ამოცანების ამოხსნა ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პარამეტრით. "პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდები"
1. დავალება.
რა პარამეტრის მნიშვნელობებზე აგანტოლება ( ა - 1)x 2 + 2x + ა- 1 = 0-ს აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?
1. გამოსავალი.
ზე ა= 1 განტოლება არის 2 x= 0 და აშკარად აქვს ერთი ფესვი x= 0. თუ ა No1, მაშინ ეს განტოლება არის კვადრატული და აქვს ერთი ფესვი იმ პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებშიც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულის ტოლია. დისკრიმინანტის ნულთან გათანაბრებით, ვიღებთ პარამეტრის განტოლებას ა
4ა 2 - 8ა= 0, საიდანაც ა= 0 ან ა = 2.
1. პასუხი:განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ა O (0; 1; 2).
2. დავალება.
იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლის განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს x 2 +4ცული+8ა+3 = 0.
2. გამოსავალი.
განტოლება x 2 +4ცული+8ა+3 = 0-ს აქვს ორი განსხვავებული ფესვი, თუ და მხოლოდ თუ დ =
16ა 2 -4(8ა+3) > 0. ვიღებთ (4 საერთო კოეფიციენტით შემცირების შემდეგ) 4 ა 2 -8ა-3 > 0, საიდანაც
2. პასუხი:
| ა O (-Ґ ; 1 - | ც 7 2 |
) და (1 + | ც 7 2 |
; Ґ ). |
3. დავალება.
ცნობილია, რომ
ვ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ა) ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა ვ 1 (x) ზე ა = 1.
ბ) რა ღირებულებით აფუნქციების გრაფიკები ვ 1 (x) და ვ 2 (x) გაქვთ ერთი საერთო წერტილი?
3. გამოსავალი.
3.ა.მოდით გარდავქმნათ ვ 1 (x) შემდეგნაირად
ამ ფუნქციის გრაფიკი ზე ა= 1 ნაჩვენებია ფიგურაში მარჯვნივ.
3.ბ.დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ ფუნქციების გრაფიკები წ =
kx+ბდა წ = ცული 2 +bx+გ
(ა No 0) იკვეთება ერთ წერტილში თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ კვადრატული განტოლება kx+ბ =
ცული 2 +bx+გაქვს ერთი ფესვი. ხედის გამოყენებით ვ 1 of 3.ა, გავაიგივოთ განტოლების დისკრიმინანტი ა = 6x-x 2-6 ნულამდე. 36-24-4 განტოლებიდან ა= 0 ვიღებთ ა= 3. იგივე გააკეთე მე-2 განტოლებით x-ა = 6x-x 2 -6 ვიპოვით ა= 2. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ეს პარამეტრის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. პასუხი: ა= 2 ან ა = 3.
4. დავალება.
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე x 2 -2ცული-3ა i 0 შეიცავს სეგმენტს.
4. გამოსავალი.
პარაბოლის წვეროს პირველი კოორდინატი ვ(x) =
x 2 -2ცული-3ატოლია x 0 =
ა. კვადრატული ფუნქციის თვისებებიდან მდგომარეობა ვ(x) і 0 სეგმენტზე უდრის სამი სისტემის კომპლექტს
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი?
5. გამოსავალი.
მოდით გადავწეროთ ეს განტოლება ფორმაში x 2 + (2ა-2)x - 3ა+7 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება, მას აქვს ზუსტად ორი ამონახსნი, თუ მისი დისკრიმინანტი ნულზე მეტია. დისკრიმინანტის გამოთვლით აღმოვაჩენთ, რომ ზუსტად ორი ფესვის არსებობის პირობაა უტოლობის შესრულება. ა 2 +ა-6 > 0. უტოლობის ამოხსნა ვპოულობთ ა < -3 или ა> 2. უტოლობებიდან პირველს, ცხადია, არ აქვს ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში, ხოლო მეორის ყველაზე პატარა ნატურალური ამონახსნები არის რიცხვი 3.
5. პასუხი: 3.
6. პრობლემა (10 გასაღები)
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც ფუნქციის გრაფიკი ან აშკარა გარდაქმნების შემდეგ, ა-2 = |
2-ა| . ბოლო განტოლება უდრის უტოლობას ამე 2.
6. პასუხი: ა O, მაშინ პირველი მოდული იხსნება მინუსით, ხოლო მეორე პლიუსით და მივიღებთ უტოლობას –2 x < 2ა, ე.ი. x > –ა, ანუ გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є (– ა ; ა]. თუ x > აორივე მოდული იხსნება პლუსით და ვიღებთ სწორ უტოლობას –2 ა < 2ა, ე.ი. , გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є ( ა; +∞). ორივე პასუხის კომბინაციით, მივიღებთ, რომ როდის ა > 0 x Є (– ა ; +∞).
დაე ა < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2ა. ამრიგად, თან ა < 0 решений нет.
პასუხი: x
Є (– ა; +∞) at ა> 0, არ არსებობს გადაწყვეტილებები 
.
კომენტარი.ამ პრობლემის გადაწყვეტა უფრო სწრაფი და მარტივია, თუ გამოიყენებთ ორი რიცხვის სხვაობის მოდულის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას, როგორც წერტილებს შორის მანძილს. შემდეგ მარცხენა მხარეს გამოთქმა შეიძლება განიმარტოს, როგორც წერტილიდან დაშორების განსხვავება Xწერტილებამდე ადა - ა .
