ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა გვ. რთული ლოგარითმული უტოლობა

როგორ ფიქრობთ, გამოცდამდე დრო რჩება და დრო გექნებათ მოსამზადებლად? ალბათ ეს ასეა. მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, რაც უფრო ადრე დაიწყებს სტუდენტი ვარჯიშს, მით უფრო წარმატებით აბარებს გამოცდებს. დღეს გადავწყვიტეთ სტატია მივუძღვნათ ლოგარითმულ უტოლობას. ეს არის ერთ-ერთი ამოცანა, რაც ნიშნავს დამატებითი ქულის მიღების შესაძლებლობას.

უკვე იცით რა არის ლოგარითმი (ლოგი)? ამის იმედი ნამდვილად გვაქვს. მაგრამ მაშინაც კი, თუ ამ კითხვაზე პასუხი არ გაქვთ, ეს არ არის პრობლემა. ძალიან ადვილია იმის გაგება, თუ რა არის ლოგარითმი.

რატომ ზუსტად 4? თქვენ უნდა აწიოთ რიცხვი 3 ასეთ სიმძლავრემდე, რომ მიიღოთ 81. როდესაც გაიგებთ პრინციპს, შეგიძლიათ გააგრძელოთ უფრო რთული გამოთვლები.

თქვენ რამდენიმე წლის წინ გაიარეთ უთანასწორობა. და მას შემდეგ მუდმივად ხვდებით მათ მათემატიკაში. თუ უთანასწორობის ამოხსნა გიჭირთ, გადახედეთ შესაბამის განყოფილებას.
ახლა, როცა ცნებებს ცალ-ცალკე გავეცანით, გადავალთ მათ ზოგადად განხილვაზე.

უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობა.

უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობა არ შემოიფარგლება ამ მაგალითით, არის კიდევ სამი, მხოლოდ განსხვავებული ნიშნებით. რატომ არის ეს საჭირო? უკეთ რომ გავიგოთ, როგორ ამოხსნათ უტოლობა ლოგარითმებით. ახლა ჩვენ ვაძლევთ უფრო გამოსაყენებელ მაგალითს, ჯერ კიდევ საკმაოდ მარტივს, კომპლექსურ ლოგარითმულ უტოლობას მოგვიანებით ვტოვებთ.

როგორ მოვაგვაროთ? ეს ყველაფერი იწყება ODZ-ით. თქვენ უნდა იცოდეთ მეტი ამის შესახებ, თუ გსურთ ყოველთვის მარტივად მოაგვაროთ ნებისმიერი უთანასწორობა.

რა არის ODZ? DPV ლოგარითმული უტოლობებისთვის

აბრევიატურა ნიშნავს მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონს. გამოცდისთვის დავალებების დროს ეს ფორმულირება ხშირად ჩნდება. DPV თქვენთვის სასარგებლოა არა მხოლოდ ლოგარითმული უტოლობების შემთხვევაში.

კიდევ ერთხელ გადახედეთ ზემოთ მოცემულ მაგალითს. ჩვენ განვიხილავთ ODZ-ს მასზე დაყრდნობით, რათა გაიგოთ პრინციპი და ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა არ აჩენს კითხვებს. ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ 2x+4 უნდა იყოს ნულზე მეტი. ჩვენს შემთხვევაში ეს ნიშნავს შემდეგს.

ეს რიცხვი განსაზღვრებით დადებითი უნდა იყოს. ამოხსენით ზემოთ წარმოდგენილი უტოლობა. ეს შეიძლება გაკეთდეს თუნდაც ზეპირად, აქ ცხადია, რომ X არ შეიძლება იყოს 2-ზე ნაკლები. უტოლობის ამოხსნა იქნება მისაღები სიდიდეების დიაპაზონის განსაზღვრა.
ახლა გადავიდეთ უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნაზე.

თავად ლოგარითმებს ვხსნით უტოლობის ორივე ნაწილიდან. რა დაგვრჩენია შედეგად? მარტივი უთანასწორობა.

ადვილი მოსაგვარებელია. X უნდა იყოს -0.5-ზე მეტი. ახლა ჩვენ გავაერთიანებთ ორ მიღებულ მნიშვნელობას სისტემაში. ამრიგად,

ეს იქნება დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონი განხილული ლოგარითმული უთანასწორობისთვის.

