«Нестандартные методы решения уравнений. §3 Иррациональные уравнения, сводимые к модулю. Таким образом, получили уравнение

Нестандартные методы решения уравнений.

Рыбенкова М.П.

МБОУ «Школа 140»

Н.Новгород.

Глава I . Методические рекомендации к изучению нестандартных

методов решения уравнений.

1. Особенности обучения во втором концентре.

1.2. Нестандартные методы.

1.3. Развитие творческого мышления при решении уравнений нестандартными методами.

Глава I I . Нестандартные методы решения уравнений.

2.1. Решение уравнений с помощью исследования ОДЗ

2.2.Решение уравнений с использованием множества значений

2.3.Использование монотонности функций при решении уравнений

2.4.Использование эквивалентности при решении уравнений

2.5.Использование четности функций при решении уравнений

2.6.Использование векторов при решении уравнений

2.7.Использование неравенства между средним арифметическим

и средним геометрическим при решении уравнений

Заключение.

Список литературы.

ГЛАВА I . Методические рекомендации к изучению нестандартных методов решения.

1.1.Особенности обучения во втором концентре.

« Деятельности нельзя научить, но ею можно овладеть».

В условиях современной школы перед учителем стоит задача так организовать учебный процесс, чтобы школа стала не местом приобретения суммы знаний, а средой для развития личности, для овладения интеллектуальными приёмами, необходимыми в будущем. Особенно это важно в старших класса, для выпускников, которым совсем скоро предстоит адаптироваться во взрослой жизни, самостоятельно принимать решения, брать на себя ответственность.

При организации уроков в 10 -11 классах, в том числе практических занятий, учителю, прежде всего, необходимо учитывать особенности концентрической структуры образования.

Обучение в рамках первого концентра предполагает изучение фактов. В 5 -9 классах ученик знакомится с фактами, накапливает их, систематизирует и усваивает, приобретая минимум математических знаний.

Второй концентр предполагает принципиально новый уровень усвоения учебного материала. Учитель ориентирует учащихся не на информационный, а на проблемный принцип усвоения. Таким образом, в центре внимания проблемное обучение математики. Сущность проблемного обучения заключается в постановке проблемы, задачи, требующей разрешения. Это обучение, основанное на активном привлечении учащихся к учебному процессу. В связи с этим существенно меняются функции учителя и ученика, цели обучения.

Если в рамках первого концентра преобладает сообщение учителем новой информации, то есть информационно – репродуктивный уровень, то во втором концентре упор делается на познание сути математического процесса, на установление причинно – следственных связей, на определение места и роли события, на анализ фактов самими учащимися под руководством учителя.

Таким образом, ученик превращается в субъекта учебной деятельности, а задача учителя – организаторская, управляющая (учитель – менеджер урока). Учебные проблемы легко обнаруживаются при установлении связей между теориями и фактами, между теориями и понятиями, между отдельными понятиями и т.д. Так, например, проблема, почему одни и те же, скажем, иррациональные уравнения нельзя решить путем возведения в одну и ту же степень левой и правой частей уравнений.

1.2«Нестандартные» методы .

Какие же методы называются нестандартными? « Нестандартные методы решения уравнений - это такие нетипичные методы, содержащие в себе оригинальную, творческую идею, это не традиционные методы, далекие от шаблона. Оценка метода решения уравнения с позиции традиционности (нестандартности) во многом субъективна: на сколько непривычен для учащегося предложенный прием, настолько он и нестандартен. И, наверное, самая высокая степень нестандартности идеи – это ее неожиданность.

Понятие «нестандартный» метод является относительным. Как только учитель познакомит учащихся с такими методами решения уравнений, они перестают быть «нестандартными».

Нестандартные задачи, опять – таки условно, можно разделить на два типа: нестандартные и стандартные по внешнему виду. Довольно часто задача первого типа представляет нечто вроде «функционального винегрета», т.е. ее конструируют функции из различных разделов математики. Например: .

С задачами второго типа иная ситуация. Их внешняя «успокоительная стандартность» - своего рода коварство. Зачастую по закону зловредности длинное решение менее замаскировано, чем короткое. В таких случаях бывает полезно еще раз проанализировать условие задачи, а самое главное, попытаться найти ее конкретные особенности, позволяющие обнаружить ее традиционную идею. Поэтому для решения такого рода задач особенно важны такие качества, как сообразительность, интуиция, высокая логическая культура. При этом вовсе не хотим сказать, что второй тип задач более сложный, чем первый: ощущение необходимости поиска нетрадиционной идеи еще не означает, что такова будет найдена .

Универсального метода, позволяющего решить любое уравнение, любую нестандартную задачу, к сожалению, нет. Но, чтобы добиться хороших результатов, надо соблюдать следующие методические приемы:

1)Вызвать интерес к решению той или иной задачи. (Можно научить решать такие уравнения только в том случае, если у ученика будет желание.) Умение учителя отбирать интересные задачи.

2)Задачи не должны быть слишком легкими или слишком трудными, чтобы ученик не потерял веру в себя не предлагать ученикам те задачи, которые они заведомо не решат.

3)Если не решат заданную задачу, то не предлагать ее решение, а подсказать идею решения, или план, или вспомогательные задания.

4)Отмечать успехи учащихся в решении такого типа задач.

5)Нет ничего плохого в том, что при решении таких задач ученик обратился к кому-то за помощью, ему интересна задача, а изучение способа решения, предложенного кем-то другим, будет способствовать накоплению определенного запаса математических фактов.

1.3.Развитие творческого мышления при решении уравнений нестандартными методами.

Самостоятельный поиск нетрадиционного способа решения уравнения, ведущего к быстрому и рациональному способу решения, способствует развитию творческого мышления.

