Linjat e rrjedhjes së lëngjeve dhe linjat e vorbullës. Lëvizja ndryshon pa probleme dhe befas. Linjë vorbull, tub vorbull, kordon vorbull
Veçoritë e llojeve të lëvizjes të konsideruara në hidrodinamikë.
Mund të dallohen llojet e mëposhtme të lëvizjeve.
I paqëndrueshëm, bazuar në sjelljen e shpejtësisë, presionit, temperaturës etj.; të qëndrueshme, sipas të njëjtave parametra; i pabarabartë, në varësi të sjelljes së të njëjtëve parametra në një seksion të drejtpërdrejtë me sipërfaqe; uniforme, sipas të njëjtave karakteristika; presioni, kur lëvizja ndodh nën presion p > p atm (për shembull, në tubacione); jo presioni, kur lëvizja e lëngut ndodh vetëm nën ndikimin e gravitetit.
Megjithatë, llojet kryesore të lëvizjes, pavarësisht numër i madh Varietetet e tyre janë vorbull dhe lëvizje laminare.
Lëvizja në të cilën grimcat e lëngut rrotullohen rreth boshteve të menjëhershme që kalojnë nëpër polet e tyre quhet lëvizje vorbullash.
Kjo lëvizje e një grimce të lëngshme karakterizohet nga shpejtësia këndore, përbërësit (përbërësit), të cilët janë:
Vektori i shpejtësisë këndore në vetvete është gjithmonë pingul me rrafshin në të cilin ndodh rrotullimi.
Nëse përcaktojmë modulin e shpejtësisë këndore, atëherë
Duke dyfishuar projeksionet në koordinatat përkatëse të boshtit? x, ? y , ? z , marrim komponentët e vektorit të vorbullës
Bashkësia e vektorëve të vorbullës quhet fushë vektoriale.
Për analogji me fushën e shpejtësisë dhe linjën e drejtpërdrejtë, ekziston gjithashtu një vijë vorbull që karakterizon fushën vektoriale.
Kjo është një vijë në të cilën, për secilën pikë, vektori i shpejtësisë këndore është në bashkëdrejtim me tangjenten në këtë vijë.
Linja përshkruhet nga ekuacioni diferencial i mëposhtëm:
në të cilën kohë t konsiderohet si parametër.
Linjat Vortex sillen në shumë mënyra në të njëjtën mënyrë si linjat e rrjedhës.
Lëvizja e vorbullës quhet gjithashtu e turbullt.
Ne kemi shkruar tashmë ekuacionet e përgjithshme për rrjedhën e një lëngu të pakompresueshëm në prani të vorbullës:
Përmbajtja fizike e këtyre ekuacioneve u përshkrua verbalisht nga Helmholtz në tre teorema. Para së gjithash, imagjinoni se ne kemi vizatuar linja vorbullash në vend të vijave të rrjedhës. Me vija vorbull nënkuptojmë linjat e fushës që kanë drejtimin e vektorit dhe dendësia e tyre në çdo rajon është proporcionale me vlerën. Nga ekuacioni (II) divergjenca është gjithmonë zero [kujtoni Kapitullin 3, § 7 (çështja 5): divergjenca e rotorit është gjithmonë zero]. Kështu, linjat e vorbullës janë të ngjashme me linjat e fushës: ato nuk mbarojnë askund dhe nuk fillojnë askund dhe gjithmonë tentojnë të mbyllen. Helmholci e përshkroi formulën (III) me fjalët: vijat e vorbullës lëvizin me lëngun. Kjo do të thotë që nëse do të shënonit grimcat e lëngshme të vendosura në një vijë të caktuar vorbullash, për shembull, duke i ngjyrosur me bojë, atëherë ndërsa lëngu lëviz dhe i transferon këto grimca, ato gjithmonë do të shënonin pozicionin e ri të vijës së vorbullës. Pavarësisht se si lëvizin atomet e lëngëta, linjat e vorbullës lëvizin me to. Kjo është një mënyrë për të përshkruar ligjet. Ai gjithashtu përmban një metodë për zgjidhjen e çdo problemi. Duke pasur parasysh llojin fillestar të rrjedhës, të themi, duke specifikuar kudo, mund të llogaritni . Duke ditur , mund të themi gjithashtu se ku do të jenë linjat e vorbullës pak më vonë: ato lëvizin me një shpejtësi prej . Dhe me vlerën e re, mund të përdorni ekuacionet (I) dhe (II) dhe të gjeni një vlerë të re. (Ashtu si në problemin e gjetjes së fushës nga rrymat e dhëna.) Nëse na jepet lloji i rrjedhës në një moment, atëherë në parim mund ta llogarisim atë në të gjitha momentet pasuese. Marrim një zgjidhje të përgjithshme për rrjedhën e padukshme.
Unë do të doja t'ju tregoja se si (nga të paktën pjesërisht) mund të kuptohet thënia e Helmholtz-it, dhe për rrjedhojë formula (III). Në fakt, ky është thjesht ligji i ruajtjes së momentit këndor i aplikuar në një lëng. Imagjinoni një cilindër të vogël të lëngshëm, boshti i të cilit është paralel me vijat e vorbullës (Fig. 40.13a). Pas ca kohësh, i njëjti vëllim lëngu do të jetë diku tjetër. Në përgjithësi, ai do të jetë i formuar si një cilindër me një diametër të ndryshëm dhe i vendosur në një vend tjetër. Mund të ketë gjithashtu një orientim të ndryshëm (Fig. 40.13b). Por nëse diametri ndryshon, atëherë duhet të ndryshojë edhe gjatësia në mënyrë që vëllimi të mbetet konstant (pasi ne e konsiderojmë lëngun të jetë i pakompresueshëm). Për më tepër, meqenëse linjat e vorbullës janë të lidhura me materien, dendësia e tyre rritet në përpjesëtim të kundërt me uljen e zonës së prerjes kryq të cilindrit. Produkti sipas sipërfaqes së cilindrit do të mbetet konstant, kështu sipas Helmholtz
Fig. 40.13. Një grup vijash vorbullash në momentin (a) dhe të njëjtat vija në një moment të mëvonshëm (b).
Tani vini re se në viskozitet zero, të gjitha forcat në sipërfaqen e një vëllimi cilindrik (ose çdo vëllim në atë substancë) janë pingul me sipërfaqen. Forcat e presionit mund ta detyrojnë atë të ndryshojë formën, por pa forca tangjenciale, madhësia e momentit këndor të lëngut brenda nuk mund të ndryshojë. Momenti këndor i një lëngu brenda një cilindri të vogël është i barabartë me produktin e momentit të tij të inercisë dhe shpejtësisë këndore të lëngut, e cila është proporcionale me vorticitetin. Momenti i inercisë së cilindrit është proporcional me . Prandaj, nga ruajtja e momentit këndor, do të konkludojmë se
.
Por masa do të jetë e njëjtë, dhe sipërfaqja do të jetë proporcionale me , kështu që përsëri marrim vetëm ekuacionin (40.21). Deklarata e Helmholtz-it, e cila është ekuivalente me formulën (III), është thjesht pasojë e faktit se në mungesë të viskozitetit, momenti këndor i një elementi të lëngshëm nuk mund të ndryshojë.
Ekziston një mënyrë e mirë për të demonstruar një vorbull lëvizëse duke përdorur aparatin e treguar në Fig. 40.14. Ky është një "daulle" me diametër dhe gjatësi rreth 60 cm, i përbërë nga një kuti cilindrike me një fletë të trashë gome të shtrirë mbi bazën e saj të hapur. Tamburi qëndron në anën e tij dhe në qendër të pjesës së tij të fortë është prerë një vrimë me një diametër prej rreth 8 cm Nëse goditni ashpër diafragmën e gomës me dorën tuaj, një vorbull unazë fluturon nga vrima. Megjithëse kjo vorbull nuk mund të shihet, mund të themi me siguri se ekziston, pasi shuan flakën e një qiriri që qëndron 3-6 m larg daulles. Nga vonesa e këtij efekti, mund të dalloni se "diçka" po përhapet me një shpejtësi të kufizuar. Ju mund të shihni më mirë se çfarë po fluturon duke mbushur fillimisht daullen me tym. Pastaj do të shihni vorbulla në formën e unazave të "tymit të duhanit" jashtëzakonisht të bukur.
Fig. 40.14. Përhapja e unazave të vorbullës.
Unazat e tymit (Fig. 40.15a) janë vetëm një grumbull linjash vorbullash. Meqenëse , këto linja vorbullash përshkruajnë gjithashtu qarkullimin (Fig. 40.15, b). Për të shpjeguar pse unaza lëviz përpara (d.m.th., në drejtimin që përbën drejtimin e vidës së djathtë), mund të arsyetohet kështu: shpejtësia e qarkullimit rritet drejt sipërfaqes së brendshme të unazës dhe shpejtësia brenda unazës drejtohet. përpara. Meqenëse linjat transferohen së bashku me lëngun, ato gjithashtu lëvizin përpara me një shpejtësi. (Sigurisht, shpejtësia më e madhe në brendësi të unazës është përgjegjëse për lëvizjen përpara të vijave të vorbullës në pjesën e jashtme të saj.)
Fig. 40.15. Një unazë vorbull lëvizëse (a) dhe seksioni i saj kryq (b).
Këtu duhet theksuar një vështirësi serioze. Siç e kemi vërejtur tashmë, ekuacioni (40.90) thotë se nëse vorticiteti fillimisht ishte zero, atëherë do të mbetet gjithmonë zero. Ky rezultat është rrëzimi i teorisë së ujit të thatë, sepse do të thotë që nëse në një moment vlera është zero, atëherë ajo do të jetë gjithmonë zero dhe në asnjë rrethanë nuk mund të krijohet vorbull. Megjithatë, në eksperimentin tonë të thjeshtë me daulle ne ishim në gjendje të krijonim unaza vorbullash në ajër që më parë ishte në qetësi. (Është e qartë se derisa të godasim daullen, brenda saj dhe.) Të gjithë e dinë se duke vozitur me rrem mund të krijoni vorbulla në ujë. Pa dyshim, për të kuptuar plotësisht sjelljen e një lëngu, duhet kaluar në teorinë e ujit "të lagësht".
