როგორ მოვაგვაროთ ცვლადი ჩანაცვლებით. ინტეგრაცია ცვლადის მეთოდის ცვლილებით
ცვლადის შეცვლა განუსაზღვრელ ინტეგრალში. დიფერენციალური კონვერტაციის ფორმულა. ინტეგრაციის მაგალითები. ხაზოვანი ჩანაცვლების მაგალითები.
ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი
ცვლადი ცვლილებები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მარტივი ინტეგრალების შესაფასებლად და, ზოგიერთ შემთხვევაში, უფრო რთულის გაანგარიშების გასამარტივებლად.
ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი არის ის, რომ ჩვენ გადავდივართ თავდაპირველი ინტეგრაციის ცვლადიდან, ეს იყოს x, სხვა ცვლადზე, რომელსაც აღვნიშნავთ, როგორც t. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვჯერა, რომ x და t ცვლადები დაკავშირებულია x = x რაღაცით(ტ) , ან t = t(x) .მაგალითად, x = ტ, x = სინტი, t =
2 x + 1
და ა.შ. ჩვენი ამოცანაა ავირჩიოთ x-სა და t-ს შორის ისეთი მიმართება, რომ თავდაპირველი ინტეგრალი ან შემცირდეს ცხრილამდე ან გამარტივდეს. , ან t = tცვლადის ჩანაცვლების ძირითადი ფორმულა ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვჯერა, რომ x და t ცვლადები დაკავშირებულია x = x რაღაცითგანვიხილოთ გამოხატულება, რომელიც დგას ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ. იგი შედგება ინტეგრადის ნამრავლისაგან, რომელსაც აღვნიშნავთ როგორც f , ან t = tდა დიფერენციალური dx: .
მოდით გადავიდეთ ახალ t ცვლადზე x = x კავშირის არჩევით , ან t = t. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვჯერა, რომ x და t ცვლადები დაკავშირებულია x = x რაღაცით.
მაშინ უნდა გამოვხატოთ ფუნქცია f
.
და დიფერენციალური dx t ცვლადის მეშვეობით.
ინტეგრანდული ფუნქციის გამოსახატავად ვ
.
t ცვლადის მეშვეობით, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ არჩეული მიმართება x = x ცვლადის x-ის ნაცვლად , ან t = tდიფერენციალური კონვერტაცია ხდება შემდეგნაირად:
,
ანუ დიფერენციალური dx ტოლია x-ის წარმოებულის ნამრავლის t და დიფერენციალური dt-ის მიმართ. , ან t = tმაშინ
.
პრაქტიკაში, ყველაზე გავრცელებული შემთხვევაა, როდესაც ჩვენ ვასრულებთ ჩანაცვლებას ახალი ცვლადის არჩევით, როგორც ძველის ფუნქცია: t = t.
(1)
,
.
(2)
,
თუ გამოვიცნობთ, რომ ინტეგრანდული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც
სად ტ
არის t-ის წარმოებული x-ის მიმართ, მაშინ
ასე რომ, ძირითადი ცვლადის ჩანაცვლების ფორმულა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ფორმით.
.
სადაც x არის t-ის ფუნქცია.
;
;
.
ბოლო მაგალითში უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ინტეგრაციის x ცვლადზე გადასვლისას დიფერენციალი გარდაიქმნება შემდეგნაირად:
.
მაშინ
.
ეს მაგალითი ასახავს ჩანაცვლებით ინტეგრაციის არსს. ანუ ეს უნდა გამოვიცნოთ
.
რის შემდეგაც ინტეგრალი მცირდება ცხრილამდე.
.
თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ ეს ინტეგრალი ცვლადის ცვლილების გამოყენებით ფორმულის გამოყენებით (2)
. დავდოთ t = x 2+x.
;
;
.
მაშინ
1)
ცვლადის ცვლილებით ინტეგრაციის მაგალითები
.
მოდით გამოვთვალოთ ინტეგრალი ჩვენ ამას ვამჩნევთ.
.
(sin x)′ = cos x აქ გამოვიყენეთ ჩანაცვლება t =.
2)
ცვლადის ცვლილებით ინტეგრაციის მაგალითები
.