Психологами было затрачено много усилий и времени на выяснение того, как человек решает новые, необычные, нестандартные, творческие задачи. Однако до сих пор ясного ответа на вопрос о психологической природе творчества нет. Наука располагаем только некоторыми данными, позволяющими частично описать процесс решения человеком такого рода задач, охарактеризовать условия, способствующие и препятствующие нахождению правильного решения.

Мышление отличается от других психологических процессов тем, что оно почти всегда связано с присутствием проблемной ситуации, задачи которую нужно решить. В мышлении на основе информации делаются определенные теоретические и практические выводы.

Мышление - это движение идей, раскрывающее суть вещей. E го итогом является не образ, а некоторая мысль, идея.

Что же такое творческое мышление? Одним из первых попытался сформулировать ответ на данный вопрос Дж.Гилфорд. Он считал, что «творческость» мышления связана с доминированием в нем четырех особенностей

A. Оригинальность, нетривиальность, необычность высказываемых идей, ярко выраженное стремление к интеллектуальной новизне. Творческий человек почти всегда и везде стремится найти свое собственное, отличное от других решение.

Б Семантическая гибкость, т.е. способность видеть объект под новым углом зрения, обнаруживать его новое использование, расширять функциональное применение на практике.

B. Образная адаптивная гибкость, т.е. способность изменить восприятие объекта таким образом, чтобы видеть его новые, скрытые от наблюдения стороны.

Г. Семантическая спонтанная гибкость, т.е. способность продуцировать разнообразные идеи в неопределенной ситуации, в частности в такой, которая не содержит ориентиров для этих идей.

В ходе исследований творческого мышления были выявлены условия, которые способствуют быстрому нахождению решения творческой задачи:

1.Если в прошлом определенный способ решения человеком некоторых задач оказался достаточно успешным, то это обстоятельство побуждает его и в дальнейшем придерживаться данного способа решения. При встрече с новой задачей человек стремится применить его в первую очередь.

2.Чем больше усилий было потрачено на то, чтобы найти и применить на практике новый способ решения задачи, тем вероятнее обращение к нему в будущем. Психологические затраты на обнаружение некоторого нового способа решения пропорциональны стремлению использовать его как можно чаще на практике.

3.Максимум эффективности в решении интеллектуальных задач достигается при оптимальной мотивации и соответствующем уровне эмоционального возбуждения. Этот уровень для каждого человека сугубо индивидуален

Условия, которые препятствуют быстрому нахождению решения творческой задачи:

1.Возникновение стереотипа мышления, который в силу указанных выше условий мешает человеку отказаться от прежнего и искать новый, более подходящий путь решения задачи.

Один из способов преодоления такого сложившегося стереотипа состоит в том, чтобы на некоторое время вообще прекратить попытки решения задачи, а затем вернуться к ней, с твердой установкой пробовать для поиска решения только новые пути.

2.Интеллектуальные способности человека, как правило, страдают от частых неудач, и боязнь очередной неудачи начинает автоматически возникать при встрече с новой задачей. Она порождает защитные реакции, которые мешают творческому мышлению, обычно связанному с риском для собственного «Я». В итоге человек теряет веру в себя, у него накапливаются отрицательные эмоции, которые мешают ему думать. Чувство успеха для усиления интеллектуальных потенций людей столь же необходимо, как и ощущение правильности какого-либо движения для его усвоения.

Чем больше знаний имеет человек, тем разнообразнее будут его подходы к решению творческих задач. Однако соответствующие знания должны быть разнонаправленными, так как они обладают способностью ориентировать мышление на различные подходы к решению.

Почему уравнения? В течение всех лет обучения в школе решают различные виды уравнений: линейных, квадратных, дробно – рациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических и т. д., но проблема остается: решение уравнений один из наиболее трудных заданий по математике. Даже если ученик правильно проводит тождественные преобразования, входящих в него выражений, безошибочно вычисляет. Нужно знать какие способы, в каких ситуациях применять, а это умение вырабатывается при знании различных методов решения и большой практике.

Если ученик научится решать уравнения. Он эти знания перенесет на решение неравенств, систем уравнений и неравенств. В нестандартных методах используются свойства всех функций входящих в состав уравнений, знания скалярного произведения векторов, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, и многое другое. Это вырабатывает умения переносить знания с одного предмета на другой, и на другие учебные ситуации. Вооружив ученика различными методами решения уравнений, его мышление претерпевает изменения, учащайся сам начинает предлагать различные подходы к решению уравнений, предлагая порой интересные нестандартные решения. Его уже не пугает сложный вид порой и нестандартного уравнения, применяя различные способы решения которого нестандартность улетучивается.

Для углубления знаний по методам решения уравнений используются индивидуально-групповые занятия, начиная с третьей четверти.

Основная задача наших занятий: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее уровень сложности решения задач. Как видим, личная цель - подготовки к конкурсному экзамену - совпадает с общественной- повышением уровня математической подготовки выпускников средней школы. Не зависимо от цели у учащихся повышается интерес к математике, к творческим заданиям. Ориентируя школьников на поиски красивых изящных решений математических задач, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. Главная цель задач - развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов.

Следует отметить тот факт, что любая математическая задача, решаемая на уроках, на внеклассных занятиях или дома должна обязательно чему-нибудь научить учащихся. Решение каждой задачи должно быть шагом вперед в развитии математических знаний, умений и навыков учащихся, должно обогащать их знания и опыт, учить их ориентироваться в различных ситуациях.

Систематическая работа по изучению способов решения уравнений поможет учащимися не только научиться решать задачи, но и самим их предлагать. Умение находить нестандартные, более рациональные пути решения уравнений, свидетельствует о культуре их мышления, хорошо развитых математических способностях.

Учитель должен помнить, что решение задач является не самоцелью, а средством обучения. Обсуждение найденного решения, поиск других способов решения, закрепление в памяти тех приемов, которые были использованы, выявление условий возможности применения этих приемов, обобщение данной задачи – все это дает возможность школьникам учиться на задаче. Именно через задачи учащиеся могут узнать и глубоко усвоить новые математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить определенный опыт, сформировать умения самостоятельно и творчески применять полученные знания.