რატომ არის საერთოდ საჭირო ODZ? ეს არის შესაძლებლობა, აღმოფხვრას არასწორი და შეუძლებელი პასუხები. თუ პასუხი არ არის მისაღები მნიშვნელობების ფარგლებში, მაშინ პასუხს უბრალოდ აზრი არ აქვს. ეს უნდა გვახსოვდეს დიდი ხნის განმავლობაში, რადგან გამოცდაზე ხშირად ჩნდება ODZ-ს მოძიება და ეს ეხება არა მხოლოდ ლოგარითმულ უტოლობებს.

ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი

გამოსავალი შედგება რამდენიმე ეტაპისგან. პირველ რიგში, აუცილებელია მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის პოვნა. ODZ-ში იქნება ორი მნიშვნელობა, ეს ზემოთ განვიხილეთ. შემდეგი ნაბიჯი არის თავად უტოლობის ამოხსნა. გადაწყვეტის მეთოდები შემდეგია:

• მულტიპლიკატორის ჩანაცვლების მეთოდი;
• დაშლა;
• რაციონალიზაციის მეთოდი.

სიტუაციიდან გამომდინარე, უნდა იქნას გამოყენებული ერთ-ერთი ზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდი. მოდით გადავიდეთ პირდაპირ გამოსავალზე. ჩვენ გამოვავლენთ ყველაზე პოპულარულ მეთოდს, რომელიც შესაფერისია USE ამოცანების გადასაჭრელად თითქმის ყველა შემთხვევაში. შემდეგი, ჩვენ განვიხილავთ დაშლის მეთოდს. ეს შეიძლება დაგეხმაროთ, თუ შეხვდებით განსაკუთრებით "რთულ" უთანასწორობას. ასე რომ, ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი.

გადაწყვეტის მაგალითები :

ტყუილად არ ავიღეთ ზუსტად ასეთი უთანასწორობა! ყურადღება მიაქციეთ ბაზას. დაიმახსოვრეთ: თუ ის ერთზე მეტია, ნიშანი იგივე რჩება სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონის პოვნისას; წინააღმდეგ შემთხვევაში, უთანასწორობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ უთანასწორობას:

ახლა ჩვენ მივყავართ მარცხენა მხარეს განტოლების ფორმაში, რომელიც ტოლია ნულის ტოლფასი. "ნაკლები" ნიშნის ნაცვლად ვსვამთ "ტოლს", ვხსნით განტოლებას. ამრიგად, ჩვენ ვიპოვით ODZ-ს. ვიმედოვნებთ, რომ ასეთი მარტივი განტოლების ამოხსნის პრობლემა არ გექნებათ. პასუხებია -4 და -2. ეს ყველაფერი არ არის. თქვენ უნდა აჩვენოთ ეს წერტილები სქემაზე, მოათავსოთ "+" და "-". რა უნდა გაკეთდეს ამისთვის? ჩაანაცვლეთ რიცხვები ინტერვალებიდან გამოსახულებაში. სადაც მნიშვნელობები დადებითია, იქ ვაყენებთ "+".

უპასუხე: x არ შეიძლება იყოს -4-ზე მეტი და -2-ზე ნაკლები.

ჩვენ ვიპოვეთ სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონი მხოლოდ მარცხენა მხარისთვის, ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონი მარჯვენა მხარისთვის. ეს არავითარ შემთხვევაში არ არის ადვილი. პასუხი: -2. ჩვენ ვკვეთთ ორივე მიღებულ ტერიტორიას.

და მხოლოდ ახლა ვიწყებთ თავად უთანასწორობის ამოხსნას.

მაქსიმალურად გავამარტივოთ, რომ გადაწყვეტილების მიღება გაგვიადვილდეს.

ჩვენ კვლავ ვიყენებთ ხსნარში ინტერვალის მეთოდს. მოდით გამოვტოვოთ გამოთვლები, მასთან ყველაფერი უკვე ნათელია წინა მაგალითიდან. უპასუხე.

მაგრამ ეს მეთოდი შესაფერისია, თუ ლოგარითმულ უტოლობას აქვს იგივე საფუძვლები.

ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა სხვადასხვა ფუძით გულისხმობს თავდაპირველ შემცირებას ერთ ფუძამდე. შემდეგ გამოიყენეთ ზემოაღნიშნული მეთოდი. მაგრამ არის უფრო რთული შემთხვევაც. განვიხილოთ ლოგარითმული უტოლობების ერთ-ერთი ყველაზე რთული ტიპი.