ცოდვა x
.
ჩვენ ამას ვამჩნევთ. მაშინ.
3)
აქ ჩვენ შევასრულეთ ინტეგრაცია t = ცვლადის შეცვლით
.
ცოდვა x
არქტანი x 2 + 1
.
მოდით ინტეგრირება
.
აქ ინტეგრაციის დროს იცვლება ცვლადი t = x
ხაზოვანი ჩანაცვლებები
.
ალბათ ყველაზე გავრცელებული არის ხაზოვანი ჩანაცვლება. ეს არის ფორმის ცვლადის ჩანაცვლება
t = ცული + ბ,სადაც a და b მუდმივებია. ასეთი ჩანაცვლებით, დიფერენციაციები დაკავშირებულია მიმართებით
.
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
.
ა)გამოთვალეთ ინტეგრალი
.
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
გამოსავალი.
.
ბ)იპოვნეთ ინტეგრალი
.
გამოვიყენოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები.სადაც a და b მუდმივებია. ასეთი ჩანაცვლებით, დიფერენციაციები დაკავშირებულია მიმართებით
.
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
2-ში
.
- ეს მუდმივია. ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს.
.
გ)გამოთვალეთ ინტეგრალი
.
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
წილადის მნიშვნელში კვადრატული მრავალწევრი შევამციროთ კვადრატების ჯამამდე.
.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს. 
.
დ)
.
გადავცვალოთ მრავალწევრი ფესვის ქვეშ.
.
ჩვენ ვაერთიანებთ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით.
ადრე მივიღეთ ფორმულა
აქედან
ამ გამოთქმის ჩანაცვლებით მივიღებთ საბოლოო პასუხს.
გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი. მაგალითები"
დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.
სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-11 კლასისთვის
- 1C: სკოლა. ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული ამოცანები შენობაში სივრცეში 10–11 კლასებისთვის
- ალგებრული ამოცანები პარამეტრებთან, 9–11 კლასები
- ეს მეთოდი საკმაოდ გავრცელებულია განტოლებების ამოხსნისას და ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას არაერთხელ შემდეგ შემთხვევებში:
- თუ თავდაპირველ განტოლებას $f(x)=0$ აქვს რთული ფორმა, მაგრამ შესაძლებელი იყო მისი გარდაქმნა $h(g(x))=0$ ფორმის განტოლებად.
- აუცილებელია $u=g(x)$ ცვლადების შეცვლა.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $8x^6+7x^3-1=0$.
გამოსავალი.
მოდით წარმოგიდგინოთ შემცვლელი $y=x^3$. მაშინ ჩვენი განტოლება მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8წ-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ და $y_2=-1$.
ამ ეტაპზე უფრო რთული განტოლებების ამოხსნისას უნდა შეამოწმოთ მიღებული ფესვები.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება: $x^3=\frac(1)(8)$ და $x^3=-1$.
ამ განტოლებების ფესვები მარტივია: $x_1=\frac(1)(2)$ და $x_2=-1$.
პასუხი: $x=0.5$ და $x=-1$.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))+4\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=4$.
გამოსავალი.
განვახორციელოთ ეკვივალენტური გარდაქმნები:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+3) )(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( - 1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
მოდით წარმოვიდგინოთ ჩანაცვლება: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, შემდეგ ჩვენი განტოლება მცირდება $u+\frac(4)(u)=4$-მდე. $u^2-4u+4=0$, საიდანაც $u=2$.
შემოვიღოთ საპირისპირო ცვლილება: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))=2$.
$2x+3=4(2x-1)$ $x=1\frac(1)(6)$ წრფივი განტოლების ამოხსნით.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $2^x+2^(1-x)=3$.
გამოსავალი.
ჩვენი განტოლება მცირდება ეკვივალენტურ განტოლებამდე: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: $t=2^x$.
$t+\frac(2)(t)=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ და $t_2=1$.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება: $2^x=2$ და $2^x=1$. მდებარეობა: $x=1$ და $x=0$.
პასუხი: $x=1$ და $x=0$.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
გამოსავალი.
მოდით გადავცვალოთ ჩვენი განტოლება.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას: $4lg^2x+lgx-5=0$.
წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება: $lgx=-1.25$ და $lgx=1$.
პასუხი: $x=10^(-\frac(5)(4))$ და $x=10$.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
გამოსავალი.
შემოვიღოთ ჩანაცვლება: $cos(x)-sin(x)=y$.
შემდეგ: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
თავდაპირველი განტოლება უდრის:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
შემოვიღოთ შებრუნებული ჩანაცვლება: $cos(x)-sin(x)=13$ - აშკარაა, რომ არ არსებობს ამონახსნები, ვინაიდან კოსინუსი და სინუსი მოდულით შემოიფარგლება ერთით.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე $\frac(\sqrt(2))(2)$-ზე.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sin(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\ დასაწყისი (შემთხვევები) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \დასრულება (შემთხვევები)$
$\begin (შემთხვევები) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \დასრულება (შემთხვევები)$
პასუხი: $x=\frac(π)(2)+2πn$ და $π+2πn$.
დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები
ამოხსენით შემდეგი განტოლებები:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
შესავალი
ყოვლისმომცველ სკოლაში მიღებული მათემატიკური განათლება ზოგადი განათლებისა და თანამედროვე ადამიანის ზოგადი კულტურის აუცილებელი კომპონენტია. თითქმის ყველაფერი, რაც თანამედროვე ადამიანს აკრავს, რაღაცნაირად უკავშირდება მათემატიკას. და ფიზიკის, ინჟინერიისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების ბოლოდროინდელი მიღწევები ეჭვს არ ტოვებს, რომ მომავალში ვითარება იგივე დარჩება. ამიტომ, მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადაჭრა მოდის სხვადასხვა ტიპის განტოლებების ამოხსნაზე, რომელთა ამოხსნაც უნდა ისწავლოთ.
ელემენტარულ მათემატიკაში არსებობს ორი სახის განტოლება: ალგებრული და ტრანსცენდენტული.
ხაზოვანი;
მოედანი; კუბური;
ბიკვადრატული; ზოგადი ფორმის მეოთხე ხარისხის განტოლება;n ხარისხის ორწლიან ალგებრულ განტოლებას; სიმძლავრე ალგებრული; – რეფლექსური (ალგებრული); – ზოგადი ფორმის მე-ე ხარისხის ალგებრული განტოლება;
10. წილადი ალგებრული განტოლებები, ე.ი. მრავალწევრებისა და ალგებრული წილადების შემცველი განტოლებები (ფორმის წილადები
, სადაც და არის მრავალწევრები);
11. ირაციონალური განტოლებები, ე.ი. რადიკალების შემცველი განტოლებები, რომელთა ქვეშ არის მრავალწევრები და ალგებრული წილადები;
12. მოდულის შემცველი განტოლებები, რომლის მოდულის ქვეშ მოთავსებულია მრავალწევრები და ალგებრული წილადები.
ტრანსცენდენტული ფუნქციების შემცველ განტოლებებს, როგორიცაა ლოგარითმული, ექსპონენციალური ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ეწოდება ტრანსცენდენტური. ჩვენს ნაშრომში უფრო დეტალურად განვიხილავთ ალგებრულ განტოლებებს.
საგანმანათლებლო და მეთოდოლოგიურ ლიტერატურაში ტრადიციულად განიხილება განტოლებების ამოხსნის სპეციალური ტექნიკა. იმავდროულად, თითოეული მონაკვეთის განტოლებების ამოხსნის სპეციფიკა მეორეხარისხოვანი საკითხია. არსებითად, არსებობს ოთხი ძირითადი მეთოდი:
h (f(x))=h (g(x)) განტოლების შეცვლა f(x)=g(x) განტოლებით;
ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი;
ამის საფუძველზე ვაყალიბებთ ჩვენი მუშაობის მიზანს: შევისწავლოთ უცნობის შეცვლის მეთოდის შესაძლებლობები ალგებრული განტოლებების ამოხსნისას და ვაჩვენოთ მათი გამოყენება სტანდარტულ და არასტანდარტულ სიტუაციებში. ამ მიზნის მისაღწევად აუცილებელია შემდეგი ამოცანების გადაჭრა:
1. გამოავლინოს განტოლებების ამოხსნის თეორიასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებებისა და დებულებების შინაარსი: განტოლების ამოხსნა, ეკვივალენტობა და დასკვნა, განტოლებების ამოხსნის ზოგადი მეთოდები.
