Si të përcaktohet vlera më e vogël e një funksioni. Si të gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një rajon të mbyllur të kufizuar
Le të shohim se si të ekzaminojmë një funksion duke përdorur një grafik. Rezulton se duke parë grafikun, ne mund të zbulojmë gjithçka që na intereson, përkatësisht:
- domeni i një funksioni
- diapazoni i funksionit
- funksioni zero
- intervalet e rritjes dhe zvogëlimit
- pikë maksimale dhe minimale
- vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni në një segment.
Le të sqarojmë terminologjinë:
Abshisaështë koordinata horizontale e pikës.
Ordinoni- koordinata vertikale.
Boshti i abshisave- boshti horizontal, më shpesh i quajtur bosht.
boshti Y- bosht vertikal, ose bosht.
Argumenti- një variabël i pavarur nga i cili varen vlerat e funksionit. Më shpesh tregohet.
Me fjalë të tjera, ne zgjedhim , zëvendësojmë funksionet në formulë dhe marrim .
Domeni funksionet - grupi i atyre (dhe vetëm atyre) vlerave të argumenteve për të cilat ekziston funksioni.
Tregohet nga: ose .
Në figurën tonë, fusha e përcaktimit të funksionit është segmenti. Pikërisht në këtë segment vizatohet grafiku i funksionit. Ky është i vetmi vend ku ekziston ky funksion.
Gama e funksionitështë grupi i vlerave që merr një ndryshore. Në figurën tonë, ky është një segment - nga vlera më e ulët në atë më të lartë.
Funksioni zero- pikat ku vlera e funksionit është zero, d.m.th. Në figurën tonë këto janë pika dhe .
Vlerat e funksionit janë pozitive ku . Në figurën tonë këto janë intervalet dhe .
Vlerat e funksionit janë negative ku . Për ne, ky është intervali (ose intervali) nga në .
Konceptet më të rëndësishme - funksion në rritje dhe në ulje në një set. Si grup, mund të merrni një segment, një interval, një bashkim intervalesh ose të gjithë vijën numerike.
Funksioni rritet
Me fjalë të tjera, sa më shumë, aq më shumë, domethënë, grafiku shkon djathtas dhe lart.
Funksioni zvogëlohet në një grup nëse për ndonjë dhe që i përket grupit, pabarazia nënkupton pabarazinë .
Për një funksion në rënie, një vlerë më e madhe korrespondon me një vlerë më të vogël. Grafiku shkon djathtas dhe poshtë.
Në figurën tonë, funksioni rritet në interval dhe zvogëlohet në intervalet dhe .
Le të përcaktojmë se çfarë është pikët maksimale dhe minimale të funksionit.
Pika maksimale- kjo është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e madhe se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Me fjalë të tjera, një pikë maksimale është një pikë në të cilën vlera e funksionit më shumë sesa në ato fqinje. Kjo është një "kodër" lokale në tabelë.
Në figurën tonë ka një pikë maksimale.
Pika minimale- një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Kjo do të thotë, pika minimale është e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në fqinjët e saj. Kjo është një "vrimë" lokale në grafik.
Në figurën tonë ka një pikë minimale.
Pika është kufiri. Nuk është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit dhe për këtë arsye nuk i përshtatet përkufizimit të një pike maksimale. Në fund të fundit, ajo nuk ka fqinjë në të majtë. Në të njëjtën mënyrë, në grafikun tonë nuk mund të ketë një pikë minimale.
Pikat maksimale dhe minimale së bashku quhen pikat ekstreme të funksionit. Në rastin tonë kjo është dhe .
Çfarë duhet të bëni nëse duhet të gjeni, për shembull, funksioni minimal në segment? Në këtë rast përgjigja është: . Sepse funksioni minimalështë vlera e tij në pikën minimale.
Në mënyrë të ngjashme, maksimumi i funksionit tonë është . Është arritur në pikën.
Mund të themi se ekstremet e funksionit janë të barabarta me dhe .
Ndonjëherë problemet kërkojnë gjetje vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment të caktuar. Ato nuk përkojnë domosdoshmërisht me ekstremet.
Në rastin tonë vlera më e vogël e funksionit në segment është i barabartë dhe përkon me minimumin e funksionit. Por vlera e tij më e madhe në këtë segment është e barabartë me . Ajo arrihet në skajin e majtë të segmentit.
