Вероятность обозначается буквой. Классическая формула вычисления вероятности. Как рассчитать вероятность события по десятичным коэффициентам

Многие, столкнувшись с понятием «теория вероятности», пугаются, думая, что это нечто непосильное, очень сложное. Но все на самом деле не так трагично. Сегодня мы рассмотрим основное понятие научимся решать задачи на конкретных примерах.

Наука

Что же изучает такой раздел математики, как «теория вероятности»? Она отмечает закономерности и величин. Впервые данным вопросом заинтересовались ученые еще в восемнадцатом веке, когда изучали азартные игры. Основное понятие теории вероятности - событие. Это любой факт, который констатируется опытом или наблюдением. Но что же такое опыт? Еще одно основное понятие теории вероятности. Оно означает, что этот состав обстоятельств создан не случайно, а с определенной целью. Что касается наблюдения, то здесь исследователь сам не участвует в опыте, а просто является свидетелем данных событий, он никак не влияет на происходящее.

События

Мы узнали, что основное понятие теории вероятности - это событие, но не рассмотрели классификацию. Все они делятся на следующие категории:

Достоверные.
Невозможные.
Случайные.

Независимо от того, какие это события, за которыми наблюдают или создают в ходе опыта, все они подвержены данной классификации. Предлагаем с каждым из видов познакомиться отдельно.

Достоверное событие

Это такое обстоятельство, перед которым сделан необходимый комплекс мероприятий. Для того чтобы лучше вникнуть в суть, лучше привести несколько примеров. Этому закону подчинены и физика, и химия, и экономика, и высшая математика. Теория вероятности включает такое важное понятие, как достоверное событие. Приведем примеры:

Мы работаем и получаем вознаграждение в виде заработной платы.
Сдали хорошо экзамены, прошли конкурс, за это получаем вознаграждение в виде поступления в учебное заведение.
Мы вложили деньги в банк, при необходимости получим их назад.

Такие события являются достоверными. Если мы выполнили все необходимые условия, то обязательно получим ожидаемый результат.

Невозможные события

Сейчас мы рассматриваем элементы теории вероятности. Предлагаем перейти к пояснению следующего вида события, а именно - невозможного. Для начала оговорим самое важное правило - вероятность невозможного события равна нулю.

От данной формулировки нельзя отступать при решении задач. Для пояснения приведем примеры таких событий:

Вода замерзла при температуре плюс десять (это невозможно).
Отсутствие электроэнергии никак не влияет на производство (так же невозможно, как и в предыдущем примере).

Более примеров приводить не стоит, так как описанные выше очень ярко отражают суть данной категории. Невозможное событие никогда не произойдет во время опыта ни при каких обстоятельствах.

Случайные события

Изучая элементы теории вероятности, особое внимание стоит уделить именно данному виду события. Именно их и изучает данная наука. В результате опыта может что-то произойти или нет. Кроме этого, испытание может проводиться неограниченное количество раз. Яркими примерами могут служить:

Бросок монеты - это опыт, или испытание, выпадение орла - это событие.
Вытягивание мячика из мешка вслепую - испытание, попался красный шар - это событие и так далее.

Таких примеров может быть неограниченное количество, но, в общем, суть должна быть понятна. Для обобщения и систематизирования полученных знаний о событиях приведена таблица. Теория вероятности изучает только последний вид из всех представленных.

название	определение
Достоверные	События, происходящие со стопроцентной гарантией при соблюдении некоторых условий.	Поступление в учебное заведение при хорошей сдаче вступительного экзамена.
Невозможные	События, которые никогда не произойдут ни при каких условиях.	Идет снег при температуре воздуха плюс тридцать градусов по Цельсию.
Случайные	Событие, которое может произойти или нет в ходе проведения опыта/испытания.	Попадание или промах при бросании баскетбольного мяча в кольцо.

Законы

Теория вероятности - это наука, изучающая возможность выпадения какого-либо события. Как и другие, она имеет некоторые правила. Существуют следующие законы теории вероятности:

Сходимость последовательностей случайных величин.
Закон больших чисел.

При расчете возможности сложного можно использовать комплекс простых событий для достижения результата более легким и быстрым путем. Отметим, что законы теории вероятности легко доказываются с помощью некоторых теорем. Предлагаем для начала познакомиться с первым законом.