2. სტანდარტულ და არასტანდარტულ სიტუაციებში ალგებრული განტოლებების ამოხსნისას უცნობის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების შესაძლებლობების დადგენა.
3. ალგებრული განტოლებების ამოხსნისას ახალი უცნობების შემოტანის მეთოდების ტიპირება და მათი გამოყენებადობის კრიტერიუმების დადგენა.
4. შეადგინეთ ტიპიური ამოცანების ნაკრები, რომელიც ემყარება განტოლებების ამოხსნის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებას და აჩვენეთ მათი ამოხსნა.
1. განტოლებების ამოხსნის თეორიასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებები და დებულებები
ჩვენი ნაშრომის პირველ თავში გამოვავლენთ განტოლებების ამოხსნის თეორიასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებებისა და დებულებების შინაარსს.
„განტოლების“ ცნებას მათემატიკის გაკვეთილებზე უკვე დაწყებით სკოლაში ვიცნობთ და ამოცანა „განტოლების ამოხსნა“ ალბათ ყველაზე ხშირად გვხვდება. მიუხედავად ამისა, ჩვენ არ შეგვიძლია მივცეთ „განტოლების“ ცნების ზუსტი განმარტება, განვსაზღვროთ ზუსტად რას ნიშნავს „განტოლების ამოხსნა“ ელემენტარული მათემატიკის კურსის ფარგლებს შორს გასვლის გარეშე. ამისათვის საჭიროა ძალიან სერიოზული ლოგიკური და თუნდაც ფილოსოფიური კატეგორიების ჩართვა. ჩვენთვის სავსებით საკმარისია ამ ცნებების გაცნობა „საღი აზრის“ დონეზე.
განვიხილოთ ორი განტოლება A და B ერთი და იგივე უცნობით. ჩვენ ვიტყვით, რომ განტოლება B არის შედეგი A განტოლება, თუ A განტოლების რომელიმე ფესვი არის B განტოლების ფესვი.
განტოლებები ე.წ ექვივალენტი,თუ რომელიმე მათგანის რომელიმე ფესვი მეორის ფესვია და პირიქით. ამრიგად, განტოლებები ექვივალენტურია, თუ თითოეული მათგანი მეორის შედეგია.
ამ განმარტებებიდან გამომდინარეობს, რომ, მაგალითად, ორი განტოლება, რომლებსაც ამონახსნები არ აქვთ, ეკვივალენტურია. თუ A არ აქვს ამონახსნები, მაშინ B არის შედეგი A, როგორიც არ უნდა იყოს B განტოლება.
მოდით განვსაზღვროთ "განტოლების ამოხსნის" კონცეფცია. ამოხსენით განტოლება- ნიშნავს მასში შემავალი უცნობის ყველა მნიშვნელობის პოვნას, რაც განტოლებას იდენტურად აქცევს. ამ მნიშვნელობებს უწოდებენ განტოლების ფესვებს.
განტოლებების ამოხსნის პროცესი ძირითადად შედგება მოცემული განტოლების მეორეთი მისი ეკვივალენტურით ჩანაცვლებისგან.
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, არსებობს ოთხი ყველაზე გავრცელებული მეთოდი, რომლებიც გამოიყენება ნებისმიერი სახის განტოლების ამოხსნისას. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ თითოეული მეთოდი.