Një tjetër deklaratë e gabuar në teorinë e ujit "të thatë" është supozimi që kemi bërë kur kemi marrë parasysh rrjedhën në kufirin midis tij dhe sipërfaqes së një objekti të ngurtë. Kur diskutuam rrjedhën rreth një cilindri (për shembull, Fig. 40.11), supozuam se lëngu po rrëshqiste përgjatë sipërfaqes të ngurta. Në teorinë tonë, shpejtësia në sipërfaqen e një trupi të ngurtë mund të ketë çdo vlerë, në varësi të mënyrës se si filloi lëvizja, dhe ne nuk kemi marrë parasysh ndonjë "fërkim" midis lëngut dhe të ngurtës. Megjithatë, fakti që shpejtësia e një lëngu real duhet të shkojë në zero në sipërfaqen e një trupi të ngurtë është një fakt eksperimental. Rrjedhimisht, zgjidhjet tona për cilindrin me dhe pa qarkullim janë të pasakta, siç është rezultati për krijimin e një vorbulle. Unë do t'ju tregoj për teori më të sakta në kapitullin tjetër.
Lëvizja e vorbullës. Linjat dhe tubat e vorbullës. Teorema e dytë e Helmholcit. Intensiteti i tubit të vorbullës. Teorema e Stokes. Formula Bio-Savart.
Nëse në ndonjë rajon të hapësirës, kjo do të thotë se grimcat e lëngshme lëvizin jo vetëm në mënyrë përkthimore, por gjatë lëvizjes së tyre ato rrotullohen rreth boshteve të menjëhershme që kalojnë nëpër polin e grimcës. Kjo lëvizje e lëngut quhet vorbull, dhe shpejtësia këndore e menjëhershme e rrotullimit të grimcës së lëngshme është 
Vektorët e shpejtësive këndore të vëllimeve pafundësisht të vogla të lëngut në pika të ndryshme të rrjedhës formojnë një fushë vektoriale të shpejtësive këndore (ose një fushë vektoriale të vorbullave të vektorit të shpejtësisë). Fusha vektoriale e shpejtësisë këndore ose rotori i vektorit të shpejtësisë (vorteksi) karakterizohet nga imazhet gjeometrike të mëposhtme: vija e vorbullës Dhe tub vorbull.
Linja e vorbullës – një vijë tangjente me të cilën në çdo pikë brenda për momentin koha drejtohet përgjatë vektorit të shpejtësisë së rotorit, d.m.th. || , ku është elementi i vijës së vorbullës. Duke marrë parasysh se = marrim ekuacionin e vijës së vorbullës:
(4.1)
Ku 
- projeksionet e vektorit të shpejtësisë këndore në boshtet koordinative. Gjatë lëvizjes së qëndrueshme, linjat e vorbullës përkojnë me njëra-tjetrën në kohë të ndryshme.
Tub vorbull – një grup vijash vorbullash që kalojnë nëpër një kurbë të mbyllur që nuk është një vijë vorbullash.
Kordoni Vortex – pjesë e lëngut e kufizuar nga tubi i vorbullës.
Teorema e 2-të e Helmholcit - Rrjedha e vektorit të shpejtësisë së rotorit përmes çdo seksioni të tubit të vorbullës në një kohë të caktuar është i njëjtë përgjatë të gjithë tubit:
(4.2)
Fluksi i vektorit të vorbullës është një sasi karakteristike e një tubi vorbull. Ata e thërrasin atë intensiteti tub vorbull:
(4.3)
Për një tub elementar vorbull, mund të shkruhet relacioni (4.3). si më poshtë:
(4.4)
Dy konkluzionet vijojnë nga shprehja (4.4):
1. Seksioni kryq i një tubi vorbull nuk mund të bëhet zero në asnjë pikë brenda lëngut.
2. Tubat Vortex nuk mund të fillojnë dhe të përfundojnë me një seksion kryq të përmasave të fundme brenda lëngut.
Tubat e vorbullës ose formojnë unaza të mbyllura ose fillojnë dhe përfundojnë në sipërfaqet që mbyllin lëngun ose në një sipërfaqe të lirë.