Чтобы добиться эффективности этих занятий необходимо выполнение следующих правил.

1)Новые идеи, не опирающиеся на дополнительные теоретические сведения, следует вводить через уравнения по схеме; уравнение - самостоятельный поиск решения – разбор ее решения – выделение идеи.

2) При решении таких заданий должен работать принцип регулярности, основная работа происходит не в классе, а дома.

3)Не стоит загружать ученика большой по объему, но не сложной работой, также как нельзя ставить перед ним непосильную задачу.

4) Ученик имеет право отложить трудную задачу(уравнение), если он над ее решением потрудился определенное время, и она у него не получилась. В этом случае процесс усвоения новых идей будет более эффективным.

5) Приветствуется правильная идея, в период накопления идей или же при решении трудных задач.

6) Полезно приводить различные приемы и методы решения одного и того же уравнения, а затем обсудить решения на предмет рациональности, красоты, нестандартности решения. При отыскании различных способов решения задач у школьника формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки.

7)Постоянный повтор при решении ранее изученных методов решения

применять полученные знания.

ГЛАВА 2. НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.

Собранные здесь уравнения не являются очень сложными,но по мере занятий усложняются. Некоторые методы решения уравнений условно можно назвать нестандартными.

Решение уравнений с помощью исследования ОДЗ.

Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) уравнения называется множество тех значений неизвестного, при которых имеют смысл его левая и правая части.

В этом пункте мы рассматриваем решение иррациональных уравнений, которые можно решать стандартным путем, избавляясь от иррациональности, а затем выполнить проверку. Но такой способ ведет к громоздким вычислениям, к решению рациональных уравнений четвертой, шестой степени, которые решить очень сложно. При решении некоторых уравнений знание ОДЗ уравнения и применение некоторых оценок позволяет найти все его корни или доказать, что их нет.

Предлагаю ученикам решить 2 таких уравнения дома, перед занятием. Чаще всего они пытаются решить эти уравнения, избавляясь от иррациональности, но находятся 1-2 человека в классе, которые выбирают рациональный путь решения, что радует. Затем совместно рассматриваем оба способа решения уравнений.

Примеры.

1)Решить уравнение
-
=
-

Решение: видно, что для решения этого уравнения можно возвести в квадрат обе части уравнения, что возможно позволит избавиться от иррациональности

11х+3-2
+2-х=9х+7-2
+х-2

Приведем подобные 10х+5-2
=10х+5-2

=
.

После возведения в квадрат обеих частей уравнения, приведем подобные и получим стандартное квадратное уравнение

20х 2 -30х-20=0,

2х 2 -3х-2=0,

х 1 =
, х 1 =2 х 2=
, х 2 =-0,5

Полученные корни необходимо проверить, т.к. при возведении в квадрат, возможно приобретение посторонних корней.

Проверка:

х=2,
-
=5,
-
=5, 5=5
х=2 корень данного уравнения

х=-0,5 ,
-
=
-

х=-0,5-посторонний корень.

Ответ: х=2

Однако, сравнив области определения функций у=
, (х-20, х2) и у=
, (2-х
, приходим к выводу, что область определения исходного уравнения х=2. Подставив х=2 в данное уравнение, приходим к выводу, что х=2 единственный корень этого уравнения.

Ответ: х=2.

Очевидно, что решать данное уравнение вторым способом удобнее и быстрее чем первым. Рассмотрим еще несколько таких уравнений.

2)Решить уравнение
+
=
-1.

Решение: найдем ОДЗ этого уравнения. Для этого нужно решить систему неравенств: х 2 -х
,

2-х-х 2 >0,

, х=0, х=1

-1

Итак, ОДЗ этого уравнения является двух элементное множество
. Проверим, являются ли эти значения корнями уравнения:

х=0 ,
+
=

-1 =-1,

, х=0 - не является корнем уравнения.

х =1
+
=0

-1=0, 0=0
х=1- корень уравнения.

Ответ: х=1.

3) Сколько корней имеет уравнение.

Решение:

Данное уравнение не определено не при каких действительных х.

Ответ: уравнение не имеет корней.

4) Решить уравнение:

Решение: область определения уравнения:

Это уравнение равносильно следующей системе:

(х-4)(х-2)=(12-3х) 2 ,

12-3х0.

12-3х0, х4.

Учитывая область определения уравнения, единственно возможным корнем может быть только х=4, проверим:

х=4- корень уравнения.

Ответ: х=4.

5)Решить уравнение:

Решение: Попытки решить уравнение, производя последовательное возведение в квадрат и единение радикала, ведут здесь к уравнению четвертой степени и заводят в тупик. Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл.

5-х0, х5,

7-х0, х7, нет решения.

2х-15. х7,5.

Видим, что нет таких действительных х при которых было бы определено данное уравнение.

Ответ: нет корней.

Решение уравнений с использованием множества значений.

При решении некоторых уравнений нахождение множества значений существенно облегчает задачу решения уравнений. Этот метод довольно часто встречается у ребят с развитой культурой мышления. Легко усваивается, они пытаются часто применять его при решении других уравнений.

1)Решить уравнение:Решение: найдем область определения данного уравнения:

Оценим правую и левую части уравнений: т.е., а
.

Левая часть уравнения больше правой, значит, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

2)Решить уравнение:
.

Решение: имеем стандартное иррациональное уравнение. Тем не менее, не будем спешить возводить в квадрат. Для начала найдем ОДЗ уравнения:

значит
т.к.
то левая часть уравнения больше 2 , а правая равна 1. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

3)Решить уравнение: 2 cosx =cosx +
.

Решение: вновь оценим правую и левую части уравнения.

Т.к.
, то левая часть уравнения
.