h (f(x))=h (g(x)) განტოლებით f(x)=g(x) განტოლებით ჩანაცვლების მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ მაშინ, როდესაც
- მონოტონური ფუნქცია, რომელიც იღებს თითოეულ მნიშვნელობას ერთხელ. თუ ეს ფუნქცია არამონოტონურია, მაშინ ამ მეთოდის გამოყენება შეუძლებელია, რადგან ფესვების დაკარგვა შესაძლებელია.ფაქტორილიზაციის მეთოდის არსი შემდეგია: განტოლება
შეიძლება შეიცვალოს: ამ ნაკრების განტოლებების ამოხსნის შემდეგ, თქვენ უნდა აიღოთ ის ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება თავდაპირველი განტოლების განსაზღვრის სფეროს, ხოლო დანარჩენი განტოლების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის იდეას უარყოფითად
ეს არის: თქვენ უნდა ააწყოთ ფუნქციების გრაფიკები და იპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილები. განტოლების ფესვები არის ამ წერტილების აბსციები. ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ განტოლების ფესვების რაოდენობა, გამოიცნოთ ფესვის მნიშვნელობა, იპოვოთ ფესვების სავარაუდო და ზოგჯერ ზუსტი მნიშვნელობები. ზოგიერთ შემთხვევაში, ფუნქციების გრაფიკების აგება შეიძლება შეიცვალოს ფუნქციების ზოგიერთ თვისებაზე მითითებით (ამიტომაც საუბარია არა გრაფიკულ, არამედ განტოლებების ამოხსნის ფუნქციურ-გრაფიკულ მეთოდზე). თუ, მაგალითად, ერთ-ერთი ფუნქცია
იზრდება, ხოლო მეორე მცირდება, მაშინ განტოლებას ან არ აქვს ფესვები, ან აქვს ერთი ფესვი, ავღნიშნოთ ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდის კიდევ ერთი საკმაოდ ლამაზი სახეობა: თუ ინტერვალზე ერთ-ერთი ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა უდრის და. სხვა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა ასევე უდრის , მაშინ განტოლება ექვივალენტურია განტოლებათა სისტემის ინტერვალზე. გამოვავლინოთ ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდის არსი: თუ განტოლება
მათემატიკა არის ხვრელი, რომლის მეშვეობითაც ლოგიკურ გონებას შეუძლია შეხედოს იდეალურ სამყაროს.
კროტოვი ვიქტორ
სკოლაში რაციონალურ განტოლებებს ალგებრის კურსში წამყვანი ადგილი უჭირავს. უფრო მეტი დრო ეთმობა მათ შესწავლას, ვიდრე სხვა თემებს. ეს უპირველეს ყოვლისა განპირობებულია იმით, რომ განტოლებებს აქვს არა მხოლოდ მნიშვნელოვანი თეორიული მნიშვნელობა, არამედ ემსახურება მრავალ პრაქტიკულ მიზანს. რეალურ სამყაროში პრობლემების დიდი რაოდენობა მოდის სხვადასხვა განტოლების ამოხსნაზე და მხოლოდ მას შემდეგ, რაც დაეუფლებით მათ გადაჭრის მეთოდებს, იპოვით პასუხებს მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა კითხვებზე.
რაციონალური განტოლებების ამოხსნის უნარის გასავითარებლად დიდი მნიშვნელობა აქვს მოსწავლის დამოუკიდებელ მუშაობას. თუმცა, სანამ დამოუკიდებელ სამუშაოზე გადახვალთ, მკაფიოდ უნდა იცოდეთ და შეძლოთ პრაქტიკაში რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ყველა შესაძლო მეთოდის გამოყენება.
მოდით შევხედოთ მას დეტალურად მაგალითების გამოყენებით. ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდირაციონალური განტოლებების ამოხსნისთვის.
მაგალითი 1.
ამოხსენით განტოლება (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
მოდით გადავიწეროთ განტოლება ფორმაში
(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება. მოდით 2x 2 – 3x = t, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
ახლა გავხსნათ ფრჩხილები და მივცეთ მსგავსი, მივიღებთ:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;
მიღებულ არასრულ კვადრატულ განტოლებაში ვიღებთ საერთო ფაქტორს ფრჩხილებიდან და გვაქვს:
t = 0 ან t = 9.
ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება და ამოხსნათ თითოეული მიღებული განტოლება:
2x 2 – 3x = 0 ან 2x 2 – 3x = 9
x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0
x = 0 ან x = 3/2 x = 3 ან x = -3/2
პასუხი: -1,5; 0; 1.5; 3.
მაგალითი 2.
ამოხსენით განტოლება (x 2 – 6x) 2 – 2 (x – 3) 2 = 81.