ლოგარითმული უტოლობა ცვლადი ფუძით

როგორ მოვაგვაროთ უტოლობები ასეთი მახასიათებლებით? დიახ, და ასეთი შეგიძლიათ იპოვოთ გამოცდაზე. უთანასწორობის შემდეგი გზით გადაჭრა ასევე სასარგებლო გავლენას მოახდენს თქვენს სასწავლო პროცესზე. განვიხილოთ საკითხი დეტალურად. მოდით, თეორია გვერდზე გადავდოთ და პირდაპირ პრაქტიკაზე გადავიდეთ. ლოგარითმული უტოლობების ამოსახსნელად საკმარისია ერთხელ გაეცნოთ მაგალითს.

წარმოდგენილი ფორმის ლოგარითმული უტოლობის ამოსახსნელად საჭიროა იმავე ფუძით მარჯვენა მხარის შემცირება ლოგარითმზე. პრინციპი წააგავს ეკვივალენტურ გადასვლებს. შედეგად, უთანასწორობა ასე გამოიყურება.

სინამდვილეში, რჩება უტოლობების სისტემის შექმნა ლოგარითმების გარეშე. რაციონალიზაციის მეთოდის გამოყენებით გადავდივართ უტოლობების ეკვივალენტურ სისტემაზე. თქვენ თავად გაიგებთ წესს, როდესაც ჩაანაცვლებთ შესაბამის მნიშვნელობებს და მიჰყვებით მათ ცვლილებებს. სისტემას ექნება შემდეგი უტოლობა.

რაციონალიზაციის მეთოდის გამოყენებით უტოლობების ამოხსნისას, თქვენ უნდა გახსოვდეთ შემდეგი: თქვენ უნდა გამოაკლოთ ერთი ფუძედან, x, ლოგარითმის განმარტებით, გამოკლებულია უტოლობის ორივე ნაწილს (მარჯვნივ მარცხნიდან), ორი გამონათქვამები მრავლდება და დაყენებულია ორიგინალური ნიშნის ქვეშ ნულის მიმართ.

შემდგომი გადაწყვეტა ხორციელდება ინტერვალის მეთოდით, აქ ყველაფერი მარტივია. თქვენთვის მნიშვნელოვანია, გაიგოთ განსხვავებები გადაწყვეტის მეთოდებში, მაშინ ყველაფერი მარტივად დაიწყება.

ლოგარითმულ უტოლობებში ბევრი ნიუანსია. მათგან უმარტივესი საკმარისად ადვილი მოსაგვარებელია. როგორ გავაკეთოთ ეს ისე, რომ თითოეული მათგანი უპრობლემოდ გადაჭრას? თქვენ უკვე მიიღეთ ყველა პასუხი ამ სტატიაში. ახლა წინ დიდი პრაქტიკა გაქვთ. მუდმივად ივარჯიშეთ გამოცდის ფარგლებში სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში და შეძლებთ უმაღლესი ქულის მიღებას. წარმატებებს გისურვებთ რთულ საქმეში!

ხშირად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას, ჩნდება პრობლემები ლოგარითმის ცვლადი ფუძით. ასე რომ, ფორმის უთანასწორობა

არის სტანდარტული სასკოლო უთანასწორობა. როგორც წესი, მის გადასაჭრელად გამოიყენება სისტემების ეკვივალენტურ კომპლექტზე გადასვლა:

ამ მეთოდის მინუსი არის შვიდი უტოლობის ამოხსნის საჭიროება, არ ჩავთვლით ორ სისტემას და ერთ კომპლექტს. მოცემული კვადრატული ფუნქციების შემთხვევაშიც კი, პოპულაციის გადაწყვეტას შეიძლება დიდი დრო დასჭირდეს.

შეიძლება შემოთავაზებული იყოს ამ სტანდარტული უთანასწორობის გადაჭრის ალტერნატიული, ნაკლებად შრომატევადი გზა. ამისათვის ჩვენ გავითვალისწინებთ შემდეგ თეორემას.

თეორემა 1. დაუშვით უწყვეტი მზარდი ფუნქცია X სიმრავლეზე. მაშინ ამ სიმრავლეზე ფუნქციის გაზრდის ნიშანი დაემთხვევა არგუმენტის ზრდის ნიშანს, ე.ი. , სად .

