Курс теоретической механики. Теоретическая механика

В. И. Дронт, В. В. Дубинин, М. М. Ильин и др.; Под общ. ред. К. С. Колесникова «Курс теоретической механики: Учебник для вузов» Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005 год, 736 стр. (7,17 мб. djvu)

В учебнике представлены такие разделы, как: кинематика, статика, динамика точки, твердого тела и механической системы. А также аналитическая механика, теория колебаний, теория удара, введение в динамику тел переменной массы, основы небесной механики. Все разделы сопровождаются примерами решения задач. Курс учебного пособия представлен по курсу лекций и в соответствии с программой, прочитанной авторами в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Книга может использоваться как учебное пособие для студентов машиностроительных вузов и технических университетов. Поможет аспирантам и преподавателям в подготовке и проведению лекций и занятий. А также специалистам работающим в области прикладной статики и динамики механических систем, машино- и приборостроения.
ISBN 5-7038-1695-5 (Т. 1)
ISBN 5-7038-1371-9

Предисловие.

Учебник является результатом многолетней преподавательской деятельности авторов в МГТУ им. Н. Э. Баумана, выпускающем инженеров-конструкторов и исследователей, которые специализируются в области машино- и приборостроения. Ему предшествовали учебники, написанные также преподавателями университета В. В. Добронравовым, А. Л. Дворниковым, К Н. Никитиным, которые переиздавались несколько раз и сыграли большую роль в обучении студентов.

Переход к университетскому инженерному образованию потребовал расширения содержания курса, более полной физической трактовки ряда вопросов и естественного усложнения используемого математического аппарата. С этой целью в разделе «Кинематика» более полно изложена глава «Общий случай движения твердого тела».

Статика излагается как самостоятельный раздел, поскольку такие предметы, как сопротивление материалов, теория механизмов и механика машин, детали машин, предметы инженерного проектирования, требуют от студента четкого представления о способах преобразования и передачи силовых взаимодействий в механизмах машины.

Значительные дополнения сделаны в разделе «Динамика». Здесь введены интегральные вариационные принципы, элементы небесной механики; более полно изложены теория колебаний, теория удара и некоторые другие вопросы.

Некоторые сведения из теории векторов 9
В. 1. Скалярные и векторные величины. Единичные векторы 9
В.2. Проекции вектора на ось и плоскость 11
В.З. Координаты вектора. Аналитическое задание вектора. Радиус вектор точки 12
В.4. Сложение и вычитание векторов 14
В.5. Умножение векторов 16
В.6. Векторы и матрицы 24
В.7. Связь между проекциями вектора на оси двух прямоугольных систем координат 29
В.8. Вектор-функция. Годограф вектора. Дифференцирование вектора по скалярному аргументу 32

Раздел 1. КИНЕМАТИКА

Глава I. Кинематика точки 39
1.1. Скорость точки 39
1.2. Ускорение точки 41
1.3. Векторный способ задания движения точки 44
1.4. Координатный способ задания движения точки 44
1.5. Естественный способ задания движения точки 61

Глава 2. Простейшие движения твердого тела 70
2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей 70
2.2. Поступательное движение твердого тела 73
2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 73

Глава 3. Плоское движение твердого тела 85
3.1. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное движения 85
3.2. Уравнения движения, угловая скорость и угловое ускорение твердого тела при плоском движении 87
3.3. Скорости точек тела при плоском движении 89
3.4. Мгновенный центр скоростей 90
3.5. Мгновенный центр вращения. Центроиды 94
3.6. Вычисление угловой скорости твердого тела при плоском движении
3.7. Ускорения точек тела при плоском движении 98
3.8. Мгновенный центр ускорений 102
3.9. Способы вычисления углового ускорения тела при плоском движении 106