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
გამოვიყენოთ კვადრატული სხვაობის ფორმულა (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . მოდით დავწეროთ ორიგინალური განტოლება ფორმაში
(x 2 – 6x) 2 – 2(x 2 – 6x + 9) = 81. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ჩანაცვლება.
მოდით x 2 – 6x = t, მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:
t 2 – 2 (t + 9) = 81.
t 2 – 2t – 18 – 81 = 0;
t 2 – 2t – 99 = 0.
ვიეტას თეორემის მიხედვით, მიღებული განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები -9 და 11.
მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება:
x 2 – 6x = -9 ან x 2 – 6x = 11
x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0
(x – 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 – 2√5.
პასუხი: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.
მაგალითი 3.
ამოხსენით განტოლება (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 და იპოვეთ მისი ფესვების ნამრავლი.
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
მოდი ვიპოვოთ "მომგებიანი" გზა ფაქტორების დასაჯგუფებლად და ფრჩხილების წყვილების გასახსნელად:
((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x – x – 5)(x 2 + 7x – 3x – 21) = 297;
(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება x 2 + 4x = t, მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:
(t – 5)(t – 21) = 297.
გავხსნათ ფრჩხილები და წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები:
t 2 – 21t – 5t + 105 = 297;
t 2 – 26t – 192 = 0.
ვიეტას თეორემის გამოყენებით ვადგენთ, რომ მიღებული განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები -6 და 32.
საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ გვექნება:
x 2 + 4x = -6 ან x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x – 32 = 0
D = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0
ფესვები არ არის x 1 = -8; x 2 = 4
ვიპოვოთ ფესვების ნამრავლი: -8 · 4 = -32.
პასუხი: -32.
მაგალითი 4.
იპოვეთ განტოლების ფესვების ჯამი (x 2 – 2x + 2) 2 + 3x(x 2 – 2x + 2) = 10x 2.
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
მოდით x 2 – 2x + 2 = t, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას:
t 2 + 3xt - 10x 2 = 0.
მივიღოთ მიღებული განტოლება, როგორც კვადრატული t-ის მიმართ.
D = (3x) 2 – 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2; ≥≤
t 1 = (-3x – 7x) / 2 და t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x და t 2 = 2x.
ვინაიდან t = x 2 – 2x + 2, მაშინ
x 2 – 2x + 2 = -5x ან x 2 – 2x + 2 = 2x. მოდით ამოხსნათ თითოეული მიღებული განტოლება.
x 2 + 3x + 2 = 0 ან x 2 – 4x + 2 = 0.
ორივე განტოლებას აქვს ფესვები, რადგან D > 0.
ვიეტას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ პირველი განტოლების ფესვების ჯამი არის -3, ხოლო მეორე განტოლება არის 4. აღმოვაჩენთ, რომ საწყისი განტოლების ფესვების ჯამი არის -3 + 4 = 1.
პასუხი: 1.
მაგალითი 5.
იპოვეთ განტოლების ფესვი (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, რომელიც ეკუთვნის [-5; 10].
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
მოდით x = t – 3, შემდეგ x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 და თავდაპირველი განტოლება იღებს ფორმას:
(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. გამოსახულებების მეოთხე ხარისხზე ასამაღლებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ პასკალის სამკუთხედი (ნახ. 1); 
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4.
მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ ვიღებთ:
2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 ან t 2 = -24.
მეორე განტოლებას არ აქვს ფესვები, რაც ნიშნავს t = 0 საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგაც კი
x = t – 3 = 0 – 3 = -3. -3 განტოლების ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს [-5; 10].
პასუხი: -3.
როგორც ხედავთ, რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას თქვენ უნდა იცოდეთ ზემოაღნიშნული ფორმულები და შეძლოთ სწორად დათვლა. შეცდომები ყველაზე ხშირად ხდება შემცვლელის არჩევისას და საპირისპირო ჩანაცვლების დროს. ამის თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა აღწეროთ თითოეული მოქმედება დეტალურად, მაშინ არ იქნება შეცდომები თქვენს გადაწყვეტილებებში.
ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.