მაგალითი 3.იპოვე ყველა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის უტოლობის ყველა ამონახსნები 
უთანასწორობის დაკმაყოფილება 2 x
– ა² + 5< 0.
გამოსავალი:
უტოლობის ამოხსნა |x | ≤ 2 არის ნაკრები ა=[–2; 2] და უტოლობის ამოხსნა 2 x
– ა² + 5< 0 является множество ბ
= (–∞; 
) . პრობლემის პირობების დასაკმაყოფილებლად აუცილებელია A სიმრავლე შევიდეს B სიმრავლეში (). ეს პირობა დაკმაყოფილდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში.
პასუხი: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).
მაგალითი 4.იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის უტოლობა 
გადის ყველასთვის xსეგმენტიდან.
გამოსავალი:
ფრაქცია არის ნულზე ნაკლები ფესვებს შორის, ასე რომ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელი ფესვი უფრო დიდია.
–3ა
+ 2 < 2ა
+ 4 
და -3 ა
+ 2 > 2ა
+ 4 
. ამრიგად, თან 
xЄ (–3 ა
+ 2; 2ა+ 4) და იმისთვის, რომ უტოლობა დარჩეს ყველა x სეგმენტიდან, აუცილებელია, რომ
ზე 
xЄ (2 ა
+ 4; –3ა+ 2) და ისე, რომ უთანასწორობა ყველასთვის მოქმედებს xსეგმენტიდან აუცილებელია, რომ
როდესაც a = – (როდესაც ფესვები ემთხვევა) არ არსებობს ამონახსნები, რადგან ამ შემთხვევაში უტოლობა იღებს ფორმას: .
პასუხი: 
.
მაგალითი 5. აუტოლობა მოქმედებს ყველა უარყოფით მნიშვნელობაზე X?
გამოსავალი:
ფუნქცია მონოტონურად იზრდება, თუ კოეფიციენტი არის x არაუარყოფითი და ის მონოტონურად მცირდება, თუ კოეფიციენტი არის xუარყოფითი.
მოდით გავარკვიოთ კოეფიციენტის ნიშანი at 
ა ≤ –3,
ა ≥ 1; (ა² + 2 ა – 3) < 0 <=> –3 < ა < 1.
ა ≤ –3,
დაე ა≥ 1. შემდეგ ფუნქცია ვ
(x
)
მონოტონურად არ იკლებს და პრობლემის პირობა დაკმაყოფილდება თუ ვ
(x
)
≤ 0 <=> 3ა
² – ა
– 14 ≤ 0 <=> 
.
ა ≤ –3,
პირობებთან ერთად ა≥ 1; ჩვენ ვიღებთ: 
მოდით -3< ა < 1. Тогда функция ვ (x ) მონოტონურად მცირდება და პრობლემის მდგომარეობა ვერასოდეს დაკმაყოფილდება.
უპასუხე:
.
2. კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით
კვადრატული ფუნქცია: 
.
რეალური რიცხვების სიმრავლეში ეს განტოლება შესწავლილია შემდეგი სქემის გამოყენებით.
მაგალითი 1. რა ღირებულებებზე ა განტოლებაx ² – ცული + 1 = 0 არ აქვს ნამდვილი ფესვები?
გამოსავალი:
x ² – ცული + 1 = 0
დ = ა ² – 4 1 =ა ² - 4
ა ² - 4< 0 + – +
( ა – 2)( ა + 2) < 0 –2 2
უპასუხე: ზეa Є (–2; 2)
მაგალითი 2.a-ს რომელ მნიშვნელობებს ეხება განტოლება ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5 აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი?
გამოსავალი:
ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5, ა ≠ 0
ოჰ ² – აჰ+ ა – 3 X – 5 = 0
ოჰ ² – ( ა + 3) X + ა – 5 = 0
დ = ( ა +3)² - 4ა ( ა – 5) = ა ² +6ა + 9 – 4 ა ² + 20ა = –3 ა ² + 26ა + 9
–3 ა ² + 26 ა + 9 > 0
3 ა ² - 26ა – 9 < 0
დ = 26² – 4 3 (–9) = 784
ა
1
=
;
ა
2
=
+ –
+
0 9
პასუხი:ზეაЄ (–1/3; 0)უ (0; 9)
მაგალითი 3: ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ოძ: x ≠1, x ≠ ა
x
– 1 +
x
–
ა
= 2, 2
x
= 3 +
ა
, 
1)
; 3 +
ა
≠ 2;
ა
≠ –1
2) 
; 3 +
ა
≠ 2
ა
;
ა
≠ 3
პასუხი:
ზეა
Є (–∞; –1)უ
(–1; 3)
უ
(3; +∞);
არ არსებობს გადაწყვეტილებებიa = –1; 3.
მაგალითი4 . ამოხსენით განტოლება | x ²–2 x –3 | = ა .
გამოსავალი:
მოდით შევხედოთ ფუნქციებს წ = | x ²–2 x –3 | დაწ = ა .
ზე ა
<
0
არ არის გადაწყვეტილებები;
ზე ა
=
0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა
< 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.
პასუხი:
ზე ა
< 0 нет решений;
ზე ა= 0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა
< 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.
მაგალითი 5.იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა
ა
, რომელთაგან თითოეული განტოლება
|
x
²–(
ა
+2)
x
+2
ა
| = |
3
x
–6
|
აქვს ზუსტად ორი ფესვი. თუ ასეთი ღირებულებები
ა
ერთზე მეტი, თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათი პროდუქტი.
გამოსავალი:
გავაფართოვოთ კვადრატული ტრინომიალი x
²–(
ა
+2)
x
+2
ა
მულტიპლიკატორებით.
;
;
;
ვიღებთ |
(
x
–2)(
x
–
ა
)
| =
3
|
x
–2
|.
ეს განტოლება სიმრავლის ტოლფასია
მაშასადამე, ამ განტოლებას აქვს ზუსტად ორი ფესვი თუ ა+ 3 = 2 და ა
– 3 = 2.
აქედან ვხვდებით, რომ სასურველი მნიშვნელობები აარიან ა
1
= –1; ა
2
= 5; ა
1
·
ა
2
= –5.
პასუხი: –5.
მაგალითი 6.იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა , რისთვისაც განტოლების ფესვები ცული ² – 2( ა + 1) x – ა + 5 = 0 დადებითები არიან.
გამოსავალი:
გამშვები პუნქტი ა= 0, რადგან ცვლის განტოლების არსს.
1. ა = 0 –2x + = 0;
პასუხი: a Є U.
მაგალითი 7.ზერა პარამეტრის მნიშვნელობები ა განტოლება | x ² - 4 x + 3 | = ცული აქვს 3 ფესვი.
გამოსავალი:
მოდით ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკები წ = | x ² - 4 x + 3 | და წ = ცული .
ფუნქცია გრაფიკულად არის დახატული სეგმენტზე 
.
ამ განტოლებას ექნება სამი ფესვი, თუ ფუნქციის გრაფიკი წ
=
ცულიიქნება ტანგენსი გრაფიკზე წ
= x
²+ 4
x
– 3
on
სეგმენტი
ტანგენტის განტოლებას აქვს ფორმა წ
=
ვ
(x
0
) +
ვ
’(x
0
)(x
–
x
0
),
იმიტომ რომ ტანგენტის განტოლება წ
=
ა, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას 
იმიტომ რომ x 0 Є ,
პასუხი:ზე ა
= 4 – 2
.
კვადრატული უტოლობა პარამეტრებით
მაგალითი.იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა
ა
, რომელთაგან თითოეული უტოლობების ამონახსნებს შორის 
ხაზის სეგმენტზე არ არის წერტილები.
გამოსავალი:
ჯერ მოდით გადავჭრათ უტოლობა პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის და შემდეგ ვიპოვოთ ის, რისთვისაც არ არის სეგმენტის ერთი წერტილი ამონახსნებს შორის. .
დაე 
, ცული
= ტ
²
ტ ≥ 0
ცვლადების ასეთი ჩანაცვლებით, უტოლობის ODZ შესრულებულია ავტომატურად. xშეიძლება გამოიხატოს მეშვეობით ტ, თუ ა≠ 0. მაშასადამე, შემთხვევა როცა ა
= 0, განვიხილავთ ცალკე.
1. მოდით ა
= 0, მაშინ X> 0 და მოცემული სეგმენტი არის ამონახსნი.
2.ნება ა≠ 0, მაშინ 
და უთანასწორობა მიიღებს ფორმას 
, 
უტოლობის ამოხსნა დამოკიდებულია მნიშვნელობებზე ა, ამიტომ ორი შემთხვევა უნდა განვიხილოთ.
1) თუ ა>0, მაშინ 
ზე 
ან ძველ ცვლადებში,
ამოხსნა არ შეიცავს მოცემული სეგმენტის ერთ წერტილს, თუ და მხოლოდ პირობების დაკმაყოფილების შემთხვევაში ა ≤ 7,
16ა≥ 96. აქედან გამომდინარე, ა
Є .
2). თუ ა< 0, то ; 
; ტЄ (4 ა
; ა). იმიტომ რომ ტ≥ 0, მაშინ გამოსავალი არ არის.
პასუხი: .
ირაციონალური განტოლებები პარამეტრებით
პარამეტრით ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას, პირველ რიგში, გასათვალისწინებელია მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. მეორეც, თუ უტოლობის ორივე მხარე არაუარყოფითი გამონათქვამებია, მაშინ ასეთი უტოლობა შეიძლება კვადრატული იყოს უტოლობის ნიშნის შენარჩუნებით.
ხშირ შემთხვევაში, ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები ცვლადების შეცვლის შემდეგ მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე.
მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, ა ≥ 0.
x + 1 = ა ².
თუ x = ა² – 1, მაშინ პირობა დაკმაყოფილებულია.
პასუხი: x = ა² – 1 ზე ა≥ 0; არ არსებობს გადაწყვეტილებები ა < 0.
მაგალითი 2: ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,
a–x ≥ 0; x ≤ ა;
x + 3 = a–x,
2x = ა – 3,
<=>
<=>
<=>
ა
≥ –3.
