საგამოცდო სისტემის პარამეტრს მოვაგვარებ. განტოლებათა სისტემები პარამეტრით

ამ სამუშაოს მიზანია პარამეტრებთან ამოცანების გადაჭრის სხვადასხვა გზების შესწავლა. პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის უნარი და უნარი აჩვენებს განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდების დაუფლებას, თეორიული ინფორმაციის აზრობრივ გაგებას, ლოგიკური აზროვნების დონეს და ასტიმულირებს კოგნიტურ აქტივობას. ამ უნარების განვითარებისთვის საჭიროა უფრო ხანგრძლივი ძალისხმევა, რის გამოც 10-11 პროფილის კლასებში ზუსტი მეცნიერებების სიღრმისეული შესწავლით დაინერგა კურსი: „მათემატიკური პრაქტიკა“, რომლის ნაწილია განტოლებების ამოხსნა. და უტოლობები პარამეტრებთან. კურსი სკოლის სასწავლო გეგმის კომპონენტში შემავალი ერთ-ერთი დისციპლინაა.

პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდების წარმატებულ შესწავლას შეიძლება დაეხმაროს არჩევითი ან არჩევითი კურსი, ან ბადის მიღმა არსებული კომპონენტი თემაზე: „პრობლემები პარამეტრებთან“.

განვიხილოთ პრობლემების ოთხი დიდი კლასი პარამეტრებით:

1. განტოლებები, უტოლობები და მათი სისტემები, რომლებიც უნდა გადაწყდეს ნებისმიერი პარამეტრის მნიშვნელობისთვის, ან პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება გარკვეულ კომპლექტს.
2. განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები, რისთვისაც საჭიროა პარამეტრის მნიშვნელობიდან გამომდინარე ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრა.
3. განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები, რისთვისაც საჭიროა პარამეტრის ყველა იმ მნიშვნელობის პოვნა, რომლისთვისაც მითითებულ განტოლებებს (სისტემებს, უტოლობას) აქვს ამონახსნების მოცემული რაოდენობა.
4. განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები, რომლებისთვისაც, პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობებისთვის, ამონახსნების ნაკრები აკმაყოფილებს მოცემულ პირობებს განმარტების სფეროში.

პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდები.

1. ანალიტიკური მეთოდი.

ეს არის პირდაპირი გადაწყვეტის მეთოდი, რომელიც იმეორებს სტანდარტულ პროცედურებს ამოცანებში პასუხის მოსაძებნად პარამეტრის გარეშე.

მაგალითი 1: იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლის განტოლებაა:

(2a – 1)x 2 + ცული + (2a – 3) =0 აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი.

2-ზე ა– 1 = 0 ეს განტოლება არ არის კვადრატული, ასე რომ ა=1/2 გაანალიზებულია ცალკე.

თუ ა= 1/2, მაშინ განტოლება ხდება 1/2 x– 2 = 0, მას აქვს ერთი ფესვი.

თუ ა≠ 1/2, მაშინ განტოლება კვადრატულია; იმისათვის, რომ მას ჰქონდეს მაქსიმუმ ერთი ფესვი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ დისკრიმინანტი იყოს არაპოზიტიური:

დ= ა 2 – 4(2ა – 1)(2ა – 3) = -15ა 2 + 32ა – 12;

საბოლოო პასუხის ჩასაწერად საჭიროა გაგება

2. გრაფიკული მეთოდი.

დავალებიდან გამომდინარე (ცვლადით xდა პარამეტრი ა) გრაფიკები განიხილება კოორდინატულ სიბრტყეში ( x;y) ან თვითმფრინავში ( x;ა).

მაგალითი 2. თითოეული პარამეტრის მნიშვნელობისთვის აგაზომეთ განტოლების ამონახსნები .

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების ამონახსნების რაოდენობა ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების რაოდენობის ტოლია და y = a.

ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ.1.

y=aარის ჰორიზონტალური ხაზი. გრაფიკის მიხედვით ადვილია გადაკვეთის წერტილების რაოდენობის დადგენა იმის მიხედვით ა(მაგალითად, როდის ა= 11 – გადაკვეთის ორი წერტილი; ზე ა= 2 – გადაკვეთის რვა წერტილი).

პასუხი: როდის ა < 0 – решений нет; при ა= 0 და ა= 25/4 - ოთხი ხსნარი; 0-ზე< ა < 6 – восемь решений; при ა= 6 – შვიდი ხსნარი; ზე

6 < ა < 25/4 – шесть решений; при ა> 25/4 - ორი ხსნარი.

3. პარამეტრთან დაკავშირებით გადაწყვეტილების მეთოდი.

ამ გზით გადაჭრისას ცვლადები Xდა ამიიღება თანაბარი და არჩეულია ცვლადი, რომლის მიმართაც ანალიტიკური ამონახსნები უფრო მარტივი ხდება. გამარტივების შემდეგ, თქვენ უნდა დაუბრუნდეთ ცვლადების საწყის მნიშვნელობას Xდა ადა დაასრულეთ გამოსავალი.

მაგალითი 3: იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლება = - ნაჯახი +3ა+2 აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ჩვენ ამ განტოლებას მოვაგვარებთ ცვლადების ცვლილებით. მოდით = ტ , ტ≥ 0 მაშინ x = ტ 2 + 8 და განტოლება ხდება ზე 2 +ტ + 5ა– 2 = 0. ახლა ამოცანაა იპოვოთ ყველაფერი ა, რისთვისაც განტოლება ზე 2 +ტ + 5ა– 2 = 0 აქვს უნიკალური არაუარყოფითი გადაწყვეტა. ეს ხდება შემდეგ შემთხვევებში.