Teorema e Stokes: Intensiteti i tubit të vorbullës është i barabartë me qarkullimin e vektorit të shpejtësisë përgjatë një konture të mbyllur të vendosur në sipërfaqen e tubit të vorbullës dhe duke e rrethuar atë një herë:
(4.5)
Nëse në hapësirë ka disa tuba vorbullash me intensitete 
, dhe në pjesën tjetër të hapësirës jashtë tubave të vorbullës 
, atëherë qarkullimi i vektorit të shpejtësisë përgjatë një laku të mbyllur që dikur mbyll tubat e vorbullës është i barabartë me shuma algjebrike Intensiteti i këtyre tubave:
(4.6)
Formula Bio-Savart – ju lejon të llogaritni fushën e shpejtësisë në afërsi të një filamenti të caktuar vorbullash L (kordoni vorbull) me qarkullim (intensitet) G. Shpejtësia e shkaktuar në pikën M nga një element i filamentit të vorbullës sipas formulës Biot-Savart është e barabartë me:
(4.7)
ku (shih figurën) është elementi i kordonit të vorbullës, është vektori i rrezes i drejtuar nga fillimi i elementit të kordonit të vorbullës deri në pikën M, - këndi ndërmjet dhe .
Vektori është i drejtuar pingul me vektorët dhe (sipas rregullit të prodhimit vektorial të vektorëve). Për të gjetur shpejtësinë e shkaktuar nga i gjithë filamenti i vorbullës në një pikë M,është e nevojshme të integrohet shprehja (4.7) në të gjithë gjatësinë e kolonës së vorbullës.
Me përjashtime të rralla, lëvizja e një lëngu ose gazi është pothuajse gjithmonë një vorbull. Kështu, rrjedha e vorbullës është rrjedhë laminare në një tub të rrumbullakët kur shpejtësia shpërndahet sipas një ligji parabolik, rrjedha në shtresën kufitare me një rrjedhje të qetë rreth një trupi dhe në vazhdën e një trupi të rrjedhshëm dobët. Çdo rrjedhë e turbullt ka karakter vorbull. . Nëse rrjedha rreth trupit ndodh në numër të madh Re , vorticiteti gjenerohet në shtresën kufitare dhe më pas bartet në rrjedhën kryesore, ku formohen vorbulla qartësisht të dukshme, duke evoluar për ca kohë dhe duke ruajtur individualitetin e tyre. Për shembull, një model i rregullt formohet pas një trupi bllofi rruga e vorbullës Xhepi. Formimi i vorbullës në vazhdën e një trupi bllofi përcakton pjesën kryesore të tërheqjes së trupit, dhe formimi i vorbullave në skajet e krahëve të avionit shkakton shtesë reaktancë induktive .
Bazat e teorisë së ngjashmërisë. Teoremat e ngjashmërisë.
Kriteret e ngjashmërisë. Kriteret Reynolds, Euler, Froude, Strouhal, Mach. Modelimi i përafërt.
Pavarësisht nivel të lartë zhvillimi i mekanikës moderne të lëngjeve, jo të gjitha problemet mund të zgjidhen teorikisht me saktësi dhe besueshmëri të mjaftueshme për praktikë. Një pjesë e konsiderueshme e problemeve hidromekanike dhe e problemeve praktike janë zgjidhur deri tani në mënyrë eksperimentale. bazë studime eksperimentale kryhen në instalime model, ku mund të përdoren lëngje të ndryshme pune, dhe vetë testet kryhen me shpejtësi dhe parametra të lëngjeve që ndryshojnë nga ato natyrore. Qëllimi i modelimit është të gjykojë fenomenet që ndodhin në kushte natyrore bazuar në rezultatet e eksperimenteve në një model. Prandaj, kur vendosni një eksperiment, është e nevojshme të zgjidhen dy probleme:
Si duhet të bëhet një model i objektit testues;
Modelimi bazohet në konceptin e ngjashmërisë së flukseve të krahasuara. Dy rryma janë të ngjashme nëse, nga karakteristikat e njërës, është e mundur të merren karakteristikat e tjetrës me anë të shumëzim i thjeshtë karakteristikat e të parit me disa koeficientë konstante, të quajtur koeficientë të ngjashmërisë. Në mekanikën e lëngjeve dallohen ngjashmëria gjeometrike, kinematike, dinamike dhe termike.
Dy trupa janë gjeometrikisht të ngjashëm nëse segmentet e ngjashme të trupave janë proporcionalë dhe këndet midis segmenteve të ngjashëm janë të barabartë me njëri-tjetrin:
(12.1)
ku janë gjatësitë e segmenteve të ngjashëm, janë këndet ndërmjet segmenteve të ngjashëm dhe janë shkalla lineare e simulimit. Shkalla lineare është zgjedhur për arsye praktike. Nëse zgjedhim madhësi karakteristike të ngjashme të natyrës dhe modelit si njësi matëse, atëherë çdo dimension linear mund të shprehet si fraksione të këtyre vlerave:
Mund të tregohet se, d.m.th. koordinatat pa dimension të pikave të ngjashme në natyrë dhe në model janë të njëjta.
Rrjedhat janë kinematikisht të ngjashme nëse shpejtësitë në pika të ngjashme janë proporcionale dhe këndet ndërmjet vektorëve të shpejtësisë dhe boshteve të koordinatave janë të njëjta. Lërini rrjedhat të jenë gjeometrikisht të ngjashme. Nëse marrëdhënia
(12.3)
janë identike për çdo çift pikash të ngjashme, atëherë rrjedhat janë kinematike të ngjashme (është shkalla e simulimit për nga shpejtësia). Nga ngjashmëria kinematike e rrjedhave rrjedh ngjashmëria gjeometrike e vijave të tyre rrjedhëse.
Ngjashmëria dinamike kërkon proporcionalitetin e forcave që veprojnë në elementë të ngjashëm dhe barazinë e këndeve midis vektorëve përkatës të forcës dhe boshteve të koordinatave. Le të jenë forca që veprojnë mbi elementë të ngjashëm në natyrë dhe në model. Nëse
(12.4)
Nëse ka një vlerë konstante për çdo çift elementësh të ngjashëm, atëherë rrjedhat janë dinamikisht të ngjashme. Vlerat pa dimension të forcave në pika të ngjashme janë të njëjta. Ngjashmëria kinematike dhe dinamike mund të ekzistojë vetëm nëse ka ngjashmëri gjeometrike. Nëse për ndonjë grup dukurish hidrodinamike ka ngjashmëri kinematike dhe dinamike, atëherë ai quhet grup dukurish mekanikisht të ngjashme. Ngjashmëria mekanike është një rast i veçantë i ngjashmërisë së përgjithshme të proceseve fizike.
Për rrjedhat mekanikisht të ngjashme, koordinatat pa dimension të pikave të ngjashme, shpejtësitë pa dimension dhe forcat pa dimension në pika të ngjashme janë të njëjta. Fushat pa dimensione të parametrave fizikë të rrjedhave mekanikisht të ngjashme janë identike. Një dukuri hidromekanike përcaktohet nga fushat e madhësive fizike që e karakterizojnë kur dukuritë (sistemet) janë të ngjashme, fushat e parametrave përkatës të dy sistemeve janë të ngjashme në hapësirë dhe në kohë. Nëse rrjedhat janë të ngjashme, atëherë karakteristikat e rrjedhës natyrore fitohen nga karakteristikat e rrjedhës së modelit duke i shumëzuar ato me koeficientët përkatës të ngjashmërisë (shkallët e modelimit).
Për ngjashmëri të plotë të dy rrjedhave, proporcionaliteti i të gjitha sasive që përshkruajnë procesin është i nevojshëm. Në praktikë, ato janë të kufizuara në ngjashmëri të pjesshme të disa prej karakteristikave më domethënëse për një fenomen të caktuar.
Teoria e ngjashmërisë është studimi i kushteve për ngjashmërinë e dukurive fizike. Ai bazohet në doktrinën e dimensionit të sasive fizike dhe shërben si bazë për modelim. Lënda e teorisë së ngjashmërisë është vendosja e kritereve për ngjashmërinë e dukurive fizike dhe studimi, duke përdorur këto kritere, i vetive të vetë dukurive.
Teoria e ngjashmërisë bazohet në teoremat e mëposhtme:
Informacione të lidhura.
Lëvizja e vorbullës quhet lëvizja rrotulluese e një grimce rreth boshteve që kalojnë nëpër grimcë.
Studimi i lëvizjes së vorbullës së lëngut dhe gazit në aerodinamikë është i rëndësishëm rëndësi praktike. Në veçanti, metodat për përcaktimin e karakteristikave aerodinamike të krahëve me hapësirë të pafundme dhe të fundme bazohen në teorinë e vorbullës. Kur një rrjedhë reale rrjedh rreth trupave, ndarja e rrjedhës mund të ndodhë me formimin e vorbullave (Fig. 2.6).
Lëvizja rrotulluese e grimcave karakterizohet nga shpejtësia këndore:
, 
,
.
Kjo do të thotë, në çdo pikë të hapësirës, rrotullimi i grimcave të lëngshme mund të karakterizohet nga vektori i shpejtësisë këndore, moduli i të cilit është i barabartë me 
. Çdo vektor i tillë karakterizon rrotullimin lokal të lëngut.
Gjatë studimit të fushave të shpejtësisë këndore, zakonisht paraqiten koncepte të ngjashme me ato të paraqitura në lidhje me fushën e shpejtësisë lineare. Për të përshkruar fushën e shpejtësive këndore të rrotullimit, prezantohet koncepti i vijave të vorbullës. Ndërtimi i linjave të vorbullës është i ngjashëm me ndërtimin e linjave rrjedhëse (Fig. 2.7).
Linja e vorbullësështë një vijë e tërhequr në një moment të caktuar në një rrjedhë lëngu ose gazi, në secilën pikë të së cilës vektori i shpejtësisë këndore është i drejtuar tangjencialisht me të.
Në analogji me linjat e thjeshta, ne mund të shkruajmë ekuacionet diferenciale linjat e vorbullës:
.
Përveç konceptit të linjave të vorbullës, prezantohet koncepti i tubave të vorbullës. Le të shqyrtojmë një kontur të vogël të mbyllur arbitrar që nuk përkon me vijën e vorbullës dhe të vizatojmë një vijë vorbulle nëpër secilën pikë të kësaj konture (Fig. 2.8). Kombinimi i këtyre linjave formon një tub vorbull. Lëngu ose gazi i mbyllur në të quhet kordon vorbull (filament vorbull ose vorbull).
