი. ობიექტის ახალი კუთხით დანახვის უნარი, მისი ახალი გამოყენების აღმოჩენა, პრაქტიკაში ფუნქციონალური გამოყენების გაფართოება.

B. გამოსახულების ადაპტაციური მოქნილობა, ე.ი. უნარი შეცვალოს ობიექტის აღქმა ისე, რომ დაინახოს მისი ახალი მხარეები, დაკვირვებისგან დაფარული.

D. სემანტიკური სპონტანური მოქნილობა, ე.ი. გაურკვეველ სიტუაციაში სხვადასხვა იდეების წარმოქმნის შესაძლებლობა, კერძოდ ის, რომელიც არ შეიცავს ამ იდეების მითითებებს.

შემოქმედებითი აზროვნების კვლევისას გამოვლინდა პირობები, რომლებიც ხელს უწყობენ შემოქმედებითი პრობლემის გადაჭრის სწრაფ პოვნას:

1. თუ წარსულში ადამიანის მიერ გარკვეული პრობლემების გადაჭრის გარკვეული გზა საკმაოდ წარმატებული აღმოჩნდა, მაშინ ეს გარემოება მას უბიძგებს განაგრძოს გადაჭრის ამ მეთოდის დაცვა. როდესაც ახალი დავალების წინაშე დგას, ადამიანი მიდრეკილია პირველ რიგში გამოიყენოს იგი.

2. რაც უფრო მეტი ძალისხმევა დაიხარჯა პრობლემის გადაჭრის ახალი ხერხის პოვნასა და პრაქტიკაში დანერგვაზე, მით მეტია მისი მომავალში გამოყენების ალბათობა. გადაჭრის რაღაც ახალი ხერხის აღმოჩენის ფსიქოლოგიური ღირებულება პროპორციულია მისი რაც შეიძლება ხშირად გამოყენების პრაქტიკაში გამოყენების სურვილისა.

3. ინტელექტუალური პრობლემების გადაჭრისას მაქსიმალური ეფექტურობა მიიღწევა ოპტიმალური მოტივაციისა და ემოციური აღგზნების შესაბამისი დონით. ეს დონე განსხვავებულია თითოეული ადამიანისთვის.

პირობები, რომლებიც ხელს უშლის შემოქმედებითი პრობლემის სწრაფ გადაწყვეტას:

1. აზროვნების სტერეოტიპის გაჩენა, რომელიც ზემოაღნიშნული პირობებიდან გამომდინარე ხელს უშლის ადამიანს მიატოვოს პირველი და ეძებოს ახალი, უფრო შესაფერისი გზა პრობლემის გადასაჭრელად.

ასეთი ჩამოყალიბებული სტერეოტიპის დაძლევის ერთ-ერთი გზაა პრობლემის გადაჭრის მცდელობის საერთოდ შეწყვეტა ცოტა ხნით და შემდეგ მასზე დაბრუნება, მტკიცე დამოკიდებულებით, რომ სცადოთ მხოლოდ ახალი გზები გამოსავლის პოვნაში.

2. ადამიანის ინტელექტუალური შესაძლებლობები, როგორც წესი, იტანჯება ხშირი წარუმატებლობებით და ახალი ამოცანის წინაშე დგომისას ავტომატურად იწყება შიში მორიგი წარუმატებლობისა. ის წარმოშობს თავდაცვით რეაქციებს, რომლებიც ხელს უშლის შემოქმედებით აზროვნებას, რაც ჩვეულებრივ ასოცირდება საკუთარი „მე“-ს რისკთან. შედეგად ადამიანი კარგავს საკუთარი თავის რწმენას, აგროვებს ნეგატიურ ემოციებს, რაც ხელს უშლის აზროვნებაში. წარმატების განცდა ისეთივე აუცილებელია ადამიანების ინტელექტუალური პოტენციალის გასაძლიერებლად, როგორც ნებისმიერი მოძრაობის სისწორის განცდა მისი ასიმილაციისთვის.

რაც მეტი ცოდნა ექნება ადამიანს, მით უფრო მრავალფეროვანი იქნება მისი მიდგომები შემოქმედებითი პრობლემების გადაჭრის მიმართ. თუმცა, შესაბამისი ცოდნა უნდა იყოს მრავალმხრივი, რადგან მას აქვს უნარი ორიენტირებული აზროვნება გადაწყვეტის სხვადასხვა მიდგომებზე.

რატომ განტოლებები? სწავლის მთელი წლების განმავლობაში ისინი გადაწყვეტენ განსხვავებული სახეობებიგანტოლებები: წრფივი, კვადრატი, წილადი რაციონალური, ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ა.შ., მაგრამ პრობლემა რჩება: განტოლებების ამოხსნა მათემატიკაში ერთ-ერთი ყველაზე რთული ამოცანაა. მაშინაც კი, თუ მოსწავლე სწორად ახორციელებს მასში შემავალი გამოთქმების იდენტურ გარდაქმნებს, ზუსტად ითვლის. თქვენ უნდა იცოდეთ რა მეთოდები, რა სიტუაციებში უნდა გამოიყენოთ და ეს უნარი განვითარებულია გადაჭრის სხვადასხვა მეთოდების ცოდნით და ბევრი პრაქტიკით.

თუ მოსწავლე ისწავლის განტოლებების ამოხსნას. ის ამ ცოდნას გადასცემს უტოლობათა ამოხსნას, განტოლებათა სისტემებს და უტოლობას. არასტანდარტული მეთოდები იყენებს განტოლებებში შემავალი ყველა ფუნქციის თვისებებს, ვექტორების სკალარული ნამრავლის ცოდნას, უტოლობას არითმეტიკულ საშუალოსა და დადებითი რიცხვების გეომეტრიულ საშუალოს შორის და მრავალი სხვა. ეს ავითარებს ცოდნის გადაცემის უნარს ერთი საგნიდან მეორეზე და სხვა სასწავლო სიტუაციებში. მოსწავლეს განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდით შეიარაღების გამო, მისი აზროვნება განიცდის ცვლილებებს, სტუდენტი თავად იწყებს განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მიდგომების შეთავაზებას, ზოგჯერ კი საინტერესო არასტანდარტულ ამონახსნებს. მას აღარ ეშინია ხანდახან არასტანდარტული განტოლების რთული გარეგნობის, გადაჭრის სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით, რომელთა ამოხსნის არასტანდარტული ქრება.

განტოლებების ამოხსნის მეთოდებზე ცოდნის გასაღრმავებლად გამოიყენება ინდივიდუალურ-ჯგუფური გაკვეთილები, მესამე კვარტალიდან დაწყებული.

ჩვენი კლასების მთავარი მიზანი პოტენციალის განვითარებაა შემოქმედებითი უნარებითითოეულ მოსწავლეს, პრობლემების გადაჭრის სირთულის წინასწარ შეზღუდვის გარეშე. როგორც ხედავთ, პირადი მიზანი - საკონკურსო გამოცდისთვის მომზადება - ემთხვევა საჯარო მიზანს - საშუალო სკოლის კურსდამთავრებულთა მათემატიკური მომზადების დონის ამაღლებას. მიზნის მიუხედავად, მოსწავლეებს აქვთ გაზრდილი ინტერესი მათემატიკის, შემოქმედებითი ამოცანების მიმართ. სკოლის მოსწავლეების ორიენტირება მათემატიკური ამოცანების მშვენიერი ელეგანტური გადაწყვეტილებების ძიებაზე, მასწავლებელი ამით ხელს უწყობს სტუდენტების ესთეტიკურ განათლებას და მათი მათემატიკური კულტურის გაუმჯობესებას. ამოცანების მთავარი მიზანია მოსწავლეთა შემოქმედებითი და მათემატიკური აზროვნების განვითარება, მათემატიკით დაინტერესება, მათემატიკური ფაქტების „აღმოჩენამდე“ მიყვანა.

გასათვალისწინებელია, რომ კლასში, კლასგარეშე აქტივობებში თუ სახლში გადაწყვეტილი ნებისმიერი მათემატიკური პრობლემა აუცილებლად რაღაც უნდა ასწავლოს მოსწავლეებს. თითოეული პრობლემის გადაწყვეტა უნდა იყოს წინგადადგმული ნაბიჯი მოსწავლეთა მათემატიკური ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების განვითარებაში, უნდა გაამდიდროს მათი ცოდნა და გამოცდილება, ასწავლოს მათ ნავიგაცია. სხვადასხვა სიტუაციები.

განტოლებების ამოხსნის გზების შესწავლაზე სისტემატური მუშაობა დაეხმარება სტუდენტებს არა მხოლოდ ისწავლონ პრობლემების გადაჭრა, არამედ თავად შესთავაზონ ისინი. განტოლებების ამოხსნის არასტანდარტული, უფრო რაციონალური გზების პოვნის უნარი მოწმობს მათი აზროვნების კულტურაზე, კარგად განვითარებულ მათემატიკურ შესაძლებლობებზე.

მასწავლებელს უნდა ახსოვდეს, რომ პრობლემის გადაჭრა არ არის თვითმიზანი, არამედ სწავლის საშუალება. ნაპოვნი გამოსავლის განხილვა, მისი გადაჭრის სხვა გზების ძიება, გამოყენებული ტექნიკის მეხსიერებაში დაფიქსირება, ამ ტექნიკის გამოყენების შესაძლებლობის პირობების დადგენა, ამ პრობლემის განზოგადება - ეს ყველაფერი საშუალებას აძლევს სტუდენტებს ისწავლონ პრობლემისგან. სწორედ ამოცანების საშუალებით შეუძლიათ მოსწავლეებს ისწავლონ და ღრმად აითვისონ ახალი მათემატიკური ფაქტები, დაეუფლონ ახალ მათემატიკურ მეთოდებს, დააგროვონ გარკვეული გამოცდილება, ჩამოაყალიბონ მიღებული ცოდნის დამოუკიდებლად და შემოქმედებითად გამოყენების უნარ-ჩვევები.

ამ კლასების ეფექტურობის მისაღწევად, შემდეგი წესები უნდა დაიცვან.