Глава 4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки 110
4.1. Число степеней свободы. Углы Эйлера. Уравнения вращения 110
4.2. Матрица направляющих косинусов. Траектория точки тела 114
4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды 116
4.4. Мгновенные угловая скорость и угловое ускорение 119
4.5. Скорости точек тела. Кинематические уравнения Эйлера 122
4.6. Ускорения точек тела 128
4.7. углового ускорения тела 130

Глава 5. Общий случай движения твердого тела 134
5.1. Число степеней свободы. Обобщенные координаты. Уравнения движения 134
5.2. Траектория произвольной точки тела 139
5.3. Скорость произвольной точки тела 140
5.4. Ускорение произвольной точки тела 141

Глава 6. Сложное движение точки 143
6.1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки 143
6.2. Абсолютная и относительная производные вектора. Формула Бура 145
6.3. Теорема о сложении скоростей 148
6.4. Теорема о сложении ускорений, или кинематическая теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса 150
6.5. Сложение ускорений в частных случаях переносного движения 153

Глава 7. Сложное движение твердого тела 162
7.1. Теорема о сложении угловых скоростей при сложном движении твердого тела 162
7.2. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей 164
7.3. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Паравращений 165
7.4. Сложение поступательных движений 168
7.5. Сложение поступательного и вращательного движений 169

Раздел 2. СТАТИКА

Глава 8. Аксиомы и основные положения статики 173
8.1. Аксиомы статики 174
8.2. Основные виды связей и их реакции 177
83. Система сходящихся сил 181
8.4. Момент силы относительно точки и относительно оси 189
8.5. Сложение параллельных сил. Пара сил 196
8.6. Приведение системы сил к простейшей системе 204

Глава 9. Равновесие тел 214
9.1. Условия равновесия системы сил 214
9.2. Равновесие системы тел 222
9.3. Определение внутренних сил 225
9.4. Статически определимые и статически неопределимые системы тел 227
9.5. Расчет плоских ферм 228
9.6. Распределенные силы 229

Глава 10. Трение 236
10.1. Законы трения скольжения 236
10.2. Реакции шероховатой поверхности. Угол трения 237
10.3. Реакция связи при качении 238
10.4. Равновесие тела при наличии трения. Конус трения 239

Глава 11. Центр тяжести 248
11.1. Центр системы параллельных сил 248
11.2. Центр тяжести твердого тела 251
11.3. Методы определения координат центров тяжести тел 253

Глава 12. Равновесие гибкой и нерастяжимой нити 260
12.1. Дифференциальные уравнения равновесия нити 260
12.2. Частные случаи внешних сил 263
12.3. Цепная линия 265

Раздел 3. ДИНАМИКА

Глава 13. Динамика материальной точки 271
13.1. Аксиомы динамики 271
13.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки 273
13.3. Две основные задачи динамики материальной точки 275
13.4. Движение несвободной материальной точки 280
13.5. Динамика относительного движения 288
13.6. Равновесие и движение материальной точки относительно Земли 293

Глава 14. Геометрия масс 298
14.1. Центр масс механической системы 298
14.2. Моменты инерции 301
14.3. Зависимость моментов инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера) 304
14.4. Моменты инерции однородных тел 305
14.5. Моменты инерции однородных тел вращения 310
14.6. Момент инерции относительно оси, проходящей через заданную точку 315
14.7. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции 318
14.8. Свойства главных осей инерции тела 321
14.9. Определение направления главных осей инерции 326

Глава 13. Общие теоремы динамики 331
13.1. Механическая система. Внешние и внутренние силы 331
15.2. Дифференциальные уравнения движения механической системы 334
15.3. Теорема о движении центра масс механической системы 335
15.4. Теорема об изменении количества движения 342
15.5. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы 353
15.6. Теорема об изменении кинетической энергии 382
15.7. Потенциальное силовое поле 400
15.8. Примеры использования общих теорем динамики 412

