როგორ გავუმკლავდეთ ცვლადის ჩანაცვლებას. ინტეგრაცია ცვლადის მეთოდის ცვლილებით
ცვლადის ცვლილება განუსაზღვრელ ინტეგრალში. დიფერენციალების გარდაქმნის ფორმულა. ინტეგრაციის მაგალითები. ხაზოვანი ჩანაცვლების მაგალითები.
ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი
ცვლადის ცვლილების დახმარებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ მარტივი ინტეგრალები და, ზოგიერთ შემთხვევაში, გაამარტივოთ უფრო რთულის გამოთვლა.
ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი არის ის, რომ ჩვენ გადავდივართ თავდაპირველი ინტეგრაციის ცვლადიდან, მოდით იყოს x, სხვა ცვლადზე, რომელსაც აღვნიშნავთ როგორც t. ამავდროულად, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ x და t ცვლადები დაკავშირებულია x = x-ით (ტ), ან t = t (x). მაგალითად x = ჟურნალი ტ, x = ცოდვა თ, t = 2 x + 1, და ასე შემდეგ. ჩვენი ამოცანაა ავირჩიოთ ისეთი კავშირი x-სა და t-ს შორის ისე, რომ თავდაპირველი ინტეგრალი ან შემცირდეს ცხრილამდე ან გამარტივდეს.
ძირითადი ცვლადის ცვლილების ფორმულა
განვიხილოთ გამოხატულება, რომელიც არის ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ. იგი შედგება ინტეგრანის ნამრავლისაგან, რომელსაც აღვნიშნავთ როგორც f (x)და დიფერენციალური dx : . მოდით გადავიდეთ ახალ t ცვლადზე x = x მიმართების არჩევით (ტ). მაშინ უნდა გამოვხატოთ ფუნქცია f (x)და დიფერენციალური dx t ცვლადის მიხედვით.
ინტეგრანდ ვ (x) t ცვლადის მეშვეობით, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ არჩეული თანაფარდობა x = x ცვლადის x-ის ნაცვლად (ტ).
დიფერენციალური ტრანსფორმაცია ხდება შემდეგნაირად:
.
ანუ დიფერენციალური dx ტოლია x-ის წარმოებულის ნამრავლის t და დიფერენციალური dt-ის მიმართ.
მერე
.
პრაქტიკაში, ყველაზე გავრცელებული შემთხვევაა, როდესაც ჩანაცვლებას ვასრულებთ ახალი ცვლადის არჩევით, როგორც ძველის ფუნქცია: t = t. (x). თუ გამოვიცნობდით, რომ ინტეგრანტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც
,
სად ტ (x)არის t-ის წარმოებული x-ის მიმართ, მაშინ
.
ამრიგად, ცვლადის ცვლილების ძირითადი ფორმულა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ფორმით.
(1)
,
სადაც x არის t-ის ფუნქცია.
(2)
,
სადაც t არის x-ის ფუნქცია.
Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი
ინტეგრალების ცხრილებში ინტეგრაციის ცვლადი ყველაზე ხშირად აღინიშნება როგორც x. თუმცა, გასათვალისწინებელია, რომ ინტეგრაციის ცვლადი შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი ასოთი. უფრო მეტიც, ნებისმიერი გამოხატულება შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ინტეგრაციის ცვლადი.
მაგალითად, განიხილეთ ცხრილი ინტეგრალური
.
აქ x შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა ცვლადით ან ცვლადის ფუნქციით. აქ მოცემულია შესაძლო ვარიანტების მაგალითები:
;
;
.
ბოლო მაგალითში უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ინტეგრაციის x ცვლადზე გადასვლისას დიფერენციალი შემდეგნაირად გარდაიქმნება:
.
მერე
.
ეს მაგალითი არის ჩანაცვლებითი ინტეგრაციის არსი. ანუ ეს უნდა გამოვიცნოთ
.
ამის შემდეგ, ინტეგრალი მცირდება ცხრილამდე.
.
თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ ეს ინტეგრალი ცვლადის ცვლილების გამოყენებით, ფორმულის გამოყენებით (2)
. მოდით t = x 2+x. მერე
;
;
.
ცვლადის ცვლილებით ინტეგრაციის მაგალითები
1)
ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს
.
ჩვენ ამას ვამჩნევთ (sin x)′ = cos x. მერე
.
აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ჩანაცვლება t = ცოდვა x.
2)
ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს
.