Правая часть уравнения должна быть положительна, т.к. 2 t >0, значит cosx >0. Используя неравенство Коши
.

Тогда, если корень данного уравнения существует, то только в том случае, если правая и левая части уравнений равны 2.

х=2Пк, к

Ответ: х=2Пк, кZ .

4) Решить уравнение:

Решение:
а Решение этого уравнения равносильно системе:

Из первого уравнения системы получаем х=0, проверим является ли х=0 решением второго уравнения системы: х=0 корень уравнения.

Ответ: х=0.

5) Решить уравнение:

Решение этого уравнения аналогично предыдущему: очевидно х 2
и log
т.к. основание логарифма 3>1, а

1-(3 х -1) 2 1, уравнение равносильно системе:

х=0- корень уравнения.

Ответ: х=о.

6) Найти целые корни уравнения: (6-х)(х-2)(х+3)(х+9)=24х 2

Решение: это уравнение предлагалось на едином экзамене, рассмотрим решение этого уравнения двумя способами: с помощью оценки левой и правой частей уравнения, и второй способ- с помощью преобразований. Первый способ, мне так кажется, более прост и экономичен по времени его решения.

а) правя часть данного уравнения не отрицательна, значит

(6-х)(х-2)(х+3)(х+9)0, решим это неравенство методом интервалов:

- + - + -

9 -3 2 6 х

Целые решения этого уравнения следует искать среди делителей свободного члена, равного 6 (-2) 3 9= -324.

Перечислим все целые значения являющиеся решением неравенства:

9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,2,3,4,5,6. Очевидно, что 6,2,-3,-9 не являются корнями уравнения, (т.к. при этих значениях левая часть уравнения равна нулю, а правая нет) числа –7,5,-8 не являются делителями числа –324. Проверим, являются ли решениями числа –-6,-4,3,4.

х=-6, 12⋅ (-8)⋅ (-3) ⋅ 3 =864, 24 ⋅ 36=864, 864=864.

х=-4, 10⋅ (-6) ⋅ (-1) ⋅ 5=300, 24⋅ 16=384, 300384.

х=3, 3 ⋅ 1 6 ⋅ 12 =216, 24⋅ 9=216, 216=216.

х=4, 2 ⋅ 2⋅ 7 ⋅ 13=364, 24⋅ 16=384, 364384.

Итак, х=-6, х=3 целые корни уравнения.

Ответ: х=-6; х=3.

б) решим это же уравнение другим способом:

(6-х)(х-2)(х+3)(х+9)=24х 2 , выполним некоторые преобразования:

(6х+18-х 2 -3х)(х 2 +7х-18)=24х 2

(-х 2 +3х+18)(х 2 +7х-18)=24х 2

очевидно, что х=о не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х 2

Х 2 (х--3)(х-+7)=24х 2 ,

(х--3)(х-+7)=-24,

Пусть

тогда (t -3)(t +7)=-24,

t 2 +4t -21=-24, t 2 +4t +3=0, t 1 =-1 ,t 2 =-3.

/ х

х 2 +х-18=0 ,х 1,2 =
- не являются целыми решениями уравнения.

/х

х 2 +3х-18=0, х 3 =-6, х 4 =3.

Ответ: х=-6;х=3.

7)Решить уравнение:

Решение: метод возведения в квадрат при решении этого уравнения приводит к рациональному уравнению восьмой степени, корни которого найти не легко. Заметим, что левая часть уравнения существует при любых действительных значениях переменной х, а правая не отрицательна при условии

Заметим, что ,

в то время как
Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части уравнения равны 3.

Значит х=0- единственный корень уравнения.

Ответ: х=0.

8)Решить уравнение

Решение: попытки найти корни, возводя обе части уравнения в квадрат, обречены на неудачу. Выпишем условие существования функции, стоящей в левой части уравнения Решение этого неравенства, также представляется проблематичным. Проверим не отрицательность правой части –1-2х 2 >0 это неравенство решений не имеет, но тогда исходное уравнение не имеет корней, т.к. левая часть его неотрицательная функция.

Ответ: нет корней.

9) Решить уравнение

Решение: если для многих предыдущих уравнений можно было найти традиционный путь – решение с помощью привычных школьных рассуждений, правда, затратив при этом гораздо больше времени. А это уравнение лишает нас такого выбора. Обычно подобные задачи условно называют нестандартными. Уже «внешний вид» подобного уравнения подсказывает, что для решения надо придумать что-то нетрадиционное.

Оценим правую часть уравнения:
, оценим левую часть уравнения:
,
,
.

Исходное уравнение имеет корни лишь в том случае, если cosy =1,

тогда cosy =1

значит х=0, у=0.

Ответ: (0;0).

Использование монотонности функций при решении уравнений.

С каждым уравнением связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. Поэтому присутствие функций, а точнее их свойства, не могут не влиять на решения задач такого рода. Просто в одних случаях мы как бы негласно используем свойства функций, в других – явно ссылаемся на них. Порой «гласное» смещение акцентов в сторону свойств функций может оказать существенную пользу в поиске рациональных идей решения.

Очень часто мы встречаемся с такими уравнениями, в которых методом подбора легко определить корень, чаще всего один. Казалось бы, все просто, но ведь решить уравнение, это значит не только найти его корень, но и доказать, что он единственный. Столкнувшись с этим, многие начинают решать это уравнение стандартным способом, который может оказаться запутанным и сложным. Но если применить свойства монотонности функций, то можно многие подобные уравнения решать более рационально.

Основная идея такова: если f (x ) монотонно возрастает, а g (x ) монотонно убывает, то уравнение f (x )=g (x ) имеет не более одного решения, причем если х=х 0 - решение этого уравнения, то при х >х 0 (х входит в область определения обеих функций f (x ) и g (x )) будет f (x )>g (x ) , а при х

Подтвердим сказанное примерами:

1)Решить уравнение:3 х +4 х =7 х.

Решение: разделим обе части уравнения на 7 х,
очевидно, что х=1- корень уравнения и он единственный т.к. левая часть уравнения представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз.

Ответ: х=1.

2)Решить уравнение:

Решение: традиционный метод решения такого уравнения хорошо известен. Легко заметить, что х=1 корень. Левая часть уравнения задают возрастающую функцию, правя константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня.

Ответ: х=1.

3)Решить уравнение:

Решение: х=1, функция у=
возрастает на множестве

на этом же множестве у= убывает. Поэтому х=1- единственный корень.

Ответ: х=1.

4)Решить уравнение:

Решение: функция, расположенная в левой части уравнения, монотонно возрастающая на области орределения., а функция, стоящая в правой части, убывает. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Значение корня легко подбирается х=1.

Ответ: х=1.

5) Решить уравнение: 3 х-1 =5-х.

Решение: х=2 единственный корень т.к. у=3 х-1 -монотонно возрастающая функция, а у=5-х – монотонно убывающая.

Ответ: х=2.

6)Решить уравнение:

Решение: это уравнение легко «превратить» в рациональное четвертой степени. Поиск корней последнего затруднителен, и учащийся должен обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с этой задачей. Выберем путь менее традиционный: несложно обнаружить, что х=3 – корень уравнения. Область определения уравнения
Но теперь, в отличии от ранее рассмотренных левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Однако на промежутке
указанная функция возрастает и х=3 принадлежит этому промежутку. Значит, на промежутке
данное уравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции у=
на отрезке
при

а
на отрезке
исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: х=3.

7)Решить уравнение:4 3 3х+1 +4=5 2 9х.

Решение: казалось бы это уравнение нельзя решить тем же способом,

что и предыдущие. Но если произвести замену 3х=t , то основываясь на монотонности функций можно решить уравнение относительно t ,а потом найти корень исходного уравнения.

, t =1 является корнем. Проверим: 12 3 1 +4=36+4=40 ,5 2 3 =40, 40=40 t =1 корень, докажем что он единственный, для этого изменим вид уравнения.

12 3 t +4=5 2 3 t /3 t

Функция у=5
монотонно возрастающая, а у= монотонно убывающая при любом t , следовательно, уравнение относительно t может иметь только один корень t =1, значит, исходное уравнение имеет только один корень х=

Ответ: х=

Рассмотрим модификацию идеи: если f (x ) монотонно возрастает, а g(x) монотонно убывает, то уравнение f (x )=g (x ) имеет не более одного решения, она заключается в следующем: если f (x )- монотонная функция, то из равенства f (x )=f (у) следует, что х=у.

Используем эту идею при решении уравнений.

8)Решить уравнение log 6- x log 2 x =log 7- x log 2 (2x ).

Решение: преобразуем уравнение:

Рассмотрим функцию f (t )=log t (t +1). Докажем, что при t >1 эта функция монотонно убывает.

f (t )-1=log t (t +1)-1=log t
-получившаяся функция, очевидно, является убывающей(основание растет, под знаком логарифма функция убывает).

Наше уравнение имеет вид: f (6-x )=f (log 2 х), значит, log 2 х=6-х. Слева функция возрастающая, справа убывающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: х=4. Ответ: х=4.

9) Решить уравнение

Решение: пусть х 2 -4х-2=t , t >0.

| : 2

Пусть
,

,

т.к. функция
монотонна (это мы доказывали в предыдущем уравнении) то f (a )=f (t ) равносильно a =t , т.е. получаем уравнение

Ответ: .

Использование эквивалентности при решении уравнений.

При решении уравнений вида f (f (x )) = x полезна бывает теорема: Если у=f (х) – монотонно возрастающая функция, то уравнения f(x)=x и f (f (x ))=x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы.

1)Решить уравнение

Решение: перепишем уравнение:
Рассмотрим функцию f (x )=1+
, эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение f (f (x ))=x .

В соответствии с теоремой заменяем его эквивалентным уравнением f (x )=x или

. Пусть
. Имеем у 2 -у-1=0,

у 1,2 =
; у 1 =
, у 2 =
- не удовлетворяет условию
.

,
, х=
.

Ответ: х=
.

2)Решить уравнение
.

Решение: преобразуем уравнение
.

Данное уравнение имеет вид: f (f (x ))=x , где f (x )=
, эта функция монотонно возрастает. Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение:
х 3 -2х+1=0, (х-1)(х 2 +х-1)=0. х 1 =1 или х 2 +х-1=0, х 2,3 =

Ответ: х 1 =1, х 2 =
, х 3 =

3)Решить уравнение

Решение: выполним некоторые преобразования
,
Это уравнение имеет вид x =f (f (х)), где f (х)=
, f (х)- монотонно возрастает. Следовательно, уравнение эквивалентно
. Заменим
, получим 2у 3 -у-1=0. у 3 -у+у 3 -1=0,у(у 2 -1)+(у-1)(у 2 +у+1)=0,(у-1)(у 2 +1+у 2 +у+1)=0,(у-1)(2у 2 +у+1)=0

у=1, уравнение 2у 2 +у+1=0 не имеет корней.

, х=1.

Ответ: х=1.

4)Решить уравнение ln (1+ln х)=x -1.

Решение: ln (1+lnx )+1=x , Это уравнение имеет вид x =f (f (x ) , где f (x )=ln х+1. f (x )=1+lnx – монотонно возрастает при х > 0, следовательно, уравнение эквивалентно уравнению х=ln х+1, х-1=ln х.

Решим это уравнение графически: у=х-1 – графиком этой функции является прямая, проходящая через точки с координатами (0;-1), (1;0)

Функция у=lnx определена при х>0 . Очевидно, что х=1-корень уравнения, его единственность подтверждается графически.

Ответ: х=1.