Сходимость последовательностей случайных величин

Отметим, что видов сходимости несколько:

Последовательность случайных величин сходима по вероятности.
Почти невозможное.
Среднеквадратическая сходимость.
Сходимость по распределению.

Так, с лету, очень тяжело вникнуть в суть. Приведем определения, которые помогут разобраться в данной теме. Для начала первый вид. Последовательность называют сходимой по вероятности , если соблюдено следующее условие: n стремится к бесконечности, число, к которому стремится последовательность, больше нуля и приближена к единице.

Переходим к следующему виду, почти наверное . Говорят, что последовательность сходится почти наверное к случайной величине при n, стремящейся к бесконечности, и Р, стремящейся к величине, приближенной к единице.

Следующий тип - это сходимость среднеквадратическая . При использовании СК-сходимости изучение векторных случайных процессов сводится к изучению их координатных случайных процессов.

Остался последний тип, давайте разберем кратко и его, чтобы переходить непосредственно к решению задач. Сходимость по распределению имеет и еще одно название - «слабое», далее поясним, почему. Слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Обязательно выполним обещание: слабая сходимость отличается от всех вышеперечисленных тем, что случайная величина не определена на вероятностном пространстве. Это возможно потому, что условие формируется исключительно с использованием функций распределения.

Закон больших чисел

Отличными помощниками при доказательстве данного закона станут теоремы теории вероятности, такие как:

Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Обобщенная теорема Чебышева.
Теорема Маркова.

Если будем рассматривать все эти теоремы, то данный вопрос может затянуться на несколько десятков листов. У нас же основная задача - это применение теории вероятности на практике. Предлагаем вам прямо сейчас этим и заняться. Но перед этим рассмотрим аксиомы теории вероятностей, они будут основными помощниками при решении задач.

Аксиомы

С первой мы уже познакомились, когда говорили о невозможном событии. Давайте вспоминать: вероятность невозможного события равна нулю. Пример мы приводили очень яркий и запоминающийся: выпал снег при температуре воздуха тридцать градусов по Цельсию.

Вторая звучит следующим образом: достоверное событие происходит с вероятностью, равной единице. Теперь покажем, как это записать с помощью математического языка: Р(В)=1.

Третья: Случайное событие может произойти или нет, но возможность всегда варьируется в пределах от нуля до единицы. Чем ближе значение к единице, тем шансов больше; если значение приближается к нулю, вероятность очень мала. Запишем это математическим языком: 0<Р(С)<1.

Рассмотрим последнюю, четвертую аксиому, которая звучит так: вероятность суммы двух событий равняется сумме их вероятностей. Записываем математическим языком: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Аксиомы теории вероятностей - это простейшие правила, которые не составит труда запомнить. Попробуем решить некоторые задачи, опираясь на уже полученные знания.

Лотерейный билет

Для начала рассмотрим простейший пример - лотерея. Представьте, что вы купили один лотерейный билет на удачу. Какова вероятность, что вы выиграете не менее двадцати рублей? Всего в тираже участвует тысяча билетов, один из которых имеет приз в пятьсот рублей, десять по сто рублей, пятьдесят по двадцать рублей, а сто - по пять. Задачи по теории вероятности основаны на том, чтобы найти возможность удачи. Сейчас вместе разберем решение выше представленного задания.

Если мы буквой А обозначим выигрыш в пятьсот рублей, то вероятность выпадения А будет равняться 0,001. Как мы это получили? Просто необходимо количество "счастливых" билетов разделить на общее их число (в данном случае: 1/1000).

В - это выигрыш в сто рублей, вероятность будет равняться 0,01. Сейчас мы действовали по тому же принципу, что и в прошлом действии (10/1000)

С - выигрыш равен двадцати рублям. Находим вероятность, она равняется 0,05.

Остальные билеты нас не интересуют, так как их призовой фонд меньше заданного в условии. Применим четвертую аксиому: Вероятность выиграть не менее двадцати рублей составляет Р(А)+Р(В)+Р(С). Буквой Р обозначается вероятность происхождения данного события, мы в предыдущих действиях уже их нашли. Осталось только сложить необходимые данные, в ответе мы получаем 0,061. Это число и будет являться ответом на вопрос задания.