ჩვენ ამას ვამჩნევთ. მერე
.
აქ ჩვენ შევასრულეთ ინტეგრაცია t = ცვლადის შეცვლით arctg x.
3)
მოდით ინტეგრირება
.
ჩვენ ამას ვამჩნევთ. მერე
. აქ, ინტეგრაციის დროს, იცვლება t = x ცვლადი 2 + 1
.
ხაზოვანი ჩანაცვლებები
ალბათ ყველაზე გავრცელებული არის ხაზოვანი ჩანაცვლება. ეს არის ფორმის ცვლადის ჩანაცვლება
t = ცული + ბ
სადაც a და b მუდმივებია. ასეთი ცვლილებისას, დიფერენციაციები დაკავშირებულია მიმართებით
.
ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები
ა)გამოთვალეთ ინტეგრალი
.
გამოსავალი.
.
ბ)იპოვნეთ ინტეგრალი
.
გამოსავალი.
გამოვიყენოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები.
.
2-ში- მუდმივია. ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს.
.
გ)გამოთვალეთ ინტეგრალი
.
გამოსავალი.
წილადის მნიშვნელში კვადრატულ მრავალწევრს მივყავართ კვადრატების ჯამამდე.
.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს.
.
დ)იპოვნეთ ინტეგრალი
.
გამოსავალი.
ჩვენ გარდაქმნით მრავალწევრს ფესვის ქვეშ.
.
ჩვენ ვაერთიანებთ ცვლადის მეთოდის ცვლილების გამოყენებით. 
.
ჩვენ ადრე მივიღეთ ფორმულა
.
აქედან
.
ამ გამოთქმის ჩანაცვლებით მივიღებთ საბოლოო პასუხს.
გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი. მაგალითები"
დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.
სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-11 კლასისთვის
1C: სკოლა. ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული დავალებები სივრცეში მშენებლობისთვის 10-11 კლასებისთვის
ალგებრული ამოცანები პარამეტრებთან, 9–11 კლასები
ეს მეთოდი საკმაოდ გავრცელებულია განტოლებების ამოხსნისას და არაერთხელ გამოგვიყენებია ის შეიძლება გამოვიყენოთ შემდეგ შემთხვევებში:
- თუ თავდაპირველ განტოლებას $f(x)=0$ აქვს რთული ფორმა, მაგრამ ის გადაკეთებულია $h(g(x))=0$ ფორმის განტოლებაში.
- აუცილებელია $u=g(x)$ ცვლადების შეცვლა.
- ამოხსენით განტოლება $h(u)=0$, იპოვეთ ფესვები $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
- შემოიღეთ საპირისპირო ჩანაცვლება $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- ამოხსენით თითოეული განტოლება $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. თითოეული განტოლების ფესვები იქნება საწყისი განტოლების ამონახსნები.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $8x^6+7x^3-1=0$.
გამოსავალი.
მოდით წარმოგიდგინოთ შემცვლელი $y=x^3$. მაშინ ჩვენი განტოლება მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8წ-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ და $y_2=-1$.
ამ ეტაპზე უფრო რთული განტოლებების ამოხსნისას უნდა შეამოწმოთ მიღებული ფესვები.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება: $x^3=\frac(1)(8)$ და $x^3=-1$.
ამ განტოლებების ფესვები მარტივია: $x_1=\frac(1)(2)$ და $x_2=-1$.
პასუხი: $x=0.5$ და $x=-1$.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))+4\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=4$.
გამოსავალი.
განვახორციელოთ ეკვივალენტური გარდაქმნები:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+3) )(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( - 1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, შემდეგ ჩვენი განტოლება მცირდება $u+\frac(4)(u)=4$-მდე. $u^2-4u+4=0$, საიდანაც $u=2$.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))=2$.
$2x+3=4(2x-1)$ $x=1\frac(1)(6)$ წრფივი განტოლების ამოხსნით.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $2^x+2^(1-x)=3$.
გამოსავალი.
ჩვენი განტოლება მცირდება ეკვივალენტურ განტოლებამდე: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: $t=2^x$.
$t+\frac(2)(t)=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ და $t_2=1$.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება: $2^x=2$ და $2^x=1$. მდებარეობა: $x=1$ და $x=0$.
პასუხი: $x=1$ და $x=0$.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
გამოსავალი.
მოდით შევცვალოთ ჩვენი განტოლება.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას: $4lg^2x+lgx-5=0$.
ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება: $lgx=-1.25$ და $lgx=1$.
პასუხი: $x=10^(-\frac(5)(4))$ და $x=10$.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
გამოსავალი.
შემოვიღოთ ჩანაცვლება: $cos(x)-sin(x)=y$.
შემდეგ: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
თავდაპირველი განტოლება უდრის:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
შემოვიღოთ შებრუნებული ჩანაცვლება: $cos(x)-sin(x)=13$ - აშკარაა, რომ არ არსებობს ამონახსნები, ვინაიდან კოსინუსი და სინუსი აბსოლუტური მნიშვნელობით შემოიფარგლება ერთით.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე $\frac(\sqrt(2))(2)$-ზე.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sin(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\ დასაწყისი (შემთხვევები) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \დასრულება (შემთხვევები)$
$\begin (შემთხვევები) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \დასრულება (შემთხვევები)$
პასუხი: $x=\frac(π)(2)+2πn$ და $π+2πn$.
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის
ამოხსენით შემდეგი განტოლებები:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
შესავალი
ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლაში მიღებული მათემატიკური განათლება ზოგადი განათლებისა და თანამედროვე ადამიანის ზოგადი კულტურის აუცილებელი კომპონენტია. თითქმის ყველაფერი, რაც გარშემორტყმულია თანამედროვე ადამიანს, ამა თუ იმ გზით უკავშირდება მათემატიკას. და ფიზიკის, ტექნოლოგიებისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების უახლესი მიღწევები ეჭვს არ ტოვებს, რომ მომავალში ვითარება იგივე დარჩება. აქედან გამომდინარე, მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადაწყვეტა მცირდება სხვადასხვა ტიპის განტოლებების ამოხსნით, რომელთა ამოხსნა უნდა ვისწავლოთ.
ელემენტარულ მათემატიკაში განასხვავებენ განტოლების ორ ტიპს: ალგებრულ და ტრანსცენდენტურ.ალგებრულ განტოლებებს მიეკუთვნება:
ხაზოვანი;
მოედანი; კუბური; ბიკვადი; ზოგადი ფორმის მეოთხე ხარისხის განტოლება; n ხარისხის ორწლიან ალგებრულ განტოლებას; სიმძლავრე ალგებრული; - დაბრუნება (ალგებრული); – ზოგადი ფორმის მე-ე ხარისხის ალგებრული განტოლება; 10. წილადი ალგებრული განტოლებები, ე.ი. მრავალწევრებისა და ალგებრული წილადების შემცველი განტოლებები (ფორმის წილადები
, სადაც და არის მრავალწევრები);11. ირაციონალური განტოლებები, ე.ი. რადიკალების შემცველი განტოლებები, რომლებშიც განლაგებულია პოლინომები და ალგებრული წილადები;
12. მოდულის შემცველი განტოლებები, რომლის მოდულის ქვეშ მოთავსებულია მრავალწევრები და ალგებრული წილადები.
ტრანსცენდენტული ფუნქციების შემცველ განტოლებებს, როგორიცაა ლოგარითმული, ექსპონენციალური ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ეწოდება ტრანსცენდენტური. ჩვენს ნაშრომში უფრო დეტალურად განვიხილავთ ალგებრულ განტოლებებს.
საგანმანათლებლო და მეთოდურ ლიტერატურაში ტრადიციულად განიხილება განტოლებების ამოხსნის სპეციალური მეთოდები. იმავდროულად, თითოეული მონაკვეთის განტოლებების ამოხსნის სპეციფიკა მეორეხარისხოვანი საკითხია. ძირითადად, არსებობს ოთხი ძირითადი მეთოდი:
h (f(x))=h (g(x)) განტოლების შეცვლა f(x)=g(x) განტოლებით;
ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი;
ფაქტორინგის მეთოდი;
ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი და მათი სხვადასხვა მოდიფიკაცია.
მათგან ყველაზე გავრცელებულია ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი.
ამის საფუძველზე ვაყალიბებთ ჩვენი მუშაობის მიზანს: შევისწავლოთ უცნობის ჩანაცვლების მეთოდის შესაძლებლობები ალგებრული განტოლებების ამოხსნისას და ვაჩვენოთ მათი გამოყენება სტანდარტულ და არასტანდარტულ სიტუაციებში. ამ მიზნის მისაღწევად აუცილებელია შემდეგი ამოცანების გადაჭრა:
1. განავრცე განტოლებების ამოხსნის თეორიასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებებისა და დებულებების შინაარსი: განტოლების ამოხსნა, ეკვივალენტობა და შედეგი, განტოლებების ამოხსნის ზოგადი მეთოდები.