Глава 16. Динамика твердого тела 424
16.1. Поступательное движение твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Плоское движение твердого тела 424
16.2. Сферическое движение твердого тела 436
16.3. Общий случай движения твердого тела 465

Глава 17. Принцип Даламбера. Динамические реакции связей 469
17.1. Принцип Даламбера. Сила инерции 469
17.2. Принцип Даламбера для механической системы 471
17.3. Главный вектор и главный момент сил инерции 473
17.4. Динамические реакции опор 475
17.5. Статическая и динамическая уравновешенность твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 482
17.6. Балансировка роторов 487

Глава 18. Основы аналитической механики 493
18.1. Основные понятия 493
18.2. Возможная работа силы. Идеальные связи 504
18.3. Обобщенные силы 507
18.4. Дифференциальные принципы аналитической механики 513
18.5. Уравнение Лагранжа второго рода 527
18.6. Интегральные вариационные принципы механики 536

Глава 19. Теория колебаний 555
19.1. Устойчивость положения равновесия механической системы 555
19.2. Дифференциальные уравнения малых колебаний линейной системы с одной степенью свободы 559
19.3. Свободные движения линейной системы с одной степенью свободы 568
19.4. Вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы 582
19.5. Основы теории регистрирующих приборов 607
19.6. Основы виброзащиты 612
19.7. Дифференциальные уравнения малых колебаний линейной системы с конечным числом степеней свободы 615
19.8. Свободные колебания линейной консервативной системы с двумя степенями свободы 625
19.9. Вынужденные колебания линейной системы с двумя степенями свободы при гармоническом возбуждении.
Динамический гаситель колебаний 637
19.10. Колебания линейных систем с конечным числом степеней свободы 645

Глава 20. Теория удара 653
20.1. Основные понятия и допущения. Модель удара 653
20.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс системы при ударе 658
20.3. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы при ударе 660
20.4. Коэффициент восстановления 662
20.5. Теорема об изменении кинетической энергии системы при ударе. Теорема Карно 664
20.6. Удар по тепу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Центр удара 672
20.7. Удар по твердому телу с неподвижной точкой. Центр удара. Удар по свободному твердому телу 677
20.8.0 связях при ударе. Общее уравнение механики 679
20.9 Уравнение Лагранжа второго рода при ударе в механической системе 682
20.10. Удар двух тел при поступательном движении. Энергетические соотношения 684
20.11. Удар материальной точки о неподвижную шероховатую поверхность 691
20.12. Удар двух шаров. Модель Герца 699

Глава 21. Введение в динамику тел переменной массы 705
21.1. Основные понятия и допущения 705
21.2. Обобщенное уравнение Мещерского, реактивные силы 707
21.3. Частные случаи уравнения Мещерского 709
21.4. Некоторые классические задачи динамики точки переменной массы 712

Глава 22. Основы небесной механики 717
22.1. Формулы Бине 717.
22.2. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера 720
22.3. Энергетическая классификация орбит 723
22.4. Движение точки по орбите 725
22.5. Задача двух тел 727
22.6.0 задаче п тел и о других задачах небесной механики 729

Скачать книгу бесплатно 7,17 мб. djvu

Примеры решения задач по теоретической механике

Статика

Условия задач

Кинематика

Кинематика материальной точки

Условие задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения .
По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени t = 1 с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Уравнения движения точки:
x = 12 sin(πt/6) , см;
y = 6 cos 2 (πt/6) , см.

Кинематический анализ плоского механизма

Условие задачи

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна E. Стержни между собой, с ползунами и неподвижными опорами соединены с помощью цилиндрических шарниров. Точка D расположена в середине стержня AB. Длины стержней равны, соответственно
l 1 = 0,4 м; l 2 = 1,2 м; l 3 = 1,6 м; l 4 = 0,6 м.

Взаимное расположение элементов механизма в конкретном варианте задачи определяется углами α, β, γ, φ, ϑ. Стержень 1 (стержень O 1 A) вращается вокруг неподвижной точки O 1 против хода часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω 1 .