Карточная колода

Задачи по теории вероятности бывают и более сложными, для примера возьмем следующее задание. Перед вами колода из тридцати шести карт. Ваша задача - вытянуть две карты подряд, не перемешивая стопку, первая и вторая карты должны быть тузами, масть значения не имеет.

Для начала найдем вероятность того, что первая карта будет тузом, для этого четыре делим на тридцать шесть. Отложили его в сторону. Достаем вторую карту, это будет туз с вероятностью три тридцать пятых. Вероятность второго события зависит от того, какую карту мы вытянули первой, нам интересно, был это туз или нет. Из этого следует, что событие В зависит от события А.

Следующим действием находим вероятность одновременного осуществления, то есть перемножаем А и В. Их произведение находится следующим образом: вероятность одного события умножаем на условную вероятность другого, которую мы вычисляем, предполагая, что первое событие произошло, то есть первой картой мы вытянули туз.

Для того чтобы стало все понятно, дадим обозначение такому элементу, как события. Вычисляется она, предполагая, что событие А произошло. Рассчитывается следующим образом: Р(В/А).

Продолжим решение нашей задачи: Р(А * В)=Р(А) * Р(В/А) или Р(А * В)=Р(В) * Р(А/В). Вероятность равняется (4/36) * ((3/35)/(4/36). Вычисляем, округляя до сотых. Мы имеем: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0,82=0,09. Вероятность того, что мы вытянем два туза подряд, равна девяти сотым. Значение очень мало, из этого следует, что и вероятность происхождения события крайне мала.

Забытый номер

Предлагаем разобрать еще несколько вариантов заданий, которые изучает теория вероятности. Примеры решения некоторых из них вы уже видели в данной статье, попробуем решить следующую задачу: мальчик забыл последнюю цифру номера телефона своего друга, но так как звонок был очень важен, то начал набирать все по очереди. Нам необходимо вычислить вероятность того, что он позвонит не более трех раз. Решение задачи простейшее, если известны правила, законы и аксиомы теории вероятности.

Перед тем как смотреть решение, попробуйте решить самостоятельно. Нам известно, что последняя цифра может быть от нуля до девяти, то есть всего десять значений. Вероятность набрать нужную составляет 1/10.

Далее нам нужно рассматривать варианты происхождения события, предположим, что мальчик угадал и сразу набрал нужную, вероятность такого события равняется 1/10. Второй вариант: первый звонок промах, а второй в цель. Рассчитаем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 1/9, в итоге получаем также 1/10. Третий вариант: первый и второй звонок оказались не по адресу, только с третьего мальчик попал туда, куда хотел. Вычисляем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 8/9 и на 1/8, получаем в итоге 1/10. Другие варианты по условию задачи нас не интересуют, по этому нам осталось сложить полученные результаты, в итоге мы имеем 3/10. Ответ: вероятность того, что мальчик позвонит не более трех раз, равняется 0,3.

Карточки с числами

Перед вами девять карточек, на каждой из которых написано число от одного до девяти, цифры не повторяются. Их положили в коробку и тщательно перемешали. Вам необходимо рассчитать вероятность того, что

выпадет четное число;
двухзначное.

Перед тем как переходить к решению, оговорим, что m - это число удачных случаев, а n - это общее количество вариантов. Найдем вероятность того, что число будет четным. Не составит труда посчитать, что четных чисел четыре, это и будет наша m, всего возможно девять вариантов, то есть m=9. Тогда вероятность равняется 0,44 или 4/9.

Рассматриваем второй случай: количество вариантов девять, а удачных исходов быть вообще не может, то есть m равняется нулю. Вероятность того, что вытянутая карточка будет содержать двухзначное число, так же равняется нулю.

Профессиональный беттер должен хорошо ориентироваться в коэффициентах, быстро и правильно оценивать вероятность события по коэффициенту и при необходимости уметь перевести коэффициенты из одного формата в другой . В данном мануале мы расскажем о том, какие бывают виды коэффициентов, а так же на примерах разберём, как можно высчитывать вероятность по известному коэффициенту и наоборот.

Какие бывают типы коэффициентов?