2. სტანდარტულ და არასტანდარტულ სიტუაციებში ალგებრული განტოლებების ამოხსნისას უცნობის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების შესაძლებლობების იდენტიფიცირება.
3. განახორციელოს ალგებრული განტოლებების ამოხსნისას ახალი უცნობების შემოტანის მეთოდების ტიპიზაცია და მათი გამოყენებადობის კრიტერიუმების დადგენა.
4. შეადგინეთ ტიპიური ამოცანების ნაკრები, რომელიც ემყარება განტოლებების ამოხსნის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებას და აჩვენეთ მათი ამოხსნა.
1. განტოლებების ამოხსნის თეორიასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებები და დებულებები
ჩვენი ნაშრომის პირველ თავში გამოვავლენთ განტოლებების ამოხსნის თეორიასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებებისა და დებულებების შინაარსს.
„განტოლების“ ცნებას მათემატიკის გაკვეთილებზე უკვე დაწყებით სკოლაში ვეცნობით და „განტოლების ამოხსნის“ ამოცანა ალბათ ყველაზე გავრცელებული ამოცანაა. მიუხედავად ამისა, ჩვენ არ შეგვიძლია მივცეთ „განტოლების“ ცნების ზუსტი განმარტება, ზუსტად განვსაზღვროთ რას ნიშნავს „განტოლების ამოხსნა“, ელემენტარული მათემატიკის კურსის ჩარჩოებიდან შორს გასვლის გარეშე. ამისათვის საჭიროა ძალიან სერიოზული ლოგიკური და თუნდაც ფილოსოფიური კატეგორიების ჩართვა. ჩვენთვის სრულიად საკმარისია ამ ცნებების „საღი აზრის“ დონეზე გაცნობა.
განვიხილოთ ორი განტოლება A და B ერთი და იგივე უცნობით. ჩვენ ვიტყვით, რომ განტოლება B არის შედეგიგანტოლება A, თუ A განტოლების რომელიმე ფესვი არის B განტოლების ფესვი.
განტოლებები ე.წ ექვივალენტითუ რომელიმე მათგანის რომელიმე ფესვი მეორის ფესვია და პირიქით. ამრიგად, განტოლებები ექვივალენტურია, თუ თითოეული მათგანი მეორის შედეგია.
ამ განმარტებებიდან გამომდინარეობს, რომ, მაგალითად, ორი განტოლება, რომლებსაც ამონახსნები არ აქვთ, ეკვივალენტურია. თუ A არ აქვს ამონახსნები, მაშინ B არის შედეგი A, როგორიც არ უნდა იყოს B განტოლება.
განვსაზღვროთ „განტოლების ამოხსნის“ ცნება. განტოლების ამოხსნა- ნიშნავს მასში შემავალი უცნობის ყველა ისეთი მნიშვნელობის პოვნას, რომელიც განტოლებას იდენტურად აქცევს. ამ მნიშვნელობებს უწოდებენ განტოლების ფესვებს.
განტოლებების ამოხსნის პროცესი ძირითადად შედგება მოცემული განტოლების სხვა მისი ეკვივალენტით ჩანაცვლებაში.
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, არსებობს ოთხი ყველაზე გავრცელებული მეთოდი, რომლებიც გამოიყენება ნებისმიერი სახის განტოლების ამოხსნისას. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ თითოეული მეთოდი.
h (f(x))=h (g(x)) განტოლების f(x)=g(x) განტოლებით ჩანაცვლების მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ მაშინ, როდესაც
არის მონოტონური ფუნქცია, რომელიც იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას ერთხელ. თუ ეს ფუნქცია არამონოტონურია, მაშინ მითითებული მეთოდის გამოყენება შეუძლებელია, რადგან ფესვების დაკარგვა შესაძლებელია.ფაქტორილიზაციის მეთოდის არსი შემდეგია: განტოლება
შეიძლება შეიცვალოს: ამ ნაკრების განტოლებების ამოხსნის შემდეგ, თქვენ უნდა აიღოთ ის ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება თავდაპირველი განტოლების განსაზღვრის სფეროს, ხოლო დანარჩენი გადააგდოთ, როგორც გარე. განტოლების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის იდეა.