Në çdo rast, vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në një segment arrihen ose në pikat ekstreme ose në skajet e segmentit.
Me këtë shërbim mund të gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni një variabël f(x) me zgjidhjen e formatuar në Word. Nëse është dhënë funksioni f(x,y), atëherë është e nevojshme të gjendet ekstremi i funksionit të dy ndryshoreve. Ju gjithashtu mund të gjeni intervalet e funksioneve në rritje dhe në ulje.
Rregullat për futjen e funksioneve:
Kusht i domosdoshëm për ekstremin e një funksioni të një ndryshoreje
Ekuacioni f" 0 (x *) = 0 është një kusht i domosdoshëm për ekstremin e një funksioni të një ndryshoreje, d.m.th. në pikën x * derivati i parë i funksionit duhet të zhduket. Ai identifikon pikat stacionare x c në të cilat funksioni nuk zhduket. rritje ose ulje.Kusht i mjaftueshëm për ekstremin e një funksioni të një ndryshoreje
Le të jetë f 0 (x) dy herë i diferencueshëm në lidhje me x që i përket bashkësisë D. Nëse në pikën x * plotësohet kushti:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Atëherë pika x * është pika e minimumit lokal (global) të funksionit.
Nëse në pikën x * plotësohet kushti:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Atëherë pika x * është një maksimum lokal (global).
Shembulli nr. 1. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit: në segment.
Zgjidhje. 
Pika kritike është një x 1 = 2 (f’(x)=0). Kjo pikë i përket segmentit. (Pika x=0 nuk është kritike, pasi 0∉).
Ne llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit dhe në pikën kritike.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Përgjigje: f min = 5 / 2 në x=2; f max =9 në x=1
Shembulli nr. 2. Duke përdorur derivate të rendit më të lartë, gjeni ekstremin e funksionit y=x-2sin(x) .
Zgjidhje.
Gjeni derivatin e funksionit: y’=1-2cos(x) . Le të gjejmë pikat kritike: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Gjejmë y’’=2sin(x), njehso , që do të thotë x= π / 3 +2πk, k∈Z janë pikat minimale të funksionit; 
, që do të thotë x=- π / 3 +2πk, k∈Z janë pikat maksimale të funksionit.
Shembulli nr. 3. Hulumtoni funksionin ekstrem në afërsi të pikës x=0.
Zgjidhje. Këtu është e nevojshme të gjesh ekstremin e funksionit. Nëse ekstremi x=0, atëherë zbuloni llojin e tij (minimumi ose maksimal). Nëse midis pikave të gjetura nuk ka x = 0, atëherë llogaritni vlerën e funksionit f(x=0).
Duhet të theksohet se kur derivati në secilën anë të një pike të caktuar nuk ndryshon shenjën e tij, situatat e mundshme nuk shterohen as për funksionet e diferencueshme: mund të ndodhë që për një lagje të vogël arbitrarisht në njërën anë të pikës x 0 ose në të dyja anët derivati ndryshon shenjën. Në këto pika është e nevojshme të përdoren metoda të tjera për të studiuar funksionet në një ekstrem.
Në këtë artikull do të flas për algoritmi për gjetjen e vlerës më të madhe dhe më të vogël funksionet, pikët minimale dhe maksimale.
Nga teoria do të jetë patjetër e dobishme për ne tabela e derivateve Dhe rregullat e diferencimit. Është e gjitha në këtë pjatë:
Algoritmi për gjetjen e vlerës më të madhe dhe më të vogël.
Është më e përshtatshme për mua të shpjegoj me një shembull specifik. Merrni parasysh:
Shembull: Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y=x^5+20x^3–65x në segmentin [–4;0].
Hapi 1. Marrim derivatin.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Hapi 2. Gjetja e pikave ekstreme.
Pika ekstreme quajmë ato pika në të cilat funksioni arrin vlerën e tij më të madhe ose minimale.
Për të gjetur pikat ekstreme, duhet të barazoni derivatin e funksionit me zero (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Tani e zgjidhim këtë ekuacion bikuadratik dhe rrënjët e gjetura janë pikat tona ekstreme.
I zgjidh ekuacione të tilla duke zëvendësuar t = x^2, pastaj 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Le ta zvogëlojmë ekuacionin me 5, marrim: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Ne bëjmë ndryshimin e kundërt x^2 = t:
X_(1 dhe 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dhe 4) = ±sqrt(-13) (përjashtojmë, nuk mund të ketë numra negativë nën rrënjë, përveç nëse sigurisht po flasim për numra kompleks)
Gjithsej: x_(1) = 1 dhe x_(2) = -1 - këto janë pikat tona ekstreme.