Существует три основных вида коэффициентов, которые предлагают игрокам букмекеры: десятичные коэффициенты , дробные коэффициенты (английские) и американские коэффициенты . Наиболее распространённые коэффициенты в Европе - десятичные. В Северной Америке популярны американские коэффициенты. Дробные коэффициенты - наиболее традиционный вид, они сразу же отражают информацию о том сколько нужно поставить, чтобы получить определённую сумму.

Десятичные коэффициенты

Десятичные или еще их называют европейские коэффициенты - это привычный формат числа, представленный десятичной дробью с точностью до сотых, а иногда даже до тысячных. Пример десятичного коэффициента - 1.91. Рассчитать прибыль в случае с десятичными коэффициентами очень просто, достаточно лишь умножить сумму вашей ставки на этот коэффициент. Например, в матче "Манчестер Юнайтед" - "Арсенал" победа "МЮ" выставлена с коэффициентом - 2.05, ничья оценена коэффициентом - 3.9, а победа "Арсенала" равняется - 2.95. Предположим, что мы уверены в победе "Юнайтед" и ставим на них 1000 долларов. Тогда наш возможный доход рассчитывается следующим образом:

2.05 * $1000 = $2050;

Правда ведь ничего сложного?! Точно так же рассчитывается возможный доход при ставке на ничью и победу "Арсенала".

Ничья: 3.9 * $1000 = $3900;
Победа "Арсенала": 2.95 * $1000 = $2950;

Как рассчитать вероятность события по десятичным коэффициентам?

Представим теперь что нам нужно определить вероятность события по десятичным коэффициентам, которые выставил букмекер. Делается это так же очень просто. Для этого мы единицу делим на этот коэффициент.

Возьмем уже имеющиеся данные и посчитаем вероятность каждого события:

Победа "Манчестер Юнайтед": 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Ничья: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Победа "Арсенала": 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Дробные коэффициенты (Английские)

Как понятно из названия дробный коэффициент представлен обыкновенной дробью. Пример английского коэффициента - 5/2. В числителе дроби находиться число, являющееся потенциальной суммой чистого выигрыша, а в знаменателе расположено число обозначающее сумму которую нужно поставить, чтобы этот выигрыш получить. Проще говоря, мы должны поставить $2 доллара, чтобы выиграть $5. Коэффициент 3/2 означает что для того чтобы получить $3 чистого выигрыша нам придётся сделать ставку в размере $2.

Как рассчитать вероятность события по дробным коэффициентам?

Вероятность события по дробным коэффициентам рассчитать так же не сложно, нужно всего на всего разделить знаменатель на сумму числителя и знаменателя.

Для дроби 5/2 рассчитаем вероятность: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Для дроби 3/2 рассчитаем вероятность:

Американские коэффициенты

Американские коэффициенты в Европе непопулярны, зато в Северной Америке очень даже. Пожалуй, данный вид коэффициентов самый сложный, но это только на первый взгляд. На самом деле и в этом типе коэффициентов ничего сложного нет. Сейчас во всем разберёмся по порядку.

Главной особенностью американских коэффициентов является то, что они могут быть как положительными , так и отрицательными . Пример американских коэффициентов - (+150), (-120). Американский коэффициент (+150) означает, что для того чтобы заработать $150 нам нужно поставить $100. Иными словами положительный американский коэффициент отражает потенциальный чистый заработок при ставке в $100. Отрицательный же американский коэффициент отражает сумму ставки, которую необходимо сделать для того чтобы получить чистый выигрыш в $100. Например коэффициент (- 120) нам говорит о том, что поставив $120 мы выиграем $100.

Как рассчитать вероятность события по американским коэффициентам?

Вероятность события по американскому коэффициенту считается по следующим формулам:

(-(M)) / ((-(M)) + 100) , где M - отрицательный американский коэффициент;
100 / (P + 100) , где P - положительный американский коэффициент;

Например, мы имеем коэффициент (-120), тогда вероятность рассчитывается так:

(-(M)) / ((-(M)) + 100); подставляем вместо "M" значение (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Таким образом, вероятность события с американским коэффициентом (-120) равна 54,5%.

