ამოცანების ამოხსნა საგამოცდო პარამეტრით. "პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდები"
1. დავალება.
პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება ( ა - 1)x 2 + 2x + ა- 1 = 0 აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?
1. გადაწყვეტილება.
ზე ა= 1 განტოლებას აქვს ფორმა 2 x= 0 და აშკარად აქვს ერთი ფესვი x= 0. თუ ა No1, მაშინ ეს განტოლება არის კვადრატული და აქვს ერთი ფესვი იმ პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებისთვისაც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულის ტოლია. დისკრიმინანტის ნულთან გათანაბრებით, ვიღებთ პარამეტრის განტოლებას ა
4ა 2 - 8ა= 0, საიდანაც ა= 0 ან ა = 2.
1. პასუხი:განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ა O(0; 1; 2).
2. დავალება.
იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლის განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0.
2. გადაწყვეტილება.
განტოლება x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0-ს აქვს ორი განსხვავებული ფესვი, თუ და მხოლოდ თუ დ =
16ა 2 -4(8ა+3) > 0. ვიღებთ (4 საერთო კოეფიციენტით შემცირების შემდეგ) 4 ა 2 -8ა-3 > 0, საიდანაც
2. პასუხი:
| ა O (-Ґ ; 1 - | C 7 2 |
) და (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. დავალება.
ცნობილია, რომ
ვ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ა) ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა ვ 1 (x) ზე ა = 1.
ბ) რა ღირებულებით აფუნქციების გრაფიკები ვ 1 (x) და ვ 2 (x) გაქვთ ერთი საერთო წერტილი?
3. გამოსავალი.
3.ა.მოდით გარდავქმნათ ვ 1 (x) შემდეგნაირად
ამ ფუნქციის გრაფიკი ა= 1 ნაჩვენებია ფიგურაში მარჯვნივ.
3.ბ.ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ფუნქციის გრაფიკები წ =
kx+ბდა წ = ნაჯახი 2 +bx+გ
(ა No 0) იკვეთება ერთ წერტილში თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ კვადრატული განტოლება kx+ბ =
ნაჯახი 2 +bx+გაქვს ერთი ფესვი. ხედის გამოყენება ვ 1 of 3.ა, ვაიგივებთ განტოლების დისკრიმინანტს ა = 6x-x 2-6 ნულამდე. 36-24-4 განტოლებიდან ა= 0 ვიღებთ ა= 3. იგივეს გაკეთება მე-2 განტოლებით x-ა = 6x-x 2 -6 პოვნა ა= 2. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ეს პარამეტრის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. პასუხი: ა= 2 ან ა = 3.
4. დავალება.
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლის მიხედვითაც უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე x 2 -2ნაჯახი-3ა i 0 შეიცავს სეგმენტს.
4. გამოსავალი.
პარაბოლის წვეროს პირველი კოორდინატი ვ(x) =
x 2 -2ნაჯახი-3აუდრის x 0 =
ა. კვადრატული ფუნქციის თვისებებიდან მდგომარეობა ვ(x) i 0 ინტერვალზე უდრის სამი სისტემის მთლიანობას
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი?
5. გადაწყვეტილება.
მოდით გადავიწეროთ ეს განტოლება ფორმაში x 2 + (2ა-2)x - 3ა+7 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება, მას აქვს ზუსტად ორი ამონახსნი, თუ მისი დისკრიმინანტი მკაცრად მეტია ნულზე. დისკრიმინანტის გამოთვლით მივიღებთ, რომ ზუსტად ორი ფესვის არსებობის პირობა არის უტოლობის შესრულება. ა 2 +ა-6 > 0. უტოლობის ამოხსნა ვპოულობთ ა < -3 или ა> 2. ცხადია, უტოლობებიდან პირველს არ აქვს ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში, ხოლო მეორის უმცირესი ნატურალური ამონახსნები არის რიცხვი 3.
5. პასუხი: 3.
6. ამოცანა (10 უჯრედი)
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც ფუნქციის გრაფიკი ან აშკარა გარდაქმნების შემდეგ, ა-2 = |
2-ა| . ბოლო განტოლება უდრის უტოლობას ამე 2.
6. პასუხი: აО , მაშინ პირველი მოდული გაფართოვდება მინუსით, ხოლო მეორე პლიუსით და მივიღებთ უტოლობას -2. x < 2ა, ე.ი. x > –ა, ანუ გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є (– ა ; ა]. თუ x > აორივე მოდული გაფართოვებულია პლუსით და ვიღებთ სწორ უტოლობას -2 ა < 2ა, ე.ი. , გამოსავალი არის ნებისმიერი x Є ( ა; +∞). ორივე პასუხის კომბინაციით, მივიღებთ ამას ა > 0 x Є (– ა ; +∞).
დაე ა < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2ა. ამრიგად, ზე ა < 0 решений нет.
პასუხი: x
Є (– ა; +∞) at ა> 0, არ არსებობს გადაწყვეტილებები 
.
კომენტარი.ამ პრობლემის გადაწყვეტა უფრო სწრაფი და მარტივია, თუ გამოიყენებთ ორი რიცხვის სხვაობის მოდულის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას, როგორც წერტილებს შორის მანძილს. შემდეგ მარცხენა მხარეს გამოთქმა შეიძლება განიმარტოს, როგორც წერტილიდან დაშორების განსხვავება Xწერტილებამდე ადა - ა .