1) სქემის მიხედვით განტოლებების მეშვეობით შემოტანილი უნდა იქნეს ახალი იდეები, რომლებიც არ ეფუძნება დამატებით თეორიულ ინფორმაციას; განტოლება - ამოხსნის დამოუკიდებელი ძიება - მისი ამოხსნის ანალიზი - იდეის გამოკვეთა.

2) ასეთი ამოცანების ამოხსნისას უნდა მოქმედებდეს კანონზომიერების პრინციპი, ძირითადი სამუშაო მიმდინარეობს არა საკლასო ოთახში, არამედ სახლში.

3) არ უნდა დატვირთოთ მოსწავლე დიდი მოცულობით, მაგრამ არა რთული შრომით, ისევე როგორც არ უნდა დაუსვათ მისთვის შეუძლებელი ამოცანა.

4) მოსწავლეს უფლება აქვს გადადოს რთული დავალება (განტოლება), თუ მის ამოხსნაზე გარკვეული დროით იმუშავა და ეს არ გამოუვიდა. ამ შემთხვევაში ახალი იდეების ასიმილაციის პროცესი უფრო ეფექტური იქნება.

5) სწორი იდეა მისასალმებელია, იდეების დაგროვების პერიოდში ან რთული პრობლემების გადაჭრისას.

6) სასარგებლოა ერთი და იგივე განტოლების ამოხსნის სხვადასხვა ტექნიკისა და მეთოდის მიცემა, შემდეგ კი რაციონალურობის, სილამაზის, არასტანდარტული ამონახსნების ამონახსნები. პრობლემის გადაჭრის სხვადასხვა გზების ძიებისას მოსწავლეს უვითარდება შემეცნებითი ინტერესი, უვითარდება შემოქმედებითი შესაძლებლობები და უვითარდება კვლევის უნარები.

7) მუდმივი გამეორება ადრე შესწავლილი ამოხსნის მეთოდების ამოხსნისას

გამოიყენოს მიღებული ცოდნა.

თავი 2. განტოლებების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდები.

აქ შეგროვებული განტოლებები არც თუ ისე რთულია, მაგრამ როგორც ვარჯიშობთ, ისინი უფრო რთულდება. განტოლებების ამოხსნის ზოგიერთ მეთოდს პირობითად შეიძლება ეწოდოს არასტანდარტული.

განტოლებების ამოხსნა ODZ-ის კვლევის გამოყენებით.

განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დომენი (შემოკლებით ODZ) არის უცნობის იმ მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომლისთვისაც აზრი აქვს მის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს.

ამ განყოფილებაში განვიხილავთ ირაციონალური განტოლებების ამოხსნას, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია სტანდარტული გზით, ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა და შემდეგ შევასრულოთ შემოწმება. მაგრამ ეს მეთოდი იწვევს რთულ გამოთვლებს, მეოთხე, მეექვსე ხარისხის რაციონალური განტოლებების ამოხსნას, რომელთა ამოხსნაც ძალიან რთულია. ზოგიერთი განტოლების ამოხსნისას, ODZ განტოლების ცოდნა და ზოგიერთი შეფასების გამოყენება საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მისი ყველა ფესვი ან დაამტკიცოთ, რომ ისინი არ არსებობს.

მოსწავლეებს ვთავაზობ, ამოხსნან 2 ასეთი განტოლება სახლში, გაკვეთილის დაწყებამდე. ყველაზე ხშირად ისინი ცდილობენ ამ განტოლებების ამოხსნას, ირაციონალურობისგან თავის დაღწევას, მაგრამ კლასში არის 1-2 ადამიანი, რომლებიც რაციონალურ ამონახსნებს ირჩევენ, რაც კარგია. შემდეგ ერთობლივად განვიხილავთ განტოლებების ამოხსნის ორივე გზას.

მაგალითები.

1) ამოხსენით განტოლება
-
=
-

ამოხსნა: ჩანს, რომ ამ განტოლების ამოსახსნელად, განტოლების ორივე მხარე შეიძლება კვადრატული იყოს, რაც საშუალებას მოგცემთ თავი დააღწიოთ ირაციონალურობას.

11x+3-2
+2-x=9x+7-2
+x-2

მივცეთ მსგავსი 10x + 5-2
\u003d 10x + 5-2

=
.

განტოლების ორივე მხარის კვადრატში ვაძლევთ მსგავსებს და ვიღებთ სტანდარტულ კვადრატულ განტოლებას

20x 2 -30x-20=0,

2x 2 -3x-2=0,

x 1 =
, x 1 \u003d 2 x 2 \u003d
, x 2 \u003d -0.5

მიღებული ფესვები უნდა შემოწმდეს, რადგან. კვადრატის მოწყობისას შესაძლებელია ზედმეტი ფესვების მოპოვება.

გამოცდა:

x=2,
-
=5,
-
=5, 5=5
x=2 არის ამ განტოლების ფესვი

x \u003d -0.5,
-
=
-

x \u003d -0.5 არის ზედმეტი ფესვი.

პასუხი: x=2

თუმცა, y= ფუნქციების დომენების შედარება
, (x-2 0, x 2) და y=
, (2-x
, მივდივართ დასკვნამდე, რომ თავდაპირველი განტოლების განმარტების სფერო x=2. ამ განტოლებაში x=2 ჩანაცვლებით, დავასკვნით, რომ x=2 არის ამ განტოლების ერთადერთი ფესვი.

პასუხი: x=2.

აშკარაა, რომ ამ განტოლების მეორე გზით ამოხსნა უფრო მოსახერხებელი და სწრაფია, ვიდრე პირველი. მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე ამ განტოლებას.

2) ამოხსენით განტოლება
+
=
-1.

ამოხსნა: იპოვეთ ამ განტოლების ODZ. ამისათვის თქვენ უნდა გადაჭრათ უტოლობების სისტემა: x 2-ები
,

2-x 2 >0,

, x=0, x=1

-1

ამრიგად, ამ განტოლების ODZ არის ორ ელემენტიანი სიმრავლე
. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ეს მნიშვნელობები განტოლების ფესვები:

x=0,
+
=

-1 =-1,

, x=0 - არ არის განტოლების ფესვი.

x=1
+
=0

-1=0, 0=0
x=1 არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: x=1.

3) რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას.

გამოსავალი:

ეს განტოლება არ არის განსაზღვრული ნებისმიერი რეალური x-სთვის.

პასუხი: განტოლებას არ აქვს ფესვები.

4) ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: განტოლების დომენი:

ეს განტოლება უდრის შემდეგ სისტემას:

(x-4)(x-2)=(12-3x) 2,

12-3x 0.

12-3x 0, x 4.

განტოლების დომენიდან გამომდინარე, ერთადერთი შესაძლო ფესვი შეიძლება იყოს მხოლოდ x=4, შეამოწმეთ:

x=4 არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: x=4.

5) ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: განტოლების ამოხსნის მცდელობები რადიკალური ტყვიის ზედიზედ კვადრატში და გაერთიანებით აქ მეოთხე ხარისხის განტოლებამდე და მივყავართ ჩიხში. მოდით ჩამოვწეროთ რა პირობები აქვს ამ განტოლების მარცხენა მხარეს გამოსახულებებს.

მე-5 0, x 5,

მე-7 0, x 7, გამოსავალი არ არის.

2x-15. X 7,5.

ჩვენ ვხედავთ, რომ არ არსებობს ისეთი რეალური x, რომლისთვისაც ეს განტოლება განისაზღვრა.

პასუხი: არ არის ფესვები.

განტოლებების ამოხსნა მრავალი მნიშვნელობის გამოყენებით.

ზოგიერთი განტოლების ამოხსნისას, მნიშვნელობების ნაკრების პოვნა მნიშვნელოვნად ამარტივებს განტოლებების ამოხსნის ამოცანას. ეს მეთოდი საკმაოდ გავრცელებულია აზროვნების განვითარებული კულტურის მქონე ბავშვებში. ადვილად ათვისებადი, ისინი ხშირად ცდილობენ გამოიყენონ იგი სხვა განტოლებების ამოხსნისას.

1) ამოხსენით განტოლება: ამოხსნა: იპოვეთ ამ განტოლების დომენი:

მოდით შევაფასოთ განტოლებების მარჯვენა და მარცხენა მხარეები: ე.ი
.

განტოლების მარცხენა მხარე უფრო დიდია ვიდრე მარჯვენა მხარე, რაც ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

პასუხი: არ არის ფესვები.

2) ამოხსენით განტოლება:
.

ამოხსნა: გვაქვს სტანდარტული ირაციონალური განტოლება. თუმცა, ნუ ვიჩქარებთ მის გამოსწორებას. ჯერ ვიპოვოთ ODZ განტოლება:

ნიშნავს
რადგან
მაშინ განტოლების მარცხენა მხარე 2-ზე მეტია, ხოლო მარჯვენა მხარე 1-ის ტოლია. მაშასადამე, ამ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

პასუხი: არ არის ფესვები.

3) ამოხსენით განტოლება: 2 cosx = cosx +
.

ამოხსნა: კვლავ შეაფასეთ განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარეები.

იმიტომ რომ
, შემდეგ განტოლების მარცხენა მხარე
.

განტოლების მარჯვენა მხარე დადებითი უნდა იყოს, რადგან 2 ტ > 0, ამიტომ cosx > 0. კოშის უტოლობის გამოყენება
.

მაშინ, თუ ამ განტოლების ფესვი არსებობს, მაშინ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განტოლებების მარჯვენა და მარცხენა მხარეები უდრის 2-ს.

x \u003d 2Pk, k

პასუხი: x \u003d 2Pk, k ზ.

4) ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:
a ამ განტოლების ამონახსნი უდრის სისტემას:

სისტემის პირველი განტოლებიდან ვიღებთ x=0, შეამოწმეთ არის თუ არა x=0 ამონახსნი სისტემის მეორე განტოლების: x=0 არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: x=0.

5) ამოხსენით განტოლება:

ამ განტოლების ამონახსნი წინას მსგავსია: აშკარად x 2
და ჟურნალი
რადგან ლოგარითმის საფუძველია 3>1 და

1-(3 x -1) 2 1, განტოლება უდრის სისტემას:

x=0 არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: x=o.

6) იპოვეთ განტოლების მთელი ფესვები: (6-x) (x-2) (x + 3) (x + 9) \u003d 24x 2

ამოხსნა: ეს განტოლება შემოგვთავაზეს ერთიან გამოცდაზე, განვიხილოთ ამ განტოლების ამოხსნა ორი გზით: განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარის შეფასებით და მეორე გზა არის გარდაქმნების გამოყენებით. პირველი გზა, მეჩვენება, უფრო მარტივი და ეკონომიურია მისი გადაჭრის დროის თვალსაზრისით.

ა) ამ განტოლების მარჯვენა მხარე არ არის უარყოფითი, ამიტომ

(6-x)(x-2)(x+3)(x+9) 0, ჩვენ ამ უტოლობას ვხსნით ინტერვალის მეთოდით:

- + - + -

9 -3 2 6 x

ამ განტოლების მთელი რიცხვი ამონახსნები უნდა ვეძებოთ 6 (-2) 3 9= -324-ის ტოლი თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის.

ჩვენ ჩამოვთვლით ყველა მთელ რიცხვს, რომელიც არის უტოლობის ამოხსნა:

9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,2,3,4,5,6. აშკარაა, რომ 6,2,-3,-9 არ არის განტოლების ფესვები, (რადგან ამ მნიშვნელობებით განტოლების მარცხენა მხარე ნულის ტოლია, ხოლო მარჯვენა არა), რიცხვები - 7,5, -8 არ არის -324 რიცხვის გამყოფები. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ამონახსნები რიცხვები -6,-4,3,4.

x=-6, 12 ⋅ (-8)⋅ (-3) ⋅ 3 =864, 24 ⋅ 36=864, 864=864.

x=-4, 10 ⋅ (-6) ⋅ (-1) ⋅ 5=300, 24⋅ 16=384, 300384.

x=3, 3 ⋅ 1 6 ⋅ 12 =216, 24⋅ 9=216, 216=216.

x=4, 2 ⋅ 2⋅ 7 ⋅ 13=364, 24⋅ 16=384, 364384.

ასე რომ, x=-6, x=3 არის განტოლების მთელი ფესვები.

პასუხი: x=-6; x=3.

ბ) ამოხსენით იგივე განტოლება სხვაგვარად:

(6-x)(x-2)(x+3)(x+9)=24x 2, შეასრულეთ რამდენიმე ტრანსფორმაცია:

(6x + 18-x 2 -3x) (x 2 + 7x-18) \u003d 24x 2

(-x 2 + 3x + 18) (x 2 + 7x-18) \u003d 24x 2

აშკარაა, რომ x \u003d o არ არის განტოლების ფესვი, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე ნაწილს x 2-ზე

X 2 (x- -3)(x- + 7) \u003d 24x 2,

(X- -3)(x- +7)=-24,

დაე

მაშინ (t -3)(t +7)=-24,

t 2 +4t -21=-24, t 2 +4t +3=0, t 1 = -1, t 2 = -3.

/ X

x 2 + x-18 \u003d 0, x 1.2 \u003d
- არ არის განტოლების მთელი რიცხვი ამონახსნები.

/X

x 2 + 3x-18 \u003d 0, x 3 \u003d -6, x 4 \u003d 3.

პასუხი: x \u003d -6; x \u003d 3.

7) ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: ამ განტოლების ამოხსნის კვადრატის მეთოდი მივყავართ მერვე ხარისხის რაციონალურ განტოლებამდე, რომლის ფესვების პოვნა ადვილი არ არის. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების მარცხენა მხარე არსებობს x ცვლადის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის, ხოლო მარჯვენა მხარე არ არის უარყოფითი პირობით.

გაითვალისწინეთ, რომ,

ხოლო
ამრიგად, თავდაპირველი განტოლების მარცხენა მხარე შეიძლება იყოს მხოლოდ მარჯვენა მხარის ტოლი, თუ განტოლების ორივე მხარე უდრის 3-ს.

ასე რომ, x=0 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი.

პასუხი: x=0.

8) ამოხსენით განტოლება

გამოსავალი: ფესვების პოვნის მცდელობა განტოლების ორივე მხარის კვადრატში განწირულია მარცხისთვის. ჩვენ ვწერთ განტოლების მარცხენა მხარეს ფუნქციის არსებობის პირობას.ამ უტოლობის ამოხსნაც პრობლემური ჩანს. მოდით შევამოწმოთ მარჯვენა მხარის არაუარყოფითობა –1-2х 2 >0 ამ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები, მაგრამ შემდეგ თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან მისი მარცხენა მხარე არის არაუარყოფითი ფუნქცია.

პასუხი: არ არის ფესვები.

9) ამოხსენით განტოლება

ამოხსნა: თუ მრავალი წინა განტოლებისთვის შესაძლებელი იყო ტრადიციული გზის პოვნა - გამოსავალი ჩვეულებრივი სკოლის მსჯელობის გამოყენებით, თუმცა გაცილებით მეტი დროის დახარჯვა. და ეს განტოლება გვართმევს ასეთ არჩევანს. როგორც წესი, ასეთ დავალებებს პირობითად უწოდებენ არასტანდარტულს. უკვე ასეთი განტოლების „გარეგნობა“ ვარაუდობს, რომ ამოხსნისთვის რაღაც არატრადიციული უნდა გამოიგონოს.

მოდით შევაფასოთ განტოლების მარჯვენა მხარე:
, ჩვენ ვაფასებთ განტოლების მარცხენა მხარეს:
,
,
.

თავდაპირველ განტოლებას ფესვები აქვს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მყუდრო =1,

მერე მყუდრო = 1

ასე რომ x=0, y=0.

პასუხი: (0;0).

ფუნქციების ერთფეროვნების გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას.

ანალიტიკური გამონათქვამები, რომლებიც ქმნიან მათ, ასოცირდება თითოეულ განტოლებასთან. ამ უკანასკნელს, თავის მხრივ, შეუძლია განსაზღვროს ერთი ან მეტი ცვლადის ფუნქციები. მაშასადამე, ფუნქციების არსებობა, უფრო სწორად, მათი თვისებები არ შეიძლება გავლენა იქონიოს ამ ტიპის პრობლემების გადაწყვეტაზე. უბრალოდ, ზოგიერთ შემთხვევაში ჩვენ ერთგვარი იმპლიციტურად ვიყენებთ ფუნქციების თვისებებს, ზოგიერთში კი მათ პირდაპირ მივმართავთ. ზოგჯერ აქცენტის „ხმოვანთა“ ცვლა ფუნქციების თვისებებზე შეიძლება მნიშვნელოვანი სარგებელი იყოს გადაწყვეტილებების რაციონალური იდეების ძიებაში.

ძალიან ხშირად ვხვდებით ისეთ განტოლებებს, რომლებშიც მარტივია ფესვის დადგენა შერჩევის მეთოდით, ყველაზე ხშირად ერთი. როგორც ჩანს, ყველაფერი მარტივია, მაგრამ ბოლოს და ბოლოს, განტოლების ამოხსნა ნიშნავს არა მხოლოდ მისი ფესვის პოვნას, არამედ იმის მტკიცებას, რომ ის უნიკალურია. ამის წინაშე ბევრი იწყებს ამ განტოლების ამოხსნას სტანდარტული გზით, რაც შეიძლება დამაბნეველი და რთული იყოს. მაგრამ თუ გამოვიყენებთ ფუნქციების ერთფეროვნების თვისებებს, მაშინ ბევრი მსგავსი განტოლება უფრო რაციონალურად შეიძლება ამოხსნას.

ძირითადი იდეა ასეთია: თუ f (x) მონოტონურად იზრდება და g (x) მონოტონურად მცირდება, მაშინ განტოლებას f (x) \u003d g (x) აქვს არაუმეტეს ერთი ამონახსნი, და თუ x \u003d x 0 არის ამ განტოლების ამონახსნი, მაშინ როდესაც x\u003e x 0 (x შედის ორივე ფუნქციის f (x) და g (x) განსაზღვრების დომენში) იქნება f (x)\u003e g (x) და x

დავადასტუროთ ეს მაგალითებით:

1) ამოხსენით განტოლება: 3 x +4 x \u003d 7 x.

ამოხსნა: გაყავით განტოლების ორივე მხარე 7 x-ზე,
აშკარაა, რომ x=1 არის განტოლების ფესვი და ის ერთადერთია, რადგან განტოლების მარცხენა მხარე მონოტონურად კლებადი ფუნქციაა. ამიტომ, იგი იღებს თითოეულ მის მნიშვნელობას ერთხელ.

პასუხი: x=1.

2) ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: ასეთი განტოლების ამოხსნის ტრადიციული მეთოდი ცნობილია. ადვილი მისახვედრია, რომ x=1 ფესვი. განტოლების მარცხენა მხარე განსაზღვრავს მზარდ ფუნქციას მუდმივის კორექტირებით. ამრიგად, ამ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ ერთი ფესვი.

პასუხი: x=1.

3) ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: x=1, ფუნქცია y=
იზრდება კომპლექტში

იმავე ნაკრებზე y= მცირდება. ასე რომ x=1 არის ერთადერთი ფესვი.

პასუხი: x=1.

4) ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: განტოლების მარცხენა მხარეს განლაგებული ფუნქცია მონოტონურად იზრდება განმარტების დომენზე, ხოლო ფუნქცია მარჯვენა მხარეს კლებულობს. ამრიგად, ამ განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი. ფესვის მნიშვნელობა ადვილად ირჩევა x=1.

პასუხი: x=1.

5) ამოხსენით განტოლება: 3 x-1 \u003d 5-x.

გამოსავალი: x \u003d 2 არის ერთადერთი ფესვი, რადგან y=3 x-1 არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ხოლო y=5-x არის მონოტონურად კლებადი ფუნქცია.

პასუხი: x=2.

6) ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: ეს განტოლება ადვილია რაციონალურ მეოთხე ხარისხში „გადაქცევა“. ამ უკანასკნელის ფესვების პოვნა რთულია და მოსწავლეს უნდა ჰქონდეს მაღალი ჭკუის უნარი, რომ გაუმკლავდეს ამ ამოცანას. მოდით ავირჩიოთ ნაკლებად ტრადიციული გზა: ადვილია იმის დადგენა, რომ x \u003d 3 არის განტოლების ფესვი. განტოლების დომენი
მაგრამ ახლა, ადრე განხილულისგან განსხვავებით, განტოლების მარცხენა მხარე არ განსაზღვრავს მონოტონურ ფუნქციას. თუმცა ინტერვალში
მითითებული ფუნქცია იზრდება და x=3 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. ასე რომ, მათ შორის
ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. რჩება y= ფუნქციის ქცევის გამოკვლევა
სეგმენტზე
ზე

ა
სეგმენტზე
თავდაპირველ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

პასუხი: x=3.

7) ამოხსენით განტოლება: 4 3 3x + 1 + 4 \u003d 5 2 9x.

ამოხსნა: როგორც ჩანს, ეს განტოლება არ შეიძლება ამოხსნას იმავე გზით,

როგორც წინა. მაგრამ თუ ჩანაცვლებას გააკეთებთ 3x=t, მაშინ ფუნქციების ერთფეროვნებაზე დაყრდნობით, შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლება t-ისთვის და შემდეგ იპოვოთ საწყისი განტოლების ფესვი.

, t =1 არის ფესვი. შევამოწმოთ: 12 3 1 +4=36+4=40 ,5 2 3 =40, 40=40 ტ =1 ძირი, დავამტკიცებთ რომ ერთადერთია, ამისთვის ვცვლით განტოლების ფორმას.

12 3 t +4=5 2 3 t /3 ტ

ფუნქცია y=5
მონოტონურად მზარდი და y= მონოტონურად მცირდება ნებისმიერ t-ზე, შესაბამისად, t-ის განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ფესვი t \u003d 1, რაც ნიშნავს, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი x \u003d

პასუხი: x=

განვიხილოთ იდეის მოდიფიკაცია: თუ f (x) მონოტონურად იზრდება, ხოლო g (x) მონოტონურად მცირდება, მაშინ განტოლებას f (x) \u003d g (x) აქვს მაქსიმუმ ერთი ამონახსნები, ეს არის შემდეგი: თუ f (x) არის მონოტონური ფუნქცია , შემდეგ f (x) \u003d f (y) ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ x \u003d y.

გამოვიყენოთ ეს იდეა განტოლებების ამოსახსნელად.

8) ამოხსენით განტოლება log 6- x log 2 x \u003d log 7- x log 2 (2x).

ამოხსნა: გარდაქმენით განტოლება:

განვიხილოთ ფუნქცია f (t)=log t (t +1). დავამტკიცოთ, რომ t >1-ისთვის ეს ფუნქცია მონოტონურად მცირდება.

f (t )-1=log t (t +1)-1=log ტ
- შედეგად მიღებული ფუნქცია აშკარად მცირდება (ბაზა იზრდება, ფუნქცია მცირდება ლოგარითმის ნიშნით).

ჩვენი განტოლებაა: f(6-x)=f(log 2 x), ამიტომ log 2 x=6-x. ფუნქცია იზრდება მარცხნივ, მცირდება მარჯვნივ, შესაბამისად, გამოსავალი უნიკალურია, ის ადვილად იპოვება შერჩევით: x = 4. პასუხი: x=4.

9) ამოხსენით განტოლება

ამოხსნა: მოდით x 2 -4x-2=t, t>0.

| : 2

დაე
,

,

რადგან ფუნქცია
არის ერთფეროვანი (ეს დავამტკიცეთ წინა განტოლებაში) მაშინ f (a)=f(t) უდრის a =t-ს, ე.ი. ვიღებთ განტოლებას

პასუხი:.

ეკვივალენტობის გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას.

f (f (x)) \u003d x ფორმის განტოლებების ამოხსნისას, თეორემა სასარგებლოა: თუ y \u003d f (x) არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, მაშინ განტოლებები f (x) \u003d x და f (f). (x)) \u003d x ეკვივალენტურია.

ჩვენ ვაძლევთ ამ თეორემის გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.

1) ამოხსენით განტოლება

ამოხსნა: გადაწერეთ განტოლება:
განვიხილოთ ფუნქცია f (x )=1+
, ეს ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. გვაქვს განტოლება f (f (x ))=x .

თეორემის შესაბამისად ვცვლით მას ეკვივალენტური განტოლებით f (x)=x ან

. დაე
. გვაქვს y 2 -y-1=0,

y 1,2 =
; y 1 =
, y 2 =
- პირობას არ აკმაყოფილებს
.

,
, x=
.

პასუხი: x=
.

2) ამოხსენით განტოლება
.

ამოხსნა: გარდაქმენით განტოლება
.

ეს განტოლება ასე გამოიყურება: f (f (x))=x, სადაც f (x)=
, ეს ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. თეორემის მიხედვით, გვაქვს ეკვივალენტური განტოლება:
x 3 -2x + 1 \u003d 0, (x-1) (x 2 + x-1) \u003d 0. x 1 \u003d 1 ან x 2 + x-1 \u003d 0, x 2.3 \u003d

პასუხი: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d
x 3 =

3) ამოხსენით განტოლება

გამოსავალი: მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე ტრანსფორმაცია
,
ამ განტოლებას აქვს ფორმა x \u003d f (f (x)), სადაც f (x) \u003d
, f (x) - მონოტონურად იზრდება. მაშასადამე, განტოლება ექვივალენტურია
. შევცვალოთ
, ვიღებთ 2y 3 -y-1=0. y 3 -y + y 3 -1 \u003d 0, y (y 2 -1) + (y-1) (y 2 + y + 1) \u003d 0, (y-1) (y 2 + 1 + y 2 + y+1)=0,(y-1)(2y 2 +y+1)=0

y=1, განტოლებას 2y 2 +y+1=0 ფესვები არ აქვს.

, x=1.

პასუხი: x=1.

4) ამოხსენით განტოლება ln (1+ln x)=x -1.

გამოსავალი: ln (1+lnx)+1=x, ამ განტოლებას აქვს ფორმა x =f (f (x) , სადაც f (x)=ln x+1. f (x)=1+lnx - მონოტონურად იზრდება x-ისთვის > 0, შესაბამისად, განტოლება უდრის განტოლებას x=ln x+1, x-1=ln x.

გრაფიკულად ამოვხსნათ ეს განტოლება: y=x-1 - ამ ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილებში კოორდინატებით (0;-1), (1;0)

ფუნქცია y= lnx განისაზღვრება x>0-ზე. აშკარაა, რომ x=1 არის განტოლების ფესვი, მისი უნიკალურობა დასტურდება გრაფიკულად.

პასუხი: x=1.

ფუნქციის პარიტეტის გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას.

1) შეიძლება თუ არა განტოლებას 2x 8 -3ax 6 +4x 4 -ax 2 \u003d 5 ჰქონდეს ხუთი ფესვი a-ს ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის?

ამოხსნა: განიხილეთ ფუნქცია f (x) \u003d 2x 8 -3ax 6 +4x 4 -ax-5. იგი განისაზღვრება ყველა რეალური x-სთვის, არის ლუწი, რადგან f (x) = f (-x) და განსაზღვრების დომენი სიმეტრიულია ნულის მიმართ.

f (x) ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ, ანუ ნებისმიერი x-სთვის განმარტების დომენიდან, -x განმარტების დომენიდან და მხოლოდ x \u003d 0 არის სიმეტრიული თავის მიმართ. მაშინ, თუ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ფესვების კენტი რაოდენობა (ხუთი), მაშინ x=0 არის განტოლების ფესვი. შემოწმებით ვრწმუნდებით, რომ x=0 არ არის განტოლების ფესვი - 0=5. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველ განტოლებას არ შეიძლება ჰქონდეს ხუთი ფესვი რომელიმე a-სთვის.

პასუხი: არა რაიმე რეალური a-სთვის, განტოლებას 2x 8 -3ax 6 + 4x 4 -ax 2 \u003d 5 არ შეიძლება ჰქონდეს ხუთი ფესვი.

2) დაამტკიცეთ, რომ განტოლება 3 x +3 -x \u003d ცული 4 +2x 2 +2 აქვს კენტი რაოდენობის ფესვები.

ამოხსნა: განვიხილოთ ფუნქცია f (x)=3 x +3 -x -ax 4 -2x 2 -2. იგი განისაზღვრება ყველა რეალური x-სთვის და არის ლუწი. წინა ამოცანის მიხედვით, თუ მას აქვს ფესვების კენტი რაოდენობა, მაშინ x=0 არის საწყისი განტოლების ფესვი. შევამოწმოთ: 3 0 +3 0 =2, 0+0+2=2, 2=2. x=0 არის განტოლების ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს კენტი რაოდენობის ფესვები.

პასუხი: განტოლებას 3 x +3 -x \u003d ცული 4 +2x 2 +2 აქვს ფესვების უცნაური რაოდენობა.

3) იპოვეთ a პარამეტრის ყველა რეალური მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის განტოლება
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ამოხსნა: განვიხილოთ ფუნქცია f (x) =
, განსაზღვრულია ყველა რეალური x-ისთვის, თუნდაც იმიტომ f (-x)=f (x) და განსაზღვრების დომენი სიმეტრიულია ნულის მიმართ. f (x) ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ, x=0 სიმეტრიულია თავის მიმართ. ამრიგად, x=0 შეიძლება იყოს ერთადერთი გამოსავალი ან რამდენიმედან ერთ-ერთი. ვიპოვოთ f(0). f (0)=4 0 -2 0 a+4=5-a. f(0)=0 თუ a=5. იმისათვის, რომ გამოვრიცხოთ a-ს მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც განტოლებას f (x) = 0 აქვს ორი ან მეტი ამონახსნი, ჩვენ შევამოწმებთ. თუ a=5, მაშინ f(x)=0.
. ამ განტოლების ამოხსნა ჩანაცვლებით
, ვიღებთ
, x=0 ან
x=2; x=-2. ანუ, განტოლებას f (x)=0 აქვს სამი ამონახსნი, სადაც x=0 ერთ-ერთი მათგანია. 1, ორი ფესვი; .