Например, мы имеем коэффициент (+150), тогда вероятность рассчитывается так:

100 / (P + 100); подставляем вместо "P" значение (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Таким образом, вероятность события с американским коэффициентом (+150) равна 40%.

Как зная процент вероятности перевести его в десятичный коэффициент?

Для того чтобы рассчитать десятичный коэффициент по известному проценту вероятности нужно 100 разделить на вероятность события в процентах. Например, вероятность события составляет 55%, тогда десятичный коэффициент этой вероятности будет равен 1,81.

100 / 55% = 1,81

Как зная процент вероятности перевести его в дробный коэффициент?

Для того чтобы рассчитать дробный коэффициент по известному проценту вероятности нужно от деления 100 на вероятность события в процентах отнять единицу. Например, имеем процент вероятности 40%, тогда дробный коэффициент этой вероятности будет равен 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Дробный коэффициент равен 1,5/1 или 3/2.

Как зная процент вероятности перевести его в американский коэффициент?

Если вероятность события больше 50%, то расчёт производится по формуле:

- ((V) / (100 - V)) * 100, где V - вероятность;

Например, имеем вероятность события 80%, тогда американский коэффициент этой вероятности будет равен (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

В случае если вероятность события меньше 50%, то расчёт производиться по формуле:

((100 - V) / V) * 100 , где V - вероятность;

Например, имеем процент вероятности события 20%, тогда американский коэффициент этой вероятности будет равен (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Как перевести коэффициент в другой формат?

Бывают случаи, когда необходимо перевести коэффициенты из одного формата в другой. Например, у нас есть дробный коэффициент 3/2 и нам нужно перевести его в десятичный. Для перевода дробного коэффициента в десятичный мы сначала определяем вероятность события с дробным коэффициентом, а затем эту вероятность переводим в десятичный коэффициент.

Вероятность события с дробным коэффициентом 3/2 равна 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Теперь переведём вероятность события в десятичный коэффициент, для этого 100 делим на вероятность события в процентах:

100 / 40% = 2.5;

Таким образом, дробный коэффициент 3/2 равен десятичному коэффициенту 2.5. Аналогичным образом переводятся, например, американские коэффициенты в дробные, десятичные в американские и т.д. Самое сложное во всём этом лишь расчёты.

Наш ответ

Выбор правильной ставки зависит не только от интуиции, спортивных знаний, букмекерских коэффициентов, но и от коэффициента вероятности события. Возможность рассчитать подобный показатель в беттинге является залогом успеха в прогнозировании предстоящего события, на который предполагается осуществление ставки.
В букмекерских конторах существует три вида коэффициентов (подробней в статье ), от разновидности которых зависит, как рассчитать вероятность события игроку.

Десятичные коэффициенты

Расчет вероятности события в таком случае происходит по формуле: 1/коэф.соб. = в.и, где коэф.соб. – коэффициент события, а в.и – вероятность исхода. Например, берем коэффициент события 1,80 при ставке в один доллар, совершая математическое действие по формуле, игрок получает, что вероятность исхода события по версии букмекера 0,55 процента.

Дробные коэффициенты

При использовании дробных коэффициентов формула расчета вероятности будет другая. Так при коэффициенте 7/2, где первая цифра означает возможный размер чистой прибыли, а вторая размер необходимой ставки, для получения этой прибыли, уравнение будет выглядеть следующим образом: зн.коэф/ на сумму зн.коэф и чс.коэф = в.и. Здесь зн.коэф – знаменатель коэффициента, чс.коэф – числитель коэффициента, в.и – вероятность исхода. Таким образом, для дробного коэффициента 7/2 уравнение выглядит как 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0.22, следовательно, 0,22 процента вероятность исхода события по версии букмекерской конторы.

Американские коэффициенты

Американские коэффициенты мало популярны у игроков и, как правило, используются исключительно в США, обладая сложной и запутанной структурой. Для ответа на вопрос: «Как посчитать вероятность события таким способом?», нужно знать, что подобные коэффициенты могут быть отрицательными и положительными.

Коэффициент со знаком «-», например -150, показывает, что игроку для получения чистой прибыли в 100 долларов необходимо совершить ставку в 150 долларов. Вероятность события рассчитывается исходя из формулы, где нужно разделить отрицательный коэффициент на сумму отрицательного коэффициента и 100. Выглядит это на примере ставки -150, так (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0.6, где 0,6 умножается на 100 и исход вероятности события составляет 60 процентов. Эта же формула подходит и для положительных американских коэффициентов.