Использование четности функции при решении уравнений.

1)Может ли при каком–нибудь значении а уравнение 2х 8 -3ах 6 +4х 4 -ах 2 =5 иметь пять корней?

Решение: рассмотрим функцию f (х)=2х 8 -3ах 6 +4х 4 -ах-5. Она определена при всех действительных х, является четной, т.к.f (x )=f (-x ) и область определения симметрична относительно нуля.

График функции f (х) симметричен относительно оси ординат, то есть для любого х из области определения, -х из области определения и только х=0 симметричен сам себе. Тогда, если исходное уравнение имеет нечетное число корней (пять), то х=0 – корень уравнения. Проверкой убеждаемся, что х=0 не является корнем уравнения - 0=5. Значит, исходное уравнение не может иметь пять корней не при каких а.

Ответ: не при каких действительных а уравнение 2х 8 -3ах 6 +4х 4 -ах 2 =5 не может иметь пять корней.

2)Докажите, что уравнение 3 х +3 -х =ах 4 +2х 2 +2 имеет нечетное число корней.

Решение: рассмотрим функцию f (х)=3 х +3 -х -ах 4 -2х 2 -2. Она определена при всех действительных х, является четной. Согласно предыдущей задаче, если имеет нечетное число корней, то х=0 корень исходного уравнения. Проверим: 3 0 +3 0 =2, 0+0+2=2, 2=2. х=0 является корнем уравнения, значит, исходное уравнение имеет нечетное число корней.

Ответ: уравнение 3 х +3 -х =ах 4 +2х 2 +2 имеет нечетное число корней.

3)Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение
имеет единственное решение.

Решение: рассмотрим функцию f (х)=
, определена при всех действительных х, четная, т.к. f (-х)=f (х) и область определения симметрична относительно нуля. График функции f (х) симметричен относительно оси ординат, х=0 симметричен сам себе. Таким образом, х=0 может являться либо единственным решением, либо одним из нескольких. Найдем f (0). f (0)=4 0 -2 0 а+4=5-а. f (0)=0, если а=5. Дабы исключить значения а, при которых уравнение f (х)=0 имеет два и более решений, сделаем проверку. Если а=5, то f (х)=0.
. Решая это уравнение с помощью замены
, получим
, х=0 или
х=2;х=-2. То есть уравнение f (х)=0 имеет три решения, где х=0 – одно из них. 1 , два корня при; .

=

=

При этом равенство достигается при условии
, тогда

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В этой работе собраны решения уравнений нетрадиционными методами, с помощью которых можно решать достаточно сложные задачи. Нестандартное решение заключается в том, чтобы путем логических рассуждений, основываясь на свойства функций, на неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, на скалярное произведение векторов, избежать громоздких математических преобразований, а иногда решить уравнение, которое нельзя решить стандартными способами. Несмотря на то, что выше были рассмотрены только уравнения, с помощью этих методов можно решать и другие задачи. К сожалению, нельзя привести четкой классификации по методам решения уравнений. Выбор метода решения предстоит сделать ученику на основе анализа исходных уравнений. Развивается умственная культура учащихся через систему задач. При решении уравнений нестандартными способами возникают вопросы, проявляется интерес к поиску нового способа решения. По окончании этой темы было проведено семинарское занятие, где ребята предлагали свои методы решения уравнений или систем уравнений. Работа на практическом занятии позволяет формировать у ученика важные для современного человека компетенции: умение самостоятельно приобретать необходимые знания, применять их на практике, умение грамотно работать с информацией, анализировать её и критически обрабатывать, умение занимать свою позицию в дискуссиях, наконец, умение сотрудничать и работать в коллективе

Опыт показывает, что в условиях современной школы актуально звучат слова:

« Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, и я научусь».

Список литературы.

Авдонин Н.И., Голубев В.К. 30 уроков репетитора по математике

Н. Новгород, «Век»,1997г.,-304с.

Варианты тестов по математике вНф ГУВШЭ в 2000-2001гг.

Бляхман Л.Г.,Громов Е.М. и др. Н.Н.:2001-38с

3. Горнштейн П. И. Мерзляк. А.Г. Экзамен по математике и его подводные рифы-«Илекса», Харьков:Гимназия,1998г.,-237с. 4.Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Седова Е. А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы.11класс.-М.:Дрофа,2001.-192с.

5.Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. Алгебраический тренажер-«Илекса»,

Харьков: Гимназия,1998г.,-320с.

6.Сенниковский Я.И. Приватный репетиторъ по математике- Н.Новгород:

АО «ИЛМА», 1995г.,-242с.

7.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.- М.: 2001.-432с.

8.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач по математике 11класс.-М.:Просвещение,1991г.,-384с.

9.Газета «Математика», №25,36,48-Москва: Первое сентября

П.И. Горнштейн, А.Г.Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Экзамен по математике и его подводные рифы.-М.: Илекса,Харьков:Гимназия,1998.

1 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ

2.1 Использование монотонности функции

2.2 Использование ограниченности функции

2.3 Использование периодичности функции

2.4 Использование четности функции

2.5 Использование ОДЗ функции

3 НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

3.1 Умножение уравнения на функцию

3.2 Угадывание корня уравнения

3.3 Использование симметричности уравнения

3.4 Исследование уравнения на промежутках действительной оси

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению (неравенству) того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в ходе данной работы. Выше сказанное определяет актуальность курсовой работы. Объект исследования – уравнения и неравенства, не поддающиеся решению с помощью стандартных методов, или отличающиеся громоздкостью стандартного решения.

Целью данной работы является ознакомление с нестандартными методами решения уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели в данной работе решались следующие задачи:

1.Собрать сведения из истории математики о решении уравнений.