=

=

ამ შემთხვევაში თანასწორობა მიიღწევა პირობით
, მერე

პასუხი:

დასკვნა.

ამ ნაშრომში თავმოყრილია განტოლებების ამონახსნები არატრადიციული მეთოდებით, რომელთა დახმარებითაც საკმაოდ რთული ამოცანების ამოხსნაა შესაძლებელი. არასტანდარტული გამოსავალი არის რთული მათემატიკური გარდაქმნების თავიდან აცილება და ზოგჯერ ისეთი განტოლების ამოხსნა, რომლის ამოხსნაც შეუძლებელია სტანდარტული მეთოდებით. იმისდა მიუხედავად, რომ ზემოთ მხოლოდ განტოლებები იქნა განხილული, სხვა პრობლემების გადაჭრა შესაძლებელია ამ მეთოდების გამოყენებით. სამწუხაროდ, შეუძლებელია მკაფიო კლასიფიკაციის მიცემა განტოლებების ამოხსნის მეთოდების მიხედვით. ამოხსნის მეთოდის არჩევა მოსწავლემ უნდა გააკეთოს საწყისი განტოლებების ანალიზის საფუძველზე. მოსწავლეთა გონებრივი კულტურა ვითარდება ამოცანების სისტემის მეშვეობით. განტოლებების არასტანდარტული გზებით ამოხსნისას ჩნდება კითხვები და ინტერესი იჩენს ამოხსნის ახალი ხერხის პოვნას. ამ თემის დასასრულს გაიმართა სემინარი, სადაც ბიჭებმა შემოგვთავაზეს განტოლებების ან განტოლებათა სისტემების ამოხსნის საკუთარი მეთოდები. პრაქტიკულ გაკვეთილზე მუშაობა სტუდენტს საშუალებას აძლევს ჩამოაყალიბოს თანამედროვე ადამიანისთვის მნიშვნელოვანი კომპეტენციები: დამოუკიდებლად შეძენის უნარი. საჭირო ცოდნამათი პრაქტიკაში გამოყენება, ინფორმაციასთან კომპეტენტურად მუშაობის, ანალიზისა და კრიტიკულად დამუშავების უნარი, დისკუსიებში საკუთარი პოზიციის დაკავების უნარი და ბოლოს, თანამშრომლობისა და გუნდში მუშაობის უნარი.

გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ თანამედროვე სკოლის პირობებში აქტუალურია შემდეგი სიტყვები:

„მითხარი და დამავიწყდება. მაჩვენე და გავიხსენებ. ნება მომეცით მე თვითონ გავაკეთო და ვისწავლი“.

ბიბლიოგრაფია.

ავდონინი ნ.ი., გოლუბევი ვ.კ. 30 მათემატიკის სადამრიგებლო გაკვეთილი

ნ.ნოვგოროდი, "ვეკი", 1997, -304 წ.

ტესტების ვარიანტები მათემატიკაში VNf GUVSE 2000-2001 წლებში.

ბლიახმან ლ.გ., გრომოვი ე.მ. და ა.შ ნ.ნ.: 2001-38წწ

3. Gorshtein P. I. Merzlyak. ა.გ. მათემატიკის გამოცდა და მისი წყალქვეშა რიფები - "ილექსა", ხარკოვი: გიმნაზია, 1998, -237გვ. 4. Dorofeev G.V., Muravin G.K., Sedova E.A. დავალებების კრებული მათემატიკაში (კურსი A) და ალგებრაში წერითი გამოცდის მომზადებისა და ჩატარების მიზნით და ანალიზის საწყისები (კურსი B) საშუალო სკოლის კურსისთვის მე-11 კლასი.- მ. : Bustard, 2001.-192s.

5. Merzlyak A.G., Polonsky V.B. ალგებრული სიმულატორი - "ილექსა",

ხარკოვი: გიმნაზია, 1998, -320 წ.

6. სენიკოვსკი ია.ი. კერძო მასწავლებელი მათემატიკაში - ნ.ნოვგოროდი:

სს "ILMA", 1995, -242გვ.

7. ჩერკასოვი ო.იუ., იაკუშევი ა.გ. მათემატიკა: გამოცდისთვის მომზადების ინტენსიური კურსი - M .: 2001.-432წ.

8. შარიგინი ი.ფ., გოლუბევი ვ.ი. არჩევითი კურსი მათემატიკაში: ამოცანების ამოხსნა მათემატიკაში კლასი 11.-მ.: განათლება, 1991, -384წ.

9. გაზეთი „მათემატიკა“, No25,36,48-მოსკოვი: პირველი სექტემბერი.

პ.ი. გორშტეინი, A.G. Merzlyak, V.B. პოლონსკი, მ.ს. იაკირი. გამოცდა მათემატიკაში და მის წყალქვეშა რიფებში.-მ.: ილექსა, ხარკოვი: გიმნაზია, 1998 წ.

1 ისტორიული შეჯამება

2 პრობლემების გადაჭრა ფუნქციის თვისებების გამოყენებით

2.1 ფუნქციის ერთფეროვნების გამოყენება

2.2 შეზღუდული ფუნქციის გამოყენება

2.3 ფუნქციის პერიოდულობის გამოყენება

2.4 პარიტეტის ფუნქციის გამოყენება

2.5 ODZ ფუნქციის გამოყენება

3 განტოლებების ამოხსნის ზოგიერთი ხელოვნური მეთოდი

3.1 განტოლების გამრავლება ფუნქციაზე

3.2 განტოლების ფესვის გამოცნობა

3.3 განტოლების სიმეტრიის გამოყენება

3.4 განტოლების გამოკვლევა რეალური ღერძის ინტერვალებზე

დასკვნა

გამოყენებული წყაროების სია

აპლიკაცია

შესავალი

გარდაქმნების შედეგად ან ცვლადის წარმატებული ცვლილების შედეგად ყველა განტოლება ან უტოლობა არ შეიძლება შემცირდეს ამა თუ იმ სტანდარტული ფორმის განტოლებამდე (უტოლობა), რისთვისაც არსებობს ამოხსნის გარკვეული ალგორითმი. ასეთ შემთხვევებში ზოგჯერ გამოსადეგი აღმოჩნდება გადაწყვეტის სხვა მეთოდების გამოყენება, რომლებიც განხილული იქნება ამ სამუშაოს განმავლობაში. ზემოაღნიშნული განსაზღვრავს კურსის მუშაობის აქტუალურობას. შესწავლის ობიექტია განტოლებები და უტოლობა, რომელთა ამოხსნა შეუძლებელია სტანდარტული მეთოდების გამოყენებით, ან გამოირჩევიან სტანდარტული ამონახსნის უხერხულობით.

ამ სამუშაოს მიზანია განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების გაცნობა.

ამ მიზნის მისაღწევად, ამ სამუშაოში გადაწყდა შემდეგი ამოცანები:

1. შეაგროვეთ ინფორმაცია მათემატიკის ისტორიიდან განტოლებების ამოხსნის შესახებ.

2. ფუნქციის თვისებების გამოყენებაზე დაფუძნებული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდების განხილვა და გამოყენება.

3. განტოლებათა და უტოლობათა ამოხსნის დამატებითი არასტანდარტული მეთოდების განხილვა და გამოყენება

ნამუშევრის პრაქტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ რთული განტოლებების ან უტოლობების ამოხსნისას, ყოველთვის არ არის აუცილებელი მიჰყვეთ „დახვეულ ბილიკს“, ცდილობთ იპოვოთ გამოსავალი „თავიდან“: თქვენ უბრალოდ უნდა შეხედოთ მას და იპოვოთ. მინიშნება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ თავიდან აიცილოთ რთული გამოთვლები და გარდაქმნები. კურსის ნამუშევარი შედგება შესავლის, სამი თავისა და ცნობარების ჩამონათვალისგან. პირველ თავში მოცემულია გარკვეული ინფორმაცია მათემატიკის ისტორიიდან განტოლებების ამოხსნის შესახებ. მეორე თავში განხილულია ამოხსნის მეთოდები, რომლებიც დაფუძნებულია ფუნქციის თვისებების გამოყენებაზე. მესამე თავი ეძღვნება გადაწყვეტის დამატებითი (ხელოვნური) მეთოდების განხილვას.

მათემატიკოსებს ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში შეეძლოთ განტოლებებისა და განტოლებათა სისტემების ამოხსნა. ალექსანდრიელი ბერძენი მათემატიკოსის დიოფანტეს (III ს.) „არითმეტიკას“ ჯერ არ ჰქონდა ალგებრის სისტემატური წარმოდგენა, მაგრამ იგი შეიცავდა განტოლებების შედგენით გადაწყვეტილ უამრავ პრობლემას. მას აქვს შემდეგი დავალება:

"იპოვეთ ორი რიცხვი მათი ჯამით 20 და ნამრავლი 96."

ზოგადი ფორმის კვადრატული განტოლების ამოხსნის თავიდან ასაცილებლად, რომელსაც მივყავართ ერთ-ერთი რიცხვის ასოებით აღნიშვნას და რომლის ამოხსნაც მაშინ ჯერ კიდევ არ იცოდნენ, დიოფანტმა აღნიშნა უცნობი რიცხვები 10 + x და 10-x ( თანამედროვე ნოტაციით) და მიიღო არასრული კვადრატული განტოლება 100-x 2 \u003d 96, რისთვისაც მან მიუთითა მხოლოდ დადებითი ფესვი 2.

კვადრატული განტოლებების ამოცანები გვხვდება ინდოელი მათემატიკოსების ნაშრომებში ძვ.წ. V საუკუნიდან. ნ. ე.