Вероятность события. В жизненной практике к случайным- событиям или явлениям применяют термины: невозможно, маловероятно, равновероятно, достоверно и другие, которые показывают, насколько мы уверены в появлении дащюго события. Когда мы говорим, что случайное событие маловероятно, то под этим подразумеваем, что при многократном повторении одних и тех же условий это событие происходит гораздо реже, чем не происходит. Наоборот, весьма вероятное событие происходит чаще, чем не происходит. Если при определенных условиях два разных случайных события происходят одинаково часто, то их считают равновероятными. Если мы уверены в том, что при каких-либо условиях данное событие обязательно произойдет, то мы говорим, что оно достоверно. Если, наоборот, уверены что событие не произойдет при определенных условиях, то мы говорим, что это событие невозможно.

Однако, определяя таким образом возможность появления случайного события, мы не можем ввести строгие статистические закономерности, так как это часто связано с нашей субъективной оценкой данного события, ограниченной недостаточностью наших знаний.

Для введения строгих статистических закономерностей требуется и строгое математическое определение вероятности как степени объективной возможности случайного события.

Для того чтобы дать математическое определение вероятности, необходимо рассмотреть какой-нибудь простой пример появления массовых событий. В качестве простейших примеров таких событий обычно рассматривается выпадение той или другой стороны монеты при бросании ее или какой-нибудь цифры при бросании игральной кости. Под отдельным событием здесь рассматривается выпадение той или иной грани (цифры).

Из практики известно, что нельзя заранее точно указать, какая цифра (сколько очков) выпадет при одном бросании игральной кости (единичное событие). Поэтому выпадение определенного числа очков будет событием случайным.

Однако, если рассмотреть целую серию подобных событий - многократное бросание игральной кости, то каждая грань будет выпадать большое число раз и случайные события уже будут массовыми. К ним применимы определенные закономерности.

Из практики известно, что при бросании игральной кости выпадение одной и той же цифры, например, два раза подряд будет возможным, три раза подряд - уже маловероятным, четыре раза подряд - еще менее вероятным, а например, десять раз подряд - практически невозможным.

Далее, если произвести всего шесть бросаний игральной кости, то некоторые цифры могут выпасть по два раза, а некоторые - ни одного. Здесь трудно подметить какую-нибудь закономерность в выпадении определенной цифры. Однако, если число бросаний увеличить до 60, то окажется, что каждая цифра выпадет примерно около десяти раз. В этом и проявляется некоторая закономерность. Однако из-за случайностей при бросании кости (ее начальное положение, скорость, траектория полета) число выпадения различных цифр в разных сериях опытов будет различным. Это связано с недостаточным числом самих опытов.

Если увеличить число бросаний до шести тысяч, то окажется, что примерно одна шестая всех бросаний будет приводить к появлению каждой цифры. И чем больше будет число бросаний тем число выпадений данной цифры будет ближе к

Отношение числа выпадений той или иной цифры при многократном бросании игральной кости к полному числу бросаний называется частотой повторения данного события в серии однородных испытаний. С увеличением полного числа испытаний частота повторения будет стремиться к некоторому постоянному пределу, определяемому данной серией опытов.

Этот предел и называется вероятностью данного события. Однако стремление к пределу частоты повторения будет наблюдаться только при неограниченном увеличении числа испытаний.

В общем случае, если какое-то событие происходит гц раз из полного числа испытаний то математически вероятность определяется как предел отношения числа благоприятных событий к полному числу событий (некоторой однородной группы испытаний) при условии, что число испытаний в этой группе стремится к бесконечности. Другими словами, вероятность события в нашем случае запишется так:

В физике случайная величина часто изменяется с течением времени. Тогда, например, вероятность некоторого состояния системы можно определить по формуле

где - время пребывания системы в данном состоянии, полное время наблюдения.

Отсюда следует, что для опытного определения вероятности какого-то события необходимо произвести если не бесконечное, то очень большое число испытаний найти число благоприятных событий и по их отношению уже найти вероятность данного события.