შენიშვნა: თუ უწყვეტი კლებადი ფუნქცია X ნაკრებზე, მაშინ .

დავუბრუნდეთ უთანასწორობას. მოდით გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმზე (შეგიძლიათ გადახვიდეთ ნებისმიერზე, რომლის მუდმივი ფუძეა ერთზე მეტი).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ თეორემა, მრიცხველში შევამჩნიოთ ფუნქციების ზრდა და მნიშვნელში. ასე რომ, ეს მართალია

შედეგად, პასუხისკენ მიმავალი გამოთვლების რაოდენობა მცირდება დაახლოებით ნახევარით, რაც დაზოგავს არა მხოლოდ დროს, არამედ საშუალებას გაძლევთ პოტენციურად დაუშვათ ნაკლები არითმეტიკული და უყურადღებო შეცდომები.

მაგალითი 1

(1)-თან შედარებით ვპოულობთ , , .

(2)-ზე გადასვლისას გვექნება:

მაგალითი 2

(1)-თან შედარებით ვპოულობთ , , .

(2)-ზე გადასვლისას გვექნება:

მაგალითი 3

ვინაიდან უტოლობის მარცხენა მხარე არის მზარდი ფუნქცია და , მაშინ პასუხი დაყენებულია .

მაგალითების ნაკრები, რომლებშიც შეიძლება გამოიყენებოდეს ტერმინი 1, შეიძლება ადვილად გაფართოვდეს, თუ ტერმინი 2 იქნება გათვალისწინებული.

ნება გადასაღებ მოედანზე Xგანსაზღვრულია ფუნქციები , , და ამ კომპლექტზე ნიშნები და ემთხვევა, ე.ი. მაშინ სამართლიანი იქნება.

მაგალითი 4

მაგალითი 5

სტანდარტული მიდგომით, მაგალითი წყდება სქემის მიხედვით: პროდუქტი ნულზე ნაკლებია, როდესაც ფაქტორები განსხვავებული ნიშნითაა. იმათ. ჩვენ განვიხილავთ უტოლობათა ორი სისტემის ერთობლიობას, რომლებშიც, როგორც დასაწყისში აღინიშნა, თითოეული უტოლობა იშლება კიდევ შვიდად.

თუ გავითვალისწინებთ თეორემა 2-ს, მაშინ თითოეული ფაქტორი, (2) გათვალისწინებით, შეიძლება შეიცვალოს სხვა ფუნქციით, რომელსაც აქვს იგივე ნიშანი O.D.Z-ის ამ მაგალითში.

ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდით ჩანაცვლების მეთოდი, თეორემა 2-ის გათვალისწინებით, ძალიან მოსახერხებელი აღმოჩნდება ტიპიური C3 USE ამოცანების გადაჭრისას.

მაგალითი 6

მაგალითი 7

. აღვნიშნოთ. მიიღეთ

. გაითვალისწინეთ, რომ ჩანაცვლება გულისხმობს: . განტოლებას რომ დავუბრუნდეთ, მივიღებთ .

მაგალითი 8

თეორემებში, რომლებსაც ვიყენებთ, არ არსებობს შეზღუდვა ფუნქციების კლასებზე. ამ სტატიაში, მაგალითად, თეორემები იქნა გამოყენებული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას. შემდეგი რამდენიმე მაგალითი გვიჩვენებს მეთოდის დაპირებას სხვა ტიპის უტოლობების ამოხსნისთვის.

ლოგარითმული უტოლობების მთელ მრავალფეროვნებას შორის ცალკე შესწავლილია ცვლადი ფუძის მქონე უტოლობა. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის მიხედვით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ასწავლიან სკოლაში:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

ყაბას "∨"-ის ნაცვლად შეგიძლიათ დაუდოთ ნებისმიერი უთანასწორობის ნიშანი: მეტ-ნაკლებად. მთავარი ის არის, რომ ორივე უტოლობაში ნიშნები ერთნაირია.

ასე რომ, ჩვენ გავთავისუფლდებით ლოგარითმებისგან და პრობლემას რაციონალურ უთანასწორობამდე ვამცირებთ. ამ უკანასკნელის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას შეიძლება დამატებითი ფესვები გამოჩნდეს. მათი გათიშვის მიზნით, საკმარისია იპოვოთ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. თუ დაგავიწყდათ ლოგარითმის ODZ, გირჩევთ გაიმეოროთ იგი - იხილეთ „რა არის ლოგარითმი“.

მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონთან დაკავშირებული ყველაფერი ცალკე უნდა ჩაიწეროს და გადაწყდეს:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ეს ოთხი უტოლობა წარმოადგენს სისტემას და უნდა შესრულდეს ერთდროულად. როდესაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი იპოვება, რჩება მისი გადაკვეთა რაციონალური უთანასწორობის გადაწყვეტით - და პასუხი მზად არის.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ჯერ დავწეროთ ლოგარითმის ODZ:

პირველი ორი უტოლობა შესრულებულია ავტომატურად, ხოლო ბოლო უნდა ჩაიწეროს. ვინაიდან რიცხვის კვადრატი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი არის ნული, გვაქვს:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ არის ყველა რიცხვი ნულის გარდა: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). ახლა ჩვენ ვხსნით მთავარ უტოლობას:

ჩვენ ვასრულებთ გადასვლას ლოგარითმული უტოლობიდან რაციონალურზე. თავდაპირველ უტოლობაში არის "ნაკლები" ნიშანი, ამიტომ მიღებული უტოლობა ასევე უნდა იყოს "ნაკლები" ნიშნით. Ჩვენ გვაქვს:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

ამ გამოხატვის ნულები: x = 3; x = -3; x = 0. უფრო მეტიც, x = 0 არის მეორე სიმრავლის ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ მასში გავლისას ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება. Ჩვენ გვაქვს:

ვიღებთ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). ეს ნაკრები მთლიანად შეიცავს ლოგარითმის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის პასუხი.

ლოგარითმული უტოლობების ტრანსფორმაცია

ხშირად თავდაპირველი უთანასწორობა განსხვავდება ზემოთ მოყვანილისგან. ამის გამოსწორება ადვილია ლოგარითმებთან მუშაობის სტანდარტული წესების მიხედვით - იხილეთ „ლოგარითმების ძირითადი თვისებები“. კერძოდ:

1. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით მოცემული ფუძით;
2. ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი და სხვაობა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითმით.

ცალკე მინდა შეგახსენოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი, საჭიროა თითოეული მათგანის DPV-ის პოვნა. ამრიგად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი სქემა ასეთია:

1. იპოვეთ უტოლობაში შემავალი თითოეული ლოგარითმის ODZ;
2. უტოლობის შემცირება სტანდარტულამდე ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებით;
3. მიღებული უტოლობა ამოხსენით ზემოთ მოცემული სქემის მიხედვით.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

იპოვეთ პირველი ლოგარითმის განმარტების დომენი (ODZ):

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. მრიცხველის ნულების პოვნა:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

შემდეგ - მნიშვნელის ნულები:

x − 1 = 0;
x = 1.

ჩვენ აღვნიშნავთ ნულებს და ნიშნებს კოორდინატთა ისრზე:

ვიღებთ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). ODZ-ის მეორე ლოგარითმი იგივე იქნება. თუ ჩემი არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა ჩვენ გარდაქმნით მეორე ლოგარითმს ისე, რომ საფუძველი იყოს ორი:

როგორც ხედავთ, სამეულები ფუძესთან და ლოგარითმამდე შემცირდა. მიიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით. მოდით გავაერთიანოთ ისინი:

ჟურნალი 2 (x − 1) 2< 2;
ჟურნალი 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

ჩვენ მივიღეთ სტანდარტული ლოგარითმული უტოლობა. ლოგარითმებს ფორმულით ვაშორებთ. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში არის ნიშანიზე ნაკლები, შედეგად მიღებული რაციონალური გამოხატულება ასევე უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. Ჩვენ გვაქვს:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

მივიღეთ ორი კომპლექტი:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. უპასუხეთ კანდიდატს: x ∈ (−1; 3).

რჩება ამ კომპლექტების გადაკვეთა - ვიღებთ ნამდვილ პასუხს:

ჩვენ გვაინტერესებს კომპლექტების გადაკვეთა, ამიტომ ვირჩევთ ორივე ისრზე დაჩრდილულ ინტერვალებს. ვიღებთ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - ყველა წერტილი პუნქციაა.