კვადრატული განტოლებები კლასიფიცირებულია მუჰამედ ალ-ხვარეზმის (787 - დაახ. 850) ტრაქტატში "მოკლე წიგნი ალგებრისა და ალმუქაბალას გამოთვლების შესახებ". იგი განიხილავს და ხსნის (გეომეტრიული ფორმით) 6 ტიპის კვადრატულ განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს მხოლოდ დადებითი კოეფიციენტების მქონე წევრებს ორივე ნაწილში. ამ შემთხვევაში განტოლების მხოლოდ დადებითი ფესვები იქნა გათვალისწინებული.

ევროპელი მათემატიკოსების ნაშრომებში XIII - XVI სს. მოცემულია სხვადასხვა ტიპის კვადრატული განტოლების ამოხსნის ცალკეული მეთოდები. ამ მეთოდების ზოგად წესად შერწყმა გააკეთა გერმანელმა მათემატიკოსმა მიხაელ შტიფელმა (1487 - 1567), რომელიც უკვე უარყოფით ფესვებს თვლიდა.

ლეონტი ფილიპოვიჩ მაგნიტსკის (1669-1739) ყველაზე ცნობილ რუსულ სახელმძღვანელოში "არითმეტიკა" იყო მრავალი პრობლემა კვადრატული განტოლებისთვის. აქ არის ერთი მათგანი:

„გარკვეულ გენერალს უნდა 5000 ადამიანთან ბრძოლა და ის პირში ორჯერ მეტი იყოს, ვიდრე განზე. რამდენი ექნება ამ ბრძოლას სახეში და გვერდით? ” ანუ რამდენი ჯარისკაცი უნდა განთავსდეს წინ და რამდენი თავის უკანა მხარეს, ისე რომ ჯარისკაცების რაოდენობა ფრონტის გასწვრივ იყოს 2-ჯერ. აღემატება ჯარისკაცების რაოდენობას, რომლებიც მდებარეობენ „თავის უკან“?

ძველ ბაბილონურ ტექსტებში (ძვ. წ. 3000 - 2000 წწ.) ასევე არის ამოცანები, რომლებიც ახლა წყდება განტოლებათა სისტემების დახმარებით, რომლებიც ასევე შეიცავს მეორე ხარისხის განტოლებებს. აქ არის ერთი მათგანი:

”მე დავამატე ჩემი ორი კვადრატის ფართობი: 25. მეორე კვადრატის გვერდი უდრის პირველის და კიდევ 5 გვერდს.

თანამედროვე ნოტაციაში შესაბამისი სისტემაა:

XVI საუკუნეში. ფრანგი მათემატიკოსი ფრანსუა ვიეტი (1540 - 1603), რომელიც მსახურობდა შიფრის კლერკად საფრანგეთის მეფის კარზე, იყო პირველი, ვინც შემოიღო ასოების აღნიშვნები არა მხოლოდ უცნობი რაოდენობით, არამედ მონაცემებისთვის, ანუ განტოლებების კოეფიციენტებისთვის. ფ. ვიეტმა გამოიყენა ლათინური ანბანის იშვიათი ასოები x, y და z მტრის ანგარიშებში გაუშიფრავი ასოების აღსანიშნავად, რაც აღნიშნავდა ტრადიციის დასაწყისს უცნობის აღნიშვნის განტოლებაში ასოებით x, y და z. ვიეტა განსაკუთრებით აფასებდა მის მიერ აღმოჩენილ ფორმულებს, რომლებსაც ახლა ვიეტას ფორმულებს უწოდებენ. თუმცა, თავად ვიეტმა აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები.

მხოლოდ მეჩვიდმეტე საუკუნეში დეკარტის, ნიუტონის და სხვა მათემატიკოსების მუშაობის შემდეგ კვადრატული განტოლებების ამოხსნამ თანამედროვე ფორმა მიიღო.

დავუბრუნდეთ მე-16 საუკუნის დასაწყისს. შემდეგ ბოლონიის უნივერსიტეტის მათემატიკის პროფესორმა სციპიო დელ ფერომ (1465-1526) პირველად იპოვა ფორმის მესამე ხარისხის განტოლების ალგებრული ამოხსნა.

სადაც p და q დადებითი რიცხვებია.

ეს აღმოჩენა, იმდროინდელი ადათ-წესების მიხედვით, პროფესორმა მკაცრ საიდუმლოს ინახავდა. მის შესახებ მხოლოდ ორმა სტუდენტმა იცოდა, მათ შორის ფიორემ. მათემატიკური აღმოჩენების დამალვა მაშინ ჩვეულებრივი მოვლენა იყო, რადგან იტალიაში მათემატიკური დუელები ხორციელდებოდა. ხალხმრავალ შეხვედრებზე მოწინააღმდეგეები ერთმანეთს ადგილზე ან გარკვეულ დროს სთავაზობდნენ პრობლემებს. ყველაზე ხშირად ეს იყო პრობლემები ალგებრაში, რომელსაც მაშინ უწოდებდნენ დიდ ხელოვნებას. გაიმარჯვა ის, ვინც ყველაზე მეტი პრობლემა მოაგვარა. გამარჯვებული არა მხოლოდ დიდებითა და ფულადი ჯილდოთი იყო დაჯილდოვებული, არამედ შეეძლო უნივერსიტეტის კათედრაც დაეკავებინა, დამარცხებული კი ხშირად კარგავდა ადგილს. სწორედ ამიტომ, დავის მონაწილისთვის მნიშვნელოვანი იყო გარკვეული ამოცანების გადაჭრის სხვა უცნობი ალგორითმი.

პროფესორ დელ ფეროს გარდაცვალების შემდეგ, მისმა სტუდენტმა ფიორემ, რომელიც თავად არ იყო ღრმა მათემატიკოსი, დაუპირისპირდა იმ დროის ერთ-ერთ ყველაზე გამოჩენილ მათემატიკოსს, ნიკოლო ტარტალიას (1499-1557), საჯარო დებატებში. კამათის მომზადებისას ტარტალიამ აღმოაჩინა ფორმულა რადიკალებში კუბური განტოლებების ფესვების მოსაძებნად, რადგან მან ივარაუდა, რომ ფიორეს უკვე ჰქონდა ეს ფორმულა. მოგვიანებით ტარტალალიამ დაწერა: „მთელი ჩემი მონდომება, მონდომება და უნარი მოვძებნე კუბური განტოლებების ამოხსნის წესი და, კურთხეული ბედის წყალობით, ეს მოვახერხე ვადამდე 8 დღით ადრე“.

დავა შედგა 1535 წლის 20 თებერვალს, ორ საათში ტარტალიამ ოპონენტის მიერ შემოთავაზებული 30 პრობლემა გადაჭრა, ფიორემ კი ტარტალიას მიერ შემოთავაზებული 30 პრობლემისგან ვერც ერთი ვერ გადაჭრა. კამათის შემდეგ, ტარტალია ცნობილი გახდა მთელ იტალიაში, მაგრამ განაგრძო ღია ფორმულის საიდუმლოდ შენახვა.

კიდევ ერთი იტალიელი მათემატიკოსი ჯეროლი. მაგრამ (1501 - 1576) ტარტალიასგან შეიტყო კუბური განტოლების ამოხსნის წესი (1) და დადო „წმინდა ფიცი“, რომ ამ საიდუმლოს არავის გაუმხელდა. მართალია, ტარტალიამ მხოლოდ ნაწილობრივ გაამხილა თავისი საიდუმლო, მაგრამ კარდანომ, რომელმაც გაეცნო გარდაცვლილი პროფესორ დელ ფეროს ხელნაწერებს, მიიღო სრული სიცხადე ამ საკითხთან დაკავშირებით. 1545 წელს კარდანომ გამოაქვეყნა თავისი ცნობილი ნაშრომი "დიდი ხელოვნების შესახებ, ან ალგებრული საგნების შესახებ, ერთ წიგნში", სადაც მან პირველად გამოაქვეყნა განტოლების ამოხსნის ფორმულა (1) და შესთავაზა ზოგადი კუბური განტოლების შემცირება განტოლებამდე (1).

ამ წიგნის გამოცემის შემდეგ კარდანო ტარტალალიამ დაადანაშაულა ფიცის დარღვევაში, მაგრამ დელ ფეროსა და ტარტალიას მიერ აღმოჩენილ ფორმულას კვლავ კარდანოს ფორმულა ეწოდება.

ასეთია კუბური განტოლების (1) ფესვების ფორმულის აღმოჩენის დრამატული ისტორია.

იმავე წიგნში კარდანომ მეოთხე ხარისხის განტოლების ალგებრული ამოხსნა მისცა. ეს აღმოჩენა მისმა ერთ-ერთმა სტუდენტმა, ლუდოვიკო ფერარიმ (1522 - 1565 წწ.) გააკეთა. ამის შემდეგ დაიწყო მუდმივი ძიება ფორმულებისთვის, რომლებიც შეამცირებდნენ უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოხსნას ფესვების მოპოვებამდე ("გამოსავალი რადიკალებში"). ეს ძიება გაგრძელდა დაახლოებით სამი საუკუნის განმავლობაში და მხოლოდ XIX საუკუნის დასაწყისში. ნორვეგიელმა მეცნიერმა ნილს ჰენრიკ აბელმა (1802 -1829) და ფრანგმა მეცნიერმა ევარისტ გალუამ (1811 -1832) დაამტკიცეს, რომ ზოგად შემთხვევაში მეოთხეზე ზემოთ გრადუსების განტოლებები არ იხსნება რადიკალებით.

მათემატიკოსმა და ფილოსოფოსმა რენე დეკარტმა (1596-1650) პირველად თავის წიგნში „გეომეტრია“ ჩამოაყალიბა ალგებრის ძირითადი თეორემა n-ე ხარისხის განტოლების ფესვების რაოდენობის შესახებ. ამავე დროს, დეკარტმა დაუშვა არა მხოლოდ ჭეშმარიტი (დადებითი) და ყალბი (არაფერზე ნაკლები, ანუ ნულზე ნაკლები - უარყოფითი) ფესვების არსებობა, არამედ წარმოსახვითი, წარმოსახვითი (დეკარტისთვის - წარმოსახვითი), ანუ რთული ფესვები.

ჯერ კიდევ უძველეს დროში მათემატიკოსები ამოცანების ამოხსნის პროცესში დგებოდნენ უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღების წინაშე; ამ შემთხვევაში პრობლემა გადაუჭრელად ითვლებოდა. თუმცა, თანდათან გაირკვა, რომ რეალურ რიცხვებში მოცემული მრავალი ამოცანის ამოხსნა მარტივად შეიძლება აიხსნას გამონათქვამების გამოყენებით a + bi, სადაც i 2 = -1, რომელიც საბოლოოდ ასევე დაიწყო რიცხვების წოდება, მაგრამ უკვე რთული. კომპლექსურ რიცხვებზე უმარტივესი მოქმედებების პირველი დასაბუთება 1572 წელს იტალიელმა მათემატიკოსმა რაფაელ ბომბელმა (დაახლოებით 1530 -1572) მისცა, თუმცა დიდი ხნის განმავლობაში რთული რიცხვები განიხილებოდა, როგორც რაღაც ზებუნებრივი.

რთული რიცხვების თეორიაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის აკადემიკოსმა ლეონჰარდ ეილერმა (1707 -1783 წწ.). მისი მუშაობის შემდეგ კომპლექსურმა რიცხვებმა მიიღეს საბოლოო აღიარება, როგორც საგანი და სასწავლო საშუალება. თვით სახელწოდება "რთული რიცხვი" შემოგვთავაზა გერმანელმა მათემატიკოსმა კარლ ფრიდრიხ გაუსმა (1777 - 1855) 1831 წელს.

ამჟამად რთული რიცხვები ფართოდ გამოიყენება ფიზიკისა და ტექნოლოგიის ბევრ საკითხში.

ზემოთ, ჩვენ ვისაუბრეთ ალგებრულ განტოლებებზე, ანუ განტოლებებზე f (x) = O, სადაც f (x) არის პოლინომი x-ში.

გარდა ალგებრული განტოლებებისა, არსებობს აგრეთვე ტრანსცენდენტული განტოლებები: ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული და ა.შ. ტრანსცენდენტული განტოლებების ამოხსნა, ისევე როგორც უტოლობა, დიდწილად ეყრდნობა მათემატიკაში შედარებით ცოტა ხნის წინ შესწავლილი ფუნქციების თვისებებს.

ალგებრულ განტოლებებს შორის განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს ეგრეთ წოდებულ დიოფანტის განტოლებებს, ანუ განტოლებებს, რომლებშიც არის ერთზე მეტი უცნობი.

მათგან ყველაზე ცნობილია წრფივი დიოფანტინის განტოლებები. ხაზოვანი დიოფანტის განტოლებამდე მიმავალი ამოცანების მაგალითები გვხვდება ბერი ალკუინის ამოცანების კრებულში, რომელიც 795 წელს მიწვეული იყო კარლოს დიდის მიერ აახენის პირველ ცნობილ სკოლაში მასწავლებლად. აქ არის დავალება:

„100 შეფელი (ვალუტის ერთეული) გაიყო მამაკაცებს, ქალებსა და ბავშვებს (ადამიანთა რაოდენობა 100-ია) და ამავე დროს აძლევდნენ მამაკაცებს 3 შეფელს, ქალებს 2-ს და ბავშვებს. რამდენი კაცი, ქალი და ბავშვი იყო?

კაცების რიცხვის x-ით, ქალების y-ით აღნიშვნისას მივდივართ განტოლებამდე

3x + 2y+ (100-x-y)= 100

იმ დროს წრფივი დიოფანტინის განტოლებების ზოგადი ამონახსნები ჯერ კიდევ არ იყო ცნობილი და ისინი კმაყოფილი იყვნენ მხოლოდ რამდენიმე ამონახსნით, რომლებიც აკმაყოფილებდა პრობლემის პირობას. თავად ალკუინმა ამ პრობლემის მხოლოდ ერთი გამოსავალი მისცა: იყო 11, 15 და 74 კაცი, ქალი და ბავშვი და პრობლემას აქვს 784 ამონახსნი ნატურალური რიცხვებით.

წრფივი დიოფანტის განტოლებამდე მიმავალი ამოცანები ხელმისაწვდომი იყო ლეონარდო პიზას (ფიბონაჩის) (1180 - 1240 წწ.), ლ.ფ. მაგნიტსკის "არითმეტიკაში".

პითაგორას ცნობილი დიოფანტის განტოლება (ძვ. წ. VI საუკუნე) x 2 + y 2 \u003d z 2 იხსნება ნატურალურ რიცხვებში. მისი ამონახსნები არის სამმაგი რიცხვები (x; y; z):

x \u003d (m 2 -n 2)l, y \u003d 2mnl, z \u003d (m 2 + n 2)l,

სადაც m, n, l არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი (m > n). ეს ფორმულები დაგეხმარებათ იპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედები, რომელთა გვერდის სიგრძე ნატურალური რიცხვებია.

1630 წელს ფრანგმა მათემატიკოსმა პიერ ფერმამ (1601 - 1665) ჩამოაყალიბა ჰიპოთეზა, რომელსაც ეწოდება ფერმას დიდი (ან დიდი) თეორემა: "განტოლებას x n + y n \u003d z n ბუნებრივი n ≥ 3-ისთვის არ აქვს ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში." ფერმამ არ დაამტკიცა თავისი თეორემა ზოგად საქმეში, მაგრამ ცნობილია მისი ჩანაწერი დიოფანტეს არითმეტიკის მინდვრებზე: მეორე ხარისხზე მეტი არ შეიძლება დაიწეროს ორი ასეთი ძალის ჯამად. მე მაქვს ამ განცხადების მართლაც საოცარი მტკიცებულება, მაგრამ ეს მინდვრები ძალიან ვიწროა იმისათვის, რომ მოერგოს. მოგვიანებით ფერმას თეორემის მტკიცებულება n=4-ზე აღმოჩნდა ფერმას ნაშრომებში. მას შემდეგ, 300 წელზე მეტი ხნის განმავლობაში, მათემატიკოსები ცდილობდნენ დაემტკიცებინათ ფერმას დიდი თეორემა. 1770 წელს ლ. ეილერმა დაამტკიცა ფერმას თეორემა n = 3-ისთვის, 1825 წელს ადრიენ ლეჟანდრი (1752 1833) და პიტერ დირიხლე (1805 - 1859) - n = 5-ისთვის. ფერმას ბოლო თეორემის დადასტურება ზოგად საქმეში მრავალი წლის განმავლობაში ვერ მოხერხდა. და მხოლოდ 1995 წელს ენდრიუ უილსმა დაამტკიცა ეს თეორემა.

ყველა განტოლება f (x) = g (x) ან უტოლობა გარდაქმნების შედეგად ან ცვლადის წარმატებული ცვლილების დახმარებით არ შეიძლება დაიყვანოს ამა თუ იმ სტანდარტული ფორმის განტოლებამდე ან უტოლობამდე, რისთვისაც არსებობს გარკვეული გადაწყვეტის ალგორითმი. ასეთ შემთხვევებში ზოგჯერ სასარგებლო გამოდის ფუნქციების ზოგიერთი თვისების გამოყენება, როგორიცაა ერთფეროვნება, პერიოდულობა, შეზღუდულობა, თანასწორობა და ა.შ.

ფუნქცია f (x) ეწოდება მზარდი D ინტერვალზე, თუ ნებისმიერი რიცხვისთვის x 1 და x 2 D ინტერვალიდან ისეთი, რომ x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

f (x) ფუნქციას ეწოდება კლება D ინტერვალზე, თუ რომელიმე რიცხვისთვის x 1 და x 2 D ინტერვალიდან ისეთი, რომ x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) >f (x2).

1-ელ სურათზე გამოსახულ გრაფიკზე

სურათი 1

ფუნქცია y = f (x), , იზრდება თითოეულ ინტერვალზე და მცირდება ინტერვალზე (x 1 ; x 2). გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია იზრდება თითოეულ სპანზე, მაგრამ არა სპანების გაერთიანებაზე

თუ ფუნქცია იზრდება ან მცირდება რაღაც ინტერვალზე, მაშინ მას ამ ინტერვალზე მონოტონური ეწოდება.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ f არის მონოტონური ფუნქცია D ინტერვალზე (f (x)), მაშინ განტოლება f (x) = const არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი ამ ინტერვალზე.

მართლაც, თუ x 1< x 2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

ჩვენ ჩამოვთვლით მონოტონური ფუნქციების თვისებებს (ვვარაუდობთ, რომ ყველა ფუნქცია განსაზღვრულია რაღაც D ინტერვალზე).

· რამდენიმე მზარდი ფუნქციის ჯამი არის მზარდი ფუნქცია.

· არაუარყოფითი მზარდი ფუნქციების ნამრავლი არის მზარდი ფუნქცია.

თუ ფუნქცია f იზრდება, მაშინ ფუნქციები cf (c > 0) და f + c ასევე იზრდება, ხოლო ფუნქცია cf (c< 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

· თუ ფუნქცია f იზრდება და ინარჩუნებს თავის ნიშანს, მაშინ ფუნქცია კლებადია.

· თუ ფუნქცია f იზრდება და არის არაუარყოფითი, მაშინ f n სადაც nN, ასევე იზრდება.

· თუ f ფუნქცია იზრდება და n კენტი რიცხვია, მაშინ f ასევე იზრდება.

· ასევე იზრდება f და g ფუნქციების g (f (x)) შემადგენლობა.

ანალოგიური მტკიცებები ასევე შეიძლება გაკეთდეს კლებადი ფუნქციისთვის.

a წერტილს ეწოდება f ფუნქციის მაქსიმუმის წერტილი, თუ არსებობს a წერტილის ε-მეზობლობა, რომ ამ უბნის ნებისმიერი x-ისთვის დაკმაყოფილდეს უტოლობა f (a) ≥ f (x).

a წერტილს უწოდებენ f ფუნქციის მინიმალურ წერტილს, თუ არსებობს a წერტილის ε-მეზობლობა, რომ ნებისმიერი x-ისთვის ამ სამეზობლოდან დაკმაყოფილდეს უტოლობა f (a) ≤ f (x).