Hapi 3. Përcaktoni vlerën më të madhe dhe më të vogël.
Metoda e zëvendësimit.
Në gjendje, na është dhënë segmenti [b][–4;0]. Pika x=1 nuk përfshihet në këtë segment. Pra, ne nuk e konsiderojmë atë. Por përveç pikës x=-1, duhet të kemi parasysh edhe kufijtë majtas dhe djathtas të segmentit tonë, pra pikat -4 dhe 0. Për ta bërë këtë, ne i zëvendësojmë të gjitha këto tre pika në funksionin origjinal. Vini re se origjinali është ai i dhënë në kusht (y=x^5+20x^3–65x), disa njerëz fillojnë ta zëvendësojnë atë në derivatin...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Kjo do të thotë se vlera më e madhe e funksionit është [b]44 dhe arrihet në pikën [b]-1, e cila quhet pika maksimale e funksionit në segmentin [-4; 0].
Ne vendosëm dhe morëm një përgjigje, jemi shumë mirë, mund të pushoni. Por ndalo! A nuk mendoni se llogaritja e y(-4) është disi shumë e vështirë? Në kushtet e një kohe të kufizuar, është më mirë të përdoret një metodë tjetër, unë e quaj këtë:
Përmes intervaleve të qëndrueshmërisë së shenjave.
Këto intervale gjenden për derivatin e funksionit, pra për ekuacionin tonë bikuadratik.
Unë e bëj kështu. Unë vizatoj një segment të drejtuar. I vendos pikat: -4, -1, 0, 1. Pavarësisht se 1 nuk përfshihet në segmentin e dhënë, megjithatë duhet shënuar për të përcaktuar saktë intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës. Le të marrim një numër shumë herë më të madh se 1, le të themi 100, dhe ta zëvendësojmë mendërisht në ekuacionin tonë bikuadratik 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Edhe pa numëruar asgjë, bëhet e qartë se në pikën 100 funksioni ka shenjë plus. Kjo do të thotë që për intervalet nga 1 deri në 100 ka një shenjë plus. Kur kalojmë nëpër 1 (shkojmë nga e djathta në të majtë), funksioni do të ndryshojë shenjën në minus. Kur kalon në pikën 0, funksioni do të ruajë shenjën e tij, pasi ky është vetëm kufiri i segmentit dhe jo rrënja e ekuacionit. Kur kalon nga -1, funksioni do të ndryshojë përsëri shenjën në plus.
Nga teoria ne e dimë se ku është derivati i funksionit (dhe ne e vizatuam këtë pikërisht për të) ndryshon shenjën nga plus në minus (pika -1 në rastin tonë) funksioni arrin maksimumin e saj lokal (y(-1)=44, siç është llogaritur më parë) në këtë segment (kjo është logjikisht shumë e kuptueshme, funksioni ndaloi së rrituri sepse arriti maksimumin e tij dhe filloi të ulet).
Prandaj, ku derivati i funksionit ndryshon shenjën nga minus në plus, arrihet minimumi lokal i një funksioni. Po, po, kemi gjetur gjithashtu se pika minimale lokale është 1, dhe y(1) është vlera minimale e funksionit në segment, le të themi nga -1 në +∞. Ju lutemi vini re se ky është vetëm një MINIMUM LOKAL, domethënë një minimum për një segment të caktuar. Meqenëse minimumi real (global) i funksionit do të arrijë diku atje, në -∞.
Sipas mendimit tim, metoda e parë është më e thjeshtë teorikisht, dhe e dyta është më e thjeshtë nga pikëpamja e veprimeve aritmetike, por shumë më komplekse nga pikëpamja teorike. Në fund të fundit, ndonjëherë ka raste kur funksioni nuk ndryshon shenjë kur kalon në rrënjën e ekuacionit, dhe në përgjithësi mund të ngatërrohesh me këto maksimum dhe minimum lokal, global, megjithëse do të duhet ta zotërosh mirë këtë gjithsesi nëse planifikoni të hyni në një universitet teknik (dhe pse tjetër merrni profilin e Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe zgjidhni këtë detyrë). Por praktika dhe vetëm praktika do t'ju mësojë të zgjidhni probleme të tilla një herë e përgjithmonë. Dhe ju mund të stërviteni në faqen tonë të internetit. Këtu.