Для заданного положения механизма необходимо определить:

линейные скорости V A , V B , V D и V E точек A, B, D, E;
угловые скорости ω 2 , ω 3 и ω 4 звеньев 2, 3 и 4;
линейное ускорение a B точки B;
угловое ускорение ε AB звена AB;
положения мгновенных центров скоростей C 2 и C 3 звеньев 2 и 3 механизма.

Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Условие задачи

В приведенной ниже схеме рассматривается движение точки M в желобе вращающегося тела. По заданным уравнениям переносного движения φ = φ(t) и относительного движения OM = OM(t) определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в заданный момент времени.

Скачать решение задачи >>>

Динамика

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

Условие задачи

Груз D массой m, получив в точке A начальную скорость V 0 , движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости. На участке AB, длина которого l, на груз действует постоянная сила T(ее направление показано на рисунке) и сила R сопротивления среды (модуль этой силы R = μV 2 , вектор R направлен противоположно скорости V груза).

Груз, закончив движение на участке AB, в точке B трубы, не изменяя значения модуля своей скорости, переходит на участок BC. На участке BC на груз действует переменная сила F, проекция F x которой на ось x задана.

Считая груз материальной точкой, найти закон его движения на участке BC, т.е. x = f(t), где x = BD. Трением груза о трубу пренебречь.

Скачать решение задачи >>>

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Условие задачи

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, цилиндрического катка 3, двухступенчатых шкивов 4 и 5. Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Каток (сплошной однородный цилиндр) катится по опорной плоскости без скольжения. Радиусы ступеней шкивов 4 и 5 равны соответственно R 4 = 0,3 м, r 4 = 0,1 м, R 5 = 0,2 м, r 5 = 0,1 м. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Опорные плоскости грузов 1 и 2 шероховатые, коэффициент трения скольжения для каждого груза f = 0.1.

Под действием силы F, модуль которой изменяется по закону F = F(s), где s - перемещение точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкив 5 действуют силы сопротивления, момент которых относительно оси вращения постоянный и равен M 5 .

Определить значение угловой скорости шкива 4 в тот момент времени, когда перемещение s точки приложения силы F станет равным s 1 = 1,2 м.

Скачать решение задачи >>>

Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы

Условие задачи

Для механической системы определить линейное ускорение a 1 . Считать, что у блоков и катков массы распределены по наружному радиусу. Тросы и ремни считать невесомыми и нерастяжимыми; проскальзывание отсутствует. Трением качения и трением скольжения пренебречь.

Скачать решение задачи >>>

Применение принципа Даламбера к определению реакций опор вращающегося тела

Условие задачи

Вертикальный вал AK, вращающийся равномерно с угловой скоростью ω = 10 с -1 , закреплен подпятником в точке A и цилиндрическим подшипником в точке D.

К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l 1 = 0,3 м, на свободном конце которого расположен груз массой m 1 = 4 кг, и однородный стержень 2 длиной l 2 = 0,6 м, имеющий массу m 2 = 8 кг. Оба стержня лежат в одной вертикальной плоскости. Точки прикрепления стержней к валу, а также углы α и β указаны в таблице. Размеры AB=BD=DE=EK=b, где b = 0,4 м. Груз принять за материальную точку.

Пренебрегая массой вала, определить реакции подпятника и подшипника.

В рамках любого учебного курса изучение физики начинается с механики. Не с теоретической, не с прикладной и не вычислительной, а со старой доброй классической механики. Эту механику еще называют механикой Ньютона. По легенде, ученый гулял по саду, увидел, как падает яблоко, и именно это явление подтолкнуло его к открытию закона всемирного тяготения. Конечно, закон существовал всегда, а Ньютон лишь придал ему понятную для людей форму, но его заслуга – бесценна. В данной статье мы не будем расписывать законы Ньютоновской механики максимально подробно, но изложим основы, базовые знания, определения и формулы, которые всегда могут сыграть Вам на руку.

