Случайные блуждания. Что за чертовщина это «случайное блуждание»
Описывающую перемещение частицы в нек-ром фазовом пространстве под воздействием какого-либо случайного механизма. Фазовым пространством обычно бывает d-мерное или целочисленная в нем. Случайные механизмы могут быть различными; чаще рассматривают С. б., порожденные суммированием независимых случайных величин или цепями Маркова. Точного общепринятого определения С. б. нет.
Траектории простейших С. б. в случае d=l описываются начальным положением S 0 =0и последовательностью сумм
где X i независимы и имеют Бернулли
Значение S n
можно интерпретировать как выигрыш одного из двух игроков после ппартий в игре, в к-рой этот в каждой из партий выигрывает один рубль с вероятностью .
и проигрывает его с вероятностью 1- р.
Если игра ведется с помощью подбрасывания симметричной монеты, то следует положить р=1/2 (симметричное блуждание, см. Бернулли блуждание
).
При допущении, что начальный капитал 1-го игрока равен b, а начальный капитал 2-го игрока равен а, игра закончится, когда блуждающая частица (с координатами S 1 , S 2 , . . .) впервые коснется одного из уровней аили -b.
В этот один из игроков разорится. Эта классич. задача о разорении, в к-рой барьеры в точках аи -b можно рассматривать как поглощающие.
В приложениях, связанных с массового обслуживания теорией,
частица вблизи барьеров аи -b=0 может вести себя иначе: напр., если а=, b
=0, то положение Z n+ 1
блуждающей частицы в момент n+1в соответствии с (1) описывается соотношением
и барьер в точке 0 можно наз. задерживающим. Существуют и другие возможности для поведения частицы вблизи барьеров.
Если а= то получают задачи для С. б. с одной границей. Если а=b
= то получают неограниченное С. б. Изучение описанных С. б. происходит обычно с помощью аппарата дискретных цепей Маркова и, в частности, путем исследования соответствующих уравнений в конечных разностях. Пусть, напр., u k
есть разорения 1-го игрока в задаче о разорении, если его капитал равен k, 
а суммарный капитал обоих игроков фиксирован и равен а+b.
Тогда из формулы полной вероятности (по первому скачку) следует, что и k
удовлетворяет уравнению
и граничным условиям u а =0, u -b = 1. Отсюда получают
Вторая из этих формул показывает, что даже лбезобидная
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ" в других словарях:
Теория случайных блужданий теория, согласно которой изменения стоимости ценных бумаг колеблются случайным образом вокруг своей объективной цены, оппонирует теории технического анализа. Содержание 1 Одномерное дискретное случайное блуждание … Википедия
случайное блуждание - atsitiktinis klajojimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. random walk vok. zufällige Irrfahrt, f; zufällige Schrittfolge, f rus. случайное блуждание, n pranc. cheminement aléatoire, m; errance, f; marche aléatoire, f … Fizikos terminų žodynas
Случайное блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере Б. б. можно пояснить нек рые основные черты более общих случайных блужданий. В частности, уже в этой простейшей схеме проявляются свойства случайности, парадоксальные с точки… … Математическая энциклопедия
Задача о разорении игрока задача из области теории вероятностей. Подробно рассматривалась российским математиком А. Н. Ширяевым в монографии «Вероятность» … Википедия
Игра, имеющая характер развертывающегося в дискретном времени процесса на древовидно упорядоченном множестве (наз. также деревом). Конечной П. и. наз. система где 1) I множество игроков (|I| = n); 2) X конечное дерево, вершины к рого наз.… … Математическая энциклопедия
Однородный марковский процесс X(t), где Т аддитивная подполугруппа действительной оси R со значениями в топологич. пространстве. с топологией и борелевской алгеброй переходная функция Р(t, х, В), к рого обладает определенным свойством гладкости … Математическая энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Монте Карло (значения). Метод Монте Карло (методы Монте Карло, ММК) общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного)… … Википедия
Метод Монте Карло (методы Монте Карло, ММК) общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные… … Википедия
Хаотическое движение броуновских частиц в жидкости или газе представляет собой пример случайных блужданий. Теория броуновского движения была построена А.Эйнштейном и М.Смолуховским в 1905 - 1906 гг.
Задача о случайных блужданиях является одной из широко исследуемых задач теории вероятностей и находит множество других приложений.
6.1. Закономерности случайных блужданий
Закономерности случайных блужданий можно понять, используя простую модель, которая легко реализуется с помощью компьютера.