მაგალითი 3იპოვე ყველა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის უტოლობის ყველა ამონახსნები 
უთანასწორობის დაკმაყოფილება 2 x
– ა² + 5< 0.
გამოსავალი:
უტოლობის ამოხსნით |x | ≤ 2 არის ნაკრები ა=[–2; 2] და უტოლობის ამოხსნა 2 x
– ა² + 5< 0 является множество ბ
= (–∞; 
) . პრობლემის პირობის დასაკმაყოფილებლად აუცილებელია A სიმრავლე შევიდეს B სიმრავლეში (). ეს პირობა დაკმაყოფილებულია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში.
პასუხი: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).
მაგალითი 4იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის უტოლობა 
შესრულებული ყველასთვის xჭრილიდან.
გამოსავალი:
წილადი ფესვებს შორის ნულზე ნაკლებია, ამიტომ უნდა გაარკვიოთ რომელი ფესვი უფრო დიდია.
–3ა
+ 2 < 2ა
+ 4 
და -3 ა
+ 2 > 2ა
+ 4 
. ამრიგად, ზე 
xЄ (–3 ა
+ 2; 2ა+ 4) და იმისათვის, რომ უტოლობა დარჩეს ყველა x სეგმენტიდან, აუცილებელია, რომ
ზე 
xЄ (2 ა
+ 4; –3ა+ 2) და რომ უთანასწორობა ყველასთვის მოქმედებს xსეგმენტიდან, თქვენ გჭირდებათ
a = –-სთვის (როდესაც ფესვები ემთხვევა) არ არსებობს გამოსავალი, რადგან ამ შემთხვევაში უტოლობა იღებს ფორმას: .
პასუხი: 
.
მაგალითი 5 აუტოლობა მოქმედებს ყველა უარყოფით მნიშვნელობაზე X?
გამოსავალი:
ფუნქცია მონოტონურად იზრდება, თუ კოეფიციენტი არის x არის არაუარყოფითი და ის მონოტონურად მცირდება, თუ კოეფიციენტი at xუარყოფითი.
გაარკვიეთ კოეფიციენტის ნიშანი at 
ა ≤ –3,
ა ≥ 1; (ა² + 2 ა – 3) < 0 <=> –3 < ა < 1.
ა ≤ –3,
დაე ა≥ 1. შემდეგ ფუნქცია ვ
(x
)
მონოტონურად არ იკლებს და პრობლემის პირობა დაკმაყოფილდება თუ ვ
(x
)
≤ 0 <=> 3ა
² – ა
– 14 ≤ 0 <=> 
.
ა ≤ –3,
პირობებთან ერთად ა≥ 1; ჩვენ ვიღებთ: 
მოდით -3< ა < 1. Тогда функция ვ (x ) მონოტონურად მცირდება და პრობლემის მდგომარეობა ვერასოდეს დაკმაყოფილდება.
უპასუხე:
.
2. კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით
კვადრატული ფუნქცია: 
.
ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში ეს განტოლება შესწავლილია შემდეგი სქემის მიხედვით.
მაგალითი 1. რა ღირებულებებზე ა განტოლებაx ² – ნაჯახი + 1 = 0 არ აქვს ნამდვილი ფესვები?
გამოსავალი:
x ² – ნაჯახი + 1 = 0
დ = ა ² – 4 1 =ა ² - 4
ა ² - 4< 0 + – +
( ა – 2)( ა + 2) < 0 –2 2
უპასუხე: ზეa Є (–2; 2)
მაგალითი 2a-ს რომელ მნიშვნელობებს ეხება განტოლება ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5 აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი?
გამოსავალი:
ა (X ² – X + 1) = 3 X + 5, ა ≠ 0
ოჰ ² – აჰ + ა – 3 X – 5 = 0
ოჰ ² – ( ა + 3) X + ა – 5 = 0
დ = ( ა +3)² - 4ა ( ა – 5) = ა ² +6ა + 9 – 4 ა ² + 20ა = –3 ა ² + 26ა + 9
–3 ა ² + 26 ა + 9 > 0
3 ა ² - 26ა – 9 < 0
დ \u003d 26² - 4 3 (-9) \u003d 784
ა
1
=
;
ა
2
=
+ –
+
0 9
პასუხი:ზეაЄ (–1/3; 0)უ (0; 9)
მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ოძ: x ≠1, x ≠ ა
x
– 1 +
x
–
ა
= 2, 2
x
= 3 +
ა
, 
1)
; 3 +
ა
≠ 2;
ა
≠ –1
2) 
; 3 +
ა
≠ 2
ა
;
ა
≠ 3
პასუხი:
ზეა
Є (–∞; –1)უ
(–1; 3)
უ
(3; +∞);
არ არის გადაწყვეტილებებიa = -1; 3.
მაგალითი4 . განტოლების ამოხსნა | x ²–2 x –3 | = ა .
გამოსავალი:
განვიხილოთ ფუნქციები წ = | x ²–2 x –3 | დაწ = ა .
ზე ა
<
0
არ არის გადაწყვეტილებები;
ზე ა
=
0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა
< 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.