2.Рассмотреть и применить на практике методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

3.Рассмотреть и применить на практике дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравнений или неравенств следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «в лоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований. Курсовая работа состоит из введения, трех глав и списка использованных источников. В первой главе приведены некоторые сведения из истории математики о решении уравнений. Во второй главе рассмотрены методы решения, основанные на использовании свойств функции. Третья глава посвящена рассмотрению дополнительных (искусственных) методов решения.

Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений. Есть в ней такая задача:

«Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96».

Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой и которое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + х и 10-х (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100-х 2 = 96, для которого указывал лишь положительный корень 2.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э.

Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорезми (787 - ок. 850). В нем рассмотрены и решены (в геометрической форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. При этом рассматривались только положительные корни уравнений.

В работах европейских математиков XIII - XVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Михаэль Штифель (1487 - 1567), который рассматривал уже и отрицательные корни.

В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) имелось немало задач на квадратные уравнения. Вот одна из них:

«Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колико оная баталия будет иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставить по фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в 2 раза больше числа солдат, расположенных им «в затылок»?

В древневавилонских текстах (3000 - 2000 лет до н. э.) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих и уравнения второй степени. Приведем одну из них:

«Площади двух своих квадратов я сложил: 25 . Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5».

Соответствующая система в современной записи имеет вид:

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540 - 1603), служивший шифровальщиком при дворе французского короля, впервые ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, т. е. коэффициентов уравнений. Ф. Виет для обозначения нерасшифрованных букв в донесениях противника использовал редкие буквы латинского алфавита х, у и z, что и положило начало традиции обозначать неизвестные в уравнениях буквами х, у и z. Особенно ценил Виет открытые им формулы, которые теперь называются формулами Виета. Однако сам Виет признавал только положительные корни.

Лишь в ХVII в. после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид.

Вернемся в начало XVI в. Тогда профессор математики болонского университета Сципион дель Ферро (1465-1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида

где р и q – числа положительные.

Это открытие, по обычаям того времени, профессор держал в строгом секрете. О нем знали лишь два его ученика, в том числе некий Фиоре. Утаивание математических открытий тогда было обычным явлением, так как в Италии практиковались математические диспуты-поединки. На многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения на месте или в определенный срок. Чаще всего это были задачи по алгебре, которую называли тогда великим искусством. Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. Вот почему участнику диспута было важно обладать неизвестным другим алгоритмом решения некоторых задач.

После смерти профессора дель Ферро его ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, вызвал на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тарталья (1499-1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений в радикалах, так как предполагал, что Фиоре уже обладал этой формулой. Позднее Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаря благословенной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока».

Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Фиоре не смог решить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, но продолжал держать открытую формулу в секрете.

Другой итальянский математик Джерол. но (1501 - 1576) узнал от Тартальи правило решения кубического уравнения (1) и дал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны. Правда, Тарталья лишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано, познакомившись с рукописями покойного профессора дель Ферро, получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраических вещах, в одной книге», где впервые опубликовал формулу для решения уравнения (1), а кубическое уравнение общего вида предлагал свести к уравнению (1).

После выхода в свет этой книги Кардано был обвинен Тартальей в нарушении клятвы, но формула, открытая дель Ферро и Тартальей, и по сей день называется формулой Кардано.

Такова полная драматизма история открытия формулы корней кубического уравнения (1).

В той же книге Кардано привел алгебраическое решение уравнения четвертой степени. Это открытие сделал один из его учеников Лудовико Феррари (1522 - 1565). После этого начались настойчивые поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трех столетий, и лишь в начале XIX в. норвежский ученый Нильс Хенрик Абель (1802 -1829) и французский ученый Эварист Галуа (1811 -1832) доказали, что уравнения степеней выше четвертой в общем случае в радикалах не решаются.

Математик и философ Рене Декарт (1596 -1650) впервые сформулировал в своей книге «Геометрия» основную теорему алгебры о числе корней уравнения n-й степени. При этом Декарт допускал существование не только истинных (положительных) и ложных (меньших, чем ничего, т. е. меньших нуля - отрицательных) корней, но и воображаемых, мнимых (у Декарта - imaginaires), т. е. комплексных корней.

Еще в древности математики в процессе решения задач сталкивались с извлечением корня квадратного из отрицательного числа; в этом случае задача считалась неразрешимой. Однако постепенно выяснялось, что решение многих задач, задаваемых в действительных числах, получает простое объяснение при помощи выражений a + bi, где i 2 = -1, которые в конце концов тоже стали называть числами, но уже комплексными. Первое обоснование простейших действий над комплексными числами дал итальянский математик Раффаэле Бомбелли (ок. 1530 -1572) в 1572 г., хотя еще долгое время к комплексным числам относились как к чему-то сверхъестественному.

Академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707 -1783) внес существенный вклад в вопросы теории комплексных чисел. После его работ комплексные числа получили окончательное признание как предмет и средство изучения. Само название «комплексное число» было предложено в 1831 г. немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855).

В настоящее время комплексные числа широко употребляются во многих вопросах физики и техники.

Выше речь шла об алгебраических уравнениях, т. е. уравнениях f(x) = O, где f(x) - многочлен относительно х.

Кроме алгебраических уравнений, есть еще и трансцендентные уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенств существенно опирается на свойства функций, которые изучаются в математике относительно недавно.

Особое место среди алгебраических уравнений занимают так называемые диофантовы уравнения, т. е. уравнения, в которых неизвестных больше одной.

Наиболее известными из них являются линейные диофантовы уравнения. Примеры задач, приводящих к линейным диофантовым уравнениям, находим в сборнике задач монаха Алькуина, приглашенного в 795 г. Карлом Великим преподавать в первую из известных школ в г. Аахен. Вот эта задача:

«100 шеффелей (денежных единиц) разделили между мужчинами, женщинами и детьми (число персон 100) и дали при этом мужчинам по 3 шеффеля, женщинам по 2 и детям по шеффеля. Сколько было мужчин, женщин и детей?»

Обозначив количество мужчин за х, количество женщин за у, мы придем к уравнению

Зх + 2y+ (100-х-y)= 100

Общего решения линейных диофантовых уравнений в те времена еще не знали и довольствовались лишь несколькими решениями, удовлетворяющими условию задачи. У самого Алькуина было приведено лишь одно решение этой задачи: мужчин, женщин и детей было 11, 15 и 74, а задача имеет 784 решения в натуральных числах.

Задачи, приводящие к линейным диофантовым уравнениям, имелись у Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1180 - 1240), в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.

Известное диофантово уравнение Пифагора (VI в. до н. э.) х 2 + у 2 = z 2 решают в натуральных числах. Его решениями служат тройки чисел (х; у; z):

x = (m 2 -n 2)l, y = 2mnl, z = (m 2 + n 2)l,

где т, п, l - любые натуральные числа (т> п). Эти формулы помогают находить прямоугольные треугольники, длины сторон которых являются натуральными числами.

В 1630 г. французский математик Пьер Ферма (1601 - 1665) сформулировал гипотезу, которую называют великой (или большой) теоремой Ферма: «Уравнение х п + у п = z n для натурального п ≥ 3 не имеет решений в натуральных числах». Ферма не доказал свою теорему в общем случае, но известна его запись на полях «Арифметики» Диофанта: «...невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четную степень в виде суммы таких же степеней, или вообще любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Позднее в бумагах Ферма было найдено доказательство его теоремы для п= 4. С тех пор более 300 лет математики пытались доказать великую теорему Ферма. В 1770 г. Л.Эйлер доказал теорему Ферма для п = 3, в 1825 г. Адриен Лежандр (1752 1833) и Петер Дирихле (1805 - 1859) - для п = 5. Доказательство великой теоремы Ферма в общем случае не удавалось долгие годы. И только в 1995 г. Эндрю Вайлс доказал эту теорему.

Не всякое уравнение f(x) = g(x) или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций, такие как монотонность, периодичность, ограниченность, четность и др.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) > f (x 2).

На показанном на рисунке 1 графике

Рисунок 1

Функция y = f (x), , возрастает на каждом из промежутков и убывает на промежутке (x 1 ; x 2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков , но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

· Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

· Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

· Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

· Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция убывает.

· Если функция f возрастает и неотрицательна, то f n где nN, также возрастает.

· Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f также возрастает.

· Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).

Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a) , то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D:

Если для любого (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b) , то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D.

Точка наибольшего или наименьшего значения функции на множестве D может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть f(х) - непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Т, тогда уравнение f(x) = С, где С - данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке Т.

2. Пусть f(x) и g(х) - непрерывные на промежутке T функции, f(x) строго возрастает, а g(х) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(х) = =g(х) может иметь не более одного решения на промежутке Т. Отметим, что в качестве промежутка T могут быть бесконечный промежуток (-∞;+∞) , промежутки (а;+∞), (-∞; а), [а;+∞), (-∞; b], отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Пример 2.1.1 Решите уравнение

. (1)

Решение. Очевидно, что х ≤ 0 не может являться решением данного уравнения, так как тогда . Для х > 0 функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f(x) = х и . Значит, в области х > 0 функция принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х = 1 является решением данного уравнения, следовательно, это его единственное решение.

Ответ: {1}.

Пример 2.1.2Решите неравенство

. (2)

Решение. Каждая из функций у = 2 x , у = 3 x , у = 4 х непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция . Легко видеть, что при х = 0 функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х > 0 имеем , при х < 0 имеем . Следовательно, решениями данного неравенства являются все х < 0.

Ответ: (-∞; 0).

Пример 2.1.3 Решите уравнение

. (3)

Решение. Область допустимых значений уравнения (3) есть промежуток . На ОДЗ функции и непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция . Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Так как, то х = 2 является единственным корнем исходного уравнения.

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Если существует число C такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ≤ C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D (рисунок 2).

Рисунок 2

Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D (рисунок 3).

Рисунок 3

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), лежит в полосе c ≤ y ≤ C (рисунок 4).

Рисунок 4

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x 2 . Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.

Пример 2.2.1 Решите уравнение

sin(x 3 + 2х 2 + 1) = х 2 + 2х + 2. (4)

Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x 3 + 2х 2 + 1) ≤ 1, х 2 + 2х + 2 = (x + 1) 2 +1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при .

При , , т.е. при уравнение (4) так же корней не имеет.

Пример 2.2.2 Решите уравнение

. (5)

Решение. Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x 3 - x - sinπx достаточно найти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если x 0 > 0 является его решением, то и (-x 0) также является его решением.

Разобьем множество х > 0, х ≠ 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +∞)

Перепишем начальное уравнение в виде x 3 - x = sinπx. На промежутке (0; 1) функция g(х) = x 3 - x принимает только отрицательные значения, поскольку х 3 < < х, а функция h(x) = sinπx только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1; +∞). Для каждого из таких значений х функция g(х) = х 3 - х принимает положительные значения, функция h(x) = sinπxпринимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция h(x) = sinπx неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.

Если же х > 2, то |sinπx| ≤ 1, x 3 - x = x(x 2 - 1) > 2∙3 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +∞) уравнение также не имеет решений.

Итак, x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: {-1; 0; 1}.

Пример 2.2.3 Решите неравенство

Решение. ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенства на три множества: -∞ < x < -1, -1 < x ≤ 0, 0 < x < +∞ и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

Пусть -∞ < x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) = < 0, а f(x) = 2 x > 0. Следовательно, все эти x являются решениями неравенства.

Пусть -1 < x ≤ 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , а f(x) = 2 x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.

Пусть 0 < x < +∞. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , a . Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.

Ответ: .

Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

· если , то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));

· для любого выполнено равенство

f (x + T) = f (x).

Поскольку то из приведенного определения следует, что

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

График периодической функции

График периодической функции обычно строят на промежутке }