Во многих практических случаях именно так и поступают для определения вероятности. При этом вероятность

будет определена тем точнее, чем большее число испытаний будет произведено, или чем больше будет промежуток времени, в течение которого рассматриваются события.

Однако во многих случаях о вероятности того или иного события (особенно физического) можно узнать и не производя испытаний вообще. Это так называемая априорная вероятность. Она может быть проверена, конечно, экспериментально.

Для ее нахождения в случае бросания игральной кости будем рассуждать следующим образом. Поскольку игральная кость однородная и бросается различным образом, то выпадение каждой из шести граней будет равновероятным (никакая грань не будет иметь преимущества перед другими). Следовательно, поскольку граней всего шесть, можно сказать, что вероятность выпадения одной из них равна . В этом случае для определения вероятности можно совсем не производить испытаний, а найти вероятность на основании общих соображений.

Функция распределения. В приведенных примерах случайная величина могла принимать только несколько (вполне определенное число) различных значений. Мы называли событиями случаи, когда случайная величина принимала одно из таких значений, и приписывали этим событиям определенную вероятность.

Но наряду с такими величинами (бросание кости, монеты и др.) существуют случайные величины, которые могут принимать бесчисленное множество различных бесконечно близких значений (непрерывный спектр). При этом характерна следующая особенность: вероятность отдельного события, заключающегося в том, что случайная величина принимает какое-то стрлго определенное значение, равна нулю. Поэтому имеет смысл говорить только о вероятности того, что случайная величина принимает значения, расположенные в некотором интервале значений от до

Вероятность нахождения величины в интервале обозначается как При переходе к бесконечно малому интервалу значений вероятность уже будет причем значки указывают на то, то случайная величина может принимать значения в интервалах или т. е. от до или

ТЕМА 1 . Классическая формула вычисления вероятности.

Основные определения и формулы:

Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом (СЭ).

Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием .

Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:

1.при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;

2.всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.

Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов (ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.

Р(А) = n (A ) / n ,

где n – общее число равновозможных исходов,

n (A ) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще, благоприятствующих событию А.

Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.

Решение типовых примеров

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:

А – “все извлеченные шары красные”;

В – “ все извлеченные шары – одного цвета”;

С – “среди извлеченных ровно 2 черных”.

Решение:

Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная!) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Событие А состоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е. n (A )== 10.

Событию В кроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно= 1. Поэтому: n (B )=10+1=11.

Событию С благоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому: n (C ) = = 3 * 7 = 21.

Итак: Р(А) = 10/120; Р(В) = 11/120; Р(С) = 21/120.

Пример 2. В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:

D – “максимальный извлеченный номер равен 4”;

Е – “ максимальный извлеченный номер равен 3”.

Решение:

Для вычисления n (D ) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. Событию D благоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому: n (D ) =

P (D ) = 28/120.

Для вычисления n (Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). Событие Е состоит из троек двух типов:

1.один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;

2.два шара с номером 3 и один с меньшим номером.

Поэтому: n (E )=

Р(Е) = 36/120.

Пример 3. Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну из N ячеек. Найти вероятности событий:

А – все частицы попали во вторую ячейку;

В – все частицы попали в одну ячейку;

С – каждая ячейка содержит не более одной частицы (M £ N );

D – все ячейки заняты (M =N +1);

Е – вторая ячейка содержит ровно к частиц.

Решение:

Для каждой частицы имеется N способов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеем N *N *N *…*N (М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭ n = N M .

Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n (A ) = 1*1*…*1= 1 М = 1, и Р(А) = 1/ N M .

Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N -ю. Но каждый из этих N вариантов может осуществиться одним способом. Поэтому n (B )=1+1+…+1(N -раз)=N и Р(В)=N /N M .

Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из N ячеек. Поэтому:

n (C ) = N *(N -1)*…*(N +M -1) и Р(С) =

В частном случае при M =N : Р(С)=

Событие D означает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N -1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найти n (D ) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =N способами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует способов. После этого оставшиеся (N -1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N -1) ячеек, для этого имеется (N -1)! способов.

Итак, n (D ) =

Число n (E ) можно подсчитать так: к частиц для второй ячейки можно способами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N -1) ячейке (N -1) М-К способами. Поэтому: