Вихревые линии. Линии токов жидкости и вихревые линии. Плавно и резко изменяющееся движение

Методы исследования движений жидкости

а) Эйлера (локальный) – в фиксированной точке

б) Лагранжа (субстанциональный) – изменение параметров при перемещении из нач. фиксир. пол. точки

Внутренняя задача – распределение параметров состояния газов в движущейся среде.

Внешняя задача – исследует силовое взаимодействие подвижной среды с находящейся в ней тела.

Поле скоростей, виды течения.

Стационарное, нестационарное.

Одномерный, двумерный (плоский), трехмерный (пространственный). Векторное поле скоростей – это область пространства движущейся жидкости в каждой точке которой однозначно определен вектор скорости. Линия тока – линия касательная к которой в любой точке совпадает с направлением вектора скорости в точке касания. В стационарном потоке линия тока совпадает с траекторией движения. Поверхность, образованная непрерывным совокупностью линией тока – поверхность тока. Часть жидкости, заключенная внутри поверхности тока, проведенная через все точки некоторый замкнутый контур в потоке – трубкой тока. В стационарном случае поверхность тока не проницаема для потока. Струйкой называется линия тока в стационарном потоке. Струйка называется элементарной если её поперечные размеры малы и скорость не меняется вдоль сечения.

Расход и средняя скорость

Поперечное сечение струйки – живое сечение. Элементарный весовой расход - . Эл. масс. расход - . Эл. объемный. расход - . эл. площадь, удельный вес. V – скорость. Расход жидкости представляет собой количество жидкости, протекающей за единицу времени через фиксированную поверхность. () Средняя скорость – это условно постоянная по сечению потока скорость, обеспечивающая расход жидкости равный истинному расходу через это же сечение. Для несжимаемой жидкости .

4. Дифференциальные уравнения неразрывности

5. Полная энергия частиц текущей жидкости , Удельная энергия

6. Уравнение Бернулли для струйки

Дифференциальные уравнения динамики невязкой жидкости в форме Эйлера

Силы: давления, массовые, инерционные.

Интеграл Бернулли

Умножая уравнения Эйлера на dx... получим , U(х,у,z)- потенциал массовых сил. .

9. Угловые скорости движения частиц. . . Вращательное движение частиц жидкости называется вихревым.

Вихревая линия, вихревая трубка, вихревой шнур.

Область пространства вращающейся жидкости, в каждой точке которого однозначно определен вектор - называется вихревым полем. Совокупность вихревых линий, пронизывающих замкнутый контур называется вихревой трубкой, а жидкость её заполняющая – вихревым шнуром. Мерой интенсивности вихревого движения служит напряженность вихревого шнура .

. Бесконечно тонкий вихревой шнур - вихревая линия.

Циркуляция скорости

Элементарная циркуляция скорости - . , Г>0, если «ветер» в спину, и наоборот.

Теорема Стокса

Циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, не выходящему за пределы жидкости равна сумме напряжений всех вихрей, пронизывающих поверхность, опирающуюся на этот контур.

Замечания: а) если то , б) Если , то . .

Особенности видов движения, рассматриваемых в гидродинамике.

Можно выделить следующие виды движения.

Неустановившееся, по поведению скорости, давления, температуры и т. д.; установившееся, по тем же параметрам; неравномерное, в зависимости от поведения тех же параметров в живом сечении с площадью; равномерное, по тем же признакам; напорное, когда движение происходит под давлением p > p атм, (например, в трубопроводах); безнапорное, когда движение жидкости происходит только под действием силы тяжести.

Однако основными видами движения, несмотря на большое количество их разновидностей, являются вихревое и ламинарное движения.

Движение, при котором частицы жидкости вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюсы, называют вихревым движением.

Это движение жидкой частицы характеризуется угловой скоростью, компонентами (составляющими), которой являются:

Вектор самой угловой скорости всегда перпендикулярен плоскости, в которой происходит вращение.

Если определить модуль угловой скорости, то

Удвоив проекции на соответствующие координаты оси? x , ? y , ? z , получим компоненты вектора вихря

Совокупность векторов вихря называется векторным полем.

По аналогии с полем скоростей и линией тока, существует и вихревая линия, которая характеризует векторное поле.

Это такая линия, у которой для каждой точки вектор угловой скорости сонаправлен с касательной к этой линии.