არის შემდეგი: თქვენ უნდა ააწყოთ ფუნქციების გრაფიკები და იპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილები. განტოლების ფესვები არის ამ წერტილების აბსციები. ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ განტოლების ფესვების რაოდენობა, გამოიცნოთ ფესვის მნიშვნელობა, იპოვოთ ფესვების სავარაუდო და ზოგჯერ ზუსტი მნიშვნელობები. ზოგ შემთხვევაში ფუნქციათა გრაფიკების აგება შეიძლება შეიცვალოს ფუნქციების ზოგიერთი თვისების მითითებით (ამიტომაც საუბარია არა გრაფიკულ, არამედ განტოლებების ამოხსნის ფუნქციურ-გრაფიკულ მეთოდზე). თუ, მაგალითად, ერთ-ერთი ფუნქცია
იზრდება და მეორე მცირდება, მაშინ განტოლებას ან არ აქვს ფესვები, ან აქვს ერთი ფესვი, აღვნიშნავთ ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდის კიდევ ერთ საკმაოდ ლამაზ სახეობას: თუ ინტერვალზე ერთ-ერთი ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა უდრის და სხვა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა ასევე ტოლია, მაშინ განტოლება ტოლია განტოლებათა სისტემის ინტერვალზე. გამოვავლინოთ ცვლადის ცვლილების მეთოდის არსი: თუ განტოლება
მათემატიკა არის ჭაბურღილი, რომლის მეშვეობითაც ლოგიკურ გონებას შეუძლია დაათვალიეროს იდეალური სამყარო.
კროტოვი ვიქტორ
სკოლაში ალგებრის კურსში წამყვანი ადგილი რაციონალურ განტოლებებს უჭირავს. უფრო მეტი დრო ეთმობა მათ შესწავლას, ვიდრე სხვა თემებს. ეს უპირველეს ყოვლისა განპირობებულია იმით, რომ განტოლებებს არა მხოლოდ დიდი თეორიული მნიშვნელობა აქვს, არამედ ბევრ პრაქტიკულ მიზანსაც ემსახურება. რეალურ სამყაროში პრობლემების დიდი რაოდენობა მოდის სხვადასხვა განტოლების ამოხსნაზე და მხოლოდ მას შემდეგ, რაც დაეუფლებით მათ გადაჭრის მეთოდებს, იპოვით პასუხებს მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა კითხვებზე.
რაციონალური განტოლებების ამოხსნის უნარის ფორმირებისთვის დიდი მნიშვნელობა აქვს მოსწავლის დამოუკიდებელ მუშაობას. თუმცა, სანამ დამოუკიდებელ სამუშაოზე გადავიდოდეთ, აუცილებელია მკაფიოდ იცოდეთ და შეძლოთ პრაქტიკაში რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ყველა შესაძლო მეთოდის გამოყენება.
მოდით განვიხილოთ მაგალითები დეტალურად ცვლადი ცვლილების მეთოდირაციონალური განტოლებების ამოხსნისთვის.
მაგალითი 1
ამოხსენით განტოლება (2x 2 - 3x + 1) 2 = 22x 2 - 33x + 1.
გამოსავალი.
განტოლებას ვწერთ ფორმაში
(2x 2 - 3x + 1) 2 = 11(2x 2 - 3x) + 1. მოდით შევცვალოთ ცვლილება. მოდით 2x 2 - 3x \u003d t, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
ახლა ვხსნით ფრჩხილებს და ვაძლევთ მსგავსებს, ვიღებთ:
t2 + 2t + 1 = 11t + 1;
მიღებულ არასრულ კვადრატულ განტოლებაში ფრჩხილებიდან ვიღებთ საერთო ფაქტორს, გვექნება:
t = 0 ან t = 9.
ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ შებრუნებული ჩანაცვლება და ამოხსნათ თითოეული მიღებული განტოლება:
2x 2 - 3x = 0 ან 2x 2 - 3x = 9
x(2x - 3) = 0 2x 2 - 3x - 9 = 0
x = 0 ან x = 3/2 x = 3 ან x = -3/2
პასუხი: -1,5; 0; 1.5; 3.
მაგალითი 2
ამოხსენით განტოლება (x 2 - 6x) 2 - 2 (x - 3) 2 = 81.
გამოსავალი.