პასუხი: ზე ა≥ -3; არ არსებობს გადაწყვეტილებები ა
< –3.
მაგალითი 3.რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? 
პარამეტრების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე ა?
გამოსავალი:
განტოლების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი: x Є [–2; 2]
მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები. პირველი ფუნქციის გრაფიკი არის წრის ზედა ნახევარი x² + წ² = 4. მეორე ფუნქციის გრაფიკი არის პირველი და მეორე კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. პირველი ფუნქციის გრაფიკს გამოვაკლოთ მეორის გრაფიკი და მიიღეთ ფუნქციის გრაფიკი 
. თუ შეცვლით ზე on ა, მაშინ ფუნქციის ბოლო გრაფიკი არის თავდაპირველი განტოლების დამაკმაყოფილებელი წერტილების სიმრავლე (x; ა). 
გრაფიკის მიხედვით ჩვენ ვხედავთ პასუხს.
პასუხი:ზე აЄ (–∞; –2) U (1; +∞), ფესვების გარეშე;
ზე აЄ [–2; 2), ორი ფესვი;
ზე ა= 1, ერთი ფესვი.
მაგალითი 4.რა პარამეტრის მნიშვნელობებზე აგანტოლება 
აქვს ერთი გამოსავალი?
გამოსავალი:
მეთოდი 1 (ანალიტიკური):
პასუხი:
მეთოდი 2 (გრაფიკული):
პასუხი:≥ –2-ისთვის განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები
მაგალითი 5.პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებს აქვს განტოლება = 2 + x აქვს უნიკალური ამონახსნები.
გამოსავალი:
მოდით განვიხილოთ ამ განტოლების ამოხსნის გრაფიკული ვერსია, ანუ ჩვენ ავაშენებთ ორ ფუნქციას:
ზე 1 = 2 + Xდა ზე 2 =
პირველი ფუნქცია წრფივია და გადის წერტილებში (0; 2) და (–2; 0).
მეორე ფუნქციის გრაფიკი შეიცავს პარამეტრს. ჯერ განვიხილოთ ამ ფუნქციის გრაფიკი at ა= 0 (ნახ. 1). პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლისას, გრაფიკი მოძრაობს ღერძის გასწვრივ ოჰშესაბამისი მნიშვნელობით მარცხნივ (დადებითისთვის ა) ან მარჯვნივ (უარყოფითისთვის ა) (ნახ. 2)
ფიგურიდან ირკვევა, რომ როდის ა < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
პასუხი:ზე ა≥ –2 განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი.
ტრიგონომეტრიული განტოლებები პარამეტრებით.
მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება ცოდვა (– x + 2 x – 1) = ბ + 1.
გამოსავალი:
ფუნქციის უცნაურობის გათვალისწინებით 
, ამ განტოლებას ვამცირებთ ეკვივალენტამდე 
.
1. ბ = –1
3. ბ =–2
4. | ბ + 1| > 1
გადაწყვეტილებები არ არსებობს.
5. ბЄ(–1; 0)
6. ბЄ(–2; –1)
მაგალითი 2.იპოვეთ p პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის განტოლება
არ აქვს გადაწყვეტილებები.
გამოსავალი:
გამოვხატოთ cos 2 xმეშვეობით სინქსი.
დაე 
შემდეგ დავალება შემცირდა ყველა მნიშვნელობის პოვნამდე გვ, რომლის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები [–1; 1]. განტოლების ალგორითმულად ამოხსნა შეუძლებელია, ამიტომ ამოცანის ამოხსნას გრაფიკის გამოყენებით. მოდით დავწეროთ განტოლება ფორმით, ახლა კი მარცხენა მხარის გრაფიკის ჩანახატი 
ადვილად ასაშენებელი.
განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, თუ სწორი ხაზია წ
=
გვ+ 9 არ კვეთს გრაფიკს [–1; 1], ე.ი. 
პასუხი:გვ Є (–∞; –9) U (17; +∞).
განტოლებათა სისტემები პარამეტრებით
ორი წრფივი განტოლების სისტემა პარამეტრებით
განტოლებათა სისტემა 
ორი წრფივი განტოლების სისტემის ამონახსნები არის ორი სწორი წრფის გადაკვეთის წერტილები: და .
არსებობს 3 შესაძლო შემთხვევა:
1. ხაზები არ არის პარალელური . მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები არ არის პარალელური, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს ერთადერთი გამოსავალი.
2. წრფეები პარალელურია და ერთმანეთს არ ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია, მაგრამ ძვრები განსხვავებულია, ე.ი. .
ამ შემთხვევაში სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები .
3. სწორი ხაზები ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია და ძვრები ემთხვევა, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი -ხაზის ყველა წერტილი .
ამოცანა 1 #6329
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\ბოლო(შემთხვევები)\]
აქვს ზუსტად ოთხი გამოსავალი.
(გამოყენება 2018, მთავარი ტალღა)
სისტემის მეორე განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \(y=\pm x\) . ამიტომ განვიხილავთ ორ შემთხვევას: როდესაც \(y=x\) და როდესაც \(y=-x\) . მაშინ სისტემის ამონახსნების რაოდენობა უდრის პირველ და მეორე შემთხვევაში ამონახსნების რაოდენობის ჯამს.
1) \(y=x\) . ჩაანაცვლეთ პირველ განტოლებაში და მიიღეთ: \
(გაითვალისწინეთ, რომ \(y=-x\) შემთხვევაში ჩვენ იგივე გავაკეთებთ და ასევე მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას)
იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს 4 განსხვავებული გამოსავალი, აუცილებელია, რომ ორივე შემთხვევაში 2 გამოსავალი იყოს მიღებული.
კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი, როდესაც მისი \(D>0\) . ვიპოვოთ განტოლების დისკრიმინანტი (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
ნულზე მეტი დისკრიმინანტი: \(a^2+4a+2<0\)
, откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).
2) \(y=-x\) . ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას: \
დისკრიმინანტი მეტია ნულზე: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\), საიდანაც \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\მარჯვნივ)\).
აუცილებელია შემოწმდეს, ემთხვევა თუ არა ხსნარები პირველ შემთხვევაში მეორე შემთხვევაში ხსნარებს.
მოდით \(x_0\) იყოს (1) და (2) განტოლების ზოგადი ამონახსნები, მაშინ \
აქედან მივიღებთ, რომ ან \(x_0=0\) ან \(a=0\) .
თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლებები (1) და (2) ერთნაირია, შესაბამისად, მათ აქვთ იგივე ფესვები. ეს საქმე არ გვიწყობს.
თუ \(x_0=0\) მათი საერთო ფესვია, მაშინ \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), საიდანაც \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , საიდანაც \(a=-1\) ან \(a=-0.6\) . მაშინ მთელ თავდაპირველ სისტემას ექნება 3 განსხვავებული გადაწყვეტა, რაც ჩვენ არ ჯდება.
ამ ყველაფრის გათვალისწინებით, პასუხი იქნება:
პასუხი:
\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \მარჯვნივ)\)
ამოცანა 2 #4032
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\)-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
მოდით გადავიწეროთ სისტემა ფორმაში: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\]განვიხილოთ სამი ფუნქცია: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ \(y\leqslant g\) , მაგრამ \(y\geqslant h\) . მაშასადამე, იმისათვის, რომ სისტემას ჰქონდეს ამონახსნები, გრაფიკი \(y\) უნდა იყოს იმ არეალში, რომელიც მითითებულია პირობებით: "ზემოთ" გრაფიკის \(h\) მაგრამ "ქვემოთ" გრაფიკის \(g\):
(„მარცხენა“ რეგიონს დავარქმევთ I რეგიონს, „მარჯვენა“ რეგიონს II რეგიონს)
გაითვალისწინეთ, რომ ყოველი ფიქსირებული \(a\ne 0\) გრაფიკი \(y\) არის პარაბოლა, რომლის წვერო მდებარეობს \((-1;0)\ წერტილში), ხოლო ტოტები მიმართულია ან ზემოთ ან ქვემოთ. თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლება ჰგავს \(y=0\) და გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა x ღერძს.
გაითვალისწინეთ, რომ იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა, გრაფიკს \(y\) უნდა ჰქონდეს ზუსტად ერთი საერთო წერტილი I რეგიონთან ან II რეგიონთან (ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკს \(y\) უნდა ჰქონდეს ერთი საერთო წერტილი. ერთ-ერთი ამ ტერიტორიის საზღვართან).
განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა ცალკე.
1) \(a>0\) . შემდეგ პარაბოლის ტოტები \(y\) მიმართულია ზემოთ. იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გამოსავალი, აუცილებელია პარაბოლა \(y\) შეეხოს I რეგიონის საზღვარს ან II რეგიონის საზღვარს, ანუ შეეხოს პარაბოლას \(g\) და მიტანის წერტილის აბსცისა უნდა იყოს \(\leqslant -3\) ან \(\geqslant 2\) (ანუ პარაბოლა \(y\) უნდა ეხებოდეს ერთ-ერთი რეგიონის საზღვარს, რომელიც მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ. , ვინაიდან პარაბოლა \(y\) დევს აბსცისის ღერძის ზემოთ).
\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . გრაფიკების \(y\) და \(g\) შეხების პირობები აბსცისის წერტილზე \(x_0\leqslant -3\) ან \(x_0\geqslant 2\) : \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end(შეგროვებული)\მარჯვნივ. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \მარცხნივ[\begin(შეგროვდა)\begin(გასწორებული) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end (შეგროვდა) \მარჯვნივ.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(შემთხვევები)\]ამ სისტემიდან \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
ჩვენ მივიღეთ \(a\) პარამეტრის პირველი მნიშვნელობა.
2) \(a=0\) . შემდეგ \(y=0\) და ცხადია, რომ სწორ წრფეს აქვს უსასრულო რაოდენობის საერთო წერტილები II რეგიონთან. ამიტომ, ეს პარამეტრის მნიშვნელობა არ ჯდება ჩვენთვის.
3) \ (ა<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).
ვიპოვოთ \(a\), რომლისთვისაც პარაბოლა \(y\) გადის \(B\) წერტილში: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ პარამეტრის ამ მნიშვნელობით პარაბოლის \(y=-\frac34(x+1)^2\) გადაკვეთის მეორე წერტილი \(h=-2x-1\) სწორი ხაზით არის წერტილი კოორდინატებით \(\ მარცხენა (-\frac13; -\frac13\მარჯვნივ)\).
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ სხვა პარამეტრის მნიშვნელობა.
ვინაიდან ჩვენ განვიხილეთ ყველა შესაძლო შემთხვევა \(a\)-ისთვის, საბოლოო პასუხია: \
პასუხი:
\(\მარცხნივ\(-\frac34; \frac43\მარჯვნივ\)\)
ამოცანა 3 #4013
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლებების სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(შემთხვევები)\]
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი.
1) განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება, როგორც კვადრატული \(x\) მიმართ: \ დისკრიმინანტი უდრის \(D=9y^2\) , შესაბამისად, \
შემდეგ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] ამიტომ, მთელი სისტემა შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &y=2x\\ &y=0.5x\end(გასწორებული)\end(შეკრებილი)\მარჯვნივ.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\ბოლო(შემთხვევები)\]ნაკრები განსაზღვრავს ორ სწორ ხაზს, სისტემის მეორე განტოლება განსაზღვრავს წრეს ცენტრით \((a;a)\) და რადიუსით \(R=\sqrt5a^2\) . იმისთვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ჰქონდეს ორი ამონახსნი, წრე უნდა კვეთდეს პოპულაციის გრაფიკს ზუსტად ორ წერტილზე. აქ არის ნახაზი, როდესაც, მაგალითად, \(a=1\) : 
გაითვალისწინეთ, რომ რადგან წრის ცენტრის კოორდინატები ტოლია, წრის ცენტრი "გადის" სწორი ხაზის გასწვრივ \(y=x\) .
2) ვინაიდან სწორ წრფეს \(y=kx\) აქვს ამ წრფის დახრის კუთხის ტანგენსი \(Ox\) ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ ტოლია \(k\), მაშინ ტანგენსი სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე \(y=0,5x\) უდრის \ (0,5\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\,\alpha\)), სწორი ხაზი \(y=2x \) უდრის \(2\)-ს (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). გაითვალისწინეთ რომ \(\ mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), შესაბამისად, \(\ mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). ამიტომ, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , საიდანაც \(\alpha+\beta=90^\circ\) . ეს ნიშნავს, რომ კუთხე \(y=2x\) და დადებით მიმართულებას \(Oy\) შორის უდრის კუთხეს \(y=0.5x\) და დადებით მიმართულებას \(Ox\) შორის: 
და რადგან სწორი ხაზი \(y=x\) არის I კოორდინატული კუთხის ბისექტორი (ანუ კუთხეები მასსა და დადებით მიმართულებებს შორის \(Ox\) და \(Oy\) ტოლია \(45^-ში. \circ\) ), მაშინ კუთხეები \(y=x\) და \(y=2x\) და \(y=0.5x\) წრფეებს შორის ტოლია.
ეს ყველაფერი დაგვჭირდა იმისთვის, რომ გვეთქვა, რომ წრფეები \(y=2x\) და \(y=0.5x\) სიმეტრიულია ერთმანეთის მიმართ \(y=x\), შესაბამისად, თუ წრე ერთს ეხება. მათგან, მაშინ ის აუცილებლად ეხება მეორე ხაზს.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ \(a=0\) , მაშინ წრე გადაგვარდება \((0;0)\) წერტილში და აქვს მხოლოდ ერთი გადაკვეთის წერტილი ორივე წრფესთან. ანუ ეს საქმე არ გვიწყობს.
ამრიგად, იმისათვის, რომ წრეს ჰქონდეს ხაზებთან გადაკვეთის 2 წერტილი, ის უნდა შეეხოს ამ ხაზებს: 
ჩვენ ვხედავთ, რომ შემთხვევა, როდესაც წრე მდებარეობს მესამე მეოთხედში, სიმეტრიულია (დასაწყისთან შედარებით) იმ შემთხვევის მიმართ, როდესაც ის მდებარეობს პირველ მეოთხედში. ანუ პირველ კვარტალში \(a>0\) , ხოლო მესამეში \(a<0\)
(но такие же по модулю).
ამიტომ განვიხილავთ მხოლოდ პირველ კვარტალს. 
გაითვალისწინეთ რომ \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . შემდეგ\მაშინ \[\ mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]მაგრამ, მეორე მხრივ, \[\mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]აქედან გამომდინარე, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\მარცხენა მარჯვენა ისარი\quad a =\pm\ dfrac15\]ამრიგად, ჩვენ უკვე მივიღეთ როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები \(a\)-სთვის. ამიტომ პასუხი ასეთია:\
პასუხი:
\(\{-0,2;0,2\}\)
ამოცანა 4 #3278
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\)-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
(გამოყენება 2017, ოფიციალური საცდელი 04/21/2017)
მოდით გავაკეთოთ ცვლილება \(t=5^x, t>0\) და გადავიტანოთ ყველა პირობა ერთ ნაწილად: \
მივიღეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები ვიეტას თეორემის მიხედვით არის \(t_1=a+6\) და \(t_2=5+3|a|\) . იმისათვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ერთი ფესვი ჰქონდეს, საკმარისია, რომ მიღებულ განტოლებას \(t\)-ითაც ჰქონდეს ერთი (დადებითი!) ფესვი.
დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ \(t_2\) ყველასთვის \(a\) დადებითი იქნება. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ორ შემთხვევას:
1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(გასწორებული) \end(შეიკრიბა) \მარჯვნივ.\]
2) ვინაიდან \(t_2\) ყოველთვის დადებითია, მაშინ \(t_1\) უნდა იყოს \(\leqslant 0\) : \
პასუხი:
\((-\infty;-6]\თასი\მარცხნივ\(-\frac14;\frac12\მარჯვნივ\)\)
ამოცანა 5 #3252
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]
აქვს ზუსტად ერთი ფესვი სეგმენტზე \(\) .
(გამოყენება 2017, სარეზერვო დღე)
განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\]ამრიგად, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ \(x=a\) არის განტოლების ფესვი ნებისმიერი \(a\)-ისთვის, რადგან განტოლება იღებს ფორმას \(0=0\) . იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
განტოლების მეორე ფესვი გვხვდება \(x+a=3x-1\) -დან, ანუ \(x=\frac(a+1)2\) . იმისათვის, რომ ეს რიცხვი იყოს განტოლების ფესვი, ის უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლების ODZ-ს, ანუ: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \
ამრიგად, ფესვი \(x=\frac(a+1)2\) რომ არსებობდეს და მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
გაითვალისწინეთ, რომ მაშინ \(0\leqslant a\leqslant 1\) ორივე ფესვი \(x=a\) და \(x=\frac(a+1)2\) ეკუთვნის სეგმენტს \(\) (ეს არის , განტოლებას აქვს ორი ფესვი ამ სეგმენტზე), გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ისინი ემთხვევა: \
ასე რომ, ეს ჩვენთვის შესაფერისია \(a\ მარცხნივ[-\frac13; 0\მარჯვნივ)\)და \(a=1\) .
პასუხი:
\(a\in \ მარცხნივ[-\frac13;0\მარჯვნივ)\თასი\(1\)\)
ამოცანა 6 #3238
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \
აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე \(.\)
(გამოყენება 2017, სარეზერვო დღე)
განტოლება ტოლია: \ ODZ განტოლებები: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end (შემთხვევები)\] ODZ-ზე განტოლება ხელახლა ჩაიწერება: \
1) მოდით \(ა<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ არ ჯდება \(ა<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.
2) მოდით \(a=0\) . შემდეგ ODZ განტოლება: \(x\geqslant 0\) . განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად: \ შედეგად მიღებული ფესვი ერგება ODZ-ს და შედის სეგმენტში \(\) . ამიტომ, \(a=0\) შესაფერისია.
3) მოდით \(a>0\) . შემდეგ ODZ: \(x\geqslant a\) და \(x\leqslant 1\) . ამიტომ, თუ \(a>1\) , მაშინ ODZ არის ცარიელი ნაკრები. ამრიგად, \(0
წარმოებული უდრის \(y"=3x^2-2ax+3a\).მოდით განვსაზღვროთ რა ნიშანი შეიძლება ჰქონდეს წარმოებულს.ამისთვის იპოვეთ განტოლების დისკრიმინანტი \(3x^2-2ax+3a=0. \) : \(D=4a(a-9)\) ამიტომ, \(a\in (0;1]\) დისკრიმინანტისთვის \(D<0\)
. Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\)
положительно при всех \(x\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
производная \(y">0 \). ამიტომ, \(y\) იზრდება. ამრიგად, მზარდი ფუნქციის თვისებით, განტოლებას \(y(x)=0\) შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს ერთი ფესვი.
ამიტომ, იმისათვის, რომ განტოლების ფესვი (გრაფიკის \(y\) გადაკვეთის წერტილი აბსცისის ღერძთან) იყოს \(\) სეგმენტზე, აუცილებელია, რომ \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \]იმის გათვალისწინებით, რომ თავდაპირველად განსახილველ შემთხვევაში \(a\in (0;1]\) , მაშინ პასუხი არის \(a\in (0;1]\). გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) აკმაყოფილებს \( (1) \) , ფესვები \(x_2\) და \(x_3\) აკმაყოფილებს \((2)\) .
განვიხილოთ სამი შემთხვევა:
1) \(a>0\) . შემდეგ \(x_2>3\) , \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) არ აკმაყოფილებს \((1)\) , ან ემთხვევა \(x_1\) , ან აკმაყოფილებს \((1)\) , მაგრამ არ შედის სეგმენტში \(\) (ანუ \(0\)-ზე ნაკლები);
- \(x_1\) არ აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) აკმაყოფილებს \(1)\) და არ უდრის \(x_1\) .
გაითვალისწინეთ, რომ \(x_3\) არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები და დააკმაყოფილოს \((1)\) (ანუ იყოს მეტი \(\frac35\) ). ამ შენიშვნის გათვალისწინებით, შემთხვევები აღირიცხება შემდეგ ნაკრებში: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>ამ ნაკრების ამოხსნით და იმის გათვალისწინებით, რომ \(a>0\) , მივიღებთ: \
2) \(a=0\) . შემდეგ \(x_2=x_3=3\in .\) გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) და \(x_2=3\) აკმაყოფილებს \((1)\) , შემდეგ იქ არის განტოლება, რომელსაც აქვს ორი ფესვი \(\)-ზე. \(a\)-ის ეს მნიშვნელობა ჩვენ არ ჯდება.