1) თუ ა= 0, მაშინ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი ტ = 2.

ზოგიერთი ტიპის განტოლებისა და უტოლობების ამოხსნა პარამეტრებით.

პარამეტრებით დავალებები ხელს უწყობს ლოგიკური აზროვნების ჩამოყალიბებას, კვლევის უნარების შეძენას.

თითოეული პრობლემის გადაწყვეტა უნიკალურია და მოითხოვს ინდივიდუალურ, არასტანდარტულ მიდგომას, ვინაიდან ასეთი პრობლემების გადაჭრის ერთი გზა არ არსებობს.

. წრფივი განტოლებები.

დავალების ნომერი 1. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის ბგანტოლებას ფესვები არ აქვს?

. სიმძლავრის განტოლებები, უტოლობა და მათი სისტემები.

დავალება ნომერი 2. იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც უტოლობის ამონახსნების ნაკრები:

შეიცავს რიცხვს 6 და ასევე შეიცავს 6 სიგრძის ორ სეგმენტს, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები.

მოდით გადავცვალოთ უტოლობის ორივე მხარე.

იმისათვის, რომ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე შეიცავდეს რიცხვს 6, აუცილებელია და საკმარისია შემდეგი პირობის დაკმაყოფილება:

ნახ.4

ზე ა> უტოლობის ამონახსნების 6 ნაკრები: .

ინტერვალი (0;5) არ შეიძლება შეიცავდეს 6 სიგრძის არცერთ სეგმენტს. შესაბამისად, 6 სიგრძის ორი არაგადაკვეთის სეგმენტი უნდა შეიცავდეს ინტერვალში (5; ა).

. ექსპონენციალური განტოლებები, უტოლობა და სისტემები.

დავალების ნომერი 3. ფუნქციის განსაზღვრის დომენში აიღეთ ყველა დადებითი რიცხვი და დაამატეთ ისინი. იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლებისთვისაც ასეთი ჯამი 5-ზე მეტია, მაგრამ 10-ზე ნაკლები.

1) წრფივი წილადი ფუნქციის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა. პირობით x> 0. შეუზღუდავი ზრდით Xფრაქცია მონოტონურად მცირდება და უახლოვდება ნულს, ხოლო ფუნქციის მნიშვნელობებს ზგაზრდა და მიახლოება 5. გარდა ამისა, z(0) = 1.

2) ხარისხის განსაზღვრის მიხედვით, განსაზღვრის სფერო D(y)შედგება უტოლობის ამონახსნებისაგან. ზე ა= 1 ვიღებთ უტოლობას, რომელსაც არ აქვს ამონახსნები. ამიტომ ფუნქცია ზეარსად განსაზღვრული.

3) 0-ზე< ა< 1 показательная функция с основанием ამცირდება და უტოლობა უდრის უტოლობას. იმიტომ რომ x> 0, მაშინ ზ(x) > ზ(0) = 1. ასე რომ, ყველა დადებითი მნიშვნელობა Xარის უთანასწორობის გამოსავალი. ამიტომ, ასეთი ამდგომარეობაში მითითებული თანხა ვერ მოიძებნება.

4) როდის ა> 1 ექსპონენციალური ფუნქცია ფუძით აიზრდება და უტოლობა უტოლდება უთანასწორობას. თუ ა≥ 5, მაშინ ნებისმიერი დადებითი რიცხვი არის მისი ამონახსნი და პირობით მითითებული ჯამი ვერ მოიძებნება. თუ 1< ა < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0), სადაც ა = ზ(x 0) .

5) ამ ინტერვალში ზედიზედ განლაგებულია მთელი რიცხვები, დაწყებული 1-დან. გამოვთვალოთ თანმიმდევრული ნატურალური რიცხვების ჯამები, დაწყებული 1:1-დან; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… მაშასადამე, მითითებული რაოდენობა იქნება 5-ზე მეტი და 10-ზე ნაკლები მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რიცხვი 3 დევს ინტერვალში (0; x 0), და რიცხვი 4 არ დევს ამ ინტერვალში. ასე რომ 3< x 0 ≤ 4 . ვინაიდან ის იზრდება , მაშინ ზ(3) < ზ(x 0) ≤ ზ(4) .

ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა, ასევე განტოლებები, უტოლობა და მოდულების შემცველი სისტემები განხილულია დანართი 1.

პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები რთულია, რადგან არ არსებობს მათი გადაჭრის ერთი ალგორითმი. ასეთი პრობლემების სპეციფიკა ის არის, რომ უცნობ რაოდენობებთან ერთად, ისინი მოიცავს პარამეტრებს, რომელთა რიცხვითი მნიშვნელობები კონკრეტულად არ არის მითითებული, მაგრამ ითვლება ცნობად და მოცემულია გარკვეულ რიცხვობრივ კომპლექტში. ამავდროულად, პარამეტრების მნიშვნელობები მნიშვნელოვნად მოქმედებს პრობლემის გადაჭრის ლოგიკურ და ტექნიკურ კურსზე და პასუხის ფორმაზე.

სტატისტიკის მიხედვით, ბევრი კურსდამთავრებული არ იწყებს პრობლემების გადაჭრას USE-ის პარამეტრებით. FIPI-ს თანახმად, კურსდამთავრებულთა მხოლოდ 10% იწყებს ამგვარი პრობლემების გადაჭრას, ხოლო მათი სწორი გადაწყვეტის პროცენტული მაჩვენებელი დაბალია: 2–3%, ამიტომ რთული, არასტანდარტული ამოცანების გადაჭრის უნარების შეძენა, მათ შორის პარამეტრებთან დაკავშირებული ამოცანები, სკოლის მიერ. სტუდენტები კვლავ აქტუალურია.