Sipërfaqet anësore të tubit të vorbullës formohen nga linja vorbullash, dhe, për rrjedhojë, fluksi i vorbullës së vektorit të shpejtësisë nëpër sipërfaqen anësore është zero.
Sepse 
, atëherë rrjedha e vorbullës për çdo seksion kryq të tubit të vorbullës (intensiteti i vorbullës) është i njëjtë: 
. Nëse për prerje tërthore të një tubi vorbull 
, atëherë intensiteti i tubit të vorbullës është konstant:
.
Prandaj, teorema e dytë e Helmholtz-it lexon si më poshtë:
Rrjedha e vorbullës së vektorit të shpejtësisë përmes një seksioni kryq të tërhequr arbitrarisht të tubit të vorbullës në një kohë të caktuar është i njëjtë përgjatë gjithë tubit.
Nga kjo teoremë mund të konkludojmë për format e mundshme të ekzistencës së vorbullave:
1. Seksioni kryq i tubit të vorbullës nuk është askund i barabartë me 0, pasi me intensitet konstant të tubit të vorbullës shpejtësia këndore e rrotullimit është , gjë që është fizikisht e pamundur.
2. Tubat e vorbullës nuk mund të përfundojnë brenda një lëngu: ose mbyllen në vetvete (unazat e vorbullës), ose qëndrojnë në një mur (sipërfaqja e një trupi të ngurtë) ose në një sipërfaqe të lirë (ndërfaqja midis dy mediave me dendësi të ndryshme). Vorbullat teorikisht mund të kenë një shtrirje të pafund, e cila është e mundur vetëm në një lëng ideal. NË kushte reale nën ndikimin e forcave viskoze të fërkimit, vorbulla shkatërrohet gradualisht. Vlera e intensitetit (ose tensionit) të vorbullës lidhet me qarkullimin e vektorit të shpejtësisë që ndodh rreth vorbullës.
Në mungesë të lëvizjes së vorbullës. Nëse në këtë rast trajektoret e grimcave janë kthesa të mbyllura, atëherë një lëvizje e tillë është një rast i veçantë i një rrjedhe qarkullimi (grimcat rrotullohen rreth një boshti që nuk kalon nëpër të dhe nuk rrotullohen rreth boshteve të tyre).
Në aerohidromekanikë rol të rëndësishëm luan koncept shpejtësia e qarkullimit D. Le të zgjedhim një kontur të mbyllur arbitrar në një lëng në lëvizje (Fig. 2.9). Le të jetë në një pikë të kësaj konture shpejtësia e barabartë me V, dhe projeksioni i tij mbi tangjenten në një pikë të caktuar të konturit është i barabartë me 
. Le të shkruajmë punën dhe të marrim prej saj integrali lakor përgjatë konturit:
Sasia Γ e përcaktuar në këtë mënyrë quhet shpejtësia e qarkullimit në një lak të mbyllur. Gjatë llogaritjes së Γ, drejtimi i kalimit të konturit (drejtimi i integrimit) konsiderohet pozitiv nëse zona e mbuluar nga kontura mbetet në të majtë.
Si shembull i një fluksi qarkullues, le të shqyrtojmë rrjedhën e një rrjedhe paralele në plan rreth një profili asimetrik të krahut.
Le të supozojmë se mediumi rrjedh rreth krahut, duke shkaktuar shfaqjen e ngritjes. Atëherë shpejtësia e rrjedhës nën sipërfaqen e poshtme të krahut është më e vogël se shpejtësia e rrjedhës së pashqetësuar që vjen, dhe mbi sipërfaqen e sipërme është më e madhe. Natyra e rrjedhës së trazuar pranë krahut mund të përcaktohet duke zbritur shpejtësinë e rrjedhës së përkthimit drejtvizor nga shpejtësitë lokale. Si rezultat, marrim një rrjedhë shqetësimi, d.m.th., një lëvizje që lind në medium nga prania e një krahu. Sepse ndikimi 
krahu është lokal, atëherë vijat rrjedhëse të rrjedhës së shqetësimit nuk shkojnë në pafundësi, por duhet të kenë një fillim dhe një fund në sipërfaqen e krahut ose të jenë të mbyllura. Një rrjedhë e tillë me linja të rrymës së mbyllur quhet qarkullim. Kështu, rrjedha pranë krahut mund të përfaqësohet si shuma e një rrjedhe të pashqetësuar përkthimore dhe një rrjedhje përgjatë trajektoreve të mbyllura (Fig. 2.10).