წერტილებს, რომლებზეც მიიღწევა ფუნქციის მაქსიმუმი ან მინიმუმი, ეწოდება ექსტრემალური წერტილები.

უკიდურეს წერტილში იცვლება ფუნქციის ერთფეროვნების ხასიათი. ასე რომ, ექსტრემალური წერტილის მარცხნივ, ფუნქცია შეიძლება გაიზარდოს, ხოლო მარჯვნივ - შემცირდეს. განმარტების მიხედვით, ექსტრემალური წერტილი უნდა იყოს განმარტების დომენის შიდა წერტილი.

თუ რომელიმე (x ≠ a) უტოლობა f (x) ≤ f (a) დაკმაყოფილებულია, მაშინ a წერტილს ეწოდება D სიმრავლის ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობის წერტილი:

თუ რომელიმე (x ≠ b) უტოლობის f (x) > f (b) დაკმაყოფილებულია, მაშინ b წერტილს ეწოდება D სიმრავლის ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის წერტილი.

ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის წერტილი D სიმრავლეზე შეიძლება იყოს ფუნქციის უკიდურესი, მაგრამ ეს არ არის აუცილებელი.

სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის წერტილი უნდა ვეძებოთ ამ ფუნქციის უკიდურესობებს შორის და მის მნიშვნელობებს შორის სეგმენტის ბოლოებში.

ერთფეროვნების თვისების გამოყენებით განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა ეფუძნება შემდეგ დებულებებს.

1. დავუშვათ f(x) უწყვეტი და მკაცრად მონოტონური ფუნქცია T ინტერვალზე, მაშინ განტოლება f(x) = C, სადაც C არის მოცემული მუდმივი, შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს ერთი ამონახსნი T ინტერვალზე.

2. დავუშვათ f(x) და g(x) უწყვეტი ფუნქციები T ინტერვალზე, f(x) მკაცრად იზრდება და g(x) მკაცრად მცირდება ამ ინტერვალზე, შემდეგ განტოლება f(x) = =g. (x) შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ ერთი ამონახსნი T ინტერვალზე. გაითვალისწინეთ, რომ T ინტერვალი შეიძლება იყოს უსასრულო ინტერვალი (-∞; +∞) , ინტერვალები (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; b], სეგმენტები, ინტერვალები და ნახევარინტერვალები.

მაგალითი 2.1.1 ამოხსენით განტოლება

. (1)

გამოსავალი. ცხადია, x ≤ 0 არ შეიძლება იყოს ამ განტოლების ამონახსნი, მას შემდეგ . x > 0-ისთვის ფუნქცია არის უწყვეტი და მკაცრად მზარდი, როგორც ორი უწყვეტი დადებითი მკაცრად მზარდი ფუნქციის ნამრავლი f(x) = x ამ x და . ეს ნიშნავს, რომ რეგიონში x > 0 ფუნქცია იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას ზუსტად ერთ წერტილში. ადვილი მისახვედრია, რომ x = 1 არის ამ განტოლების ამონახსნი, მაშასადამე, ის არის მისი ერთადერთი ამონახსნი.

პასუხი: (1).

მაგალითი 2.1.2 უტოლობის ამოხსნა

. (2)

გამოსავალი. თითოეული ფუნქცია y \u003d 2 x, y \u003d 3 x, y \u003d 4 x არის უწყვეტი და მკაცრად იზრდება მთელ ღერძზე. ასე რომ, ორიგინალური ფუნქცია იგივეა . ადვილი მისახვედრია, რომ x = 0 ფუნქცია იღებს მნიშვნელობას 3. ამ ფუნქციის უწყვეტობისა და მკაცრი ერთფეროვნების გამო x > 0, გვაქვს , x-ზე< 0 имеем . მაშასადამე, ამ უტოლობის ამონახსნები არის x< 0.

პასუხი: (-∞; 0).

მაგალითი 2.1.3 ამოხსენით განტოლება

. (3)

გამოსავალი. განტოლების (3) დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ინტერვალი. ON ODZ ფუნქციები და არიან უწყვეტი და მკაცრად კლებადი, შესაბამისად ფუნქცია უწყვეტი და კლებადია . ამრიგად, ფუნქცია h(x) იღებს თითოეულ მნიშვნელობას მხოლოდ ერთ წერტილში. ვინაიდან, მაშინ x = 2 არის ორიგინალური განტოლების ერთადერთი ფესვი.

განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას, ქვემოდან ან ზემოდან შეზღუდვის თვისება გარკვეულ სიმრავლეზე ფუნქციით ხშირად გადამწყვეტ როლს თამაშობს.

თუ არის რიცხვი C ისეთი, რომ უტოლობა f (x) ≤ C მოქმედებს ნებისმიერისთვის, მაშინ f ფუნქციას უწოდებენ D სიმრავლეს ზემოდან შეზღუდულს (სურათი 2).

სურათი 2

თუ არსებობს c რიცხვი ისეთი, რომ უტოლობა f (x) ≥ c მოქმედებს ნებისმიერისთვის, მაშინ f ფუნქციას უწოდებენ D სიმრავლის ქვემოდან შეზღუდულს (სურათი 3).

სურათი 3

ფუნქციას, რომელიც შემოიფარგლება როგორც ზემოთ, ასევე ქვემოთ, ეწოდება შეზღუდული D სიმრავლეზე. f ფუნქციის გეომეტრიული შეზღუდულობა D სიმრავლეზე ნიშნავს, რომ y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს c ≤ y ≤ C ზოლში (სურათი 4). ).

სურათი 4

თუ ფუნქცია არ არის შეზღუდული სიმრავლეზე, მაშინ ამბობენ, რომ ის შეუზღუდავია.

მთელი რიცხვითი წრფის ქვემოდან შემოსაზღვრული ფუნქციის მაგალითია ფუნქცია y = x 2 . ზემოდან შემოსაზღვრული ფუნქციის მაგალითი სიმრავლეზე (–∞; 0) არის ფუნქცია y = 1/x. მთელი რიცხვითი წრფეზე შეზღუდული ფუნქციის მაგალითია ფუნქცია y = sin x.

მაგალითი 2.2.1 ამოხსენით განტოლება

sin(x 3 + 2x 2 + 1) = x 2 + 2x + 2. (4)

გამოსავალი. ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის x გვაქვს sin(x 3 + 2x 2 + 1) ≤ 1, x 2 + 2x + 2 = (x + 1) 2 +1 ≥ 1. ვინაიდან x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მარცხენა მხარე განტოლება არ აღემატება ერთს და მარჯვენა მხარე ყოველთვის არ არის ერთიანობაზე ნაკლები, მაშინ ამ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ გამოსავალი .

Ჰალსტუხი. განტოლებას (4) ასევე არ აქვს ფესვები.

მაგალითი 2.2.2 ამოხსენით განტოლება

. (5)

გამოსავალი. ცხადია, x = 0, x = 1, x = -1 არის ამ განტოლების ამონახსნები. სხვა ამონახსნების საპოვნელად, f (x) \u003d x 3 - x - sinπx ფუნქციის უცნაურობის გამო, საკმარისია მისი ამონახსნები რეგიონში x > 0, x ≠ 1, რადგან თუ x 0 > 0 არის მისი ამოხსნა, მაშინ (-x 0 ) ასევე მისი ამოხსნაა.

სიმრავლეს x > 0, x ≠ 1 ვყოფთ ორ ინტერვალად: (0; 1) და (1; +∞)

გადავიწეროთ საწყისი განტოლება x 3 - x = sinπx სახით. ინტერვალზე (0; 1), ფუნქცია g (x) \u003d x 3 - x იღებს მხოლოდ უარყოფით მნიშვნელობებს, რადგან x 3< < х, а функция h(x) = sinπx только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.

მოდით x მიეკუთვნებოდეს ინტერვალს (1; +∞). თითოეული ამ მნიშვნელობისთვის x, ფუნქცია g(x) = x 3 - x იღებს დადებით მნიშვნელობებს, ფუნქცია h(x) = sinπx იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს, ხოლო ინტერვალზე (1; 2) ფუნქცია h(x) = sinπx არაპოზიტიურია, ამიტომ (1; 2) ინტერვალზე განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

თუ x > 2, მაშინ |sinπx| ≤ 1, x 3 - x = x(x 2 - 1) > 2∙3 = 6, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას ასევე არ აქვს ამონახსნები ინტერვალზე (1; +∞).

ასე რომ, x = 0, x = 1 და x = -1 და მხოლოდ ისინი არიან ამონახსნები საწყისი განტოლებისთვის.

პასუხი: (-1; 0; 1).

მაგალითი 2.2.3 უტოლობის ამოხსნა

გამოსავალი. უტოლობის DLV არის ყველა რეალური x გარდა x = -1. მოდით გავყოთ ODZ უტოლობები სამ სიმრავლედ: -∞< x < -1, -1 < x ≤ 0, 0 < x < +∞ и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

მოდით -∞< x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) = < 0, а f(x) = 2 x >0. მაშასადამე, ყველა ეს x არის უტოლობის ამონახსნები.

მოდით -1< x ≤ 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , а f(x) = 2 x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.

მოდით 0< x < +∞. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , a . Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.

პასუხი: .

ფუნქცია f (x) ეწოდება პერიოდულ პერიოდს T ≠ 0, თუ დაკმაყოფილებულია ორი პირობა:

· თუ , მაშინ x + T და x – T ასევე განეკუთვნება D განმარტების დომენს (f (x));

ნებისმიერი თანასწორობისთვის

f(x + T) = f(x).

ვინაიდან ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ

თუ T არის f (x) ფუნქციის პერიოდი, მაშინ აშკარაა, რომ თითოეული რიცხვი nT, სადაც, n ≠ 0, ასევე არის ამ ფუნქციის პერიოდი.

ფუნქციის უმცირესი დადებითი პერიოდი არის T დადებითი რიცხვებიდან ყველაზე პატარა, რომლებიც ამ ფუნქციის პერიოდია.

პერიოდული ფუნქციის ნახატი

პერიოდული ფუნქციის გრაფიკი ჩვეულებრივ აგებულია ინტერვალზე )