N частиц (которые в начальный момент для удобства наблюдений распределены на осиy ) смещаются последовательными шагами ∆x вдоль осиx . Каждый шаг каждой частицы выбирается случайным и независимым от других шагов. Однако распределение вероятностей при выборе любого шага одно и то же. Примем, что смещения в противоположные стороны равновероятны. Это значит, что среднее значение смещения
∆x = 0. |
Смысл этого равенства в том, что среднее арифметическое смещений ∆x очень большого числа частиц приближается к нулю по мере роста этого числа. Так понимается усреднение и далее. Иногда такие средние величины называютаприорными 19 . Кроме того, мы будем использовать «наблюдаемые средние» – средние арифметические для заданного числа частиц (как правило, очень большого). «Наблюдаемое среднее» смещения частицы ∆x н мало, но не равно нулю.
После каждого шага частицы будут «расползаться» от оси y . Обозначимx (k ) координату некоторой частицы черезk шагов. Тогда
x (k + 1) =x (k ) + ∆x. |
Усреднив это равенство (вновь по множеству частиц), получаем
x (k + 1) =x (k ) ,
т.е. среднее значение x (k ) не изменяется от шага к шагу и, следовательно, равноx (0) = 0. Наблюдаемое значениеx н для большого числа частиц
x (k )н =N |
||||
1 x j (k ) |
||||
ранее предполагаем, что вероятность выпадения «орла» равна 1/2.
окажется близким к нулю (здесь x j - координата j -й частицы)20 .
Ширину полосы, по которой распределяются частицы после k -го шага, удобно характеризовать величинойx 2 (k ) . Чтобы выяснить зависимость этой величины от числа шагов, возведем равенство (2 ) в квадрат и усредним:
x 2 (k + 1) =x 2 (k ) + 2x (k )∆x + (∆x )2 . |
Ввиду независимости x (k ) и ∆x имеем
x (k )∆x =x (k ) ∆x = 0.
Обозначим (∆x )2 =a 2 . Из (4) следует
x 2 (k + 1) =x 2 (k ) +a 2 ,
т.е. средний квадрат координаты растет с каждым шагом на величину a 2 . Значит,
x2 (k) = ka2 . | ||||
Наблюдаемое значение | ||||
н = | xj 2 | |||
изменяется приблизительно пропорционально числу шагов.
Распределение частиц в занятой ими полосе более детально характеризуется функцией распределения f (x ), определяющей концентрацию частиц;dW =f (x )dx
– вероятность того, что координата j -й частицы после k -го шага окажется в интервалеx ≤ x j ≤ x +dx . Теория случайных блужданий дает для достаточно большого числа шаговk распределение Гаусса
f (x ) = | |||||||||
√ 2 πka2 | |||||||||
Наблюдаемая функция распределения получается путем разбиения оси x на конечные интервалы и подсчета числа частиц в каждом из них. Результат подсчета представляется графически ступенчатой кривой –гистограммой (рис.7 ).
Обратим внимание на одно свойство зависимости (5 ). Если укрупнить шаги по времени вl раз, то средний квадрат смещения за один шагa 2 следует в соот-
K/l . В итоге |
||||||
ветствии с (5 ) заменить наa | А число шагов k – наk |
|||||
(k ) =la | · k/l = a | k , т.е. вид зависимости (5 ) не изменяется при укрупнении |
||||
20 При заданном числе частицN это справедливо для не слишком большого номера шагаk .
Рис. 7. Распределение частиц при диффузии (гистограмма и теоретическая кривая)
6.2. Оценка параметров движения броуновской частицы в жидкости
Приведем оценки для реального броуновского движения. Средняя скорость хаотического движения броуновской частицы v T определяется так же, как средняя скорость молекулы, соотношением
Если же скорость частицы близка к тепловой, v v T , то и сила, естественно, гораздо меньше, а отклонения ее от среднего значения−αv весьма существенны.
21 Для шарика радиусаR в жидкости с коэффициентом вязкостиη согласно закону Стокса
α = 6 πηR.
Именно эти отклонения ответственны за безостановочное хаотическое движение частицы. Если речь идет о таком движении, то τ из (9 ) можно понимать как оценку времени, спустя которое частица «забывает» начальное направление движения. Но та же величинаτ дает грубую оценку интервала времени, в течение которого частица «помнит» направление движения. (Может быть, для оценки времени «гарантированного забывания» стоило бы взять 2τ , а для оценки времени гарантированного сохранения направленияτ/ 2, но нас интересуют не «гарантированные», а средние времена, поэтому будем полагать, что коэффициенты 2, 1/2 и т.п. лежат за пределами принятой точности оценок.)
За время τ частица проходит путь, равный по порядку величины
a vT τ. |
Смещения частицы за различные интервалы времени порядка τ мы можем рассматривать как случайные, подобные рассматривавшимся ранее ∆x , только направленные не вдоль осиx , а в произвольном направлении (например, как три одновременных и независимых смещения вдоль трех осей координат). Движение частицы за времяt τ можно разбить наk t/τ таких шагов. Смещение частицы за времяt оценивается по аналогии с (5 ):
(t) ka(vT τ) | ||||||||
Этот результат обычно представляют в виде | ||||||||
r2 (t) = 6 D t, | ||||||||
где D – коэффициент диффузии22 . С учетом (8 ), (9 ), (11 )
D k α Б T .(13)
Если сначала частицы были сосредоточены в каком-то малом объеме, то со временем они распространяются все дальше, занимая область размераr (t ).
Соотношения вида (12 ), (13 ), полученные Эйнштейном и Смолуховским, послужили основой экспериментов Перрена, в ходе которых была определена масса атомов и которые были приняты «научной общественностью» в качестве убедительного доказательства существования атомов.
Описанные выше закономерности следует понимать как предельный случай, отвечающий наблюдению бесконечного числа частиц. Реализация же случайных блужданий конечного числа частиц, совершающих броуновское движение (настоящих или «компьютерных»), демонстрирует лишь приближенное выполнение этих соотношений.
22 Для случайных блужданий в направлении осиx вместо (12 ) имеемx 2 (t ) = 2 D t .
ЧТО ЗА ЧЕРТОВЩИНА ЭТО «СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ»?
Чартизм стар, как египетские папирусы. Метод «случайного блуждания» тоже имеет древние корни, но в законченном виде столь же юн, как и компьютеры. Чартизм пытается найти какой-то порядок в происходящем - метод «случайного блуждания» утверждает, что никакого порядка нет. И если сторонники теории случайного блуждания правы, то чартисты вот-вот останутся без работы, а над всеми аналитиками по ценным бумагам сгустились грозные тучи.
Сторонники «случайного блуждания» в массе своей университетские профессора, работающие на факультетах бизнеса и экономики. Они хорошо владеют сложным математическим языком и с удовольствием им пользуются. Более того, статьи о «случайном блуждании», пишущиеся этими учеными, просто обязаны быть абсолютно непонятными для непосвященных и перенасыщенными математическими символами для того, чтобы произвести должное впечатление на коллег. Если вы хотите посмотреть, как оно выглядит, попробуйте почитать журнал «Киклос» - в нем таких статей не одна и не две. Обширный материал, относящийся к интересующей нас теме, может быть найден именно там. Но мы обнаружим его и в сборнике «Случайный характер цен на фондовой бирже» (опубл. Массачусетским институтом технологии под ред. профессора Пола Кутнера), и в 16-м номере «Избранных трудов факультета бизнеса Чикагского университета», в работе профессора Юджина Феймы «Случайное блуждание применительно к ценам на фондовой бирже».
Что такое «случайное блуждание»? Я не в состоянии понять и половины статей, посвященных этому предмету, поскольку мое знание булевой алгебры ограничено, а знание стохастическим серий равно нулю. Но после ряда бесед с ребятами, занимающимися случайным блужданием, до меня дошло, что всю эту хитрость можно определить одним-единственным предложением. Позднее профессор Кутнер через одного из моих друзей передал, что мое отделение вполне годится, а посему, без всяких уравнений, S и D, я его привожу здесь.
Цены не имеют памяти, а вчерашний день не имеет никакого отношения к завтрашнему. Каждый новый день начинается с вероятности 50 на 50. Вчерашние цены уже включали в себя все детали вчерашнего дня. Или, как сказал профессор Фейма, «прошлая история серии (изменений цены акции) не может быть использована для прогнозов будущего никаким рациональным образом. Будущее движение уровня цен в целом или цены отдельно взятого актива предсказуемо не более чем движение серии случайных чисел».
Беспорядочностью как способом переиграть рынок занимаются, конечно, не одни университетские профессора. Сенатор Томас Дж. Макинтайр, демократ из Нью-Гэмпшира и член влиятельного банковского комитета Сената, в один прекрасный день принес с собой обычную настенную мишень для метания стрелок-дротиков. Он прикрепил к ней список компаний с фондовой биржи и принялся метать дротики. Пакет акций, выбранный с помощью дротиков, оказался результативнее портфелей подавляющего большинства взаимных фондов. (Таким образом, дротики сенатора Макинтайра подтвердили показания теоретиков случайного блуждания, профессоров Пола Сэмюэлсона из МИТ и Генри Уоллича из Йельского университета, данные ими на сенатских слушаниях при обсуждении законодательства о взаимных фондах.) Если такие крупнокалиберные орудия, как профессора Сэмюэлсон и Уоллич плюс банковский комитет Сената столь серьезно относятся к «случайному блужданию», то всем остальным стоит крепко задуматься: ведь если в «случайном блуждании» действительно заключается Истина, то ценность всех графиков и всех инвестиционных консультаций равна нулю - а это может очень серьезно повлиять на правила Игры.
Знаете ли Вы, что: брокер бинарных опционов Binomo для своих клиентов регулярно проводит турниры с бесплатной регистрацией и реальными денежными призами.
Первое исходное положение «случайного блуждания» заключается в том, что рынок, - например Нью-Йоркская фондовая биржа - представляет собой «эффективный» рынок, то есть такой, где цифры рациональны, а нацеленные на прибыль инвесторы конкурируют между собой, имея примерно равный доступ к информации и пытаясь определить будущее поведение цен.
Второй исходный тезис гласит, что акции имеют действительную ценность - «равновесную цену» на языке экономистов - и что в любой отдельно взятый момент цена акции может быть хорошим показателем ее действительной ценности, которая в целом зависит от доходности данной акции. Но поскольку никто с уверенностью не может сказать, что же такое действительная ценность, то, как говорит профессор Фейма, «действия множества конкурирующих участников должны вызывать случайные блуждания текущей цены акции вокруг ее действительной ценности».
Сторонники «случайного блуждания» испытали свою теорию на «эмпирических доказательствах». Целью исследования было математически продемонстрировать, что последовательные изменения цены происходят независимо друг от друга. Вот вам фрагмент одного из текстов - просто чтобы хорошенько вас припугнуть. Его автор профессор МИТ Уильям Стайгер, а сама работа была опубликована в сборнике «Случайный характер цен на фондовой бирже».
«Тест основан на выборочном распределении статистики, относящейся к чисто случайным блужданиям, характер которых сформулирован мною ранее. Принимая, что t - это отношение (случайная переменная) диапазона девиации от прямой, соединяющей первое и последнее значения сегмента континуального случайного блуждания к выборочной стандартной девиации приращения, это распределение определяет вероятность, Р„где t меньше или равно любому t.
Рассмотрим следующий стохастический процесс. Примем, что
На случай, если вы этого не знали раньше, речь идет о сериальных коэффициентах корреляции - и я, глядя на них, испытываю то же самое чувство, что и вы. Другой подход к проблеме состоит в том, чтобы протестировать механические правила для ведения торговых операций и убедиться, дают ли они лучший результат, чем просто покупка и откладывание акций. Профессор Сидней Александер из МИТ, например, перепробовал все виды фильтров, по результатам тестов делая заключение о том, что произойдет, если следовать различным механическим правилам торгов.
(Пятипроцентный фильтр работает следующим образом. Если какие-то акции поднимаются в какой-либо день на 5 процентов, покупайте их и держите до тех пор, пока цена с последней высшей точки не двинется вниз на 5 процентов. Тогда вам следует их продать и далее идти на продажу без покрытия. Продолжайте продавать без покрытия до тех пор, пока котировка на момент закрытия не превысит последнюю низшую точку как минимум на 5 процентов. В этом случае покройте проданное и начинайте покупать.)
Как видите, фильтр действительно связан с анализом тенденций и с измерением движения цен. Профессор Александер сообщает о проделанной проверке фильтров с уровнем от 1 до 50 процентов (см. «Движения цен в условиях спекулятивных рынков: тенденции и случайные блуждания»). При этом выяснилось, что просто покупать и держать акции постоянно дает лучший результат, чем применение любого из фильтров.
Поэтому сторонники случайного блуждания утверждают, что заявление типа «акция с проявившейся тенденцией с большей вероятностью будет продолжать двигаться с этой тенденцией», есть абсолютная чепуха. Шансы того, сохранится или нет тенденция движения акции, равны пятьдесят на пятьдесят.
То же самое можно сказать о бросании монеты. Если вы бросаете монету пять раз, и пять раз подряд выпадает орел, каковы шансы на то, что и в шестой раз выпадет open? А если вы бросаете монету сто раз, и сто раз подряд выпадает орел, каковы шансы на то, что орел выпадет и в сто первый раз? Те же самые пятьдесят на пятьдесят.
«Если модель случайного блуждания адекватно описывает реальность, - говорит профессор Фейма,- то работа технического аналитика, как и работа астролога, не имеет никакой реальной ценности».
С особенной агрессивностью приверженцы случайного блуждания настроены по отношению к чартистам. Как я уже рассказывал, один профессор случайного блуждания буквально подавился десертом у меня в доме, когда кто-то посмел сказать, что, возможно, диаграммы стоит принимать всерьез. (Теперь в нашей семье заведено правило: все сторонники случайного блуждания должны закончить свой десерт, прежде чем может быть затронута тема графиков и диаграмм.) Другой мой знакомый профессор, апологет случайного блуждания, стал со своими студентами бросать монету, приняв орел за плюс и решку за минус. Потом они составили диаграмму, ставя крестик при выпадении орла и нолик при появлении решки. И что вы думаете? Получилась классическая диаграмма типа «крестики-нолики», со всеми непременными элементами: «головой и плечами», «обратными движениями», «двойными вершинами» и всем прочим.
Но приверженцы случайного блуждания не ограничиваются атаками на чартистов. Они намерены серьезно побеспокоить и аналитиков-фундаменталистов. Вот как они рассуждают в данном случае.
Между реально существующей ценой и действительной внутренней ценностью акции имеются расхождения. Аналитик собирает всю доступную ему информацию и, прилагая все свои знания и таланты, высказывается за покупку или, соответственно, продажу. Его действия помогают сузить существующий разрыв между ценой и внутренней ценностью. И чем лучше и искушеннее аналитики, тем в большей степени они нейтрализуют самих себя, потому что все более «эффективным» становится рынок. А «эффективный» рынок четко согласуется с моделью случайного блуждания, где внутренняя ценность уже учтена и отражена в цене.
Понятно, что аналитик, находящийся на шаг впереди остальных, в условиях эффективного рынка перекроет суммарный средний результат своих коллег, но штука в том, что все аналитики убеждены, что их способности и профессионализм выше среднего. Достижения аналитика должны постоянно быть выше, чем результаты случайным образом составленного портфеля активов того же самого характера уже хотя бы потому, что каждый аналитик с 50-процентной вероятностью перекроет результат случайной выборки, даже если он полный идиот или пользуется мишенью и дротиками вместо логарифмической линейки.
Мир случайного блуждания - холодный, суровый и весьма негативный мир. Приверженцы этой теории верят в существование внутренней ценности акции, но нам от этого не легче, потому что акции продаются по своей внутренней ценности,- что бы мы под этим термином ни понимали - только в те моменты, когда рынок пересекает эту отметку, двигаясь вверх или вниз. Иными словами, внутренняя ценность оказывается верной точкой отсчета в том же смысле, в каком и остановившиеся часы показывают правильное время два раза в сутки.
Как мы уже знаем, существует одиннадцать тысяч аналитиков по ценным бумагам - и уж, конечно, многие тысячи чартистов. Чартисты не верят в случайное блуждание, потому что такая вера лишила бы их работу всякого смысла - какому же профессионалу приятно сознавать, что мишень с дротиками работает не менее эффективно, чем он? Что касается аналитиков, то они считают, что случайное блуждание не играет никакой роли, потому что их информированность и интуиция позволяют им быть впереди. Ни один из них всерьез не погружается в математические доказательства теории случайного блуждания. Если бы они это сделали и приняли приведенные аргументы, то, возможно, смирились бы с некоторой потерей в зарплате и переключились бы на преподавание в школах бизнеса, но пока никакого заметного исхода в этом направлении не наблюдалось.
В поддержку скептиков мы можем лишь еще раз обратиться к предпосылке, утверждающей, что биржа в разумных пределах «эффективна», то есть, что это рынок, где цифры рациональны, а нацеленные на прибыль инвесторы конкурируют между собой. Вполне, однако, вероятно, что инвесторы - и даже холодные, суровые, профессиональные инвестиционные менеджеры - не рациональны, или рациональны не на все 100 процентов. Возможно, они предпочитают иметь некоторую прибыль и чувствовать; что они в своих решениях не одиноки, чем иметь максимальную прибыль и испытывать непрекращающуюся тревогу. Инвестор в модели случайного блуждания с подозрительным постоянством ведет себя как «гомо экономикус», а мы уже не раз рассуждали о.том, что «гомо» все-таки не совсем «экономикус». Как сказал лорд Кейнс, «нет ничего более катастрофического, чем рациональная инвестиционная стратегия в иррациональном мире».
До сих пор еще никто не сумел втиснуть эмоции в сериальные коэффициенты корреляции и в анализ прогона сериальных испытаний. Абсолютно верно, что, статистически рассуждая, завтрашняя цена акции не имеет никакого отношения к ее вчерашней цене. Но люди, Толпа, наделены памятью, которая охватывает и тот день, и этот. Вы, наверное, заметили кое-что, в равной степени присущее и миру случайного блуждания, и миру графиков и диаграмм: ни в одном из этих миров нет места для людей. Там есть цены, там есть коэффициенты, там есть прошлое (или же его нет - в зависимости от того, какой из двух теорий вы придерживаетесь). Дерево епископа Беркли падает в лесу и производит страшный шум, хотя нет никого, кто бы этот шум услышал.
Если биржа - это действительно Игра, то в Игру вполне можно играть и без всяких внутренних ценностей. А если одно из правил Игры гласит, что дерево епископа Беркли падает тогда, когда все решили, что оно упало, - то даже и в самом дереве нет нужды. Если принтеры будут печатать сертификаты на обладание акциями, Нью-Йоркская фондовая биржа будет по-прежнему открыта, а банки будут время от времени опечатывать цифры дивидендов, то вся Игра остается на месте, даже если все сталеплавильные заводы, склады и железные дороги таинственным образом исчезли - при условии, что никто из участников Игры об этом не знает.
Приверженцы случайного блуждания для более сложных доказательств правоты своей теории обращаются к компьютерам, надеясь обрести дополнительные силу и авторитет. Теханалитики тоже обращаются к компьютерам, прогоняя выборки и фильтры, настроенные не только на ценах закрытия, но и на максимумах и минимумах, скользящих средних и т.д. - в общем, по любому мыслимому сериальному отношению величин. Но компьютеры программируются людьми, машины не способны думать сами. Посему одни и те же компьютеры выдают не одни и те же доказательства. Первый вызов математическому языку теории случайного блуждания был брошен в работе Роберга Леви «Концепция относительной силы» - и, вероятно, где-то зреет ответ на нее на том же самом языке.
Влияние теории случайного блуждания должно бы быть благотворным по определению уже потому, что она заставляет всех проверять и перепроверять полученные результаты вместо того, чтобы принимать на веру мифы и обобщения. Но в то же время - я здесь ни на что не намекаю - среди приверженцев случайного блуждания очень мало богатых людей, как мало их и среди чартистов, С другой стороны, есть весьма успешные инвесторы, не располагающие какими-то сформулированными системами. Может быть, они просто попали в удачную серию сделок, может быть, они более рациональны или имеют больший доступ к информации. А может быть, они - и этого не желают принять к сведению в суровом мире статистики - просто более хорошие знатоки человеческой психологии.
Сторонники случайного блуждания не утверждают единогласно, что биржа - это случайное блуждание. Некоторые признают: нет, это не совсем так - уже хотя бы потому, что рынок далек от совершенства, от полной «эффективности». Иными словами потому, что на нем есть люди. «Моя модель, - пишет профессор Кутнер, - полностью совместима с тем, как мне видится чтение диаграмм на Уолл-стрит. Подобно индейским знахарям, открывшим транквилизаторы, уолл-стритские шаманы, без каких бы то ни было научных методов, с помощью своей магии что-то все-таки производят, не имея понятия о том, что они произвели и как оно работает». А профессор Александер заключает одну из своих статей так: «В условиях спекулятивного рынка цена, как видится, со временем следует принципу случайного блуждания, однако ее движение, однажды начавшись, имеет тенденцию продолжаться».
Но по движению, которое имеет тенденцию продолжаться, уже можно построить диаграмму. («Результаты статистиков в исследовании случайного блуждания в длительном временном интервале не противоречат неслучайным тенденциям в интервале происходящего движения», - пишет профессор Александер.)
Честно говоря, следует приложить уже упомянутую в этой книге предвзятость как к диаграммам, так и к случайному блужданию. Диаграмм мы вскользь коснулись, но техническая работа охватывает, кроме движения цен, и другие факторы (объем продаж, его рост, падение и т.д.), что диаграммы с готовностью нам и демонстрируют. Моя предвзятость, в которой я уже признавался, заключается в любви к «накапливающимся доходам», вполне укладывающимся в старую фундаменталистскую концепцию, называемую «Учтенная в настоящем ценность будущих прибылей». А от нее уже рукой подать до классической фундаменталистской теории «Нынешней ценности будущих дивидендов». Бесспорно, в растущие доходы вплетена идея «Внутренней ценности», но в Игру можно играть и при наличии «Внутренней ценности». А если биржа - это Игра, то попытки статистиков уничтожить диаграммы и графики вовсе не так страшны, как они представляются. Чартисты, вместе взятые, сами по себе становятся серьезной рыночной силой. Может быть, они просто принадлежат к иррациональной и еще неизмеренной австралопитековой стороне рынка.
Есть и еще одна претензия, которую следует предъявить академическим исследователям: они склонны читать лекции на языке, которым слушатель не владеет,- например, на языке квадратных уравнений. «В отношениях между математикой и отношением инвестора к акциям существует специфический парадокс», - пишет Бенджамин Грэм, старейшина финансового анализа, в своей книге «Разумный инвестор». Грэм продолжает:
«Считается, что математика дает точные и надежные результаты. Но на фондовой бирже, чем более изощрены и сложны математические построения, тем более ненадежны и гадательны те выводы, которые мы из них делаем. За все сорок четыре года моего опыта на Уолл-стрит я ни разу не видел надежных расчетов ценности акций или связанной с ней инвестиционной стратегии, которые выходили бы за пределы простой арифметики или самой элементарной алгебры. Если в игру входит математический анализ или высшая алгебра,- это всегда признак того, что автор пытается подменить опыт теорией».
Как вы могли бы предположить, памятуя о моей собственной предвзятости, я с готовностью соглашаюсь здесь со старейшиной финансового анализа. Более того. Мне кажется, что даже если бы адепты случайного блуждания объявили о том, что найдено безупречное математическое доказательство случайного характера биржевых процессов, я все равно продолжал бы верить в то, что в длительной перспективе будущие прибыли влияют на текущую цену, а в краткосрочной перспективе доминантным фактором останется неуловимый австралопитек - характер и настроение толпы.
Данная заметка носит методический характер и призвана напомнить (или научить:)), что такое случайное блуждание и какова его роль в биржевой торговле. Случайное блуждание (или броуновское движение или random walk)-это процесс с независимыми приращениями, причем каждое приращение обладает нулевым средним. Пример такого процесса: берем монетку и кидаем. Если орел, то очередное приращение равно +1, если решка-очередное приращение равно -1. Кидаем много раз и суммируем нарастающим итогом. В общем, проще не придумаешь.
Несмотря на простоту такого построения оно имеет чрезвычайно важную роль для понимания динамики цен на бирже. Взглянем на график случайного блуждания:
Данная картинка является вполне типичной. Как видно, тут есть многое из любимых атрибутов теханализа-уровни, фигуры, тренды, итд. Да и вообще, картинка явно похожа на реальные цены. Таким образом, случайное блуждание-это явно неплохая модель рынка.
Раз мы нашли такую удачную математическую модель реальной жизни, то неплохо было бы обсудить свойства модели. Основные свойства таковы:
1) На случайном блуждании нельзя заработать. Никакими методами, в том числе и управлением капиталом и риск-менеджментом.
Это связано с тем, что процесс этот не имеет памяти-каждое следующее приращение никак не связано с предыдущим.
2) Случайное блуждание с вероятностью, стремящейся к 1, достигнет любого наперед заданного уровня-хоть миллиона, хоть миллиарда. Это, в среднем, происходит за время, пропорциональное квадрату величины уровня.
Уже из свойства 1) вытекает, что любители огульного использования теханализа не понимают, что они делают. И если даже и зарабатывают, то не знают почему-что плохо. Я не против теханализа, но причины того, что он иногда работает-весьма нетривиальны.
Из свойства 2) вытекает, что рынок может уйти чертовски далеко вообще без причин-привет любителям продажи опционов и торговцам без стопов.
Теперь ответим на вопрос-почему рынок так похож на случайное блуждание? Причин две:
1) Просто непрерывный поток лимитных и рыночных ордеров, каждый из которых не связан ни с каким другим, приведут к случайному блужданию цены.
2) Торгующие, как правило, ищут закономерности в цене (то есть отклонения цены от случайного блуждания). И если находят-начинают вблизи этой закономерности торговать. Дальше происходит нетривиальная эволюция, которую я здесь пояснять не буду, но в итоге этой эволюции рано или поздно закономерность перестанет существовать. Именно поэтому успешные трейдеры не любят просто так делиться своими торговыми системами.
И, в заключение, обсудим философские аспекты модели. Модель случайного блуждания-это всего лишь математическая модель. А реальный рынок-это набор людей. И, естественно, если бы мы знали все про всех торгующих, то никакая модель случайного блуждания нам вообще была бы не нужна-для нас каждое движение цены было бы не случайным, а полностью понятным. Но все про всех знать нельзя, а вот кое-что и про некоторых-запросто. И любая хорошая торговая система-это прежде всего знание некой особенности поведения некоторых торгующих на рынке.
Приложение: генерация случайного блуждания в Excel
Для генерации случайного блуждания в эксель можно использовать, например, такой код:
Option Explicit
Sub Rand_Walk()
Dim x As Single, s As Single
Dim i As Integer, imax As Integer
imax = 10000
s = 0
For i = 1 To imax
Randomize
x = Rnd()
x = 2 * x - 1
s = s + x
Cells(i, 1) = i
Cells(i, 2) = s
Next i
End Sub
Его нужно скопировать в код любого листа эксель. Запустить и построить график по первым двум столбцам листа. После этого можно любоваться квазибиржевыми котировками.
Для того, чтобы протестировать «валидность» гипотезы случайного блуждания, нужно определить, являются ли финансовые результаты той или иной акции (нашей функции) стохастическими или детерминистическими. Теоретически, существует алгоритмический и статистический подход к проблему, но на практике используются лишь последний (и тому есть объяснения).
Алгоритмический подход
Теория вычислимых функций также известная как теория рекурсии или вычислимость по Тьюрингу - это ветвь теоретической информатики, которая работает с концептом вычислимых и невычислимых функций. Функция называется вычислимой в зависимости от того, возможно ли написать алгоритм, который при наличии некоторых входных данных, всегда сможет ее вычислить.Если случайность - это свойство непредсказуемости, то значит вывод функции никогда нельзя точно предсказать. Логически из этого вытекает, что всеслучайные процессы - это невычислимые функции, поскольку нельзя создать алгоритм для их вычисления. Знаменитый тезис Черча-Тьюринга постулирует, что функция вычислима, только если ее можно вычислить с помощью машины Тьюринга:
Казалось бы, все просто - нужно просто использовать машину Тьюринга для определения того, существует ли алгоритм, предсказывающие поведение цен акций (наша функция). Но здесь мы сталкиваемся с проблемой остановки , то есть задачей определения того, будет ли алгоритм работать вечно, или когда-нибудь он завершится.
Доказано, что эта проблема нерешаема, а значит невозможно заранее узнать, остановится ли программа, или продолжит работу. А значит, нельзя и решить проблему задачу поиска алгоритма, который может «вычислить» функцию (предсказать цену акции) - до остановки машине Тьюринга нужно будет перебрать все возможные алгоритмы, а это займет бесконечно много времени. Поэтому, невозможно и доказать, что финансовый рынок полностью случаен.
Если не принимать во внимание этот факт, то подобные изыскания привели к возникновению интересной области под названием алгоритмическая теория информации . Она имеет дело с отношениями между теорией вычислимости и теорией информации. Она определяет различные типа случайности - одним из самых популярных является определение случайности по Мартин-Лефу, согласн окоторому, для того, чтобы строка была признана случайной, она должна:
- Быть несжимаемой - компрессия подразумевает поиск представления информации, которое использует меньше информации. К примеру, бесконечной длинная двоичная строка 0101010101…. может быть выражена более точно как 01, повторенное бесконечно много раз, в то время как бесконечно длинная строка 0110000101110110101… не имеет четко выраженного паттерна, а значит ее нельзя сжать до чего-либо короче, чем эта же самая строка 0110000101110110101 … Это значит, что если Колмогоровская сложность больше или равна длина строки, тогда последовательность алгоритмически случайна.
- Проходить статистические тесты на случайность - существует множество тестов на случайность, которые проверяют разницу между распределением последовательности относительно ожидаемого распределения любой последовательности, которая считается случайной.
- Не приносить выгоду - интересный концепт, который подразумевает, что если возможно создать некую ставку , приводящую только к успеху, то значит она неслучайна.
В отсутствии дополнительной информации многие системы могут казаться случайными не являясь таковыми - например, те же генераторы случайных чисел. Или, более сложный пример, движение цены некоторой акции может казаться случайным. Но если взглянуть на финансовые отчеты и другие фундаментальные индикаторы, то все может оказаться совсем неслучайным.
Статистический подход
Последовательность статистически случайна, когда она не содержит никаких выявляемых паттернов. Это не означает реальной случайности, то есть непредсказуемости - большинство псевдослучайных генераторов случайных чисел, которые не являются непредсказуемыми, при этом являются статистически случайными. Главное здесь - пройти набор тестов NIST. Большинство из этих тестов подразумевают проверку того, насколько распределение вывода предположительно случайной системы соответствует результатам действительно случайной системы. По ссылке представлен Python-код таких тестов.Взламывая рынок
После обзора теоретических основ понятия случайности и рассмотрения тестов, которые позволяют ее выявить, другой важный вопрос заключается в том, можно ли с помощью таких тестов создать систему, которая будет определять случайность или неслучайность рыночных последовательностей лучше человека.Исследователь решил провести собственный эксперимент, для которого использовал следующие данные:
Также анализировались активы различных типов:
- Обменные курсы пары доллар/фунт (USD vs GBP) с 1990 до 2015 (дневной график) ~ 25 лет
Кроме того, для сравнения использовалось два симулированных набора данных. Первый из них - набор двоичных данных, сгенерированный с помощью стратегии дискретизации алгоритма вихря Мерсенна (один из лучших псевдослучайных генераторов).
Второй - двоичные данные, сгенерированные функцией SIN.
Проблемы
У каждого эксперимента есть свои слабые места. Не обошлось без них и в этот раз:- Для некоторых тестов требуется больше данных, чем сгенерировал рынок (кроме случаев использования минутных или тиковых графиков, что не всегда возможно), что значит, что их статистическая значимость чуть менее, чем идеальна.
- Тесты NIST проверяют только стандартную случайность - это не значит, что рынки распределены не нормально или как-то по-другому, но все равно случайны.
- Случайно выбранные временные периоды (начинающиеся с 1 января каждого года) и уровень значимости (0,005). Тесты нужно проводить на куда более обширном наборе выборок, которые начинаются с каждого месяца или квартала. P-значение не оказало серьезного влияния на итоговые выводы, поскольку при разных его значениях (0,001, 0,005, 0,05) некоторые тесты все равно не были пройдены в определенные периоды (например, 1954-1959 гг.)
Результаты
Вот каких результатов удалось добиться с помощью двух способов тестирования с накладывающимися или ненакладывающимися окнами:
Выводы можно сделать следующие:
- Значения лежат между значениями двух бенчмарков, что означает, что рынки менее случайны, чем вихрь Мерсенна и более случайны чем SIN-функция. Но в итоге они не случайны.
- Значения серьезно различаются по измерению - размер окна серьезно влияет на результат, и уникальности - рынки не одинаково случайны, некоторые из них более случайны, чем другие.
- Значения для бенчмарков консистентно хороши для вихря Мерсенна (в среднем пройдено более 90% тестов) и плохи для SIN-графа (пройдено в среднем 10-30% тестов).