Intensiteti i rrjedhës së qarkullimit pranë krahut karakterizohet nga madhësia e shpejtësisë së qarkullimit përgjatë një laku të mbyllur:
ku është elementi i harkut të konturit; – projeksioni i shpejtësisë në element. NË rast i përgjithshëm një kontur i zgjedhur në mënyrë arbitrare mund të mos përkojë me vijën aktuale të rrjedhës së qarkullimit (Fig. 2.11). Kështu, qarkullimi është një lëvizje në të cilën shpejtësia e qarkullimit është; nëse , atëherë lëvizja e mediumit ndodh pa qarkullim.
Nëse qarkullimi i shpejtësisë rreth fletës së ajrit (krahut) është zero, atëherë foleja ajrore (krahu) nuk krijon ngritje. Nëse madhësia e forcës së ngritjes nuk është zero, atëherë domosdoshmërisht krijohet një rrjedhë e qarkullimit dhe qarkullimi i shpejtësisë pranë profilit.
Le të zbatojmë konceptin e qarkullimit të shpejtësisë në një seksion të një tubi vorbull të tërhequr normalisht me boshtin e tij. Filamenti i vorbullës shkakton një fushë shpejtësie rreth vetes. Kur shpejtësia e lëvizjes së grimcave në një distancë nga boshti i vorbullës përcaktohet si . Le të zgjedhim një kontur të mbyllur që mbyll vorbullën në formën e një rrethi me rreze . Atëherë qarkullimi i vektorit të shpejtësisë përgjatë kësaj konture do të jetë i barabartë me , ku është zona e mbuluar nga rrethi. Shprehja që rezulton nuk është asgjë më shumë se dyfishi i intensitetit të tubit të vorbullës.
Kështu, ne shqyrtuam metodat për përshkrimin e lëvizjes së një mediumi, një përshkrim matematikor të lëvizjes së një grimce të lëngshme, lëvizjen pa rrotullim të një grimce dhe lëvizjen e vorbullës. Më pas, ne do të shqyrtojmë ekuacionet e lëvizjes së gazit si një medium i vazhdueshëm.
Pyetje sigurie dhe detyrat
1. Bazuar në analizën e ekuacionit të rrjedhës 
tregojnë se një numër i pafundëm vijash rrjedhëse mund të kalojnë nëpër pikën kritike.
2. Në një pikë të caktuar në hapësirën e një lëngu lëvizës, zona e prerjes tërthore të tubit aktual bëhet e barabartë me zero. Cili objekt kinematik ndodhet në këtë pikë të hapësirës nëse vijat e rrjedhës drejtohen në drejtimin e tij?
3. Pse mund të vizatohet vetëm një vijë rrjedhëse në secilën pikë të një rrjedhe? A nuk bie ndesh ky pozicion me imazhin kinematik të diskutuar në detyrën 2?
4. Cili është ndryshimi themelor midis lëvizjes së një grimce të lëngshme dhe lëvizjes së një trupi të ngurtë?
5. Potenciali i shpejtësisë për një pikë të caktuar në hapësirë të një lëngu në lëvizje është i barabartë me . Shkruani një shprehje për të llogaritur madhësinë e shpejtësisë së rrjedhës përmes potencialit.
DA, e barabartë me .
Në cilin nga opsionet vërehet një fluks qarkullimi?
9. Shpjegoni pse në Fig. 2.11, vektori i shpejtësisë në fund të lakut të anashkalimit drejtohet pikërisht në këtë mënyrë.
10. Bazuar në pozicionin se shpejtësia këndore e rrotullimit nuk mund të jetë e barabartë me ¥, shpjegoni se çfarë do të ndodhë me një litar vorbullash të formuar në një vend të caktuar në hapësirë dhe si mund të sillet.
Nëse në hapësirën e zënë nga një lëng ka zona në të cilat ω 0, d.m.th., rrotullimi i grimcave të lëngshme ndodh brenda tyre, atëherë lëvizja në zona të tilla quhet vorbull(për shembull, në rajonin e një shtrese kufitare të formuar rreth një trupi të ngurtë të fluturuar nga një rrjedhje lëngu viskoz). Në shtresën kufitare, në drejtimin normal me sipërfaqen e trupit, shpejtësia rritet ndjeshëm, dhe për këtë arsye në të ω0 (∂ w/ ∂n0).
Linja quhet vorbull, kur në secilën pikë të saj tangjentja përkon me drejtimin e vektorit të shpejtësisë këndoreω. Nga relacioniω fitohet ekuacioni diferencial i vijës së vorbullës dl= 0 dhe ka formën
Tub vorbull formohet nëse nëpër të gjitha pikat e një lakore të mbyllur C(që nuk është një vijë vorbullash) vizatoni vija vorbullash. Nga përkufizimi i vijës së vorbullës dhe sipërfaqes së vorbullës del se në çdo pikë të vijave dhe sipërfaqeve të tilla komponenti normal i shpejtësisë këndore është i barabartë me zero.
Rrjedha vektoriale e shpejtësisë këndore Jpërmes sipërfaqesquhet integrali:
ku ω n– projeksioni i shpejtësisë këndore të rrotullimit mbi normalen në sipërfaqe .