3) \ (ა<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) და \(x_3\არა\) . მსჯელობით 1 პუნქტის მსგავსად), თქვენ უნდა ამოხსნათ ნაკრები: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end (გასწორებული) \ბოლო (შეიკრიბა)\მარჯვნივ.\]ამ ნაკრების ამოხსნა და იმის გათვალისწინებით, რომ \(ა<0\) , получим: \\]
პასუხი:
\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \ cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)
1. წრფივი განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
პარამეტრით წრფივი განტოლებათა სისტემები წყდება იგივე ძირითადი მეთოდებით, როგორც განტოლებების ჩვეულებრივი სისტემები: ჩანაცვლების მეთოდი, განტოლებების დამატების მეთოდი და გრაფიკული მეთოდი. ხაზოვანი სისტემების გრაფიკული ინტერპრეტაციის ცოდნა აადვილებს პასუხის გაცემას ფესვების რაოდენობისა და მათი არსებობის შესახებ.
მაგალითი 1.
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას არ აქვს ამონახსნები.
(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.
გამოსავალი.
მოდით შევხედოთ ამ ამოცანის გადაჭრის რამდენიმე გზას.
1 გზა.ჩვენ ვიყენებთ თვისებას: სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის წინ კოეფიციენტების თანაფარდობა უდრის y-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არა თავისუფალი წევრების შეფარდებას (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). მაშინ გვაქვს:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ან სისტემა
(და 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.
პირველი განტოლებიდან a 2 = 4, შესაბამისად, იმ პირობის გათვალისწინებით, რომ a ≠ 2, მივიღებთ პასუხს.
პასუხი: a = -2.
მეთოდი 2.ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,
((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
პირველი განტოლების ფრჩხილებიდან y საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივიღებთ:
((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ანუ
(და 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
ცხადია, a = ± 2, მაგრამ მეორე პირობის გათვალისწინებით, პასუხი მოდის მხოლოდ მინუს პასუხით.
პასუხი: a = -2.
მაგალითი 2.
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
(8x + ay = 2,
(ცული + 2y = 1.
გამოსავალი.
თვისების მიხედვით, თუ x და y კოეფიციენტების თანაფარდობა ერთნაირია და უდრის სისტემის თავისუფალი წევრების შეფარდებას, მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა (ე.ი. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). ამიტომ 8/a = a/2 = 2/1. თითოეული მიღებული განტოლების ამოხსნით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ a = 4 არის პასუხი ამ მაგალითში.
პასუხი: a = 4.
2. რაციონალური განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
მაგალითი 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
გამოსავალი.
მოდით გავამრავლოთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
თუ გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას პირველს, მივიღებთ 5|x| = 4 – ა. ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი a = 4-ისთვის. სხვა შემთხვევებში, ამ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნები (ა.< 4) или ни одного (при а > 4).
პასუხი: a = 4.
მაგალითი 4.
იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
გამოსავალი.
ამ სისტემას გრაფიკული მეთოდით მოვაგვარებთ. ამრიგად, სისტემის მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც ამაღლებულია Oy ღერძის გასწვრივ ერთი ერთეული სეგმენტით ზემოთ. პირველი განტოლება განსაზღვრავს წრფეთა ერთობლიობას y = -x წრფის პარალელურად (სურათი 1). ნახატიდან ნათლად ჩანს, რომ სისტემას აქვს ამონახსნი, თუ სწორი წრფე y = -x + a არის პარაბოლის ტანგენსი კოორდინატებით (-0.5, 1.25) წერტილში. ამ კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში x და y-ის ნაცვლად, ვპოულობთ a პარამეტრის მნიშვნელობას: 
1,25 = 0,5 + ა;
პასუხი: a = 0.75.
მაგალითი 5.
ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.
(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
გამოსავალი.
პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ y-ს და ვცვლით მეორეში:
(y = ცული - a - 1,
(ცული + (a + 2) (ცული – a – 1) = 2.
მეორე განტოლება შევამციროთ kx = b ფორმამდე, რომელსაც ექნება უნიკალური ამონახსნი k ≠ 0-ისთვის. გვაქვს:
ცული + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
ჩვენ წარმოვადგენთ კვადრატულ ტრინომს a 2 + 3a + 2, როგორც ფრჩხილების ნამრავლი
(a + 2)(a + 1), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).
ცხადია, 2 + 3a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, რაც ნიშნავს a ≠ 0 და ≠ -3.
პასუხი: a ≠ 0; ≠ -3.
მაგალითი 6.
გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით დაადგინეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
გამოსავალი.
მდგომარეობიდან გამომდინარე ვაშენებთ წრეს საწყისზე ცენტრით და 3 ერთეული სეგმენტის რადიუსით, ეს არის მითითებული სისტემის პირველი განტოლებით.
x 2 + y 2 = 9. სისტემის მეორე განტოლება (y = |x| + a) არის გატეხილი ხაზი. გამოყენებით სურათი 2ჩვენ განვიხილავთ მისი მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევას წრესთან შედარებით. ადვილი მისახვედრია, რომ a = 3. 
პასუხი: a = 3.
ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით განტოლების სისტემების ამოხსნა?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.