გამოვიყენოთ სხვაობის კვადრატული ფორმულა (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . ჩვენ ვწერთ თავდაპირველ განტოლებას ფორმაში
(x 2 - 6x) 2 - 2 (x 2 - 6x + 9) = 81. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ჩანაცვლება.
მოდით x 2 - 6x \u003d t, მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:
t 2 - 2 (t + 9) \u003d 81.
t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;
t 2 - 2t - 99 = 0.
ვიეტას თეორემის მიხედვით, მიღებული განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები -9 და 11.
მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება:
x 2 - 6x = -9 ან x 2 - 6x = 11
x 2 - 6x + 9 = 0 x 2 - 6x - 11 = 0
(x - 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 \u003d 3 - 2√5.
პასუხი: 3 - 2√5; 3; 3 + 2√5.
მაგალითი 3
ამოხსენით განტოლება (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297 და იპოვეთ მისი ფესვების ნამრავლი.
გამოსავალი.
მოდი ვიპოვოთ „მომგებიანი“ გზა ფაქტორების დასაჯგუფებლად და ფრჩხილების წყვილების გასახსნელად:
((x - 1)(x + 5))((x - 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;
(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.
მოდით გავაკეთოთ ცვლილება x 2 + 4x = t, მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:
(t - 5) (t - 21) = 297.
გავხსნათ ფრჩხილები, მივცეთ მსგავსი ტერმინები:
t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;
t 2 - 26t - 192 = 0.
ვიეტას თეორემის მიხედვით, ჩვენ განვსაზღვრავთ, რომ მიღებული განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები -6 და 32.
საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ გვექნება:
x 2 + 4x = -6 ან x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0
D = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0
ფესვები არ არის x 1 = -8; x 2 = 4
ვიპოვოთ ფესვების ნამრავლი: -8 4 = -32.
პასუხი: -32.
მაგალითი 4
იპოვეთ განტოლების ფესვების ჯამი (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x (x 2 - 2x + 2) = 10x 2.
გამოსავალი.
მოდით x 2 - 2x + 2 \u003d t, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას:
t 2 + 3xt - 10x 2 \u003d 0.
მივიღოთ მიღებული განტოლება, როგორც კვადრატული განტოლება t-ის მიმართ.
D \u003d (3x) 2 - 4 (-10x 2) \u003d 9x 2 + 40x 2 \u003d 49x 2; ≥≤
t 1 = (-3x - 7x) / 2 და t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x და t 2 = 2x.
ვინაიდან t \u003d x 2 - 2x + 2, მაშინ
x 2 - 2x + 2 = -5x ან x 2 - 2x + 2 = 2x. ამოხსნათ თითოეული მიღებული განტოლება.
x 2 + 3x + 2 = 0 ან x 2 - 4x + 2 = 0.
ორივე განტოლებას აქვს ფესვები, რადგან D > 0.
ვიეტას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ პირველი განტოლების ფესვების ჯამი არის -3, ხოლო მეორე განტოლება არის 4. მივიღებთ, რომ საწყისი განტოლების ფესვების ჯამი არის -3 + 4 = 1.
პასუხი: 1.
მაგალითი 5
იპოვეთ განტოლების ფესვი (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, რომელიც ეკუთვნის [-5; 10].
გამოსავალი.
მოდით x = t - 3, შემდეგ x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 და თავდაპირველი განტოლება ხდება:
(t - 2) 4 + (t + 2) 4 \u003d 32. გამონათქვამების მეოთხე ხარისხზე ასამაღლებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ პასკალის სამკუთხედი (ნახ. 1); 
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4 .
მსგავსი პირობების შემცირების შემდეგ მივიღებთ:
2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t4 + 24t2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t \u003d 0 ან t 2 \u003d -24.
მეორე განტოლებას არ აქვს ფესვები, რაც ნიშნავს, რომ t = 0 და საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ
x \u003d t - 3 \u003d 0 - 3 \u003d -3. -3 განტოლების ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს [-5; 10].
პასუხი: -3.
როგორც ხედავთ, რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას თქვენ უნდა იცოდეთ ზემოაღნიშნული ფორმულები და შეძლოთ სწორად დათვლა. შეცდომები ყველაზე ხშირად ხდება შემცვლელის არჩევისას და უკან ჩანაცვლებისას. ამის თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა აღწეროთ დეტალურად თითოეული მოქმედება, მაშინ არ იქნება შეცდომები თქვენს გადაწყვეტილებებში.
საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.