ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო სისტემას პარამეტრით მოვაგვარებ. განტოლებათა სისტემები პარამეტრით

ამ სამუშაოს მიზანია პარამეტრებთან ამოცანების გადაჭრის სხვადასხვა გზების შესწავლა. პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის უნარი და უნარი აჩვენებს განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდების დაუფლებას, თეორიული ინფორმაციის აზრობრივ გაგებას, ლოგიკური აზროვნების დონეს და ასტიმულირებს კოგნიტურ აქტივობას. ამ უნარების განსავითარებლად საჭიროა უფრო მეტი ძალისხმევა, რის გამოც 10-11 სპეციალიზებულ კლასებში ზუსტი მეცნიერებების სიღრმისეული შესწავლით დაინერგა კურსი „მათემატიკური პრაქტიკა“, რომლის ნაწილია განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა. პარამეტრები. კურსი არის ერთ-ერთი დისციპლინა, რომელიც შედის სკოლის სასწავლო გეგმის კომპონენტში.

პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდების წარმატებულ შესწავლას შეიძლება დაეხმაროს არჩევითი ან არჩევითი კურსები, ან ბადის უკან არსებული კომპონენტი თემაზე: „პრობლემები პარამეტრებთან“.

განვიხილოთ პრობლემების ოთხი დიდი კლასი პარამეტრებით:

1. განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები, რომლებიც უნდა გადაწყდეს ნებისმიერი პარამეტრის მნიშვნელობისთვის, ან პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება კონკრეტულ კომპლექტს.
2. განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები, რომლებისთვისაც აუცილებელია ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრა პარამეტრის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.
3. განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები, რისთვისაც საჭიროა ყველა იმ პარამეტრის მნიშვნელობების პოვნა, რომლებისთვისაც მითითებულ განტოლებებს (სისტემებს, უტოლობას) აქვს ამონახსნების მოცემული რაოდენობა.
4. განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები, რომლებისთვისაც, პარამეტრის საჭირო მნიშვნელობებისთვის, ამონახსნების სიმრავლე აკმაყოფილებს განსაზღვრების სფეროს მითითებულ პირობებს.

პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდები.

1. ანალიტიკური მეთოდი.

ეს არის პირდაპირი გადაწყვეტის მეთოდი, რომელიც იმეორებს სტანდარტულ პროცედურებს ამოცანებში პასუხის მოსაძებნად პარამეტრის გარეშე.

მაგალითი 1: იპოვნეთ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა ა, რომლის განტოლებაა:

(2a – 1)x 2 + ცული + (2a – 3) =0 აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი.

2-ზე ა– 1 = 0 ეს განტოლება არ არის კვადრატული, ასე რომ ა=1/2 დალაგებულია ცალკე.

თუ ა= 1/2, მაშინ განტოლება იღებს 1/2 ფორმას x– 2 = 0, მას აქვს ერთი ფესვი.

თუ ა≠ 1/2, მაშინ განტოლება არის კვადრატული; იმისათვის, რომ მას ჰქონდეს მაქსიმუმ ერთი ფესვი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ დისკრიმინანტი იყოს არაპოზიტიური:

დ= ა 2 – 4(2ა – 1)(2ა – 3) = -15ა 2 + 32ა – 12;

საბოლოო პასუხის დასაწერად, თქვენ უნდა გესმოდეთ

2. გრაფიკული მეთოდი.

დავალებიდან გამომდინარე (ცვლადით xდა პარამეტრი ა) გრაფიკები კოორდინატულ სიბრტყეში ( x;y) ან თვითმფრინავში ( x;ა).

მაგალითი 2. თითოეული პარამეტრის მნიშვნელობისთვის აგანსაზღვრეთ განტოლების ამონახსნების რაოდენობა .

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების ამონახსნების რაოდენობა ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების რაოდენობის ტოლი და y = a.

ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 1-ში.

y = aარის ჰორიზონტალური ხაზი. გრაფიკის გამოყენებით ადვილია გადაკვეთის წერტილების რაოდენობის დადგენა იმის მიხედვით ა(მაგალითად, როდის ა= 11 – გადაკვეთის ორი წერტილი; ზე ა= 2 – გადაკვეთის რვა წერტილი).

პასუხი: როდის ა < 0 – решений нет; при ა= 0 და ა= 25/4 - ოთხი ხსნარი; 0-ზე< ა < 6 – восемь решений; при ა= 6 – შვიდი ხსნარი; ზე

6 < ა < 25/4 – шесть решений; при ა> 25/4 – ორი ხსნარი.

3. ამოხსნის მეთოდი პარამეტრთან მიმართებაში.

ამ გზით გადაჭრისას ცვლადები Xდა ამიიღება როგორც ტოლი და არჩეულია ცვლადი, რომლის მიმართაც ანალიტიკური ამოხსნა უფრო მარტივი ხდება. გამარტივების შემდეგ, თქვენ უნდა დაუბრუნდეთ ცვლადების საწყის მნიშვნელობას Xდა ადა დაასრულეთ გამოსავალი.

მაგალითი 3: იპოვნეთ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლება = - ცული +3ა+2 აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ჩვენ ამ განტოლებას მოვაგვარებთ ცვლადების შეცვლით. მოდით = ტ , ტ≥ 0, მაშინ x = ტ 2 + 8 და განტოლება ხდება ზე 2 +ტ + 5ა- 2 = 0. ახლა გამოწვევაა ყველაფრის პოვნა ა, რისთვისაც განტოლება ზე 2 +ტ + 5ა– 2 = 0 აქვს უნიკალური არაუარყოფითი გადაწყვეტა. ეს ხდება შემდეგ შემთხვევებში.