პასუხი:
ზე ა
< 0 нет решений;
ზე ა= 0 და ა> 4 ორი ხსნარი;
0-ზე< ა
< 4 – четыре решения;
ზე ა= 4 - სამი გამოსავალი.
მაგალითი 5იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა
ა
, რომელთაგან თითოეული განტოლება
|
x
²–(
ა
+2)
x
+2
ა
| = |
3
x
–6
|
აქვს ზუსტად ორი ფესვი. თუ ასეთი ღირებულებები
ა
ერთზე მეტი, თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათი პროდუქტი.
გამოსავალი:
გავაფართოვოთ კვადრატული ტრინომიალი x
²–(
ა
+2)
x
+2
ა
მულტიპლიკატორებისთვის.
;
;
;
მიიღეთ |
(
x
–2)(
x
–
ა
)
| =
3
|
x
–2
|.
ეს განტოლება სიმრავლის ტოლფასია
მაშასადამე, ამ განტოლებას აქვს ზუსტად ორი ფესვი, თუ ა+ 3 = 2 და ა
– 3 = 2.
აქედან გამომდინარე ვხვდებით, რომ სასურველი მნიშვნელობები აარიან ა
1
= –1; ა
2
= 5; ა
1
·
ა
2
= –5.
პასუხი: –5.
მაგალითი 6იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა , რისთვისაც განტოლების ფესვები ნაჯახი ² – 2( ა + 1) x – ა + 5 = 0 დადებითი.
გამოსავალი:
Check Point ა= 0, რადგან ცვლის განტოლების არსს.
1. ა = 0 –2x + = 0;
პასუხი: a Є U .
მაგალითი 7ზერა პარამეტრის მნიშვნელობები ა განტოლება | x ² - 4 x + 3 | = ნაჯახი აქვს 3 ფესვი.
გამოსავალი:
მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები წ = | x ² - 4 x + 3 | და წ = ნაჯახი .
ფუნქციის გრაფიკი გამოსახულია სეგმენტზე 
.
ამ განტოლებას ექნება სამი ფესვი, თუ ფუნქციის გრაფიკი წ
=
ნაჯახიგრაფიკზე ტანგენსი იქნება წ
= x
²+ 4
x
– 3
on
სეგმენტი.
ტანგენტის განტოლებას აქვს ფორმა წ
=
ვ
(x
0
) +
ვ
’(x
0
)(x
–
x
0
),
იმიტომ რომ ტანგენტის განტოლება წ
=
ა, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას 
იმიტომ რომ x 0 Є ,
პასუხი:ზე ა
= 4 – 2
.
კვადრატული უტოლობები პარამეტრებით
მაგალითი.იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა
ა
, რომელთაგან თითოეულისთვის უტოლობის ამონახსნებს შორის 
არ არის ათვლის წერტილი.
გამოსავალი:
ჯერ ვხსნით უტოლობას პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის და შემდეგ ვპოულობთ მათ, რისთვისაც არ არის სეგმენტის ერთი წერტილი ამონახსნებს შორის. .
დაე 
, ნაჯახი
= ტ
²
ტ ≥ 0
DPV-ში ცვლადების ასეთი ცვლილებით, უტოლობები ავტომატურად კმაყოფილდება. xშეიძლება გამოიხატოს მეშვეობით ტ, თუ ა≠ 0. მაშასადამე, შემთხვევა როცა ა
= 0, განვიხილავთ ცალკე.
1. მოდით ა
= 0, მაშინ X> 0 და მოცემული სეგმენტი არის ამონახსნი.
2. მოდით ა≠ 0, მაშინ 
და უთანასწორობა ფორმას მიიღებს 
, 
უტოლობის ამოხსნა დამოკიდებულია მნიშვნელობებზე ა, ამიტომ ორი შემთხვევა უნდა განვიხილოთ.
1) თუ ა>0, მაშინ 
ზე 
ან ძველ ცვლადებში,
ამოხსნა არ შეიცავს მოცემული სეგმენტის არცერთ წერტილს, თუ და მხოლოდ პირობების დაკმაყოფილების შემთხვევაში ა ≤ 7,
16ა≥ 96. აქედან გამომდინარე, ა
Є .
2). თუ ა< 0, то ; 
; ტЄ (4 ა
; ა). იმიტომ რომ ტ≥ 0, მაშინ გამოსავალი არ არის.
პასუხი: .
ირაციონალური განტოლებები პარამეტრებით
ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრით ამოხსნისას, პირველ რიგში, გასათვალისწინებელია დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. მეორეც, თუ უტოლობის ორივე ნაწილი არის არაუარყოფითი გამონათქვამები, მაშინ ასეთი უტოლობა შეიძლება დაინიშნოს უტოლობის ნიშნის შენარჩუნებით.
ხშირ შემთხვევაში, ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები ცვლადების ცვლილების შემდეგ მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე.
მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა 
.
გამოსავალი:
ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, ა ≥ 0.
x + 1 = ა ².
თუ x = ა² - 1, მაშინ პირობა დაკმაყოფილებულია.
პასუხი: x = ა² - 1 ზე ა≥ 0; არ არის გადაწყვეტილებები ა < 0.
მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება 
.
გამოსავალი:
ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,
ნაჯახი ≥ 0; x ≤ ა;
x + 3 = ნაჯახი,
2x = ა – 3,
<=>
<=>
<=>
ა
≥ –3.
პასუხი: ზე ა≥ -3; არ არის გადაწყვეტილებები ა
< –3.
მაგალითი 3რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას 
პარამეტრების მნიშვნელობების მიხედვით ა?
გამოსავალი:
განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი: x Є [–2; 2]
მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები. პირველი ფუნქციის გრაფიკი არის წრის ზედა ნახევარი x² + წ² = 4. მეორე ფუნქციის გრაფიკი არის პირველი და მეორე კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. გამოვაკლოთ მეორე ფუნქციის გრაფიკი პირველი ფუნქციის გრაფიკს და მიიღეთ ფუნქციის გრაფიკი 
. თუ ჩანაცვლება ზე on ა, მაშინ ფუნქციის ბოლო გრაფიკი არის წერტილების სიმრავლე (x; ა), რომელიც აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას. 
პასუხს გრაფიკზე ვხედავთ.
პასუხი:ზე აЄ (–∞; –2) U (1; +∞), ფესვების გარეშე;
ზე აЄ [–2; 2), ორი ფესვი;
ზე ა= 1, ერთი ფესვი.
მაგალითი 4პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება 
აქვს უნიკალური გამოსავალი?
გამოსავალი:
1 გზა (ანალიტიკური):
პასუხი:
2 გზა (გრაფიკული):
პასუხი:≥ –2-ისთვის განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები
მაგალითი 5პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება = 2 + x აქვს უნიკალური ამონახსნი.
გამოსავალი:
განვიხილოთ ამ განტოლების ამოხსნის გრაფიკული ვერსია, ანუ ჩვენ ავაშენებთ ორ ფუნქციას:
ზე 1 = 2 + Xდა ზე 2 =
პირველი ფუნქცია წრფივია და გადის წერტილებში (0; 2) და (–2; 0).
მეორე ფუნქციის გრაფიკი შეიცავს პარამეტრს. ჯერ განვიხილოთ ამ ფუნქციის გრაფიკი ა= 0 (ნახ. 1). პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლისას, გრაფიკი გადაადგილდება ღერძის გასწვრივ ოჰშესაბამის მნიშვნელობაზე მარცხნივ (დადებითით ა) ან მარჯვნივ (უარყოფით ა) (ნახ. 2)
ნახატიდან ჩანს, რომ ზე ა < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
პასუხი:ზე ა≥ –2 განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი.
ტრიგონომეტრიული განტოლებები პარამეტრებით.
მაგალითი 1ამოხსენით განტოლება ცოდვა (– x + 2 x – 1) = ბ + 1.
გამოსავალი:
ფუნქციის უცნაურობის გათვალისწინებით 
, ეს განტოლება შეიძლება შემცირდეს ეკვივალენტამდე 
.
1. ბ = –1
3. ბ =–2
4. | ბ + 1| > 1
გადაწყვეტილებები არ არსებობს.
5. ბЄ(–1; 0)
6. ბЄ(–2; –1)
მაგალითი 2იპოვეთ p პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის განტოლება
არ აქვს გადაწყვეტილებები.
გამოსავალი:
ექსპრესი cos 2 xმეშვეობით სინქსი.
დაე 
შემდეგ დავალება შემცირდა ყველა მნიშვნელობის პოვნამდე გვ, რომლის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები [–1; 1]. განტოლება ალგორითმულად არ არის ამოხსნილი, ამიტომ ამოცანას გრაფიკის გამოყენებით მოვაგვარებთ. განტოლებას ვწერთ ფორმით, ახლა კი მარცხენა მხარის გრაფიკის ჩანახატს 
ადვილად ასაშენებელი.
განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, თუ წრფე წ
=
გვ+ 9 არ კვეთს გრაფიკს სეგმენტზე [–1; 1], ე.ი. 
პასუხი:გვ Є (–∞; –9) U (17; +∞).
განტოლებათა სისტემები პარამეტრებით
ორი წრფივი განტოლების სისტემა პარამეტრებით
განტოლებათა სისტემა 
ორი წრფივი განტოლების სისტემის ამონახსნები არის ორი წრფის გადაკვეთის წერტილები: და .
შესაძლებელია 3 შემთხვევა:
1. ხაზები არ არის პარალელური . მაშინ მათი ნორმალური ვექტორებიც არ არის პარალელური, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს მხოლოდ გადაწყვეტილება.
2. წრფეები პარალელურია და ერთმანეთს არ ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორებიც პარალელურია, მაგრამ ძვრები განსხვავებულია, ე.ი. .
Ამ შემთხვევაში არ არის გადაწყვეტილების სისტემა .
3. სწორი ხაზები ემთხვევა.მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია და ძვრები ემთხვევა, ე.ი. . ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებებიხაზის ყველა წერტილი .
ამოცანა 1 #6329
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\ბოლო(შემთხვევები)\]
აქვს ზუსტად ოთხი გამოსავალი.
(გამოყენება 2018, მთავარი ტალღა)
სისტემის მეორე განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \(y=\pm x\) . ამიტომ განიხილეთ ორი შემთხვევა: როდესაც \(y=x\) და როდესაც \(y=-x\) . მაშინ სისტემის ამონახსნების რაოდენობა უდრის პირველ და მეორე შემთხვევაში ამონახსნების რაოდენობის ჯამს.
1) \(y=x\) . ჩაანაცვლეთ პირველ განტოლებაში და მიიღეთ: \
(გაითვალისწინეთ, რომ \(y=-x\) შემთხვევაში ჩვენ იგივე გავაკეთებთ და ასევე მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას)
იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს 4 განსხვავებული გამოსავალი, აუცილებელია, რომ ორივე შემთხვევაში 2 გამოსავალი იყოს მიღებული.
კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი, როდესაც მისი \(D>0\) . ვიპოვოთ (1) განტოლების დისკრიმინანტი:
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
ნულზე მეტი დისკრიმინანტი: \(a^2+4a+2<0\)
, откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).
2) \(y=-x\) . ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას: \
დისკრიმინანტი მეტია ნულზე: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , საიდანაც \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\მარჯვნივ)\).
აუცილებელია შემოწმდეს, არის თუ არა ხსნარები პირველ შემთხვევაში იგივე, რაც მეორე შემთხვევაში.
მოდით \(x_0\) იყოს (1) და (2) განტოლების ზოგადი ამონახსნები, მაშინ \
აქედან მივიღებთ, რომ ან \(x_0=0\) ან \(a=0\) .
თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლებები (1) და (2) ერთნაირი აღმოჩნდება, შესაბამისად, მათ აქვთ იგივე ფესვები. ეს საქმე არ გვიწყობს.
თუ \(x_0=0\) მათი საერთო ფესვია, მაშინ \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), საიდანაც \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , საიდანაც \(a=-1\) ან \(a=-0,6\) . მაშინ მთელ თავდაპირველ სისტემას ექნება 3 განსხვავებული გადაწყვეტა, რაც ჩვენ არ ჯდება.
ამ ყველაფრის გათვალისწინებით, პასუხი იქნება:
პასუხი:
\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \მარჯვნივ)\)
ამოცანა 2 #4032
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა \(a\), რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
მოდით გადავიწეროთ სისტემა შემდეგნაირად: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\]განვიხილოთ სამი ფუნქცია: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ \(y\leqslant g\) , მაგრამ \(y\geqslant h\) . მაშასადამე, იმისათვის, რომ სისტემას ჰქონდეს ამონახსნები, გრაფიკი \(y\) უნდა იყოს იმ არეში, რომელიც მოცემულია პირობებით: გრაფიკის „ზევით“ \(h\) , მაგრამ „ქვემოთ“ გრაფიკის \(g\). ) :
("მარცხენა" რეგიონს დავარქმევთ I რეგიონს, "მარჯვენა" რეგიონს - რეგიონს II)
გაითვალისწინეთ, რომ ყოველი ფიქსირებული \(a\ne 0\) გრაფისთვის \(y\) არის პარაბოლა, რომლის წვერო არის \((-1;0)\) წერტილში და რომლის ტოტები არის ზემოთ ან ქვემოთ. თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლება ჰგავს \(y=0\) და გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა x ღერძს.
გაითვალისწინეთ, რომ იმისთვის, რომ ორიგინალურ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა, აუცილებელია, რომ გრაფიკს \(y\) ჰქონდეს ზუსტად ერთი საერთო წერტილი I რეგიონთან ან II რეგიონთან (ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკს \(y\) უნდა ჰქონდეს ერთი საერთო წერტილი ერთ-ერთი ამ რეგიონის საზღვართან).
განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა ცალკე.
1) \(a>0\) . შემდეგ პარაბოლას \(y\) ტოტები გადატრიალებულია ზემოთ. იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გამოსავალი, აუცილებელია, რომ პარაბოლა \(y\) შეეხოს I რეგიონის საზღვარს ან II რეგიონის საზღვარს, ანუ შეეხოს პარაბოლას \(g\) და შეხების წერტილის აბსციზა უნდა იყოს \(\leqslant -3\) ან \(\geqslant 2\) (ანუ პარაბოლა \(y\) უნდა შეეხოს ერთ-ერთი რეგიონის საზღვარს, რომელიც x-ის ზემოთაა. -ღერძი, რადგან პარაბოლა \(y\) დევს x-ღერძის ზემოთ).
\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . გრაფიკების \(y\) და \(g\) შეხების პირობები აბსცისის წერტილზე \(x_0\leqslant -3\) ან \(x_0\geqslant 2\) : \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end(შეგროვებული)\მარჯვნივ. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \მარცხნივ[\begin(შეგროვდა)\begin(გასწორებული) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end (შეგროვდა) \მარჯვნივ.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(შემთხვევები)\]მოცემული სისტემიდან \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
ჩვენ მივიღეთ \(a\) პარამეტრის პირველი მნიშვნელობა.
2) \(a=0\) . შემდეგ \(y=0\) და ცხადია, რომ წრფეს აქვს უსასრულო რაოდენობის საერთო წერტილი II რეგიონთან. ამიტომ, ეს პარამეტრის მნიშვნელობა არ ჯდება ჩვენთვის.
3) \(ა<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).
იპოვეთ \(a\), რომლის პარაბოლა \(y\) გადის \(B\) წერტილში: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ პარამეტრის ამ მნიშვნელობით, პარაბოლის \(y=-\frac34(x+1)^2\) გადაკვეთის მეორე წერტილი \(h=-2x-1\) წრფესთან არის წერტილი კოორდინატებით \(\ მარცხენა (-\frac13; -\frac13\მარჯვნივ)\).
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ კიდევ ერთი პარამეტრის მნიშვნელობა.
ვინაიდან ჩვენ განვიხილეთ ყველა შესაძლო შემთხვევა \(a\)-ისთვის, საბოლოო პასუხია: \
პასუხი:
\(\მარცხნივ\(-\frac34; \frac43\მარჯვნივ\)\)
ამოცანა 3 #4013
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლებების სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(შემთხვევები)\]
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი.
1) განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება, როგორც კვადრატული \(x\) მიმართ: \ დისკრიმინანტი უდრის \(D=9y^2\) , შესაბამისად, \
შემდეგ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] ამიტომ, მთელი სისტემა შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &y=2x\\ &y=0.5x\end(გასწორებული)\end(შეკრებილი)\მარჯვნივ.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\ბოლო(შემთხვევები)\]ნაკრები განსაზღვრავს ორ სწორ ხაზს, სისტემის მეორე განტოლება განსაზღვრავს წრეს ცენტრით \((a;a)\) და რადიუსით \(R=\sqrt5a^2\) . იმისთვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ჰქონდეს ორი ამონახსნი, წრე უნდა კვეთდეს პოპულაციის გრაფიკს ზუსტად ორ წერტილზე. აქ არის ნახაზი, როდესაც, მაგალითად, \(a=1\) : 
გაითვალისწინეთ, რომ რადგან წრის ცენტრის კოორდინატები ტოლია, წრის ცენტრი "გადის" სწორი ხაზის გასწვრივ \(y=x\) .
2) ვინაიდან წრფეს \(y \u003d kx\) აქვს ამ წრფის დახრის კუთხის ტანგენსი \(Ox\) ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ არის \(k\), მაშინ დახრილობის ტანგენსი წრფე \(y=0.5x\) უდრის \ (0,5\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\,\alpha\)), სწორი ხაზი \(y=2x\) არის ტოლია \(2\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). შეამჩნია, რომ \(\ mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), შესაბამისად, \(\ mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). აქედან გამომდინარე, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , საიდანაც \(\alpha+\beta=90^\circ\) . ეს ნიშნავს, რომ კუთხე \(y=2x\) და დადებით მიმართულებას \(Oy\) შორის უდრის კუთხეს \(y=0.5x\) და დადებით მიმართულებას \(Ox\) შორის: 
და რადგან წრფე \(y=x\) არის I კოორდინატული კუთხის ბისექტორი (ანუ კუთხეები მასსა და დადებით მიმართულებებს შორის \(Ox\) და \(Oy\) ტოლია \(45^\-ში). circ\) ), მაშინ კუთხეები \(y=x\) და წრფეებს შორის \(y=2x\) და \(y=0.5x\) ტოლია.
ეს ყველაფერი დაგვჭირდა იმისთვის, რომ გვეთქვა, რომ წრფეები \(y=2x\) და \(y=0.5x\) სიმეტრიულია ერთმანეთის მიმართ \(y=x\) , შესაბამისად, თუ წრე ერთს ეხება. მათგან, მაშინ ის აუცილებლად ეხება მეორე ხაზს.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ \(a=0\) , მაშინ წრე გადაგვარდება \((0;0)\) წერტილში და აქვს მხოლოდ ერთი გადაკვეთის წერტილი ორივე წრფესთან. ანუ ეს საქმე არ გვიწყობს.
ამრიგად, იმისათვის, რომ წრეს ჰქონდეს წრფეებთან გადაკვეთის 2 წერტილი, ის უნდა იყოს ტანგენსი ამ წრფეებზე: 
ჩვენ ვხედავთ, რომ შემთხვევა, როდესაც წრე მდებარეობს მესამე მეოთხედში, სიმეტრიულია (კოორდინატების წარმოშობის მიმართ) იმ შემთხვევის მიმართ, როდესაც ის მდებარეობს პირველ მეოთხედში. ანუ პირველ კვარტალში \(a>0\) , ხოლო მესამეში \(a<0\)
(но такие же по модулю).
ამიტომ განვიხილავთ მხოლოდ პირველ კვარტალს. 
შეამჩნია, რომ \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . შემდეგ \ შემდეგ \[\ mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]მაგრამ სხვანაირად, \[\mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]აქედან გამომდინარე, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\quad a =\pm \ dfrac15\]ამრიგად, ჩვენ უკვე მივიღეთ როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობა \(a\)-ისთვის. ამიტომ პასუხი ასეთია: \
პასუხი:
\(\{-0,2;0,2\}\)
ამოცანა 4 #3278
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა \(a\), რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
(გამოყენება 2017, ოფიციალური საცდელი 04/21/2017)
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება \(t=5^x, t>0\) და გადავიტანოთ ყველა ტერმინი ერთ ნაწილად: \
ჩვენ მივიღეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები, ვიეტას თეორემის მიხედვით, არის \(t_1=a+6\) და \(t_2=5+3|a|\) . იმისათვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ერთი ფესვი ჰქონდეს, საკმარისია, რომ მიღებულ განტოლებას \(t\)-ითაც ჰქონდეს ერთი (დადებითი!) ფესვი.
ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ \(t_2\) ყველა \(a\) იქნება დადებითი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ორ შემთხვევას:
1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(გასწორებული) \end(შეიკრიბა) \მარჯვნივ.\]
2) ვინაიდან \(t_2\) ყოველთვის დადებითია, \(t_1\) უნდა იყოს \(\leqslant 0\) : \
პასუხი:
\((-\infty;-6]\თასი\მარცხნივ\(-\frac14;\frac12\მარჯვნივ\)\)
ამოცანა 5 #3252
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]
აქვს ზუსტად ერთი ფესვი \(\) ინტერვალზე.
(ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2017, სარეზერვო დღე)
განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\]ამრიგად, გაითვალისწინეთ, რომ \(x=a\) არის განტოლების ფესვი ნებისმიერი \(a\)-ისთვის, რადგან განტოლება ხდება \(0=0\) . იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, საჭიროა \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
განტოლების მეორე ფესვი გვხვდება \(x+a=3x-1\)-დან, ანუ \(x=\frac(a+1)2\) . იმისათვის, რომ ეს რიცხვი იყოს განტოლების ფესვი, ის უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლების ODZ-ს, ანუ: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \
ამრიგად, ფესვი \(x=\frac(a+1)2\) რომ არსებობდეს და მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
გაითვალისწინეთ, რომ მაშინ \(0\leqslant a\leqslant 1\) ორივე ფესვი \(x=a\) და \(x=\frac(a+1)2\) ეკუთვნის სეგმენტს \(\) (ეს არის , განტოლებას აქვს ორი ფესვი ამ სეგმენტზე), გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ისინი ემთხვევა: \
ასე რომ, ჩვენ ჯდება \(a\ მარცხნივ[-\frac13; 0\მარჯვნივ)\)და \(a=1\) .
პასუხი:
\(a\in \ მარცხნივ[-\frac13;0\მარჯვნივ)\თასი\(1\)\)
ამოცანა 6 #3238
დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი
იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \
აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე \(.\)
(ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2017, სარეზერვო დღე)
განტოლება ტოლია: \ odz განტოლება: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end (შემთხვევები)\] ODZ-ზე განტოლება გადაიწერება სახით: \
1) მოდით \(ა<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ არ ემთხვევა \(ა<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.
2) მოდით \(a=0\) . მაშინ ODZ განტოლება არის: \(x\geqslant 0\) . განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად: \ შედეგად მიღებული ფესვი ჯდება ODZ-ის ქვეშ და შედის \(\) სეგმენტში. ამიტომ, \(a=0\) შესაფერისია.
3) მოდით \(a>0\) . შემდეგ ODZ: \(x\geqslant a\) და \(x\leqslant 1\) . ამიტომ, თუ \(a>1\) , მაშინ ODZ არის ცარიელი ნაკრები. ამრიგად, \(0
წარმოებული არის \(y"=3x^2-2ax+3a\) . განვსაზღვროთ რა ნიშანი შეიძლება იყოს წარმოებული. ამისათვის იპოვეთ განტოლების დისკრიმინანტი \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a(a-9)\) ამიტომ, \(a\in (0;1]\) დისკრიმინანტისთვის \(D<0\)
. Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\)
положительно при всех \(x\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
производная \(y">0\). აქედან გამომდინარე, \(y\) იზრდება. ამრიგად, მზარდი ფუნქციის თვისებით, განტოლებას \(y(x)=0\) შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ ერთი ფესვი.
ამიტომ, იმისათვის, რომ განტოლების ფესვი (გრაფის \(y\) გადაკვეთის წერტილი x-ღერძთან) იყოს \(\) სეგმენტზე, აუცილებელია, რომ \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \]იმის გათვალისწინებით, რომ თავდაპირველად განსახილველ შემთხვევაში \(a\in (0;1]\), მაშინ პასუხი არის \(a\in (0;1]\). გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) აკმაყოფილებს \( (1) \) , ფესვები \(x_2\) და \(x_3\) აკმაყოფილებს \((2)\) .ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) ეკუთვნის სეგმენტს \(\) .
განვიხილოთ სამი შემთხვევა:
1) \(a>0\) . შემდეგ \(x_2>3\) , \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) არ აკმაყოფილებს \((1)\) , ან შეესაბამება \(x_1\) , ან აკმაყოფილებს \((1)\) , მაგრამ არ შედის სეგმენტში \(\) (ანუ \(0\)-ზე ნაკლები);
- \(x_1\) არ აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) აკმაყოფილებს \(1)\) და არ უდრის \(x_1\) .
გაითვალისწინეთ, რომ \(x_3\) არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები და დააკმაყოფილოს \((1)\) (ანუ მეტი \(\frac35\) ). ამ შენიშვნის გათვალისწინებით, შემთხვევები აღირიცხება შემდეგ ნაკრებში: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>ამ კრებულის ამოხსნით და იმის გათვალისწინებით, რომ \(a>0\) , მივიღებთ: \
2) \(a=0\) . შემდეგ \(x_2=x_3=3\in .\) გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) და \(x_2=3\) აკმაყოფილებს \((1)\) , შემდეგ იქ არის განტოლება, რომელსაც აქვს ორი ფესვი \(\)-ზე. ეს მნიშვნელობა \(a\) არ ჯდება ჩვენთვის.