Nëse keni ndonjë pyetje ose diçka është e paqartë, sigurohuni që të pyesni. Do të jem i lumtur t'ju përgjigjem dhe do të bëj ndryshime dhe shtesa në artikull. Mos harroni se ne po e krijojmë këtë faqe së bashku!
Deklarata e problemit 2:
Jepet një funksion që është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një interval të caktuar. Ju duhet të gjeni vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit në këtë interval.
Baza teorike.
Teorema (teorema e dytë e Weierstrass):
Nëse një funksion është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një interval të mbyllur, atëherë ai arrin vlerat e tij maksimale dhe minimale në këtë interval.
Funksioni mund të arrijë vlerat e tij më të mëdha dhe më të vogla ose në pikat e brendshme të intervalit ose në kufijtë e tij. Le të ilustrojmë të gjitha opsionet e mundshme. 
Shpjegim:
1) Funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në kufirin e majtë të intervalit në pikën , dhe vlerën e tij minimale në kufirin e djathtë të intervalit në pikën .
2) Funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në pikë (kjo është pika maksimale), dhe vlerën e tij minimale në kufirin e djathtë të intervalit në pikë.
3) Funksioni arrin vlerën e tij maksimale në kufirin e majtë të intervalit në pikën , dhe vlerën e tij minimale në pikën (kjo është pika minimale).
4) Funksioni është konstant në interval, d.m.th. ai arrin vlerat e tij minimale dhe maksimale në çdo pikë të intervalit, dhe vlerat minimale dhe maksimale janë të barabarta me njëra-tjetrën.
5) Funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në pikën , dhe vlerën e tij minimale në pikën (pavarësisht nga fakti që funksioni ka një maksimum dhe një minimum në këtë interval).
6) Funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në një pikë (kjo është pika maksimale), dhe vlerën e tij minimale në një pikë (kjo është pika minimale).
Koment:
"Maksimumi" dhe "vlera maksimale" janë gjëra të ndryshme. Kjo rrjedh nga përkufizimi i maksimumit dhe kuptimi intuitiv i shprehjes "vlera maksimale".
Algoritmi për zgjidhjen e problemit 2.
4) Zgjidhni më të madhin (më të vogël) nga vlerat e marra dhe shkruani përgjigjen.
Shembulli 4:
Përcaktoni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni 
në segment.
Zgjidhja:
1) Gjeni derivatin e funksionit. 
2) Gjeni pikat stacionare (dhe pikat e dyshuara për ekstrem) duke zgjidhur ekuacionin. Kushtojini vëmendje pikave në të cilat nuk ka derivat të fundëm të dyanshëm. 
3) Llogaritni vlerat e funksionit në pikat stacionare dhe në kufijtë e intervalit.
4) Zgjidhni më të madhin (më të vogël) nga vlerat e marra dhe shkruani përgjigjen.
Funksioni në këtë segment e arrin vlerën e tij më të madhe në pikën me koordinata.
Funksioni në këtë segment e arrin vlerën e tij minimale në pikën me koordinata.
Ju mund të verifikoni korrektësinë e llogaritjeve duke parë grafikun e funksionit në studim. 
Koment: Funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në pikën maksimale dhe minimumin e tij në kufirin e segmentit.
Një rast i veçantë.
Supozoni se duhet të gjeni vlerat maksimale dhe minimale të disa funksioneve në një segment. Pas përfundimit të pikës së parë të algoritmit, d.m.th. duke llogaritur derivatin, bëhet e qartë se, për shembull, merr vetëm vlera negative gjatë gjithë intervalit në shqyrtim. Mos harroni se nëse derivati është negativ, atëherë funksioni zvogëlohet. Ne zbuluam se funksioni zvogëlohet në të gjithë segmentin. Kjo situatë tregohet në grafikun nr. 1 në fillim të artikullit.
Funksioni zvogëlohet në segment, d.m.th. nuk ka pikë ekstreme. Nga fotografia mund të shihni se funksioni do të marrë vlerën më të vogël në kufirin e djathtë të segmentit dhe vlerën më të madhe në të majtë. nëse derivati në segment është pozitiv kudo, atëherë funksioni rritet. Vlera më e vogël është në kufirin e majtë të segmentit, më e madhja është në të djathtë.
në intervalin.
.