1) თუ ა= 0, მაშინ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი ტ = 2.

ზოგიერთი ტიპის განტოლებისა და უტოლობების ამოხსნა პარამეტრებით.

პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები ხელს უწყობს ლოგიკური აზროვნების ჩამოყალიბებასა და კვლევის უნარების შეძენას.

თითოეული პრობლემის გადაწყვეტა უნიკალურია და მოითხოვს ინდივიდუალურ, არასტანდარტულ მიდგომას, ვინაიდან ასეთი პრობლემების გადაჭრის ერთი გზა არ არსებობს.

. წრფივი განტოლებები.

პრობლემა No1. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე ბგანტოლებას ფესვები არ აქვს?

. სიმძლავრის განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები.

დავალება No2. იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც უტოლობის ამონახსნები არის:

შეიცავს რიცხვს 6 და ასევე შეიცავს 6 სიგრძის ორ სეგმენტს, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები.

გადავცვალოთ უტოლობის ორივე მხარე.

იმისათვის, რომ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე შეიცავდეს რიცხვს 6, აუცილებელია და საკმარისია შემდეგი პირობის დაკმაყოფილება:

ნახ.4

ზე ა> უტოლობის ამონახსნების 6 ნაკრები: .

ინტერვალი (0;5) არ შეიძლება შეიცავდეს 6 სიგრძის არცერთ სეგმენტს. ეს ნიშნავს, რომ 6 სიგრძის ორი განცალკევებული სეგმენტი უნდა იყოს შეტანილი ინტერვალში (5; ა).

. ექსპონენციალური განტოლებები, უტოლობა და სისტემები.

ამოცანა No3. ფუნქციის განსაზღვრის არეალში აიღეთ ყველა დადებითი რიცხვი და დაამატეთ ისინი. იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლებისთვისაც ეს ჯამი 5-ზე მეტია, მაგრამ 10-ზე ნაკლები.

1) წრფივი წილადი ფუნქციის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა. პირობით x> 0. შეუზღუდავი ზრდით Xწილადი მონოტონურად მცირდება და უახლოვდება ნულს, ხოლო ფუნქციის მნიშვნელობები ზგაზრდა და მიახლოება 5. უფრო მეტიც, z(0) = 1.

2) ხარისხის განსაზღვრებით, განსაზღვრების დომენი D(y)შედგება უტოლობის ამონახსნებისაგან. ზე ა= 1 ვიღებთ უტოლობას, რომელსაც არ აქვს ამონახსნები. ამიტომ ფუნქცია ზეარსად არ არის განსაზღვრული.

3) 0-ზე< ა< 1 показательная функция с основанием ამცირდება და უთანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია. იმიტომ რომ x> 0, მაშინ ზ(x) > ზ(0) = 1. ეს ნიშნავს, რომ ყველა დადებითი მნიშვნელობა Xარის უთანასწორობის გამოსავალი. ამიტომ, ასეთი ამდგომარეობაში მითითებული თანხა ვერ მოიძებნება.

4) როდის ა> 1 ექსპონენციალური ფუნქცია ფუძით აიზრდება და უთანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია. თუ ა≥ 5, მაშინ ნებისმიერი დადებითი რიცხვი არის მისი ამონახსნი და პირობით მითითებული ჯამი ვერ მოიძებნება. თუ 1< ა < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0), სადაც ა = ზ(x 0) .

5) ამ ინტერვალში ზედიზედ განლაგებულია მთელი რიცხვები, დაწყებული 1-დან. გამოვთვალოთ თანმიმდევრული ნატურალური რიცხვების ჯამები, დაწყებული 1:1-დან; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;... მაშასადამე, მითითებული რაოდენობა იქნება 5-ზე მეტი და 10-ზე ნაკლები მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რიცხვი 3 დევს ინტერვალში (0; x 0), და რიცხვი 4 არ დევს ამ ინტერვალში. ასე რომ 3< x 0 ≤ 4. ვინაიდან ის იზრდება, მაშინ ზ(3) < ზ(x 0) ≤ ზ(4) .

ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა, ასევე განტოლებები, უტოლობა და მოდულების შემცველი სისტემები განხილულია დანართი 1.

პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები რთულია, რადგან არ არსებობს მათი გადაჭრის ერთი ალგორითმი. ასეთი პრობლემების სპეციფიკა ის არის, რომ უცნობ რაოდენობებთან ერთად, ისინი შეიცავენ პარამეტრებს, რომელთა რიცხვითი მნიშვნელობები კონკრეტულად არ არის მითითებული, მაგრამ ითვლება ცნობად და მითითებულია გარკვეულ ციფრულ კომპლექტში. ამ შემთხვევაში, პარამეტრის მნიშვნელობები მნიშვნელოვნად მოქმედებს პრობლემის გადაჭრის ლოგიკურ და ტექნიკურ კურსზე და პასუხის ფორმაზე.

სტატისტიკის მიხედვით, ბევრი კურსდამთავრებული არ იწყებს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრას. FIPI-ს მიხედვით, კურსდამთავრებულთა მხოლოდ 10% იწყებს ამგვარი პრობლემების გადაჭრას, ხოლო მათი სწორი გადაწყვეტის პროცენტული მაჩვენებელი დაბალია: 2–3%, ამიტომ რთული, არასტანდარტული ამოცანების გადაჭრის უნარების შეძენა, მათ შორის პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები, სკოლის მიერ. სტუდენტები კვლავ აქტუალურია.