Механика – раздел физики, наука, изучающая движение материальных тел и взаимодействия между ними.

Само слово имеет греческое происхождение и переводится как «искусство построения машин» . Но до построения машин нам еще как до Луны, поэтому пойдем по стопам наших предков, и будем изучать движение камней, брошенных под углом к горизонту, и яблок, падающих на головы с высоты h.

Почему изучение физики начинается именно с механики? Потому что это совершенно естественно, не с термодинамического же равновесия его начинать?!

Механика – одна из старейших наук, и исторически изучение физики началось именно с основ механики. Помещенные в рамки времени и пространства, люди, по сути, никак не могли начать с чего-то другого, при всем желании. Движущиеся тела – первое, на что мы обращаем свое внимание.

Что такое движение?

Механическое движение – это изменение положения тел в пространстве относительно друг друга с течением времени.

Именно после этого определения мы совершенно естественно приходим к понятию системы отсчета. Изменение положения тел в пространстве относительно друг друга. Ключевые слова здесь: относительно друг друга . Ведь пассажир в машине движется относительно стоящего на обочине человека с определенной скоростью, и покоится относительно своего соседа на сиденье рядом, и движется с какой-то другой скоростью относительно пассажира в машине, которая их обгоняет.

Именно поэтому, для того, чтобы нормально измерять параметры движущихся объектов и не запутаться, нам нужна система отсчета - жестко связанные между собой тело отсчета, система координат и часов. Например, земля движется вокруг солнца в гелиоцентрической системе отсчета. В быту практически все свои измерения мы проводим в геоцентрической системе отсчета, связанной с Землей. Земля – тело отсчета, относительно которого движутся машины, самолеты, люди, животные.

Механика, как наука, имеет свою задачу. Задача механики – в любой момент времени знать положение тела в пространстве. Иными словами, механика строит математическое описание движения и находит связи между физическими величинами, его характеризующими.

Для того, чтобы двигаться далее, нам понадобится понятие “материальная точка ”. Говорят, физика – точная наука, но физикам известно, сколько приближений и допущений приходится делать, чтобы согласовать эту самую точность. Никто никогда не видел материальной точки и не нюхал идеального газа, но они есть! С ними просто гораздо легче жить.

Материальная точка – тело, размерами и формой которого в контексте данной задачи можно пренебречь.

Разделы классической механики

Механика состоит из нескольких разделов

Кинематика
Динамика
Статика

Кинематика с физической точки зрения изучает, как именно тело движется. Другими словами, этот раздел занимается количественными характеристиками движения. Найти скорость, путь – типичные задачи кинематики

Динамика решает вопрос, почему оно движется именно так. То есть, рассматривает силы, действующие на тело.

Статика изучает равновесие тел под действием сил, то есть отвечает на вопрос: а почему оно вообще не падает?

Границы применимости классической механики.

Классическая механика уже не претендует на статус науки, объясняющей все (в начале прошлого века все было совершенно иначе), и имеет четкие рамки применимости. Вообще, законы классической механики справедливы привычном нам по размеру мире (макромир). Они перестают работать в случае мира частиц, когда на смену классической приходит квантовая механика. Также классическая механика неприменима к случаям, когда движение тел происходит со скоростью, близкой к скорости света. В таких случаях ярко выраженными становятся релятивистские эффекты. Грубо говоря, в рамках квантовой и релятивистской механики – классическая механика, это частный случай, когда размеры тела велики, а скорость – мала. Подробнее об вы можете узнать из нашей статьи.

Вообще говоря, квантовые и релятивистские эффекты никогда никуда не деваются, они имеют место быть и при обычном движении макроскопических тел со скоростью, много меньшей скорости света. Другое дело, что действие этих эффектов так мало, что не выходит за рамки самых точных измерений. Классическая механика, таким образом, никогда не потеряет своей фундаментальной важности.