3) \(ა<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) და \(x_3\არა\) . 1-ლი პუნქტის მსგავსად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ნაკრები: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end (გასწორებული) \ბოლო (შეიკრიბა)\მარჯვნივ.\]ამ კრებულის ამოხსნა და იმის გათვალისწინებით, რომ \(ა<0\) , получим: \\]
პასუხი:
\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \ cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)
1. წრფივი განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
პარამეტრის მქონე წრფივი განტოლებათა სისტემები წყდება იგივე ძირითადი მეთოდებით, როგორც განტოლებების ჩვეულებრივი სისტემები: ჩანაცვლების მეთოდი, განტოლებების დამატების მეთოდი და გრაფიკული მეთოდი. ხაზოვანი სისტემების გრაფიკული ინტერპრეტაციის ცოდნა გაადვილებს პასუხის გაცემას ფესვების რაოდენობისა და მათი არსებობის შესახებ.
მაგალითი 1
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას არ აქვს ამონახსნები.
(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.
გამოსავალი.
მოდით შევხედოთ ამ პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე გზას.
1 გზა.ჩვენ ვიყენებთ თვისებას: სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდება უდრის y-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არა თავისუფალი წევრების შეფარდებას (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). მაშინ გვაქვს:
1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ან სისტემა
(და 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.
პირველი განტოლებიდან a 2 \u003d 4, შესაბამისად, იმ პირობის გათვალისწინებით, რომ a ≠ 2, მივიღებთ პასუხს.
პასუხი: a = -2.
2 გზა.ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით.
(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,
((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
პირველი განტოლების ფრჩხილებიდან y საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივიღებთ:
((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ანუ
(და 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.
აშკარაა, რომ a = ± 2, მაგრამ მეორე პირობის გათვალისწინებით, მოცემულია მხოლოდ მინუს პასუხი.
პასუხი: a = -2.
მაგალითი 2
იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
(8x + ay = 2,
(ცული + 2y = 1.
გამოსავალი.
თვისების მიხედვით, თუ x და y-ზე კოეფიციენტების თანაფარდობა იგივეა და უდრის სისტემის თავისუფალი წევრების შეფარდებას, მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო ნაკრები (ანუ a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). აქედან გამომდინარე, 8/a = a/2 = 2/1. მიღებული თითოეული განტოლების ამოხსნით, აღმოვაჩენთ, რომ ამ მაგალითში არის პასუხი \u003d 4.
პასუხი: a = 4.
2. რაციონალური განტოლებათა სისტემები პარამეტრით
მაგალითი 3
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
გამოსავალი.
გაამრავლეთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
გამოვაკლოთ მეორე განტოლება პირველს, მივიღებთ 5|х| = 4 – ა. ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი a = 4-ისთვის. სხვა შემთხვევებში, ამ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნები (ა.< 4) или ни одного (при а > 4).
პასუხი: a = 4.
მაგალითი 4
იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.
(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.
გამოსავალი.
ამ სისტემას გრაფიკული მეთოდით მოვაგვარებთ. ამრიგად, სისტემის მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც ამაღლებულია Oy ღერძის გასწვრივ ერთი ერთეული სეგმენტით. პირველი განტოლება განსაზღვრავს წრფეთა სიმრავლეს y = -x წრფის პარალელურად (სურათი 1). ნახაზი ნათლად აჩვენებს, რომ სისტემას აქვს გამოსავალი, თუ სწორი ხაზი y \u003d -x + a არის პარაბოლის ტანგენტი კოორდინატებით (-0.5; 1.25) წერტილში. ამ კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში x და y-ის ნაცვლად, ვპოულობთ a პარამეტრის მნიშვნელობას: 
1,25 = 0,5 + ა;
პასუხი: a = 0.75.
მაგალითი 5
ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.
(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
გამოსავალი.
გამოთქვით y პირველი განტოლებიდან და ჩაანაცვლეთ მეორეში:
(y \u003d ah - a - 1,
(ცული + (a + 2) (ცული - a - 1) = 2.
მეორე განტოლება მივიღებთ kx = b ფორმას, რომელსაც ექნება უნიკალური ამონახსნი k ≠ 0-ისთვის. გვაქვს:
ცული + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;
a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.
კვადრატული ტრინომი a 2 + 3a + 2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფრჩხილების ნამრავლად
(a + 2)(a + 1), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:
(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).
ცხადია, 2 + 3a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, რაც ნიშნავს a ≠ 0 და ≠ -3.
პასუხი: a ≠ 0; ≠ -3.
მაგალითი 6
გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით განსაზღვრეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური ამონახსნები.
(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.
გამოსავალი.
მდგომარეობიდან გამომდინარე ვაშენებთ წრეს ცენტრით კოორდინატების საწყისთან და 3 ერთეული სეგმენტის რადიუსით, სწორედ ეს წრე ადგენს სისტემის პირველ განტოლებას.
x 2 + y 2 = 9. სისტემის მეორე განტოლება (y = |x| + a) არის გატეხილი ხაზი. Გამოყენებით სურათი 2ჩვენ განვიხილავთ მისი მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევას წრესთან შედარებით. ადვილი მისახვედრია, რომ a = 3. 
პასუხი: a = 3.
გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით განტოლების სისტემების ამოხსნა?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.