Një tjetër teoremë e Helmholtz-it ka të bëjë me vorbullat: rrjedha e vektorit të shpejtësisë këndore nëpër një sipërfaqe të mbyllur është gjithmonë zero. Le ta vërtetojmë.
Në të vërtetë, nga llogaritjet e drejtpërdrejta nga formula (1.11) marrim, nga njëra anë, që
A 
nga ana tjetër, se nëse sipërfaqja është e mbyllur, atëherë, sipas teoremës së Ostrogradsky (mbi shndërrimin e integralit të vëllimit në një integral sipërfaqësor),
Ku V– vëllimi i kufizuar nga sipërfaqja .
Por më pas, sipas (1.18), gjejmë se
Oriz. 3. Tub Vortex
Një veti e rëndësishme e tubave të vorbullës rrjedh nga formula (1.19). Le të zgjedhim një sipërfaqe të caktuar të mbyllur në tubin e vorbullës (Fig. 3), të formuar nga çdo dy seksion kryq ( 1 dhe 2) dhe një sipërfaqe anësore. Meqenëse fluksi i vektorit të shpejtësisë këndore përgjatë sipërfaqes anësore është zero, atëherë, sipas (1.19):Prandaj, për shkak të zgjedhjes arbitrare të seksioneve 1 dhe 2, marrim se rrjedha e vektorit të shpejtësisë këndore në një kohë të caktuar përgjatë gjatësisë së tubit elementar të vorbullës nuk ndryshon. Rrjedhimisht, kjo rrjedhë është një sasi karakteristike e të gjithë tubit të vorbullës dhe ajo (sasia) quhet intensiteti(ose tensionit)tub vorbull.
Nëse madhësia e vektorit të shpejtësisë këndore është konstante mbi seksionin kryq të tubit të vorbullës, atëherë nga (1.20) marrim
ω 1 n 1 = ω 2 n 2 = ω në i= konst.
Bazuar në këtë, do të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm: prerja tërthore e tubit të vorbullës nuk është e barabartë me zero, pasi në një rast të tillë ω , që është fizikisht e pasaktë. Kështu, tubi i vorbullës nuk shkëputet brenda mediumit. Por, megjithatë, mund të dallohen vetëm katër lloje të tubave të vorbullës, d.m.th. kur "kordoni i vorbullës" (tubi i vorbullës): 1) fillon dhe përfundon në sipërfaqen e lirë të lëngut; 2) fillon në sipërfaqen e lirë të lëngut dhe përfundon në murin e ngurtë; 3) fillon dhe përfundon në një mur të fortë; 4) është e mbyllur.
Në një lëng ideal, vorbullat nuk mund të ndryshojnë intensitetin e tyre, si të thuash, janë "të dënuar" të ekzistojnë përgjithmonë, të paaftë të lindin ose të degjenerohen. Në një lëng të vërtetë (për shkak të fërkimit), vorbullat krijohen dhe më pas shpërndahen, d.m.th., degjenerohen.
Intensiteti i tubit, si vorbulla e shpejtësisë, nuk mund të matet drejtpërdrejt. Është relativisht e lehtë për të përcaktuar shpejtësinë e grimcave të lëngshme. Prandaj, lind pyetja për vendosjen e një lidhjeje midis intensitetit të tubit të vorbullës dhe shpërndarjes së shpejtësive në lëng. Për të zgjidhur këtë çështje Le të prezantojmë një karakteristikë sasie të fushës së shpejtësisë - qarkullimi i shpejtësisë përgjatë një linje të caktuar.
Qarkullimi vektorial përgjatë një konture të caktuar është integrali lakor i llogaritur përgjatë konturit nga projeksioni i vektorit në tangjenten në kontur:
Pastaj lidhja midis intensitetit të tubit të vorbullës dhe shpërndarjes së shpejtësisë jepet nga teorema e njohur e Stokes: intensiteti i tubit të vorbullës është i barabartë me shpejtësinë e qarkullimit në një lak të mbyllur,një herë duke rrethuar tubin e vorbullës:
Teorema e Stokes redukton sasinë e intensitetit të tubit të vorbullës në llogaritjen e qarkullimit të shpejtësisë. Matja e drejtpërdrejtë e shpejtësisë me instrumente speciale nuk është e vështirë, dhe përmbledhja e termave të përfshirë në integralin e qarkut të mbyllur është një operacion më i saktë se sa diferencimi i shpërndarjes së shpejtësisë (i nevojshëm për llogaritjen e kalbjes w) dhe përmbledhjen pasuese.
Një përfundim i rëndësishëm rrjedh nga kjo teoremë: nëse në ndonjë rajon rrjedha është jorrotulluese ( w= 0, kalb w= 0), pra potenciali, atëherë qarkullimi i shpejtësisë përgjatë çdo konture të mbyllur të tërhequr në këtë zonë është i barabartë me zero (Г = 0). Nga teorema e konsideruar, përveç kësaj, rrjedh se qarkullimi përfundimtar i shpejtësisë përcakton efekt vorbull në fushën e shpejtësisë në një rrjedhje lëngu.