Мы продолжим изучение физических основ механики в следующих статьях. Для лучшего понимания механики Вы всегда можете обратиться к , которые в индивидуальном порядке прольют свет на темное пятно самой сложной задачи.

1. Основные понятия теоретической механики.

2. Cтруктура курса теоретической механики.

1. Механика (в широком смысле) - это наука о движении материальных тел в пространстве и времени. Она объединяет ряд дисциплин, объектами исследования которых являются твердые, жидкие и газообразные тела. Теоретическая механика , Теория упругости , Сопротивление материалов, Гидромеханика , Газовая динамика и Аэродинамика - вот далеко не полный перечень различных разделов механики.

Как видно из их названий, они отличаются друг от друга прежде всего объектами исследования. Изучением движения самых простых из них - твердых тел - занимается теоретическая механика. Простота изучаемых в теоретической механике объектов позволяет выявить наиболее общие законы движения, справедливые для всех материальных тел независимо от их конкретных физических свойств. Поэтому теоретическую механику можно рассматривать как основу общей механики.

2. Курс теоретической механики состоит из трех разделов : статики , кинематики и динамики .

В статике рассматривается общее учение о силах и выводятся условия равновесия для твердых тел.

В кинематике излагаются математические способы задания движения тел и выводятся формулы, определяющие основные характеристики этого движения (скорость, ускорение и т.п.).

В динамике по заданному движению определяют силы, вызывающие это движение и, наоборот, по заданным силам определяют как движется тело.

Материальной точкой называют геометрическую точку, обладающая массой.

Cистемой материальных точек называется такая их совокупность, в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных точек данной системы. Часто систему материальных точек называют механической системой . Частным случаем механической системы является абсолютно твердое тело.

Абсолютно твердым называется тело, у которого расстояние между любыми двумя точками всегда остается неизменным (т.е. это абсолютно прочное и недеформируемое тело).

Свободным называют твердое тело, движение которого не ограничено другими телами.

Несвободным называют тело, движение которого, так или иначе, ограничено другими телами. Последние в механике называются связями .

Силой называют меру механического действия одного тела на другое. Поскольку взаимодействие тел определяется не только своей интенсивностью, но и направлением - сила является величиной векторной и на чертежах изображается направленным отрезком (вектором). За единицу силы в системе СИ принят ньютон (Н) . Обозначают силы заглавными буквами латинского алфавита (А, Ы, З, Й...). Численные значения (или модули векторных величин) будем обозначать теми же буквами, но без верхних стрелок (F, S, P, Q ...).

Линией действия силы называется прямая, вдоль которой направлен вектор силы.

Системой сил называется любая конечная совокупность сил, действующих на механическую систему. Принято делить системы сил на плоские (все силы действуют в одной плоскости) и пространственные . Каждая из них, в свою очередь, может быть или произвольной или параллельной (линии действия всех сил параллельны) или системой сходящихся сил (линии действия всех сил пересекаются в одной точке).

Две системы сил называются эквивалентными , если их действия на механическую систему одинаково (т.е. замена одной системы сил на другую не изменяет характера движения механической системы).

Если некоторая система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Отметим, что далеко не всякая система сил имеет равнодействующую. Сила, равная равнодействующей по величине, противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.

Система сил, под действием которой свободное твердое тело находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, называется уравновешенной или эквивалентной нулю.

Внутренними силами называют силы взаимодействия между материальными точками одной механической системы.

Внешние силы - это силы взаимодействия точек данной механической системы с материальными точками другой системы.

Сила, приложенная к телу в какой-либо одной его точке, называется сосредоточенной .

Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными (по объему и по поверхности соответственно).

Приведенный выше перечень основных понятий не является исчерпывающим. Остальные, не менее важные понятия будут вводиться и уточняться в процессе изложения материала курса.