Линия описывается следующим дифференциальным уравнением:

в котором время t рассматривается как параметр.

Вихревые линии во многом ведут себя так же, как и линии тока.

Вихревое движение называют также турбулентным.

Если в пространстве, занятом жидкостью, существуют области, в которых ω 0, т. е. внутри их имеет место вращение частиц жидкости, то движение в таких областях называетсявихревым (например, в области пограничного слоя, образующегося вокруг твердого тела, обтекаемого потоком вязкой жидкости). В пограничном слое по направлению нормали к поверхности тела скорость резко возрастает, и поэтому в нем ω0 (∂w / ∂n 0).

Линия называетсявихревой , когда в каждой ее точке касательная совпадает с направлением вектора угловой скоростиω. Дифференциальное уравнение вихревой линии получается из соотношенияωdl = 0 и имеет вид

Вихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой кривойC (не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии. Из определения вихревой линии и вихревой поверхности следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая угловой скорости равна нулю.

Потоком вектора угловой скоростиJ  через поверхностьназывают интеграл:

где ω n – проекция угловой скорости вращения на нормаль к поверхности .

Другая теорема Гельмгольца – о вихрях: поток вектора угловой скорости через замкнутую поверхность всегда равен нулю . Докажем ее.

Действительно, путем непосредственных вычислений из формул (1.11) получим, с одной стороны, что

а

с другой, – что если поверхностьзамкнутая, то, согласно теореме Остроградского (о преобразовании объемного интеграла в поверхностный),

где V – объем, ограниченный поверхностью .

Но тогда, согласно (1.18), находим, что

Рис. 3. Вихревая трубка

Из формулы (1.19) вытекает важное свойство вихревых трубок. Выделим в вихревой трубке некоторую замкнутую поверхность (рис. 3), образованную двумя любыми поперечными сечениями ( 1 и  2) и боковой поверхностью. Так как поток вектора угловой скорости по боковой поверхности равен нулю, то, согласно (1.19):

Отсюда, вследствие произвольного выбора сечений  1 и 2 , получаем, что поток вектора угловой скорости в данный момент времени по длине элементарной вихревой трубки не меняется. Следовательно, этот поток есть величина, характерная для всей вихревой трубки, и ее (величину) называютинтенсивностью (или напряжением )вихревой трубки .

Если величина вектора угловой скорости постоянна по поперечному сечению вихревой трубки, то из (1.20) получим

ω 1 n  1 = ω 2 n  2 = ω in  i = const.

На основе этого сделаем следующий вывод: сечение вихревой трубки не равняется нулю, так как в подобном случае ω , что физически неверно. Таким образом, вихревая трубка не обрывается внутри среды. Но, однако, можно выделить только четыре типа вихревых трубок, т. е. когда «вихревой шнур» (вихревая трубка): 1) начинается и заканчивается на свободной поверхности жидкости; 2) начинается на свободной поверхности жидкости, а заканчивается на твердой стенке; 3) начинается и заканчивается на твердой стенке; 4) является замкнутым.

В идеальной жидкости вихри не могут изменять свою интенсивность, они как бы «обречены» существовать вечно, не имея возможности возникать и вырождаться. В реальной жидкости (из-за трения) вихри зарождаются, а затем диффундируют, т. е. вырождаются.

Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению. Сравнительно просто можно определять скорости частиц жидкости. Поэтому возникает вопрос об установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей в жидкости. Для решения данного вопроса введем характерную для поля скоростей величину – циркуляцию скорости вдоль некоторой линии .

Циркуляцией вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную к контуру:

Тогда связь между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей дается известной теоремой Стокса:интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру , один раз опоясывающему вихревую трубку :

Теорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непосредственное измерение скорости специальными приборами не представляет трудности, а суммирование слагаемых, входящих в интеграл по замкнутому контуру, является операцией более точной, чем дифференцирование распределения скоростей (необходимое для вычисления rotw ) и последующее суммирование.

Из этой теоремы вытекает важное следствие: если в какой-либо области течение безвихревое (w = 0, rotw = 0), т. е. потенциальное, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в этой области, равно нулю (Г = 0). Из рассмотренной теоремы, кроме того, следует, что конечная циркуляция скорости определяетэффект действия вихрей на поле скоростей в потоке жидкости.